Performance und Downsizing von Surfboardfinnen

Performance und Downsizing von Surfboardfinnen Beitrag zur Phänomenologie und Strömungswirklichkeit

Mi. Dienst, Berlin im Januar 2017

Intro

Leistungsinspiriertes Downsizing (Verkleinerung, Verringerung)^[1] bedeutet die Einflußnahne auf technische Parameter einer Konstruktin bei gleicher Leistungsfähigkeit (Performance) des Systems. Oftmals verändern sich auch andere geometrische, funktionale und Prozessführungsgrößen in eine positive Richtung. Durch die mit Kompaktheit und Anpassungsfähigkeit einhergehenden Veränderungen der avisierten Zielkonstruktionen werden gegebenenfalls sogar Resilienzanforderungen an zukunftsweisende Technik positiv bedient. Dies sollte auch bei Surfboardfinnen gelten und ist Gegenstand der nachfolgenden Betrachtungen. Beim Downsizing ist in erster Linie von Interesse, welchen Einfluß die jeweiligen Gestaltungsparameter auf die Finnenperformance ausüben. Betrachtet man den Stand der Surfboardtechnik und Technologie, so ist offensichtlich, dass deren Leit- und Steuertragflächen im Bereich des Hecks von Surfboards wirksam sind. Das Manövrieren erfolgt mit körperkontrol­lierten, dem Board aufgeprägten Bewegungen und diese wiederum durch Gewichtsverlagerung des Surfers, respektive der Surferin. Surfboardfinnen sind wahrscheinlich die elementarsten Leit- und Steuertragflächen für Seefahrzeuge überhaupt. Hierin liegt der besondere Reiz dieser Forschung, denn die anzufertigenden Modelle sind zugleich Funktionsprototypen im Maßstab 1: 1. Eine hoch zu bewertende Eigenschaft. Für die Montage von unterschiedlichen Finnen an Surfboards sehen die marktführenden Hersteller verschieden standardisierte Einbauflansche vor. Die Konstruktion besteht aus wenigen Einzelteilen. In der Regel finden wir bei einem Surfboard eine Box vor, in die der fluidmechanisch wirksame Tragflügel der Finne formschlüssig eingesteckt wird (PLUG). Die meisten Hersteller bevorzugen Flansche, die primär kraftschlüssig verbinden. Für Surfboards in Fahrt und beim Manövrieren ist neben der hohen mechanischen Belastung der strömungsmechanisch wirksamen Bauteile die optimale und an Strömungswiderständen arme

Funktionsweise entscheidend für die Fahrleistung. Grundsätzlich sind bei leistungsoptimierten Seefahrzeugen vom Stand der Technik und all ihren Bauteilen Robustheit und Anpassungsfähigkeit (Resilienz), perfekte Funktion und lange Lebensdauer bei geringem Gewicht von Bedeutung.

Der Finnentragflügel wird am Finnenwurzelbereich (Plug, Base, Finnen-Sockel) form- bzw. kraftschlüssig mit einem in das Surfbrett eingelassenen Finnen­Aufnehmer (Box, Finnen-Terminal) gefügt. Hierfür bieten div. Hersteller unterschiedliche Standards an. Für die nachfolgenden Untersuchungen hat uns unser Forschungspartner das System FUTURES empfohlen. Unabhängig von Geometrien und Bauweisen für den Finnentragflügel, ist der Finnensockel ein standardisiert: Rechteckprisma: Länge LS=114,5[mm], Sockel-Tiefe TS=15[mm], Dicke DS=7[mm]. Soll nun der Sockel nicht schmaler sein als der Tragflügel selbst, ergibt sich zwangsläufig eine sehr schlanke Basis für ein Profil mit einer auf die Tragflügeltiefe t bezogenen Dicke d von d/t =6%. Für den Profilentwurf von Surfboardfinnen ist dies ein erster und entscheidender Gestaltungshinweis.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Schematische Darstellung des Finnensockels in den Abmessungen des Systems futures2.

Die Performance einer Surfboardfinne wird von einer Vielzahl von Konstruktions- und Betriebsparametern bestimmt. Neben der Querkraft­leistung interessieren die Verluste im Betrieb. Surfboardfinnen gehören zum Lateralplan und bilden mit symmetrischem Profil genau dann einen fluiddynamisch wirksamen Tragflügel aus, wenn eine nichtaxiale Anströmung gegeben ist. Für das Flügelende der Finnen, insbesondere den Randbogen (die Kontur des vom Surfbrettkörper abweisenden, freien Surfbrett-finnen­Flächenendes), sind unterschiedliche Formen bekannt. Liegt nun der Schwerpunkt der Entwicklungsarbeit in die Erhöhung der Querkraftleistung der^[2]

Tragflügelfläche, liefert eine (größer) skalierte Tragfläche bei gleichem Strömungsprofil mehr Querkraft.

Ist die Skalierung nichtisotrop, wird etwa die Umrissgestalt und/oder der Schlankheitsgrad der Tragfläche variiert, ändert sich das Bild. Bei konstanter, gleichbleibender Tragflügelgestalt, kann der Konstrukteur Einfluss nehmen auf die Oberflächenbeschaffenheit. Für schlanke Körper wie Tragflügel, ist der Anteil der Reibung erheblich. Reibung wird in erster Linie durch den Charakter der wandnahen Strömung bestimmt; diese kann laminar oder turbulent sein.

In Fahrt und beim Manövrieren ist die Fähigkeit einer Tragfläche entscheidend, eine nicht axiale Anströmung in Querkrafterhöhung umzusetzen.

Die wenigen uns physisch vorliegenden Finnen tragen Profile, die wir nicht kennen. Für die Profile rezenter Surfboardfinnen wird in der Literatur und insbesondere bei den Praktikern auf NACA-Profilreihen verwiesen^[3] ; und tatsächlich weist das von einer Finne der Firma FUTURES abgeformte Profil eine hinreichende Übereinstimmung mit einem Profil aus der vierstelligen NACA- Reihe auf. Für ein Finnenprofil mit einer auf die Tragflügeltiefe t bezogenen Dicke d von d/t =6% finde ich gesicherte Leistungsdaten für das Profil NACA 0006 in der einschlägigen Literatur (vergleiche: Ira H. Abbott, Albert E. von Doenhoff: Theory of Wing Sections [Abbo-59]) und erkläre dieses Profil zum Stand der Technik von Surfboardfinnen. Die Profilkontur NACA0006 ist das Referenzsystem in der nachfolgenden Untersuchung.

