Excerpt
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
vii
1
Zahlenmengen und Zahlenkörper
9
1.1
Bekannte Zahlenmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2
Beweis durch Widerspruch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1
2 ist keine rationale Zahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.2
Menge der reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3
Brüche und Dezimalschreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.1
Beweis verschiedener Zusammenhänge
. . . . . . . . . . . . . . 12
1.4
Die Axiomatik des reellen Zahlenraums
R; +; . . . . . . . . . . . . . 13
2
Folgen
15
2.1
Unterscheidung von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1
Beschreibungen von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2
Zusammenhang zwischen Folgengliedern . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.3
Umrechnung zwischen expliziter und rekursiver Darstellung . . . 18
2.2
Beweisverfahren der vollständigen Induktion . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1
Schema
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3
Eigenschaften von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1
Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1.1
Monotonie bei Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1.2
Monotonie bei Folgen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2
Untersuchungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2.1
Durch 'Überlegen' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2.2
Untersuchung der Differenz . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2.3
Untersuchung des Quotienten . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.3
Beschränktheit von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3.4
Grenzwert einer Folge
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4
Kombination aus Grenzwerten und Monotonie . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5
Die eulersche Zahl e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6
Grenzwertsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3
Komplexe Zahlen
29
3.1
Axiomatik der reellen Zahlen
R; +; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2
Einstieg in die komplexen Zahlen: Der harmonische Oszillator . . . . . 31
3.3
Definition der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3.1
Herleitung: Die Axiomatik des komplexen Zahlenraums . . . . . 35
iii
Inhaltsverzeichnis
3.4
Axiomatik des komplexen Zahlenraums . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.5
Die Wurzel negativer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.6
Einschub: Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.1
Kartesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.6.2
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6.3
Umwandlung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten . 45
3.6.4
Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
46
3.7
Multiplikation komplexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8
TaylorNäherung für differenzierbare Funktionen . . . . . . . . . . . . . 50
3.8.1
Die Euler'sche Identität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.9
Das harmonische Federpendel mit Reibung . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4
Integrationstechniken
57
4.1
Hauptsatz der Differential und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1
Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.2
Zusammenhänge zwischen der Physik und der Integration . . . . 60
4.2
Partielle Integration oder Produktintegration . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1
Ablauf der partiellen Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2
Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.2.3
Partielle Integration mit der Hilfe komplexer Zahlen . . . . . . . 64
4.3
Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3.1
Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.3.1.1
Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2
Substitution der Integrationsvariablen . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3.3
Trigonometrische Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.4
Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4.1
Vorgehen bei der Polynomdivision . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5
Partialbruchzerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5
Fourier-Analyse
77
5.1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2
Fourier-Analyse einer periodischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.3
Exkurs: Fourier-Analyse für nicht periodische Funktionen . . . . . . . . 84
5.3.1
Beispiel: zeitlicher Rechteck-Impuls (gerade Funktion) . . . . . . 89
5.3.2
Komplexe Darstellung der Fourier-Transformation . . . . . . . . 92
5.4
Analogien Fourier-Analyse und Vektorräume . . . . . . . . . . . . . . . 95
6
Mandelbrot-Menge
97
6.1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.1.1
Beschränktheit:
M {c C : |c| 2} . . . . . . . . . . . . . . . 98
6.2
Implementierung in Python . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.1
Grundlegende Umsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
6.2.2
Quellcode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
iv
Inhaltsverzeichnis
7
Matrizen- und Tensorrechnung
109
7.1
Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.1.1
Umkehrmatrix und Gauß-Jordan-Algorithmus . . . . . . . . . . 112
7.1.2
Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
7.1.2.1
Berechnung einer Determinatnen . . . . . . . . . . . . 113
7.1.2.2
Nutzung der Determinatne
. . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.2.3
Bedeutung der Determinante . . . . . . . . . . . . . . 114
7.1.3
Eigenvektoren und Eigenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
7.1.3.1
Bildung einer Matrix mithilfe von Eigenwerten und
Eigenvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
7.1.3.2
Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren . . . . 118
Literatur
119
Index
121
v
Abbildungsverzeichnis
1.1
Wurzel aus 2 auf dem Zahlenstrahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1
Entwicklung einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2
Monotonie von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1
Der Funktionsgraph von ^
s(t) für eine gedämpfte Schwingung. . . . . . . 33
3.2
Die Wurzel aus ,,
-1" in der komplexen Zahlenebene . . . . . . . . . . . 44
3.3
Kartesische Koordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4
Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5
Umwandlung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten . . . . . 45
3.6
Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten . . . . 46
3.7
Positionen beim Federpendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.8
Funktionsgraph von ^
s(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.1
Der Graph von f (x) in den Grenzen von a bis b. . . . . . . . . . . . . . 58
4.2
Der Graph von f (t) in den Grenzen von a bis x bzw. x + x . . . . . . 59
5.1
Die An-Aus-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2
Grenzfall eines Intervalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3
Nicht-periodischer Rechteckimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1
Visualisierung der Mandelbrot-Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.1
Die Determinante einer Matrix
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
vii
1 Zahlenmengen und Zahlenkörper
9
1 Zahlenmengen und Zahlenkörper
1.1 Bekannte Zahlenmengen
Zahlenmengen
1.
