Extracto
ANÁLISIS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
ALIMENTADOS CON CORRIENTE
ALTERNA
Ileana Moreno Campdesuñer
Juan Curbelo Cancio
Ingeniera Electrónica
Ingeniero Eléctrico
Profesor Titular
Profesor Asistente
Dr. en Ciencias de la Educación
MSc. en Ingeniería Eléctrica
2016
3
Prólogo
Este libro, dirigido fundamentalmente a estudiantes de carreras de perfil eléctrico, tiene
la pretensión de orientarlos en el análisis de circuitos alimentados con corriente alterna,
la cual es ampliamente utilizada en el mundo pues es fácil de generar, su uso predomina
en la industria eléctrica y todos los laboratorios eléctricos poseen un número de
generadores sinusoidales que operan en un amplio rango de frecuencias útiles.
El contenido de este libro ha sido elaborado a partir de la experiencia docente de sus
autores y recurriendo a fuentes bibliográficas reconocidas internacionalmente, además
de haber sido enriquecida con otros textos actualizados. (Ayllón & Montó, 1987;
Boylestad, 2006; Edminister & Nahvi, 1997; Kathey & Nasar, 1984; Nilsson & Riedel,
2011; Svoboda & Dorf, 2014; William H. Hayt, Kemmerly, & Durbin, 2007)
Para la mejor comprensión de los temas que se tratan en el libro, los estudiantes deben
dominar las diferentes técnicas de análisis de circuitos alimentados con corriente
directa, lo que constituye la base teórica de la teoría de circuitos eléctricos.
En cada uno de los capítulos del libro se presentan un conjunto de ejercicios resueltos y
propuestos, lo que proporcionará a los estudiantes la posibilidad de entrenarse en el
análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna. En el caso de los
ejercicios resueltos aparece su solución total o parcial, empleando el lenguaje de
programación MATLAB, lo que consolida y profundiza los conocimientos recibidos por
los estudiantes en las asignaturas relacionadas con este lenguaje, al vincular su empleo
en el análisis y diseño de los circuitos eléctricos; aunque los autores quieren dejar claro
que la ingeniería asistida por computadoras debe verse solo como una ayuda y no como
un sustituto de la habilidad que debe caracterizar a un ingeniero para resolver
problemas. En el caso de los ejercicios propuestos, se brinda la respuesta para que pueda
verificarse el resultado obtenido.
El libro se ha estructurado en cuatro capítulos.
En el primer capítulo se dirige la atención a señales periódicas de corriente y voltaje de
tipo sinusoidal y se explican las razones por las cuales las señales de tipo sinusoidal
(estímulo, respuesta) son importantes. Son definidas, además, las características de las
señales sinusoidales. Se define el fasor y se demuestra cómo su empleo (método
fasorial) permitirá que las ecuaciones íntegrodiferenciales que describen la respuesta en
estado estable sinusoidal, de un circuito lineal, puedan ser convertidas en ecuaciones
algebraicas, mucho más simples. En la parte final del capítulo se definen y se ilustra el
proceso de cálculo, de los valores eficaces y medios de corrientes y voltajes.
En el segundo capítulo se aborda, cómo transformar las relaciones que caracterizan al
resistor, inductor y capacitor, en el dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia. Se
definen los conceptos de impedancia, reactancia, admitancia y susceptancia para cada
uno de los elementos pasivos, lo cual permitirá dibujar el circuito equivalente en el
dominio de la frecuencia. La aplicación de las leyes de Kirchhoff para los voltajes y
corrientes fasoriales y las expresiones de impedancia y admitancia para cada uno de los
elementos pasivos, permitirá resolver circuitos RLC serie, paralelo y mixto.
En el tercer capítulo se emplearán los métodos generales de solución y teoremas,
aprendidos durante el estudio de los circuitos de corriente directa. Se empleará el
método fasorial en la solución de circuitos de corriente alterna en estado estable
sinusoidal.
En el último capítulo se definen las potencias de mayor interés práctico: potencia activa
(promedio), potencia aparente y potencia reactiva. Se desarrolla el concepto de potencia
compleja. El factor de potencia es definido y se detalla el procedimiento para mejorar el
mismo y hacer más eficiente el empleo de la energía eléctrica.
Se espera que este texto sea de provecho para todo el que lo consulte y que con las
sugerencias que puedan surgir en la medida que se utilice, se pueda enriquecer y
profundizar.
Los autores
5
Tabla de contenido
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal ... 1
Introducción ... 1
1.1 Función de excitación sinusoidal ... 1
·
Problemas de consolidación ... 13
1.2 El fasor ... 14
·
Problemas de consolidación ... 21
1.3 Diagramas fasoriales ... 22
·
Problemas de consolidación ... 27
1.4 Valores eficaces de corriente y voltaje ... 27
·
Problemas de consolidación ... 38
1.5 Valores medios de corriente y voltaje ... 39
·
Problemas de consolidación ... 44
·
Problemas de final de capítulo ... 45
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito ... 49
Introducción ... 49
2.1 Características V/A de los elementos del circuito ... 49
·
Problemas de consolidación ... 59
2.2 Leyes de Kirchhoff en circuitos de corriente alterna... 60
·
Problemas de consolidación ... 62
2.3 Impedancia en el circuito RLC serie ... 63
·
Problemas de consolidación ... 76
2.4 Admitancia en el circuito RLC paralelo ... 77
·
Problemas de consolidación ... 90
·
Problemas de final de capítulo ... 91
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA ... 97
Introducción ... 97
3.1 Método de las corrientes de mallas (MCM) ... 97
·
Problemas de consolidación ... 103
3.2 Método de los voltajes de nodos (MVN) ... 104
·
Problemas de consolidación ... 115
3.3 Teorema de Superposición ... 117
·
Problemas de consolidación ... 123
3.4 Teorema de Thevenin ... 123
·
Problemas de consolidación ... 128
3.5 Teorema de Norton ... 129
·
Problemas de consolidación ... 133
·
Problemas de final de capítulo ... 134
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna ... 140
Introducción ... 140
4.1 Potencia instantánea ... 140
·
Problemas de consolidación ... 145
4.2 Potencia activa ... 145
·
Problemas de consolidación ... 148
4.3 Potencia aparente... 148
·
Problemas de consolidación ... 151
4.4 Factor de potencia ... 152
·
Problemas de consolidación ... 155
4.5 Potencia reactiva o reactivo ... 155
·
Problemas de consolidación ... 158
4.6 Triángulo de potencias ... 158
·
Problemas de consolidación ... 161
4.7 Potencia compleja ... 162
·
Problemas de consolidación ... 169
4.8 Balance de potencia ... 169
·
Problemas de consolidación ... 174
4.9 Máxima transferencia de potencia ... 175
·
Problemas de consolidación ... 182
4.10 Medición de potencia ... 182
·
Problemas de consolidación ... 187
·
Problemas de final de capítulo ... 188
Bibliografía ... 193
Sobre los autores ... 194
1
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
Introducción
La corriente alterna, de la cual se trata en este libro, presenta ventajas indiscutibles
sobre la corriente directa, lo que ha contribuido desde sus inicios a su creciente empleo
a escala mundial.
La corriente alterna (CA) ha permitido que los sistemas de generación, transmisión y
distribución de energía eléctrica, sean mucho más eficientes que los de corriente directa
(CD). La corriente alterna junto a los transformadores empleados en las redes de
transmisión y distribución, los cuales permiten la transmisión a alto voltaje
disminuyendo drásticamente las pérdidas, ha hecho posible desde el punto de vista
económico, suministrar grandes cantidades de energía eléctrica a enormes distancias.
La construcción de generadores y motores eléctricos de CA es menos compleja que en
el caso de CD. Los generadores y motores de CA son más robustos y eficientes que los
de CD, ya que no se requiere de conmutadores rotatorios.
Prácticamente la totalidad de los equipos empleados en el sector industrial, comercial y
residencial emplean la CA como alimentación primaria. Si una determinada aplicación
requiere de corriente directa, se emplean dispositivos llamados rectificadores para
transformar la CA en CD.
1.1 Función de excitación sinusoidal
En circuitos eléctricos alimentados con corriente directa, las fuentes de voltaje o
corriente tienen polaridades invariables y magnitudes constantes y las variables en el
circuito (corrientes o voltajes) tienen esas mismas características, en condiciones de
estado estable. En circuitos alimentados con corriente alterna, las polaridades de las
fuentes y las magnitudes de sus salidas varían, provocando un comportamiento similar
en los voltajes y corrientes existentes en el circuito. La razón de cambio en el tiempo de
la magnitud de los voltajes o corrientes en el circuito (respuestas), dependerá de la
forma de onda de la señal alterna (estímulo).
Los voltajes y corrientes de CA, pueden ser periódicos, no periódicos y aleatorios.
Un voltaje o corriente (señal) no periódica, no puede ser definida para cualquier instante
de tiempo, si solo se conoce una porción finita de la misma. Un ejemplo de una señal no
periódica es la función escalón unidad, empleada en el estudio de los circuitos
alimentados con CD.
Los valores de una señal aleatoria, no pueden ser determinados con exactitud en
cualquier instante, solo pueden ser determinados de manera parcial mediante análisis
estadístico. Un ejemplo de una señal aleatoria es una señal de televisión captada por una
antena.
Una de las clases más importantes de señales (voltaje o corriente), son las señales
periódicas. Estas señales se encuentran con gran frecuencia en sistemas y equipos y
representan con bastante exactitud diferentes fenómenos físicos.
Una señal periódica
)
(t
v
o simplemente v , es una señal que cumple con la siguiente
expresión:
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
2
...
3
,
2
,
1
)
(
)
(
=
+
=
n
nT
t
v
t
v
Para todo valor de t.
En la expresión anterior, T es el período. El período de una señal, es el intervalo de
tiempo en segundos, durante el cual la señal recorre un juego completo de valores. El
patrón de variación de una señal periódica, se repite una y otra vez al transcurrir el
tiempo.
Las figuras 1.1 a 1.4, ilustran algunas de las formas de onda (gráfico resultante de
dibujar una cantidad que varía en el tiempo con respecto al tiempo) de las señales
periódicas que se encuentran con gran frecuencia en los circuitos eléctricos: triangular,
diente de sierra, cuadrada y sinusoidal, señalándose el período de cada una de ellas (el
período puede ser medido entre dos puntos cualquiera que sean correspondientes).
En los laboratorios y talleres de electrónica existen generadores de señales que pueden
entregar diferentes voltajes periódicos. Independientemente de su forma de onda, una
señal periódica es caracterizada por un grupo de atributos (período, frecuencia,
amplitud, etc.).
Figura 1.1:
Voltaje con forma de onda triangular.
Figura 1.2:
Voltaje con forma de onda diente de sierra.
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
3
Figura 1.3:
Voltaje con forma de onda cuadrada.
Figura 1.4:
Voltaje con forma de onda sinusoidal.
A través de todo este libro, la atención principal estará dirigida a señales periódicas de
voltaje y corriente de tipo sinusoidal (la gráfica de voltaje o corriente contra tiempo,
tiene la misma forma que la gráfica de la función trigonométrica seno o coseno) y el
análisis de los circuitos eléctricos que se consideren, será en condiciones de estado
estable (respuesta forzada). Por tanto, a menos que se realice algún señalamiento
específico acerca de la forma de onda de un voltaje o una corriente alterna (CA), se
considerará que se hace referencia a una señal de tipo sinusoidal.
La importancia de la señal de tipo sinusoidal (estímulo, respuesta), está dada por las
siguientes razones:
· La respuesta natural de un circuito subamortiguado de segundo orden es una
sinusoide amortiguada y si no hay pérdidas en el circuito, es una sinusoide pura.
La sinusoide aparece en forma natural (igual que la exponencial negativa).
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
4
· Las derivadas e integrales de las funciones sinusoidales son también funciones
sinusoidales, por tanto, un estímulo sinusoidal producirá una respuesta forzada
sinusoidal en cualquier parte de un circuito lineal. El análisis matemático en este
caso, es más fácil que con otros tipos de funciones excitatrices.
· Los voltajes sinusoidales son fáciles de generar. Es el tipo de voltaje
característico en la generación, transmisión, distribución y consumo de la
energía eléctrica.
· Las señales periódicas, no importa cuan complejas sean, pueden ser
representadas mediante una suma de señales sinusoidales.
En la figura 1.5 se muestran los símbolos que se usarán en este libro para indicar fuentes
independientes de CA de voltaje o de corriente.
a) Fuente de voltaje de CA b) Fuente de corriente de CA
Figura 1.5:
Símbolos para fuentes independientes de CA de voltaje o de corriente.
Anteriormente se definió el período
T de una señal periódica. Un parámetro más usado
en la práctica para definir la velocidad con que la onda recorre un ciclo completo de
valores es la frecuencia (pulsación)
f . La unidad de la frecuencia es el hertz ( Hz ), la
cual representa el número de ciclos de la onda recorridos durante un segundo. La
frecuencia de la energía eléctrica que se genera, transmite y distribuye en la mayoría de
los países del continente americano es de 60
Hz , mientras que en Europa es de 50 Hz .
El período y la frecuencia son matemáticamente recíprocos uno del otro.
)
(
1
)
(
s
T
Hz
f
=
Si un voltaje tiene un período de
s
6667
0166666666
,
0
, tendrá una frecuencia de
Hz
60
.
La frecuencia de una señal también puede ser expresada en kilohertz ( kHz ), megahertz
( MHz ) o gigahertz ( GHz ).
Hz
kHz
MHz
GHz
Hz
kHz
MHz
Hz
kHz
9
6
3
6
3
3
10
10
10
1
10
10
1
10
1
=
=
=
=
=
=
El rango de frecuencia de las señales empleadas en la ciencia y la técnica es muy
amplio: la energía eléctrica se transmite y distribuye con frecuencias de 50 o
Hz
60
,
como se señaló anteriormente, los sistemas de audio trabajan con frecuencias de
Hz
20
a
kHz
20
, las señales de radio de AM poseen frecuencias en el rango de
kHz
550
a
kHz
1600
, la señales de radio de FM ocupan una banda de frecuencias que va desde
MHz
88
hasta
MHz
108
, las señales de TV ocupan diferentes bandas, desde
MHz
54
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
5
hasta
MHz
890
, por encima de los
GHz
300
, se encuentran las frecuencias ópticas y los
rayos X.
La expresión matemática que describe un voltaje sinusoidal es:
V
t
V
t
v
m
)
cos(
)
(
+
=
)
(t
v
: es el valor instantáneo (el valor del voltaje en cualquier instante de tiempo).
cos
: es la abreviatura de coseno en trigonometría.
m
V
: es el valor máximo (amplitud, magnitud, valor de cresta, valor pico) de la onda. Es
la diferencia entre el valor promedio y el valor pico (el valor máximo con respecto a
cero).
: es la frecuencia angular. Es el valor de la frecuencia expresada en radianes por
segundo (rad/s).
: es el ángulo de fase (fase inicial). En las ciencias físicas se acostumbra a expresar el
ángulo de fase en radianes, pero en la ingeniería eléctrica el ángulo se expresa en grados
(
).
Teniendo en cuenta que un ángulo de
rad
2
es equivalente a un ángulo de 360º. Un
ángulo expresado en radianes puede expresarse en grados, mediante:
rad
rad
180
=
En este libro generalmente se usará la función coseno, para describir un voltaje o una
corriente sinusoidal (el término sinusoidal se usa de manera genérica), los cuales
también pueden ser descritos si se requiere, empleando la función seno. No hay
diferencia substancial entre el uso de una u otra, lo cual está dado por las identidades
trigonométricas )
90
cos(
-
=
sen
y
)
90
(
cos
+
=
sen
.
Durante un período de
)
(s
T
la onda pasará por el valor tomado como inicial
T
1
veces
en un segundo.
Entre el período, la frecuencia angular y la frecuencia, existen las siguientes relaciones:
2
1
1
2
2
=
=
=
=
=
f
T
T
f
f
T
La frecuencia en rad/s se usa cuando se define la frecuencia en términos de
revoluciones alrededor de un círculo trigonométrico, mientras que la frecuencia en Hz
se emplea cuando esta se define en términos de frecuencia de repetición (ciclos por
segundo).
De acuerdo a lo expresado anteriormente, un voltaje
V
t
t
v
)
6
1000
2
cos(
100
)
(
-
=
, se
escribirá como
V
t
t
v
)
30
1000
2
cos(
100
)
(
-
=
. El ángulo de fase, define el valor de la
sinusoide en
0
=
t
(origen de coordenadas).
Si se desea encontrar el valor del voltaje anterior en un instante de tiempo específico,
por ejemplo
s
t
4
10
-
=
,
t
1000
2
toma el valor
rad
2
,
0
que equivale a
36 , cantidad a
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
6
la que debe restársele
30 antes de calcular el coseno (en MATLAB el argumento de las
funciones trigonométricas debe expresarse en radianes, por lo que en ese caso el ángulo
en grados debe convertirse a radianes).
Un valor utilizado con frecuencia en algunas especialidades de la ingeniería eléctrica, es
el valor pico a pico (
pp
V ). El valor pico a pico para una onda que es simétrica con
respecto al valor de reposo (generalmente cero) es igual a dos veces el valor pico
(máximo).
