Verfahren zum internen Rating und zur PD-Schätzung im Rahmen von Basel II

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

Abkürzungsverzeichnis

1. Einleitung und Gang der Untersuchung
1.1 Einleitung
1.2 Gang der Untersuchung

2. Bankaufsichtliche Behandlung von Kreditrisiken
2.1 Eigenkapitalunterlegungspflicht nach geltendem Recht
2.2 Darstellung der Neuen Basler Eigenkapitalvereinbarung
2.2.1 Aufbau
2.2.2 Standardansatz
2.2.3 IRB-Basisansatz
2.2.4 IRB-Fortgeschrittenenansatz
2.3 Anforderungen an Rating Modelle nach Basel II
2.3.1 Aufsichtsrechtliche Anforderungen an die IRB-Ansätze
2.3.2 Voraussetzungen für die Zulassung des fortgeschrittenen IRB-Ansatzes

3. Ausgewählte Statistische Verfahren zur Ermittlung der schuldnerspezifischen PD
3.1 Logitmodell
3.1.1 Logit-Modelle mit linearen und nichtlinearen Einflussfaktoren
3.1.2 Nichtparametrische Logit-Modellierung
3.2 Diskrete Hazardratenmodelle
3.2.1 Überblick
3.2.2 Sterbetafel
3.2.3 Hazardratenmodelle mit zeitabhängigen Kovariablen
3.3 Diskriminanzanalytische Verfahren
3.3.1 Parametrische Diskriminanzanalyse
3.3.2 Nicht-Parametrische Diskriminanzanalyse
3.4 Prognosequalität der Modelle
3.4.1 Alpha- und Betafehler
3.4.2 Gini-Curve
3.4.3 Informations-Entropie

4. Datenbeschreibung
4.1 Bemerkungen zum vorliegenden Datensatz
4.2 Deskriptive Darstellung der Daten
4.3 Verwendete Variablen zur Modellierung

5. Empirische Ergebnisse
5.1 Vorgehensweise
5.2 Modellergebnisse
5.2.1 Logitmodell
5.2.2 Diskriminanzanalytisches Modell
5.3 Validierung und Bewertung der Modelle nach Basel II-Anforderungen
5.3.1 Logitmodell
5.3.2 Diskriminanzanalytisches Modell
5.4 Zusammenfassung der Modelle
5.5 Eigenkapitalanforderungen nach Basel II
5.6 Eigenkapitalbedarf der Portfoliomodelle

6. Segmentspezifische Ermittlung der PD und deren Folgen nach Basel II
6.1 Vergleich der Ausfallraten im Falle zweier fiktiver Banken mit qualitativ unterschiedlichem Kundenstamm

7. Zusammenfassung, Kritik und Ausblick

Anhang

Literaturverzeichnis

Eidesstattliche Erklärung

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1-1: Insolvenzquoten in Deutschland

Abbildung 2-1: Risikogewichte in Abhängigkeit von der PD

Abbildung 3-1: Logistische Verteilungsfunktion

Abbildung 3-2: Logarithmierte Chancen

Abbildung 3-3: Gini-Curve

Abbildung 3-4: Informations-Entropie

Abbildung 4-1: Verteilung der Scores aller untersuchten Unternehmen

Abbildung 4-2: Verteilung der Scores von solventen und insolventen Unternehmen

Abbildung 5-1: Anpassung der Logit-Modelle 1 und 2 an den Datensatz

Abbildung 5-2: Anpassung von Logit-Modell Nummer 5

Abbildung 5-3: Relative Häufigkeit von LagScore solventer und insolventer Kreditnehmer

Abbildung 5-4: Vergleich Diskriminanzanalytisches Modell 1 mit Logit-Modell 1

Abbildung 5-5: Diskriminanzfunktionen sowie Klassifikationsfunktion von Modell 1

Abbildung 5-6: Diskriminanzfunktionen sowie Klassifikationsfunktion von Modell 2

Abbildung 5-7: CAP von Logit-Modell 1

Abbildung 5-8: Vergleich von Logit-Modell 1 und Logit-Modell 2 (1997-2000) mit beobachteten durchschnittlichen Ausfällen je Scoreklasse in 2001

Abbildung 5-9: CAP von Logit-Modell 3

Abbildung 5-10: CAP von Logit-Modell 4

Abbildung 5-11: CAP von Logit-Modell 5

Abbildung 5-12: CAP Diskriminanzanalyse Modell 3

Abbildung 5-13: CAP Diskriminanzanalyse Modell 4

Abbildung 5-14: CAP Diskriminanzanalyse Modell 5

Abbildung 5-15: Differenzen bei den Ausfallwahrscheinlichkeiten zwischen den verschiedenen Modellen

Abbildung 5-16: Vergleich des Eigenkapitalbedarfs

Abbildung 6-1: Logit-Modell 1 für Bank A und Bank B

Abbildung 7-1: Maturity-Factor in Abhängigkeit von der PD

Abbildung 7-2: Vermögens-Korrelation in Abhängigkeit von PD

Abbildung 7-3: Rechteckskern

Abbildung 7-4: Normalverteilungskern

Abbildung 7-5: Epanechnikov-Kern

Abbildung 7-6: Kubischer Kern

Abbildung 7-7: Dreieckskern

Abbildung 7-8: Bisquare-Kern

Abbildung 7-9: Gauß-Kern

Abbildung 7-10: Insolvenzquote Branche 50.1 Deutschland (gesamt)

Abbildung 7-11: Insolvenzquoten anhand ungewichteter Datensätze

Abbildung 7-12: Score-Verteilung bei Bank A

Abbildung 7-13: Score-Verteilung bei Bank B

Tabellenverzeichnis

Tabelle 2-1: Risikogewichte im Standardansatz

Tabelle 2-2: Standardabschläge von anerkannten Sicherheiten

Tabelle 3-1: Gebräuchliche Kernfunktionen

Tabelle 3-2: Klassifikationsfehler

Tabelle 3-3: Kosten von Fehlentscheidungen

Tabelle 4-1: Zeitliche Entwicklung der durchschnittlichen Scores

Tabelle 5-1: Überblick über verwendete Modelle

Tabelle 5-2: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 1

Tabelle 5-3: Wirkungszusammenhang Logit-Modell 1

Tabelle 5-4: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 2

Tabelle 5-5: Wirkungszusammenhang Logit-Modell 2

Tabelle 5-6: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 3

Tabelle 5-7: Wirkungszusammenhang Logit-Modell 3

Tabelle 5-8: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 4

Tabelle 5-9: Wirkungszusammenhang Logit-Modell 4

Tabelle 5-10: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 5

Tabelle 5-11: Wirkungszusammenhang Logit-Modell 5

Tabelle 5-12: Auswertungsergebnisse Diskriminanzanalyse Modell 1

Tabelle 5-13: Auswertungsergebnisse Diskriminanzanalyse Modell 2

Tabelle 5-14: Auswertungsergebnisse Diskriminanzanalyse Modell 3

Tabelle 5-15: Auswertungsergebnisse Diskriminanzanalyse Modell 4

Tabelle 5-16: Auswertungsergebnisse Diskriminanzanalyse Modell 5

Tabelle 5-17: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 1 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-18: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 2 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-19: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 3 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-20: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 4 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-21: Auswertungsergebnisse Logit-Modell 5 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-22: Alpha- und Betafehler der Logit-Modelle 1 bis 5