Downsizingaspekte und Finnen-Performance

Das sinnfälligste Arbeitsergebnis einer Downsizing-Kampagne ist die schlichte Abnahme der Größe, messbar in der Tragfläche (Area) der Finne. Isotrope Skalierung führt auf eine Verringerung der Tragflügellänge, der Finnentiefe (Fin Depth), jedoch nicht auf eine Änderung der Winkeligkeit der Geometrie, die sich bei Surfboardfinnen als Pfeilung (Fin Rake, Sweep) darstellt. Schlank­heitsgrad (Aspect Ratio) und die grundsätzliche Finnenumrissform (Shape) sind im Falle isotroper Skalierung gegenüber dem Doensizing inerte Parameter. Ein hochinteressanter Aspekt ist das Tragflügelprofil. Hier tauchen beim Down­sizing neue Qualitäten der Finnenperformance im Betrieb und für den Konstrukteur überraschende Gestaltungsoptionen auf. Während die gesamte Tragflügelgeometrie beim Downsizig zur Disposition steht, gilt dies für den Montageflansch (Plug) nicht. Es sind wohl in erster Linie fertigungstechnische Gründe, die in der Vergangenheit maßgeblich die Auswahl der Finnenprofile dominierten. Mit paradigmatischer Vehemänz bleibt bei Surfboardfinnen vom Stand der Technik die Dicke der realisierten Profilkontur immer unterhalb oder gleich der zulässigen Flanscstärke. Beim System FUTURES sind dies genau 7.0 [mm] bei einer Länge des Plugs von 114 [mm]. Die Kontur des Finnenprofils ist damit auf Profilserien mit einer maximalen Profildicke von d/t = 6% limitiert, was im Falle standardisierter Konturen auf das auch messanalytisch ermittelte Profi NACA 0006 führt. Diese doch sehr schlanken Standardprofile sind aus fluidmechanischer Sicht alles andere als ein Glücksgriff. Erst mit zunehmender Profildicke sind die Profile Leistungsfähiger und arbeiten die diese Strömungs­körper robuster gegenüber Schwankungen des Anstellwinkels. Genau hier sind die größten Geschenke einer Downsizingkampagne zu erwarten: in der Betriebsrobustheit und der Prozeessführung. Ein isotrop skalierter Tragflügel, der im gleichen Finnensockel und Montageflansch eines Surfboards arbeitet, darf an Profildicke zulegen. Selbst 2% mehr Profildicke lassen schon einen signifikanten Leistungs- und Resilienzzuwachs erwarten. Doch lassen wir - bei aller positiver Erwartung - die angesprochenen Gestaltungsparameter nicht unerörtert.

Finnen-Größe (Tragfläche) / Area. Die Größe der Tragfläche hat natürlich direkte Auswirkung auf die Performance der Finne. Eine größere Finne vermittelt dem Surfer mehr Halt und Kontrolle über das Surfen. Andererseits ist eine geringere Tragfläche fehlertoleranter, erhöht aber den Antriebs- und Steueraufwand in der Brandung. Durch (nichtisotrope) Skalierung lassen sich bei gleicher Finnenumrissform (Shape) Serien unterschiedlich großer Tragflächen formulieren. Mit der skalierten Finnenfläche ändert sich das fluidmechanische Tragvermögen (die generierbare Querkraft), der Reibungswiderstand wächst quadratisch, der Formwiderstand und die zugrunde zulegende Reynoldszahl linear, wohingegen der induzierte Widerstand vom (bei nichtisotroper Skalierung konstanten) Schlankheitsgrad der Finne abhängt. Downsizing der Finnentragfläche hat direkte Auswirkungen auf die Performance des Systems im Betrieb.

Finnen-Tiefe (Tragflügellänge) / Fin Depth. Moderne Surfboardfinnen weichen in ihrer Form deutlich von der Kontur klassischer Kraft- oder Arbeitstragflügels ab und eine ganze Schar beschreibender Parameter ist erforderlich um sie zu spezifizieren. Die Finnentragflügellänge (mit der Tragflügeltiefe wird im Allgemeinen die „Profiltiefe", die Selenlänge der Profilkontur, bezeichnet) ist eine leicht zu messende, aber nicht immer aussagekräftige Größe. Grundsätzlich hat eine weit in das Fluid ragende (tiefe) Tragfläche aus rein geometrischen Überlegungen heraus, einen auch weit (in das Fluid) ragenden

Druckmittelpunkt. Der Druckmittelpunkt ist der gedachte Ort, an dem man sich die Gesamtheit aller Auftriebskräfte vereint vorstellen darf, also der integrale Querkraftmittelpunkt, der aber vom Mittelpunkt der Reibungs- Form- und induzierten Widerstandskraft verschieden ist. Ein weit in das Fluid ragender (tiefer) Druckpunkt verleiht dem Board in Fahrt Halt und Kursstabilität; Kurven sind definiert und das Manövrieren wird eindeutiger. Downsizing der Finnentragflügellänge wird die „Drastik" von Manövern verringern. Die relative Profiltiefe nimmt zu, wenn die Finnentiefe abnimmt; man sagt: die „Aspect Ratio" verkleinert. Dies hat Einfluß auf das Widerstands-gebaren der Finne.

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Pfeilung der Finne / Fin Rake, Fin Sweep. Die an der Vorderkante (positiv) und an der Hinterkante (negativ) gepfeilte Finne sieht nicht nur „schnittig" aus, eine Pfeilung der Tragfläche ist auch aus strömungsmechanischer Sicht vorteilhaft. Besitzt die Kurve aller Staupunkte der Profilkonturen des Tragflügels (der Staupunktlinie am Bug der Tragfläche) eine Neigung stromabwärts (Flucht) wird die Richtungsstabilität der Finne verbessert und es treten so genannte Reynoldseffekte (Verlängerung der signifikanten Länge (bei Re=L v /v) und weitere vorteilhafte Effekte, etwa Verschiebungen der Separation in der turbulenten Grenzschicht (Stall), auf^[4]. Die Pfeilung beschreibt den Winkel zwischen Tragflügel und Querachse und ist in der Regel positiv (beide Kanten der Tragflächen sind nach hinten gezogen). Es ist aber davon auszugehen, dass bei Surffinnen das Augenmerk eher auf der durch die Neigung veränderte Strukturelastizität des Tragflügels liegt.