Como se observa de las figuras 1.6 a 1.9, el eje de las abscisas puede estar expresado en
períodos (T ), en radianes ( rad ), en grados (
) o en unidades de tiempo ( s ). El período
de la señal sinusoidal en unidades de períodos siempre es T , en radianes siempre es de
rad
2
y cuando se expresa en grados siempre es de
360 , pero el período de la señal
expresado en segundos dependerá de la frecuencia de la señal.
Figura 1.6:
Voltaje sinusoidal. Eje de las abscisas expresado en unidades de período
(
T ).
Figura 1.7:
Voltaje sinusoidal. Eje de las abscisas expresado en radianes ( rad ).
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
7
Figura 1.8:
Voltaje sinusoidal. Eje de las abscisas expresado en grados (
).
Figura 1.9:
Voltaje sinusoidal. Eje de las abscisas expresado en segundos ( s ).
(
s
rad
H
f
s
T
z
/
2832
,
6
;
1
;
1
=
=
=
).
En todas las gráficas anteriores, la fase inicial (
) es de
0 . La fase inicial de un voltaje
o corriente sinusoidal, se mide del origen de coordenadas al valor máximo positivo más
cercano de la función cosinusoidal. Si la función es sinusoidal se mide desde el origen
de coordenadas hasta el valor nulo más cercano a partir del cual la onda se hace
positiva. Se acostumbra a expresar la fase inicial de una señal sinusoidal, con un ángulo
cuya magnitud es menor o igual a
180 .
En ambos casos, si el punto se encuentra a la izquierda del origen de coordenadas el
ángulo es positivo. En caso contrario, es negativo.
Las figuras 1.10 y 1.11 ilustran señales de voltajes con desfases de 45º en adelanto y
atraso.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
8
Figura 1.10:
La señal
)
45
cos(
+
t
V
m
está adelantada
45 a la señal
)
cos( t
V
m
.
Figura 1.11:
La señal
)
45
cos(
-
t
V
m
está atrasada
45 a la señal
)
cos( t
V
m
.
Ejemplo 1.1
Determinar el período (T ) y la frecuencia ( f ) de los siguientes voltajes y dibujarlos en
un mismo gráfico empleando MATLAB.
a)
V
t
t
v
)
cos(
)
(
1
=
b)
V
t
sen
t
v
)
(
)
(
2
=
c)
V
t
t
v
)
2
cos(
2
)
(
3
=
d)
V
t
t
v
)
60
10
cos(
5
)
(
4
+
=
R:
a)
Hz
T
f
s
T
1592
,
0
2
1
1
2832
,
6
2
1
2
2
=
=
=
=
=
=
=
b)
Hz
T
f
s
T
1592
,
0
2
1
1
2832
,
6
2
1
2
2
=
=
=
=
=
=
=
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
9
c)
Hz
T
f
s
T
1
1
1
1
1
2
2
2
=
=
=
=
=
=
d)
Hz
T
f
s
T
5915
,
1
2
,
0
1
1
6283
,
0
2
,
0
10
2
2
=
=
=
=
=
=
=
MATLAB:
>> t=0:0.01*pi:2*pi;
>> v1=cos(t);v2=sin(t);v3=2*cos(2*pi*t);v4=5*cos(10*t+60*pi/180);
>> plot(t,v1,'-',t,v2,':',t,v3,'--',t,v4,'.-')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v1, v2, v3, v4 (V)')
>> title('Voltajes v1(t), v2(t), v3(t) y v4(t)')
>> legend('v1','v2','v3','v4')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.12.
Figura 1.12:
Voltajes sinusoidales con diferentes amplitudes y ángulos de fase.
Si se necesita comparar la relación de fase de dos ondas sinusoidales, ambas deben
escribirse como ondas coseno ó ambas deben escribirse como ondas seno, las
amplitudes de las dos ondas deben ser positivas y las dos ondas deben tener la misma
frecuencia (el desfasaje entre dos ondas solo tiene sentido si las ondas tienen la misma
frecuencia; si las frecuencias de las ondas difieren, aunque sea en una magnitud
pequeña, la relación de fase entre las ondas cambia constantemente).
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
10
El desfasaje entre las dos señales estará dado por la diferencia entre las fases de las
mismas. Si no existe diferencia de fase entre dos ondas sinusoidales, se dice que las
señales están en fase (coincidencia de fase), si la diferencia de fase de dos ondas
sinusoidales es de
90
2
=
se dice que las señales están en cuadratura de fase y si la
diferencia es de
180
=
se dice que están en oposición de fase.
En el proceso de determinar el desfasaje entre dos ondas, las siguientes relaciones entre
las funciones seno y coseno, son útiles:
)
90
(
cos
+
=
sen
)
90
cos(
-
=
sen
)
90
(
cos
-
=
-
sen
)
180
(
±
=
-
sen
sen
sen
sen
-
=
- )
(
cos
)
cos(
=
-
El desfasaje angular entre dos ondas, puede expresarse también como un desfasaje
temporal
)
(s
t
r
, teniendo en cuenta que un período T , corresponde a un ángulo de
360 .
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
360
360
Hz
s
s
r
f
T
t
=
=
Para un desfasaje angular dado, cuanto mayor es la frecuencia menor es el desfasaje en
tiempo
.
Ejemplo 1.2
Hallar el desfasaje entre los voltajes
V
t
sen
V
v
m
)
30
5
(
1
1
-
=
y
V
t
V
v
m
)
10
5
cos(
2
2
+
=
.
R:
V
t
V
t
V
t
sen
V
v
m
m
m
)
120
5
cos(
)
90
30
5
cos(
)
30
5
(
1
1
1
1
-
=
-
-
=
-
=
130
10
120
2
1
-
=
-
-
=
-
Se puede decir que el voltaje
1
v
está atrasado al voltaje
2
v
por
130 o que el voltaje
2
v
está adelantado al voltaje
1
v
por
130 . También pudiera decirse que el voltaje
1
v
adelanta a
2
v
por
230 , pero como se señaló anteriormente, se acostumbra a expresar
no solo la fase inicial de una señal sinusoidal, sino también el desfasaje entre dos
señales sinusoidales, con un ángulo cuya magnitud es menor o igual a
180 . En un
mismo gráfico
)
(
2
t
v
se encuentra a la izquierda de
)
(
1
t
v
.
MATLAB:
>> t=0:0.01:4*pi/5;
>> v1=sin(5*t-30*pi/180);v2=cos(5*t+10*pi/180);
>> plot(t,v1,'-',t,v2,':')
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
11
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v1, v2 (V)')
>> title('El voltaje v2 adelanta al voltaje v1')
>> legend('v1','v2')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.13.
Figura 1.13:
Voltajes desfasados 130
o
.
Ejemplo 1.3
Obtener el ángulo de atraso de
1
i con respecto a
1
v si:
V
t
v
)
40
120
cos(
5
1
-
=
e
1
i es
igual a:
A
t
)
110
120
cos(
8
,
0
-
-
.
R:
A
t
t
t
i
)
70
120
cos(
8
,
0
)
180
110
120
cos(
8
,
0
)
110
120
cos(
8
,
0
1
+
=
+
-
=
-
-
=
110
70
40
1
1
-
=
-
-
=
-
i
v
(
1
i
atrasa a
1
v
en
110
-
)
MATLAB:
>> t=-0.005:0.0001:0.01676;
>> v1=5*cos(120*pi*t-40*pi/180);
>> i1=-0.8*cos(120*pi*t-110*pi/180);
>> plotyy(t,v1,t,i1)
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v1 (V)')
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
12
>> ylabel('i1 (A)')
>> title('i1 atrasa a v1 en -110 grados')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.14.
Figura 1.14:
La corriente
1
i
atrasa al voltaje
1
v
en
110
-
(
1
i
adelanta a
1
v
).
Ejemplo 1.4
Encuentre el desfasaje (diferencia) en tiempo entre las corrientes sinusoidales
A
t
i
)
30
4
cos(
1
+
=
e
A
t
sen
i
)
4
(
2
2
-
=
.
R:
)
90
4
cos(
2
)
4
(
2
2
+
=
-
=
t
t
sen
i
60
90
30
2
1
-
=
-
=
-
s
T
5708
,
1
4
2
2
=
=
=
s
T
t
s
s
r
2618
,
0
360
5708
,
1
60
360
)
(
)
(
)
(
-
=
-
=
=
La corriente
1
i
se atrasa a la corriente
2
i
en 0,2618 s.
MATLAB:
>> t=0:0.01:2*pi/4;
>> i1=cos(4*t+30*pi/180);i2=-2*sin(4*t);
>> plot(t,i1,'*',t,i2,'o')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('i1, i2 (A)')
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
13
>> title('La corriente i1 se atrasa a la corriente i2')
>> legend('i1','i2')
>> grid
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.15.
Figura 1.15:
Corrientes desfasadas.
· Problemas de consolidación
1-1. Un voltaje
V
t
sen
V
t
v
m
)
(
)
(
=
tiene un valor máximo de
V
20 y una frecuencia de
Hz
50
. Determinar el valor instantáneo de la señal de voltaje que existe en: a)
ms
5
,
2
; b)
ms
15
.
R:
a)
V
14
,
14
; b)
V
20
-
1-2. Una señal periódica de corriente, completa 5 ciclos en
ms
8
. Determinar la
frecuencia de la señal.
R:
Hz
625
1-3. ¿Cuál es la relación de fase entre las señales de voltaje y corriente dadas por:
V
t
sen
v
)
30
(
10
+
=
e
A
t
sen
i
)
70
(
5
+
=
.
R:
El voltaje atrasa a la corriente en
40 o la corriente adelanta al voltaje en
40 .
1-4. ¿Cuál es la relación de fase entre las señales de corriente y voltaje dadas por:
A
t
i
)
60
cos(
2
-
-
=
y
V
t
sen
v
)
150
(
3
-
=
.
R:
Las señales de corriente y voltaje están en fase.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
14
1.2 El fasor
En un circuito lineal, en condiciones de estado estable, una señal de excitación
sinusoidal siempre producirá una respuesta sinusoidal de la misma frecuencia, de
manera que al aplicar una excitación real (puede ser generada realmente en condiciones
de laboratorio)
)
cos(
)
(
+
=
t
V
t
v
m
, se obtendrá una respuesta
)
cos(
)
(
+
=
t
I
t
i
m
.
Si al circuito lineal, se le aplica una excitación imaginaria (puede ser aplicada como
función matemática, pero no puede ser generada en la vida real)
)
(
+
t
sen
jV
m
, se
obtendrá una respuesta
)
(
+
t
sen
jI
m
.
Teniendo en cuenta que la red es lineal, cumple el principio de superposición, por tanto
al aplicar una señal de excitación compleja (parte real y parte imaginaria)
)
(
)
cos(
+
+
+
t
sen
jV
t
V
m
m
, la respuesta será
)
(
)
cos(
+
+
+
t
sen
jI
t
I
m
m
.
Al aplicar a la red lineal la excitación compleja, cuya parte real es la excitación real
dada, se obtendrá una respuesta compleja cuya parte real es la respuesta real deseada.
Empleando la identidad de Euler, el estímulo complejo y la respuesta también compleja,
pueden ser representados de una forma más sencilla como
)
(
+
t
j
m
e
V
e
)
(
+
t
j
m
e
I
,
respectivamente.
Este procedimiento, permitirá que las ecuaciones íntegro diferenciales que describen la
respuesta en estado estable sinusoidal, de un circuito lineal, puedan ser convertidas en
ecuaciones algebraicas, mucho más simples.
Ejemplo 1.5
El circuito mostrado en la figura 1.16, se encuentra en estado estable sinusoidal.
Determinar la corriente )
(
t
i
.
Figura 1.16:
Circuito RL en estado estable sinusoidal.
R:
Al aplicar a la red lineal una excitación compleja, cuya parte real es la excitación real
dada (identidad de Euler):
t
j
m
s
e
V
v
=
Se obtendrá una respuesta compleja cuya parte real es la respuesta real deseada:
)
(
+
=
t
j
m
e
I
i
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
15
Al escribir la ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV) para este circuito de un solo lazo,
se tiene:
s
v
dt
di
L
Ri
=
+
Sustituyendo el estímulo y la respuesta compleja (estado estable sinusoidal):
t
j
m
t
j
m
t
j
m
e
V
e
I
dt
d
L
e
RI
=
+
+
+
)
(
)
(
)
(
Al llevar a cabo la derivación indicada se obtiene una ecuación algebraica compleja.
t
j
m
t
j
m
t
j
m
e
V
e
LI
j
e
RI
=
+
+
+
)
(
)
(
Dividiendo ambos lados de la ecuación entre
t
j
e
:
m
j
m
j
m
V
e
LI
j
e
RI
=
+
Factorizando el lado izquierdo:
m
j
m
V
L
j
R
e
I
=
+
)
(
Despejando
j
m
e
I
:
L
j
R
V
e
I
m
j
m
+
=
Expresando el lado derecho de la ecuación en forma exponencial o polar, se identifican
los valores de
m
I y
:
))
(
tan
(
2
2
2
1
R
L
j
m
j
m
e
L
R
V
e
I
-
-
+
=
(I)
Por tanto:
2
2
2
L
R
V
I
m
m
+
=
R
L
1
tan
-
-
=
La respuesta real )
(
t
i
puede ser obtenida reinsertando el factor
t
j
e
en ambos lados de
la ecuación (I) y tomando la parte real con ayuda de la identidad de Euler. No obstante
como
m
I y
se identifican de forma directa, la expresión para
)
(t
i
, puede escribirse
directamente:
)
tan
cos(
)
cos(
)
(
1
2
2
2
R
L
t
L
R
V
t
I
t
i
m
m
-
-
+
=
+
=
MATLAB:
>> syms t w Vm R L
>> it=dsolve('R*it+L*Dit=Vm*cos(w*t)')
it =
C2/exp((R*t)/L) + (Vm*(w*sin(t*w) + (R*cos(t*w))/L))/(L*(R^2/L^2 + w^2))
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
16
Al considerar que t tiende a infinito (estado estable), el término exponencial se anula y
utilizando
)
tan
cos(
)
(
)
cos(
1
2
2
A
B
t
B
A
t
Bsen
t
A
-
-
+
=
+
, se llega al resultado
encontrado anteriormente, de forma analítica.
Ejemplo 1.6
El circuito mostrado en la figura 1.17, se encuentra en estado estable sinusoidal.
Encontrar el voltaje complejo
)
(t
v
en los terminales de la fuente de corriente.
Figura 1.17:
Circuito RL en estado estable sinusoidal.
R:
El voltaje complejo en los terminales de la fuente, tendrá un valor
V
e
V
t
j
m
)
3000
(
+
.
Aplicando LKV en el circuito de un solo lazo:
)
008
,
0
(
)
095
,
0
(
)
008
,
0
)(
500
(
3000
3000
)
3000
(
t
j
t
j
t
j
m
e
dt
d
e
e
V
+
=
+
Derivando:
)
28
,
2
4
3000
3000
)
3000
(
t
j
t
j
t
j
m
e
j
e
e
V
+
=
+
Dividiendo ambos lados de la ecuación entre
t
j
e
3000
:
7
,
29
60
,
4
28
,
2
4
j
j
m
e
j
e
V
=
+
=
La representación en forma compleja del voltaje deseado, se obtiene insertando el factor
t
j
e
3000
:
V
e
t
v
t
j
)
7
,
29
3000
(
60
,
4
)
(
+
=
MATLAB:
>> V=4+2.28i
V =
4.0000 + 2.2800i
>> [Ang, Vm]=cart2pol(4,2.28)
Ang =
0.5181
Vm =
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
17
4.6042
>> Ang*180/pi
ans =
29.6831
El fasor es un número complejo, que al especificar la magnitud y el ángulo de fase de
una sinusoide, la determina completamente, como si la sinusoide fuera descrita por una
función analítica del tiempo (
)
cos(
+
t
V
m
). El trabajo con fasores (método fasorial)
simplifica enormemente el análisis de estado estable sinusoidal (respuesta forzada) en
circuitos RLC, al no tener que resolver las ecuaciones íntegrodiferenciales que se
obtendrían al aplicar las leyes de Kirchhoff en la solución de un circuito dado. El
método fasorial es una transformación matemática (transformación fasorial) que
simplifica la solución de los problemas de análisis de circuitos.
Las transformaciones matemáticas son muy utilizadas en la ciencia para simplificar
diversos problemas. Una de las más conocidas es la transformación logarítmica, que
permite pasar del dominio de los números comunes al dominio de los números
logarítmicos y luego regresar al dominio de los números comunes, simplificando las
operaciones aritméticas de multiplicación y división.
En cualquier circuito lineal en estado estable sinusoidal, operando a una frecuencia
determinada, todos los voltajes o corrientes sinusoidales, están caracterizados por su
magnitud y ángulo de fase:
)
cos(
)
(
+
=
t
I
t
i
m
(Expresión instantánea).
)
(
)
(
+
=
t
j
m
e
I
t
i
(Representación en forma compleja).
El factor
t
j
e
, es el mismo para todos los voltajes y corrientes, por lo tanto no contiene
información útil, es suficiente conocer el valor de
.
La representación en forma compleja, puede abreviarse y expresarse como:
j
m
e
I
(Representación
en
forma
exponencial).
m
I
(Representación
en
forma
polar).
))
(
)
(cos(
jsen
I
m
+
(Representación en forma binómica o rectangular).