Tabelle 5-23: Auswertungsergebnisse Diskriminanz-Modell 1 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-24: Auswertungsergebnisse Diskriminanz-Modell 2 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-25: Auswertungsergebnisse Diskriminanz-Modell 3 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-26: Auswertungsergebnisse Diskriminanz-Modell 4 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-27: Auswertungsergebnisse Diskriminanz-Modell 5 (Jahr 1997-2000)

Tabelle 5-28: Alpha- und Betafehler für die Modelle 1 bis 5

Tabelle 5-29: Vergleich der Logit-Auswertungen

Tabelle 5-30: Vergleich der diskriminanzanalytischen Auswertungen

Tabelle 5-31: Daten für 5 exemplarische Kreditnehmer

Tabelle 5-32: Ausfallwahrscheinlichkeiten der exemplarischen Kreditnehmer anhand der dargestellten Logit-Modelle 1-5 (1997-2001)

Tabelle 5-33: Ausfallwahrscheinlichkeiten der exemplarischen Kreditnehmer anhand der dargestellten Diskriminanz-Modelle 1-5 (1997-2001)

Tabelle 5-34: Prozentuale Abweichungen der unterschiedlichen Modelle auf Basis von Logit-Modell 1

Tabelle 5-35: Hinterlegungsbeträge für die verschiedenen Modelle nach Basel II

Tabelle 6-1: Kundenbestand von Bank A und Bank B

Tabelle 6-2: Auswertungsergebnisse Modell 1, Bank B

Tabelle 6-3: Auswertungsergebnisse Modell 1, Bank A

Tabelle 6-4: Vergleich Unterlegungsbeträge

Tabelle 7-1: Beobachtungszahl

Tabelle 7-2: Zugespielte Defaults

Tabelle 7-3: Modelldaten (repräsentativ) mit logarithmierter Score

Tabelle 7-4: Modelldaten (repräsentativ) mit quadrierter Score

Tabelle 7-5: Kombination unterschiedlicher Score-Transformationen (repräsentativer Datensatz)

Tabelle 7-6: Zusammensetzung von Bank A und Bank B

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung und Gang der Untersuchung

1.1 Einleitung

Wachsende Insolvenzquoten in der Bundesrepublik Deutschland erregen nicht nur Besorgnis bei Wirtschaftforschungsinstituten, sondern führen auch im Bankensektor zu gedrückter Stimmung. Dabei zeigt sich, dass vor allem solche Kreditinstitute um ihre Existenz bangen, deren Kundenstruktur aus einer Vielzahl von bonitätsmäßig schlecht eingestuften Unternehmen besteht. Grund dafür ist, dass die Eigenmittel der Gläubiger im Vergleich zur Ausfallwahrscheinlichkeit der Schuldner zu gering bemessen sind, um die hier auftretende, überdurchschnittlich hohe Zahl von erwarteten Ausfällen finanziell zu verkraften.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Error! Not a valid link.

Abbildung 1-1: Insolvenzquoten in der Bundesrepublik Deutschland

Damit verhindert werden kann, dass Bankinstitute, infolge hohen Konkurrenzdrucks und zunehmender Globalisierung Kreditnehmern mit hochgradig zweifelhafter zukünftiger Liquidität Mittel gewähren, ohne für die in Kauf genommenen Ausfallrisiken adäquate Eigenmittel zu hinterlegen und damit den Finanzsektor, je nach Bedeutung des Kreditinstituts, in eine instabile Position bringen, hat der Basler Ausschuss Reform-Vorschläge unterbreitet, welche die Höhe des aufzubringenden Eigenkapitals an die Ausfallwahrscheinlichkeiten der einzelnen Kunden koppeln.

Aufgrund der dadurch veränderten Kostenstruktur ist es zudem möglich, dass Unternehmen mit hoher Kreditwürdigkeit zu geringen Zinssätzen bedient werden, jenen mit geringer Bonität hingegen hohe Zinssätze abverlangt werden. Dadurch kann verhindert werden, dass Unternehmen mit schlechter Bonität auf Kosten von Unternehmen mit guter Qualität Liquide Mittel erhalten.

1.2 Gang der Untersuchung

Ausgangspunkt der Untersuchung ist die Darstellung der Eigenkapitalunterlegungspflicht von Kreditinstituten nach der aktuellen Gesetzeslage. Anschließend wird die vom Basler Ausschuss vorgelegte Eigenkapitalvereinbarung in ihren Grundzügen dargestellt. Im folgenden Abschnitt werden verschiedene statistische Methoden erläutert, um Ausfallwahrscheinlichkeiten gemäß Basel II konkret zu bestimmen. Um die Güte der Prognosemodelle zu messen, werden dabei außerdem verschiedene Validierungsmethoden und Gütemaße vorgestellt. Abschnitt vier soll einen Überblick über den Datensatz geben. Dabei werden vor allem deskriptive Methoden der Datenbeschreibung angewendet. Die Auswertung des Datensatzes sowie die dabei gewählte Vorgehensweise sind zentrale Punkte des darauf folgenden Kapitels. Hier werden die Resultate der unterschiedlichen Prognoseverfahren einander gegenübergestellt. Es wird verdeutlicht, wie sehr der Eigenkapitalbedarf vom verwendeten Auswertungsverfahren abhängen kann. Der letzte Abschnitt fasst die wesentlichen Ergebnisse zusammen und beurteilt diese.

2. Bankaufsichtliche Behandlung von Kreditrisiken

2.1 Eigenkapitalunterlegungspflicht nach geltendem Recht

Um die Stabilität und Funktionsfähigkeit des Finanzsektors bei Zahlungsausfällen von Schuldnern zu gewährleisten und Einleger vor Ausfällen zu schützen, sind Banken zur Hinterlegung von Eigenmitteln verpflichtet. Dies wird im 1962 eingeführten und inzwischen mit sechs Novellen modifizierten Kreditwesengesetz geregelt. Dabei wurden inzwischen wesentliche Bestandteile der vom Basler Eigenkapitalausschuss vorgelegten Papiere in das Gesetz integriert.

