Die Mathematik der Lebensversicherung. Unter Berücksichtigung des Versicherungsaufsichtsgesetzes ab 01.01.2016

Inhaltsverzeichnis

0 Rechtfertigung

1 Etwas über das Risiko
1.1 Der Begriff des „Risikos“
1.2 Versicherbare Risiken in der Lebensversicherung
1.3 Deckung des Risikos und Produktgestaltung

2 Wer betreibt Versicherungsmathematik?
2.1 Vom Versicherungsmathematiker zum Aktuar
2.2 Der „Verantwortliche Aktuar“
2.3 Die Aufgaben des Versicherungsmathematikers
2.4 Die Versicherungsmathematische Funktion

3 Rechnungsgrundlagen
3.1 Geschichtliche Entwicklung der mathematischen Grundlagen
3.2 Wahrscheinlichkeit und Zins Einführung
3.3 Einführungsbeispiele
3.4 Kosten
3.5 Die Ordnung von Rechnungsgrundlagen

4 Prämien und Deckungskapital
4.1 Das Äquivalenzprinzip
4.2 Barwerte
4.3 Prämienkalkulation mit Barwerten
4.4 Deckungskapital und Deckungsrückstellung
4.5 Die Zinszusatzreserve

Exkurs: Verteilung von rechnungsmäßigen Abschlusskosten
4.6 Garantiewerte
4.7 Wahrscheinlichkeit und Zins Fortführung

Exkurs: Über die BU/EU-Risiken
5 Rechnungswesen
5.1 Grundbegriffe des betrieblichen Rechnungswesens
5.2 Gliederung der Bilanz
5.3 Gewinn- und Verlustrechnung (GuV)
5.4 Bewertungsprinzipien
6 Gewinn und Überschuss
6.1 Gewinnentstehung
6.2 Kontributionsgleichung und Beitragszerlegung
6.3 Beispiel zur Bilanzierung und Gewinnzerlegung
6.4 Bewertungsreserven
6.5 Gewinnverwendung

Exkurs: Zur Verteilung von Bewertungsreserven
6.6 Das Theorem von Cantelli

Exkurs: Schätzen, Varianz, Quantil
7 Solvenz und VAG ab 01.01.2016
7.1 Ziel und Aufbau der Solvenzübersicht
7.2 Einige Spezialitäten und Zusatzanforderungen
7.3 BSM und der ökonomische Szenariogenerator
7.4 ORSA

8 Besondere Themen
8.1 Preferred Life
8.2 Modellrechnung (Leistungsdarstellung)
8.3 Über die „Rendite“ eines Vertrages
8.4 Auffüllungsbedarf der Deckungsrückstellung
8.5 Technische Änderung
8.6 Variable Annuities
8.7 Asset-Liability-Management und stochastische Projektion

9 Nachlese

Literaturverzeichnis

Index

Sterbetafel DAV 1994T Männer 3,25 %

Fragenkatalog

0 Rechtfertigung

„Schon wieder eines dieser unverständlichen Traktate über Versicherungsmathematik!“ werden Sie denken. Ganz so unrecht ist das sicher nicht, und zusätzlich wird das Thema meist als lästige Pflicht bei der Ausbildung angesehen, später in der Praxis selten in der dozierten Form benötigt und das praktische Rechnen durch den Computer abgelöst. Wie oft ärgert man sich, dass dies und jenes aus „aktuariellen Gründen“ nicht geht, müssen Tabellen so akzeptiert werden, weil das „die Mathematik so vorgegeben hat“, dauert das alles viel zu lange, weil noch etwas „nachgewiesen werden muss“ - und das, obwohl es „kein BAV mehr gibt“.

Es drängt sich der Verdacht auf, dass die Mathematiker in einem Elfenbeinturm leben und unverständliche Entscheidungen herbeiführen, deren Richtigkeit sie akribisch und in ihrer eigenen Sprache beweisen und begründen.

Aber halt - versuchen wir, der Sache Gerechtigkeit widerfahren zu lassen. Wie auch immer, der Händler auf dem Markt versucht, seine Eier möglichst gewinnbringend zu verkaufen - das ist in einer Marktwirtschaft eine Binsenweisheit. Genauso legitim ist es für eine Lebensversicherung, ihre Produkte gewinnbringend und im Rahmen der gesetzlichen Möglichkeiten an die Frau oder den Mann zu bringen. Der Unterschied von Eiern zu Lebensversicherungen liegt unter anderem darin, dass Lebensversicherung ein imaginäres Produkt ist, das erst im Leistungsfall konkret wird, und dessen Preis überdies noch mit statistischen Methoden und nicht aus Einkaufspreislisten für Eier bestimmt werden muss. Zudem ist die Tatsache wohl bekannt, dass sich das Risiko (wir werden diesen Begriff noch ausführlich behandeln) mit dem Abschluss einer Versicherung verändern kann - beim Eiereinkauf ändert sich der Appetit auf Eier eher selten.

Die damit zusammenhängenden Probleme versucht die Versicherungsmathematik zu lösen. Welche Aufgaben die Mathematik in diesem Zusammenhang hat - das soll hier dargestellt werden. Das juristische und betriebswirtschaftliche Umfeld möchten wir hierbei nicht ganz unerwähnt lassen. Dabei werden wir dem Leser viele lieb gewonnene Formeln und Definitionen - auf die die "klassischen" Versicherungsmathematiker soviel Wert legen - nicht ersparen können. Aber die Gründe wieso und weshalb gerade die Formel so und nicht anders ist und teilweise auch die betriebswirtschaftlichen Hintergründe werden ausführlicher erläutert.

Sie werden solche Begriffe wie „Kommutationswert“, „Versicherungsbarwert“ und „Rentenbar- wert“ kennenlernen - nicht ohne zu zeigen, dass es auch völlig ohne diese geht(!) Die Be- kanntschaft mit „diskontierten Lebenden“ und „diskontierten Toten“ müssen Sie - leider - ma- chen. Außerdem gehen wir auf das grundlegende „Äquivalenzprinzip“ und die "Überschüsse" ausführlich ein.

Wenn Sie einen Überblick über die Tarifkalkulation in der Lebensversicherung und deren Grundlagen erhalten und es Ihnen vielleicht nach der Lektüre möglich ist, Verständnis für so manche „aktuarielle“ Entscheidung zu haben, ist das Ziel dieses Traktates erreicht.

Viel Erfolg !

Bemerkung: Wir verwenden die Begriffe "Versicherungsmathematiker" und "Aktuar" synonym, wohl wissend, dass es Unterschiede gibt. Das ehemalige Bundesaufsichtsamt für das Versiche- rungswesen wird mit BAV bezeichnet - soweit der sachliche Hintergrund historisch ihm zuge- rechnet wird. Ansonsten wird es mit BaFin (Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht) be- zeichnet.

1 Etwas über das Risiko

1.1 Der Begriff des „Risikos“

„Menschliches Handeln und Entscheiden ist in aller Regel zielgerichtet, ist zweckorientiert, selbst wenn Ziele und Zwecke häufig nicht bewusst oder gar rational ausgewählt werden.“ - so die Aussage von Helten in¹⁴. Diese offensichtlich sehr normative Feststellung über den Menschen wird als „Finalität der Zielorientierung“ bezeichnet. Als Voraussetzung bei der Definition des Risikos vereinfacht sie den Mathematikern so manches versicherungstechnische Grundlagenproblem (es gibt zum Beispiel keine „Spontis“).

Aufgrund der vielen fehlgeschlagenen allgemeinen Definitionsversuchen von „Risiko“ beschränkt sich der Mathematiker eher auf eine zweckorientierte und subjektive Definition. In diesem Sinne wird jedes menschliche Handeln und Entscheiden in zwei Kategorien unterteilt, die da sind:

(1) deterministische Vorgänge und Entscheidungen alle möglichen Ausgänge des Vorgangs und Folgerungen aus der Entscheidung können anhand der Voraussetzungen definiert, abgegrenzt, wohlunterschieden und aufgezählt werden; die Frage, welcher Endzustand zutrifft oder was aus der Entscheidung folgt, kann genau, eindeutig und ohne Zweifel vorausgesagt werden;

(2) stochastische Vorgänge und Entscheidungen im Unterschied zu (1) ist der Endzustand des Handelns bzw. die aus der Entscheidung folgenden Tatsachen nur mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit voraussagbar; oft sind die Zustände nicht genau abzugrenzen.

Die meisten Vorgänge, Handlungen und Endscheidungen in unserem Leben sind eine Mischung aus deterministisch und stochastisch (und das macht das Leben erst interessant).

Beispiele

Rechne 1+1 in unserem Zahlensystem. Das deterministische Ergebnis ist 2. Dieses Ergebnis ist immer wieder erzeugbar, egal ob mit Computer, auf dem Papier mit dem Bleistift oder im Kopf, ob in Deutschland, Frankreich oder in China.

Werfen Sie einen Würfel. Welche Zahl liegt oben? Die möglichen Ergebnisse des stochastischen Vorgangs sind 1...6.

Ein weniger triviales Beispiel für einen stochastischen Vorgang ist die Fahrt mit dem Auto von Mannheim nach Heidelberg. Ob Sie das Ziel erreichen, hängt von Ihren Fahrkünsten, dem Wetter, den anderen Fahrern und u. a. den Wegverhältnissen ab.

Gerade das letzte Beispiel verdeutlicht, woher stochastische Vorgänge eigentlich kommen - aus einem Informationsdefizit, einer gewissen Ungewissheit, Unbestimmtheit der äußeren Umstände und einer Unsicherheit über die Menge der möglichen Einflussfaktoren.

Kurze Anmerkung aus der Sicht des Aktuars:

Ein versicherungsmathematisches Beispiel für einen deterministischen Vorgang ist bei einer Terme-Fix-Versicherung der feste Auszahlungszeitpunkt. Aber auch die Tatsache, dass ein Versi- cherungsnehmer die vereinbarte Prämie zu Beginn eines Jahres zahlen muss ist ein deterministi- scher Vorgang - ansonsten kommt "Versicherung" gar nicht zustande. Ein stochastischer Vorgang ist demgegenüber zum Beispiel die Leistung aufgrund von Tod bei einer Risikoversicherung.

Als „Risiko“ wollen wir im Sinne der oben zitierten Finalität des menschlichen Handelns eine mögliche negative Abweichung vom Ziel eines Menschen bezeichnen. Unmittelbar einsichtig ist damit, dass es bei deterministischen Vorgängen kein Risiko gibt, dass das Risiko erst mit einem Informationsdefizit entsteht und mit steigendem Informationsdefizit immer größer wird.