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Eine negative Pfeilung führt zu einer Auftriebs-Überhöhung im Bereich der Flügelwurzel und zu einer Reduktion (der Auftriebswerte) im Außenbereich. Ein weiterer Effekt des Pfeilflügels ist die geringere Empfindlichkeit gegenüber Strömungs-richtungswechsel (Geschwindigkeitsgradient) der sich als Änderung der Strömungsrichtung zeigt (in der Aeromechanik: geringe Böenem­pfindlichkeit). Dies gilt auch für Tragflügel, die im Wasser arbeiten. In erster Näherung sollte die Finnenperformance inert gegenüber isotropes Downsizing sein.

Finnenumrissform / Shape. Die wohl kontroversesten Diskussionen über die Leistungseigen-schaften unterschiedlicher Surfboardfinnen erhitzen sich an der Umrissform der Tragflügelfläche. Oben erörterten wir, welche physikalischen Wirkungen die pure Größe der Tragfläche, die bug- und heckwärtige Pfeilung und das (mittlere) Längen- Tiefen­Verhältnis, der Schlankheitsgrad der Finnenkontur haben mögen.

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Die Szene belässt es derzeit bei qualitativen Wirkungsunterschieden. Die mit der Forschung um Surfboards Befassten kommen dann auch zu sehr ähnlichen Einschätzungen, aus welchen Gründen auch immer. Gerade der Einfluss der Tragflächengestalt, der Einfluss der Kontur und der Umrissform eines Flügels auf die „Finnen-Performance" besitzt vertrackte Ursachen. Zukünftige experi­mentelle Laboruntersuchungen, Freifeldversuche und natürlich zeitgemäße computergestützte numerische Simulationen (Computational Fluid Dynamics, CFD) werden Fragen rund um das FinnenDesign bearbeiten und auch beantworten. Ein wichtiger Parameter bei der Entwicklung einer Finne ist deren Auftrieb- und Widerstandsgebaren; hier kommt der Auswahl eines geeigneten Finnenprofils (also der Querschnittsfläche des Tragflügels, wing section) eine wichtige Rolle zu. Die Profilauswahl bildet aber auch einen Zusammenhang mit der Tragflächenkontur. Hat sich der Konstrukteur für einen bestimmten Tragflügelprofil-Typ entschieden, steht er vor der Frage, wie dieses Profil über die Länge des Flügels zu skalieren ist, damit sich der Charakter der ausgewählten Profilkontur in den physikalischen Eigenschaften der Finne wiederfindet. Dies ist selbst für einfach gestaltete Finnen mit übersichtlicher Tragflügelgeometrie eine anspruchsvolle Aufgabe. Auch hier wird die Finnenperformance von geringem Einfluß gegenüber isotropem Downsizing sein.

Schlankheit der Surfbrettfinne / Aspect Ratio. Der induzierte Widerstand, resultierend aus der Kantenumströmung des realen, endlichen Tragflügels nimmt eine Sonderstellung unter den Partial-widerständen Aussenströmung ein. Neben dem Auftriebsgebaren des Tragflügels spielen auch geometrische Parameter eine Rolle.

Der Druckunterschied zwischen der Tragflügelunterseite (relativer Überdruck) und der Tragflügeloberseite (relativer Unterdruck) führt am Randbogen des endlichen Tragflügels (Tragflügelkante) zu einer Umströmung und zur Ausbildung eines energiereichen Randwirbels.

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Das Tragflächensystem führt dabei Energie in die Strömung ab. Das ist ein sehr intensiver und auch effektiver Vorgang. Im Fall einer umströmten Leit- und Steuertragfläche bedeutet ein „intensiver und effizienter" Prozess, dass (im Vergleich zum Gesamt-Energieaufkommen des Flügels) ein bedeutsamer Teil der zum Manövrieren aufgebrachten Energie in die Strömung eingekoppelt wird. Nach dem „Auftriebssatz von Kutta und Joukowski kann die Intensität des Randwirbels aus der Zirkulation Γ abgelesen werden. Die Zirkulation Γ am Tragflügelende besitzt die Einheit [m2s-1] und hängt ab vom Druckgradient zwischen Tragflügelunter- und Oberseite, der Anströmge-schwindigkeit und der Geometrie der Tragfläche. Als Anströmgeschwindigkeit wird in der einschlägigen Literatur die Geschwindigkeit des Fernfeldes, also V=v^ [ms-1] angegeben. Bei der Profilanalyse führt die Integration des Druckgradienten auf den dimensionslosen Auftriebskoeffizienten cL und auf den Widerstans­koeffizienten Cw, den wir an dieser Stelle nicht betrachten. Als Geometrieparameter bei der Ermittlung der Zirkulation um ein Tragflügelende wird nach Kutta und Joukowski die Tragflügeltiefe L [m] also der Länge des Tragflügels, von der Flügelwurzel (Root) bis zur Tragflügelspitze (Tip) angegeben.

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Diese Formel erinnert an den Zählerterm der Reynolds-Similarität (v« L) in [m2s- 1], die das Verhältnis von spezifischer Impulskonvektion zu Impulsdiffusion im System (Verhältnis von Trägheitskräfte zu Zähigkeitskräfte an einem Strömungsbauteil der signifikanten Länge L) darstellt. Es zeigt sich, dass das Turbulenzverhalten geometrisch ähnlicher Körper bei gleicher Reynolds-Zahl identisch ist. Unter der Annahme einer elliptischen Auftriebsverteilung (Prandtl) auf einer Tragfläche mit der Fläche A [m2], kann ein Beiwert für den Induzierten Widerstand cI der endlichen Tragfläche angegeben werden, mit dem dann - in vollständiger Analogie zu den anderen Kräften an der Tragfläche - die Widerstandskraft aus dem Randwirbelgeschehen RI, dem „Induzierten Widerstand RI", errechnet werden kann.

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Prandtls Annahme einer elliptischen Auftriebsverteilung liefert einen idealisierten Wert, das Minimum des induzierten Widerstands für eine Rechtecktragfläche A=L-t [m2] mit der Tragflügeltiefe L [m], der (gemittelten) Profiltiefe t [m] mit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und mit dem Schlankheitsgrad [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] (Aspect Ratio) sofern der (Lift-) Querkraftkoeffizient [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] der jeweiligen Profilkontur bekannt ist. Der Querkraftkoeffizient [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] muss natürlich für jeden relevanten Anstellwinkel α errechnet oder gemessen werden.