Insbesondere § 10 Abs. 1 KWG beschreibt hierbei, dass die hinterlegten Mittel im Interesse der Gläubiger „angemessen“ sein müssen. Um die geforderte Unterlegungspflicht aus §§ 10 und 10a KWG zu konkretisieren, wurde der Grundsatz I entwickelt. Aus diesem geht hervor, dass der Quotient aus Eigenkapital und gewichteten Risikoaktiva, auch Solvabilitätskoeffizient genannt, zum täglichen Geschäftsschluss 8% nicht unterschreiten darf.

Zur Ermittlung der gewichteten Risikoaktiva gibt das Gesetz sechs verschiedene Bonitätsklassen vor und weist den unterschiedlichen Forderungen jeweils ein Bonitätsgewicht zu. Dabei erhalten die Kredite je nach Besicherung sowie nach Art der Kreditnehmer Bonitätsgewichte (BG) in Höhe von 0, 10, 20, 50, 70 oder 100%. Die Eigenkapitalanforderung des einzelnen Kredits ergibt sich durch Formel .^[1]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die derzeitige Regelung im Sinne des §10 KWG wird zuweilen heftig kritisiert, da die Einteilung der Bonitätsklassen sich nicht an der Bonität des kreditsuchenden Unternehmens orientiert. Dies bedeutet, dass Kreditinstitute bisher für äußerst riskante sowie für sehr solide Kreditengagements bei gleicher Kredithöhe, gleichen Sicherheiten und gleicher Kreditnehmerklasse im Betrag identische Eigenmittel zu hinterlegen haben. Dadurch besteht die Gefahr, dass Banken mit einer Vielzahl von hochgradig ausfallbedrohten Schuldnern über zu wenige Eigenmittel verfügen, um Einleger im Krisenfall schadlos zu halten.

Um diesen Mangel und viele weitere zumindest ansatzweise zu bereinigen, hat der Basler Ausschuss für Bankenaufsicht Vorschläge zur gerechteren Bestimmung der Eigenmittel in Form der Neuen Basler Eigenkapitalvereinbarung (Basel II) unterbreitet.

2.2 Darstellung der Neuen Basler Eigenkapitalvereinbarung

2.2.1 Aufbau

Die vom Basler Ausschuss für Bankenaufsicht vorgelegte Neuregelung der Eigenkapitalunterlegungspflicht basiert auf drei sich gegenseitig ergänzenden Säulen: Die Mindesteigenkapitalanforderung, das Überprüfungsverfahren der Aufsichtsbehörde sowie die Förderung der Marktdisziplin. Die Mindesteigenkapitalanforderung sieht hierbei wie bisher vor, dass der Kapitalkoeffizient, auch auf konsolidierter Basis bei Bankkonzernen, mindestens 8 Prozent betragen muss.^[2]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Ermittlung der einzelnen Komponenten schlägt der Ausschuss unterschiedliche Verfahren vor.

Dabei kann das Kreditrisiko entweder durch die Standardmethode ermittelt werden, bei der im Gegensatz zur bisher geltenden gesetzlichen Regelung den einzelnen Krediten Risikogewichte zugeordnet werden, oder das Institut verwendet einen auf internen Ratings basierenden Ansatz (IRB-Ansatz). Letztgenannter Ansatz kann für Nicht-Privatkundenkredite sowohl in der Basisversion (IRB-Basisansatz) angewendet werden, als auch, bei Erfüllung noch strengerer Zulassungsvorschriften, als sie bereits im Basisansatz verlangt werden, in der fortgeschrittenen Version (IRB-Fortgeschrittenenansatz).

Das Marktrisiko kann wie bisher entweder durch die Standardmethode oder durch interne Modelle quantifiziert werden. Um das operationelle Risiko zu messen, sollen der Basisindikatoransatz, die Standardmethode, der fortgeschrittene Mess-Ansatz (Advanced Measurement Approach) sowie interne Messverfahren verwendet werden dürfen.

Das Überprüfungsverfahren der Aufsichtsbehörde als zweite Säule soll sicherstellen, dass alle von den Banken eingesetzten Methoden das zu hinterlegende Eigenkapital risikoadäquat bestimmen. Dabei ist es vorgesehen, den Prüfern, im Falle von nicht angemessenen internen Verfahren, auch weitgehende Eingriffsmöglichkeiten zu ermöglichen.

Die letzte Säule, welche vom Ausschuss mit Marktdisziplin gleichgesetzt wird, soll mit erweiterten Offenlegungspflichten den Marktteilnehmern die Einschätzung der von Kreditinstituten eingegangenen Risiken ermöglichen. Dabei wird erwartet, dass auch die angewandten Methoden der Risikoquantifizierung an die Öffentlichkeit weitergegeben werden.^[3]

Die weiteren Ausführungen in Abschnitt 2 beziehen sich ausschließlich auf das Risiko, welches entsteht, falls Unternehmen Kredite gewährt werden.

2.2.2 Standardansatz

Das zu hinterlegende Eigenkapital für den einzelnen unbesicherten Kredit bemisst sich sowohl im Standansatz als auch in den beiden IRB-Ansätzen durch das Produkt aus gewichtetem Risikoaktiva und Solvabilitätskoeffizient. Der Solvabilitätskoeffizient beträgt 8%. Das Risikoaktiva ergibt sich aus der effektiven Kredithöhe bei Ausfall (Exposure at default, EAD) und Risikogewicht. Bei Bilanzpositionen entspricht EAD dem Buchwert der Forderung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die Höhe der Eigenmittel nach der Standardmethode zu bestimmen, benötigt das Kreditinstitut Bonitätseinschätzungen von Ratingagenturen für die einzelnen Kreditnehmer. Je nach Bonitätsurteil werden jeder Forderung Risikogewichte, die vom Ausschuss entsprechend Tabelle 2-1 vorgegeben werden, zugewiesen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2-1^[4]: Risikogewichte im Standardansatz

Der Kapitalunterlegungsbetrag des einzelnen unbesicherten Kredits ergibt sich durch .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Möglichkeiten der Risikominderung

Falls der Kreditnehmer anerkannte Sicherheiten zur Verfügung stellt, etwa Bargeld, Gold oder an Börsen gehandelte Investmentzertifikate, so wird dies bei der Berechnung des Unterlegungskapitals berücksichtigt. Zunächst muss hierbei der aktuelle Wert der hereingenommenen Sicherheit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um Haircuts bzw. Sicherheitsmargensätze vermindert werden. Der bereinigte Wert der Sicherheit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich aus .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Haircut für den Kredit, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für die hereingenommene Sicherheit sowie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für eine Währungsinkongruenz.

