Lade Inhalt...

Liftkoeffizienten für Standardprofile aus kubischen Ersatzfunktionen

Beitrag zu Strömungswirklichkeit von Surfboardfinnen

von Dipl.-Ing. Michael Dienst (Autor)

Wissenschaftlicher Aufsatz 2017 10 Seiten

Ingenieurwissenschaften - Schiffstechnik, Schiffsbau, Ozeantechnik

Leseprobe

Es besteht die Absicht, auch schmutzige Codes einzusetzen. Die Verfügbarkeit eines virtuellen Raumes und die schieren Möglichkeiten die dieses neuartige Instrument in der Forschung eröffnet, haben unsere Phantasie beflügelt. Strömungsphänomene und deren computergestützte Simulation könnten zukünftig in der Nähe der Echtzeit berechnet und dargestellt werden. Hierzu sind Substitute - insbesondere für Datentransfervorgänge während und nach der der fluidmechanischen Analyse - zu entwickeln und auf ihre Tauglichkeit zu untersuchen. Vielleicht sind diese Codes ja nicht nur quickndirty sondern auch hinreichend genau. Eine Möglichkeit der Beschleunigung von Computerprogrammen besteht in der Substitution von Datenbankprozessen (Heap) durch Algebra (Stack). Der Aufsatz beschreibt eine sehr einfache Methode berechnete, auf Datenstrukturen abgelegte und verfügbare Integralwerte aus Strömungssimulationen, durch kubische Splines zu ersetzen.

Intro. Bei der Ermittlung der Strömungswirklichkeit von Surfboardfinnen zum Einsatz kommenden Computermodelle von standardisierten, Laborfinnen gehört eine grobe Abschätzung des Lifts, des Form- und des Reibungswiderstands zu den ersten Vorüberlegungen der Gestaltungsaufgabe. Neben Klärung der relevanten geometrischer Kenngrößen des Strömungskörpers und Kenngrößen der Fluide (Dichte, Temperaturbereich, Transportkoeffizienten) liefern Aussagen über das Wechsel- wirkungsgeschehen des Strömungskörpers im Strömungsfeld (Strömungsgeschwindigkeit und Strömungsrichtung) erste quantitative Aussagen damit frühe Entscheidungen und das Lösungs- prinzip zum Erfüllen einer Gesamtaufgabe zu begründen. Eine Kenngröße des Wechselwirkungs- geschehens des Finnenprofils im Strömungsfeld ist der Lift. Für eine erste Abschätzung des Wellenwiderstands werden in der Praxis der frühen Phase der Produktentwicklung Liftkoeffizienten aus Messreihen oder potentialtheoretischen Untersuchungen in Abhängigkeit vom Anstellwinkel in Tabellenform oder in Diagrammen angeboten. Im Laboralltag und in der Forschungspraxis werden diese Werte nicht selten graphisch und von Hand mit Lineal und Zirkel abgegriffen. Der nachstehende Aufsatz führt auf eine Darstellung des Liftkoeffizienten in einer Ersatzfunktion (Polynom 3ten Grades) die bestimmte Gütekriterien erfüllt und auch für numerische Implementationen geeignet ist.

Ersatzfunktionen. Ein Spline n-ten Grades ist eine Funktion, die stückweise aus Polynomen (n-ten) Grades zusammengesetzt ist. Dabei werden an den Stellen, die zwei Polynomstücke koppeln bestimmte Bedingungen gestellt, etwa dass der Spline (n-1)-mal stetig differenzierbar sei. Ist der Spline eine stückweise lineare Funktion, so heißt er linear (Polygonzug); analog gibt es quadratische, kubische Splines usw. Der Begriff Spline wurde zuerst in einer englischen Veröffentlichung von Isaac