a) Natürliche Zahlen:
N = {1; 2; 3; . . .}
b) Natürliche Zahlen einschließlich der Null:
N
0
=
{0; 1; 2; 3; . . .} oder auch N
0
=
N {0}.
N
0
ist die Vereinigungsmenge "
"der natürlichen Zahlen und 0. bedeutet
auch 'oder'.
2. Menge der ganzen Zahlen:
Z = {. . . ; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; . . .}
3. Menge der der rationalen (=Verhältnis) Zahlen:
Q = {
p
q
| p Z q N}
In Worten: Der Bruch
p
q
mit den Eigenschaften (|), dass p Element
der
ganzen Zahlen und (
)q Element der natürlichen Zahlen ist Element der Menge
der rationalen Zahlen.
Die Menge der rationalen Zahlen
Q genügt, um uns bereits bekannte Phänomene zu
beschreiben. Man kann beweisen, dass
2 keine rationale Zahl sein kann.
1.2 Beweis durch Widerspruch
Definition 1.2.1
Der Beweis durch Widerspruch ist ein indirekter Beweis. Man zeigt das A gilt
unter der Annahme, dass das Gegenteil von A stimmt und führt diese Behauptung
zu einem Widerspruch.
Beweis durch
Widerspruch
1.2.1
2 ist keine rationale Zahl
Beweis.
1. Annahme:
2 =
p
q
; p
Z; q N
Ohne Beschreibung der Allgemeingültigkeit;
p
q
ist vollständig gekürzt, bezie-
hungsweise p und q sind teilerfremd.
2. es folgt:
2 =
p
2
q
2
p
2
= 2q
2
10
1.2 Beweis durch Widerspruch
3. Da q
N ist folgt, dass auch q
2
N ist.
Daraus folgt, dass 2q
2
eine gerade natürliche Zahl ist.
p
2
ist eine gerade natürliche Zahl.
4. p ist eine ganze Zahl, also entweder gerade oder ungerade (oder 0)
a) wenn p gerade
p
2
ist gerade
b) wenn p ungerade
p
2
ist ungerade
Der zweite Fall führt zu einem Widerspruch aus Drittens. Daraus folgt, dass p
gerade sein muss.
5. p kann als 2k geschrieben werden (k
N)
p
2
= (2k)
2
= 4k
2
= 2q
2
4k
2
= 2q
2
2k
2
= q
2
6. Aus q
2
= 2k
2
folgt, dass q
2
gerade ist.
q muss gerade sein, analog zu Viertens.
7. q kann als q = 2
l mit l N geschrieben werden.
2 =
p
q
=
2k
2l
=
k
l
Der letzte Term führt zu einem Widerspruch. Wenn
p
q
vollständig gekürzt war,
können p und q nicht gleichzeitig gerade sein.
Unsere Annahme,
2 kann als Bruch geschrieben werden, muss also falsch sein.
2 /
Q
1.2.2 Menge der reellen Zahlen
2 auf dem
Zahlenstrahl
Die Wurzel aus 2 kann jedoch auf dem Zahlenstrahl eingezeichnet werden:
Es gibt sie also!
Daraus folgt die Definition der reellen Zahlen
R.