1.2 Versicherbare Risiken in der Lebensversicherung

Um ein Risiko zu beschreiben, haben sich in der Versicherungsbranche die folgenden vier Dimensionen herauskristallisiert:

(1) Gefahr damit ist in der Lebensversicherung z. B. der Tod, die Heirat, die Berufsunfähigkeit gemeint;
(2) Objekt damit ist in der Lebensversicherung immer eine Person gemeint die versichert werden soll (bei KFZ z. B. ein Auto);
(3) Schaden damit ist der tatsächlich eingetretene Schadenfall gemeint - bei der KFZ-Versicherung etwa die Reparaturkosten nach einem Unfall, bei der Lebensversicherung ist das etwas schwer zu bestimmen;
(4) Entschädigung die Leistung, die ein Versicherungsunternehmen im Schadenfall erbringt, bei der Lebensversicherung im Todesfall etwa die Todesfallsumme.

Der Versicherungsmathematiker betrachtet nun "Versicherung" als einen Tausch des durch die Parameter beschriebenen (stochastischen) Risikos gegen die (deterministische) Prämie. Damit ist der Versicherungsnehmer zumindest von den finanziellen Folgen des Risikos entbunden. Er hat das Risiko an das Versicherungsunternehmen weitergegeben. Vordergründig ist damit zunächst nichts gewonnen. Das Versicherungsunternehmen allerdings hat - im Gegensatz zum einzelnen Versicherungsnehmer - die Möglichkeit und das Ziel viele gleichartige Risiken an sich zu binden und zu einem sogenannten Kollektiv zusammenzufassen. "Gleichartig" wird hierbei an den 4 Di- mensionen des Risikos gemessen (wir werden diesen Begriff noch genauer betrachten). Von je- dem Kollektivmitglied wird eine Preis für sein Risiko verlangt (Risikoprämie), um im Schaden- fall eine Leistung zahlen zu können. Wir sprechen dann von einem homogenen Kollektiv.

Damit eine solche Kollektivbildung sinnvoll ist - ein Risiko ist dann versicherbar - ist es u. a. notwendig, dass ein Preis für jedes am Kollektiv beteiligte Risiko kalkuliert werden kann (d. h. die Schadeneintrittswahrscheinlichkeit muss bekannt sein), und durch die Versicherungsnahme darf sich die tatsächliche Schadeneintrittswahrscheinlichkeit (ohne entsprechenden Aufpreis) nicht ändern (moralisches Risiko). Um es nochmals klar zu sagen, „homogen“ heißt, dass zwei Risiken in einem Kollektiv entweder gleich sind (gemessen an den Punkten (1) - (4)), oder für die Unterschiede muss ein entsprechender Preis verlangt werden (wenn sie in dem Kollektiv zusam- mengefasst werden sollen).

Unter diesen Voraussetzungen benutzt das Versicherungsunternehmen das "Gesetz der Großen Zahl", um die Anzahl und die Höhe der voraussichtlichen Schäden zu schätzen. Damit kann es zwar das finanzielle Risiko des Einzelnen nicht verhindern, aber durch geeignete Zu- und Abschläge auf die Prämie sein eigenes Ruinrisiko minimieren. Durch diesen Vorgang erhält der Versicherungsnehmer den sogenannten "Risikoschutz".

Wichtig ist es also, die vier Risikodimensionen für den "Risikoschutz" zu kennen. Betrachten wir die vier Dimensionen aus Lebensversicherungssicht, so ist (2) und (1) relativ leicht festzulegen (selbst dann, wenn bei (1) sich i. A. viele Geister vor Gericht streiten). Bei (3) und (4) liegt eine etwas schwierigere Situation vor, da in der Lebensversicherung der gesamte Schaden nicht in Geld gemessen werden kann (z. B. Imageverlust bei Berufsunfähigkeitsversicherung) und damit die Entschädigungssumme nicht exakt definierbar ist. Grundsätzlich gilt - wie in allen anderen Versicherungssparten auch, dass die Lebensversicherung nicht den Schaden an sich übernimmt, sondern nur die finanziellen Auswirkungen desselben zu mindern versucht. Dies führt auf die Be- griffe des „subjektiven“ und des „objektiven“ Risikos. In der Lebensversicherung versucht man, durch das subjektive Risiko zu beschreiben, wie groß der Einfluss der versicherten Person auf den Eintritt des Versicherungsfalls ist (z. B. je höher eine eingeschlossene Berufsunfähigkeitsrente ist, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit für die Berufsunfähigkeit). Objektives Risiko ist der Komplex der Schadenursachen, der nicht beeinflussbar ist, also etwa Alter, Geschlecht, Körper- größe und u. E. Familienstand.

Eng damit verknüpft ist das „moralische“ Risiko, durch das zum Ausdruck kommen soll, wie die Tatsache des Vertragsabschlusses sich auf das versicherte Risiko selbst auswirkt. Lebt die versicherte Person leichtfertiger, wenn sie eine Lebensversicherung abgeschlossen hat? Wir werden auf den Begriff nochmals zurückkommen.

1.3 Deckung des Risikos und Produktgestaltung

In der Lebensversicherungsbranche hat sich bis heute die Deckung einiger weniger ausgewählter Risiken herauskristallisiert. Beispiel sind:

- Todesfallrisiko
- Erlebensfallrisiko
- Heiratsfallrisiko
- Unfalltodrisiko
- Berufsunfähigkeitsrisiko
- Erwerbsunfähigkeitsrisiko
- Pflegefallrisiko

usw.

Dem stehen eine mehr oder minder große Anzahl von Produkten gegenüber, die ein oder mehrere Risiken decken und so in entsprechendem Rahmen sich dem tatsächlichen Versicherungsbedarf anpassen lassen (Produktgestaltung). Wir beschränken unsere Aufzählung auf die landläufigen Produkte (bzw. Tarife / Risiken).

Versicherungen ausschließlich auf den Todesfall

- reine Risikoversicherung

Im Falle des Todes innerhalb des Versicherungszeitraumes wird eine bestimmte Summe gezahlt;

- Sterbegeldversicherung

Eine Summe wird bei Tod gezahlt, wobei die Versicherungsdauer lebenslang ist.

Versicherungen auf den Todes- und Erlebensfall

- kapitalbildende Lebensversicherung

Das Lebensversicherungsunternehmen zahlt eine bestimmte Summe bei Tod und eine bestimmte Summe zu festgelegten Terminen, i. A. wenn der Ablauf erreicht wird.

Mögliche Varianten sind:

(1) Versicherung auf den Todes- und Erlebensfall 1 Leben
(2) Versicherung auf den Todes- und Erlebensfall 2 Leben
(3) Versicherung mit festem Auszahlungszeitpunkt (Terme-Fix)
(4) Aussteuerversicherung - Zahlung im Heiratsfall und bei Er- leben des Ablaufs / Beitragsfreistellung bei Tod des Versorgers und Beitragsrückgewähr bei Tod des Kindes
(5) Versicherung auf den Todesfall mit mehreren Erlebensfallleistungen

Versicherungen auf den Unfalltod

Zahlung einer Summe bei Tod durch einen Unfall Berufsunfähigkeitsversicherung

- als Hauptversicherung

Zahlung einer Rente im Berufsunfähigkeitsfall bis zu einem vereinbarten Alter oder bis zur Reaktivierung. Die Versicherung ist rechtlich selbständig.

- als Zusatzversicherung

Entweder als eigenständige Rente wie als Hauptversicherung, aber an eine zusätzliche Versiche- rung gekoppelt oder als Beitragsbefreiung im Berufsunfähigkeitsfall für eine andere Versi- cherung.

Erwerbsunfähigkeitsversicherung

Im Unterschied zur Berufsunfähigkeit - bei der die Fähigkeit einen bestimmten Beruf auszuüben versichert wird - wird bei der Erwerbsunfähigkeitsversicherung die Fähigkeit versichert, überhaupt am Erwerbsleben teilnehmen zu können (ausgenommen evtl. Beschäftigung in einem RehaZentrum o. Ä.). Erwerbsunfähig ist man also weniger schnell als berufsunfähig. Dementsprechend ist diese Versicherung entsprechend günstiger.

Rentenversicherung

Zahlung einer Rente ab einem bestimmten Zeitpunkt bis zum Tod oder einem vereinbarten Ter- min (ggf. mit einer Ansparphase, Beitragsrückgewähr im Todesfall, Rentengarantiezeit etc.). Hier wird das Risiko versichert, länger zu leben, als feste Ersparnisse eine Rentenzahlung sichern könnten.

Auch als Zusatzversicherung zu einer anderen Versicherung, bei der die Zahlung einer Rente für eine zweite versicherte Person vereinbart wird, wenn die versicherte Person stirbt. Die Zahlung dieser Hinterbliebenenrente kann sofort bei Tod der ersten versicherten Person beginnen oder erst ab einem vereinbarten Zeitpunkt erfolgen.

Pflegerentenversicherung

Zahlung einer Rente im Pflegefall und ab einem gewissen erreichten Alter.

Dread Disease

Zahlung einer vereinbarten Summe, wenn genau definierte Krankheitsfälle (Herzinfarkt, Bypassoperation, Krebs etc.) eintreten.

In neuerer Zeit kommen auch die sogenannten Fondsprodukte (Kapital- / Rentenversicherung) und indexgebundene Versicherungen verstärkt an den Markt. Hier wird der Teil des Beitrags, der für zukünftige Leistungen vorgesehen ist - etwa eine Leistung zum Ablauf der Versicherung, da- zu verwendet, Anteile an einem oder mehreren Aktien- und/oder Rentenfonds zu kaufen. Die Hö- he der Auszahlung bei Beendigung der Versicherung wird damit von der Wertentwicklung des Fonds abhängig. Analog wird bei indexgebundenen Versicherungen der genannte Beitragsteil da- zu verwendet einen Kapitalmarktindex abzubilden, etwa den DAX. Die Leistung wird damit vom Verlauf des Index abhängig.

Interessant werden auch immer mehr die sogenannte Riester-Rente und die Basis-Rente (RürupRente). Es handelt sich hierbei um Rentenversicherungen die staatlich gefördert werden (Zuschüsse, Steuerregelungen etc.) und deshalb speziellen Restriktionen bei der Kalkulation unterliegen. Wir werden im Falle der Riester-Rente besonders darauf eingehen.

Die Liste erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Letztlich ist die Produktgestaltung eine unternehmenspolitische Frage und ist deshalb auch im Zusammenhang mit den Möglichkeiten der EDV und des Marketings zu sehen. Vor allem bei der Kombination der einzelnen Produktteile und bei den Kapitalanlagemöglichkeiten der Beiträge sind mannigfaltige Variationen noch denkbar und längst nicht alle Bedürfnisse abgedeckt.