El paso de la forma exponencial a la forma polar y viceversa, es directa. El paso de la
forma exponencial (polar) a la binómica y viceversa, se lleva a cabo teniendo en cuenta
que:
)
(
)
(
j
m
j
m
e
I
j
e
I
I
+
=
2
2
)]
(
[
)]
(
[
j
m
j
m
m
e
I
e
I
I
+
=
)
(
)
(
tan
1
I
I
=
-
Cualquiera de estas representaciones complejas abreviadas de un voltaje o una corriente
recibe el nombre de fasor.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
18
En la representación fasorial, la frecuencia angular no aparece explícitamente, debido a
que
es constante. No obstante la respuesta depende de
. Por esta razón, el dominio
fasorial también se conoce como dominio de la frecuencia.
En este libro, el fasor se representa con una letra mayúscula. Se emplea una letra
mayúscula porque el fasor no es una función del tiempo, solo contiene información de
la magnitud y fase del voltaje o la corriente. La representación de una corriente o
voltaje en el dominio del tiempo se simboliza respectivamente por
)
(t
i
o
)
(t
v
. La
representación de una corriente (voltaje) en el dominio de la frecuencia (fasorial) se
simboliza por
)
(V
I
.
La corriente
)
(t
i
y el voltaje
)
(t
v
siempre son cantidades reales, mientras que los
fasores I o V son generalmente magnitudes complejas.
El proceso por el cual la corriente, expresada en forma instantánea )
(t
i
, se transforma
en la corriente expresada en forma fasorial I , consiste en extraer la amplitud y el
ángulo de fase de la onda expresada en forma de una función coseno.
Ejemplo 1.7
Transformar al dominio de la frecuencia:
a) el voltaje expresado en forma instantánea
V
t
t
v
)
30
400
cos(
100
)
(
-
=
;
b) la corriente expresada en forma instantánea
A
t
sen
t
i
)
150
377
(
5
)
(
+
=
.
R:
a)
V
V
30
100
-
=
(Representación en forma polar).
b)
A
t
t
t
sen
t
i
)
60
377
cos(
5
)
90
150
377
cos(
5
)
150
377
(
5
)
(
+
=
-
+
=
+
=
A
I
60
5
=
(Representación en forma polar).
A
j
I
3301
,
4
5000
,
2
+
=
(Representación en forma binómica o rectangular).
MATLAB:
I =
2.5000 + 4.3301i
>> Magnitud=abs(I)
Magnitud =
5.0000
>> Angulo=angle(I)*180/pi
Angulo =
59.9998
Ejemplo 1.8
Transformar al dominio del tiempo, el voltaje expresado en forma fasorial
V
j
V
3173
,
81
3173
,
81
-
=
.
R:
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
19
115
3173
,
81
3173
,
81
2
2
=
+
=
m
V
45
3173
,
81
3173
,
81
tan
1
-
=
-
=
-
V
V
j
V
45
115
3173
,
81
3173
,
81
-
=
-
=
V
t
t
v
)
45
cos(
115
)
(
-
=
MATLAB:
>> V=81.3173-j*81.3173
V =
81.3173 -81.3173i
>> compass(V)
>> title('Fasor V (V)')
El gráfico del fasor del voltaje, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 1.18.
Figura 1.18
Fasor de voltaje.
En el análisis de circuitos en corriente alterna y estado estable sinusoidal, con frecuencia
se requiere la suma o resta de voltajes o corrientes. Este proceso llevado a cabo
gráficamente, sumando o restando punto a punto los valores de las señales para cada
valor del tiempo, sería un proceso largo, tedioso y con una precisión limitada. El empleo
de los fasores permite resolver este problema con gran facilidad.
Ejemplo 1.9
Expresar en forma instantánea el voltaje
2
1
v
v
v
T
+
=
, siendo
V
t
v
)
2
cos(
2
1
=
y
V
t
v
)
90
2
cos(
2
-
=
.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
20
R:
V
V
0
2
1
=
V
V
90
1
2
-
=
V
j
j
j
V
V
V
T
5651
,
26
2361
,
2
2
1
tan
1
2
1
2
1
0
0
2
90
1
0
2
1
2
2
2
1
-
=
-
+
=
-
=
-
+
+
=
-
+
=
+
=
-
V
t
t
v
)
5651
,
26
2
cos(
2361
,
2
)
(
-
=
MATLAB:
>> t=-0.5:0.01:1;
>> v1=2*cos(2*pi*t);
>> v2=cos(2*pi*t-90*pi/180);
>> vT=v1+v2;
>> subplot(1,2,1)
>> plot(t,v1,':',t,v2,'r-.',t,vT,'m')
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v (V)')
>> title('v1,v2 y vT=v1+v2')
>> legend('v1','v2','vT')
>> V1=2+0i;
>> V2=0-1i;
>> VT=V1+V2;
>> subplot(1,2,2)
>> fasores=[V1 V2 VT]
fasores =
2.0000 0 - 1.0000i 2.0000 - 1.0000i
>> compass(fasores)
>> title('Voltajes fasoriales V1, V2 y VT=V1+V2')
Los gráficos obtenidos en MATLAB se muestran en la figura 1.19.
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
21
Figura 1.19
Formas de onda y representación fasorial de los voltajes
1
v
,
2
v
y
T
v
.
· Problemas de consolidación
1-5. Determinar y expresar en forma instantánea el voltaje
2
1
v
v
v
T
+
=
, siendo
V
t
sen
v
)
(
10
1
=
y
V
t
sen
v
)
60
(
15
2
+
=
.
R:
V
t
)
4
,
53
cos(
8
,
21
-
1-6. Expresar la señal de voltaje mostrada en la figura 1.20, tanto en el dominio del
tiempo como en el dominio de la frecuencia.
Figura 1.20
Señal de voltaje.
R:
V
t
V
m
)
45
cos(
+
,
V
V
m
)
45
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
22
1.3 Diagramas fasoriales
Se denomina diagrama fasorial, a un bosquejo en el plano complejo, que muestra las
magnitudes y posiciones relativas de los fasores de voltajes y corrientes a través de un
circuito específico.
Como los voltajes y las corrientes expresados fasorialmente, son números complejos,
pueden representarse como puntos en el plano complejo. Por ejemplo el voltaje fasorial
V
e
j
V
j
1
,
53
1
10
1
,
53
10
8
6
=
°
=
+
=
se dibuja en el plano complejo de voltaje, como se
muestra en la figura 1.21. Los ejes son, el eje real del voltaje y el eje imaginario del
voltaje; el voltaje fasorial
1
V
se localiza por medio de una flecha dibujada desde el
origen hasta el punto correspondiente.
Figura 1.21
Diagrama fasorial del voltaje
V
e
j
V
j
1
,
53
1
10
1
,
53
10
8
6
=
°
=
+
=
.
El diagrama fasorial permite una interpretación interesante de la transformación
recíproca entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.
Un vector de giro es aquel cuyo argumento varía con el tiempo en la forma
t
j
e
. Si ese
vector se mueve sobre una circunferencia de radio 1, con velocidad angular , en
sentido contrario a las manecillas del reloj, a medida que el tiempo aumenta, las
sucesivas posiciones del vector se van desplazando por los distintos cuadrantes hasta
llegar a repetir los mismos valores.
Al analizar la magnitud compleja
)
(
+
t
j
m
e
I
, su representación en el plano complejo será
para t = 0, un número complejo de módulo
m
I y argumento
. Para
1
t
t
= será una
magnitud compleja de módulo
m
I y argumento
)
(
1
+
t
, y para sucesivos valores del
tiempo, la representación de esta magnitud, corresponderá a un vector de módulo
siempre igual a
m
I , pero con argumento variable.
Si se traza la proyección de esa magnitud sobre el eje real, se obtiene una función
cosinusoidal de frecuencia angular
. Se puede decir que para cada instante de tiempo,
el valor de la proyección sobre el eje real de la magnitud compleja
)
(
+
t
j
m
e
I
, es igual al
valor instantáneo de la función real
)
cos(
)
(
+
=
t
I
t
i
m
.
De modo que entre la magnitud compleja de la corriente y la función real del tiempo de
la misma, existe una relación biunívoca que se ilustra en la figura 1.22: el fasor (número
complejo) de corriente, girando en el plano complejo a una velocidad angular
,
proyecta sobre el eje real de corriente la función cosinusoidal y por otro lado, la función
cosinusoidal de corriente solo puede ser proyectada sobre el eje real de corriente del
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
23
plano complejo, por el fasor (número complejo) de corriente girando a una frecuencia
angular . Por tanto:
)
cos(
)
(
+
+
t
I
e
I
m
t
j
m
.
Figura 1.22:
Relación entre el fasor y la función (cosinusoidal) real del tiempo.
Teniendo en cuenta la identidad de Euler, puede plantearse:
)
(
)
(
)
(
)
cos(
)
(
)
(
t
j
t
j
j
m
t
j
m
m
Ve
e
e
V
e
V
t
V
t
v
=
=
=
+
=
+
Donde:
=
=
m
j
m
V
e
V
V
)
(
)
(
)
(
)
cos(
)
(
)
(
t
j
t
j
j
m
t
j
m
m
Ie
e
e
I
e
I
t
I
t
i
=
=
=
+
=
+
Donde:
=
=
m
j
m
I
e
I
I
La derivada con respecto al tiempo del voltaje
)
(
)
cos(
)
(
t
j
m
Ve
t
V
t
v
=
+
=
será:
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
24
)
(
)
(
)
90
cos(
)
(
90
t
j
j
j
t
j
m
m
m
Ve
j
e
e
e
V
t
V
t
sen
V
dt
dv
=
=
+
+
=
+
-
=
La expresión anterior indica que la derivada con respecto al tiempo de
)
(t
v
, se
transforma al dominio de la frecuencia (fasorial) como
V
j
. De manera similar
dt
di
se
transforma al dominio de la frecuencia (fasorial) como
I
j
.
Derivar una señal sinusoidal en el dominio del tiempo, es equivalente a multiplicar su
fasor correspondiente en el dominio de la frecuencia por
j .
Un análisis similar brinda el siguiente resultado:
vdt
se transforma al dominio de la frecuencia (fasorial) como
j
V
idt
se transforma al dominio de la frecuencia (fasorial) como
j
I
Integrar una señal sinusoidal en el dominio del tiempo, es equivalente a dividir su fasor
correspondiente en el dominio de la frecuencia por
j
.
Las ecuaciones anteriores permiten encontrar la solución de un circuito en estado
estable sinusoidal, sin necesidad de conocer las condiciones iniciales de las variables
consideradas. Esta es otra de las importantes aplicaciones del uso de los fasores, en el
análisis de circuitos en estado estable sinusoidal.
Ejemplo 1.10
Utilizando el método fasorial (dominio de la frecuencia), determinar la corriente )
(t
i
en
un circuito, en estado estable sinusoidal, descrita por la ecuación íntegrodiferencial
)
75
2
cos(
50
3
8
4
+
=
-
+
t
dt
di
idt
i
.
R:
Teniendo en cuenta que el método fasorial brinda la solución en estado estable
sinusoidal, no es necesario conocer los valores iniciales de las variables del circuito.
Transformando cada miembro de la ecuación del dominio del tiempo al dominio de la
frecuencia (fasorial):
75
50
3
8
4
=
-
+
I
j
j
I
I
De la ecuación íntegrodiferencial se observa que
2
=
, por tanto:
75
50
6
4
4
=
-
-
I
j
I
j
I
75
50
)
10
4
(
=
- j
I
A
j
I
2
,
143
642
,
4
2
,
68
77
,
10
75
50
10
4
75
50
=
-
=
-
=
Expresando la corriente fasorial en forma instantánea:
A
t
t
i
)
2
,
143
2
cos(
642
,
4
)
(
+
=
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
25
MATLAB:
>> I=solve('4*I+8*I/(sqrt(-1)*2)-3*sqrt(-1)*2*I=50*(cos(75*pi/180)+sqrt(-
1)*sin(75*pi/180))')
I =
(25/174+125/348*i)*6^(1/2)*(3-3^(1/2)+3*i+i*3^(1/2))
>> numeric(I)
ans =
-3.7172 + 2.7810i
>> I=numeric(I)
I =
-3.7172 + 2.7810i
>> Im=abs(I)
Im =
4.6424
>> anguloI=angle(I)*180/pi
anguloI =
143.1986
En el análisis de circuitos de CA, en estado estable sinusoidal, se emplean con gran
frecuencia, los operadores de giro. Un operador de giro es un número complejo de
módulo 1 y argumento diferente de cero que, al operar sobre otro número complejo,
solo altera su argumento. Por ejemplo:
j
± imprime un giro de
90
±
.
1
- imprime un giro de
180
±
.
j
e imprime un giro de grados.
Ejemplo 1.11
Expresar en forma polar: a)
V
j
V
3173
,
81
3173
,
81
1
-
=
, b)
1
2
jV
V
=
, c)
1
3
jV
V
-
=
, d)
1
4
V
V
-
=
, e)
1
45
5
V
e
V
j
=
R:
a)
115
3173
,
81
3173
,
81
2
2
=
+
=
m
V
45
3173
,
81
3173
,
81
tan
1
-
=
-
=
-
V
V
j
V
45
115
3173
,
81
3173
,
81
1
-
=
-
=
b)
V
jV
V
45
115
1
2
=
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
26
c)
V
jV
V
135
115
1
3
-
=
-
=
d)
V
V
V
135
115
1
4
=
-
=
e)
V
V
e
V
j
0
115
1
45
5
=
=
MATLAB:
>> V1=81.3173-j*81.3173
V1 =
81.3173 -81.3173i
>> V2=j*V1
V2 =
81.3173 +81.3173i
>> V3=-j*V1
V3 =
-81.3173 -81.3173i
>> V4=-V1
V4 =
-81.3173 +81.3173i
>> V5=exp(j*45*pi/180)*V1
V5 =
1.1500e+002 -7.1054e-015i
>> Voltajes=[V1 V2 V3 V4 V5]
Voltajes =
1.0e+002 *
0.8132 - 0.8132i 0.8132 + 0.8132i -0.8132 - 0.8132i -0.8132 + 0.8132i 1.1500 -
0.0000i
>> compass(Voltajes)
>> title('Voltajes fasoriales V1, V2, V3, V4, V5 (V)')
El gráfico de los operadores de giro, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura
1.23.
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
27
Figura 1.23:
Operadores de giro actuando sobre el fasor de voltaje V1.
Los diagramas fasoriales solo se pueden dibujar (solo tienen sentido), para voltajes y
corrientes pertenecientes a un mismo circuito, los cuales deben tener además la misma
frecuencia. Si en el diagrama fasorial aparecen representados voltajes y corrientes, las
escalas para cada una de las magnitudes serán en general diferentes.
En muchos casos, los diagramas fasoriales facilitan la comprensión y solución de
problemas de circuitos de corriente alterna, al mostrar claramente las magnitudes de los
distintos voltajes y corrientes y las diferencias de fase entre dichas señales, teniendo en
cuenta que los fasores, como se señaló anteriormente, giran en sentido contrario a las
manecillas del reloj.
· Problemas de consolidación
1-7. Por la combinación serie de un resistor de
10
y un inductor de
mH
20
, circula
una corriente
A
t
i
)
10
500
cos(
5
+
=
. Representar en un diagrama fasorial, la
corriente y el voltaje aplicado a la combinación serie de los dos elementos.
R:
A
I
10
5
=
,
V
V
55
7
,
70
=
1-8. Si
A
t
sen
i
)
55
(
4
,
14
1
-
=
e
A
t
sen
i
)
15
(
4
2
+
=
. Representar en un diagrama
fasorial
1
I ,
2
I e
2
1
I
I
I
T
+
=
.
R:
A
I
145
4
,
14
1
-
=
,
A
I
75
4
2
-
=
,
A
I
T
4
,
131
98
,
15
-
=
1.4 Valores eficaces de corriente y voltaje
El voltaje disponible en los contactos eléctricos de las viviendas es un voltaje
sinusoidal, con una frecuencia de 60 Hz y un valor eficaz de 115 V.
El valor eficaz de un voltaje, es una medida de la efectividad de la fuente que genera
dicho voltaje, para entregar potencia a una carga resistiva.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
28
El valor eficaz de cualquier corriente periódica, es igual al valor de la corriente directa,
que fluyendo a través de un resistor con una resistencia de
)
(
R
, entrega al resistor,
una potencia igual a la potencia promedio en un período que entrega la corriente
periódica a dicho resistor.
El valor eficaz se determina de la siguiente manera: se deja que una corriente periódica
dada )
(i , fluya a través de un resistor, se obtiene la potencia instantánea
)
(
2
R
i
, y se
calcula el valor promedio de la potencia instantánea
)
(
2
R
i
en un período, o sea la
potencia promedio en un período. Posteriormente, se hace circular una corriente directa
por ese mismo resistor y se ajusta el valor de la corriente directa, hasta que se obtenga
un valor para la potencia, igual al valor de la potencia promedio obtenida para la
corriente periódica. La magnitud de la corriente directa es igual al valor eficaz de la
corriente periódica dada.
El desarrollo de la expresión matemática general, que permite calcular el valor eficaz de
una corriente o un voltaje periódico dado (no necesariamente sinusoidal), se muestra a
continuación.
La potencia promedio en un período entregada al resistor R por )
(t
i
es:
=
=
T
T
dt
i
T
R
Rdt
i
T
P
0
2
0
2
1
(T es el período de )
(t
i
).