R := Alle Zahlen, die auf dem Zahlenstrahl zu finden sind. Diese können zum Teil
als rationale Zahlen geschrieben werden (
Q) und zum Teil eben nicht. Dann nennt
man sie irrational.
11
1 Zahlenmengen und Zahlenkörper
x
y
2
1
1
2
Abbildung 1.1: Wurzel aus 2 auf dem Zahlenstrahl
1.3 Brüche und Dezimalschreibweisen
1.3.1 Beweis verschiedener Zusammenhänge
Behauptung: Eine Bruchzahl kann als abbrechende oder periodische Dezimalzahl ge-
schrieben werden.
Beweis.
p
q
= p : q
Beim schriftlichen Dividieren kann es höchstens q Reste geben, nämlich 0; 1; 2; . . . ; q
-
1.
Ist der Rest '0' handelt es sich um eine abbrechende Dezimalzahl.
Kommt der Rest '0' nie vor, kann es höchstens q
- 1 verschiedene Reste geben.
Das heißt, nach dem 'q-ten' Rechenschritt wiederholen sich die Rechenschritte immer
wieder.
Dann handelt es sich um eine periodische Dezimalzahl.
Behauptung: Jede abbrechende Dezimalzahl kann als Bruch geschrieben werden.
Beweis. Es gibt also endlich viele Nachkommastellen.
Ohne Beweis der Allgemeingültigkeit: n Nachkommastellen
Unsere Dezimalzahl multipliziert mit 10
n
hat also keine Nachkommastellen
p = unsere Dezimalzahl
10
n
Z
q = 10
n
N
unsere Dezimalzahl =
p
q
12
1.4 Die Axiomatik des reellen Zahlenraums
R; +;
Behauptung: Jede periodische Dezimalzahl kann als Bruch geschrieben werden.
Beweis. Die Periode hat höchstens endlich viele Nachkommastellen, also n.
Ohne Beweis der Allgemeingültigkeit: n-Stellen; n
N
Multiplizieren wir nun unsere periodische Zahl mit 10
n
, so 'rutscht' die Periode um n
Stellen nach vorne.
Ziehen wir davon die periodische Zahl ab, 'verschwinden' die periodischen Ziffern.
periodische Zahl (10
n
- 1)
1
10
n
-1
ist eine Bruchzahl.
Beispiel:
2, 84 = 2, 84
100
- 1
99
= 2, 84
(100 - 1)
1
99
= (284, 84
- 2, 84)
1
99
=
282
99
=
94
33
Da es nur abbrechende, periodische und nicht-abbrechende, nicht-periodische Dezi-
malzahlen geben kann, müssen die irrationalen Zahlen also nicht-abbrechende, nicht-
periodische Dezimalzahlen sein.
Beispiel:
1, 101001000100001
1, 12345678910111213141516
und so weiter...
Es gibt also sehr viele irrationale Zahlen auf dem Zahlenstrahl.
1.4 Die Axiomatik des reellen Zahlenraums
R; +;
Reeller
Zahlenraum
a; b R gilt:
1. Kommutativgesetz bezüglich '+': a + b = b + a
2. Assoziativgesetz bezüglich '+': a + (b + c) = (a + b) + c
3. Existenz des neutralen Elements bezüglich '+':
0 : a + 0 = a; a R
4. Existenz des inversen Elements bezüglich '+':
(-a) : a + (-a) = 0
5. Kommutativgesetz bezüglich '
': a b = b a
6. Assoziativgesetz bezüglich '
': a (b c) = (a b) c
13
1 Zahlenmengen und Zahlenkörper
7. Existenz des neutralen Elements bezüglich '
': 1 : a 1 = a; a R
8. Existenz des inversen Elements bezüglich '
':
1
a
: a
1
a
= 1;
a R\{0}
9. Distributivgesetz: a
(b + c) = a b + a c a; b; c R
Wenn eine Zahlenmenge eine Verknüpfung mit '+' und eine Verknüpfung mit '
' diese
neun Axiome erfüllt, sprechen wir von einem Zahlenkörper.
(
R; +; ) : Körper der reellen Zahlen
14
2 Folgen
15
2 Folgen
Abbildung 2.1: Entwicklung einer Folge
In der Abbildung wird mit jedem Schritt eine Teilseite gedrittelt und 'ausgebeult'.