2 Wer betreibt Versicherungsmathematik?

2.1 Vom Versicherungsmathematiker zum Aktuar

Um unfruchtbaren Grundsatzdiskussionen zu entgehen, wollen wir an dieser Stelle die Deutsche Aktuarvereinigung (DAV) sprechen lassen (vergleiche auch⁴⁰ ). Der vorliegende Abschnitt ist im Wesentlichen aus dem Artikel „Das Berufsbild des Aktuars“ von M. Helbig in⁴.

Der Aktuar (frühere Bezeichnung für Gerichtsschreiber) wird im deutschen Sprachgebiet als „Versicherungsmathematiker“ bezeichnet. Deshalb werden die beiden Begriffe oft synonym ver- wendet, obwohl sie nicht ganz deckungsgleich sind. Am ehesten können wir einen Unterschied darin sehen, dass der Versicherungsmathematiker sich fast ausschließlich mit den mathe- matischen Teilen der Versicherung beschäftigt, während der Aktuar auch die Anwendung und die Verbindung zu den „vielen wirtschaftlichen, steuerlichen und gesetzlichen Vorschriften und Me- thoden“ kennen und anwenden muss. Sein Aufgabenbereich geht also über die reine Technik weit hinaus.

Vom Aktuar wird erwartet, dass er Vorgaben selbständig weiterverarbeitet und einer Lösung zu- führt. Im Rahmen seines Aufgabengebietes hat er die Bewertung und Preisermittlung vorzuneh- men sowie Prognosen zu wirtschaftlichen und demographischen Daten zu erstellen. Im Sinne die- ser Ausarbeitung stellt der Aktuar also den Anwender der mathematischen Ergebnisse früherer Mathematikergenerationen dar, und gleichzeitig verbindet er diese mit betriebswirtschaftlichen Überlegungen und gesetzlichen Vorschriften zur Planung und Steuerung der Tarifentwicklung im Lebensversicherungsunternehmen.

Die DAV beschreibt „Das Berufsbild des Aktuars“ auf ihrer Homepage⁵:

„Aktuare sind wissenschaftlich ausgebildete und speziell geprüfte Experten, die mit mathematischen Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie, der mathematischen Statistik und der Finanzmathematik Fragestellungen insbesondere aus der Versicherungswirtschaft, aber auch aus den Bereichen Bausparwesen, Kapitalanlage und Altersversorgung analysieren und unter Berücksichtigung des rechtlichen und wirtschaftlichen Umfeldes Lösungen entwickeln.

Entsprechend dieser Ausrichtung arbeiten Aktuare im Wesentlichen für Versicherungsgesellschaften, Träger der Altersversorgung und berufsständische Versorgungseinrichtungen, Banken und Bausparkassen, Beratungs- und Wirtschaftsunternehmen, aber auch für Einzelpersonen, Verbände, Behörden, Ministerien, den Gesetzgeber und als Sachverständige vor Gericht. Sie sind als Fachleute für Risikoeinschätzung und Versicherung, Versorgung und Finanzen und für die Bewertung von ungewissen zukünftigen Verpflichtungen tätig.

In letzter Zeit hat sich das Aufgabengebiet der Aktuare um Fragen der Kapitalanlage erweitert. Hauptgrund für diese Erweiterung sind die ständig wachsenden Ansprüche an das Risiko- und Er- folgsmanagement, die in einem zunehmend komplexeren Markt- und Produktumfeld sowohl un- ternehmensintern und von Kunden und Anteilseignern als auch von den staatlichen Aufsichtsbe- hörden gestellt werden. In diesem Zusammenhang stellt das sogenannte Asset-Liability- Management, die Aktiv-Passiv-Steuerung, eine wesentliche Komponente dar: Es gilt dabei, die Kapitalanlagen und die versicherungstechnischen Verpflichtungen optimal aufeinander abzu- stimmen.“

Der „Aktuar (DAV)“ ist ein Mitglied der Deutschen Aktuarvereinigung, der Standesvereinigung der Aktuare mit Sitz in Köln (ungefähr 4 500 Mitglieder / Anfang 2016). Aktuar (DAV) ist ein Titel und keine Berufsbezeichnung.

2.2 Der „Verantwortliche Aktuar“

Im Gegensatz zu den Bezeichnungen in Abschnitt 2.1 ist der „Verantwortliche Aktuar“ (VA) ein gesetzlich festgelegter Begriff, formuliert für Lebensversicherungsunternehmen in § 141 VAG. Er hat besondere Rechte und Pflichten, die der Finanzierbarkeit der Verträge, der Sicherheit des Un- ternehmens und damit letztlich dem Kundenschutz dienen. Im Wesentlichen hat er darauf zu ach- ten, dass alle Berechnungen nach aktuariellen Grundsätzen einwandfrei vorgenommen werden und die dauernde Erfüllbarkeit der sich aus den Versicherungsverträgen ergebenden Verpflich- tungen jederzeit gewährleistet ist.

Der VA muss zuverlässig und fachlich geeignet sein. Er wird vom Aufsichtsrat des Unternehmens bestellt und vor seiner Bestellung der Aufsichtsbehörde benannt. „Fachlich geeignet“ heißt in die- sem Zusammenhang eine mathematische Ausbildung an einer Universität, technischen Hoch- schule oder technischen Fachhochschule, ausreichendes aktuarielles Grundwissen (z. B. nachge- wiesen durch das Aufnahmeverfahren in die DAV), eine lückenlose einschlägige Praxis als Aktu- ar, während der letzten drei Jahre und die Erbringung des Nachweises, dass die bisherige Tätig- keit die wesentlichen aktuariellen Funktionen im vergleichbaren Umfang abgedeckt hat. Der VA hat (vgl. § 141 VAG³⁴ )

(1) sicherzustellen, dass bei der Berechnung der Prämien und der Deckungsrückstellungen die ge- setzlichen Vorschriften und die dazu erlassenen Rechtsverordnungen eingehalten werden (wir werden auf diese noch genauer zurückkommen; vgl. auch³⁰ und³¹ ). Dabei muss er die Fi- nanzlage des Unternehmens insbesondere daraufhin überprüfen, ob die dauernde Erfüllbarkeit der sich aus den Versicherungsverträgen ergebenden Verpflichtungen jederzeit gewährleistet ist,
(2) unter der Bilanz zu bestätigen, dass die Deckungsrückstellung gemäß den gesetzlichen Grund- lagen und der dazu erlassenen Rechtsverordnungen gebildet ist; in einem Bericht an den Vorstand hat er zu erläutern, welche Kalkulationsansätze und weitere Annahmen der Bestätigung zugrunde liegen,
(3) stellt er bei der Ausübung seiner Tätigkeit fest, dass er die Bestätigung nach (2) nicht oder nur mit Einschränkung geben kann hat er den Vorstand zu unterrichten und, wenn dieser nicht unverzüglich abhilft, sofort die Aufsichtsbehörde zu unterrichten; stellt er Tatsachen fest, die den Bestand des Unternehmens gefährden oder seine Entwicklung wesentlich beeinträchtigen können, hat er den Vorstand und die Aufsichtsbehörde unverzüglich zu unterrichten,
(4) dem Vorstand Vorschläge für eine angemessene Überschussbeteiligung zu machen, dabei hat er die dauernde Erfüllbarkeit der sich aus den Versicherungsverträgen ergebenden Verpflichtungen des Unternehmens zu berücksichtigen; in einem Bericht an den Vorstand des Unternehmens hat er zu erläutern, aus welchen Tatsachen und Annahmen sich die Angemessenheit seines Vorschlags ergibt (Angemessenheitsbericht),
(5) an der Sitzung des Aufsichtsrats über die Feststellung des Jahresabschlusses teilzunehmen und über die wesentlichen Ergebnisse seines Erläuterungsberichts zur versicherungsmathematischen Bestätigung zu berichten.

Bis 31.12.2015 musste der VA bestätigen (mit Unterschrift), dass das Unternehmen über ausrei- chende Mittel in Höhe der Solvabilitätsspanne verfügt, das heißt, ob das Unternehmen geeignete Aktiva (Sicherungsvermögen) den versicherungstechnischen Passiva (Sicherungsvermögen-Soll) in ausreichender Höhe gegenüber stellt. Mit Einführung von Solvency II und dem VAG ab 01.01.2016 ist das nichtmehr erforderlich, obwohl weiterhin das Sicherungsvermögen (§ 125 VAG) gefordert wird.

Der Vorstand des Unternehmens ist verpflichtet,

(1) dem Verantwortlichen Aktuar sämtliche Informationen zugänglich zu machen, die zur ordnungsgemäßen Erledigung seiner Aufgaben erforderlich sind,
(2) der Aufsichtsbehörde den Erläuterungsbericht zur versicherungsmathematischen Bestätigung sowie den Angemessenheitsbericht vorzulegen und
(3) der Aufsichtsbehörde den Vorschlag des Verantwortlichen Aktuars zur Überschussbeteiligung unverzüglich vorzulegen und mitzuteilen, wenn er beabsichtigt, eine vom Vorschlag des Verantwortlichen Aktuars abweichende Überschussbeteiligung festzusetzen; die Gründe für die Abweichung sind der Aufsichtsbehörde schriftlich oder elektronisch mitzuteilen.

Der VA kann ein Vorstandsmitglied sein oder auch eine externe Person. Er muss eine natürliche Person sein. Einen Stellvertreter gibt es nicht. Für ein tieferes Studium des VA's verweisen wir auf⁶ oder⁵.

Neben den Standesregeln für die Mitglieder in der DAV sollte der VA die Grundsätze der „Group Consultativ“ befolgen (näheres hierzu in⁶ ). Hierzu gehört auch die Verpflichtung zur Fortbildung für alle Aktuare.

Außerdem sieht das VAG die Stellung des unabhängigen aktuariellen Treuhänders (§ 142 VAG) vor, der in der Lebensversicherung seit 1994 Aufgaben übernommen hat, die früher der Aufsichtsbehörde oblagen. Im Wesentlichen sind das Aufgaben im Zusammenhang mit Änderungen von Versicherungsbedingungen und Prämien.

2.3 Die Aufgaben des Versicherungsmathematikers

Entsprechend dem in Abschnitt 2.1 gesagten können wir die Tätigkeitsbereiche des Versicherungsmathematikers wie folgt gliedern:

- Aktuar in der Versicherungswirtschaft,
- Verantwortlicher Aktuar,
- Aktuarieller Treuhänder,
- Aktuar im Bereich der betrieblichen Altersversorgung,
- Aktuar im Bausparwesen,
- Aktuar im Rückversicherungsunternehmen,
- Aktuar in einer Wirtschaftsprüfungsgesellschaft,
- Aktuar in der Beratung,
- Aktuar in der Sozialversicherung,
- Aktuar in Aufsichtsbehörden und Ministerien,
- Aufgaben in Lehre und Forschung.