Wenn nicht explizit Kräfte berechnet, sondern zwei oder mehrere Tragflügel beurteilt werden sollen, ist die leicht zu ermittelnde Zirkulation [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eine sehr freundliche (lineare) Vergleichsgröße^[6]. Die Zirkulation um eine Tragflügelspitze fassen wir gerne als eine „Metapher für die Währung" auf, in der man als Konstrukteur „bezahlen" muss, wenn man seine Sache gut gemacht, eine besonders leistungsfähige Profilkontur entwickelt hat und der Tragflügel hohe Auftriebswerte erzielt. Schade eigentlich, dass man Querkraft so teuer bezahlt! Mit dem Lift-Koeffizienten cL wächst der Widerstand aus der generierten Zirkulation quadratisch an (wegen: Beiwert des induzierten Widerstands [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ) und nimmt einen großen Teil der zum Fahren, zum Fliegen oder - wie bei unseren Surfboardfinnen - die zum Manövrieren aufgebrachten Energie wieder aus dem System (der fluidmechanisch wirksamen Leit- und Steuertragfläche) heraus, um sie in die Strömung einzuspeisen. Das ist kein guter Deal. Der Anteil des Induzierten Widerstands am gesamten um einen Tragflügel herrschenden Widerstandsgebarens kann bis zu 70% betragen. Die Zirkulation ist eine extrem „sensitive" Beurteilungsgröße. Dies wird deutlich, wenn man bedenkt, wie eng strömungsmechanische Effekte vom Medium (und damit beispielsweise von den Transportkoeffizienten, etwa der kinematischen Viskosität) abhängen, in denen sie stattfinden (näheres klärt die einschlägige Literatur^[7] ). Die Finnenperformance könnte empfinglich auf die Änderung Schlankheit des Tragflügels reagieren.

Definition einer referentiellen NULL-Finne

Die hier postulierte „NULL-Finne" ein fiktionales System. Niemand - außer uns - würde diese Finne bauen. Kein Surfer würde die Null-Finne unter sein Board klippen, durch die Welle pflügen oder sich gar damit am Strand zeigen.

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Die NULL-Finne besitzt eine einfache, sinnfällige Tragflügelkontur (Trapez-Flügel mit mäßiger Pfeilung an der Profilvorderkante und ohne Pfeilung an der Hinterkante), ihre Gestalt ist ausgewogen, vermeidet Extrema (Schlankheitsgrad, Aspect Ratio) und ist mit RP-Technik umgehend zu fertigen. Als Terminal wählen wir das FUTURES-System (kurzes Plug der Center-Fin).

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Tabelle: Spezifikation der referentiellen NULL-Finne.

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Die referentielle NULL-Finne ist ein Container, der mit unterschiedlichen Profilkonturen beladen werden kann. Das originäre System besitzt eine Profilkontur aus der 4-stelligen Serie symmetrischer NACA-Profile ^[8] mit d/t=6[%] Durchmesser (NACA 00 06) so dass bei einer Profiltiefe von t=100 [mm] die Materialstärke am Terminal (b=6 [mm]) erreicht wird.

Die Dickenrücklage der 4-stelligen NACA-Profile ist für kleine Profil-dicken auf df=0.3-t determiniert. Auftrieb- und Widerstandsbeiwerte der Profilserie sind bekannt^[9]. NACA Profile der 4-stelligen Serie zeichnen sich dadurch aus, dass die Kontur y(x) durch ein Polygon 4.ten Grades angegeben wird, was - vor dem Hintergrund einer Fertigung mit RP-Techniken - die Portation der Datenfiles erleichtert.

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Abb.: Die NULL-Finne in einem hübschen Kontext. ® Mi. Dienst Sommer 2016.

Die Standardfinne LABFin

Die Standardisierung betrifft eine vollparametrisierte Laborfinne (Surfboard- finne, nachfolgend „LAB-Fin" benannt), deren Gestalt mit geringen deklaratorischen Mitteln beschreiben werden kann. Die Laborfinne ist als Technik- und Technologiedemonstrator geeignet. Der Standardisierung liegt die Idee einer fludmechanisch wirksamen Leit- und Steuer-tragfläche für kleine Seefahrzeuge zu Grunde, die durch einfache geometrische Elemente beschrieben und durch lediglich vier Parameter eindeutig definiert ist. Die Finne ist zur gestaltkompatiblen Montage an ebenfalls standardisierte Einbauflansche für Surfboards diverser Hersteller geeignet. Der Tragflügel der Surfboardfinne besitzt eine strömungsmechanisch wirksame und bauart­bedingt, eine achssymmetrische Profilkontur. Die Surfboardfinne kann skaliert und paramertrisiert werden derart, dass sie für diverse Anströmbedingungen fluidmechanisch wirksam und geeignet ist. Es sollen unterschiedliche Trag­flügelprofile realisierbar sein. Ist das Profil nicht Bestandteil der Deklaration gilt die Profilkontur „ebene Platte".

Über den Stand der Technik bei Leitflächen an Surfboards. Surfboardfinnen sind als Leit- und Steuertragflächen im Bereich des Hecks eines Surfboards wirksam. Für die Montage von unterschiedlichen Finnen an Surfboards sehen die markt­führenden Hersteller unterschiedlich standardisierte Einbauflansche vor. Bei Surfboards in Fahrt und beim Manövrieren ist neben der hohen mechanischen Belastung der strömungsmechanisch wirksamen Bauteile im Bereich des Unterwasserschiffes die optimale und an Strömungswiderständen arme Funktionsweise entscheidend für die Fahrleistung. Grundsätzlich sind bei leistungsoptimierten Seefahrzeugen vom Stand der Technik und all ihren Bauteilen Robustheit, Formhaltigkeit, Funktion und Lebensdauer bei geringem Gewicht von Bedeutung. Zum Lateralplan eines Seefahrzeugs zählen alle fluidmechanisch wirksamen Leitflächen im Unterwasserbereich. Bei Surfboards vom Stand der Technik gehören die als Leitflächen ausgeführten Finnen am Heck zum Lateralplan. In Fahrt bilden fluidmechanisch wirksame Leitflächen im Unterwasserbereich mit symmetrischem Profil nach Stand der Technik dann einen fluiddynamisch wirksamen Tragflügel aus, wenn eine nicht axiale Anströmung gegeben ist. Dies gilt insbesondere für Surfboardfinnen mit symmetrischem Profil nach Stand der Technik.

