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Carl Friedrich Gauß und die Fortentwicklung der Versicherungsmathematik

Seminararbeit 2015 27 Seiten

Mathematik - Angewandte Mathematik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Literaturverzeichnis

Vorwort

A. Lebenslauf

B. Gauß‘ Beitrag zum Versicherungswesen
I. Einleitung - Die Rolle der Versicherungsmathematik
II. Beitrag zur Versicherungsmathematik (Theorie)
1. Geschichte und Entwicklung der Versicherungsmathematik
a) Die Wechselbeziehung zur Lebensversicherung
b) Die Sterblichkeit - von Annahmen bis hin zur Wahrscheinlichkeitstheorie
2. Die Rolle des C. F. Gauß - Ausgleichung von Sterbetafeln
3. Die Rolle des C. F. Gauß - auch in der Schadensversicherung?
III. Beitrag zur Versicherungspraxis - Göttinger Professoren-Witwen-Kasse

C. Bewertung von Gauß‘ Wirken
I. Bewertung des Wirkens durch Zeitgenossen
II. Bewertung des Wirkens durch das spätere und heutige Schrifttum
III. Bewertung des Wirkens durch den Verfasser

Literaturverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Vorwort

ǷMathematicorum princips“, Fürst unter den Mathematikern, heißt es auf einer Denkmünze, die der König von Hannover zu Carl Friedrich Gauß‘ Gedenken prägen ließ. Als den größten Mathematiker aller Zeiten und Völker bezeichnete ihn sein Zeitgenosse, der berühmte Mathematiker, Physiker und Astronom Pierre Simon Laplace.1

Carl Friedrich Gauß gilt auch heute noch fraglos als eine Koryphäe der reinen Ma- thematik. Gleichwohl verknüpft man seinen Namen vermutlich eher mit der Astro- nomie oder der Physik als mit dem Versicherungswesen. In dieser Arbeit soll nicht nur das Leben des C. F. Gauß dargestellt, sondern darüber hinaus durchleuchtet werden, ob und inwieweit Gauß mit dem Versicherungswesen in Zusammenhang gebracht werden kann. Dabei werden wir auch auf die Geschichte der Versiche- rungsmathematik zu sprechen kommen, welche es uns ermöglicht, die Rolle des C. F. Gauß innerhalb der Versicherungsmathematik besser einordnen zu können.

Zum Schluss erfolgt sodann eine ausführliche Bewertung seiner Leistungen, bei welcher weniger der Inhalt seiner Arbeiten, sondern vor allem die Verknüpfung dieser und seiner Person mit dem Versicherungswesen im Vordergrund stehen soll.

A. Lebenslauf

Wer war C. F. Gauß eigentlich und wodurch erlangte er einen solch enormen Bekanntheitsgrad, der noch heute fortdauert? Mit dieser Frage möchten wir uns kurz auseinandersetzen bevor wir Gauß‘ Wirken auf die Versicherungsmathematik thematisieren. Hierbei soll Gauß‘ Leben als Gelehrter im Mittelpunkt stehen, wobei familiäre und politische Aspekte vernachlässigt werden (müssen).

Carl Friedrich Gauß, geboren am 30. April 1777 in Braunschweig als Sohn eines vielseitigen Arbeiters, war bereits als kleiner Junge von der Mathematik begeistert. Später sagte Gauß über sich selbst, er habe das Rechnen vor dem Sprechen gelernt; Zahlen waren seine Spielsachen.2 Als Siebenjähriger, so heißt es, entwickelte der kleine Gauß bereits die nach ihm benannte Summenformel in der Braunschweiger Anfängerschule. Eine von seinem Lehrer Büttner gestellte Aufgabe, die der länge- ren Beschäftigung der Schüler dienen sollte, nämlich die Zahlen von 1 bis 100 zu- sammenzuzählen, löste der damals Siebenjährige auf Anhieb, indem er fünfzig Gruppen von je zwei Zahlen bildete, deren Summe jeweils 101 entsprach (1+100; 2+99; 3+98;ǥ).3 So kam er durch das Verfünfzigfachen der Summe (50*101) auf das richtige Ergebnis von 5050.4

