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Georg Cantor und sein Unendlichkeitsbegriff. Auseinandersetzung mit Mathematikern und Philosophen des 19. und 20. Jahrhunderts

Bachelorarbeit 2014 32 Seiten

Philosophie - Theoretische (Erkenntnis, Wissenschaft, Logik, Sprache)

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Vorwort
1.1. Vorstellung des Themas
1.2. Übersicht über die Gliederung

2. Das Werk und die Ideen von Georg Cantor
2.1. Historische Übersicht
2.2. Cantors Mengenlehre
2.3. Die aktuale und die potentielle Unendlichkeit
2.4. Auffassungen und Vorstellungen von Gott
2.5. Der Mensch im mathematischen Weltgefüge

3. Cantors Kritiker
3.1. Leopold Kronecker
3.2. Henri Poincaré
3.3. Cantor im Konflikt mit der katholischen Kirche

4. Cantors Befürworter
4.1. Bertrand Russell
4.2. David Hilbert

5. Fazit
5.1. Bedeutung von Cantors Arbeiten
5.2. Wissenschaftliche Aussichten heutzutage

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1. Vorwort

Die vorliegende Bachelor-Thesis soll der Versuch sein, eine Brücke zwischen den Disziplinen Mathematik und Philosophie zu schlagen. Konkret beschäftigt sie sich mit dem Konstrukt der Unendlichkeit bei Georg Cantor, und betrachtet dieses aus unterschiedlichen Blickwinkeln.

1.1. Vorstellung des Themas

Im Folgenden werden die Arbeiten und Gedanken des Mathematikers Georg Cantor über die Unendlichkeit behandelt, insbesondere in mathematischer Hinsicht. Schon aus der Schulmathematik kennt jedermann heutzutage das Symbol der „liegenden 8“: ∞, Aussagen wie Limes geht gegen unendlich und den Ausdruck n+1. Wie lange die Mathematikgeschichte jedoch gebraucht hat und welche Schwierigkeiten und Auseinandersetzungen zwischen Wissenschaftlern, sowohl auf fachlicher als auch auf persönlicher Ebene, erforderlich waren, um zu diesen mittlerweile als trivial aufgefassten Begrifflichkeiten zu gelangen, wird heutzutage gemeinhin eher unterschätzt.

Georg Cantor beschäftigt sich Zeit seines Lebens mit dem Konstrukt der Unendlichkeit, und ist der erste bedeutende Mathematiker, der sich gegen ein seit Jahrhunderten genutztes Konzept wendet. Neben einigen bewundernden Worten bringt dieser Schritt Cantor großen Widerspruch verschiedener Mathematiker ein, welcher sich auf professioneller Ebene, aber teilweise auch auf persönlicher Ebene, zwischen Cantor und seinen Kollegen ausdrückt.

Die Fragestellung dieser Bachelor-Thesis lautet: Wie versteht Georg Cantor die Unendlichkeit, welche Folgen hat seine neue Unendlichkeits-Perspektive in der mathematischen und philosophischen Welt, und welche Reaktionen von Kollegen kommen auf?

Hierbei soll beleuchtet werden, wie Cantor auf sein Prinzip der aktualen Unendlichkeit gestoßen ist, und wie er seine theologischen Ansichten mit seinen mathematischen Ansichten vereinbaren kann. Außerdem wird untersucht, wie er das Aktualunendliche mathematisch und theologisch begründet. Weiterhin soll erläutert werden, auf welche Arten des Widerstandes Cantor mit seinen Ansichten stößt, und inwiefern ihn dies beruflich oder auch privat belastet. Abschließend wird untersucht, wie sein Unendlichkeits-Konzept immer bedeutender wird, und wie wichtig seine Arbeiten aus der heutigen Sicht sind.

1.2. Übersicht über die Gliederung

Um diesem Forschungsanspruch gerecht zu werden, soll nun ein kurzer Überblick über die Gliederung der Arbeit gegeben werden.

So soll in Kapitel 2 damit begonnen werden, wichtige historische Fakten und populäre Stimmen zur Unendlichkeit zu präsentieren, welche die Ausgangssituation von Georg Cantors Überlegungen darstellen. Die Entwicklung seines eigenen Gedankenweges zur Unendlichkeit in der Mathematik und in der menschlichen Welt wird erläutert. Daraufhin werden in Kapitel 3 die stärksten Kritiker und ihre Auswirkungen auf das Werk und Leben Cantors vorgestellt, wohingegen in Kapitel 4 die Befürworter Cantors benannt werden. In Kapitel 5 wird eine Analyse der heutigen Sicht auf das Unendliche durchgeführt, und eine Zusammenfassung aller Ergebnisse aus den vorhergehenden Kapiteln erstellt.