La potencia entregada por la corriente directa es:
R
I
P
rms
2
=
Igualando ambas expresiones y despejando el valor eficaz de la corriente
rms
I
:
=
T
rms
dt
i
T
I
0
2
1
Una expresión análoga se obtiene para el valor eficaz de un voltaje periódico.
El valor eficaz recibe también el nombre de raíz media cuadrática o valor rms (del
inglés root mean square).
Un caso de especial importancia es el de una señal periódica de tipo sinusoidal.
Ejemplo 1.12
Calcular el valor eficaz, de una corriente sinusoidal
)
cos(
+
=
t
I
i
m
.
R:
2
=
T
+
=
=
2
0
2
2
0
2
)
(
cos
2
1
1
dt
t
I
dt
i
T
I
m
T
rms
Aplicando la expresión trigonométrica
)
2
cos(
2
1
2
1
cos
2
+
=
:
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
29
+
+
=
2
0
)
2
2
cos(
2
1
2
1
2
dt
t
I
I
m
rms
Teniendo en cuenta que la integral de una función sinusoidal sobre un número entero de
periodos (n=1, 2, 3,...) es igual a cero (en este caso n=2):
m
m
m
rms
I
I
t
I
I
707
,
0
2
4
2
0
=
=
MATLAB:
>> syms Im w zita T t
>> T=2*pi/w;
>> it=Im*cos(w*t+zita);
>> Irms=sqrt(1/T*int(it^2,t,0,T))
Irms =
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
>> simple(Irms)
simplify:
1/2*2^(1/2)*csgn(Im)*Im
radsimp:
1/2*2^(1/2)*Im
combine(trig):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
factor:
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
expand:
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
combine:
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
convert(exp):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
convert(sincos):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
convert(tan):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
collect(Im):
1/2*2^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
ans =
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
30
1/2*2^(1/2)*Im
Como se ha demostrado, el valor eficaz de una corriente sinusoidal, es una cantidad real
independiente de la frecuencia, del ángulo de fase y numéricamente igual a
707
,
0
2
1
veces la amplitud de la corriente.
De manera que, una corriente de valor
(
)
A
+
t
cos
2
tiene un valor eficaz de
A
1 y
entregará a cualquier resistencia la misma potencia que le entregaría una corriente
directa de
A
1 .
El factor 2 solo se aplica a señales sinusoidales. El número por el cual debe dividirse
el valor máximo de una función periódica de corriente o voltaje para obtener el valor
eficaz, depende de la forma matemática de la función periódica dada.
Ejemplo 1.13
Calcular el valor eficaz de un voltaje sinusoidal con rectificación de media onda, dado
por:
=
T
t
T
T
t
t
sen
V
t
v
m
2
0
2
0
)
(
)
(
R:
2
=
T
=
T
rms
dt
v
T
V
0
2
1
=
=
0
2
2
2
0
2
)
(
2
1
1
dt
t
sen
V
dt
v
T
V
m
T
rms
Aplicando la expresión trigonométrica
)
2
cos(
2
1
2
1
2
-
=
sen
:
-
=
0
)
2
cos(
2
1
2
1
2
dt
t
V
V
m
rms
Teniendo en cuenta que la integral de una función sinusoidal sobre un período completo
es igual a cero:
2
4
0
m
m
rms
V
t
V
V
=
=
MATLAB:
>> syms T w Vm t
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
31
>> v=Vm*sin(w*t)
v =
Vm*sin(w*t)
>> T=2*pi/w
T =
2*pi/w
>> Vrms=sqrt(1/T*int(v^2,t,0,T/2))
Vrms =
1/2*(Vm^2)^(1/2)
>> simple(Vrms)
simplify:
1/2*csgn(Vm)*Vm
radsimp:
1/2*Vm
combine(trig):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
factor:
1/2*(Vm^2)^(1/2)
expand:
1/2*(Vm^2)^(1/2)
combine:
1/2*(Vm^2)^(1/2)
convert(exp):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
convert(sincos):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
convert(tan):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
collect(Vm):
1/2*(Vm^2)^(1/2)
ans =
1/2*Vm
Ejemplo 1.14
Calcular el valor eficaz de la corriente periódica con forma de onda diente de sierra de
la figura 1.24.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
32
Figura 1.24:
Corriente con forma de onda diente de sierra.
R:
En este ejemplo se tiene como dato la forma de onda de la corriente periódica, cuya
expresión matemática en función del tiempo (para el primer período) se determina
fácilmente.
T
t
I
i
m
=
=
T
rms
dt
i
T
I
0
2
1
3
3
1
1
0
3
3
2
0
2
3
2
0
2
2
2
0
2
m
T
m
T
m
T
m
T
rms
I
t
T
I
dt
t
T
I
dt
T
t
I
T
dt
i
T
I
=
=
=
=
=
MATLAB:
>> syms T Im t
>> i=Im*t/T
i =
Im*t/T
>> Irms=sqrt(1/T*int(i^2,t,0,T))
Irms =
1/3*3^(1/2)*(Im^2)^(1/2)
Teniendo en cuenta que en la expresión
=
T
rms
dt
i
T
I
0
2
1
, la integral de
2
i representa el
área bajo la forma de onda
2
i , puede emplearse un método gráfico para encontrar el
valor eficaz de cualquier onda periódica i(t), aun cuando no se conozca la función del
tiempo que la describe.
El procedimiento a emplear consta de los siguientes pasos:
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
33
-
Elevar al cuadrado la gráfica de i contra tiempo (en un período).
-
Determinar el área bajo la curva
2
i .
-
Dividir el área entre el período (longitud) de la curva.
-
Determinar la raíz cuadrada del resultado anterior.
Ejemplo 1.15
Calcular el valor eficaz del voltaje con forma de onda cuadrada de la figura 1.25:
Figura 1.25:
Voltaje con forma de onda cuadrada.
R:
La gráfica de
2
v
se muestra en la figura 1.26:
Figura 1.26:
Gráfica de
2
)
(t
v
.
Área bajo la curva
2
v
:
s
V
A
v
2
3
3
3
10
*
32000
10
*
10
*
1600
10
*
10
*
1600
2
-
-
-
=
+
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
34
Período (longitud) de la curva:
s
T
3
10
*
20
-
=
División del área entre el período (longitud) de la curva:
2
3
3
1600
10
*
20
10
*
32000
V
=
-
-
Raíz cuadrada del resultado anterior.
V
V
rms
40
1600
=
=
MATLAB:
>> Vrms=sqrt((1600*10*10^-3+1600*10*10^-3)/(20*10^-3))
Vrms =
40
El proceso de determinar el área bajo la curva
)
(
2
2
v
i
, es relativamente fácil para formas
de onda rectangular, triangular y con características similares, donde se emplean para
ello, expresiones simples de geometría.
Para otras formas de onda, diferentes a las señaladas anteriormente y de las cuales
tampoco se conocen las funciones matemáticas que las describen, el área bajo la curva
no puede ser calculada exactamente, en esos casos deben emplearse métodos numéricos
(regla trapezoidal, regla de la ordenada media o regla de Simpson, etc.) para determinar
de manera aproximada el área bajo la curva.
Ejemplo 1.16
Calcular el valor eficaz del voltaje periódico, con la forma de onda que se muestra en la
figura 1.27:
Figura 1.27:
Gráfica del voltaje periódico
)
(t
v
.
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
35
R:
Área bajo la curva
2
v (usando la regla de la ordenada media con 5 intervalos, cada uno
de ancho
s
2 ):
s
V
A
v
2
2
2
2
2
2
836
)
5
10
15
8
2
(
*
2
2
=
+
+
+
+
=
Período (longitud) de la curva:
s
T
10
=
División del área entre el período (longitud) de la curva:
2
6
,
83
10
836
V
=
Raíz cuadrada del resultado anterior:
V
V
rms
1433
,
9
6
,
83
=
=
Al usar la regla de la ordenada media con intervalos iguales, el valor eficaz puede
obtenerse directamente mediante:
V
ervalos
de
cantidad
cuadrado
al
medias
ordenadas
V
rms
1433
,
9
5
5
10
15
8
2
int
2
2
2
2
2
=
+
+
+
+
=
=
MATLAB:
>> t=0:10;
>> v=[0 2 5 8 9 15 13 10 8 5 0];
>> plot(t,v,':',t,v.^2,'--')
>> xlabel('t(s)')
>> ylabel('v(V), v cuadrado(V al cuadrado)')
>> title('v(t) y v(t) al cuadrado')
>> grid
>> legend('v','v^2')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.28.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
36
Figura 1.28:
Gráfica de
2
)
(
)
(
t
v
y
t
v
.
Al emplear métodos numéricos, debe tenerse en cuenta que mientras mayor sea el
número de intervalos escogidos, mayor será la precisión del resultado que se obtenga.
Ejemplo 1.17
Calcular el valor eficaz del voltaje, con la forma de onda que se muestra en la figura
1.29:
Figura 1.29:
Señal de voltaje con componentes de CD y CA.
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
37
R:
La señal de voltaje mostrada está compuesta por una componente de corriente directa y
una componente cosinusoidal (puede obtenerse prácticamente colocando una fuente de
voltaje de CD y otra de CA en serie, de valores adecuados). Este tipo de señal aparece
con frecuencia en circuitos electrónicos.
La componente de directa tiene un valor de V
6 y la componente alterna tiene un valor
máximo de
V
5
,
1
y por tanto un valor eficaz de
V
V
V
m
rms
CA
0607
,
1
2
5
,
1
2
)
(
=
=
=
.
En casos como este, el valor eficaz de la señal compuesta no es la suma de los valores
eficaces de cada componente, sino que se calcula mediante:
2
)
(
2
rms
CA
CD
rms
V
V
V
+
=
Sustituyendo valores:
V
V
rms
093
,
6
0607
,
1
6
2
2
=
+
=
MATLAB:
>> t=0:0.01:2*pi;
>> vCD=6*ones(size(t));vCA=1.5*cos(t);vresultante=vCD+vCA;
>> plot(t,vCD,'-',t,vCA,':',t,vresultante,'--')
>> legend('vCD','vCA','vresultante')
>> axis([0 2*pi -1.5 7.5])
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v (V)')
>> title('Voltajes vCD, vCA, vresultante')
El gráfico de la señal de voltaje, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 1.30.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
38
Figura 1.30:
Señal de voltaje
V
t
t
v
)
cos(
5
,
1
6
)
(
+
=
.
· Problemas de consolidación
1-9. Determinar el valor eficaz de la señal de voltaje que se muestra en la figura 1.31.
Figura 1.31:
Señal de voltaje.
R:
V
236
,
2
1-10. Determinar el valor eficaz de las señales de corriente: a)
A
t
i
)
30
377
cos(
2
1
+
=
;
b)
A
t
i
)
50
314
cos(
2
2
+
=
; c)
A
t
sen
i
)
50
314
(
2
3
+
=
.
R:
a) A
1 ; b) A
1 ; c) A
1
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
39
1.5 Valores medios de corriente y voltaje
Otro valor empleado con gran frecuencia en diferentes especialidades de la ingeniería
eléctrica, es el valor medio o promedio (average en idioma inglés).
El valor medio o promedio de una corriente alterna periódica, que varía de manera
simétrica por encima (positiva) y por debajo (negativa) del valor cero, cuando se mide
en el intervalo de un período o un número entero de períodos será igual a cero. En estos
casos, los valores promedios (average), se toman sobre un medio ciclo completo en
lugar de sobre el ciclo completo.
Una señal periódica que no varíe simétricamente alrededor del valor cero, tendrá un
valor medio que podrá ser positivo o negativo, de acuerdo al signo resultante de la suma
algebraica de las áreas (áreas por encima del eje cero consideradas positivas y áreas por
debajo del eje cero tomadas como negativas).
La expresión matemática general, que permite calcular el valor medio o promedio de
una corriente o un voltaje periódico dado, se muestra a continuación.
=
T
av
idt
T
I
0
1
Un amperímetro o voltímetro de corriente directa, indicará el valor medio de una señal
periódica de corriente o voltaje respectivamente. En un período de la señal el valor
medio es el valor equivalente de corriente directa.
Ejemplo 1.18
Calcular el valor medio sobre un ciclo completo, de un voltaje sinusoidal
)
cos(
+
=
t
V
v
m
.
R:
2
=
T
0
]
(
[
2
)
cos(
2
1
1
2
0
2
0
0
=
+
=
+
=
=
t
sen
V
dt
t
V
vdt
T
Vav
m
m
T
MATLAB:
>> syms T w Vm t Zita
>> v=Vm*cos(w*t+Zita)
v =
Vm*cos(w*t+Zita)
>> T=2*pi/w
T =
2*pi/w
>> Vav=1/T*int(v,t,0,T)
Vav =
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
40
0
Ejemplo 1.19
Calcular el valor medio sobre un medio ciclo, de un voltaje sinusoidal
)
( t
sen
V
m
.
R:
2
=
T
m
m
m
m
T
V
V
t
V
dt
t
sen
V
vdt
T
Vav
637
,
0
2
)]
cos(
[
)
(
1
2
1
0
0
2
0
=
-
=
=
=
MATLAB:
>> syms T w Vm t
>> v=Vm*sin(w*t)
v =
Vm*sin(w*t)
>> T=2*pi/w
T =
2*pi/w
>> Vav=1/(T/2)*int(v,t,0,T/2)
Vav =
2/pi*Vm
Ejemplo 1.20
Calcular el valor medio de la corriente con forma de onda diente de sierra de la figura
1.32.
Figura 1.32:
Corriente con forma de onda diente de sierra.
R:
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
41
La expresión matemática en función del tiempo (para el primer período) de la corriente
con forma de onda de diente de sierra, se determina fácilmente (ecuación de una línea
recta que pasa por el origen de coordenadas, con una pendiente determinada).
T
t
I
i
m
=
2
2
1
1
0
2
2
0
0
m
T
m
T
m
T
I
t
T
I
dt
T
t
I
T
idt
T
Iav
=
=
=
=
MATLAB:
>> syms T Im t
>> i=Im*t/T
i =
Im*t/T
>> Iav=1/T*int(i,t,0,T)
Iav =
1/2*Im
Teniendo en cuenta que en la expresión
=
T
av
idt
T
I
0
1
, la integral de i representa el área
bajo la forma de onda i , puede emplearse un método gráfico para encontrar el valor
medio de cualquier onda periódica )
(t
i
, aun cuando no se conozca la función del tiempo
que la describe.
El procedimiento es similar al empleado con anterioridad para determinar el valor
eficaz. Las áreas por encima del eje de las abscisas se consideran positivas, mientras que
las áreas por debajo se consideran negativas.
Ejemplo 1.21
Calcular el valor medio del voltaje, con la forma de onda que se muestra en la figura
1.33.
Figura 1.33:
Señal de voltaje
)
(t
v
.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
42
R:
Área bajo la curva v :
s
V
A
v
1
3
*
1
2
*
2
=
-
=
Período (longitud) de la curva:
s
T 5
=
División del área entre el período (longitud) de la curva:
V
A
v
2
,
0
5
1
=
=
MATLAB:
>> t=[0 0 1 2 2 0];
>> v=[0 2 2 2 0 0];
>> fill(t,v,'r')
>> hold on
>> t=[2 2 3 4 5 5 2];
>> v=[0 -1 -1 -1 -1 0 0];
>> fill(t,v,'g')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v (V)')
>> title('Voltaje v(t)')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.34.
Figura 1.34:
Áreas positivas y negativas de la señal de voltaje
)
(t
v
.
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
43
El valor eficaz (rms) siempre es mayor que el valor medio (average), excepto para una
onda con forma rectangular, donde estos valores son iguales (valor medio tomado sobre
medio ciclo).
Además del valor máximo, pico a pico, eficaz y medio, de una señal de voltaje
(corriente), en CA se usan frecuentemente relaciones que expresan la proporcionalidad
entre estas magnitudes. Estas relaciones reciben el nombre de factores. Entre estos
factores se encuentran, el factor de pico (cresta) y el factor de forma.
El factor de pico (cresta) es el cociente entre el valor máximo (pico) y el valor eficaz
(rms).
rms
m
V
V
pico
de
Factor
=
El factor de forma es el cociente entre el valor eficaz (rms) y el valor medio.
av
rms
V
V
forma
de
Factor
=
Ejemplo 1.22
Determine los factores de pico y de forma, para una señal de voltaje con forma de onda:
a) sinusoidal; b) diente de sierra.
R:
a)
Para una onda sinusoidal:
41
,
1
2
2
=
=
=
=
m
m
rms
m
V
V
V
V
pico
de
Factor
11
,
1
2
2
2
2
=
=
=
=
m
m
av
rms
V
V
V
V
forma
de
Factor
b)
Para una onda diente de sierra:
73
,
1
3
3
=
=
=
=
m
m
rms
m
V
V
V
V
pico
de
Factor
15
,
1
3
2
2
3
=
=
=
=
m
m
av
rms
V
V
V
V
forma
de
Factor
MATLAB:
>> T=1;w=2*pi/T;Vm=1;
>> t=[0:0.01:1];
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
44
>> v=Vm*sin(w*t);
>> plot(t,v)
>> hold on
>> Vrms=Vm/sqrt(2)*ones(size(t));
>> plot(t,Vrms,'r--')
>> Vav=2*Vm/pi*ones(size(t));
>> plot(t,Vav,'g:')
>> grid
>> legend('v(t)','Vrms','Vav')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('v(t), Vrms, Vav (V)')
>> title('Voltaje sinusoidal. Valor eficaz. Valor medio.')