Speziell in der Lebensversicherung sind die

- mathematische Beschreibung des Risikos (Formelwerk);
- Ableitung der statistischen Grundlagen;
- Tarifierung und Prämienkalkulation (d.h. welches Risiko wird wie gedeckt und zu wel- cher Prämie);
- alles was mit "Überschüssen" zu tun hat;
- Bilanzierung, externe / interne Statistik und Beitragszerlegung;
- Rückstellungsberechnung;
- Risikosteuerung und Kapitalanlagen;
- Absprachen mit der EDV;
- Rückversicherung;
- Beratung für Fachabteilungen, Marketing, Rechtsabteilung (AVB!!) usw...

wichtige Bestandteile des Tätigkeitenkatalogs. Die Aufzählung erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit.

Vor der Deregulierung im Jahre 1994 waren die Aufgaben etwas leichter. Es gab die Vorabtarif- genehmigung durch das BAV (jetzt die BaFin). Die Tarifgestaltung beschränkte sich auf die Ge- staltung der Überschussbeteiligung. Auch für diese war weitgehend vom BAV der Rahmen vor- gegeben. Niedergelegt war der Willen des BAV in sogenannten Mustergeschäftsplänen. Bevor ein neuer Tarif eingeführt werden konnte, musste vom Versicherungsunternehmen ein Geschäftsplan konstruiert und zur Genehmigung dem BAV vorgelegt werden. Abweichungen zum Musterge- schäftsplan waren zu begründen. Eine Innovation, wie wir sie etwa aus der Automobilbranche kennen, konnte damit nicht stattfinden. Insbesondere waren die einzurechnenden Kosten weitge- hend vom BAV vorgegeben und das Versicherungsunternehmen von dahingehenden Überlegun- gen entbunden. Die Regulierung ging so weit, dass alle Unternehmen mit den gleichen Tafeln und Zinssätzen für verkaufsoffene Tarife kalkulierten. Im Einzelnen enthielt ein Geschäftsplan die Angaben:

- Einführungszeitpunkt und welche Tarife ersetzt wurden
- Tarifformen und versicherte Leistungen
- Beitragszahlungsmöglichkeiten
- Zulässigkeit von Eintrittsaltern
- Zulässigkeit von Versicherungsdauern, Beitragszahlungsdauern, Versicherungssummen und Beiträgen
- wann eine Gesundheitsprüfung zu erfolgen hatte
- Zulässigkeit von Zusatzversicherungen
- Versicherungsbedingungen
- welche Gebühren erhoben wurden
- Anpassung von Beiträgen und Versicherungsleistungen
- Ausscheideordnungen
- Rechnungszins
- Kostenzuschläge
- Behandlung von Mehrfachversicherungen
- Ratenzuschläge
- Formeln für Tarifbeiträge, Erhöhungssummen, Zuzahlungen, Deckungskapital, Rückvergütungen, beitragsfreien Versicherungssummen, Bilanzdeckungsrückstellung
- wie die Versicherungsnehmer unterrichtet wurden
- wie die Verträge am Überschuss beteiligt sind
- Besonderheiten

In der Anlage (möglich bzw. teilweise zwingend):

- sämtliche sonstige Formeln und Tabellen
- Beispiel zu jeder möglichen Rechnung und jeder Formel
- sämtliche Allgemeinen Versicherungsbedingungen, Muster des Antrags, der Police, eines Policennachtrages
- besondere Nachweise und Beweise (mathematisch)

Für Verträge, die bis zur Deregulierung abgeschlossen wurden, gelten die Geschäftspläne und auch die gesamte Versicherungsaufsicht in vollem Umfang weiter (§ 336 VAG). Diese werden als „Altbestand“ oder „regulierter Bestand“ bezeichnet und sind in Artikel 16 § 2 3. Abs. Durchfüh- rungsgesetz EWG als „die bis zum 31. Dezember 1994 unter Verwendung vor dem 29. Juli 1994 genehmigter allgemeinen Versicherungsbedingungen abgeschlossene Lebensversicherungsverträ- ge“ definiert. Auf diese sind die zugehörigen genehmigten Geschäftspläne anzuwenden.

Für die nach der Deregulierung abgeschlossenen Versicherungen (Neubestand) oder „deregulierter Bestand“ muss sich der Versicherungsmathematiker selbst auf die Suche nach den geeigneten Formeln und Rechnungsgrundlagen begeben. Für diese Tarife gibt es nur eine nachträgliche Meldepflicht nach § 143 VAG [8a].

2.4 Die Versicherungsmathematische Funktion

Mit der Harmonisierung der Versicherungsaufsicht in Europa erhält die Versicherungsmathematik ebenfalls einen zusätzlichen Stellenwert (Solvency II). Jedes Versicherungsunternehmen hat eine Versicherungsmathematische Funktion zu installieren. § 31 VAG³⁴ beschreibt die Aufgaben der Versicherungsmathematischen Funktion (VmF). Aufgaben dieser Funktion sind bezüglich der Berechnung der Rückstellungen:

1. Koordinierung der Berechnung;
2. Gewährleistung der Angemessenheit der verwendeten Methoden und Modelle sowie der bei der Berechnung der versicherungstechnischen Rückstellungen gemachten Annahmen;
3. Bewertung der Hinlänglichkeit und der Qualität der Daten, die bei der Berechnung der versicherungstechnischen Rückstellungen zugrunde gelegt werden;
4. Vergleich der besten Schätzwerte mit den Erfahrungswerten;
5. Unterrichtung des Vorstandes über die Verlässlichkeit und Angemessenheit der Berechnung der versicherungstechnischen Rückstellungen;
6. Überwachung der Berechnung der versicherungstechnischen Rückstellungen in den in § 79 VAG genannten Fällen (Näherungen, Einzelfallanalysen, Datenqualität);
7. Formulierung einer Stellungnahme zur generellen Zeichnungs- und Annahmepolitik;
8. Formulierung einer Stellungnahme zur Angemessenheit der Rückversicherungsvereinba- rungen;
9. Beitrag zur wirksamen Umsetzung des in § 26 VAG genannten Risikomanagementsystems, insbesondere im Hinblick auf die Schaffung von internen Risikomodellen, und zur Risikound Solvabilitätsbeurteilung (siehe § 27 VAG).

Zur Durchführung ihrer Aufgaben soll die Versicherungsmathematische Funktion von Personen bekleidet werden, die über Kenntnisse der Versicherungs- und der Finanzmathematik verfügen, die der Wesensart, dem Umfang und der Komplexität der Risiken angemessen sind, die mit der Tätigkeit des Versicherungs- oder Rückversicherungsunternehmens einhergehen, und die ihre einschlägigen Erfahrungen in Bezug auf anwendbare fachliche und sonstige Standards darlegen können. Die Anforderungen gelten für alle Versicherung- und Rückversicherungsgesellschaften im EWR gleichermaßen.

Hervorstechende Unterschiede zwischen VmF und VA sind die, dass der VA eine natürliche Person sein muss, die VmF kann auch eine Gruppe von Personen sein, und dass die VmF eher die Solvabilität des Unternehmens prüft, der VA eher ein Instrument des Verbraucherschutzes ist. Zudem gibt es die VmF in allen Unternehmen (auch Schaden- / Unfallversicherungen) und sogar für Versicherungsgruppen.

3 Rechnungsgrundlagen

3.1 Geschichtliche Entwicklung der mathematischen Grundlagen

Mit gutem Gewissen kann gesagt werden, dass es Versicherungsmathematik vor dem 15. Jahrhundert nicht gab. Die mathematischen Wissenschaften existierten zwar schon, aber sie waren nicht so weit entwickelt, dass sie im Bereich „Versicherung“ angewendet werden konnten. Die wissenschaftliche Forschung war ohnehin in Europa zwischen der Zeit des römischen Reiches und dem ausgehenden Mittelalter auf die Klöster konzentriert - die im Großen und Ganzen lediglich die Ergebnisse der alten Griechen konservierten, so gut sie konnten.

Das soll allerdings nicht heißen, dass Versicherung nicht existierte. Hinterbliebenenversorgung wurde schon zur Zeit der Ägypter und Babylonier von Herrschern gewährt. Sterbekassenähnliche Vereinigungen gab es im römischen Kaiserreich (collegia tenuiorum) und auch die Zünfte im Mittelalter boten Leistungen an Hinterbliebene im Todesfall. Die Prämie war aber eher geschätzt und wurde - mehr oder minder - als Einmalbeitrag zur Aufnahme in die Vereinigung festgelegt. Auch Rückstellungen gab es nicht.

Erst im 15. Jahrhundert (mit der Aufklärung) nahm die Mathematik einen großen Aufschwung und mit ihr die Teile der Mathematik, die direkt mit Versicherung verbunden sind. Ausgehend von konkreten Problemen mit Spielen entwickelte sich der Wahrscheinlichkeitsbegriff. Das öfters in mathematischen Werken zitierte Problem des Chevalier de Méré bezüglich eines Glücksspiels mit Würfeln und der daraus folgende Briefwechsel zwischen Pascal (1623-1662) und Fermat (1601-1665) gilt als die Geburtsstunde der Wahrscheinlichkeitsrechnung wie wir sie heute ken- nen. Der Begriff der „Wahrscheinlichkeit“ wurde aber von Jakob Bernoulli (1645-1705) formu- liert und erst im 19. Jahrhundert in seiner endgültigen Form definiert. Die hier verwendete Wahr- scheinlichkeitsdefinition stammt von Laplace (1749-1827). Die viel gebrauchte Sterbetafel wurde erstmalig von Halley (1656-1742) in einer brauchbaren Form erzeugt. Er gewann sie durch Aus- wertung von Geburten- und Sterberegistern der Stadt Breslau, die von dem Pastor C. Neumann in den Jahren 1687-1691 ausgewertet wurden.

Systematische Zinseszinsrechnung wurde erstmalig von Stevin (1548-1620) durchgeführt. Er ver- öffentlichte die ersten Zinseszinstabellen und gab die dazu notwendigen Berechnungsformeln an.

Vom Alter abhängige Beiträge wurden wichtig bei der Bildung von „Tontinen“, benannt nach dem neapolitanischen Arzt Lorenzo Tonti (1630-1695). Zur Sanierung von Staatsfinanzen sollten eine Personengruppe (die Tontinisten) einen Einmalbeitrag zum Kauf von Staatsanleihen zahlen. Die Idee hierbei war, dass die Verzinsung in Form einer Leibrente an die noch überlebenden Ton- tinisten gewährt wurde. Die Rente stieg damit, je kleiner der Kreis der überlebenden Personen wurde. Da die voraussichtliche Rente vom Alter abhängig war, wurden die Mitglieder - nach Ein- trittsalter - in 10 Klassen geteilt (Untertontinen) und jede Klasse zahlte eine andere Prämie - er- hielt aber die gleiche Rente zugeteilt. Damit wurde erstmals die unterschiedliche Lebenserwar- tung berücksichtigt.