Mit kleinen Überlegungen kommt man auf zwei Gleichungen für den Flächeninhalt A
und den Umfang U nach jeweils n Schritten.
U
n
= 4
5
3
n
;
U
n
in Metern
A
n
= A
n
-1
+ 4
5
n
-2
1
3
n
;
A
n
in Quadratmetern
Definition 2.0.1: Folge
Eine Funktion mit der Definitionsmenge
N oder einer Teilmenge davon heißt Folge.
2.1 Unterscheidung von Folgen
2.1.1 Beschreibungen von Folgen
Explizite
Beschreibung
Definition 2.1.1: Explizite Beschreibung
Mit einer expliziten Beschreibung einer Folge lässt sich jedes a
n
direkt ermitteln.
Beispiel
a
n
=
1
n
mit n = 2
a
2
=
1
2
= 0, 5
16
2.1 Unterscheidung von Folgen
Definition 2.1.2: Rekursive Beschreibung
Mit einer rekursiven Beschreibung einer Folge lässt sich jedes a
n
nur über das
Vorherige Folgenglied a
n
-1
ermitteln.
Rekursive
Beschreibung
Beispiel
a
0
= 1
a
n
+1
=
a
n
a
n
+ 2
a
1
=
a
0
a
0
+ 2
=
1
3
Eine weitere sehr bekannte Folge in rekursiver Beschreibung ist die sogenannte Fibonacci-
Folge (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...). Hierbei werden die jeweils zwei vorherigen Folgenglieder
addiert um das neue Folgenglied zu erhalten.
2.1.2 Zusammenhang zwischen Folgengliedern
Arithmetische
Folge
Definition 2.1.3: Arithmetische Folge
Zwei Folgenglieder a
n
und a
n
+1
unterscheiden sich immer um die gleiche Differenz
d.
Die allgemeine Gleichung für eine arithmetische Folge lässt sich jeweils in expliziter
und rekursiver Darstellung aufstellen:
explizit: a
n
= a
0
+ d
n
rekursiv: a
n
= a
n
-1
+ d mit a
0
R
Beispiel a
0
= 1; d = 5;
a
n
= 1 + 5n
a
n
= a
n
-1
+ 5; a
0
= 1
a
n
=
{1, 6, 11, 16, 21, ...}
Geometrische
Folge
Definition 2.1.4: Geometrische Folge
Zwei Folgenglieder a
n
und a
n
+1
unterscheiden sich immer um den gleichen Quoti-
enten q.
17
2 Folgen
Wie auch bei der arithmetischen Folge existiert eine explizite und rekursive Darstel-
lung:
explizit: a
n
= a
0
q
n
rekursiv: a
n
= a
n
-1
q mit a
0
R
Beispiel a
0
= 1; q =
-
1
2
a
n
= 1
-
1
2
n
a
n
= a
n
-1
-
1
2
; a
0
= 1
a
n
=
-
1
2
;
1
4
;
-
1
8
; ...
2.1.3 Umrechnung zwischen expliziter und rekursiver
Darstellung
Beispiel 1 Ein Beispiel für die Umwandlung von rekursiver in explizite Beschreibung.
q
0
+ q
1
+ q
2
+ q
3
+ ... + q
n
Dies ist die rekursive Darstellung unserer Beispielfolge. Wir suchen die explizite Be-
schreibung hiervon. Deshalb erweitern wir zunächst sinnvoll.
q
0
+ q
1
+ q
2
+ q
3
+ ... + q
n
= (q
0
+ q
1
+ q
2
+ q
3
+ ... + q
n
)
q
- 1
q
- 1
=
q
0
(q - 1) + q
1
(q - 1) + q
2
(q - 1) + ... + q
n
(q - 1)
q
- 1
=
q
1
- q
0
+ q
2
- q
1
+ q
3
- q
2
+ ... + q
n
+1
- q
n
q
- 1
=
q
n
+1
- q
0
q
- 1
=
q
n
+1
- 1
q
- 1
Im vorletzten Term löschen sich fast alle Terme aus und vereinfachen so die Beschrei-
bung erheblich.