El gráfico obtenido en MATLAB se muestra en la figura 1.35.
Figura 1.35:
Valor eficaz y medio de un voltaje sinusoidal.
· Problemas de consolidación
1-11. Determinar el valor medio de la forma de onda de voltaje que se muestra en la
figura 1.36.
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
45
Figura 1.36:
Señal de voltaje.
R:
V
0
1-12. Hallar la lectura de un amperímetro de corriente directa, por el cual circula la
corriente periódica mostrada en la figura 1.37.
Figura 1.37:
Corriente periódica.
R:
A
1
· Problemas de final de capítulo
1. Un voltaje
V
t
sen
t
v
)
(
20
)
(
=
tiene una frecuencia de
Hz
50
. Determinar el
valor de la señal de voltaje, cuando ha transcurrido desde el inicio del ciclo
un tiempo de: a)
ms
5
,
2
; b)
ms
15
.
R:
a)
V
14
,
14
; b)
V
20
-
2. Se desea encontrar el valor de una corriente
mA
t
sen
i
)
1000
(
6
=
en el
instante de tiempo
ms
t 2
=
.
R:
mA
46
,
5
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
46
3. En un circuito de CA el valor máximo del voltaje es
V
200 . Calcular el valor
eficaz del voltaje.
R:
V
4
,
141
4. En un circuito de CA el valor máximo de la corriente es
A
10 . Calcular el
valor medio de la corriente.
R:
A
37
,
6
5. Determinar el período de señales de voltaje con frecuencias de: a)
Hz
60
; b)
kHz
1
.
R:
a)
ms
7
,
16
; b) ms
1
6. Calcular las frecuencias de señales de corriente con períodos de: a)
ms
20
;
b)
s
1
.
R:
a)
Hz
50
; b) MHz
1
7. Un voltaje de CA, tiene un período de
s
01
,
0
y un valor máximo de
V
40 .
Cuando t es igual a cero,
V
v
20
-
=
. Exprese el voltaje instantáneo como
)
cos(
)
(
+
=
t
V
t
v
m
.
R:
V
t
t
v
)
120
200
cos(
40
)
(
-
=
8. La expresión en forma instantánea de una corriente es
A
t
sen
t
i
)
36
,
0
100
(
120
)
(
1
+
=
. Hallar: a) el valor máximo, el período, la
frecuencia y el desfasaje con respecto a
A
t
sen
t
i
100
120
)
(
2
=
; b) el valor de
1
i cuando
0
=
t
; c) el instante de tiempo en que
A
i
60
1
=
; d) el instante de
tiempo en que
1
i
alcanza su primer máximo.
R:
a)
62
,
20
,
50
,
02
,
0
,
120
Hz
s
A
adelantada con respecto a
2
i
; b)
A
3
,
49
;
c)
ms
521
,
0
; d)
ms
85
,
3
9. Obtener el ángulo de atraso de
1
i
con respecto a
1
v
si:
V
t
v
)
40
120
cos(
1
-
=
e
1
i
es igual a: a)
A
t
)
20
120
cos(
5
,
2
+
; b)
A
t
sen
)
70
120
(
4
,
1
-
.
R:
a)
60
-
; b)
120
10. Transforme cada una de las siguientes funciones del tiempo a la forma
fasorial: a)
)
110
580
(
5
-
-
t
sen
; b)
)
110
600
(
5
600
cos
3
+
-
t
sen
t
; c)
)
100
4
(
4
)
30
4
cos(
8
-
+
-
t
sen
t
.
R:
a)
20
5
-
; b)
8
,
134
41
,
2
-
; c)
9
,
47
46
,
4
-
11. Escribir en forma instantánea las corrientes expresadas fasorialmente si la
frecuencia es
Hz
60
: a)
A
I
30
10
=
; b)
A
I
70
115
-
=
R:
a)
A
t
i
)
30
377
cos(
10
+
=
; b)
A
t
i
)
70
377
cos(
115
-
=
Capítulo 1. Función de excitación sinusoidal
47
12. Escribir en forma instantánea el voltaje y la corriente expresados
fasorialmente: a)
V
e
j
V
j
20
8
-
=
; b)
A
j
I
4
3
+
-
=
R:
a)
V
t
t
v
)
70
cos(
8
)
(
+
=
; b)
A
t
t
i
)
87
,
126
cos(
5
)
(
+
=
13. Sean
s
rad /
2000
=
y
ms
t 1
=
. Encuentre el valor instantáneo de cada una
de las siguientes corrientes dadas en forma fasorial: a)
A
j10 ; b)
A
j10
20
+
;
c)
A
j
20
10
20
+
.
R:
a)
A
09
,
9
-
; b)
A
42
,
17
; c)
A
44
,
15
-
14. Expresar en forma instantánea el voltaje
b
a
ent
v
v
v
+
=
, siendo
V
t
v
a
)
30
377
cos(
50
+
=
y
V
t
v
b
)
60
377
cos(
30
+
=
.
R:
V
t
)
17
,
41
377
cos(
45
,
77
+
15. Utilizando el método fasorial (dominio de la frecuencia), determinar el
voltaje )
(t
v
en un circuito, en estado estable sinusoidal, descrito por la
ecuación íntegrodiferencial
)
30
5
cos(
20
10
5
2
-
=
+
+
t
vdt
v
dt
dv
.
R:
V
t
t
v
)
88
5
cos(
12
,
2
)
(
-
=
16. Un voltaje alterno tiene un valor medio (promedio) de V
4 y un factor de
forma de 25
,
1
. Calcular: a) el valor eficaz; b) el valor máximo (amplitud) de
un voltaje sinusoidal que tenga el mismo valor eficaz.
R:
a) V
5 ; b)
V
07
,
7
17. Para el voltaje periódico mostrado en la figura 1.38, hallar: a) frecuencia; b)
valor promedio (
av
V ) en un medio ciclo; c) valor rms; d) factor de pico; e)
factor de forma.
Figura 1.38:
Voltaje periódico.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
48
R:
a)
Hz
50
; b)
V
100 ; c)
V
6
,
114
; d) 75
,
1
; e) 15
,
1
18. Un voltaje está dado por
V
t
sen
v
314
2
.
282
=
. Hallar: a) el voltaje rms; b) la
frecuencia; c) el voltaje para
ms
t 4
=
.
R:
a)
V
200 ; b)
Hz
50
; c)
V
9
,
268
19. Un voltaje de CA se expresa mediante
V
t
sen
v
)
25
,
0
200
(
75
1
-
=
.
Encontrar: a) la amplitud; b) el valor pico a pico; c) el valor eficaz; d) el
período; e) la frecuencia; f) el atraso en grados con respecto al voltaje
V
t
sen
v
200
75
2
=
.
R:
a)
V
75 ; b)
V
150 ; c)
V
53 ; d)
s
01
,
0
; e)
Hz
100
; f)
32
,
14
20. Determinar el valor medio (
av
V ) de la señal periódica de voltaje mostrada en
la figura 1.39.
Figura 1.39:
Señal periódica de voltaje.
R:
V
7
-
49
Capítulo 2. Características V/A de los elementos
del circuito
Introducción
En este capítulo se abordará cómo transformar las relaciones que caracterizan al
resistor, inductor y capacitor, en el dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
Se definen los conceptos de impedancia, reactancia, admitancia y susceptancia para
cada uno de los elementos pasivos, lo cual permitirá dibujar el circuito equivalente en el
dominio de la frecuencia.
La aplicación de las leyes de Kirchhoff para los voltajes y corrientes fasoriales y las
expresiones de impedancia y admitancia para cada uno de los elementos pasivos,
permitirá resolver circuitos RLC serie, paralelo y mixto.
En el capítulo se muestra que la posibilidad de una representación gráfica de las señales
sinusoidales mediante fasores, permite aplicar diversas propiedades geométricas y
trigonométricas al análisis de circuitos de corriente alterna, desarrollándose los
triángulos de voltajes, corrientes, impedancias y admitancias, de gran utilidad en la
solución de los circuitos de corriente alterna en estado estable sinusoidal.
Finalmente, se demuestra que un circuito (a una frecuencia determinada) formado por la
combinación en serie, de una resistencia y una reactancia, en condiciones de estado
estable sinusoidal, puede ser representado por un circuito equivalente, formado por la
combinación en paralelo de una resistencia y una reactancia (de la misma naturaleza) y
viceversa.
2.1 Características V/A de los elementos del circuito
· El resistor ideal
)
0
(
=
R
L
,
)
0
(
=
R
C
En la figura 2.1, se muestra un resistor ideal
)
(
R
:
Figura 2.1:
Resistor ideal.
El valor instantáneo del voltaje en los terminales del resistor de la figura 2.1 se expresa
por:
Ri
v
R
=
Si a través del resistor ideal
)
(
R
, circula una corriente
A
t
i
)
cos(
Im
=
, que puede
expresarse en forma de fasor como
A
I
I
m
0
=
, el valor instantáneo del voltaje en el
elemento será:
V
t
V
t
RI
v
Rm
m
R
)
cos(
)
cos(
=
=
, que puede expresarse en forma de fasor como:
V
V
RI
V
Rm
R
0
=
=
, donde
V
RI
V
m
Rm
=
.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
50
0
=
i
0
=
R
v
0
=
-
i
v
R
La corriente y el voltaje en el resistor están en fase.
La relación V/A en el resistor se define como:
RI
V
R
=
I
V
R
R
=
(resistencia)
La relación V/A en forma fasorial para un resistor, tiene la misma forma que la relación
V/A en el dominio del tiempo.
Al inverso de la resistencia se le denomina conductancia, se simboliza por G y su
unidad de medida es el siemen (S):
S
R
V
I
G
R
1
=
=
Tanto la resistencia como la conductancia, no dependen de la frecuencia angular ( )
.
Ejemplo 2.1
A un resistor de
4
, se le aplica un voltaje
V
t
)
50
100
cos(
8
-
. Hallar la expresión
instantánea de la corriente, trabajando: a) en el dominio del tiempo; b) en el dominio de
la frecuencia.
R:
a)
A
t
t
R
t
v
t
i
)
50
100
cos(
2
4
)
50
100
cos(
8
)
(
)
(
-
=
-
=
=
b)
A
R
V
I
50
2
4
50
8
-
=
-
=
=
Transformando el resultado al dominio del tiempo:
A
t
t
i
)
50
100
cos(
2
)
(
-
=
MATLAB:
a)
>> syms t it vt R
>> vt=8*cos(100*t-50*pi/180);
>> R=4;
>> it=vt/R
it =
2*sin(100*t+2/9*pi)
>> it=2*cos(100*t+2/9*pi*180/pi-pi/2*180/pi)
it =
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
51
2*cos(100*t-50)
b)
>> V=8*(cos(-50*pi/180)+j*sin(-50*pi/180))
V =
5.1423 - 6.1284i
>> R=4
R =
4
>> I=V/R
I =
1.2856 - 1.5321i
>> moduloI=abs(I)
moduloI =
2
>> anguloI=angle(I)*180/pi
anguloI =
-50.0000
>> t=0:0.0001:0.1;
>> vR=8*cos(100*t-50*pi/180);
>> iR=2*cos(100*t-50*pi/180);
>> plot(t,vR,t,iR,':')
>> grid
>> legend('vR','iR')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('vR (V), iR (A)')
>> title('En un resistor ideal el voltaje y la corriente se encuentran en fase')
El gráfico de ambas señales, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.2.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
52
Figura 2.2:
En un resistor puro el voltaje y la corriente están en fase.
>> V=8*exp(-j*50*pi/180)
V =
5.1423 - 6.1284i
>> I=2*exp(-j*50*pi/180)
I =
1.2856 - 1.5321i
>> Fasores=[V I]
Fasores =
5.1423 - 6.1284i 1.2856 - 1.5321i
>> compass(Fasores)
>> title('Fasores de voltaje y corriente en un resistor puro')
El gráfico de fasores, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.3.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
53
Figura 2.3:
En un resistor ideal los fasores de voltaje y corriente están en fase.
· El inductor ideal
)
0
(
=
L
R
,
)
0
(
=
L
C
En la figura 2.4, se muestra un inductor ideal
)
(H
L
:
Figura 2.4:
Inductor ideal.
El valor instantáneo del voltaje en los terminales del inductor de la figura, se expresa
por:
dt
di
L
v
L
=
Si a través del inductor ideal
)
(H
L
, circula una corriente
A
t
i
)
cos(
Im
=
, que puede
expresarse en forma de fasor como
A
I
I
m
0
=
, el valor instantáneo del voltaje en el
elemento será:
))
cos(
(
)
90
cos(
)
(
))
cos(
(
t
I
L
j
t
LI
t
sen
LI
t
I
dt
d
L
v
m
m
m
m
L
=
+
=
-
=
=
, que
puede expresarse en forma de fasor como:
V
V
LI
j
V
Lm
L
90
=
=
, donde
V
LI
V
m
Lm
=
.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
54
0
=
i
90
=
L
V
90
=
-
i
V
L
.
El voltaje
L
v
adelanta a la corriente i en
90 .
La relación V/A en el inductor se define como:
LI
j
V
L
=
A la expresión L
, se le llama reactancia inductiva y se simboliza por
L
X
:
=
=
m
Lm
L
I
V
L
X
La reactancia inductiva representa la oposición que una inductancia presenta a la
circulación de corriente alterna sinusoidal.
Al inverso de la reactancia inductiva se le llama susceptancia inductiva y se simboliza
por
L
B
, su unidad de medida es el siemen (S):
S
V
I
L
X
B
Lm
m
L
L
=
=
=
1
1
La impedancia inductiva se define como:
=
=
=
L
L
L
jX
L
j
I
V
Z
Al inverso de la impedancia inductiva se le denomina admitancia inductiva:
S
jB
L
j
L
j
V
I
Z
Y
L
L
L
L
-
=
-
=
=
=
=
1
1
1
Tanto la impedancia (reactancia) como la admitancia (susceptancia) inductivas,
dependen de la frecuencia angular (
)
. La reactancia inductiva es directamente
proporcional a la frecuencia
)
( f
; si la frecuencia se duplica la reactancia inductiva se
duplica. La reactancia inductiva también es directamente proporcional a la inductancia
)
(L . Cuando
0
=
(corriente directa),
0
=
L
X
, lo que significa que un inductor ideal
con una inductancia )
(L , se comporta como un cortocircuito en condiciones de estado
estable en corriente directa.
Analizar un circuito en el dominio del tiempo implica el uso de voltajes
)
(t
v
, corrientes
)
(t
i
, resistencias, inductancias y capacitancias. El análisis en estado estable sinusoidal,
se simplifica enormemente empleando el método fasorial. Para ello debe construirse una
red operacional equivalente, en la cual se utilizan fasores de voltajes, fasores de
corrientes e impedancias, este circuito estará en el dominio de la frecuencia.
Las respuestas obtenidas en el dominio de la frecuencia (
I
V
, ) se transforman
fácilmente al dominio del tiempo (
)
(
),
(
t
i
t
v
), teniendo en cuenta la relación entre el
fasor y la función (cosinusoidal) real del tiempo.
Ejemplo 2.2
A un inductor de H
4
, se le aplica un voltaje
V
50
8
-
, con una frecuencia
s
rad
/
100
=
. Hallar la expresión instantánea de la corriente, trabajando en el
dominio de la frecuencia.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
55
R:
A
j
L
j
V
Z
V
I
L
140
02
,
0
)
4
)(
100
(
50
8
-
=
-
=
=
=
A
t
t
i
)
140
100
cos(
02
,
0
)
(
-
=
MATLAB:
>> V=8*(cos(-50*pi/180)+j*sin(-50*pi/180))
V =
5.1423 - 6.1284i
>> ZL=j*100*4
ZL =
0 +4.0000e+002i
>> I=V/ZL
I =
-0.0153 - 0.0129i
>> magnitudI=abs(I)
magnitudI =
0.0200
>> anguloI=angle(I)*180/pi
anguloI =
-140
>> t=0:0.0001:0.1;
>> vL=8*cos(100*t-50*pi/180);
>> iL=0.02*cos(100*t-140*pi/180);
>> plotyy(t,vL,t,iL)
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> title('En un inductor ideal el voltaje adelanta a la corriente en 90 grados')
El gráfico que representa el desfase entre el voltaje y la corriente en el inductor ideal,
obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.5.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
56
Figura 2.5:
En un inductor puro el voltaje adelanta a la corriente en 90
o
.
· El capacitor ideal
)
0
(
=
C
R
, )
0
(
=
C
L
En la figura 2.6, se muestra un capacitor ideal
)
(F
C
:
Figura 2.6:
Capacitor ideal.
El valor instantáneo del voltaje en los terminales del capacitor de la figura, se expresa
por:
=
t
C
idt
C
v
0
1
(
0
)
0
(
=
C
v
)
Si a través del capacitor ideal
)
(F
C
, circula una corriente
A
t
i
)
cos(
Im
=
, que puede
expresarse en forma de fasor como
A
I
I
m
0
=
, el valor instantáneo del voltaje en el
elemento será:
))
cos(
(
1
)
90
cos(
1
)
(
1
)
cos(
1
0
t
I
C
j
t
I
C
t
sen
I
C
dt
t
I
C
v
m
m
m
t
m
C
=
-
=
=
=
, que
puede expresarse en forma de fasor como:
V
V
I
C
j
V
Cm
C
90
1
-
=
=
, donde
V
I
C
V
m
Cm
1
=
.