Die prozentuale Abschlagshöhe richtet sich hier nach dem Rating sowie der Laufzeit der Sicherheiten. Nähere Angaben dazu sind in Tabelle 2-2 aufgeführt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2-2^[5]: Standardabschläge von anerkannten Sicherheiten

Die vom Ausschuss vorgegebenen Haircuts sind auf eine Haltedauer von zehn Tagen unter der Annahme täglicher Neubewertung sowie täglicher Nachschussverpflichtung kalibriert. Wird die Nachschussverpflichtung nicht täglich ermittelt, so erhöht sich der Standard-Haircut [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gemäß Formel .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei bezeichnet [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Anzahl der Tage zwischen den Nachschussverpflichtungen.

Auch von täglicher Neubewertung abweichende Vorgehen führen zu einer Modifikation der Haircuts.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] steht hier für die Anzahl der Tage zwischen den Neubewertungen.

Kreditinstituten ist es außerdem gestattet, sofern sie die Mindestanforderungen erfüllen, nicht die aufgeführten Standard Haircuts zu verwenden, sondern intern ermittelte Abschläge einzusetzen. Im letztgenannten Fall müssen dann jedoch alle Parameter, die in internen Verfahren ermittelt werden dürfen, auch tatsächlich selbst berechnet werden.

Der Kreditbetrag, welcher durch bereinigte Sicherheiten gedeckt ist, wird in der Folge entweder von der Eigenkapitalhinterlegungspflicht vollkommen befreit, weil Wertminderungen hier äußerst unwahrscheinlich sind, (etwa bei inländischen Staatsanleihen), oder das Risikogewicht des Kredits reduziert sich auf 15 Prozent des ursprünglichen Wertes, weil Restrisiken nicht auszuschließen sind. Die zulässige Reduktion der ursprünglichen Risikogewichte äußert sich durch den so genannten „w-Faktor“. Der den Sicherheitenwert übersteigende Teil der Kreditforderung wird mit dem gewöhnlichen Risikofaktor berücksichtigt.

Auch Garantien und Kreditderivate, die den Anforderungen des Ausschusses entsprechen, können zu verminderter Eigenkapitalhinterlegungspflicht führen. Der abgesicherte Teil des Kredits erhält dabei ein modifiziertes Risikogewicht [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], das sich durch Formel berechnen lässt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit dem Risikogewicht des Schuldners [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sowie dem Risikogewicht des Gläubigers [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und dem Restrisikofaktor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dabei gilt für alle anerkannten Kreditderivative ein [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in Höhe von 0,15. Garantien von Staaten, Zentralbanken oder Banken erhalten ein [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] von 0, sonstige anerkannte Garantien ein [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] von 0,15. Lautet die Garantie bzw. das Kreditderivat auf eine fremde Währung, so vermindert sich der abgesicherte Betrag [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch Anwendung eines Haircuts [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Unterscheidet sich die Laufzeit der Absicherung von der Laufzeit der Kreditforderung, so ist eine Verminderung der Risikogewichte dennoch möglich. Übersteigt die Restlaufzeit der Sicherheit ein Jahr, so ergibt sich ein angepasstes Risikogewicht [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch Formel .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Restlaufzeit der Absicherung, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Restlaufzeit des Kredits, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Risikogewicht, wenn die Position zeitlich vollständig abgesichert wäre, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Risikogewicht der unbesicherten Position.

Beträgt die Restlaufzeit der Sicherheit weniger als ein Jahr, so kann dies nicht zu einer Verminderung des Risikogewichts führen.^[6]

2.2.3 IRB-Basisansatz

Kreditinstitute, welche zusätzliche Mindestanforderungen erfüllen, haben die Möglichkeit, ihren Eigenkapitalbedarf durch den IRB-Basisansatz zu ermitteln. Im Unterschied zum Standardansatz ermitteln Banken hier die einjährigen Ausfallwahrscheinlichkeiten von Kreditnehmern jedoch selbst. Dabei werden zur Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeiten historische Zeitreihen gefordert, die einen Zeitraum von mindestens fünf Jahren umfassen. Anschließend werden die Schuldner, je nach PD, in Ratingklassen eingeteilt. Alle anderen Parameter, die für die Ermittlung der Eigenkapitalhinterlegungspflicht relevant sind, werden von der Bankenaufsicht vorgegeben. Dazu gehören neben der durchschnittlichen Restlaufzeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Effective Maturity) der Kredite, auch die Verlusthöhe unter der Bedingung eines Kreditausfalls (Loss given default, LGD), sowie die Höhe der betroffenen Kreditforderungen zum Zeitpunkt des Ausfalls (Exposure at default, EAD). EAD entspricht bei Bilanzpositionen dem Buchwert der Forderungen.

Die Vorgehensweise, um das erforderliche Eigenkapital zu ermitteln, beginnt zunächst damit, dass die Vermögens-Korrelation festgelegt wird. Dabei folgt man der Ansicht, dass im Falle von sehr geringen PD-Werten die Korrelation 0,2 beträgt. Im Fall von hoher Ausfallwahrscheinlichkeit wird sie auf 0,1 gesetzt. Um die Korrelation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] in Abhängigkeit von PD konkret bestimmen zu können, gibt der Ausschuss konkret folgende Funktion vor:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiter gilt es, den Fälligkeitsfaktor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Maturity factor) anhand Formel zu ermitteln.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um nun den erforderlichen Eigenkapitalbetrag festzulegen, schlägt der Ausschuss Formel vor. Dabei unterstellt er im IRB-Basisansatz einen LGD in Höhe von 50 %. Die durchschnittliche Restlaufzeit wird mit 3 Jahren angenommen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei wird mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung und mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] deren Umkehrfunktion bezeichnet. Obwohl die Restlaufzeit in letztgenannter Formel nicht offensichtlich erscheint, wurde sie dennoch zur Kalibrierung der Funktion berücksichtigt.

In Abhängigkeit von der Ausfallwahrscheinlichkeit stellen sich die Risikogewichte in Abhängigkeit von der Ausfallwahrscheinlichkeit gemäß Abbildung 2-1 ein.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Error! Not a valid link.

Abbildung 2-1: Risikogewichte in Abhängigkeit von der PD

Dabei entspricht ein Risikogewicht in Höhe von 100% einer PD von 1,0%. Zu beachten ist, dass die Ein-Jahres-PD im IRB-Basisansatz mit einem Mindestwert von 0,03% angesetzt wird.

Möglichkeiten der Risikominderung

Garantien und Kreditderivate führen im IRB-Basisansatz, wie auch im Standardansatz, zu einer modifizierten Ausfallwahrscheinlichkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für den besicherten Anteil der Forderung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist hierbei die Ausfallwahrscheinlichkeit des Schuldners, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] jene des Sicherungsgebers. Der [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-Faktor nimmt meist den Wert 0,15 an, bei qualitativ hochwertigen Sicherungen auch den Wert 0.