Jacob Schoenberg [1] im Jahr 1946 für glatte, harmonische, zusammengesetzte mathematische Kurven dritten Grades eingeführt. [2] Splines dienen der Interpolation und Approximation von Kurven aus vorgegebenen Wertemengen, beispielsweise Berechnungs- oder Messdaten. Durch ihre stückweise Definition sind sie flexibler als Polynome und dennoch relativ einfach. Namensgebend ist die in der Schiffskonstruktion und Yachtdesign verwendete elastische „Straklatte" (engl.: spline), eine Art flexibles Lineal das an einigen Stützstellen (Knoten) durch Gewichte (Molche) fixiert wird und eine (natürlich) gekrümmte Linie abbildet. Die Krümmung der Kurve entspricht dabei der eines kubischen Splines, durch die an Normalkraft freien Lagerungen an den Stützstellen ist die Spannungsenergie der Straklatte minimiert, sie weisen eine minimale Gesamtkrümmung auf. Jedes Teilstück der Kurve ist dabei durch eine kubische Parabel mit den Koeffizienten ai, bi, ci und di definiert. [3]

kubische Parabel aix3 + bix2 + cix + di

Die hier verwendeten kubischen Splines sind zweimal stetig differenzierbar. Alle gegebenen Punkte sind Stützstellen der Kurve und zugleich Nahtstellen zwischen den Teilkurven. In den Stützstellen stimmen jeweils sowohl beide Funktionswerte der zusammentreffenden Teilkurven, als auch die ersten S'i (xi) und die zweiten Ableitungen S''i(xi)'an der Stelle i überein (lead in, lead out). Es seien n+1 Punkte (x0|y0), (x1|y1) ... (xn|yn) gegeben, wobei

[Formel ist nicht enthalten in dieser Leseprobe]

Zur Ermittlung der Koeffizienten werden n Teilstücke des Splines definiert, mit

[Formeln sind nicht enthalten in dieser Leseprobe]

[Formel ist nicht enthalten in dieser Leseprobe] (1)

In allen gegebenen Punkten haben die gekoppelten Teilkurven gleiche Tangenten, so dass gilt: S'i-1(xi) = S'i(xi) mit der ersten Ableitung von

[Formeln sind nicht enthalten in dieser Leseprobe] (2)

Die Krümmungen der gekoppelten Teilkurven sind in allen gegebenen Punkten gleich, so dass gilt: S"i-1(xi) = S"i(xi), mit der zweiten Ableitung von

[Formel ist nicht enthalten in dieser Leseprobe]Aus dieser Gleichung folgt:

[Formel ist nicht enthalten in dieser Leseprobe] (3)

mit Form (3) und (2) folgt:

[Formel ist nicht enthalten in dieser Leseprobe] (4)

mit Form (3) und (1) folgt:

[Formel sind nicht enthalten in dieser Leseprobe] (5) (6)

mit Form (5) und (6) in (4) folgt: eingesetzt:

[Formel sind nicht enthalten in dieser Leseprobe] (7)

Mit di=yi ist auch die rechte Seite der Form (7) für i>0 und i<n bekannt. Da alle jeweiligen x bekannt sind, lassen sich die bi für 0<i<n mit einem linearen Gleichungssystem aus allen Gleichungen (7) ermitteln. Die Koeffizienten b0 und bn sind die (halben) Krümmungen im ersten und im letzten Punkt (lead in, lead out) werden hier 0 angenommen. Der Koeffizient bn dienst der Ermittlung der Koeffizienten a n-1 und c n-1 .

Die Koeffizientenmatrix der linken Seite des Gleichungssystems für b0=bn=0 wie folgt:

[Tabelle nicht enthalten in dieser Leseprobe]

Die rechte Seite ergibt sich aus (7) für die angegebenen Indizes. Die Lösungen rückwärts in (5) und (3) eingesetzt, folgen die Koeffizienten ci und ai.