Beispiel 2 Ein Beispiel für die Umwandlung von der expliziter in die rekursive
Beschreibung.
a
n
= n
2
= (n
- 1 + 1)
2
= (n
- 1)
2
+ 2(n
- 1) 1 + 1
2
= a
n
-1
+ 2n
- 1
Da aber im Unterricht häufig beide oder die 'praktischere' Form gegeben waren, muss-
te man häufig jedeglich prüfen ob es sich bei beiden Formen um die gleiche Folge
handelte.
18
2.2 Beweisverfahren der vollständigen Induktion
2.2 Beweisverfahren der vollständigen Induktion
Vollständige
Induktion
Definition 2.2.1: Beweisverfahren der vollständigen Induktion
Eine Aussage a
n
, die für alle n
N gelten soll, kann wie folgt bewiesen werden:
1. wenn sie für das kleinstmögliche n (hier n = 0 oder n = 1) gilt und
2. wenn gezeigt werden kann, dass sie für das nächste n gilt , wenn sie für das
aktuelle n gilt,
dann gilt die Aussage allgemein!
2.2.1 Schema
Induktionsanfang IA Zeige, dass die zu beweisende Aussage für ein beliebiges n, in
der Regel n = 0 oder n = 1 gilt.
Induktionsvoraussetzung IV Nimm an, dass die Aussage für n = n
0
gilt und schrei-
be sie hin.
Induktionsschritt IS Zeige, dass sie dann auch für n = n
0
+ 1 gilt.
Man kann sich das Beweisverfahren der vollständigen Induktion, wie eine Reihe Do-
minosteine vorstellen. Sobald der erste umgekippt ist, fallen alle um. Analog ist hier
sobald der Induktionsschritt bewiesen ist, gezeigt, dass es für alle Schritte gilt!
Beispiel
Beweise mithilfe vollständiger Induktion, dass die rekursive Beschreibung
q
0
+ q
1
+ q
2
+ q
3
+ ... + q
n
mit der expliziten Beschreibung
q
n
+1
- 1
q
- 1
übereinstimmt. Es soll für alle q = 1 gelten.
Beweis. Induktionsanfang:
n = 0
q
0
= 1
q
0+1
- 1
q
- 1
=
q
1
- 1
q
1
- 1
= 1
19
2 Folgen
Damit stimmt das erste Folgenglied bei beiden Darstellungen überein.
Induktionsvoraussetzung
für n = n
0
gelte:
q
0
+ q
1
+ q
2
+ ... + q
n
0
=
q
n
0
+1
- 1
q
- 1
Induktionsschritt Was folgt aus der Induktionsvoraussetzung für n = n
0
+ 1?
0
+ q
1
+ q
2
+ ... + q
n
0
mitI.V.gilt
:
+ q
n
0
+1
=
q
n
0
+2
- 1
q
- 1
q
n
0
+1
- 1
q
- 1
+ q
n
0
+1
=
q
n
0
+2
- 1
q
- 1
q
n
0
+1
- 1
q
- 1
+
q
n
0
+1
(q - 1)
q
- 1
=
q
n
0
+2
- 1
q
- 1
q
n
0
+1
- 1
q
- 1
+
q
n
0
+2
- q
n
0
+1
q
- 1
=
q
n
0
+2
- 1
q
- 1
=
q
n
0
+2
- 1
q
- 1
n N gilt: q
0
+ q
1
+ q
2
+ ... + q
n
=
q
n
+1
- 1
q
- 1
; q = 1
2.3 Eigenschaften von Folgen
2.3.1 Monotonie
2.3.1.1 Monotonie bei Funktionen
Monotonie
Man unterscheidet zwischen:
Streng-monoton: x
1
< x
2
f (x
1
) > f (x
2
) streng monoton fallend
f (x
1
) < f (x
2
) streng monoton wachsend
Monoton: x
1
< x
2
f (x
1
)
f(x
2
) monoton fallend
f (x
1
)
f(x
2
) monoton wachsend
20
2.3 Eigenschaften von Folgen
2.3.1.2 Monotonie bei Folgen
Die Monotonie bei Folgen folgt einem analogen Schema:
(a
n
); n
N
0
Streng-monoton: n
1
< n
2
a
n
1
> a
n
2
streng monoton fallend
a
n
1
< a
n
2
streng monoton wachsend
Monoton: n
1
< n
2
a
n
1
a
n
2
monoton fallend
a
n
1
a
n
2
monoton wachsend
Beide Graphen in der Abbildung sind in dem sichtbaren Intervall streng monoton
wachsend.