Die aus dem hydrodynamischen Auftriebsgebaren der Surfbrettfinnen resultierende Querkraft wird beim Manövrieren genutzt. Surfbrettfinnen nach Stand der Technik sind üblicherweise aus (symmetrisch profiliertem) Vollmaterial. Für das Flügelende der Leit- und Steuertragfläche, insbesondere den Randbogen (die Kontur des vom Surfbrettkörper abweisenden, freien Surfbrettfinnenflächenendes) sind unterschiedliche Formen bekannt.

Über den Stand der Technik und der Wissenschaft der Physikalischen Modelle. Simulationssoftware nimmt in den naturwissenschaftlichen und ingenieur­wissenschaftlichen Berufsfeldern einen zunehmend größeren Anteil ein (organisatorisch, zeitlich und Kosten). In klassischen maschinenbaubetonten Produktentwicklungs- Methodiken, wie etwa der VDI-R 2221, werden bereits in der frühen Phase Wirkprinzipien und Funktionsmodelle nachgefragt; sie geben erste Auskünfte über Form und Art, Abmessungen, Anordnung und Anzahl der Gestaltungselemente eines frühen Entwurfs und bilden die Entscheidungs­grundlagen für die weitere Entwicklung. An Bedeutung gewinnen gegenständ­liche Modelle, die mit Rapid Prototyping-Verfahren (RP) direkt aus den CAD- Datenbeständen generiert werden können. Experimentieren mit gegenständ­lichen Modellen umfasst das ganze Spektrum sehr einfacher Tests bis hin zu aufwändigen Erprobungen mit Prototypen und Vorläuferprodukten. Bean­spruchungsmodelle dienen der Klärung des Bauteilverhaltens bei äußerer Beanspruchung (statisch, dynamisch, Schwingung, isolierte Kräfte), Verfor- mungs- und Funktionsmodelle zur Analyse des Bauteilverhaltens hinsichtlich Kinematik, Dynamik, thermischen, elektrischen und chemischen Verhaltens. Ergonomiemodelle und Anmutungen dienen zur Erprobung der Handhabung, Montage, Bedienung und von Nutzungsszenarien im Anwendungsfeld sowie zur Vermittlung eines realistischen Eindrucks über die visuellen Eigenschaften des späteren Produkts, auch dessen Haptik.

Surfboardfinnen sind hinsichtlich ihrer geometrischen Gestalt und der in der Konstruktion verwandten Profilkonturen nicht standardisiert. Dies erschwert die Vergleichbarkeit physikalischer Messer-gebnisse und numerischer Simulationsmodelle oder macht eine Evaluation sogar unmöglich. Außerdem werden bei der Entwicklung von fluidmechanisch wirksamen Kraft- und Arbeitstragflächen für Strömungsmaschinen generell die Koordinaten der Konturen der Strömungsprofile Profilkatalogen entnommen. Beides, die Variantenvielfalt der geometrischen Gestalt und die Profilauswahl stellen im Zeitalter hoch entwickelter mathematischer Berechnungs- und Hand­habungsmethoden sowie vergleichsweise leicht verfügbarer Datenbankbestän­de kein grundsätzliches Problem dar. Dennoch taucht in für Strömungs­anwendungen typischen Entwicklungs- und Nutzungsszenarien, etwa in Forschungslabors (Prototypenbau) und im von kleinen und mittelständigen Unternehmen geprägten Yacht- und Bootsbau (Einzelanfertigungen, Unikate, Reparatur) häufig das Problem auf, dass die Geometriedaten von Strömungs­bauteilen und der Konturen von Profilen für fluidmechanisch wirksame Kraft- und Arbeitstragflächen für Profillehren, Formen und anderer Fertigungsmittel in einer für die Bauteiloptimierung, der wissenschaftlichen Untersuchung und/oder die Fertigung nicht geeigneten Form vorliegen. Für die Beschreibung von Konturen nach dem Stand der Technik wird auf Datenbanken oder Profiltabellen zurückgegriffen (siehe hierzu auch: Abbot und Doenhoff^[10], Eppler^[11] und Gorrell^[12] ). Die Laborfinne LAB-Fin ist ein standardisierter Messkörper, als Technik- und Technologiedemonstrator geeignet, kann durch einfache geometrische Elemente beschrieben und in ihrer einfachsten Ausführung durch lediglich vier Parameter [P0] [P1] [P2] [P3] eindeutig definiert werden. Der Parameter P0 ist die Profiltiefe an der Flügelwurzel t [mm], der Parameter P1 ist die spezifische Profildicke d/t [%]. Der Parameter P2 ist die spezifische Profiltiefe am Tragflügelende (Flügel-Tip) b/t [%], der Parameter P3 ist die spezifische Tragflügellänge a/t [%] der Finne. Die Profilkontur und weitere Features der Finne, die das Strömungsteil spezifizieren können der Spezifikation nachgestellt werden, wie folgt:

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In einer entsprechenden Parametrisierung mit einer Profiltiefe an der Flügelwurzel t=110 [mm], einer spezifischen Profildicke d/t=6 [%], einer spezifischen Profiltiefe am Tragflügel-ende (Flügel-Tip) b/t=70[%] und einer spezifische Tragflügellänge der Finne a/t=120[%], wird mit einer Standard­Profilkontur „ebene Platte" und einer in der Messtechnik für Strömungs­bauteile gewöhnlichen Oberflächenbeschaffenheit glatt, etwa nach Eppler [Eppl-90] die Finne spezifiziert:

