Lineare Algebra in der Baustatik

Inhaltsverzeichnis

0.1. Danksagung ... 4

0.2. Einleitung . .. 5

I. Grundlagen der Mechanik und der Statik... 6

1. Vektorräume in der Mechanik... 7

1.1. Kräfte als Vektoren ... 7

1.2. Drehmomente ... 8

1.2.1. Drehmoment einer Kraft ... 8

1.2.2. Drehmoment als Kräftepaar ... 11

2. Grundlagen der Statik ...13

2.1. Statische Systeme ... 13

2.2. Koordinatensysteme und Basen ... 13

2.2.1. Globales Koordinatensystem ...14

2.3. Gleichgewichtsbedingungen ebener Systeme ... 14

2.4. Lagerreaktionen in der Ebene ... 15

2.5. Schnittreaktionen ... 17

2.5.1. Das Schnittprinzip ... 17

2.5.2. Der Verlauf von Schnittgrößen ...18

2.6. Gelenke ... 19

2.7. Statische Bestimmtheit eines Stabtragwerks ... 20

2.7.1. statisch bestimmt ... 20

2.7.2. statisch unbestimmt ... 21

2.7.3. kinematisch verschieblich ... 22

2.7.4. Notwendige Bedingung für die statische Bestimmtheit ...25

II. Berechnungsmethoden in der Statik... 26

3. Berechnung statisch bestimmter Stabtragwerke... 27

3.1. Allgemeines zur linearen Stabstatik ...27

3.2. Ermittlung von Auflagerreaktionen ...27

3.3. Simultane Ermittlung von Auflagerreaktionen und Schnittgrößen ... 28

3.3.1. Gleichgewichtsbedingungen am Einzelelement ...28

4. Berechnung statisch unbestimmter Stabtragwerke... 34

4.1. Allgemeines zu den Berechnungsverfahren für statisch unbestimmte Tragwerke ...34

4.2. Das Elastitzitätsgesetz von Hooke ... 35

4.2.1. Die elastische Längsdehnung ... 35

4.2.2. Die elastische Verdrehung des Stabachse ...36

4.3. Tragwerksverformungen ... 38

4.3.1. Knotenweggrößen ... 38

4.4. Das Weggrößenverfahren - einführendes Beispiel ... 40

4.5. Allgemeine Beschreibung des Weggrößenverfahrens ... 56

4.5.1. Statisches System ... 56

4.5.2. Knotenkraft- und Knotenweggrößen ...56

4.5.3. Stabendschnittgrößen und Stabendweggrößen ... 59

4.5.4. Der Zusammenhang zwischen Knoten- und Stabendweggrößen ... 61

4.5.5. Die Zuordnung von Stabendweggrößen auf Stabendschnittgrößen ... 65

4.5.6. Der Zusammenhang zwischen den Stabendschnittgrößen und den Knotenkraftgrößen ...68

4.5.7. Lösen des Gleichungssystems: Berechnen der Tragwerksverformungen.. 72

4.5.8. Ermittlung von Stabendschnittgrößen und Schnittgrößenverläufe ...73

4.5.9. Gelenkig angeschlossene Stäbe ... 73

5. Beispiele für den Schulunterricht... 76

5.1. Dreigelenksbrücke ... 76

5.1.1. Aufgabenstellung und Lösung ... 76

5.1.2. Lehrplanbezug und nötige Vorkenntnisse ... 79

5.2. Rampentragwer...80

5.2.1. Aufgabenstellung und Lösung ... 80

5.2.2. Lehrplanbezug und nötige Voraussetzungen ... 90

III. Mathematische Grundlagen... 92

6. Vektorrechnung ...93

6.1. Vektorräume ... 93

6.2. Linearkombinationen und Basen ... 93

6.3. Skalarprodukt ... 94

6.4. Kreuzprodukt ... 95

7. Matrizenrechnung... 97

7.1. Matrizen ... 97

7.2. InvertierbareMatrizen ... 98

7.3. Der Rang einerMatrix ... 98

7.4. Die Determinante einerMatrix ... 98

8. Systeme linearer Gleichungen... 99

9. Lineare Funktionen... 100

0.2. Einleitung

Die Baustatik kann als Bindeglied zwischen der Mechanik als Grundlagenfach und anwendungsorientierten Fächern des Bauingenieurwesens gesehen werden. Die Baustatik beschäftigt sich mit Tragwerken. Ziel ist die Berechnung der Verformung der Struktur und der Kräfte, welche in der Struktur wirken, bei Belastung. Die Methoden der Baustatik haben sich durch den Einsatz von Computern stark gewandelt. Früher wurden möglichst einfache Modelle händisch oder anhand von Tabellen berechnet. Da Computer problemlos auch größere Gleichungssysteme lösen können, werden diese für baustatische Berechnungen eingesetzt. Dafür müssen allerdings die Probleme so aufbereitet und beschrieben werden, dass sie in einem Rechner implementiert und von diesem gelöst werden können. In diesem Kontext sind die Grundlagen der linearen Algebra wie Vektorräume, Matrizenrechnung, lineare Gleichungssysteme sowie lineare Funktionen für die Baustatik unerlässlich.