Entspricht die Laufzeit der Sicherheit nicht jener des Kredits, so handelt es sich um eine Restlaufzeitinkongruenz. Sicherheiten, deren Laufzeit weniger als ein Jahr beträgt, und nicht mit der Laufzeit des Kredits übereinstimmt, werden nicht berücksichtigt. Bei Sicherheiten mit einer Laufzeit von mehr als einem Jahr, jedoch weniger als der Restlaufzeit des Kredites, wird die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] modifiziert zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei bezeichnet [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Restlaufzeit des Sicherungsgeschäfts sowie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Restlaufzeit des Kredites.

Um den LGD unter Berücksichtigung von Sicherheiten zu ermitteln, wird folgendes Vorgehen vorgeschlagen: Krediten ohne anerkannte Besicherung wird ein LGD in Höhe von 50 % zugewiesen, nachrangigen Forderungen an Unternehmen, Staaten und Banken ein LGD von 75 %. Liegen anerkannte Sicherheiten vor, so unterscheidet der Ausschuss zwischen finanziellen und physischen Sicherheiten. Der LGD bei finanziellen Sicherheiten ergibt sich wie folgt:

Zunächst ist dabei der Wert der bereinigten finanziellen Sicherheit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu ermitteln:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Bereinigungsfaktor für die hereingenommene Sicherheit, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen Wertschwankungen des hereingenommenen Kredits und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegen Währungsinkongruenz. Konkret ergeben sich die prozentualen Abschläge anhand von Tabelle 2-2. Die Werte dürfen jedoch nur dann unverändert übernommen werden, wenn die Neubewertung und die Nachschusspflicht der Sicherheit täglich erfolgt. Ansonsten sind die Modifikationen gemäß Formel bzw. durchzuführen.

Falls [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], so

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Höhe der Haircuts kann auch bei Anwendung des IRB-Ansatzes entweder aus Tabelle 2-2 entnommen werden, oder das Kreditinstitut ermittelt die Volatilität der Sicherheiten mit eigenen Verfahren und bemisst die Abschläge entsprechend dieser Schätzungen.

Auch wenn physische Sicherheiten gestellt werden, etwa gewerbliche Immobilien (Commercial Real Estates, CRE) oder Wohnimmobilien (Residental Real Estates, RRE), kann dadurch eine Verminderung von LGD erreicht werden. Dabei sind drei Fälle zu unterscheiden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Werden der Bank zur Absicherung von Krediten sowohl physische als auch finanzielle Sicherheiten angeboten, so handelt es sich dabei um einen Sicherheitenpool. Der LGD kann hier nur über Umwege errechnet werden. Zunächst ist der Kreditbetrag in zwei Teile aufgespalten, von denen ein Teil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ausschließlich mit physischen Sicherheiten besichert ist und ein Teil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ausschließlich mit finanziellen Sicherheiten. Schließlich ist der um Haircuts bereinigte Wert der finanziellen Sicherheit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu ermitteln und vom Gesamtkreditbetrag zu subtrahieren [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Das dem Betrag [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zugeordnete [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beträgt in der Folge [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Der Restgröße [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird ein [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zugewiesen, der vom Verhältnis [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] abhängt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der gesamte LGD wird in der Folge als gewichtetes Mittel berechnet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Andere physische Sicherheiten, die nicht CRE oder RRE sind, erhalten ein LGD in Höhe von 50%. Garantien und Kreditderivative werden entsprechend dem Standardansatz behandelt.^{[7] [8]}

2.2.4 IRB-Fortgeschrittenenansatz

Der fortgeschrittene IRB-Ansatz ist dadurch gekennzeichnet, dass hier neben der Ausfallwahrscheinlichkeit auch die Parameter LGD sowie EAD anhand von historischen Datensätzen des Kreditinstituts selbst ermittelt werden. Auch die Restlaufzeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] muss von den Banken geschätzt werden. Dabei werden Laufzeiten mit einer Dauer von 1 bis 7 Jahren mit ihrer tatsächlichen Laufzeit angesetzt. Ist die Laufzeit jedoch höher, so wird hier pauschal eine Restlaufzeit von 7 Jahren verwendet. Der zu hinterlegende Kapitalbetrag wird wie im IRB-Basisansatz Anhand Formel ermittelt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Stellt der Schuldner Sicherheiten, Garantien oder Kreditderivate zur Risikominderung zur Verfügung, so können diese, je nach eingesetztem Verfahren des Kreditinstituts, zu einer unterschiedlich starken Verminderung des LGD führen. Dabei ist es jedoch nicht zugelassen, dass dem besicherten Kredit ein Rating zugewiesen wird, das besser ist als das Rating des Kreditnehmers oder des Sicherungsgebers.

Restlaufzeitinkongruenzen werden wie im IRB-Basisansatz behandelt. LGD-Schätzungen können im fortgeschrittenen IRB-Ansatz nur dann intern vorgenommen werden, wenn strenge Richtlinien eingehalten werden. Ansonsten müssen die Verfahren des IRB-Basisansatzes übernommen werden.

Die Schätzung der Restlaufzeit bei Krediten mit festgesetztem Tilgungsplan entspricht dem gewichteten Durchschnitt der restlichen Tilgungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als der vertraglich fällige Tilgungsbetrag im Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].^[9]

2.3 Anforderungen an Rating Modelle nach Basel II

2.3.1 Aufsichtsrechtliche Anforderungen an die IRB-Ansätze

Damit interne Ratingmodelle von der Bankenaufsicht anerkannt werden, haben Kreditinstitute eine Vielzahl von Mindeststandards zu beachten. Grundlegend sind dabei nachfolgende Anforderungen:

- Differenzierung des Kreditrisikos muss angemessene erscheinen
- Ratingzuordnung muss vollständig und glaubwürdig sein
- Rating hat von unabhängiger Stelle überprüft zu werden
- Ratings sollten nach Erscheinen neuer Unternehmensinformationen innerhalb von 90 Tagen, bei Kreditnehmern mit schlechten Ratings, innerhalb von 30 Tagen aktualisiert werden
- Fehlerfreier Ablauf des Rating muss durch Management überwacht werden
- Zuverlässigkeit der verwendeten Verfahren ist zu überprüfen
- Qualifikation von Mitarbeitern ist durch Schulungen sicherzustellen
- Kalibrierung der Modelle zur PD-Schätzung muss sichergestellt sein
- Überprüfung der PD-Schätzungen hat jährlich zu erfolgen
- Für die bankaufsichtliche Berichterstattung sind Rating-relevante Daten zu archivieren
- Stresstests sowie interner Validierungsmethoden sind durchzuführen

Der Katalog an Anforderungen kann hier nur in den Grundzügen dargestellt werden. Es existieren noch zahlreiche weitere Anforderungen, auf die jedoch nicht weiter eingegangen wird.^[10]

2.3.2 Voraussetzungen für die Zulassung des fortgeschrittenen IRB-Ansatzes

Die zusätzlichen Bedingungen beziehen sich vor allem auf die Ermittlung von LGD, EAD sowie Garantien und Kreditderivate.