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Die Glattheit der Tragflügeloberfläche und die Tragflügelprofilkontur sollen in einer Grundkonfiguration als gegeben und gesetzt gelten, so dass sich die Spezifikation vereinfacht zu: LABFin [P0] [P1] [P2] [РЗ]. LABFin ist einer systematischen messtechnischen und/oder simulations-technischen Analyse und Vergleichbarkeit zugänglich. Das ist von wissenschaftlichem und wirtschaftlichen Interesse. Die Analyse der mechanische Beanspruchung von Bauteilen und Baugruppen erfolgt mit klassischen Methoden der technischen Mechanik, wie etwa der Elastischen Theorie oder mit zeitgemäßen finiten Verfahren (Finite Element Methode, FEM). Die Strömungswirklichkeit wird nach der Potentialtheorie grob ermittelt, oder mit Finite Volumen Verfahren realitätsnah analysiert (Compu-tational Fluid Dynamics, CFD). Die standardisierte Finne ist einer Analyse der Fluid- Struktur- Wechselwirkung (Fluid Structure Interaction, FSI) zugänglich. Die standardisierte Surfboardfinne kann direkt an handelsüblichen Surfboards verwendet werden und einer Evaluierung im „Feld" (in der Welle) oder messtechnischen Untersuchungen im Labor und am Strömungskanal dienen. Seitens der Fertigung sind gießtechnische Verfahren (GT) oder Rapid Prototyping (RP). Mit der Standardisierung wird erreicht, dass in der Baupraxis, in der Reparatur- und Instandhaltungspraxis Strömungsbauteile und/oder deren Fertigungsmittel wie Profillehren oder Formen durch einfache mathematische Beziehungen beschrieben werden können und in der Konstruktionspraxis geometrische Vorgaben möglich werden oder existieren, die auch vom (Surf-) Laien mit geringsten Mitteln umgesetzt werden können. Die Simplifizierung der Konstruktion führt auch auf Robustheit im Betrieb; dies ist von wirtschaftlichem Interesse. Der Markt für Surfboardfinnen ist überschaubar klein, aber die Szene ist vital. Mit der Surfboardfinne wird sich die zum Manövrieren benötigte Querkraft vergrößern und größer sein als jene von Finnen vom Stand der Technik. Innovationen, die die fluidischen Leistungsparameter der Strömungsbauteile und die Performance des Gesamtsystems verbessern werden erfolgreich am Markt sein.

Über den Aufbau, bauliche Ausführung und Wirkungsweise einer nach dem Standard LABFin ausgeführten Laborfinne. Fluidmechanisch wirksame Leit- und Steuertragflächen sind in der Regel profiliert ausgeführt. Das vom Surfboard abgewandte Finnentragflächenende (Tragflächenrandbogen) ist typenbedingt geformt und kann mit unterschiedlichen Konturen ausgebildet sein. Für Surfboardfinnen vom Stand der Technik sind unterschiedliche Profile und Profilkombinationen bekannt. Die Finne ist symmetrisch ausgeführt und zur gestaltkompatiblen Montage an standardisierte Einbauflansche für Surfboards diverser Hersteller geeignet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Tragflügelteil der Surfboardfinne besitzt eine strömungsmechanisch wirksame Profilkontur. Für die Montage von unter-schiedlichen Finnen an Surfboards sehen die marktführenden Hersteller stan-dardisierte Einbauflansche vor. Das bei dieser Konstruktion zur Anwendung kommende „Terminal", welches zu dem Einbauflansch (Plug) des Surfboards kompatibel ist, entspricht einem über Länge L, Tiefe T und Dicke D standardisierten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Rechteckprisma. LAB-Fin ist determiniert, wenn bekannt ist: Die Profiltiefe an der Flügelwurzel t [mm], die spezifische Profildicke d/t [%], die spezifische Profiltiefe am Tragflügelende (Flügel-Tip) b/t [%], die spezifische Tragflügellänge a/t [%] der Finne, die Profilkontur, und weitere Features der Finne, die das Strömungsteil spezifizieren., also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die für Finnenwurzel-Bereich, kompatibel zu Terminal zur Anwendung kom­mende „Box" ist beliebig und nicht relevant für die Standardisierung. In den Abbildungen Figur 1 wird der Finnenwurzel-Bereich kompatibel zu Terminals eines weltweit agierenden Herstellers als Rechteckprisma dargestellt. Bau­weisen und Bauausführungen der Anmontage einer Finnentragfläche an ein Surfboard sind nicht Gegenstand der Standardisierung. Die Surfboardfinne, bestehend aus dem proximalen (dem Grundkörper zugewandten) Finnenterminal PLUG, der proximalen Tragflügelbasis BAS, dem Tragflügelnasenbereich NOS, dem Finnenflügelteil F und dem distalen (dem Grundkörper abgewandten) Trragflügel-Randbogen TIP bilden zusammen eine konstruktive und funktionale Einheit. Die baulichen Zusammenhänge sind unter Hinzuziehung der Liste der Merkmale aus den schematischen Skizzen in der Abbildung Figur 1 zu ersehen. Die Surfboardfinne ist mit RP-Verfahren (Rapid Prototyping) Urformbauweise nach Stand der Technik aus Kunststoff fertigbar. Die Finnenwurzel PLUG ist ebenfalls in klassischer Urformbauweise aus Kunststoff fertigbar; u. A. Polyamid (PA), oder Nylon kommen in Frage. Die bauliche Ausführung des Finnentrag­flügels entspricht einer Integralkonstruktion.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Tragflügel, gebildet aus dem proximalen Finnenflügel-teil F ist Teil der Lateralfläche des Surfboard-Fahrzeugs. Die Teile des fluid-dynamisch wirksamen Tragflächensystems sind in einer Ebene längs der Strömungshauptrichtung unbeweglich angeordnet. In einem durch Quer­strömung beaufschlagten Zustand bildet das proximale Finnenflügelteil F einen fluidmechanisch wirksamen Tragflügel aus und arbeitet als eine reguläre Surfbrettfinne als fluiddynamische und querkrafterzeugende Auftriebsfläche.

Das Wesen der Tragflügel

Von einer besonderen Art sind die Verhältnisse beim Surfen. Eine Surferin manövriert, indem sie das gesamte Mensch-Board-System auf einen neuen Kurs bringt. Das ist ein reichlich komplexer Bewegungsab-lauf. Bei Surfboards ist also das gesamte Seefahrzeug an der Lenkbewegung beteiligt. Manövrieren in der Welle gelingt aus rein physikalischen Gründen (nur) dann, wenn das Board bezüglich der Hauptbewegungsrichtung in eine Drift gerät, die dem am Heck des Boards „arbeitende" Tragflügel überhaupt erst ermöglicht, Lenkkräfte zu generieren. Dies ist wahr-scheinlich der bemerkenswerteste Unterschied zu einem durch ein Steuerrad oder eine Pinne Schiffs-ruder. Die unbewegliche Finne eines Surfboards stellt in diesem Sinne einen starren Manövrierapparat dar. Surfbrettfinnen besitzen in der Regel symmetrische Tragflügelprofile. In Fahrt bilden derart symmetrisch profilierte Tragflächen nur dann ein Querkraft generierendes System, wenn die Anströmung nichtaxial erfolgt. Dabei ist die Variation des Lifts eines symmetrischen Profils über den Anstellwinkel selbst symmetrisch.