0
=
i
90
-
=
C
V
90
-
=
-
i
V
C
.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
57
El voltaje
C
v
atrasa a la corriente i en
90 .
La relación V/A en el capacitor se define como:
I
C
j
V
C
1
=
A la expresión
C
1
, se le llama reactancia capacitiva y se simboliza por
C
X
:
=
=
m
Cm
C
I
V
C
X
1
La reactancia capacitiva representa la oposición, que una capacitancia presenta a la
circulación de corriente alterna sinusoidal.
Al inverso de la reactancia capacitiva se le llama susceptancia capacitiva y se simboliza
por
C
B
:
S
V
I
C
C
X
B
Cm
m
C
C
=
=
=
=
1
1
1
La impedancia capacitiva se define como:
-
=
=
=
C
C
C
jX
C
j
I
V
Z
1
Al inverso de la impedancia capacitiva se le denomina admitancia capacitiva:
S
jB
C
j
V
I
Z
Y
C
C
C
C
=
=
=
=
1
Tanto la impedancia (reactancia) como la admitancia (susceptancia) capacitivas
dependen de la frecuencia angular
)
(
. La reactancia capacitiva es inversamente
proporcional a la frecuencia
)
( f
; si la frecuencia se duplica la reactancia capacitiva
se reduce a la mitad. La reactancia capacitiva también es inversamente proporcional a la
capacitancia
)
(C . Cuando
0
=
(corriente directa),
=
C
X
, lo que significa que un
capacitor ideal con una capacitancia
)
(C , se comporta como un circuito abierto en
condiciones de estado estable en corriente directa.
Ejemplo 2.3
A un capacitor de F
4 , se le aplica un voltaje
V
50
8
-
, con una frecuencia
s
rad /
100
=
. Hallar la expresión instantánea de la corriente, trabajando en el
dominio de la frecuencia.
R:
A
j
CV
j
C
j
V
Z
V
I
C
40
3200
)
50
8
)(
4
)(
100
(
1
=
-
=
=
=
=
A
t
t
i
)
40
100
cos(
3200
)
(
+
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
58
MATLAB:
>> V=8*(cos(-50*pi/180)+j*sin(-50*pi/180))
V =
5.1423 - 6.1284i
>> ZC=1/(j*100*4)
ZC =
0 - 0.0025i
>> I=V/ZC
I =
2.4513e+003 +2.0569e+003i
>> [angulo,magnitud]=cart2pol(2.4513e+003,2.0569e+003)
angulo =
0.6981
magnitud =
3.2000e+003
>> angulo=angulo*180/pi
angulo =
40.0002
>> t=0:0.0001:0.1;
>> vC=8*cos(100*t-50*pi/180);
>> iC=3200*cos(100*t+40*pi/180);
>> plotyy(t,vC,t,iC)
>> grid
>> xlabel('t (s)')
>> title('En un capacitor ideal la corriente adelanta al voltaje en 90 grados')
El gráfico que representa el desfase entre el voltaje y la corriente en el capacitor ideal,
obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.7.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
59
Figura 2.7:
En un capacitor puro la corriente adelanta al voltaje en 90
o
.
La tabla 2.1 resume las relaciones voltaje corriente para el resistor, inductor y
capacitor.
Tabla 2.1:
Relaciones voltaje corriente en R, L y C.
Elemento Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia
R
Ri
v
R
=
RI
V
R
=
L
dt
di
L
v
L
=
LI
j
V
L
=
C
=
t
C
idt
C
v
0
1
C
j
I
V
C
=
El análisis anterior, ha permitido obtener las relaciones V/A para los tres elementos
pasivos del circuito, tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la
frecuencia. Todas las ecuaciones fasoriales son algebraicas y lineales. La magnitud del
fasor puede representar el valor máximo (pico) o el valor eficaz de la señal sinusoidal
(se emplea uno u otro de acuerdo a las exigencias del problema).
Las ecuaciones para el inductor y el capacitor, guardan una gran semejanza con las de la
ley de Ohm. De hecho, se usan en igual forma en que se manejan las ecuaciones de la
ley de Ohm.
· Problemas de consolidación
2-1. A través de un capacitor conectado a una fuente de alimentación de kHz
1
, circula
una corriente de
A
90
83
,
2
. Determine el voltaje existente entre los terminales de
la fuente.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
60
R:
V
150
2-2. Un voltaje
V
t
v
)
45
60
cos(
12
+
=
, se aplica a un inductor de
H
1
,
0
. Determinar la
corriente de estado estable a través del inductor.
R:
V
t
i
)
45
60
cos(
2
-
=
2-3. Un voltaje
V
t
v
)
30
100
cos(
6
-
=
, se aplica a un capacitor de
F
50
. Determinar
la corriente de estado estable a través del capacitor.
R:
mA
t
i
)
60
100
cos(
30
+
=
2.2 Leyes de Kirchhoff en circuitos de corriente alterna
Los fasores obedecen a las leyes de Kirchhoff. A continuación, se muestran las
expresiones corresponden a las leyes de Kirchhoff, expresadas en el dominio del tiempo
y en el dominio de la frecuencia (fasorial):
Ley de Kirchhoff de las corrientes (LKC):
Dominio del tiempo:
0
1
=
=
K
n
n
i
Dominio de la frecuencia:
0
1
=
=
K
n
n
I
Ley de Kirchhoff de los voltajes (LKV):
Dominio del tiempo:
0
1
=
=
K
n
n
v
Dominio de la frecuencia:
0
1
=
=
K
n
n
V
Las leyes de Kirchhoff se cumplen tanto para valores instantáneos como fasoriales. No
se cumplen para los módulos de los fasores (números complejos) ya que el módulo de
una suma de números complejos es distinto, en general, a la suma de los módulos de
dichos números.
Ejemplo 2.4
En el circuito mostrado en la figura 2.8,
V
t
v
cos
10
1
=
y
V
t
v
)
60
cos(
15
2
+
=
.
Determinar el voltaje v y expresarlo en forma instantánea.
Figura 2.8:
Fuentes ideales de voltaje conectadas en serie.
R:
Expresando fasorialmente los voltajes de las fuentes:
V
V
0
10
1
=
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
61
V
V
60
15
2
=
Aplicando LKV:
0
2
1
=
-
+
V
V
V
V
j
j
j
V
V
V
36
8
,
21
13
5
,
17
)
13
5
,
7
(
)
0
10
(
60
15
0
10
2
1
=
+
=
+
+
+
=
+
=
+
=
Expresando en forma instantánea:
V
t
v
)
36
cos(
8
,
21
+
=
MATLAB:
>> V=solve('10+15*exp(j*60*pi/180)-V=0')
V =
35/2+15/2*i*3^(1/2)
>> V=double(V)
V =
17.5000 +12.9904i
>> magnitudV=abs(V)
magnitudV =
21.7945
>> anguloV=angle(V)*180/pi
anguloV =
36.5868
Ejemplo 2.5
En el circuito que se muestra en la figura 2.9, determinar la corriente
2
I y expresarla en
forma polar.
Figura 2.9:
Circuito LC paralelo.
R:
0
2
1
=
+
+
-
I
I
I
(Aplicando
LKC).
A
I
I
I
180
8
8
10
2
1
2
=
-
=
-
=
-
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
62
MATLAB:
>> I=2;
>> I1=10;
>> I2=I-I1
I2 =
-8
>> ParterealdeI2=real(I2)
ParterealdeI2 =
-8
>> ParteimaginariadeI2=imag(I2)
ParteimaginariadeI2 =
0
>> moduloI2=abs(I2)
moduloI2 =
8
>> anguloI2=angle(I2)*180/pi
anguloI2 =
180
· Problemas de consolidación
2-4. En la red mostrada en la figura 2.10:
V
t
sen
v
)
16
(
2
1
=
,
V
t
sen
v
)
90
(
)
24
(
2
2
+
=
y
V
t
sen
v
)
90
(
)
15
(
2
3
-
=
.
Determinar el voltaje de la fuente ( e ) y expresarlo en forma instantánea.
Figura 2.10:
Circuito serie.
R:
V
t
sen
)
4
,
29
(
)
4
,
18
(
2
+
2-5. En el circuito mostrado en la figura 2.11:
mA
t
sen
i
)
23
(
2
1
=
,
A
t
sen
i
)
63
(
)
29
,
0
(
2
2
+
=
e
A
t
sen
i
)
72
(
10
*
)
127
(
2
3
3
-
=
-
.
Determinar la corriente total
T
i
y expresarla en forma instantánea.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
63
Figura 2.11:
Circuito paralelo.
R:
mA
t
sen
)
4
,
35
(
)
238
(
2
+
2.3 Impedancia en el circuito RLC serie
En la figura 2.12 se muestra el esquema de un circuito RLC serie.
Figura 2.12:
Circuito RLC serie.
El voltaje aplicado al circuito es:
V
t
Vm
v
v
)
cos(
+
=
(Expresado en forma instantánea).
V
V
V
v
m
=
(Expresado en forma fasorial).
Aplicando la ley de Kirchhoff de los voltajes en el campo fasorial:
C
L
R
V
V
V
V
+
+
=
Empleando las relaciones V/A de cada elemento:
)
(
C
L
C
L
jX
jX
R
I
I
jX
I
jX
RI
V
-
+
=
-
+
=
La posibilidad de una representación gráfica de las señales sinusoidales mediante
fasores permite aplicar diversas propiedades geométricas y trigonométricas al análisis
de circuitos de corriente alterna.
Como el voltaje aplicado es la suma fasorial de
R
V
,
L
V
y
C
V , puede dibujarse el
triángulo rectángulo mostrado en la figura 2.13 (considerando que
C
L
V
V ) y teniendo
en cuenta que
R
V
y la corriente I , común a todos los elementos, están en fase.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
64
Figura 2.13:
Triángulo de voltajes.
El triángulo de voltajes de la figura 2.1 corresponde a un circuito predominantemente
inductivo. En el caso de un circuito predominantemente capacitivo,
y
C
L
V
V
+
son
negativos, desarrollándose el triángulo en el semiplano contrario. En un circuito RLC
serie, los voltajes a través del inductor (
L
V
) y a través del capacitor (
C
V ), se encuentran
desfasados entre sí
180 (en oposición de fase).
La impedancia total del circuito será:
=
=
-
+
=
-
+
=
=
Z
e
Z
X
X
j
R
jX
jX
R
I
V
Z
j
C
L
C
L
)
(
Donde:
2
2
2
2
)
(
X
R
X
X
R
Z
C
L
+
=
-
+
=
(Módulo
de
Z )
R (Parte
real
de
Z ).
X (Parte
imaginaria
de
Z ).
R
X
R
X
X
C
L
i
v
1
1
tan
tan
-
-
=
-
=
-
=
(Argumento
de
Z )
De las expresiones anteriores:
cos
Z
R
=
(Parte real de Z )
sen
Z
X
=
(Parte imaginaria de
Z )
La resistencia R siempre es positiva, pero la reactancia X puede ser positiva o
negativa ya que esta es la suma algebraica de
L
X
y
C
X . Esto implica que el carácter
resistivo, inductivo o capacitivo del circuito, dependerá de los valores relativos de estas
magnitudes.
Carácter resistivo:
C
L
X
X
=
0
=
X
0
=
Carácter inductivo:
C
L
X
X
0
X
0
Carácter capacitivo:
C
L
X
X
0
X
0
Como la reactancia inductiva (
L
X
) y capacitiva (
C
X ) dependen de la frecuencia (
o
f ), si esta cambia, cambian los valores de las reactancias, pudiendo cambiar el carácter
del circuito.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
65
Dividiendo los lados del triángulo de voltajes, entre la corriente
I , común a todos los
elementos, es posible representar las impedancias estudiadas. El triángulo de
impedancias de la figura 2.14 corresponde a un circuito predominantemente inductivo.
En el caso de un circuito predominantemente capacitivo,
y
C
L
X
X
-
son negativos,
desarrollándose el triángulo en el semiplano contrario.
Figura 2.14:
Triángulo de impedancias.
El ángulo de la impedancia tendrá un valor comprendido entre los límites siguientes:
90
90
-
Los valores extremos de
90 y
90
-
corresponden a un inductor ideal o a un capacitor
ideal respectivamente. Lo anterior implica que el desfasaje entre el voltaje aplicado a un
circuito RLC serie y la corriente que circula por dicho circuito, nunca podrá ser
modularmente mayor que
90 .
De acuerdo al análisis realizado individualmente con el resistor, inductor, capacitor y de
manera general con el circuito RLC serie, la impedancia se define como el cociente
entre el voltaje fasorial y la corriente fasorial y en cada caso se simboliza con la letra Z .
La impedancia es un término que representa la oposición de un circuito formado por
resistores, inductores, capacitores o algunos de ellos, a la circulación de la corriente
alterna sinusoidal por el mismo. Cuando en un circuito RLC serie, a una frecuencia
determinada, la reactancia inductiva es igual a la reactancia capacitiva, se dice que el
circuito se encuentra en resonancia serie, un fenómeno muy importante en los sistemas
eléctricos.
En general, la impedancia es una cantidad compleja y se expresa en ohm (
). La
impedancia no es un fasor, ya que no representa una cantidad que varía
sinusoidalmente.
En el dominio del tiempo, un inductor se representa por su inductancia ( L ) y en el
dominio de la frecuencia por su impedancia (
L
j
), mientras que un capacitor en el
dominio del tiempo, se representa por su capacitancia ( C ) y en el dominio de la
frecuencia por su impedancia (
C
j
1
). El resistor se representa tanto en el dominio del
tiempo como en el dominio de la frecuencia por su resistencia (
R ).
Un circuito serie se representa fácilmente por una impedancia. La impedancia
equivalente de impedancias conectadas en serie o en paralelo, se obtiene, mediante las
mismas reglas que se emplean para las combinaciones correspondientes de resistencias.
...
2
1
+
+
=
Z
Z
Z
eq
(Impedancias en serie).
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
66
...
1
1
1
2
1
+
+
=
Z
Z
Z
eq
(Impedancias en paralelo).
2
1
2
1
Z
Z
Z
Z
Z
eq
+
=
(Caso especial de dos impedancias en paralelo)
A diferencia de la resistencia equivalente de resistores conectados en paralelo, la
impedancia equivalente de impedancias conectadas en paralelo, puede ser mucho mayor
que cualquiera de las impedancias individuales.
Para analizar un circuito en estado estable sinusoidal en el dominio de la frecuencia
(fasorial), el circuito en el dominio del tiempo, debe ser transformado al dominio de la
frecuencia (voltajes y corrientes expresados fasorialmente, impedancias, admitancias).
Ejemplo 2.6
Determine los valores de la resistencia y la inductancia o capacitancia conectadas en
serie para cada una de las siguientes impedancias: a)
+ 5
12 j
; b)
-
30
10
*
20
,
2
6
.
Considere en cada caso que la frecuencia es de
Hz
50
.
R:
a)
=12
R
=
=
5
2 fL
X
L
mH
H
f
X
L
L
9
,
15
0159
,
0
)
50
(
2
5
2
=
=
=
=
b)
-
=
-
+
-
=
-
=
)
10
*
10
,
1
10
*
905
,
1
(
)]
30
(
)
30
[cos(
10
*
20
,
2
30
10
*
20
,
2
6
6
6
6
j
jsen
Z
=
=
M
R
905
,
1
10
*
905
,
1
6
=
=
6
10
*
10
,
1
2
1
fC
X
C
nF
F
fX
C
C
894
,
2
10
*
894
,
2
)
10
*
10
,
1
)(
50
(
2
1
2
1
9
6
=
=
=
=
-
MATLAB:
a)
>> Z=12+5i
Z =
12.0000 + 5.0000i
>> RXL=[real(Z) imag(Z)]
RXL =
12 5
>> bar(RXL)
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
67
>> set(gca,'XTickLabel',{'Resistencia','Reactancia'})
>> ylabel('\Omega')
>> title('Impedancia 12+j5 \Omega')
El gráfico de barras de la partes real e imaginaria de la impedancia
Z , obtenido en
MATLAB, se muestra en la figura 2.15.
Figura 2.15:
Gráfico de barras de la partes real e imaginaria de la impedancia
Z .
b)
>> Z=2.20*10^6*(cos(-30*pi/180)+j*sin(-30*pi/180))
Z =
1.9053e+006 -1.1000e+006i
>> RXC=abs([real(Z) imag(Z)])
RXC =
1.0e+006 *
1.9053 1.1000
>> pie(RXC)
>> title('Impedancia (1,905-j1,10)*10^6 \Omega')
El gráfico circular de la parte real e imaginaria de Z, obtenido en MATLAB, se muestra
en la figura 2.16.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
68
Figura 2.16:
Gráfico circular de la partes real e imaginaria de la impedancia Z .
Ejemplo 2.7
Un circuito eléctrico conectado en serie, con una impedancia
- 50
30 j
, es alimentado
por una fuente de
V
240 con una frecuencia de
Hz
50
. Determine: a) la resistencia, b)
la capacitancia, c) el módulo de la impedancia, d) expresar la corriente que circula por
el circuito en forma polar.