Glaubt man den Erzählungen, so darf man Gauß gut und gerne ein mathematisches Wunderkind nennen. Nicht verwunderlich ist es daher, dass Herzog Karl Wilhelm Ferdinand von Braunschweig bald auf den Schüler aufmerksam wurde und ihm aus eigenen Mitteln den Besuch des Gymnasiums und anschließend des Collegium Carolinum im Jahr 1792 ermöglichte.5 1795 begann Gauß dann sein Mathematik- studium an der Universität Göttingen, wo ihm im Alter von achtzehn Jahren Ƿehe er aus dem Bette aufgestanden war“6 als Erster die Lösung eines seit zwei Jahrtau- senden unbehandelten Problems gelang: Die Konstruierbarkeit eines regelmäßigen Vielecks, nur mithilfe von Zirkel und Lineal (den sogenannten Ƿeuklidischen Werk- zeugen“).7

Zur gleichen Zeit wendete Gauß außerdem die ǷMethode der kleinsten Quadra- te“ zur Ausgleichung von Beobachtungsfehlern an. 1850 schrieb er seinem Freund Schuhmacher, dass er der festen Überzeugung gewesen sei, Ƿjeder im Schulfach nicht ganz Fremde könne gar nicht umhin, sogleich diese Grundidee zu finden, so- bald er sich nur überhaupt die Frage klar vorstelle“. Aus diesem Grund Ƿhabe er auf die Grundidee der Methode niemals irgendeinen Wert gelegt“.8 Obwohl ihr Gauß selbst zunächst keine große Bedeutung zukommen ließ, stellt sie jedoch einen überaus wichtigen Baustein der Wahrscheinlichkeitstheorie und auch der Versi- cherungsmathematik dar. Deshalb werden wir später noch auf die ǷMethode der kleinsten Quadrate“ zu sprechen kommen.9

1798 kehrte Gauß nach Braunschweig zurück um alsbald in Helmstedt zu promovieren. Immer noch genoss er die finanzielle Unterstützung des Herzogs und nahm sie dankbar entgegen. Aufgrund der engen Verbundenheit zum Herrscherhaus lehnte Gauß auch zahlreiche Rufe, etwa nach St. Petersburg, ab. Stattdessen beschloss er nach seiner Dissertation, die den Fundamentalsatz der Algebra behandelte, in Braunschweig zu bleiben.10

Die Dissertation stellte für Gauß jedoch lediglich eine Randerscheinung seiner wissenschaftlichen Tätigkeit zu jener Zeit dar. Es war sein im Jahre 1801 erschienenes Werk über die Zahlentheorie ǷDisquisitiones arithmeticae“, das den jungen Gelehrten, vor allem aufgrund der darin entfalteten Gedankentiefe, zu dem Kreis der führenden Mathematiker seiner Zeit aufstiegen ließ.11

In den darauffolgenden Jahren widmete sich Gauß hauptsächlich der Astronomie und Geodäsie und führte eine Landesvermessung des Herzogtums Westfalen durch. Darüber hinaus glückte ihm die Bahnbestimmung von Himmelskörpern, wie etwa des Planeten Ceres. Sein astronomisches Hauptwerk ǷTheoria motus corporum coelestiumǥ“ erschien im Jahr 1809 und definiert unter anderem die Normalverteilung, die eng mit der ǷMethode der kleinsten Quadrate“ zusammenhängt. Erst zu diesem Zeitpunkt, als Gauß von letzterer Gebrauch machte, erkannte er deren Bedeutung und praktischen Nutzen für die Optimierung von Messdaten.12

Schließlich nahm Gauß 1807 eine Berufung an die Göttinger Universität als Profes- sor der Astronomie und Direktor der Sternwarte an, wo er bis zu seinem Tode am 23. Februar 1855 verweilte.13 Eine Aufzählung all seiner Leistungen und Werke in diesem Zeitraum würde den Umfang dieser Arbeit ausufern lassen und deren Zweck verfehlen. Auf jeden Fall ist aber das von Gauß im Jahr 1845 verfasste Gutachten über die Vermögenslage der Professoren-Witwen- und -Waisenkasse der Universität Göttingen zu nennen.14 Seine Arbeit für jene Alters- und Hinterbliebenenversorgung zeigt, dass sich Gauß auch mit dem Versicherungswesen beschäftigt hat, weshalb wir auch hierauf noch näher eingehen werden.15