2
4
6
8
10
5
10
15
Abbildung 2.2: Monotonie von Folgen
2.3.2 Untersuchungsmethoden
Die folgenden drei Methoden zeigen, wie eine Folge auf Monotonie zu überprüfen ist.
2.3.2.1 Durch 'Überlegen'
Beispiel
(a
n
); n
N
0
: a
n
= n
2
; a
0
= 0
a
n
+1
> a
n
21
2 Folgen
(n + 1)
2
> n
2
n
2
+ 2n + 1 > n
2
2n + 1 > 0
2n + 1 > 0 , da n 0
(a
n
) streng monoton wachsend
2.3.2.2 Untersuchung der Differenz
Prüfe ob die Differenz a
n
+1
- a
n
= d größer, größer gleich, kleiner oder kleiner gleich
null ist.
d > 0
streng monoton wachsend
d < 0
streng monoton fallend
d
0 monoton wachsend
d
0 monoton fallend
Oft ist diese Methode aber nicht zielführend und die erste praktikabler.
2.3.2.3 Untersuchung des Quotienten
Prüfe ob der Quotient
a
n+1
a
n
= q größer, größer gleich, kleiner oder kleiner gleich eins
ist.
q > 1
streng monoton wachsend
q < 1
streng monoton fallend
q
1 monoton wachsend
q
1 monoton fallend
Beispiel
(a
n
) =
2n + 1
n + 2
; n
0
Vermutung: (a
n
)ist streng monoton wachsend.
Zu Zeigen:
a
n
+1
a
n
> 1
n N
0
!
2(n + 1) + 1
(n + 1) + 2
2n + 1
n + 2
> 1
(2(n + 1))
(n + 2)
(n + 3)
(2n + 1)
> 1
2n
2
+ 4n + 3n + 6
2n
2
+ n + 6n + 3
> 1
2n
2
+ 7n + 6
2n
2
+ 7n + 3
> 1
2n
2
+ 7n + 3
2n
2
+ 7n + 3
+
3
2n
2
+ 7n + 3
> 1
22
2.3 Eigenschaften von Folgen
Hier ist der linke Term = 1 und der rechte Term definitiv > 0, da der Nenner hier
immer > 3 ist, da n nicht kleiner als null sein darf. Damit ist die gesamte linke Seite
der Ungleichung immer > 1 und damit die Folge (a
n
) streng monoton wachsend.
Strategie zur Untersuchung auf Monotonie
1. Vergleich ('Überlegen') von a
n
+1
und a
n
2. Bei keinem Ergebnis, bildet man die Differenz a
n
+1
- a
n
3. Bei weiterhin keinem Ergebnis, bildet man den Quotienten
a
n+1
a
n
2.3.3 Beschränktheit von Folgen
Beschränktheit
Definition 2.3.1: Beschränktheit von Folgen
Eine Folge (a
n
); n
N ist
· "nach oben beschränkt", wenn es ein
S gibt derart, dass a
n
S n.
· "nach unten beschränkt", wenn es ein
S gibt derart, dass a
n
S n.
· beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
Beispiel
(a
n
) : a
n
=
n
3n
- 2
Vermutung: Obere Schranke
S = 1
n
a
n
0
0
1
1
2
1
/
2
3
3
/
7
4
4
/
10
Bei der Beschränktheit von Folgen lässt sich häufig der Beweis durch Widerspruch
anwenden um die Beschränktheit zu beweisen. Bei unserem Beispiel nehmen wir an,
es gäbe ein n
0
derart, dass a
n
0
> 1. Dann folgt daraus für n
0
:
n
0
3n
0
- 2
> 1
| (·3n
0
- 2) für n
0
1
n
0
> 3n
0
- 2
2 > 2n
0
1 > n
0
zu n
0
1
23
2 Folgen
2.3.4 Grenzwert einer Folge
Definition 2.3.2: 'fast alle'
Fast alle heißt, alle bis auf endlich viele.
Mathematisch gesehen wäre es korrekt, wenn nur zwei von 30 Schülern die Hausauf-
gaben gemacht hätten, davon zu sprechen, dass sie fast alle gemacht hätten.