Die aus dem hydrodynamischen Auftriebsgebaren der Tragfläche resultierende Querkraft ist der maßgebliche physikalische Parameter beim Manövrieren. In der Drift funktioniert die Finne nun als Kraft- und als Arbeitstragfläche gleichermaßen. Es kommt zu einem Wechselwirkungsgeschehen, das durch Energieaustausch gekennzeichnet ist. Wie wird nun die zum Manövrieren erforderliche Energie übertragen? Krafttragflächen sind fluidmechanisch wirksame Tragflügel die dem bewegten umgebendem Fluid vornehmlich Energie entziehen; Arbeitstragflächen hingegen sind fluidmechanisch wirksame Tragflügel die vornehmlich Energie in ein umgebendes Fluid einkoppeln. Und eine Finne ist beides, kann beides tun. Das zum Lenken und Manövrieren erforderliche „Anfangsmoment" stammt aus den Körperbewegungen des Surfers, der Surferin. Sobald die Strömung an einer symmetrischen Finne einen gewissen Geschwindigkeitsanteil in Querrichtung enthält, arbeitet diese profilierte (Kraft-) Tragfläche sich in ihrer physikalischen Wirkung selbst verstärkend, also „auto-reaktiv". Diese wunderbare Eigenschaft kennzeichnet das „Wesen eines Tragflügels" und ist systeminhärent. Auto-Rektivität ist quasi das Handlungs- und Erfolgsrezept der (zentralen, profilsymmetrischen) Surfboardfinne. Von der Güte einer Leit- und Steuertragfläche hängt auch die Intensität und Bandbreite dieser wesentlichen Eigenschaft ab.

Nicht ausschließlich, aber in der überwiegenden Anzahl aller Produktentwicklungen, ist eine möglichst hohe Intensität tragender Teil der Entwicklungs- und Gestaltungsabsicht. Die diesem Aufsatz den Titel gebende PERFORMANCE der Surfboardfinne, also das die Querkraftleistung der sowohl Kraft- als auch Arbeitstragfläche kennzeichnende Auftriebsgebaren einer Profilkontur, wird von einer Vielzahl von Konstruktion- und Betriebsparametern bestimmt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[13]

Neben der Querkraftleistung einer Kraft- und Arbeitstragfläche interessieren die Verluste im Betrieb. Der strömungsmechanische Widerstand einer voll getauchten Leit- und Steuerflächen lässt sich als aus Partialwiderständen, den Reibungs- und Formwiderstandsanteilen zusammengesetzt vorstellen. Der fluidmechanische Gesamtwiderstand eines Volltauchers in Fahrt ist die Summe aller Partialwiderstände: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die Definitionen der einzelnen Partialwiderstände sind keineswegs eindeutig, eine weitere Ausdifferenzierung aber für die nachfolgende Betrachtung aber wenig vorteilhaft. Die drei physikalischen Basis-Größen Länge L, Zeit t, Masse m und einige abgeleitete Größen führen auf einige Grundaussagen über die Charaktere der Partialwiderstände.

Der Formwiderstand RF (Druckwiderstand) entsteht aufgrund der Umströmung der Körperkontur (benetzte Oberfläche); bestimmbar durch Integration über die gesamte Körperoberfläche; unter Berücksichtigung der Kraftkomponente in Anströmrichtung in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v des Systems und dem verdrängenden Volumen V.

Der Oberflächenwiderstand Rr ist der fluidmechanische Widerstand aufgrund der Reibung an der benetzten Körperhülle (Wirkung der Wandschubspannung an einem Strömungskörper). Rr ist bestimmbar durch Integration über die gesamte Körperfläche unter Berücksichtigung der Kraftkomponente in Anströmrichtung. Abhängigkeit von der Geschwindigkeit v, der Viskosität des Mediums und der benetzten Oberfläche A des Systems). Der induzierte Widerstand R| entsteht aufgrund fluiddynamischer Auftriebs- und Querkräfte (Wirkung der durch dynamischen Auftrieb oder Querkraft generierten Randwirbel.

Abhängig von der Geschwindigkeit 1/v2 und der Tiefe L2 der fluidmechanisch wirksamen Bauteile nehmen etliche Einflussfaktoren auf den Auftrieb die spezifischen, weil skaleninvarianten Gestaltungsparameter, eine besondere Stellung ein. In erster Linie sei hier die Tragflügelstreckung λ und die Auftriebs­und Widerstandskoeffizienten der Kontur des umströmten Tragflügelprofils genannt. Bei unserer am Heck des Seefahrzeugs zentral angebrachten Finne, die wie ein fluidmechanisch wirksamer Flügel im Medium Wasser arbeitet interessiert nun die Kraft, die durch Strömung erzeugt wird und damit die Geschwindigkeitsverhältnisse an diesem umströmten Tragflügel.

Tatsächliche aber auch scheinbare Geschwindigkeiten lassen sich „relativ gut vorstellen". Der fluidmechanische Widerstand R und der Lift L (die Querkraft in erster Ordnung) sind mit der herrschenden Strömungsgeschwindigkeit quadratisch verknüpft. Der Auftrieb an einem Tragflügel ist: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Sobald bei bekannter Profilkontur die Geometrie der Finne, Informationen über Zustandsgrößen der Strömungswirklichkeit, das Medium und die Reynoldszahl existieren, erhalte ich mit der Strömungsgeschwindigkeit des Fluids und mit Kenntnis des Anströmwinkels am Tragflügelprofil eine Aussage über den Auftriebsbeiwert cL aus Berechnungen oder Tabellenwerken [Abbo-59]). In einem nächsten Schritt lassen sich die generierbaren Kräfte Lift L (Querkraft, Auftrieb) orthonormal zur Strömungsrichtung und der (entlang der Strömungsrichtung axiale) Strömungswiderstand R berechnen.