2. Das Werk und die Ideen von Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor wird am 3. März 1845 in Sankt Petersburg geboren und stirbt am 6. Januar 1918 in Halle an der Saale. Er gehört zu den bedeutendsten Mathematikern der späten Neuzeit und der frühen Moderne. Zu seinen Errungenschaften gehören die Entwicklung der Mengenlehre und grundlegende Feststellungen über die Unendlichkeit.

In den folgenden Abschnitten soll seine Konstruktion einer neuen Art der Unendlichkeit aufgezeigt werden. Dazu wird zunächst beleuchtet, wie sich der Unendlichkeitsbegriff in der Historie entwickelt und verändert hat, und in welcher Ausgangsposition sich Cantor mit seinen Ansichten befand. Daraufhin wird seine Mengenlehre vorgestellt. Es wird dann auf die Unterscheidung zwischen aktualer und potentieller Unendlichkeit eingegangen, und Cantors jeweilige Ansichten hierzu in den Mittelpunkt gerückt. Auch seine Auffassungen und Vorstellungen von Gott werden erläutert, bevor der Mensch ins mathematische Gesamtgefüge gestellt wird.

2.1. Historische Übersicht

Dieses Unterkapitel beschäftigt sich mit drei Denkern, welche vor Cantors Zeit schon wichtige Arbeiten rund um die Unendlichkeit geleistet haben. Manchen Aspekten wird Cantor im Zuge seiner Forschung widersprechen, dennoch ist die historische Entwicklung verschiedener Unendlichkeitskonzepte grundlegend und bedeutend für unser heutiges Verständnis der Unendlichkeit.

Geordnet ist dieses Kapitel in chronologischer Reihenfolge, beginnend mit Aristoteles, gefolgt von Immanuel Kant viele Jahrhunderte später, bis abschließend Bernard Bolzano in den Blick genommen wird, welcher wenige Jahre vor Georg Cantor lebt und wirkt.

Der Grieche Aristoteles gilt als einer der einflussreichsten Philosophen, Wissenschaftler und Logiker der Geschichte. Er wird im Jahre 384 v. Chr. in Stageira geboren und stirbt 322 v. Chr. in Chalkis. Eines seiner bekanntesten Werke ist die Physik, welche sich mit zentralen Naturvorgängen beschäftigt. Diese Vorgänge können sowohl unmittelbar erfahrbar sein, wie Raum und Bewegung, oder sich auch unserer direkten Erkenntnis entziehen, beispielsweise die Ursache oder die Unendlichkeit.

Nach Aristoteles gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, sich die Unendlichkeit vorzustellen, einerseits als eine aktuale Unendlichkeit und andererseits als die potentielle Unendlichkeit. Diese Art der Unterscheidung ist historisch gesehen das erste Mal in Aristoteles‘ Werken vorgenommen worden. Hiermit liefert er einen bedeutenden Beitrag für eine jahrhundertelang andauernde Auseinandersetzung (Bedürftig, 2010).

Die aktuale Unendlichkeit ist die Vorstellung, es existiere ein Behältnis oder ein Raum, in dem unendlich viele Elemente jeglicher Art zu finden seien. Diese Menge ist von vornherein abgeschlossen und komplett. Cantor wird dieser Menge später nicht nur das Beinhalten von Zahlen und Funktionen zuteilen, sondern ihr auch jegliche mathematischen Sätze, Regeln und Definitionen als Inhalt zusprechen.[1]

In der potentiellen Unendlichkeit denkt man sich eine Menge, bei welcher potentiell gesehen die Möglichkeit besteht, dieser unendlich viele Objekte hinzuzufügen. Dieses Hinzufügen findet nach gewissen Gesetzmäßigkeiten statt, beispielsweise das einfache Zählen natürlicher Zahlen, wie {1, 2, 3, …}, bei welchem stets 1 addiert wird.