- Es ist sicherzustellen, dass mehrere unterschiedliche LGD-Klassen eingerichtet sind
- Historische Zeitreihen zur Ermittlung des LGD dürfen nicht kürzer als 7 Jahre sein
- Im Optimum sollte ein kompletter Konjunkturzyklus von der Zeitreihe abgedeckt sein
- Glaubwürdigkeit und Überwachung der LGD-Schätzungen muss gewährleistet sein
- Internen Validierungsverfahren sowie Offenlegungspflichten sind zu beachten
- EAD-Schätzungen müssen anhand von mindestens 7-jährigen Zeitreihen ermittelt werden
- Verpflichtung zur Dokumentation von Sicherheiten, falls diese für eine Minderung von LGD verwendet werden

Weitere Anforderungen gelten fast ausschließlich im Fall von außerbilanziellen Positionen.

Auch hier sind nur die als grundlegend angesehenen Voraussetzungen angeführt. Daneben existieren noch zahlreiche weitere Anforderungen.^[11]

3. Ausgewählte Statistische Verfahren zur Ermittlung der schuldnerspezifischen PD

3.1 Logitmodell

3.1.1 Logit-Modelle mit linearen und nichtlinearen Einflussfaktoren

3.1.1.1 Logit-Modellierung mit linearen Einflussfaktoren

Die Logit-Modellierung stellt ein Verfahren der kategorialen Analyse dar und versucht, den Zusammenhang zwischen einer dichotomen Zielvariablen und den als relevant erachteten Einflussfaktoren herzustellen. Im binären Fall nimmt der reale Zustand der zu prognostizierenden Variablen lediglich zwei Zustände an. Entsprechend den zu untersuchenden Daten wird dabei angenommen, dass der Kreditnehmer seine vertraglichen Verpflichtungen entweder erfüllt, oder dass er die Leistung nicht erbringt. Dabei werden die unterschiedlichen Zustände im Folgenden gemäß kodiert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ziel der Modellierung ist es, jedem Kreditnehmer eine individuelle Ausfallwahrscheinlichkeit zuzuweisen. Dazu können beispielsweise schuldnerspezifische oder auch makroökonomische Erklärungsfaktoren in das Modell integriert werden. Diese Inputs werden durch den Vektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zusammengefasst.

Bei der Darstellung des Logit-Modells sind verschiedene, einander gleichwertige, Schreibweisen möglich. Der Zusammenhang zwischen Ausfallwahrscheinlichkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und Inputvektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] hat folgende Form:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Prädiktor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist dabei in den Parametern linear.

Der Verlauf der logistischen Funktion stellt sich in Abhängigkeit von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gemäß Abbildung 3-1 dar.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Error! Not a valid link.

Abbildung 3-1: Logistische Verteilungsfunktion

Die Schätzung der Parameter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erfolgt durch die Maximierung der (binomialen) Likelihood-Funktion anhand von iterativen Verfahren.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund der leichteren Handhabung wird anstatt 1.24 häufig die logarithmierte Likelihood-Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verwendet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ausgehend von Formel sind die durch Formel bzw. ermittelten Schätzer für die Parameter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] nur in ihrer Wirkungsrichtung zu interpretieren. Es kann gefolgert werden, dass ein positiver Parameterwert [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] den Anstieg der Ausfallwahrscheinlichkeit zur Folge hat, falls sich die dazugehörige Inputvariable [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhöht. Umgekehrt sinkt die Ausfallwahrscheinlichkeit bei negativem Parametervorzeichen[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wenn sich die Einflussgröße [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhöht.

Die Formel kann umgeformt werden, so dass sich die in Formel sowie dargestellten Zusammenhänge ergeben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei zeigt Formel auf ihrer linken Seite das Verhältnis von Ausfallwahrscheinlichkeit zur Nichtausfallwahrscheinlichkeit. Dieser Quotient wird – obwohl dies im vorliegenden Fall wohl eher unpassend erscheint – als Chance bezeichnet.

Durch Ausdruck wird deutlich, dass sich das Chancenverhältnis um den Faktor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verändert, falls [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um eine Einheit zunimmt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Logarithmiert man dieses Verhältnis, so resultieren daraus die „Logits“ gemäß Formel bzw. Formel . Diese werden in Abbildung 3-2 in Abhängigkeit von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Parameterinterpretation anhand Formel bzw. Formel zeigt, dass sich das logarithmierte Chancenverhältnis um den konstanten Betrag [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erhöht, falls [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um eine Einheit zunimmt. Wie sich die Wahrscheinlichkeiten selbst verändern, hängt hier jedoch vom Ausgangsniveau der Inputvariablen ab.^[12]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Error! Not a valid link.

Abbildung 3-2: Logarithmierte Chancen

3.1.1.2 Nichtlineare Logit-Modellierung

Bisher wurde der Zusammenhang zwischen prognostizierter Wahrscheinlichkeit und Inputvariablen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als monoton angenommen. Dies ist jedoch nicht unbedingt der Fall. Gehen die Variablen nicht in linearer Form in das Modell ein, so kann daraus ein nichtmonotoner Zusammenhang resultieren. Konkret können dazu Polynome n-ter Ordnung verwendet werden. Ein einfacher Fall der nichtmonotonen Logit-Modellierung ist beispielsweise erreichbar durch Ausdruck .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sobald die Parameter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sich in ihrem Vorzeichen unterscheiden, kommt es zu einem nicht monotonen Verlauf der Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dabei gilt weiterhin, dass der Einflussterm in den Parametern linear ist. Ein nichtmonotoner Funktionsverlauf kann dazu führen, dass eine verbesserte Modellanpassung erreicht wird.^[13]

3.1.1.3 Konzepte zur Erfassung Kategorialer Variablen

Sollen in das Logit-Modell neben metrischen Variablen auch qualitative Merkmale eingehen, so kann dies entweder durch die Dummy-Kodierung als auch durch die Effekt-Kodierung realisiert werden.