B. Gauß‘ Beitrag zum Versicherungswesen

I. Einleitung - Die Rolle der Versicherungsmathematik

Um C. F. Gauß‘ Beitrag zum Versicherungswesen begreifen zu können, ist zunächst ein genaueres Verständnis des Versicherungsbegriffs notwendig. Das Versiche- rungswesen ist das Erkenntnisziel der Versicherungswissenschaft, welche keine einheitliche, in sich homogene, sondern vielmehr eine fachübergreifende Sammel- wissenschaft darstellt. Sie umfasst neben dem Versicherungsrecht und der Versi- cherungsökonomie insbesondere die Versicherungsmathematik, die bei der syste- matischen Durchdringung realer Lebenssachverhalte zur Anwendung kommt.16

Besonders deutlich wird dies im Bereich der Lebensversicherung, die seit vielen Jahrzehnten ohne Versicherungsmathematik nicht denkbar ist. Ausgehend von den Vorsorgebestrebungen der Gesellschaft, gewannen die Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie andere Methoden zur Erfassung der Sterblichkeit an Bedeutung.17 Gerade hierzu konnte auch Gauß einen entscheidenden Beitrag leisten.

Neben der Theorie beschäftigte sich Gauß aber auch mit der Praxis des Versiche- rungswesens, namentlich mit der Professoren-Witwen- und -Waisenkasse in Göt- tingen, über deren finanzielle Situation er 1845 ein bedeutsames Gutachten ver- fasste.18

II. Beitrag zur Versicherungsmathematik (Theorie)

1. Geschichte und Entwicklung der Versicherungsmathematik

Zur genaueren Einordnung Gauß‘ in die Versicherungsmathematik wollen wir zunächst einen Blick auf die Zeit vor seinem Schaffen werfen.

a) Die Wechselbeziehung zur Lebensversicherung

Die Entwicklung der Versicherungsmathematik hängt eng mit der Geschichte der Lebensversicherung zusammen. Dieser Zusammenhang basiert keineswegs auf bloßem Zufall, sondern ergibt sich aus dem Umstand, dass zur bestmöglichen Ver- wirklichung des Versicherungsgedankens - der Alters-/Hinterbliebenenvorsorge - ein funktionierendes System erforderlich ist. Ein solches lässt sich nur mithilfe der Mathematik und deren Anwendung in ökonomisch sinnvoller Weise entwerfen.

Die Bedeutung der Versicherungsmathematik erkannte Jan de Witt (1625-1672), einer der größten Staatsmänner Hollands, schon im Jahr 1671, indem er beschwor: ǷIhr sprecht und faßt Resolutionen über Probleme, die sich nur mithilfe der Mathematik behandeln lassen.“19 Er richtete sich dabei an holländische Staatsmitglieder, die zur Finanzierung des damals stark verschuldeten Landes Leibrenten deutlich unter Wert verkaufen wollten. De Witt gelang dabei erstmals die technisch richtige Berechnung der Leibrente unter Berücksichtigung des Zinses und einer angenommenen Sterblichkeitsverteilung.20

b) Die Sterblichkeit - von Annahmen bis hin zur Wahrscheinlichkeitstheorie

Der Zins stellt die erste von drei Rechnungsgrundlagen der Lebensversicherung dar. Er wird benötigt um den Barwert (=Gegenwartswert) einer Rente zu ermitteln, deren Auszahlung erst später bei Eintritt des Versicherungsfalls (=Erreichen eines bestimmten Alters) erfolgt. Hinzu kommt als zweite Rechnungsgrundlage ein Kos- tenzuschlag für Aufwendungen jeglicher Art (z. B. Verwaltungskosten). Letztlich bildet die Sterblichkeit die dritte Rechnungsgrundlage, mit der wir uns genauer auseinandersetzen wollen. Sie muss Berücksichtigung finden, um abschätzen zu können, ob und wie lange die Rente vom Versicherten bezogen wird. Je älter der Versicherte wird, umso länger muss die Rente ausbezahlt werden und umso höher ist folglich der Leibrentenwert.