Aristoteles ist ein Vertreter der potentiellen Unendlichkeit, seinen Arbeiten zufolge ist dies die einzig logisch vertretbare Art der Unendlichkeit. Die Vorstellung, dass es eine allumfassende Menge gibt, die jedes auch nur denkbare Element schon umfasst, lehnt Aristoteles ab (Dieter, 2001). Er lässt das Umgehen mit Reihen der natürlichen Zahlen beispielsweise zu, spricht sich aber gegen die Vorstellung der Menge hiervon aus (Bedürftig, 2010). Der Unendlichkeitsbegriff bei Aristoteles ist also rein auf das Umgehen mit sinnlichen Gegenständen bezogen, darüber hinaus gibt es für Aristoteles nichts (Dieter, 2001).

Der deutsche Philosoph Immanuel Kant, der von 1724 bis 1804 lebt, äußert sich ebenfalls zur Unendlichkeit der Welt, und präsentiert hierzu seine Ideen. Um sich Kants Gedanken über die Unendlichkeit zu veranschaulichen, beginnen wir, ähnlich wie bei Aristoteles, mit dem von Kant ausführlich beschriebenen Zählen. Das Zählen bei Kant ist das „allmähliche Hinzufügen des einen zu dem anderen innerhalb einer gegebenen Zeit“ (Kant, 1770). Durch das Erreichen stets höherer Zahlen wird nach und nach eine gewisse Größe erreicht. Irgendwann ist die Größe so enorm, dass sie von unseren Sinneskräften allein nicht mehr veranschaulicht werden kann. Sie wird dann, laut Kant, zu einer Vorstellung.

Die Zahl selbst ist hierbei stets nur ein Konzept für sich und hat nichts mit der Zeit zu tun, lediglich das Zählen findet in der Zeit statt. Nun kann man sich vorstellen, wie man damit immer weiter fortfährt, sprich ins Unendliche eintaucht. Dass im Allgemeinen ein scheinbarer Widerspruch besteht, wenn von Unendlichem die Rede ist, greift Kant in der De mundi senibilis auf. Hier spricht er davon, dass, wenn man sich das Unendliche als etwas vorstellt, worüber hinaus es nichts Größeres gäbe, dann ist automatisch das Unendliche gleichgesetzt mit einem Maximum. Dies widerspricht der Annahme, dass eine größte Menge aber unmöglich zu erreichen ist. Das Unendliche ist vielmehr das Verhältnis zu Dingen der Betrachtung, also zum Beispiel zu Zahlen (Marcus, 1927).

Das Unendliche kann niemals erreicht werden, als Verhältnis betrachtet bleibt sie immer dasselbe: „Der wahre (transzendentale) Begriff der Unendlichkeit ist: daß die sukzessive Synthesis der Einheit in Durchmessung eines Quantum niemals vollendet sein kann“ (Kant, 1966).

Kant kommt nun auf seine Erkenntnis über Raum und Zeit zu sprechen. Er sagt, dass der Anfang zwar in der Zeit liegt, aber Zeit nur eine sinnlich wahrnehmbare Konstante ist. Somit erscheint die Welt begrenzt, doch durch unsere bereits im Vorhinein eingeschränkte Betrachtung durch das Räumliche und Zeitliche können wir keine Aussage über die Welt selbst treffen. So sagt Kant in seiner Prolegomena:

„Wenn ich nun nach der Weltgröße dem Raume und der Zeit nach frage, so ist es für alle meine Begriffe eben so unmöglich zu sagen, sie sei unendlich, als sie sei endlich. Denn keines von beiden kann in der Erfahrung enthalten sein, weil weder von einem unendlichen Raume oder unendlicher verflossener Zeit, noch der Begrenzung der Welt durch einen leeren Raum oder eine vorhergehende leere Zeit Erfahrung möglich ist; das sind nur Ideen.“ (Kant, 1957)

Man muss sich damit zufrieden geben, der Welt weder die Endlichkeit noch die Unendlichkeit zuschreiben zu können. Das einzige, was man nach Kant festhalten kann und darf, ist, dass die Welt „keinen ersten Anfang der Zeit und keine äußerste Grenze dem Raume nach“ (Kant, 1966) hat, also dass es zumindest keine wahrnehmbare zeitliche oder räumliche Beschränkung gibt.

Zusammenfassend lässt sich festhalten, dass es für Kant kein mathematisch Größtes geben kann, und sich keine endgültige, wahre Aussage über eine mögliche Endlichkeit oder Unendlichkeit der Welt treffen lässt.

Bernard Bolzano wird 1781 in Prag geboren und stirbt 1848 ebenda. Er ist Theologe, Mathematiker und Philosoph, und ist auch heutzutage noch sehr bekannt für viele wichtige Sätze im Bereich der Analysis. Außerdem schreibt er die Paradoxien des Unendlichen, ein Buch, welches sich mit seinen Ansichten über die aktuale Unendlichkeit befasst. Bolzano geht hierbei von einem aristotelischen Verständnis des Aktualunendlichen aus, entwickelt aber, konträr zu Aristoteles, eine bejahende Position dazu.