Kann eine kategoriale Einflussgröße [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] unterschiedliche Zustände annehmen, so sind für deren Operationalisierung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zusätzliche Variablen in das Modell aufzunehmen. Jede davon steht dabei für eine mögliche Zustandsausprägung. Der nicht durch eine Variable ausgedrückte, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-te Zustand, wird als Referenzkategorie bezeichnet. Die Kodierung der einzelnen Variablen anhand er Dummy-Kodierung erfolgt gemäß .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Alternativ besteht die Möglichkeit, kategoriale Variablen in Effekt-Kodierung darzustellen. Dabei hat die Kodierung folgendes Aussehen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In diesem Schema wird die Referenzkategorie mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bezeichnet.^[14]

3.1.2 Nichtparametrische Logit-Modellierung

3.1.2.1 Überblick

Die bisher vorgestellten Methoden der Logit-Modellierung haben unterstellt, dass die Parameter [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf Grundlage des gesamten Wertebereichs der Variablen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ermittelt wurden und über den Wertebereich stets konstant bleiben. Die lokale Regression hingegen verwendet zur Parameterbestimmung ausschließlich Beobachtungen, die sich im Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] um den Zielpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] befinden. Wird der Zielpunkt entlang des Wertebereichs verschoben, so resultieren daraus so viele Parameterschätzungen wie Zielpunkte verwendet wurden. Durch geeignete Wahl der extern vorgegebenen Intervallbreite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sind Modelle mit verbesserter Anpassungsfähigkeit möglich.

Im univariaten Fall wird die Parameterschätzung für die einzelnen Zielpunkte durch iterative Maximierung der lokalen Log-Likelihoodfunktion gemäß durchgeführt und unterscheidet sich von der globalen Log-Likelihoodfunktion durch eine Gewichtsfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], welche die Einflussstärke von Beobachtungen in Abhängigkeit von ihrer Distanz zum Zielpunkt kontrolliert. Allgemein übliche Gewichtsfunktionen werden im nächsten Abschnitt dargestellt.^[15]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.1.2.2 Darstellstellung einiger univariater Kernfunktionen

Es sei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine symmetrische Dichtefunktion mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sowie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Funktion der Gewichte bestimmt sich dann anhand von mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als Glättungsparameter.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3.1 gibt einen Einblick in gebräuchliche Kernfunktionen mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die graphische Darstellung der Kernfunktionen findet sich im Anhang wieder.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 3-1: Gebräuchliche Kernfunktionen^{[16] [17]}

3.1.2.3 Wahl der Glättungsparameter

Der Wahl der Bandbreite [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kommt bei Modellierung eine wesentliche Bedeutung zu. Dabei bedingen hohe Werte eine starke Glättung, niedrige Werte dagegen können starke Ausschläge im Kurvenverlauf verursachen.

Für die geeignete Wahl von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] existieren verschiedene Verfahren. Orientiert man sich etwa an einer Faustregel, welche den mittleren quadratischen Fehler als Bezugsgröße erfasst, so ergibt sich [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] beispielsweise für den Gauß-Kern mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als empirischer Standardabweichung sowie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]als empirischer Interquartilsabstand anhand Formel .^[18]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weiterhin können Methoden der Kreuzvalidierung sowie der Risiko-Schätzung zur optimalen Wahl von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] verwendet werden. Alternativ dazu existiert der Plug-In-Ansatz, auf den nicht näher eingegangen wird.

3.2 Diskrete Hazardratenmodelle

3.2.1 Überblick

Um zu ermitteln, wie viel Zeit es bedarf, damit eine Untersuchungseinheit den zu Beginn der Beobachtung vorherrschenden Zustand verlässt, können Hazardratenmodelle verwendet werden. Die vorliegende Untersuchung konzentriert sich hier vor allem auf den Zeitraum, der verstreicht, bis ein ursprünglich solventer zu einem insolventen Kreditnehmer wird. Dabei werden Übergänge annahmegemäß nur zu diskreten Zeitpunkten zugelassen. Außerdem wird vorausgesetzt, dass pro Untersuchungseinheit lediglich ein Zustandswechsel möglich ist. Ein ausgefallener Kreditnehmer kann unter diesen Annahmen nicht mehr in den Zustand des solventen Kunden zurückkehren. Ferner geht man davon aus, dass linkszensierte Daten, sprich Ereignisse, welche vor Erhebungsbeginn aufgetreten sind und somit nicht in der Untersuchung erscheinen, sich in der Gegenwart nicht mehr auf den Untersuchungsgegenstand auswirken.

Dabei nimmt man an, dass die gesamte zur Verfügung stehende Beobachtungszeit gemäß in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Intervalle mit der Bezeichnung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zerlegt wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bezeichnet die Zufallsvariable [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Verweildauer, sowie der Vektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die zeitunabhängigen Prognosevariablen, so ist die Hazardrate gegeben durch Formel . Dabei wird ein Zustandswechsel im Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch den Ausdruck [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gekennzeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Verbalisiert entspricht Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit, dass ein Kreditnehmer mit dem Merkmalsvektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] insolvent wird, unter der Bedingung, dass der Kreditnehmer bisher solvent war.

Um nun konkret die Hazardrate, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass ein solventes Unternehmen in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] insolvent wird, wenn es diesen Zeitpunkt erreicht, in Abhängigkeit von den Kovariablen bestimmen zu können, gilt es, unter Annahme eines logistischen Ansatzes, den Ausdruck in seinen Parametern zu bestimmen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die unbedingte Wahrscheinlichkeit, dass der Kreditnehmer den Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ohne Abgleiten in die Insolvenz übersteht, ergibt sich durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Soll ermittelt werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Kunde den Endzustand [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] erreicht, ohne dabei auszufallen, so ist hier Formel anzuwenden.^[19]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2.2 Sterbetafel

Ein häufig angewandtes Verfahren zur Untersuchung von Verweildauern stellt die Methode der Sterbetafel dar. Dieses Verfahren ist dadurch gekennzeichnet, dass hier exogene Merkmale keinen direkten Einfluss für die Ermittlung der Überlebenszeiten haben. Die Bedeutung der unbeachteten Faktoren wird erst sichtbar, wenn die beobachteten Objekte anhand dieser vermeintlich relevanten Faktoren gruppiert werden, und schließlich die Überlebenszeit der Teilpopulationen verglichen wird.

Auch hier wird der Beobachtungszeitraum in [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Intervalle [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] unterteilt. In diesem Fall beträgt die Hazardrate für das [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-te Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wie in Formel dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird das [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-te Zeitintervall erreicht, so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dieses auch zu überleben [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die absolute Überlebenswahrscheinlichkeit beträgt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus diesen Beziehungen folgt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Aufgrund Formel ergibt sich für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der in Formel gezeigte Zusammenhang.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Ermittlung der Schätzwerte für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kann anhand von erfolgen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im folgenden bezeichnet [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Anzahl der Unternehmen am Anfang der Erhebung, [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Häufigkeit der Ausfälle im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-ten Intervall sowie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Anzahl an Unternehmen, die am Anfang von Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] als solvent gelten, bei denen jedoch deren Zustand am Ende des Intervalls nicht bekannt ist (Rechtszensierte Beobachtungen).

