Likelihood-basierte Entscheidungstheorie unter Unsicherheit. Das Minimax-Prinzip und das Bayes-Prinzip

Contents

1 Entscheidungstheorie.. 3

2 Likelihood-basierte Entscheidungstheorie.. 4

2.1 Entscheidungstheorie: Ein ü berblick.. 4

2.1.1 Investitionsbeispiel.. 4

2.1.2 Minimax-Prinzip.. 5

2.1.3 Bayes-Entscheidung.. 6

2.1.4 Risikofunktion.. 6

2.2 Das Likelihood-Konzept.. 7

2.2.1 Likelihood-Prinzip.. 7

2.2.2 Maximum Likelihood.. 8

2.2.3 Annahmen und Eigenschaften.. 9

2.3 Likelihood-basierte Entscheidungskriterien..11

2.3.1 MPL-Kriterium.. 11

2.4 Andere Verfahren.. 14

2.4.1 LRM (Likelihood-based Region Minimax).. 14

2.4.2 MLD (Maximum Likelihood Decision).. 15

2.4.3 Decision Theory with likelihood uncertainty.. 15

2.5 Relative Plausibility.. 18

2.6 Relative Plausibility und MPL.. 19

3 Anhang.. 22

3.1 Beispiel.. 22

3.2 Berechnungen für Bayes-Entscheidung ohne Daten.. 22

3.3 Berechnungen für Bayes-Entscheidung bei Daten.. 22

3.4 Berechnungen fürs MPL-Kriterium.. 23

1 Entscheidungstheorie

Die Entscheidungstheorie ist die Sparte der Statistik, die sich mit der Lösung von Entscheidungsproblemen beschaftigt. Nahezu jeder menschlichen Handlung kann ein Entscheidungsproblem zugrunde gelegt werden, und das beobachtete Verhalten ist die aus der Entscheidungsfindung resultierende Lösung dieses Problems.

Die Entscheidungstheorie kann demzufolge in zwei Bereiche unterteilt werden [Pfohl and Braun, 1981]: Die deskriptive Entscheidungstheorie fokussiert sich auf die Erklärung und Vorhersage von Entscheidungen, die von Individuen oder Gruppen gefällt werden; die normative Entscheidungstheorie dagegen befasst sich mit der Frage, welche die beste Entscheidung für ein bestimmtes Problem ist und wie sie zustande kommen soll, welche Bedingungen gelten, welche Kriterien eingesetzt werden müssen.

Die vorliegende Hausarbeit ordnet sich dem normativen Bereich zu, und zwar dem speziellen Teilbereich der Entscheidungsfindung unter Unsicherheit. Damit ist gemeint, dass keine vollständige Informationen über den Zustand, der eintreffen wird, bekannt sind (Entscheidung unter Sicherheit), dass keine Wahrscheinlichkeiten über das Eintreffen der Zustände vorhanden sind (Entscheidung unter Risiko), sondern dass die Plausibilität der möglichen Zustände zu schatzen ist, zum Beispiel anhand von Erfahrungswerten. Die noch mögliche Alternative, dass gar keine Informationen bekannt sind, wenn also vollständige Unwissenheit herrscht, wird hier, wo es sinnvoll erscheint, besprochen.

In der Literatur werden die Begriffe Unsicherheit und Risiko oft als Synonyme verwendet, wie zum Beispiel in [Etner et al., 2012]. In dieser Arbeit wird davon ausgegangen, dass kein (vollständiges) Wissen über die Wahrscheinlichkeiten des Eintreffens der Zustände vorhanden ist, sodass von Unsicherheit - und nicht von Risiko - die Rede sein wird.

Die vorliegende Arbeit wird zunächst die Grundlagen der Entscheidungstheorie skizzieren, zwei bekannte Verfahren - das Minimax-Prinzip und das Bayes-Prinzip - vorstellen und anhand eines praktischen Beispiels aus der Vorlesung die Vorgehensweise veranschaulichen. Der Fokus liegt allerdings auf einem der Likelihood-Funktion zugrunde liegenden Entscheidungsverfahren: Im Hauptteil werden zunächst die der Likelihood zu Grunde liegende Idee und die Annahmen sowie Eigenschaften der Likelihood-Funktion erläutert und danach Entscheidungsverfahren und ihre Umsetzung eingeführt, die auf ihr basieren.

2 Likelihood-basierte Entscheidungstheorie

2.1 Entscheidungstheorie: Ein Überblick

Die Entscheidungstheorie dient dazu, für ein bestimmtes gegebenes Entscheidungsproblem die optimale Lösung zu bestimmen. Es gibt viele Kriterien, die man auswählen kann und die zu einer Lösung führen können.

Ein Entscheidungsproblem ist folgendermaßen gekennzeichnet:

[...]