R:
a)
-
=
50
30 j
Z
= 30
R
b)
= 50
C
X
fC
X
C
2
1
=
F
fX
C
C
66
,
63
)
50
)(
50
(
2
1
2
1
=
=
=
c)
-
=
-
+
=
-
+
=
-
=
-
-
04
,
59
31
,
58
30
50
tan
50
30
tan
1
2
2
1
2
2
R
X
X
R
jX
R
Z
C
C
C
=
31
,
58
Z
d)
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
69
A
Z
V
I
04
,
59
12
,
4
04
,
59
31
,
58
0
240
=
-
=
=
MATLAB:
d)
>> V=240
V =
240
>> Z=58.31*exp(j*(-59.04*pi/180))
Z =
29.9970 -50.0024i
>> I=V/Z
I =
2.1174 + 3.5295i
>> [angulo,magnitud]=cart2pol(2.1174,3.5295)
angulo =
1.0304
magnitud =
4.1159
>> angulo=angulo*180/pi
angulo =
59.0398
Ejemplo 2.8
El circuito equivalente de un inductor práctico, consiste de un inductor ideal en serie
con un resistor de pequeño valor, que representa las pérdidas en el inductor. Hallar la
impedancia del inductor práctico, cuyo circuito equivalente se muestra en la figura 2.17,
a las frecuencias de: a) Hz
1
; b)
Hz
60
.
Figura 2.17:
Circuito equivalente de un inductor práctico.
R:
R
Z
=
1
L
j
Z
=
2
L
j
R
Z
Z
Z
+
=
+
=
2
1
a)
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
70
=
+
=
+
=
+
=
5461
,
77
6306
,
0
6158
,
0
136
,
0
)
098
,
0
)(
1
(
2
136
,
0
j
j
L
j
R
Z
b)
=
+
=
+
=
+
=
7891
,
89
9454
,
36
9451
,
36
136
,
0
)
098
,
0
)(
60
(
2
136
,
0
j
j
L
j
R
Z
Se observa como el comportamiento del inductor práctico, depende en gran medida de
la frecuencia de trabajo. Mientras mayor es la frecuencia de trabajo, más se aproxima el
comportamiento de un inductor práctico al de un inductor ideal.
MATLAB:
>> f=1:0.001:60;
>> R=0.136;
>> L=0.098;
>> modulodeZ=abs(R+j*2*pi*f*L);
>> semilogx(f,modulodeZ)
>> grid
>> xlabel('f (Hz)')
>> ylabel('|Z| (\Omega)')
>> title('Magnitud de Z al variar f')
El gráfico de la impedancia de un inductor práctico al variar la frecuencia, obtenido en
MATLAB, se muestra en la figura 2.18.
Figura 2.18:
Impedancia de un inductor práctico al variar la frecuencia.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
71
Ejemplo 2.9
El circuito equivalente de un capacitor práctico, consiste de un capacitor ideal en
paralelo con un resistor de valor elevado, que representa las pérdidas en el capacitor.
Hallar la impedancia del capacitor práctico, cuyo circuito equivalente se muestra en la
figura 2.19, a las frecuencias de: a)
Hz
60
; b)
MHz
800
.
Figura 2.19:
Circuito equivalente de un capacitor práctico.
R:
R
Z
=
1
C
j
Z
1
2
=
CR
j
R
C
j
R
C
j
R
Z
Z
Z
Z
Z
+
=
+
=
+
=
1
1
1
2
1
2
1
a)
-
=
+
=
+
=
-
4805
,
88
)
10
(
6516
,
2
)
10
)(
10
)(
1
,
0
(
60
2
1
10
1
4
6
6
6
j
CR
j
R
Z
b)
-
=
+
=
+
=
-
90
002
,
0
)
10
)(
10
)(
1
,
0
)(
10
(
800
2
1
10
1
6
6
6
6
j
CR
j
R
Z
Se observa cómo el comportamiento del capacitor práctico, depende en gran medida de
la frecuencia de trabajo. Mientras mayor es la frecuencia de trabajo, más se aproxima el
comportamiento de un capacitor práctico al de un capacitor ideal.
MATLAB:
>> f=60:10^3:800*10^6;
>> R=10^6;
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
72
>> C=0.1*10^-6;
>> modulodeZ=abs(R./(1+j*2*pi*f*C*R));
>> semilogx(f,modulodeZ)
>> grid
>> xlabel('f (Hz)')
>> ylabel('|Z| (\Omega)')
>> title('Magnitud de Z al variar f')
El gráfico de la impedancia de un capacitor práctico al variar la frecuencia, obtenido en
MATLAB, se muestra en la figura 2.20.
Figura 2.20:
Impedancia de un capacitor práctico al variar la frecuencia.
Ejemplo 2.10
En el circuito mostrado en la figura 2.21, hallar: a) la impedancia total (
)
T
Z
; b) I ; c)
R
V
; d)
C
V .
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
73
Figura 2.21:
Circuito RLC serie.
R:
a)
-
=
-
=
-
+
=
+
+
=
45
36
,
35
25
25
225
200
25
3
2
1
j
j
j
Z
Z
Z
Z
T
b)
A
I
45
283
,
0
45
36
,
35
0
10
=
-
=
c)
V
RI
V
R
45
07
,
7
)
45
283
,
0
)(
25
(
=
=
=
d)
V
I
jX
V
C
C
45
67
,
63
)
45
283
,
0
)(
90
225
(
-
=
-
=
-
=
El voltaje en los terminales del capacitor es mucho mayor que el voltaje de la fuente. El
ejemplo muestra que es importante calcular el voltaje a través de los elementos
reactivos, para evitar que se exceda el voltaje máximo permisible de los mismos.
MATLAB:
a)
>> Z1=25;Z2=200i;Z3=-225i;
>> ZT=Z1+Z2+Z3
ZT =
25.0000 -25.0000i
>> [angulo,magnitud]=cart2pol(25,-25)
angulo =
-0.7854
magnitud =
35.3553
>> angulo=angulo*180/pi
angulo =
-45
c,d)
>> Vs=10;VR=7.07*exp(j*45*pi/180);VC=63.67*exp(j*-45*pi/180);
>> Voltajes=[Vs VR VC]
Voltajes =
10.0000 4.9992 + 4.9992i 45.0215 -45.0215i
>> compass(Voltajes)
>> title('Voltajes Vs, VR, VC (V)')
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
74
El gráfico de fasores, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.22.
Figura 2.22:
Voltajes
s
V ,
R
V
y
C
V .
Ejemplo 2.11
Encontrar los valores de
)
(t
v
e
)
(t
i
, en el circuito mostrado en la figura 2.23. Trabajar
en el dominio de la frecuencia (método fasorial).
Figura 2.23:
Circuito RC serie.
R:
s
rad /
4
=
-
=
-
=
=
=
90
5
,
2
5
,
2
)
1
,
0
)(
4
(
1
1
j
j
C
j
Z
C
El circuito equivalente en el dominio de la frecuencia se muestra en la figura 2.24:
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
75
Figura 2.24:
Circuito en el dominio de la frecuencia.
-
=
5
,
2
5 j
Z
A
j
j
Z
Vs
I
57
,
26
789
,
1
8
,
0
6
,
1
5
,
2
5
0
10
=
+
=
-
=
=
V
IZ
V
C
43
,
63
47
,
4
)
90
5
,
2
)(
57
,
26
789
,
1
(
-
=
-
=
=
Expresando en forma instantánea los voltajes y corrientes fasoriales:
V
t
t
v
)
43
,
63
4
cos(
47
,
4
)
(
-
=
A
t
t
i
)
57
,
26
4
cos(
789
,
1
)
(
+
=
Los archivos script generados en MATLAB se muestran en la figura 2.25.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
76
Figura 2.25:
Archivo script de Matlab.
· Problemas de consolidación
2-6. Determine los valores de la resistencia y la inductancia o capacitancia conectadas
en serie para cada una de las siguientes impedancias: a)
- 40
j
; b)
60
30
.
Considere en cada caso que la frecuencia es de
Hz
50
.
R:
a)
F
C
R
6
,
79
;
0
=
=
; b)
mH
L
R
7
,
82
;
15
=
=
2-7. Una fuente de
V
200 y frecuencia
Hz
50
, alimenta una bobina de resistencia
despreciable e inductancia de
H
15
,
0
, conectada en serie con un resistor de
32
.
Hallar: a) la impedancia del circuito, b) la corriente que circula por el circuito, c) el
voltaje a través del resistor de
32
, d) el voltaje a través de la bobina.
R:
a)
81
,
55
0
,
57
; b)
A
I
81
,
55
51
,
3
-
=
; c)
V
81
,
55
3
,
112
-
; d)
V
19
,
34
3
,
165
2-8. Determinar en el circuito mostrado en la figura: a)
)
(t
v
; b) )
(t
i
.
Figura 2.26: Circuito RL serie.
R:
a)
V
t
sen
)
43
,
63
10
(
236
,
2
+
; b)
A
t
sen
)
57
,
26
10
(
118
,
1
-
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
77
2.4 Admitancia en el circuito RLC paralelo
En la figura 2.27se muestra el esquema de un circuito RLC paralelo.
Figura 2.27:
Circuito RLC paralelo.
La corriente aplicada al circuito es:
A
t
i
i
)
cos(
Im
+
=
(Expresado en forma instantánea).
A
I
I
i
m
=
(Expresado en forma fasorial).
Aplicando la ley de Kirchhoff de las corrientes en el campo fasorial:
C
L
R
I
I
I
I
+
+
=
Empleando las relaciones V/A de cada elemento:
)
(
C
L
C
L
jB
jB
G
V
V
jB
V
jB
GV
I
+
-
=
+
-
=
La admitancia total del circuito será:
S
Y
e
Y
B
B
j
G
jB
jB
G
Z
V
I
Y
j
L
C
C
L
=
=
-
+
=
+
-
=
=
=
)
(
1
Donde:
2
2
2
2
)
(
B
G
B
B
G
Y
L
C
+
=
-
+
=
(Módulo de Y ).
G
(Parte
real
de
Y ).
B (Parte
imaginaria
de
Y ).
G
B
G
B
B
L
C
v
i
1
1
tan
tan
-
-
=
-
=
-
=
(Argumento
de
Y ).
-
=
De las expresiones anteriores:
cos
Y
G
=
(Parte real de Y ).
sen
Y
B
=
(Parte
imaginaria
de Y ).
La conductancia G siempre es positiva, pero la susceptancia B puede ser positiva o
negativa ya que esta es la suma algebraica de
L
B
y
C
B . Esto implica que el carácter,
resistivo, inductivo o capacitivo del circuito, dependerá de los valores relativos de estas
magnitudes.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
78
Carácter resistivo:
L
C
B
B
=
0
=
B
0
=
Carácter inductivo:
L
C
B
B
0
B
0
Carácter capacitivo:
L
C
B
B
0
B
0
Como la susceptancia inductiva (
L
B
) y capacitiva (
C
B ) dependen de la frecuencia (
o
f ), si esta cambia, cambian los valores de las susceptancias, pudiendo cambiar el
carácter del circuito.
Anteriormente se señaló que la admitancia (en general compleja) de un elemento o rama
que contiene a varios elementos, es el recíproco de la impedancia del elemento o rama
en cuestión.
Cuando la impedancia es puramente real,
0
j
R
Z
+
=
, la admitancia Y , es real e
idéntica a la conductancia G . Cuando la impedancia es un número complejo, la
admitancia también es un número complejo,
jB
G
Y
+
=
.
La conductancia G y la susceptancia B , están relacionadas a la resistencia R y a la
reactancia X , de una forma que no es simplemente un inverso.
2
2
2
2
2
2
*
1
1
1
X
R
X
j
X
R
R
X
R
jX
R
jX
R
jX
R
jX
R
jX
R
Z
Y
+
-
+
=
+
-
=
-
-
+
=
+
=
=
Por tanto:
2
2
X
R
R
G
+
=
2
2
X
R
X
B
+
=
Si la reactancia es inductiva (capacitiva), la susceptancia correspondiente es inductiva
(capacitiva). En general, G no es el recíproco de R , al igual que en general, B no es el
recíproco de X .
Las últimas dos expresiones, permiten obtener con facilidad un circuito paralelo
equivalente (a una frecuencia dada) de un circuito serie. Son muy utilizadas en el
análisis de circuitos en estado de resonancia.
De manera similar a como se llevó a cabo en el circuito RLC serie, en el circuito RLC
paralelo, es posible representar las admitancias estudiadas en un triángulo rectángulo. El
triángulo de admitancias de la figura 2.28 corresponde a un circuito predominantemente
capacitivo. En el caso de un circuito predominantemente inductivo,
y
L
C
B
B
-
son
negativos, desarrollándose el triángulo en el semiplano contrario.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
79
Figura 2.28:
Triángulo de admitancias.
El ángulo de la admitancia tendrá un valor comprendido entre los límites siguientes:
90
90
-
Los valores extremos de
90 y
90
-
corresponden a un capacitor o a un inductor ideal
respectivamente. Lo anterior implica que el desfasaje entre la corriente aplicada a un
circuito RLC paralelo y el voltaje entre los terminales de dicho circuito, nunca podrá
ser modularmente mayor que
90 .
Un circuito paralelo se representa fácilmente por una admitancia, sobre todo cuando
más de dos impedancias están conectadas en paralelo. La admitancia equivalente de
admitancias conectadas en serie o en paralelo, se obtiene, mediante las mismas reglas
que se emplean para las combinaciones correspondientes de conductancias.
...
1
1
1
2
1
+
+
=
Y
Y
Y
eq
(Admitancias en serie).
...
2
1
+
+
=
Y
Y
Y
eq
(Admitancias en paralelo).
2
1
2
1
Y
Y
Y
Y
Y
eq
+
=
(Caso especial de dos admitancias en serie).
La tabla 2.2 resume las expresiones de impedancia y admitancia para el resistor,
inductor y capacitor.
Tabla 2.2
Impedancia y admitancia para los elementos R , L y C .
Elemento Impedancia Admitancia
R
R
Z
=
R
Y
1
=
L
L
j
Z
=
L
j
Y
1
=
C
C
j
Z
1
=
C
j
Y
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
80
El circuito RLC paralelo es el dual del circuito RLC serie.
Ejemplo 2.12
Determine la admitancia, conductancia y susceptancia de las siguientes impedancias: a)
- 5
j
; b)
40
50
.
R:
a)
S
S
j
j
Z
Y
90
2
.
0
2
,
0
5
1
1
=
=
-
=
=
0
=
G
S
B
C
2
,
0
=
b)
S
j
S
Z
Y
0129
,
0
0153
,
0
40
02
,
0
40
50
1
1
-
=
-
=
=
=
S
G
0153
,
0
=
S
B
L
0129
,
0
=
MATLAB:
b)
>> Z=50*exp(j*40*pi/180)
Z =
38.3022 +32.1394i
>> R=50*cos(40*pi/180)
R =
38.3022
>> R=vpa(50*cos(40*pi/180))
R =
38.302222155948904003253119299188
>> R=vpa('50*cos(40*pi/180)')
R =
38.302222155948901760119632527771
>> XL=50*sin(40*pi/180)
XL =
32.1394
>> XL=vpa(50*sin(40*pi/180))
XL =
32.139380484326963482999417465180
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
81
>> XL=vpa('50*sin(40*pi/180)')
XL =
32.139380484326966316132170495363
>> Y=1/(R+j*XL)
Y =
.15320888862379560704047853011108e-1-
.12855752193730786526452868198145e-1*i
Ejemplo 2.13
La admitancia de un circuito es
S
j
)
025
,
0
040
,
0
(
+
. Hallar los valores de la resistencia y
la reactancia capacitiva del circuito si ellas están conectadas: a) en paralelo; b) en serie.
R:
a)
Conexión en paralelo:
S
j
Y
)
025
,
0
040
,
0
(
+
=
S
G
040
,
0
=
=
=
=
25
040
,
0
1
1
G
R
p
S
B
C
025
,
0
=
=
=
=
40
025
,
0
1
1
C
C
B
X
p
b)
Conexión serie:
S
j
Y
)
025
,
0
040
,
0
(
+
=
-
=
+
=
=
)
24
,
11
98
,
17
(
025
,
0
040
,
0
1
1
j
j
Y
Z
=
98
,
17
s
R
= 24
,
11
s
C
X
MATLAB:
>> Y=0.040+0.025i
Y =
0.0400 + 0.0250i
>> Z=Y^-1
Z =
17.9775 -11.2360i
>> R=real(Z)
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
82
R =
17.9775
>> XCs=abs(imag(Z))
XCs =
11.2360
Ejemplo 2.14
En la red que se muestra en la figura 2.29, hallar: a) la admitancia total; b) la
impedancia total; c) la corriente total
T
I
; d) la corriente
R
I
; e) la corriente
L
I
; f) la
corriente
C
I .
Figura 2.29:
Circuito RLC paralelo.
R:
a)
S
R
Y
R
00005
,
0
10
*
20
1
1
3
=
=
=
S
j
j
jX
Y
L
L
001
,
0
10
*
1
1
1
3
-
=
=
=
S
j
j
jX
Y
C
C
001
,
0
10
*
1
1
1
3
=
-
=
-
=
S
j
j
Y
Y
Y
Y
C
L
R
T
0
00005
,
0
001
,
0
001
,
0
00005
,
0
=
+
-
=
+
+
=
Como las susceptancias (reactancias) inductiva y capacitiva tienen el mismo valor, la
combinación de ellas se comporta como un circuito abierto. La admitancia (impedancia)
resultante tiene un carácter resistivo puro.
b)
=
=
=
=
k
Y
Z
T
T
0
20
20000
00005
,
0
1
1
c)
A
A
j
Z
V
I
T
s
T
0
250
10
*
250
10
*
20
0
5
6
3
=
=
+
=
=
-
d)
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
83
A
A
j
A
j
j
Z
V
I
R
s
R
0
250
0
250
0
10
*
250
10
*
20
0
5
6
3
=
+
=
+
=
+
=
=
-
e)
mA
A
j
j
j
Z
V
I
L
s
L
90
5
10
*
5
10
0
5
3
3
-
=
-
=
+
=
=
-
f)
mA
A
j
j
j
Z
V
I
C
s
C
90
5
10
*
5
10
0
5
3
3
=
=
-
+
=
=
-
Las corrientes a través del inductor y el capacitor están desfasadas entre sí
180 , no
influyendo en el valor de la corriente total. El circuito RLC paralelo, que se ha
considerado en este ejemplo, se encuentra en condición de resonancia, fenómeno que
será tratado más adelante.