Dieser Zusammenhang zwischen Rentenwert und Alter wurde bereits früh erkannt. Weniger ersichtlich war allerdings, wie die Messung der Sterblichkeit eines Men- schen zu erfolgen hatte. De Witt setzte bei seiner Berechnung eine Abfallsordnung voraus, die das menschliche Leben in vier Abschnitte teilte (4-53, 54-63, 64-73, 74-80). Sodann traf er die Annahme, dass die halbjährlich eintretenden Todesfälle im ersten Abschnitt konstant d, im zweiten 2/3d, im dritten 1/2d und im vierten Ab- schnitt 1/3d seien.21

Mit bloßen Annahmen über die Sterblichkeit wollte sich der damalige Mathemati- ker und Bürgermeister von Amsterdam Johannes Hudde (1628-1704) jedoch nicht zufrieden geben. Er entwickelte anhand einer Gesamtheit von 1495 Leibrentenin- habern die älteste bekannte ǷSterbetafel“, also eine Ausscheideordnung dieses Kol- lektivs.

In England veröffentlichte Edmond Halley 1693 die erste wirklich nützliche Ster- betafel, beruhend auf Sterblichkeitserhebungen aus den Breslauer Sterberegistern für die Jahre 1687-1690.22 Er definierte für jedes Alter x unter Berücksichtigung der im jeweiligen Alter Überlebenden die Lebenswahrscheinlichkeit (probabili- ty of life)[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].23 Sie sagt aus, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Alter x+1 erreicht wird. Die Wahrscheinlichkeit einer x-jährigen Person, vor Erreichen des Alters x+1 zu sterben, also die Sterbewahrscheinlichkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist dementsprechend [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] . Ausgehend von den unterschiedlichen Sterbewahrscheinlichkeiten berech- nete Halley sodann den Rentenbarwert für jedes durch fünf teilbare Alter (siehe Tabelle 1).

Tabelle 1: Sterbetafel nach Edmond Halley (1693)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nicht lange dauerte es, bis der Gedanke auftauchte, den Sterblichkeitsverlauf in einer mathematischen Formel zusammenzufassen, also ein von gewissen logischen Grundtatsachen ausgehendes ǷSterblichkeitsgesetz“ aufzustellen. Abraham de Moivre (1667-1754), dem die Totenzahlen der Sterbetafel relativ konstant er- schienen, entwarf das erste Absterbegesetz, bei welchem er einen linearen Abfall der Zahl der Lebenden annahm. Tatsächlich fällt bei genauerer Betrachtung von Halleys Tafel auf, dass von den Altersklassen 30 bis 80 die jeweiligen Totenzahlen kaum variieren. Er vereinfachte darum Halleys Rechnungen durch die Formel = 86 − , wobei 86 das höchste vorkommende Alter und die ǷLebensergän- zung“ darstellt. Die Lebensergänzung beschreibt zugleich die Zahl der im Alter x Lebenden, die jährlich um 1 sinkt. 24 25

Es folgten zahlreiche weitere Versuche von Mathematikern ein Sterblichkeitsgesetz (ähnlich den physikalischen Grundgesetzen) aufzustellen. Hier taucht auch Carl Friedrich Gauß zum ersten Mal in der Geschichte der Versicherungsmathematik auf, der Untersuchungen über die Kindersterblichkeit in den ersten sechs Monaten durchführte und diese in einer Formel mit großer Genauigkeit abbilden konnte.26

Letztlich kam man jedoch zu der Erkenntnis, dass die Sterblichkeit nicht eindeutig definierbar sei und von zu vielen Ursachen abhinge, als dass sie sich in ein Gesetz fassen ließe. Man versuchte deswegen mittels abgeleiteter analytischer Funktionen, die empirischen Tafelwerte durch Rechnungen so gut wie möglich nachzubilden.27