Bernard Bolzano bereitet auch Cantors spätere Mengenlehre indirekt mit vor, indem er schon mit dem Behältnis von Elementen arbeitet, das wie auch bei Cantor später Menge heißen soll. Außerdem stellt Bolzano seinen eigenen Unendlichkeitsbegriff vor als einen mathematischen Begriff. In ihm legt er den Fokus auf die Größe einer Menge, also auf die Anzahl der Elemente in einer Menge, nicht nur auf die Zahlen an sich. Bolzano erdenkt sich „eine Größe, größer als jede Anzahl der zur Einheit angenommenen, so nennt er sie unendlich groß “ (Bolzano, 1975). Er greift die Unendlichkeit bei Hegel auf und stellt seinen eigenen Unendlichkeitsbegriff dazu in Kontrast. Hegel, neben anderen Philosophen seiner Zeit, nennt die mathematische Unendlichkeit „verächtlich das schlechte Unendliche, und [will] noch ein viel höheres, das wahre, das qualitative Unendliche kennen, welches [die Philosophen] namentlich in Gott und überhaupt im Absoluten nur finden“ (Bolzano, 1975).

Bolzano dagegen ist der Überzeugung, dass Mathematiker und Philosophen nicht nur an dem Konzept einer potentiellen Unendlichkeit festhalten sollten. Schon die Mathematik und damit die „Menge der Sätze und Wahrheiten an sich ist, wie sich sehr leicht einsehen läßt, unendlich“ (Bolzano, 1975). Diese Unendlichkeit ist aktual unendlich, denn die Menge, die tatsächliche mathematische Unendlichkeit, ist nicht veränderlich (Bedürftig, 2010).

Um eine Vorstellung der universalen Unendlichkeit zu geben, die mit den Vorstellungen der Philosophen und Theologen konform ist, konstruiert er eine Argumentationskette über das Göttliche. Wir müssen Gott „eine Erkenntniskraft beilegen, die wahre Allwissenheit ist, also eine unendliche Menge von Wahrheiten […] umfaßt“ (Bolzano, 1975). Dies ist dann schon das „absolute All, außer dem es nichts gibt“ (Bolzano, 1975), insbesondere ist es existent in Gott, und kann als aktual unendlich bezeichnet werden. Bolzano verbindet hier das Argument „des mathematischen aktualen Unendlichen mit der Voraussetzungen theologischer Art“ (Bedürftig, 2010).

Bolzano konstruiert hiermit eine für seine Zeit unpopuläre Haltung bezogen auf das Unendlichkeits-Problem, denn er widersetzt sich Philosophen und Theologen, die zu großen Teilen noch immer nach Aristoteles‘ Ansichten streben. Er sieht die Allgegenwärtigkeit der aktualen Unendlichkeit als gegeben an und kann damit als einer der Wegbereiter für Georg Cantor betrachtet werden.

2.2. Cantors Mengenlehre

„Die Mengenlehre ist die Untersuchung von Ordnung und Größe in der Mathematik, ihre Wurzeln sind die Theorien der Wohlordnungen und der Mächtigkeiten.“ (Deiser, 2010)

Georg Cantor ist der Begründer der Mengenlehre, welche seit seiner Schaffenszeit im späten 19. Jahrhundert tief in der Mathematik verankert ist und heutzutage völlig selbstverständlich genutzt wird. Ernst Zermelo sagt in den gesammelten Abhandlungen über Cantors Mengenlehre: „In der Geschichte der Wissenschaften ist es gewiß ein seltener Fall, wenn eine ganze wissenschaftliche Disziplin von grundlegender Bedeutung der schöpferischen Tat eines einzelnen zu verdanken ist“ (Vorwort v. Zermelo in: Cantor, 1962).

Die Vorstellung einer Menge wird vor Georg Cantors Zeit von Bernard Bolzano eingeführt, Cantor übernimmt dessen Begriff und Vorarbeit. Cantors ursprüngliche Mengenlehre wird von David Hilbert, welcher in einem späteren Kapitel noch ausführlich behandelt wird, Ernst Zermelo und weiteren Mathematikern verbessert und ergänzt. Heutzutage wird meist die Zermelo-Fraenkel-Axiomatik ZFC verwendet, „und alle Ideen Cantors leben darin in ihrer ursprünglichen Schönheit fort“ (Deiser, 2010).