Datenbasis. Die durch einen Potentiallöser erstellte Strömungswirklichkeit kann in ausgesuchten Fällen mit hoher Wahrscheinlichkeit an das reale Strömungsphänomen hinreichen. In der Potential- theorie werden, unter Berücksichtigung spezieller Randbedingungen, geschlossene (Potential-) Gleichungen aufgestellt und gelöst. Eingebettet in moderne Programmumgebungen können potentialtheoretische Codes sehr schnell sein. Wir betrachten nur ebene Strömungsfelder. Wegen der Linearität der Gleichungen gilt für Potentialströmungen das Superpositionsprinzip, das die Darstellung und Berechnung komplexer Lösungen aus der Überlagerung von einfachen Strömungen für die Elementarlösungen erlaubt. Bei Potentialströmungen ist die Zirkulation immer dann Null, wenn keine Singularitäten eingeschlossen werden. Mit der Zirkulation lassen sich Wirbelstärke und Auftriebskräfte an einem Tragflügel berechnen. Als Potential werden hierbei Skalarfunktionen verstanden, deren partielle Ableitung eine Größe mit physikalischer Bedeutung angibt. Ist eine Strömung wirbelfrei, so folgen aus dem Gradienten der Feldfunktion die Geschwindigkeitskomponenten der Strömung. Bei wirbelfreien Strömungen sind die Vektorkomponenten nicht mehr unabhängig voneinander sondern über das Potential verbunden. Nach dem Satz von Kutta- Joukowsky kann die auftriebsbehaftete Umströmung eines Profils als Kombination aus Parallel- und Zirkulationsströmung betrachtet werden, wenn die (Kutta'sche) Abflussbedingung erfüllt ist. Diese fordert ein glattes Abströmen des Fluids an der Hinterkante. Programmsysteme wie JAVAFOIL, EPPLER PROFIL und XFOIL4 sind robuste, einfache Codes zur zweidimensionalen Strömungsberechnung nach der Potentialtheorie. Sie arbeiten jedoch mit einigen Einschränkungen. Die nachfolgenden Berechnungen stammen aus JAVAFOIL. Die Analyse des Strömungsgeschehens in der Grenzschicht eines Tragflügels ist bei einem Potentiallöser direktional. Die Grenzschichtanalyse gibt also keine Rückmeldung an die potentialtheoretische Strömungslösung und enthält keine (zur Konvergenz führenden) Iterationsschleifen. Die Direktionalität schränkt damit die Aussagekraft der berechneten Strömungswirklichkeit des Potentiallösers über eine reale Strömung ein. Für das wandnahe Strömungsgeschehen berechnet JAVAFOIL keine laminaren Trennblasen und modelliert keine Strömungstrennung in derartigen Strömungsgebieten. Immer dann, wenn solche Effekte auftreten, werden die Berechnungsergebnisse ungenau. Eine Auftrennung der Strömung, wie sie bei Stall auftritt, wird nur bis zu einem gewissen Grad durch empirische modellierte Korrekturen beschrieben. Strömungstrennung und speziell Stall sind dreidimensionale Strömungsgeschehen und auch schnittweise durch einen zweidimensionalen Strömungslöser nicht darstellbar. Für Strömungszustände, die jenseits des Stallpunktes liegen, liefert der (zweidimensionale) Potentiallöser ungenaue Ergebnisse. Eine genauere Analyse der Grenzschichtströmung würde ein anspruchsvolleres Verfahren zur Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen erfordern; dies ist (im Falle einer CFD- Rechnung) mit einer Steigerung der CPU-Zeit um den Faktor 1000 verbunden.

[…]


[1] Isaac Jacob Schoenberg (* 21. April 1903, Galati, Rumänien; t 21. Februar 1990) war ein rumänisch- amerikanischer Mathematiker, bekannt für die Entdeckung von Splines.

[2 ] http://de.wikipedia.org/wiki/Spline

[3] Herleitung der Formeln und Darstellung G01 nach Brünner, A. / Siehe auch http://www.arndt-bruenner.de

[4] Das frei verfügbare Programm JavaFoil ist in der Programmiersprache Java geschrieben. The potential flow analysis is done with a higher order panel method (linear varying vorticity distribution). Taking a set of airfoil coordinates, it calculates the local, inviscid flow velocity along the surface of the airfoil for any desired angle of attack. http://www.mh-aerotools.de/airfoils/javafoil.htm

The Eppler program PROFIL from Public Domain Computer Programs for the Aeronautical Engineer containing the original source code, the source code converted to modern Fortran, and several test cases, references for the Eppler program and a revision of Eppler models that includes a correction for compressibility in: http://www.pdas.com/epplerdownload.html XFOIL wurde in den 1980er Jahren von Mark Drela als Entwicklungstool im Daedalus-Projekt beim Massachusetts Institute of Technology programmiert. XFOIL ist ein interaktives Programm zum Entwurf und zur Berechnung von Tragflächenprofilen im Unterschallbereich

Details

Seiten
10
Jahr
2017
ISBN (eBook)
9783668442849
ISBN (Buch)
9783668442856
Dateigröße
1.1 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v366746
Note
Schlagworte
liftkoeffizienten standardprofile ersatzfunktionen beitrag strömungswirklichkeit surfboardfinnen

Autor

  • Autor: undefined

    Dipl.-Ing. Michael Dienst (Autor)

    113 Titel veröffentlicht

Zurück

Titel: Liftkoeffizienten für Standardprofile aus kubischen Ersatzfunktionen