In Deutschland bemühten sich besonders Süßmilch (1707-1767 / erste systematische Sterblichkeitsstatistik) und Gauß (1777-1855 / erste „Barwerte“ und die „Normalverteilung“) um die Weiterentwicklung einer Lebensversicherungsmathematik.

Die ersten in Deutschland im 18. und 19. Jahrhundert gegründeten Lebensversicherungsunterneh- men hatten längeren Bestand als vergleichbare Unternehmen in England, da das Konzessionswe- sen sehr stark verbreitet war und die Unternehmen über eine große Kapitaldecke verfügen muss- ten. Aufgrund der Umstellung des Außendienstes von nebenberuflichen Vermittlern auf hauptbe- rufliche Vermittler erfolgte ein Wechsel von laufender Provision zur einmaligen Provisionszah- lung Mitte des 19. Jahrhunderts - und ein starker Aufschwung der Branche. Die sich daraus erge- benden finanziellen Probleme bei stark wachsenden Beständen wurden von Zillmer (das sog. Zil- lmerverfahren von 1863) aufgegriffen und zumindest bilanztechnisch gelöst. Nach seinem Vor- schlag werden die Abschlusskosten der Deckungsrückstellung des Kollektivs entnommen und während der Laufzeit durch die Beitragszahlung getilgt. Die letzten hundert Jahre bis zur Deregu- lierung waren geprägt durch das Bundesaufsichtsamt für das Versicherungswesen (BAV) und sei- ne Vorläufer (seit 1901). Diese legte die Rechnungsgrundlagen und Formeln verbindlich für die gesamte Branche fest.

Seit der Deregulierung muss sich der Aktuar selbst auf den steinigen Weg machen, die Kalkulationsgrundlagen für seine Tarife zu finden. Die Formelzusammenstellung ist noch der einfachste Teil der ganzen Datensuche, denn hierüber haben sich viele Mathematiker schon Gedanken gemacht. Die gesetzlichen Grundlagen hierfür sind im Wesentlichen im HGB⁷, dem VAG³⁴, dem VVG³ und den dazu erlassenen Rechtsverordnungen⁸,³⁰ gegeben.

Die beiden zentralen Begriffe der gesetzlichen Grundlagen sind die Prämie und die Deckungs- rückstellung. In § 138 VAG ist die Berechnung der Prämie geregelt. Insbesondere wird festge- stellt, dass bei der Berechnung der voraussichtlichen Leistungen angemessene Si- cherheitszuschläge verwendet werden müssen, die Verwaltungskosten ausreichend zu berücksich- tigen sind und dass beim Zins nicht beliebig hoch gegangen werden kann. Vor allem wird gere- gelt, dass alle Leistungen auf Dauer aus Prämienzahlungen bestritten werden müssen. In Absatz 2 ist der sogenannte „Gleichbehandlungsgrundsatz“ bei gleichen Voraussetzungen festgeschrieben. Er besagt im Wesentlichen, dass innerhalb eines homogenen Kollektivs Prämien und Leistungen (inkl. Überschussbeteiligung) nicht so berechnet werden dürfen, dass Teile bevorzugt oder be- nachteiligt werden. „Quersubventionen“ sind also verboten. Unter „gleichen Voraussetzungen“ versteht man in diesem Zusammenhang:

1. gleiches Risiko, d. h. Todesfallrisiko, Erlebensfallrisiko, Invalidisierungsrisiko;
2. gleiche objektive Unterscheidungsmerkmale, d. h. etwa Alter, Geschlecht, Raucher / Nichtrau- cher usw.;
3. objektive Kollektivzugehörigkeit, d. h. Einzelversicherung oder Kollektivversicherung mit/ohne eigene Vertragsabrechnung;
4. gleiche Methode der Risikoeinschätzung, d. h. etwa gleiche Risikoprüfung / Gesundheitsfra- gen;
5. gleiche Form der Kapitalanlage;
6. Zeitpunkt des Vertragsbeginns, d. h. bis zu einem bestimmten Termin wird die Versicherungs- form verkauft.

Dem Aktuar obliegt es klarzustellen, wann gleiche Voraussetzungen bei einem Kollektiv vorlie- gen.

In § 138 VAG taucht auch schon der Begriff „Deckungsrückstellung“ auf. „Spare in der Zeit, so hast du in der Not“ lautet das Sprichwort. Genau diesem wird in § 341f des HGB Rechnung ge- tragen und in § 138 VAG zurückgegriffen. Was hat es damit auf sich? Der Eierverkäufer ganz zu Beginn dieser Ausarbeitung weiß, dass er nicht alle Eier verkaufen kann. Eine gewisse Anzahl geht kaputt, ist qualitativ zu schlecht oder sei es auch nur, dass die Verkaufszahlen von Tag zu Tag schwanken. Es ist deshalb durchaus legitim, einen Zuschlag auf den Verkaufspreis zu erhe-

ben, der zurückgelegt wird und aus dem sowohl Einnahmeschwankungen ausgeglichen werden als auch Leistungen an Lieferanten und Kunden zu erbringen sind - soweit sie nicht aus dem Verkaufspreis gedeckt werden können. Genau das tut ein Lebensversicherungsunternehmen auch in Form der Deckungsrückstellung - nur in einem relativ großen Umfang, da das Hauptgeschäft auf Leistungszusagen für die Zukunft beruht. In § 341f HGB ist nur die Verpflichtung zur Stellung einer Deckungsrückstellung festgelegt. In § 138 VAG wird angeordnet, dass die dazu notwendigen Mittel aus Prämienzahlungen stammen müssen.

Zunächst ist die Berechnung der Deckungsrückstellung völlig unabhängig von der Prämienberechnung (ein in der Lebensversicherung gewöhnungsbedürftiger Umstand). Der Höchstzinssatz zur Berechnung wird in § 88 VAG (mit Verweis auf eine konkretisierende Deckungsrückstellungsverordnung³¹ ) festgelegt. Hier befinden sich auch weitere Festlegungen, auf die wir in den folgenden Abschnitten zu sprechen kommen.

Übrigens: Der Begriff "Deckungsrückstellung" ist in § 341f HGB definiert und macht nur zu ei- nem bestimmten Bilanzzeitpunkt für einen Bestand (oder auch Teilbestand) Sinn. Das "De- ckungskapital" ist grundsätzlich einzelvertraglich, zu einem beliebigen Zeitpunkt innerhalb der Versicherungsdauer und bestimmt mit den Formeln und Grundwerten die für den Aktuar zu die- sem Zeitpunkt zwingend sind. Die beiden Begriffe haben also einen ganz verschiedenen Hinter- grund, obwohl es - zufällig - sein kann, dass das einzelvertragliche Deckungskapital per 31.12. gleich der Deckungsrückstellung für einen Bestand ist, der gerade aus diesem einen Vertrag be- steht (vgl. hierzu¹⁵ ).

Die berechnete notwendige Deckungsrückstellung zur Deckung der zukünftigen Leistungsverpflichtungen muss natürlich mit einem entsprechenden Gegenwert, das heißt eine Kapitalmenge oder Kapitalanlage, bedeckt werden. Diese Kapitalmenge nennt man das Sicherungsvermögen (früher auch den „Deckungsstock“). Welche Kapitalanlageformen dazu verwendet werden dürfen und wie dabei zu verfahren ist, regeln die §§ 124 und 125 VAG.

Die Kapitalanlagepolitik allgemein wird in § 124 VAG (Anlagegrundsätze, die Verordnung dazu gilt ab dem 01.01.2016³⁵ nur noch für Pensionskassen, Sterbekassen, kleine Versicherungsunternehmen; die allgemeine Neuregelung ist prinzipienorientiert und richtet sich nach Solvency II) geregelt, da ein Lebensversicherungsunternehmen eine Spar- und Sicherungsfunktion für den Versicherungsnehmer besitzt, die nicht erlaubt, dass beliebig mit dem vorhandenen Kapital im Versicherungsunternehmen gearbeitet werden kann. Die Art und Weise wie an den entstehenden Überschüssen die Versicherungsnehmer zu beteiligen sind, ist in § 140 VAG festgelegt. Die dazu gehörige Verordnungsermächtigung geht aus § 145 VAG (Verordnungsermächtigung; Zuführung zur Rückstellung für Beitragsrückerstattung) hervor.

Die Berechnung der sogenannten Garantiewerte für einzelne Lebensversicherungsverträge wird in den §§ 165 (Prämienfreie Versicherung), 166-168 (Kündigung) und 169 (Rückkaufswert) im VVG vorgeschrieben.

Wir betrachten im folgenden Abschnitt die einzelnen Kalkulationsgrundlagen von der mathematischen Seite.

3.2 Wahrscheinlichkeit und Zins Einführung

Unter einer Menge im mathematischen Sinne verstehen wir eine Zusammenfassung von wohldefinierten und unterscheidbaren Dingen unserer Begriffswelt. Die Dinge in einer Menge heißen Elemente. Eine Menge wird durch die explizite Aufzählung der Elemente in

{ }

beschrieben. Zum Beispiel wird die Menge der möglichen Augenzahlen eines Würfels durch { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

dargestellt. Wichtig ist noch, die Anzahl der Elemente in einer Menge zu kennen. Sie wird durch

|{....}|

ausgedrückt. In unserem Beispiel mit der Menge der Augenzahlen eines Würfels wäre |{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 }| = 6,

da die Anzahl der Zahlen von 1 bis 6 eben gerade 6 ist. Angenommen der Würfel würde einmal geworfen und wir würden fragen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine Zahl aus einer

Teilmenge von 1 oben liegt. Zum Beispiel: Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit

eine 4 zu würfeln (die Teilmenge lautet dann {4})? Wir bezeichnen diese mit P({4}). Doch of-

fenbar

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Etwas allgemeiner schreiben wir P(A), wenn wir die Wahrscheinlichkeit bezeichnen wollen, dass ein Element (manche sagen auch "günstiges Ereignis") aus der Menge A zutrifft, unter allen Ausgängen, die bei dem betrachteten Vorgang vorkommen können (manche sagen auch "mögliche Ereignisse"). Damit definieren wir

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Genauso wäre zum Beispiel[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und entsprechend beim Werfen einer Münze mit 6 2

den möglichen Ausgängen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

In der Versicherungsmathematik ist es natürlich von viel größerem Interesse, ausgehend von einer Menge von Personen (dem homogenen Kollektiv) zu wissen, wie viele nach einem Jahr noch le- ben. Wir wissen zwar nicht wer das Versicherungsjahresende erleben wird, aber mit Hilfe von statistischen Methoden können wir schätzen, wie viele von den zu Anfang lebenden, das Ende er- leben werden. Wir tun also so, als wüssten wir, wie viele Personen unseres Kollektivs das nächste Jahr erleben werden (deterministisches Modell), dann können wir diese in zwei Mengen schrei- ben, etwa so

{Person lebt zu Jahresbeginn} bzw. {Person lebt zu Jahresende}.