So stellte zunächst Johann Lampert im Jahr 1780 eine solche Funktion auf, die je- doch bald darauf von Benjamin Gompertz (1779-1865) übertroffen werden konnte, indem dieser eine Funktion mit geometrisch progressivem Sterblichkeitsverlauf erstellte.28

2. Die Rolle des C. F. Gauß - Ausgleichung von Sterbetafeln

Im Folgenden soll nun erläutert werden, welche Stellung C. F. Gauß bei der Entwicklung der Versicherungsmathematik eingenommen hat.

Die eben erwähnten Funktionalausdrücke, welche die beobachteten Sterblichkeitswerte reproduzieren sollen, hängen von Konstanten ab, die aus den tatsächlich beobachteten Werten zu bestimmen sind. So weist bspw. die Formel von Gompertz 3 Konstante auf, welche durch das Einsetzen von nur 3 beobachteten Alterswerten berechnet werden können. Anhand dieser Konstanten werden daraufhin alle übrigen erwarteten Alterswerte rechnerisch ermittelt.

Es ließe sich nun vermuten, dass, egal welche 3 beobachteten Alterswerte man kombiniert, immer dieselben Werte für die Konstanten hervorgehen. Demzufolge müssten auch die mittels der Konstanten berechneten Alterswerte identisch mit den beobachteten sein. Da jedoch, wie wir bereits festgestellt haben, die Sterblich- keitsbeobachtungen keinem Gesetz folgen, trifft diese Vermutung keineswegs zu.

[...]


1 Worbs, Gauß - Ein Lebensbild, S.11.

2 Worbs, Gauß - Ein Lebensbild, S.17.

3 Wussing, Gauss, S. 11.

4 Die gaußsche Summenformel, auch Ƿkleiner Gauß“ genannt:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

5 Bieberbach, Gauß - Ein deutsches Gelehrtenleben, S. 18. 6

6 Gauß in einem Brief an Gerling am 6. Januar 1819.

7 Worbs, Gauß - Ein Lebensbild, S. 29.

8 Bieberbach, Gauß - Ein deutsches Gelehrtenleben, S. 25.

9 siehe B. II. 3.

10 Koch, Pioniere des Versicherungsgedankens, S. 251.

11 Wussing, Gauss, S. 32.

12 Bieberbach, Gauß - Ein deutsches Gelehrtenleben, S. 43 f.

13 Koch, Pioniere des Versicherungsgedankens, S. 251.

14 Koch, VW 1998, 85 (88).

15 siehe B. III.

16 Nell, NversZ 2000, 164 (165).

17 Koch, Pioniere des Versicherungsgedankens, S. 41.

18 Koch, VW 1998, 85 (88).

19 Braun, Geschichte der Lebensversicherung, S. 85.

20 Neuburger, ZVersWiss 1974, 107 (112).

21 Rosmanith, Math. Statistik der Personenversicherung, S. 65.

22 Heilmann, VW 1993, 239 (240).

23 Wiesler, Grundlagen der Lebensversicherungsmathematik, S. 160. 11

24 Neuburger, ZVersWiss 1974, 107 (113); Es ist zu beachten, dass die Tabelle das Alter im 5er- Intervall darstellt, also kein +1 , sondern nur +5 abgelesen werden kann.

25 Rosmanith, Math. Statistik der Personenversicherung, S. 68.

26 Braun, Geschichte der Lebensversicherung, S. 251.

27 Rosmanith, Math. Statistik der Personenversicherung, S. 68.

28 Braun, Geschichte der Lebensversicherung, S. 252. 13

Details

Seiten
27
Jahr
2015
ISBN (eBook)
9783668471146
ISBN (Buch)
9783668471153
Dateigröße
1.3 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v369526
Institution / Hochschule
Universität Mannheim
Note
1,0
Schlagworte
carl friedrich gauß fortentwicklung versicherungsmathematik

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Titel: Carl Friedrich Gauß und die Fortentwicklung der Versicherungsmathematik