Definition 2.3.3: Hinreichende und Notwendige Bedingung
· Hinreichende Bedingung: A
B
A ist eine, aber nicht die einzige Ursache für B.
· Notwendige Bedingung: B
A
A ist eine 'Eigenschaft' von B.
Wenn B eintritt muss auch A eintreten.
Beispiel für eine hinreichende Begründung ist 'Es hat geregnet' für 'die Straße ist nass'.
Für die notwendige Bedingung, ein Beispiel aus dem regulären Mathematik-Unterricht:
Wenn die Funktion f (x) an der Stelle x
0
eine Extremstelle hat, so hat die Ableitung
der Funktion f (x) an dieser Stelle den Wert null, also eine waagerechte Tangente.
Grenzwert
Definition 2.3.4: Grenzwert einer Folge
Ein Wert g heißt Grenzwert einer Folge a
n
, wenn für jedes > 0 ein n
0
existiert,
derart, dass
|a
n
- g| < ist, für alle n n
0
.
g: Grenzwert von (a
n
)
> 0 n
0
:
|a
n
- g| < n n
0
Beispiel:
a
n
: a
n
=
2n + 5
8n
- 1
; g =
1
2
; > 0
Ansatz:
|a
n
- g| <
2n + 5
8n
- 1
-
1
2
<
2
· (
2n + 5)
2
· (
8n
- 1)
-
(
-1) · (
8n
- 1)
2
· (
8n
- 1)
<
2
·
2n + 10
-
8n + 1
2
· (
8n
- 1)
<
24
2.3 Eigenschaften von Folgen
11
2
· (
8n
- 1)
<
Für n
1 :
11
2
· (
8n
- 1)
=
11
2
· (
8n
- 1)
11
2
· (
8n
- 1)
<
11 <
· 2 · (
8n
- 1)
11
2
·
+ 1
2
< 8n
n >
11
2
·
+ 1
2
wähle n
0
>
11
2
·
+ 1
2
Ist nun ein konkretes gegeben, kann das exakte n
0
ausgerechnet werden. Dazu noch
ein weiteres Beispiel.
b
n
: b
n
=
4
· n
2
+ 2
2
- n
2
; g =
-4; =
1
500
Berechnung von n
0
:
|a
n
- g| <
1
500
;
n n
0
4
· n
2
+ 2
2
- n
2
+ 4 <
1
500
10
2
- n
2
<
1
500
Für n
2 gilt:
10
2
- n
2
=
10
2
- n
2
10
2
- n
2
<
1
500
5002 < n
2
n > 70, 725
Daraus folgt, dass man n
0
71 wählt.
25
2 Folgen
2.4 Kombination aus Grenzwerten und Monotonie
Definition 2.4.1: Konvergenz
Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, konvergiert diese Folge.
Beispiel
Beweis der Konvergenz von
a
n
=
1
10
0
+
1
10
1
+
1
10
4
+ . . . +
1
10
(n
2
)
a
n
ist monoton zunehmend, da a
n
+1
- a
n
=
1
10
(n+1)2
> 0 für alle n
N.
a
n
ist beschränkt, da 1
a
n
< 1, 2 für alle n
N.
Damit sind beide Voraussetzungen erfüllt und die Folge ist konvergent.
2.5 Die eulersche Zahl
e
Die eulersche Zahl e ist als Grenzwert einer Folge definiert.
Eulersche Zahl
Definition 2.5.1: Eulersche Zahl
lim
n
1 +
1
n
n
= e
Somit ist eine der wichtigsten Konstanten der Mathematik über eine Folge definiert.
Sie ist die Basis für den natürlichen Logarithmus und für die e-Funktion und damit
auch schon in der Schule für den regulären Mathematik-Unterricht relevant.
e ist eine irrationale Zahl. Sie hat also, wie beispielsweise ebenfalls, unendlich vie-
le Nachkommastellen. Bis heute konnte man circa 1,4 Billionen Nachkommastellen
berechnen, wovon die ersten
e
2, 7182818284
lauten.
26
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- Quote paper
- Florian Wolf (Author)Jonas Martin (Author), 2017, Zusammenfassung über die Grundlagen der Zahlenmengen, komplexen Zahlen, Integrationstechniken, Matrizen u. A., Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/372477
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