Wir definieren die Wahrscheinlichkeit p, das nächste Jahr zu erleben durch (s.o.)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

in unserem Kollektiv. Ist etwa

{Person lebt zu Jahresende} = 90000 und {Person lebt zu Jahresbeginn} = 100000 , so bestimmen wir die Wahrscheinlichkeit das Ende zu erleben durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Zahl p ist natürlich von Kollektiv zu Kollektiv verschieden, ja sogar innerhalb eines Kol- lektivs, da die unterschiedlichen Risiken, die innerhalb des Kollektivs zusammengefasst sind, durchaus für die Kalkulation relevante Unterschiede haben können (zum Beispiel Alter, Ge- schlecht usw.).

Wichtig in diesem Zusammenhang ist der Begriff der Wahrscheinlichkeit q für die Leistung, also etwa die Todesfallwahrscheinlichkeit. Er wird nach etwas rechnen durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

abgeleitet, wenn p schon berechnet wurde.

Dieser, von Laplace (1749 - 1827) eingeführte, Wahrscheinlichkeitsbegriff hat noch weitere sehr praktische Konsequenzen. Zunächst ist im Falle, dass keiner das Versicherungsjahresende erreicht die Überlebenswahrscheinlichkeit gleich 0. Wir sehen dies so, wenn 100 000 zum Versicherungsjahresbeginn gelebt haben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ebenso erkennen wir, dass wenn keiner stirbt - also alle die zu Beginn leben auch das Ende erle- ben - die Wahrscheinlichkeit 1 ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Merke: Es gilt für alle Wahrscheinlichkeiten q: 0≤q≤1.

Zunächst betrachten wir lediglich ausscheiden aus dem Kollektiv wegen einer Ursache, dem Tod. Die Wahrscheinlichkeit für eine x-jährige Person im Alter x zu sterben, also vor Erreichen des x+1-ten Jahres (die Todesfallwahrscheinlichkeit oder Sterbewahrscheinlichkeit) wird damit zur wichtigsten Größen in der Versicherungsmathematik. Tafeln, in denen diese Werte für jedes x ta- belliert sind, nennt man Sterbetafeln. Die Sterbetafel gibt deshalb unter anderem tabellarisch dar- über Auskunft, wie viele Personen aus einem bestimmten Kollektiv das nächste, übernächste und die folgenden Lebensjahre erreichen. Dabei beginnen die Aktuare meist mit 100 000 Neugebore- nen für x = 0 und tabellieren (mit den obigen Wahrscheinlichkeitsdefinition im Kopf):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Festlegung: mit „ω“ wird das letzte Alter der Sterbetafel bezeichnet (Schlussalter)

Die erste Sterbetafel wurde von dem bekannten englischen Astronomen Edmond Halley (1656 - 1742) aufgestellt. Die Halley'schen Tafel, die im Jahre 1693 veröffentlicht wurde, war für die damalige Lebensversicherung eine bahnbrechende Tat; mit ihr wurde erstmals der Einmalbeitrag für eine Rentenversicherung in der heute üblichen Form berechnet. Heute werden Sterbetafeln für Rechnungsgrundlagen zur Prämienkalkulation häufig aus den Ergebnissen von Volkszählungen in Verbindungen mit der laufenden Feststellung der Sterbefälle konstruiert. Auch Sterbetafeln, welche aus unternehmenseigenen Daten gewonnen wurden oder aufgrund von Daten der gesetzlichen Rentenversicherung, der Unfallversicherungsunternehmen, dem Gesamtverband der deutschen Versicherungswirtschaft (GDV) oder Daten ausländischer Versicherungsverbände werden verwendet. Grundsätzlich ist ein Lebensversicherungsunternehmen frei in der Kalkulation bezüglich der verwendeten Tafel - es ist nur „vorsichtig“ dabei vorzugehen.

Was bedeutet dabei „vorsichtig“? Nun, nichts anderes, als dass das bei Abschluss der Versicherung abzusichernde Risiko zu überschätzen ist - und zwar möglichst über die gesamte Laufzeit des Vertrages. Dabei ist natürlich zu beachten, dass die aufgrund der deutschen Gesamtbevölkerung gewonnenen Daten eine Sterbetafel über die Gesamtbevölkerung ergeben (!), denn hier werden alle Risiken beobachtet - unabhängig von deren Gesundheitszustand.

Würde man eine Versicherung auf den Todesfall mit einer solchen Tafel kalkulieren - das heißt eine Versicherung mit Todesfallcharakter (z. B. reine Risikoversicherungen sind solche) - so würde dies langfristig zu Risikoverlusten führen. Die Bevölkerungsteile, welche aufgrund bei- spielsweise von Krankheiten schlechtere Risiken sind als der Durchschnitt, müssten beim Ab- schluss einer solchen Versicherung eine sehr geringe Prämie im Vergleich zu ihrem tatsächlichen Risiko zahlen. Umgekehrt würde sich bei einer reinen Erlebensfallversicherung (z. B. eine sofort beginnende Rentenversicherung gegen Einmalbeitrag ohne Leistung im Todesfall wäre eine sol- che) der Effekt genau umkehren, denn diese Versicherung würden tendenziell sehr gesunde Per- sonen abschließen, um für vergleichsweise wenig Geld sehr lange Rente zu beziehen (Erlebens- fallcharakter). Der Aktuar begegnet diesen Effekten mit geeigneten Zu- bzw. Abschlägen auf die beobachtete Bevölkerungssterblichkeitstafel. In der Prämienkalkulation werden also nie die beo- bachteten Wahrscheinlichkeiten verwendet, sondern bei Versicherungen auf den Todesfall erhöh- te und bei Versicherungen auf den Erlebensfall erniedrigte Werte.

Leider ist es damit auch noch nicht getan. Sterblichkeiten ändern sich im Laufe der Zeit mit un- terschiedlicher Geschwindigkeit. Zurzeit leben die Versicherten immer länger, was bei einer To- desfalltafel zu keinen Problemen führt, da sich hier der Aktuar immer auf "der sicheren Seite" be- findet und ggf. eben den "Mehrsterblichkeitsgewinn" als Überschuss ausschüttet. Bei Erlebens- fallversicherungen ist das allerdings fatal. In den Jahren 1984 bis 1994 stieg die (kalkulatorische) Lebenserwartung um ungefähr 3-4 Jahre (gemäß Sterbetafel zur Deckungsrückstellungsberech- nung), d.h. für jeden Rentenneubeginn müssten im Vergleich zur Kalkulation ungefähr 3-4 Jah- resrenten zusätzlich gestellt werden. Da die Versicherungsnehmer keine (höheren) Beiträge mehr zahlten, war die Deckungsrückstellung zu erhöhen (die sogenannte "Nachreservierung"). Dies zeigt auch die sehr deutliche Abhängigkeit der Sterblichkeit vom Geburtsjahr. M.a.W. ein 65- jähriger im Jahre 1985 (Geburtsjahr 1920) hat eine geringere Lebenserwartung als ein 65-jähriger im Jahre 2000 (Geburtsjahr 1935). Tendenziell kann gesagt werden, dass die Sterbewahrschein- lichkeit sinkt je später das Geburtsjahr liegt; alle zehn Jahre verlängert sich die Restlebensdauer um etwas mehr als 1 Jahr⁵¹ (das Statistische Bundesamt schätzt zwischen 2010 und 2060 eine Verbesserung um 7 Jahre bei Männern und 6 Jahren bei Frauen).

Der Effekt wird mit wachsendem Alter allerdings immer schwächer und „dreht sich bei sehr ho- hen Altern um“. Das heißt, dass versicherte Personen zwar immer länger leben, aber es irgendwo (zurzeit) eine Höchstgrenze für das maximale Alter gibt. Kurz bevor die Grenze erreicht wird nimmt die Sterblichkeit immer stärker zu. Auch die immer bessere medizinische Versorgung führt nur dazu, dass die überlebenden Personen (später) an anderen Krankheiten sterben als sie es früher getan haben.

Sterbetafeln für Erlebensfallversicherungen sind also zunächst vom Geburtsjahr abhängig, d.h. zweidimensional für jedes Geburtsjahr eine Reihe von Sterblichkeiten ("Kohortentafel"). Um den damit verbundenen Aufwand niedrig zu halten hat der Versicherungsmathematiker Rueff 1955 ⁵² vorgeschlagen, die Tafel für ein Geburtsjahr zu fixieren (Basistafel) und die Tafeln für die anderen Geburtsjahre durch "verschieben" der Basistafel zu gewinnen. Erklären wir die Tafel für das Geburtsjahr 1960 zur Basistafel, so gewinnen wir die Sterblichkeit für einen 50-jährigen mit Geburtsjahr 1965 etwa durch Altersverschiebung um -2 Jahre, d.h. wir nehmen das Alter des 48- jährigen von der Basistafel. Oder das Alter eines 50-jährigen mit Geburtsjahr 1955 durch Alters- verschiebung um +2 Jahre, d.h. wir nehmen das Alter des 52-jährigen von der Basistafel. Die ei- gentliche Leistung von Rueff bestand darin, eine Methode anzugeben wie die Altersverschiebun- gen bei beliebigen Basistafeln für die einzelnen Geburtsjahre gerechnet werden können.

Beispiele für in der Praxis verwendete Sterbetafeln sind:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Jeweils mit „Altersverschiebung“.

Leider ist die Feststellung, ob ein Vertrag auf den Todesfall oder auf den Erlebensfall abgeschlos- sen ist, nicht sehr einfach, denn meistens sind Todesfallzahlungen und Erlebensfallzahlungen miteinander gemischt (z. B. die klassische Versicherung auf den Todes- und Erlebensfall oder Rentenversicherungen mit Beitragsrückgewähr bei Tod). Die Feststellung des richtigen „Charak- ters“ ist eine der anspruchsvollsten Tätigkeiten des Aktuars - und das Thema einer umfangreichen Literatur.

Warum wird eigentlich soviel mathematisches Know-How benötigt, um den Charakter festzustel- len? Das Problem wird etwas leichter fassbar, wenn wir die Frage nach dem Charakter in einer etwas anderen Form stellen. Gleichwertig ist nämlich die Fragestellung, ob sich - beim Fehlen sämtlicher Risikoprüfungen - es eher für einen kerngesunden oder einen todkranken Menschen lohnen würde, die Versicherung abzuschließen.