Die Essenz der Mengenlehre besteht darin, für alle Objekte der Mathematik Definitionen zu finden und die Objekte entsprechend ihrer spezifischen Eigenschaften zusammenzufassen oder zu unterscheiden. So lautet Cantors ureigene Definition für eine Menge wie folgt:

„Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen“ (Deiser, 2010).

Schon seit langer Zeit gibt es unter Mathematikern die Vorstellung, dass unendliche und überabzählbare Mengen eine Sonderstellung in der Mathematik innehaben. Hierzu entwickelt Cantor sein berühmtes Diagonalverfahren.

Er widmet sich zunächst dem Problem, wie man unendlich große Mengen miteinander vergleichen kann. Hierfür benutzt er folgendes Beispiel: Man stelle sich eine große Gruppe an Reitern und Pferden vor, so groß, dass man sie nicht ohne weiteres abzählen kann. Wenn jedoch kein Pferd ohne Reiter und kein Reiter ohne Pferd zu sehen ist, so weiß man, dass die Menge der Reiter und die Menge der Pferde gleich groß sein müssen. Jedem Reiter kann genau ein Pferd zugeordnet werden und jedem Pferd sein Reiter. Die Menge P für Pferde und die Menge R für Reiter sind äquivalent zueinander, die Elemente der beiden Mengen können einander umkehrbar eindeutig zugeordnet werden:

Um diesen Gedankengang weiter zu führen, betrachte man ein Problem, welches sich Galileo Galilei und Bernard Bolzano vor Cantors Zeit stellt. Es handelt sich hierbei um ein altes philosophisches Prinzip: „Der Teil ist immer kleiner als das Ganze“ (Kertész, 1983). Sie können sich deshalb nicht verdeutlichen, dass eine echte Teilmenge einer Menge dieselbe Mächtigkeit[2] besitzen kann wie die ursprüngliche Menge selbst.

Cantor ist der Erste, der exakt diesen Sachverhalt annimmt und mit seiner Mengenlehre belegen kann. Als Beispiel betrachte man einerseits die Mengen der natürlichen Zahlen, und andererseits die Menge aller natürlichen, aber ausschließlich geraden Zahlen. So stellt man vorerst fest, dass die Menge der geraden Zahlen eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen ist:

Vom philosophischen Standpunkt aus gesehen mag man intuitiv davon ausgehen, dass die Menge kleiner als die Menge sein muss, da die Menge nur jedes zweite Element aus beinhaltet. Die Besonderheit an diesem Gedankenkonstrukt ist jedoch die unendliche Größe von sowohl als auch von . Denn jedem Element der Menge ist eindeutig ein Element aus zuzuordnen, indem man beispielsweise die Vorschrift aufstellt, mit .

Es handelt sich um eine bijektive Abbildung, mit der Schlussfolgerung, dass gleichmächtig wie ist, obgleich es eine echte Teilmenge von darstellt. Analog zur Betrachtung der Mengen und kann man die Mengen und vergleichen. Die Frage, die Cantor motiviert, war die Frage nach der Abzählbarkeit von . Die Definition von lautet:

Trivialerweise ist eine unendlich große Menge, da und unendliche Mengen sind und sich somit unendlich viele mögliche Bruchzahlen als Kombinationen aus p und n ergeben. Eine Eigenschaft von und ist es, dass beide abzählbar unendlich sind. Denn: „Eine Menge heißt abzählbar unendlich, wenn sie der Menge der natürlichen Zahlen äquivalent ist“ (Kertész, 1983). Überabzählbare Unendlichkeit liegt demzufolge dann vor, wenn eine Menge nicht abzählbar ist, oder, anders ausgedrückt, wenn die Mächtigkeit der zu untersuchenden Menge größer ist als die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen.

Jedoch folgt aus diesen Eigenschaften nicht, dass abzählbar sein muss. Dies gilt es separat zu beweisen. Nun kommt Cantors Erstes Diagonalargument zum Zuge.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Cantors Erstes Diagonalargument

Durch diese Auflistung und die stetige Zuordnung zu natürlichen Zahlen werden, theoretisch gesehen, alle voneinander verschiedenen rationalen Zahlen früher oder später erwähnt und der entsprechenden natürlichen Zahl zugeordnet. Es findet eine bijektive Abbildung statt, die Menge ist äquivalent zur Menge und damit abzählbar.