In dieser Diplomarbeit werden einige Anwendungen der linearen Algebra in der Baustatik so dargestellt, dass sie auch von Studierenden und Lehrenden der Mathematik ohne besondere Kenntnisse der Baustatik gelesen werden können. Damit soll einerseits Lehrpersonen der Unterrichtsfächer Mathematik, Physik und Tragwerkslehre eine Grundlage für einen fächerübergreifenden Unterricht (Mathematik - Physik und in technischen Schulen Mathematik - Tragwerkslehre) zur Verfügung gestellt werden. Andererseits sei die Arbeit auch an Studierende gerichtet: Studierenden der Bauingenieurwissenschaften kann sie als Hilfestellung dienen, um die Inhalte aus den Grundlagenfächern Mathematik und Mechanik mit dem Fach Baustatik besser miteinander verflechten zu können.

Die Arbeit bietet interessierten Mathematikstudierenden eine Anwendung der linearen Algebra. In der Regel wird die analytische Geometrie der Ebene und des Raumes zur Motivation und Veranschaulichung vieler Inhalte der linearen Algebra herangezogen. In der Baustatik (und vielen anderen Anwendungsgebieten der Mathematik) sind aber höherdimensionale Vektorräume von größerer Bedeutung. Ein gewisses Grundverständnis der linearen Algebra wird vorausgesetzt.

Der zentrale Teil der Diplomarbeit ist Teil II. In diesem Teil werden Berechnungsmethoden für statisch bestimmte sowie für statisch unbestimmte Systeme beschrieben, wobei erklärt wird, wie die Reaktionskräfte in den Auflagern und Schnittkräfte im Bauteil ermittelt werden können. Dies ist für statisch unbestimmte Tragwerke nur dann möglich, wenn auch die Tragwerksverformung berücksichtigt wird. Daher wird hierfür auch auf die Elastizit ät eines Tragwerks und dessen Verformung zufolge der Belastung eingegangen. In diesem Kontext wird das Weggrößenverfahren als Berechnungsmethode vorgestellt und einerseits exemplarisch, andererseits allgemein und detailliert erklärt. Neben dem einführenden Beispiel werden in diesem Teil zwei Beispiele für den Schulunterricht präsentiert und mit dem Lehrplan in Beziehung gebracht.

Die Grundlagen der Mechanik und der Statik wie die Gleichgewichtsbedingungen, die Lagerung, das Schnittprinzip und die statische Bestimmtheit werden in Teil I zusammengestellt.

Im dritten Teil werden die benötigten Grundlagen aus der Linearen Algebra kurz dargestellt

Teil I. Grundlagen der Mechanik und der Statik

1. Vektorräume in der Mechanik

In diesem Abschnitt werden die für die Baustatik relevanten Bereiche der linearen Algebra eingeführt. Im nächsten Kapitel werden Bezüge zu diesen Bereichen hergestellt.

1.1. Kräfte als Vektoren

Kräfte, die im selben Punkt angreifen, werden als Vektoren betrachtet, da sie miteinander addiert und mit Zahlen multipliziert werden können. Die Resultierende von Kräften nennt man ihre Summe: Die Wirkung der Resultierenden ist die selbe wie die gemeinsame Wirkung der beiden ursprünglichen Kräfte. Die Menge alle Kräfte, die im selben Punkt angreifen bildet zusammen mit der Addition und der Multiplikation mit Zahlen also einen Vektorraum. Kräfte können miteinander addiert und mit reellen Zahlen multipliziert (Skalarmultiplikation) werden.