Da [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], folgt für die Zahl der relevanten Beobachtungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-ten Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um einer möglichen Unterschätzung der Hazardrate vorzubeugen, falls [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist, wird eine Anpassung der Risikomenge vorgenommen. Diese ist nicht mathematisch fundiert, sondern erfährt seine Berechtigung aufgrund vernünftig erscheinender Überlegungen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weitere Elemente einer Sterbetafel können etwa die mittlere Hazardfunktion im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-ten Intervall oder auch die Sterbewahrscheinlichkeit im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-ten Intervall je Zeiteinheit sein.

Werden die beschriebenen Parameter für jedes Intervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ermittelt und in tabellarischer Form dokumentiert, so resultiert daraus eine klassische Sterbetafel.^{[20] [21]}

3.2.3 Hazardratenmodelle mit zeitabhängigen Kovariablen

Nimmt man an, dass manche Kovariablen von der Zeit abhängig sind, wie etwa das Alter einer Untersuchungsperson bei Erhebungsbeginn, so bestehen hier unterschiedliche Verfahren, diese in das Modell zu integrieren.

Zunächst wird davon ausgegangen, dass auch die zeitabhängigen Kovariablen ihren Einfluss auf die Hazardrate in der Form einer Linearkombination ausüben.

Der Kovariablenpfad sei gegeben durch mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] , wobei [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die aufeinander folgenden Zeitintervalle bezeichnet. Der dazugehörige Parametervektor wird durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gekennzeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Des weiteren sei der Gesamtvektor zum Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gegeben durch .

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei folgt man der Annahme, dass sich die zeitabhängigen Kovariablen durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf die Hazardrate auswirken. Es wird dabei ersichtlich, dass sich der gesamte Kovariablenvektor der Vergangenheit auf die Hazardrate im [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]-ten Intervall auswirkt.

Für den Sonderfall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] kann der Einfluss der zeitabhängigen Kovariablen durch dargestellt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Falls [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] wird [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf den Wert 0 gesetzt. Diese Modellierungsweise ermöglicht die Abbildung von Time-Lags. Der Einfluss, den die Kovariablen auf die Hazardrate im Zeitintervall [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ausüben, wird durch Gleichung wiedergegeben.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei wird deutlich, dass nicht der Zeitpunkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] an sich Einfluss auf die Hazardrate hat, sondern hier ausschließlich die Distanz zum relevanten Zeitpunkt von Bedeutung ist.

Legt man über die bisherigen Annahmen für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die Bedingung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] fest, so beschränkt sich der Einfluss der Kovariablenwerte auf den aktuellen Betrachtungszeitraum. Die Auswirkungen folgen dabei der Beziehung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Die Hazardrate stellt sich bei vorhandenen zeitabhängigen Kovariablen gemäß Gleichung dar.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für den Fall des logistischen Modells kann die Hazardrate anhand ermittelt werden.^[22]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.3 Diskriminanzanalytische Verfahren

3.3.1 Parametrische Diskriminanzanalyse

3.3.1.1 Einführung

Aufgabe der Diskriminanzanalyse ist es, ein aus der Grundgesamtheit entnommenes, beliebiges Objekt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], anhand des Merkmalsvektors [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], in seiner Klassenzugehörigkeit korrekt zu bestimmen. Dabei soll hier, in Anlehnung an den vorliegenden Datensatz, die Grundgesamtheit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] aus den [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], sich gegenseitig ausschließenden Klassen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (solvente Kreditnehmer) sowie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten](nicht solvente Kreditnehmer) bestehen. Im folgenden bezeichne [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die wahre Klassenzugehörigkeit des betrachteten Objekts, sowie [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] die getroffene Zuordnungsentscheidung.

Um Aussagen darüber machen zu können, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Objekt mit dazugehörigem Merkmalsvektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der Klasse [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] angehört, gilt es zunächst die a posteriori-Wahrscheinlichkeit anhand des Satzes von Bayes gemäß Formel zu ermitteln.

[...]

---

^[1] Vgl. Deutsche Bundesbank Monatsbericht Januar 2001, S.41-54.

^[2] Vgl. Deutsche Bundesbank Monatsbericht April 2001, S. 17.

^[3] Vgl. Grunert, J., Kleff, V., Norden, L., Weber, M.: Mittelstand und Basel II: Zwischen Mythos und Wahrheit, S. 5-6.

^[4] Vgl. Deutsche Bundesbank Monatsbericht April 2001, S. 20

^[5] Vgl. Deutsche Bundesbank Monatsbericht April 2001, S. 23

^[6] Vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht: Die Neue Basler Eigenkapitalvereinbarung, Konsultationspapier, S. 7-34.

^[7] Vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht: Die Neue Basler Eigenkapitalvereinbarung, Konsultationspapier, S. 34-78.

^[8] Vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht: Potential Modifications to Committee’s Approach, S. 1-6.

^[9] Vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht: Die Neue Basler Eigenkapitalvereinbarung, Konsultationspapier, S. 34-78.

^[10] Vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht: The Internal Ratings-Based Approach, Consultative Document, S. 41-50.

^[11] Vgl. Basler Ausschuss für Bankenaufsicht: The Internal Ratings-Based Approach, Consultative Document, S. 50-52.

^[12] Vgl. Tutz: Die Analyse kategorialer Daten, S. 32-40.

^[13] Vgl. Tutz: Die Analyse kategorialer Daten, S. 44-45.

^[14] Vgl. Fahrmeir, L., Hamerle, A., Tutz, G.: Multivariate statistische Verfahren, S. 94.

^[15] Vgl. Tutz: Die Analyse kategorialer Daten, S. 287-291.

^[16] Vgl. Tutz: Die Analyse kategorialer Daten, S. 293

^[17] Vgl. Fahrmeir, L., Hamerle, A., Tutz, G.: Multivariate statistische Verfahren, S. 73-74

^[18] Vgl. Fahrmeir, L., Hamerle, A., Tutz, G.: Multivariate statistische Verfahren, S. 74

^[19] Vgl. Hamerle, A., Tutz, G.: Diskrete Modelle zur Analyse von Verweildauer und Lebenszeiten, S. 7-12, S. 18-20.

^[20] Vgl. Hamerle, A., Tutz, G.: Diskrete Modelle zur Analyse von Verweildauer und Lebenszeiten, S. 22-25.

^[21] Vgl. Vgl. Fahrmeir, L., Hamerle, A., Tutz, G.: Multivariate statistische Verfahren, S. 317-320.

^[22] Vgl. Hamerle, A., Tutz, G.: Diskrete Modelle zur Analyse von Verweildauer und Lebenszeiten, S. 56-60.