In diesem Verfahren gelingt Cantor ebenfalls der Beweis der Existenz der transzendenten Zahlen. Schon die alten Griechen befassen sich mit der Vorstellung von Zahlen, die reell sind, aber kein Polynom mit rationalen Koeffizienten lösen können. Jene Zahlen, die Lösungen dieser Polynome darstellen, nennt man algebraisch; reelle Zahlen, die keine Polynome lösen, heißen transzendent.

Alle algebraischen Zahlen sind reell, und können sowohl natürliche, ganze, rationale oder irrationale Zahlen sein. Mathematiker, unter anderem Joseph Liouville (1809 – 1882), beschäftigen sich vor Cantors Zeit mit der Frage, ob demgegenüber auch alle reellen Zahlen notwendigerweise algebraisch sind, oder ob bestimmte reelle Zahlen existieren, die sich nicht durch Polynome mit rationalen Koeffizienten darstellen lassen. Liouville gelingt es im Jahr 1844, eine transzendente Zahl zu finden, also eine reelle, aber nicht algebraische Zahl. Diese wird daraufhin Liouville-Zahl genannt. Einen allgemeinen Beweis für die Existenz beliebig vieler transzendenter Zahlen kann er jedoch nicht liefern, und auch kann er nicht zeigen, ob es vergleichsweise mehr algebraische oder mehr transzendente Zahlen gibt.

Cantor legt 1874 seinen Beweis vor. Er beweist zunächst die Überabzählbarkeit der Menge ℝ mithilfe seines Zweiten Diagonalarguments. Cantor betrachtet das offene Intervall . Jedes reelle Element in diesem Intervall benennt er allgemein als Dezimalzahl, mit beliebigen Dezimalstellen :

Wäre das Intervall abzählbar, so müsste man jedes Element nach dem obigen Verfahren benennen und auflisten können. Nun denke man sich eine Zahl , auch Diagonalzahl genannt, für die gelte:

So erhält man eine Zahl , die von allen Zahlen verschieden ist. Die Zahl liegt aber ebenfalls im Intervall . Sie zeigt, dass die Annahme falsch ist, man habe alle Zahlen auflisten können. Das Intervall ist also überabzählbar, genauso wie die gesamte Menge der reellen Zahlen.

Weiterhin kann Cantor beweisen, dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar unendlich ist. Denn jedes lösbare Polynom hat nur endlich viele Nullstellen, die Anzahl der Lösungen eines Polynoms entsprechen somit höchstens dem Grad des Polynoms. Dadurch, dass die rationalen Zahlen schon als abzählbar deklariert sind, gibt es auch nur abzählbar viele Polynome mit jeweils endlich vielen Lösungen. Hieraus folgert Cantor die Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen.

Die algebraischen Zahlen sind also eine echte Teilmenge der reellen Zahlen, und der Teil, der ℝ komplettiert, sind die transzendenten Zahlen. Da ℝ überabzählbar unendlich ist, muss die Menge der transzendenten Zahlen dies auch sein, denn die algebraischen Zahlen sind nur abzählbar unendlich. Cantor zeigt somit mehrere Sachen zugleich: Die Existenz der transzendenten Zahlen, und sogleich die unendliche Größe dieser Menge.

Des Weiteren gelingt Cantor auch der Nachweis von transfiniten Zahlen. Seine Überlegung ist, dass endliche Zahlen zugleich als Kardinalzahl endlicher Mengen gelten. Folglich müsse es auch möglich sein, die Mächtigkeit von unendlich großen Mengen als Zahlen aufzufassen, und diese Zahlen nennt Cantor transfinit. Mithilfe transfiniter Zahlen kann Cantor seine Unendlichkeits-Überlegungen auf eine noch höhere, unendlichere Ebene anheben und verschiedene Klassen unendlich großer Zahlen differenzieren.

Cantor baut viele Teile seiner Diskussion auf transfiniten Zahlen auf, begeistert manche Mathematiker hiermit, und zieht sich die Ablehnung anderer hinzu, worauf in den Kapiteln 3 und 4 eingegangen wird.

2.3. Die aktuale und die potentielle Unendlichkeit

Mit dem Beweis der Überabzählbarkeit von der Menge aller reellen Zahlen macht Cantor einen entscheidenden Schritt in der Diskussion über aktuale und potentielle Unendlichkeit, welche nach wie vor in der Mathematik und Philosophie behandelt wird.