In der Dynamik werden mit Masse behaftete Körper oftmals als sogenannte Punktmasse idealisiert. Dabei wird die gesamte Masse in einem Punkt, in der Regel dem Schwerpunkt, konzentriert betrachtet. Greifen verschiedene Kräfte in diesem Punkt an, so können diese Kräfte addiert werden. Die einzelnen Kräfte wirken gemeinsam so als ob nur eine Kraft, nämlich die Summe der Einzelkräfte (Resultierende) wirken würde. Unter einer Kraft versteht man eine Einwirkung, welche verschiebliche Körper beschleunigen kann. Eine Kraft hat also eine ”verschiebende Wirkung“.

Kräfte, die in verschiedenen Punkten angreifen sind Elemente verschiedener Vektorräume. Zeigen sie aber in ihrem jeweiligen Vektorraum die selbe Wirkung (die selbe Verschiebung) auf ihre Angriffspunkte, so sind sie äquivalent. Ein übergeordneten Vektorraum bildet die Menge dieser Äquivalenzklassen.

Sei E beispielsweise die Zeichenebene und V der Vektorraum der Kräfte, die an beliebigen Punkten angreifen können. Sei F eine solche Kraft. Ferner t die Zeit, zu der die Kraft F auf den Körper (mit vorgegebener Masse) wirkt. Dann kann die Wirkung einer Kraft auf die Punkte der Ebene durch eine Operation des Vektorraumes V auf E beschrieben werden:

[Die Funktion ist in dieser Leseprobe nicht enthalten.]

Beträgt die Summe aller Kräfte in einem (ruhenden) Punkt Null, ist die Situation äquivalent zu jener, in der keine Kräfte angreifen. Es findet also keine Bewegung bzw. Beschleunigung statt. Der Körper befindet sich in einer sogenannten Gleichgewichtslage.

1.2. Drehmomente

In einem Körper ist die Masse beliebig auf den Körper verteilt. In diesem Fall können die Kräfte in verschiedenen Punkten des Körpers angreifen. Falls nicht alle Kräfte im selben Punkt angreifen, sind die Kräfte nicht Elemente desselben Vektorraumes. Jeder Angriffspunkt bildet dann den Ursprung eines eigenen Vektorraums. Im Allgemeinen bewirken die angreifenden Kräfte sowohl eine Translationsbewegung des Körpers als auch eine Rotationsbewegung um seinen Schwerpunkt.

Im Zusammenhang mit Rotationsbewegungen starrer Körper [1] kommt in der Mechanik der Begriff des Drehmoments vor. Das Konzept gründet auf Beobachtungen, die an folgendem Beispiel erklärt werden:

1.2.1. Drehmoment einer Kraft

Wir betrachten ein ruhendes Rad, welches um eine feste Achse gelagert ist. Das Rad kann sich also nur um diese vorgegebene Achse drehen. Greift nun eine Kraft F (z.B. an einer Speiche befestigte Schnur) tangential (senkrecht auf eine Speiche) an, so wird das Rad in Drehung versetzt. Wirkt F in Richtung der Speiche, bewegt sich das Rad nicht. Greift F in einem Winkel zwischen diesen beiden Spezialfällen, so dreht sich das Rad, allerdings mit einer geringeren Geschwindigkeit. Die drehende Wirkung ist außerdem proportional zum Betrag der Kraft sowie zum Abstand ihres Angriffspunkts von der Drehachse. Nun betrachten wir eine Kugel, welche sich um ihren Mittelpunkt (Drehpunkt) drehen kann.

[...]

[1] Ein starrer Körper ist ein physikalisches Modell ausgedehnter Objekte, bei dem angenommen wird, dass sich die einzelnen Massenpunkte stets in einem festen, unveränderlichen Abstand zueinander befinden. Das Modell des starren Körpers eignet sich z. B. für Räder, Planeten oder Tragwerksteile.