Bieten wir eine Rentenversicherung mit Todesfallleistung in Höhe der zehnfachen Jahresrente an, so macht diese zu Beginn für einen todkranken Menschen mehr Sinn als für einen gesunden. Für nur einen, vergleichsweise geringen Beitrag, erhalten die Bezugsberechtigten bei Tod eine hohe Versicherungssumme (die zehnfache Jahresrente). Gegen Beginn der Rentenzahlungsphase hat der Versicherungsnehmer natürlich mehr Beiträge gezahlt als er bei Tod zurückerhalten würde. In dieser Phase liegt also genau der umgekehrte Fall vor, was bedeutet, dass eher ein kerngesunder Mensch versicherte Person sein sollte, um möglichst lange die bald fälligen Renten zu erhalten.

Der „Charakter“ einer Versicherung ist also eher eine Frage des Zeitpunktes und ändert sich im Laufe der Versicherungslaufzeit. Mit einer einzigen Zahl oder einen einzigen Vergleich ist der Charakter nur selten - und dann meist offensichtlichen - Fällen beschreibbar.

Als Richtlinie zur Beantwortung der Frage nach dem Charakter haben sich zwei Methoden eingebürgert (einfach zu handhaben aber nicht immer richtig):

1. Zum gleichen Vertrag zweimal die Prämie zu berechnen; einmal mit dem tatsächlichen Eintrittsalter und einmal mit dem um ein Jahr erhöhten Eintrittsalter (bei sonst gleichen Daten). Ist die zweite Prämie höher als die erste, so liegt eine Todesfallversicherung vor, andernfalls eine Erlebensfallversicherung.
2. Zum gleichen Vertrag zweimal die Prämie zu berechnen; einmal mit (irgend einer) Ster- betafel für Todesfallversicherungen, einmal mit einer für Erlebensfallversicherungen (bei sonst gleichen Daten). Ist die erste Prämie höher als die zweite, so liegt eine Todesfallversicherung vor, andernfalls eine Erlebensfallversicherung.

Wissen wir, ob es sich um eine Versicherung auf den Todes- oder den Erlebensfall handelt stellt sich die Frage nach der Höhe der Zu- bzw. Abschläge. Wir müssen hierbei drei Gründe im Auge behalten:

1. Irrtumswahrscheinlichkeit; d.h. ein Zuschlag für die - immerhin vorhandene - Möglichkeit der falschen Schätzung der Wahrscheinlichkeit zu nehmen.
2. Änderungswahrscheinlichkeit; d.h. ein Zuschlag für die mögliche Änderung der Wahr- scheinlichkeiten im Laufe der Zeit zu nehmen.
3. Schwankungsrisiko; d.h. ein Zuschlag für die von Jahr zu Jahr erfolgende Schwankung um den geschätzten Wert zu nehmen und kurzfristige Ausschläge abzufedern. Haben wir uns darüber Klarheit verschafft, kann die Sterbetafel erstellt werden.

Zur Tarifkalkulation gehört nicht nur die Festlegung eines geeigneten Beitrags, sondern auch der Versuch einer Voraussage, was der Vertrag voraussichtlich an Gewinn bringen wird - die soge- nannte „Ertragswertuntersuchung“. In diesem Zusammenhang ist es wesentlich, die voraussichtli- che tatsächliche Sterblichkeit eines Kollektivs zu kennen. Diese ist natürlich von Kollektiv zu Kollektiv, von Unternehmen zu Unternehmen und von Jahr zu Jahr verschieden. Mit anderen Worten, der Aktuar muss ständig über die voraussichtliche echte Sterblichkeit informiert sein, um eine Aussage darüber machen zu können, ob sich der Verkauf eines Tarifs noch „lohnt“. Die dazu benötigte spezielle Sterbetafel nennt man Versichertensterbetafel des betrachteten Kollektivs und Jahres.

In diesem Zusammenhang wird der Effekt der Anfangsselektion wichtig. Bei einer Todesfallver- sicherung wird im Allgemeinen eine Risikoprüfung durchgeführt. Eine 35-jährige Person, die neu in das Kollektiv hinzukommt, hat also tendenziell eine geringere Versichertensterblichkeit wie eine 35-jährige Person, die schon seit 10 Jahren im Kollektiv ist. Der neu abgeschlossene Vertrag ist also vom Risikostandpunkt aus betrachtet mehr „wert“ als der schon seit 10 Jahren im Bestand befindliche. Bei sofort beginnenden Rentenversicherungen gegen Einmalbeitrag stellt sich genau der umgekehrte Effekt ein. Zu unterstellen ist hier, dass die versicherte Person bei Neuabschluss eine Risikoselbstprüfung (wenn auch nur subjektiv) vornimmt und damit tendenziell gesünder ist als eine schon seit Jahren im Bestand befindliche Person. Für den Neuabschluss sind also noch mehr Renten zu zahlen als für die schon seit längerer Zeit im Bestand befindliche Person.

Versichertensterbetafeln sind deshalb meist zweidimensional, das heißt in Abhängigkeit von ei- nem Eintrittsalter x ist für jedes Bestandszugehörigkeitsjahr die Sterbewahrscheinlichkeit aufge- listet. Damit werden die Sterblichkeiten vom Alter und der bisher abgelaufenen Versicherungs- dauer abhängig.

Last but not least soll die wichtigste Sterblichkeit angesprochen werden, die tatsächliche Sterblichkeit des Kollektivs. Da uns bisher noch kein grünes Männchen vom Mars bekannt ist, das diese im Voraus bekanntgeben könnte, sind wir auf unsere Bilanz- und Statistikwerte angewiesen, um diese im Nachhinein zu berechnen. Sie dienen nicht nur zur Feststellung eines Gewinns oder Verlusts, sondern sollten die Sterblichkeiten für die Ertragswertbetrachtungen immer wieder beeinflussen, um damit die voraussichtliche Gewinnerwartung zu berichtigen.

Ein weiterer wesentlicher Begriff im Zusammenhang mit der Beitragskalkulation ist der des Zinses. Um seine Wirkung zu verdeutlichen, unterstellen wir, dass wir 10 000 EUR als Festgeld zu 5 % Zins für ein Jahr anlegen. Das Kapital wächst innerhalb des Jahres um den Betrag

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir erhalten dann als Auszahlungsbetrag 10 500 EUR. Der angelegte Betrag zu Beginn heißt An- fangskapital, der Auszahlungsbetrag heißt Endkapital. Das Endkapital kann auch über die Formel

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berechnet werden. Zur Vereinfachung schreiben wir für beliebige Zinssätze i %

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Der Faktor ( 1 + i / 100 ) heißt Zinsfuß oder Aufzinsungsfaktor, da mit diesem bei gegebenem Anfangskapital das Endkapital gerechnet werden kann.

Wesentlich häufiger stellt sich in der Versicherungsmathematik die Frage, wie bei gegebenem Endkapital das Anfangskapital bestimmt werden kann. Analog dazu wäre in unserem Beispiel die Frage zu stellen, wie groß der Anlagebetrag sein muss, um bei 5 % Zins ein Endkapital von 10 000 EUR zu erreichen. Dies wird gerechnet aus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Endkapital wird also durch den Aufzinsungsfaktor geteilt oder in allgemeinerer Schreibweise

Endkapital

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei spielt offensichtlich der Kehrwert des Aufzinsungsfaktors eine entscheidende Rolle. Wir nennen deshalb den Faktor

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den Abzinsungsfaktor oder den Diskontierungsfaktor.

3.3 Einführungsbeispiele

Ein Versicherungsnehmer vereinbart für eine Laufzeit von einem Jahr eine Versicherung auf den Todesfall von 10 000 EUR, d. h. bei Tod innerhalb des Jahres wird die Leistung zum Jahresende fällig. Das Versicherungsunternehmen kommt zu der Überzeugung, dass eine Sterbewahrschein- lichkeit von 0,0015 und ein Zins von 4 % gerechtfertigt ist. Kosten werden nicht berücksichtigt.

Wie hoch wäre die Prämie P, wenn diese zum Jahresbeginn fällig ist ?

Wir unterstellen, dass der Aktuar ähnlich wie der schon zitierte Bäcker kalkuliert (BäckerPrinzip). D.h. der Preis für die Brötchen muss den Materialaufwand decken (Kosten werden keine berücksichtigt); für den Aktuar also muss die Prämieneinnahme die kalkulatorischen Leistungen decken. Da Leistung und Prämie zu unterschiedlichem Zeitpunkt anfallen beziehen wir diese durch Diskontierung auf den Versicherungsbeginn. In Formel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieses Prinzip versuchen wir auf Versicherungen über mehrere Jahre zu verallgemeinern. Wieder unterstellen wir eine reine Risikoversicherung - nur über mehrere Jahre. Die erste naheliegende Frage - die hier schon verblüfft - bezieht sich auf die Tatsache, dass wir zwar eine konstante Prämie zahlen, aber offenbar die Sterblichkeitsrisiken unterschiedlich sind. Der Kunde muss eine - wie auch immer geartete - Durchschnittsprämie zahlen. Damit zahlt er am Anfang zu viel Prä- mie verglichen mit seinem Risiko, am Ende zu wenig. Am Anfang wird die Differenz in die De- ckungsrückstellung gestellt, am Ende aus ihr entnommen. Dies manifestiert sich natürlich auf Einzelvertragsebene in der entsprechenden Veränderung im Deckungskapital. Wir halten also fest:

1. Bei einer reinen Risikoversicherung gegen konstante Prämie und mit konstanter Todes- fallleistung baut sich das Deckungskapital auf und zum Ende hin wieder ab.
2. Lassen wir die Voraussetzung fallen, dass die Prämie konstant sein muss und kalkulieren mit risikogerechten Prämien entsprechend dem Risiko des jeweiligen Versicherungsjahres, ist das Deckungskapital über die gesamte Laufzeit 0. Die Prämie wird wie im Einführungsbeispiel für jedes Jahr einzeln gerechnet. (sog. "natürliche Prämie")

Bei der Prämienkalkulation müssen wir jetzt berücksichtigen, dass der Versicherungsnehmer zu Beginn eines jeden Versicherungsjahres nicht nur die Prämie einzahlt, sondern auch das vorhandene Deckungskapital einbringt und zusätzlich zum Ende des Versicherungsjahres das entsprechend erforderliche Deckungskapital gestellt werden muss. Angenommen wir würden uns im m- ten Versicherungsjahr befinden, dann ist die Gegenleistungsseite einfach zu bestimmen (Leistungen des Versicherungsnehmers an das Versicherungsunternehmen zu Beginn):

Gegenleistungsseite =

Pr ämie zu Beginn des m - ten Jahres + Deckungskapital zu Beginn des m - ten Jahres, denn dieses sind die Beträge die der Versicherungsnehmer zu Beginn des m-ten Versicherungsjahres in seinen Vertrag mit einbringt.