Um seiner Argumentation eine Existenzgrundlage zu bieten, muss Cantor vorwegnehmen, dass Zahlen existieren, denen man nicht mehr „alle Eigenschaften der endlichen Zahlen zumuten oder vielmehr aufdrängen“ (Cantor, 1962) kann. In vielen Annahmen über das mathematische Unendliche geschehen Fehler, da der besondere Charakter der Zahlen nicht berücksichtigt wird (Cantor, 1962).

Mit Cantors Arbeiten wird der mathematischen Öffentlichkeit erst wieder bewusst, dass verschiedene Formen der Unendlichkeit existieren (Purkert, 1987). Cantor betrachtet eine dieser Stufen, die potentielle Unendlichkeit, allerdings als eine „unechte Unendlichkeit“ (Bedürftig, 2010) oder als ein „Uneigentlich-unendliches“ (Tapp, 2005). In der potentiellen Unendlichkeit taucht „eine unbestimmte, variable endliche Größe auf[...], die entweder über alle endlichen Grenzen wächst oder kleiner als jede beliebige Grenze werden kann“ (Bedürftig, 2010). Die Menge der natürlichen Zahlen wird gern als Beispiel herangezogen, da sie für jeden leicht nachvollziehbar ist, der des Zählens vermag. Das Argument von Aristoteles als Verfechter der Existenz der potentiellen Unendlichkeit lautet, dass man zu keinem Ende gelangen kann, da jede natürliche Zahl n auch immer noch einen Nachfolger n+1 hat. Man weiß um die Gesetzmäßigkeiten, um der Unendlichkeit der natürlichen Zahlen nahe zu kommen, nämlich stets mit 1 addieren, jedoch gelangt man mehr und mehr in die unendlichen und für den Menschen unfassbaren Größen. Hier findet potentielle Unendlichkeit statt. Doch warum ist die potentielle Unendlichkeit für Cantor nun uneigentlich ?

Er hat sich zum Ziel gesetzt, mit alten Vorstellungen aufzuräumen und der Mathematik den Raum zuzusprechen, den sie in seinen Augen tatsächlich hat. Die Existenz der transfiniten und transzendenten Zahlen bedeutet für ihn, dass das Konzept der potentiellen Unendlichkeit alleine hier bei Weitem nicht ausreichend ist.

Im Konstruktivismus, dem Cantor entschieden entgegen arbeitet, wird beispielsweise davon ausgegangen, dass alle Elemente der Mathematik in endlich vielen Operations- oder Konstruktionsschritten erreichbar sein müssen. So lassen sich Mengen nur dann angeben, wenn sich jedes Element der Menge durch abgeschlossene Algorithmen erzeugen lässt. Unter anderem die Menge der natürlichen und die der algebraischen Zahlen sind also konstruierbar. Da, laut Cantor, aber auch die transzendenten Zahlen existieren, muss er sich die Frage stellen, in welcher Art des Unendlichen sich diese befinden. Dies hat direkt zur Folge, dass er sich gegen die Meinung der Konstruktivisten und Finalisten stellen muss (Lavine, 1998).

Auch die Aussagen von Thomas von Aquin beschäftigen Cantor. Aquin äußert sich über die aktuale Unendlichkeit, und lehnt sie, ähnlich wie Aristoteles, konsequent ab. Laut Aquin liegt „die Unbestimmbarkeit eines unendlichen Quantums durch Einheiten [vor] und deshalb allerdings auch die Unmöglichkeit aktual unendlicher Zahlen“ (Tapp, 2005).

Cantor entgegnet: „Da es unmöglich ist, die natürlichen Phänomene vollständig zu erklären, ohne die Existenz des Transfiniten in natura naturata anzunehmen, existiert das Transfinite“ (Bedürftig, 2010). Und weiter: „Alle sogenannten Beweise (und es dürfte mir wohl keiner verborgen geblieben sein) gegen das geschöpfliche A. U. [Aktualunendliche] beweisen nichts, weil sie sich nicht auf die richtige Definition des Transfiniten beziehen.“ (Tapp, 2005)

Cantor verfasst Arbeiten über transfinite Zahlen und erläutert dort die Tatsache, dass diese immer noch manchen regulären Grundrechengesetzen folgen. Hieraus folgert er, dass eine Größe vorhanden ist, die „in allen ihren Teilen bestimmt und eine Konstante ist und die zugleich jede endliche Größe desselben Typs überschreitet” (Bedürftig, 2010). Unter dieser Größe versteht Cantor die aktuale Unendlichkeit, diese sei „das mathematische Unendliche“ (Tapp, 2005).