Legt der Konstrukteur den Schwerpunkt seiner Entwicklungs- und Opti­mierungsarbeit in die Erhöhung der Querkraftleistung der Tragflügelfläche, hat er im ersten Hub der Kampagne einige grundsätzliche Optionen. Bei gleichem Strömungsprofil liefert eine (proportional skaliert) größere Tragfläche mehr Querkraft. Ist die Skalierung nichtisotrop, wird etwa die Umrissgestalt und/oder der Schlankheitsgrad der Tragfläche variiert, ändert sich das Bild, wie weiter oben erläutert. Bei konstanter, gleichbleibender Tragflügelgestalt, kann der Konstrukteur Einfluss nehmen auf die Oberflächenbeschaffenheit. Für schlanke Strömungskörper wie Tragflügel, ist der Anteil der Reibung erheblich. Reibung wird in erster Linie durch den Charakter der wandnahen Strömung bestimmt; diese kann laminar oder turbulent sein. Kein anderer Parameter aber ändert die autoreaktiv genannte Fähigkeit einer Tragfläche, eine nicht axiale Anströmung in Querkrafterhöhung umzusetzen. Einer symmetrischen Surfboardfinne vom Stand der Technik gelingt das gut, einer Finne mit nichtsymmetrischem Tragflügelprofil gelingt das besser und immer dann, wenn sie von der „richtigen" Seite angeströmt wird. Es leuchtet unmittelbar ein, dass eine symmetrische Leit- und Steuertragfläche bestens geeignet ist, eine beidseitig Beaufschlagung auch in beide Richtungen gleicherweise zu beantworten.

Manövrierleistung

In diesem Aufsatz tauchen die Begriffe „Leit- und Steuertragflächen kleiner Seefahrzeuge" auf und außerdem die etwas differenziertere Beschreibung einer Finne als „Kraft- und Arbeitstragflügel". Leit- und Steuertragflächen stabilisiern das Seefahrzeug und dienen dem Manövrieren. Krafttragflügel entnehmen Energie aus der Strömung; Abeitstragflächen speisen Energie ein. In einem physikalischen Wechselwirkungsgeschehen tritt die Finne als Vermittler von Energieströmen auf. Die Art der Energiekopplung und ihre Effektivität haben großen Einfluss auf das Leistungsvermögen der Finne. Wenn an einem existierenden, physikalisch gut funktionierenden System, Gestal­tungsänderungen vorgenommen werden, dann sollte man dies nur tun, wenn tatsächlich Leistungszugewinne zu erwarten sind. An bestimmten Meilenstein­Punkten der Gestaltungskampagne muss also eine Bilanz der Systemleistung durchgeführt werden: eine nüchterne Gewinn- und Verlustrechnung. In der industriellen Produktentwicklung ist die Ermittlung der zu erwartenden Systemleistung ein Arbeitsergebnis der „Frühen Phase". Auf elegante Weise erfahren wir, ob der gestalterische Aufwand trägt oder nicht. Näheres klärt die im Einzelfall angewandte Produktentwicklungsmethode.

Systemleistung^[14] = LIFT-Leistung - VERLUST- Leistung

Relevant für den Betrieb ist, wieviel Energie das Lenkmanöver verzehrt. Die Verschiebearbeit W am fluidischen (Oberflächen-) Transportsystem enthält einen translatorischen Anteil (Σ FS Δs) und einen rotatorischen Anteil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die zum Manövrieren aufzuwendende Verschiebeleistung enthält, analog zur Verschiebearbeit, ebenfalls einen translatorischen und einen rotatorischen Anteil, also: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. An dieser Stelle soll die Rotation um die Z-Achse (Gieren, YAW) nicht berücksichtigt werden. Somit vereinfacht sich die erforderliche Verschiebeleistung auf den translatorischen Anteil [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. In einer ebenen zweidimensionalen (Lagrange-) Betrachtungsweise besitzt die Manövrierleistung eine axiale Komponente, die Verlustleistung PTW, die von den axilalen Strömungswiderständen herrührt und eine produktive, zur Widerstandskraft orthonormalen, Komponente PTL, die aus dem Auftriebsge­baren Leit- und Steuertragfläche stammt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] Downsizing, nach: https://de.wikipedia.ore/wiki/Downsizine

^[2] futures. 5452 mcfadden ave, huntington beach, ca 92649, Support: 714-891-1695

^[3] http://users.tpg.com.au/users/mpaine/thesis.html#nacadata

^[4] Die Krümmung der Stromlinien am Grenzschichtrand führt zu dreidimensionalen Geschwindigkeitsprofilen in der Grenzschicht. Durch die darin vorhandenen Wendepunkte wird die Grenzschicht reibungslos instabil. Insbesondere führen Querströmungswirbel zu einer eine Querströmungsinstabilität, deren Anfachung am gepfeilten Flügel üblicherweise den Übergang vom laminaren in den turbulenten Zustand der Grenzschicht auslöst. Der Einfluss der zweidimensionalen Tollmien-Schlichting-Wellen tritt hier in den Hintergrund. Dadurch vollzieht sich der laminar-turbulente Übergang nahe derTragflügelnase. Tragflügel üblicher Pfeilung werden nahezu vollturbulent umströmt.[Wikipedia]

^[5] gemäß elliptischer Auftriebsverteilung nach Prandtl

^[6] Beispiel: eine Nullfinne [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit dem Profil ELL0550 und mit einem [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] hat im Manöver [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] eineZirkulation von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

^[7] http://homepages.hs-bremen.de/~kortenfr/Aerodvnamik/script/node43.html

^[8] Polygon der Profilekontur der vierstelligen NACA-Serie: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

^[9] lra H. Abbott, Albert E. von Doenhoff: Theory of Wing Sections: Including a Summary of Airfoil Data. Dover Publications, New York 1959,

^[10] [Abbo-59] Ira H. Abbott, Albert E. von Doenhoff: Theory of Wing Sections: Including a Summary of Airfoil Data. Dover Publications, New York 1959

^[11] [Eppl-90] Richard Eppler: Airfoil Design and Data. Springer, Berlin, New York 1990

^[12] [Gorr-17] Edgar Gorrell, S. Martin: Aerofoils and Aerofoil Structural Combinations. In: NACA Technical Report. Nr. 18,1917.

^[13] gemäß elliptischer Auftriebsverteilung nach Prandtl

^[14] Systemleistung = LIFT-Leistung - (FORM + REIBUNGs + INDUZIERT)-WiderstandsVERLUST-Leistung: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]