Zur Erstellung der Leistungsseite benötigen wir den Zins, da die Leistungen zum Ende des m-ten Jahres fällig werden, die Leistungswahrscheinlichkeit im m-ten Jahr, die Versicherungssumme, da wir wissen müssen, wie hoch die Leistung selbst zum Ende des Jahres ist, das Deckungska- pital, allerdings zu Beginn der Jahres m+1, da die Stellung der Deckungskapitals zu Ende des m- ten betrachteten Zeitraums ebenfalls eine Leistung des Versicherungsunternehmens ist. Zusam- menfassend:

Leistungsseie =

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir berechnen ein konkretes Beispiel. Gegeben sei eine Versicherung auf den Todesfall mit einer Laufzeit von drei Jahren. Kosten, auch Abschlusskosten, bleiben außer Betracht - also eine reine Nettobetrachtung. Versicherungssumme 10 000 € und Diskontierung mit 4 % Zins (also Diskon- tierungsfaktor v = 1/1,04 = 0,9615). Weiterhin 0,001; 0,0015; 0,002 Leistungswahrscheinlichkeit im 1.; 2.; 3. Jahr und die entsprechenden Erreichenswahrscheinlichkeiten für das 1.; 2.; 3. Versi- cherungsjahresende 0,999 (= 1 - 0,001); 0,9985 (= 1 - 0,0015); 0,998 (= 1 - 0,002).

Es soll vereinbart sein, dass die Prämie gleichbleibend jährlich vorschüssig zu zahlen ist. Für die bis jetzt unbekannte Prämie setzen wir einfach P und für das bis jetzt unbekannte Deckungskapital zum Anfang des 1.; 2.; 3. Versicherungsjahres V1; V2; V3.

Da der Versicherungsnehmer ohne „Schulden“ seinen Versicherungsvertrag beginnt (rechnungsmäßig gedeckte Abschlusskosten fallen nicht an), können wir V1 = 0 setzen. Zu bestimmen ist also nur noch P, V2 und V3. Wir setzen in die oben stehende Formeln für m = 1 ein und beachten, dass im ersten Jahr Leistung gleich Gegenleistung sein muss (bei allen Zwischenschritten wird auf vier Nachkommastellen gerundet):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bevor wir den Lösungsweg beschreiben, wollen wir die Lösungsstruktur kurz darstellen. Da der Versicherungsnehmer eine gleichbleibende Prämie zahlt, die Leistung über die gesamte Versiche- rungsdauer konstant ist, aber die Leistungswahrscheinlichkeit steigt, ist intuitiv zu erwarten, dass er im ersten Jahr eine zu hohe Prämie und im dritten Jahr eine zu niedrige Prämien im Vergleich zum Risiko zahlt. Das Deckungskapital muss also positiv nach dem ersten Jahr werden und dann wieder fallen, da die fehlenden Beträge zur Deckung des Risikos aus dem Deckungskapital be- stritten werden müssen. Das sehen wir auch, wenn wir die erste und die dritte Gleichung etwas umschreiben, das heißt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese beiden Ergebnisse setzen wir in die zweite Gleichung ein (2. Versicherungsjahr):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Woraus sich P = 14,2928 (gerundet auf Cent 14,29) ergibt. Damit ist V2 = 4,8698 und V3 = 4,9372 wegen der Gleichungen für das 1. und 3. Versicherungsjahr.

Das vermutete Ergebnis stellt sich als richtig heraus. Das Deckungskapital V2 ist größer Null, das Deckungskapital V3 ungefähr gleich V2 (offensichtlich zahlt der Versicherungsnehmer im zweiten Jahr gerade eine solche Prämie, die seinem Risiko im 2. Jahr entspricht), und im letzten Jahr wird das Deckungskapital aufgebraucht, da er ein höheres Risiko darstellt als alleine durch Prämienzahlung gedeckt werden kann.

Das dargestellte Verfahren (Bäcker-Prinzip) mit den sog. "linearen Gleichungen" liefert zwar die richtigen Ergebnisse, aber bei längeren Versicherungsdauern wird es schnell unhandlich, da für jedes Versicherungsjahr eine Gleichung aufgebaut werden muss. Ferner wird der Gleichungsauf- bau unübersichtlich, wenn noch Kosten berücksichtigt werden müssen. In der Praxis wird es des- halb weniger verwendet und dient hier nur zur Illustration der Vorgehensweise und der Zusam- menhänge (die hiermit gut gezeigt werden können). Bevor wir die am häufigsten verwendete Re- chenmöglichkeit für die Prämie angeben müssen wir uns mit der dritten Rechnungsgrundlage - den Kosten - beschäftigen.

3.4 Kosten

Genauso wie der Bäcker um die Ecke ist es für ein Versicherungsunternehmen notwendig Kosten einzukalkulieren, die nicht direkt mit dem Leistungsversprechen zusammenhängen, aber trotzdem Leistungen sind (wir sprechen dann von kalkulatorischen Kosten). Der Aktuar bedient sich dazu der internen Rechnungslegung des Versicherungsunternehmens, um die Kosten der laufenden Verwaltung auf einzelne Verträge umzulegen und der Provisionsmodalitäten, um die Kosten für den Abschluss einer Versicherung einzurechnen. Werden bei der Prämienkalkulation die Kosten nicht berücksichtigt, so sprechen wir von Nettoprämien und bei Berücksichtigung von Kosten von Bruttoprämien - im Unterschied zu den Zahlbeiträgen, also zu den Werten, die beim Bei- tragszahler auf dem Abbuchungsbeleg erscheinen. Diesen Unterschied werden wir in einem spä- teren Kapitel herausarbeiten.

Bitte beachten sie die folgende Begriffsbildung:

- "tatsächliche Kosten" sind diejenigen Abschluss und Verwaltungsaufwendungen wie sie tatsächlich im Unternehmen von Jahr zu Jahr unterschiedlich anfallen; sie sind erst im Nachhinein bekannt und dienen als Datenbasis für die Schätzung der "zukünftigen Kosten".
- "zukünftige Kosten" sind die Kostenschätzungen für einen Vertrag oder Teilbestand wie sie - nach bester Schätzung - voraussichtlich sein werden (Extrapolation tatsächlicher Kos- ten).
- "kalkulatorische Kosten" sind diejenigen Zuschläge zur Nettoprämie von denen gehofft wird, dass sie die tatsächlichen Kosten decken, wenn die tatsächlichen Kosten - im Nach- hinein - auf die einzelnen Verträge umgelegt werden; sie unterscheiden sich von den zukünf- tigen Kosten dadurch, dass sie durch Werte des Einzelvertrages parametrisiert sind (also ab- hängig von der Versicherungssumme, Prämie usw.) - die zukünftige Kosten nicht - und dass sie Zuschläge etwa für das Änderungsrisiko und das Schwankungsrisiko enthalten.

Wichtig für uns sind die kalkulatorischen Kosten, die wir jetzt näher betrachten wollen. Im All- gemeinen geht die Branche davon aus, dass gewisse Kostenteile fix sind, also unabhängig vom Leistungsversprechen und sonstigen Daten der Versicherung entstehen. Diese Kosten nennen wir Stückkosten. Sie werden als fester EUR-Betragszuschlag zur Prämie kalkuliert (Beispiele sind Kosten für Bilanzarbeiten und Gewinnermittlung). Kosten werden auch in Abhängigkeit von der Leistungshöhe anfallen, denn beim Leistungsfall wird eine große Leistung intensiver geprüft als eine kleinere, und bei besonders hohen Leistungsversprechen wird man gegebenenfalls VIP- Bestände einrichten. Weiterhin werden Verwaltungskosten in Abhängigkeit von der Beitragshöhe anfallen. Das liegt allein schon daran, dass bei Zahlungsverzug eine hohe Prämie anders gemahnt wird als ein niedriger. Wir unterteilen die Kosten der laufenden Verwaltung damit in:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als Alternative zu den Stückkosten werden manchmal Zu-/Abschläge auf den Bruttojahresbeitrag in Abhängigkeit von der Versicherungssumme verlangt. Sie werden als Summenrabatt / Summenzuschlag bezeichnet (technische Bezeichnung "σ ").

Die Kosten, die gedanklich direkt mit dem Abschluss der Versicherung verbunden sind, heißen Abschlusskosten. Zu unterscheiden sind die rechnungsmäßig gedeckten Abschlusskosten und die Amortisationszuschläge. Die rechnungsmäßig gedeckten Abschlusskosten werden dem Vertrag zu Beginn in voller Höhe angelastet (wie bei einem Kredit vorgeschossen) und mit den Prämienzahlungen getilgt. Deshalb ist das Deckungskapital in den ersten Versicherungsjahren meist negativ. Sie haben primär die Aufgabe, die gezahlten Provisionen und den Aufwand bei der Risikoprüfung bzw. zur Einrichtung des Vertrages zu decken. Der Kunde erhält also das Entgelt für den Beratungsaufwand bei Abschluss eines Versicherungsvertrages vorfinanziert.

Das Recht auf den Erlass, in welcher Höhe die rechnungsmäßig gedeckten Abschlusskosten in die Deckungsrückstellung eingerechnet werden dürfen ist mit § 235 VAG (§ 65 VAG a.F.) auf das BaFin (zuvor BAV) übertragen worden. Bis zur Einführung des neuen VVG zum 01.01.2008 hat- te es durch eine entsprechende Verordnungen ([8b] R 5/95 Höchstbeträge für Provisionen) vorge- schrieben, wie hoch die Provisionszahlungen deshalb sein können. Beispielsweise legte es fest, dass für Versicherungen auf den Todes- und Erlebensfall höchstens 4 % der Summe aller Beiträge oder bei reinen Todesfallversicherungen höchstens 10 % der Summe aller Beiträge als Provision gewährt werden dürfen.

Mit Einführung des VVG zum 01.01.2008 ist diese Beschränkung aufgehoben worden. Der Ge- setzgeber sieht durch die Verordnung über Informationspflichten bei Versicherungsverträgen[8], die aus § 7 Abs. 2 VVG folgt, den Versicherungsnehmer ausreichend über die Kosten informiert, dass er selbst über die Angemessenheit der Kosten entscheiden kann. Zukünftig werden die kal- kulatorischen Kosten also durch die Kundenakzeptanz und die Konkurrenzsituation beschränkt.

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