Er erklärt, wie man zu transfiniten, unendlich großen Zahlen immer noch 1 hinzuaddieren kann. Hierdurch wird „[…] [j]ede transfinite Zahl […] zu einer größeren transfiniten Zahl vermehrbar“ (Tapp, 2005).

Somit gleichen die Eigenschaften transfiniter Zahlen beinahe dem Mechanismus der natürlichen Zahlen im potentiell Unendlichen. Die wichtige Unterscheidung ist jedoch, dass transfinite Zahlen bereits unendlich groß sind, „und insofern eigentlich durch den Begriff des Aktualunendlichen präziser und unmißverständlicher bestimmt“ (Tapp, 2005) sind.

Cantor sieht jegliche Zahlenmengen, Rechengesetze und mathematischen Sätze als gegeben an, sie entstehen nicht erst, sondern sind schon existent. Weiterhin „setzt potentielle Unendlichkeit aktuale Unendlichkeit voraus“ (Bedürftig, 2010). Es ist ganz gleich, welche Zahl man sich ausdenkt oder durch viele Operationen konstruiert, diese Zahl entsteht nicht erst durch das menschliche Zutun. Vielmehr ruft der Mensch diese schon längst im Abstrakten existente Zahl ab.

In der aktualen Unendlichkeit kann man genauer differenzieren. Cantor beschreibt innerhalb der aktualen Unendlichkeit drei Unterformen:

„ (a) das absolute Aktual-Unendliche in Gott,

(b) das konkrete Aktual-Unendliche in der Schöpfung,

(c) das abstrakte Aktual-Unendliche in der Mathematik. “ (Neidhart, 2007)

Im abstrakten Aktualunendlichen sind nun auch wieder all die Zahlen zu finden, die Cantor zuvor mühsam bewiesen hat. Nun wird auch klar, inwieweit das potentielle Unendliche für ihn uneigentlich ist. Jedes Element der Mathematik ist schon vorhanden. Keine Zahl wird durch ihre Konstruktion erst existent, sondern sie wird lediglich für den Menschen greifbar und definierbar. Eine vordergründige Unendlichkeit zu schaffen ist unter diesen Gesichtspunkten schlicht überflüssig, obgleich Cantor diesen Aspekt nie derart scharf formuliert hat. Er beschränkt sich in seinen Überlegungen darauf, das Wort uneigentlich zu verwenden.

Das Besondere an dieser Dreiteilung ist, dass Cantor den letzten beiden Komponenten, nämlich dem Endlichen (enthalten in der Schöpfung) und dem Transfiniten (enthalten in der Mathematik) die Eigenschaft zusprach, „prinzipiell unbegrenzt vermehrbar zu sein“ (Tapp, 2005). Das Absolute jedoch sei nicht mehr weiter vermehrbar. Diese Eigenschaften zeugen von der Komplexität der Gedanken, die Cantor sich zu den Arten der Unendlichkeit macht, denn sie mögen vorerst sehr verwirrend erscheinen.

Manchmal fasst Cantor die beiden letzten Begriffe zusammen unter dem Transfiniten. Enthalten sind dann seiner Meinung nach sowohl die mathematischen Bereiche in abstracto und die Natur an sich in der Schöpfung, und zwar in concreto. Er stellt sogar Vermutungen über die Menge der Atome an, und behauptet, es gebe im Kosmos abzählbar unendlich viele davon (Cantor, 1991).

[...]


[1] Dass neben mathematischen Objekten natürlich auch jegliche Elemente anderer wissenschaftlichen Disziplinen im Aktualunendlichen zu finden sind, wird zur besseren Lesbarkeit dieser Arbeit außer Acht gelassen. Im Folgenden sei das Aktualunendliche vordergründig als Behältnis mathematischer Objekte charakterisiert, und das Beinhalten von Elementen anderer Disziplinen wird stets impliziert.

[2] Mit Mächtigkeit oder auch Kardinalität meint man in der Mengenlehre die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge.

Details

Seiten
32
Jahr
2014
ISBN (eBook)
9783668549944
ISBN (Buch)
9783668549951
Dateigröße
737 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v375103
Institution / Hochschule
Bergische Universität Wuppertal
Note
1,3
Schlagworte
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Titel: Georg Cantor und sein Unendlichkeitsbegriff. Auseinandersetzung mit Mathematikern und Philosophen des 19. und 20. Jahrhunderts