MATLAB:
>> format long
>> IT=250*10^-6;IR=250*10^-6;IL=-j*5*10^-3;IC=j*5*10^-3;
>> I=[IT IR IL IC]
I =
0.00025000000000 0.00025000000000 0 -
0.00500000000000i 0 + 0.00500000000000i
>> compass(I)
>> title('Corrientes fasoriales IT, IR, IL, IC (A)')
El gráfico de fasores, obtenido en MATLAB, se muestra en la figura 2.30.
Figura 2.30:
Corrientes
T
C
L
R
I
e
I
I
I
,
,
en el circuito RLC paralelo.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
84
Circuitos de mayor complejidad (mixtos) que los circuitos RLC serie o RLC paralelo
tratados anteriormente, formados por combinaciones serie paralelo de elementos,
pueden ser simplificados, combinando adecuadamente los grupos de elementos en serie
o paralelo y aplicando las leyes y reglas fundamentales del análisis de circuitos
eléctricos. Las simplificaciones deberán llevarse a cabo a partir de las combinaciones
que sean fácilmente reconocibles.
Ejemplo 2.15
Determinar la impedancia total (
T
Z
) de la red mostrada en la figura 2.31.
Figura 2.31:
Circuito mixto.
R:
+
=
+
+
-
=
+
=
2
8
7
6
5
2
3
2
1
.
j
j
j
Z
Z
Z
equiv
(
1
Z
y
3
Z en serie).
-
=
+
+
-
+
-
=
+
=
3
5
2
8
8
2
)
2
8
(
*
)
8
2
(
*
1
.
1
1
.
1
j
j
j
j
j
Z
Z
Z
Z
Z
equiv
equiv
T
(
1
Z
y
1
.
equiv
Z
en paralelo).
MATLAB:
>> Z1=2-8i;Z2=2-5i;Z3=6+7i;
>> Zequiv1=Z2+Z3;
>> ZT=(Z1*Zequiv1)/(Z1+Zequiv1)
ZT =
5.0000 - 3.0000i
>> whos
Name Size Bytes Class
Z1 1x1 16 double array (complex)
Z2 1x1 16 double array (complex)
Z3 1x1 16 double array (complex)
ZT 1x1 16 double array (complex)
Zequiv1 1x1 16 double array (complex)
Grand total is 5 elements using 80 bytes
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
85
Ejemplo 2.16
En el circuito mostrado en la figura 2.32, determinar: a) la impedancia total (
T
Z
); b) las
corrientes
1
I ,
2
I e
3
I .
Figura 2.32:
Circuito mixto.
R:
a)
=
=
3
1
1
10
R
Z
+
=
+
=
3
3
2
2
10
*
2
10
j
Z
R
Z
L
-
=
=
3
3
10
*
2
j
Z
Z
C
-
=
-
=
-
+
-
+
=
+
=
57
,
26
10
*
472
,
4
10
*
2
10
*
4
10
*
2
10
*
2
10
)
10
*
2
)(
10
*
2
10
(
*
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
j
j
j
j
j
Z
Z
Z
Z
Z
p
-
=
-
=
-
+
-
+
+
=
+
=
8
,
21
10
*
385
,
5
10
*
2
10
*
5
10
*
2
10
*
2
10
)
10
*
2
)(
10
*
2
10
(
10
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1
j
j
j
j
j
Z
Z
Z
p
T
b)
A
Z
V
I
T
s
8
,
21
10
*
285
,
9
8
,
21
385
,
5
0
50
3
1
=
-
=
=
-
V
Z
I
V
p
p
77
,
4
52
,
41
)
57
,
26
10
*
472
,
4
)(
8
,
21
10
*
285
,
9
(
*
3
3
1
-
=
-
=
=
-
A
j
Z
V
I
p
2
,
68
10
*
57
,
18
10
*
2
10
77
,
4
52
,
41
3
3
3
2
2
-
=
+
-
=
=
-
A
j
Z
V
I
p
23
,
85
10
*
76
,
20
10
*
2
77
,
4
52
,
41
3
3
3
3
=
-
-
=
=
-
MATLAB:
>> Z1=10^3;
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
86
>> Z1=10^3;Z2=10^3+j*2*10^3;Z3=-j*2*10^3;
>> ZT=Z1+(Z2*Z3)/(Z2+Z3)
ZT =
5.0000e+003 -2.0000e+003i
>> Vs=50;
>> I1=Vs/ZT
I1 =
0.0086 + 0.0034i
>> magnitudI1=abs(I1)
magnitudI1 =
0.0093
>> anguloI1=angle(I1)*180/pi
anguloI1 =
21.8014
>> Vp=41.52*exp(j*-4.77*pi/180)
Vp =
41.3762 - 3.4526i
>> I2=Vp/Z2
I2 =
0.0069 - 0.0172i
>> magnitudI2=abs(I2)
magnitudI2 =
0.0186
>> anguloI2=angle(I2)*180/pi
anguloI2 =
-68.2049
>> I3=Vp/Z3
I3 =
0.0017 + 0.0207i
>> magnitudI3=abs(I3)
magnitudI3 =
0.0208
>> anguloI3=angle(I3)*180/pi
anguloI3 =
85.2300
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
87
>> I=abs([I1 I2 I3]);
>> barh(I)
>> xlabel('I (A)')
>> ylabel('Corrientes I1, I2, I3')
>> title('Magnitudes de las corrientes I1, I2, I3')
El gráfico de las magnitudes de las corrientes en el circuito mixto, obtenido en
MATLAB, se muestra en la figura 2.33.
Figura 2.33:
Magnitudes de las corrientes en el circuito mixto del ejemplo 2.16.
Un circuito formado por la combinación en serie, de una resistencia y una reactancia, en
condiciones de estado estable sinusoidal, puede ser representado por un circuito
equivalente, formado por la combinación en paralelo de una resistencia y una reactancia
(de la misma naturaleza) y viceversa. El circuito equivalente será válido solamente a la
frecuencia de operación dada.
Considere que los circuitos mostrados en la figura 2.34, son exactamente equivalentes a
alguna frecuencia determinada. La equivalencia implica que estos circuitos tendrán la
misma impedancia total (
T
Z
) y la misma admitancia total (
T
Y
).
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
88
Figura 2.34:
Circuitos exactamente equivalentes a alguna frecuencia determinada.
Impedancia total del circuito serie:
s
s
T
jX
R
Z
±
=
Admitancia total del circuito serie:
s
s
T
Ts
jX
R
Z
Y
±
=
=
1
1
Multiplicando el numerador y el denominador por la conjugada del denominador:
2
2
2
2
2
2
)
)(
(
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
Ts
X
R
X
j
X
R
R
X
R
jX
R
jX
R
jX
R
jX
R
Y
+
+
=
+
=
±
=
Admitancia total del circuito paralelo:
p
p
p
p
Tp
X
j
R
jX
R
Y
1
1
1
1
=
±
+
=
Las admitancias del circuito serie (
Ts
Y ) y del circuito paralelo (
Tp
Y ) serán iguales, solo
si las partes reales son iguales y las partes imaginarias son iguales.
Teniendo en cuenta lo anterior, los circuitos serie y paralelo de la figura 2.34, serán
equivalentes a una frecuencia dada, si se cumple que:
2
2
1
s
s
s
p
X
R
R
R
+
=
2
2
1
s
s
s
p
X
R
X
X
+
=
Los valores de los elementos del circuito paralelo, equivalente al circuito serie original a
una frecuencia dada, serán:
s
s
s
p
R
X
R
R
2
2
+
=
s
s
s
p
X
X
R
X
2
2
+
=
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
89
De manera similar, pueden obtenerse los valores de los elementos del circuito serie,
equivalente al circuito paralelo original a una frecuencia dada:
2
2
2
p
p
p
p
s
X
R
X
R
R
+
=
2
2
2
p
p
p
p
s
X
R
X
R
X
+
=
Ejemplo 2.17
Un circuito tiene una impedancia total
+
=
50
10 j
Z
T
. Dibujar los circuitos serie y
paralelo equivalentes.
R:
El circuito serie está formado por una resistencia
=10
s
R
y una reactancia inductiva
= 50
Ls
X
.
El circuito paralelo equivalente al circuito serie, a la misma frecuencia de operación,
tendrá los siguientes valores:
=
+
=
+
=
260
10
50
10
2
2
2
2
s
s
s
p
R
X
R
R
=
+
=
+
=
52
50
50
10
2
2
2
2
s
s
s
p
X
X
R
X
Ambos circuitos se muestran en la figura 2.35.
Figura 2.35:
Circuitos serie y paralelo equivalentes a la misma frecuencia de operación.
La magnitud de todos los fasores de voltajes y corrientes, corresponden a los valores
máximos de las respectivas señales sinusoidales. Una simple división de la magnitud del
fasor por 2 , permite obtener los valores eficaces de los voltajes y corrientes
sinusoidales, como se estudió en el capítulo anterior.
En este libro siempre se considerará que la magnitud del fasor, corresponde a la
amplitud de la señal de voltaje o de corriente a menos que se indique lo contrario (en
circuitos trifásicos, es costumbre que la magnitud del fasor represente el valor eficaz).
Existen dos clases básicas de instrumentos de medición (voltímetros y amperímetros)
empleados en corriente alterna. Una clase mide el valor eficaz correcto, solo para
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
90
señales con forma de onda sinusoidal (instrumentos que responden al valor medio), la
otra clase mide correctamente el valor eficaz, independientemente de la forma de onda
de la señal (instrumentos que responden al valor verdadero).
En este libro, los voltímetros y amperímetros, serán considerados instrumentos ideales
(impedancia interna infinita para el voltímetro e impedancia interna cero para el
amperímetro) e indicarán en todos los casos el valor eficaz verdadero.
La mayoría de los voltímetros y amperímetros de uso común, responden al valor medio.
· Problemas de consolidación
2-9. Determine la admitancia, conductancia y susceptancia de las siguientes
impedancias: a)
+ 40
25 j
; b)
- 2
3 j
.
R:
a)
S
j
Y
0180
,
0
0112
,
0
-
=
,
S
G
0112
,
0
=
,
S
B
L
0180
,
0
=
; b)
S
j
Y
154
,
0
231
,
0
+
=
,
S
G
231
,
0
=
,
S
B
C
154
,
0
=
2-10. Hallar los valores de las impedancias, correspondientes a las siguientes
admitancias: a)
S
30
004
,
0
; b)
S
j 002
,
0
001
,
0
-
.
R:
a)
-
=
125
5
,
216
j
Z
, b)
+
=
400
200 j
Z
2-11. Para el circuito mostrado en la figura 2.36:
a) Hallar la admitancia de cada rama.
b) Determinar la admitancia de entrada.
c) Hallar la impedancia de entrada.
Figura 2.36:
Circuito paralelo.
R:
a)
S
Y
S
Y
S
Y
C
L
R
90
050
,
0
,
90
125
,
0
,
0
2
,
0
=
-
=
=
;
b)
S
Y
T
56
,
20
2136
,
0
-
=
;
c)
=
56
,
20
68
,
4
T
Z
2-12. Determinar la impedancia total de la red de la figura 2.37.
Figura 2.37:
Circuito mixto.
R:
-
=
24
18 j
Z
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
91
· Problemas de final de capítulo
1. Un voltaje
V
t
sen
t
v
)
(
20
)
(
=
tiene una frecuencia de
Hz
50
. Determinar el
valor de la señal de voltaje, cuando ha transcurrido desde el inicio del ciclo un
tiempo de: a)
ms
5
,
2
; b)
ms
15
.
R:
a)
V
14
,
14
; b)
V
20
-
2. Cuando a un circuito serie se le aplica un voltaje de
V
j200
120
+
, por el mismo
circula una corriente de
A
j16
7
+
. a) Determinar la impedancia del circuito. b)
Si la frecuencia de la fuente de alimentación es de MHz
5
, hallar el valor de los
elementos que forman el circuito serie.
R:
a)
-
33
,
7
36
,
16
; b)
nF
C
R
67
,
18
,
25
,
13
=
=
3. Un circuito está formado por un resistor de
90
, en serie con un inductor con
una reactancia inductiva de
150
. La corriente que circula por el circuito tiene
un valor de
A
0
35
,
1
. Determinar: a) el voltaje en los terminales del circuito;
b) el voltaje a través del resistor; c) el voltaje a través del inductor.
R:
a)
V
04
,
59
2
,
236
; b)
V
5
,
121
; c)
V
90
5
,
202
4. Una fuente de voltaje de
V
240 ,
Hz
50
, alimenta un circuito serie, formado por
una bobina de resistencia
12
e inductancia
H
10
,
0
y un capacitor de
F
120
.
Calcular la corriente que circula por el circuito y expresarla en forma polar.
R:
A
2
,
22
5
,
18
-
5. Un circuito serie está formado por una bobina de resistencia
)
(
R
e
inductancia )
(H
L
y un capacitor C de
F
50
. El voltaje aplicado al circuito es
de
V
225 , con una frecuencia de
Hz
50
y la corriente que circula por el mismo
es de
A
30
5
,
1
-
. Determinar: a) los valores de R y L ; b) el voltaje a través
de la bobina; c) el voltaje a través del capacitor.
R:
a)
H
441
,
0
;
9
,
129
; b)
V
87
,
16
285
; c)
V
120
49
,
95
-
6. En el circuito mostrado en la figura 2.38, determinar los voltajes
1
V
,
2
V
y el
voltaje en los terminales de la fuente de corriente (V ), si la frecuencia de trabajo
es de kHz
4
.
Figura 2.38:
Circuito serie.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
92
R:
V
93
,
61
102
-
;
V
38
,
67
78
;
V
13
80
-
7. Una fuente de
Hz
V 50
,
300
, alimenta un circuito serie formado por una bobina
de resistencia
5
e inductancia
mH
120
y un capacitor de
F
100
. Calcular:
a) la corriente que circula por el circuito; b) el voltaje a través de la bobina; c) el
voltaje a través del capacitor.
R: a)
A
58
,
49
91
,
38
-
; b)
V
87
,
32
1480
; c)
V
58
,
139
1239
-
8. Hallar la impedancia equivalente del circuito de la figura 2.39, entre los puntos a
y b.
Figura 2.39:
Circuito mixto.
R:
+
38
,
90
92
,
101
j
9. Hallar el valor de la impedancia, correspondiente a la admitancia
S
j 08
,
0
05
,
0
+
.
R:
-
99
,
57
64
,
10
10. Un circuito
RL serie, tiene los siguientes parámetros:
=150
R
,
mH
L 16
=
.
Hallar la admitancia equivalente del circuito.
R:
S
j
3
3
10
*
976
,
7
10
*
968
,
3
-
-
-
11. Encontrar la admitancia y la impedancia equivalente entre los puntos a y b, de la
red que se muestra en la figura 2.40.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
93
Figura 2.40:
Circuito RLC paralelo.
R:
-
69
,
33
3
,
33
;
69
,
33
03
,
0
S
12. El voltaje entre los terminales de un circuito es
V
45
100
y la corriente que
circula por el circuito es
A
15
5
. Calcular la impedancia y la admitancia del
circuito.
R:
S
j
j
2
10
*
)
50
,
2
33
,
4
(
;
10
32
,
17
-
-
+
13. Una fuente de voltaje de
Hz
V 50
,
240
, alimenta un circuito formado por un
resistor de
80
y un capacitor de
F
30
, conectados en paralelo. Calcular: a)
la corriente que circula por el resistor; b) la corriente que circula por el
capacitor; c) la corriente que entrega la fuente; d) la impedancia del circuito.
R:
a)
A
0
3
; b)
A
90
262
,
2
; c)
A
02
,
37
757
,
3
; d)
-
02
,
37
88
,
63
14. Una fuente de voltaje de
kHz
V 5
,
40
, alimenta un circuito formado por una
bobina de inductancia
H
12
,
0
y resistencia
k
3
, conectada en paralelo con un
capacitor de
F
02
,
0
. Calcular: a) la corriente que circula por la bobina; b) la
corriente que circula por el capacitor; c) la corriente que entrega la fuente; d) la
impedancia del circuito.
R:
a)
mA
49
,
51
30
,
8
-
; b)
mA
90
13
,
25
; c)
mA
50
,
74
34
,
19
; d)
-
k
50
,
74
068
,
2
15. En el circuito mostrado en la figura 2.41: a) calcular la impedancia total (
T
Z ); b)
determinar las corrientes I ,
1
I
e
2
I
.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
94
Figura 2.41:
Circuito mixto.
R:
a)
-
45
9
,
18
; b)
A
45
06
,
1
,
A
135
354
,
0
,
A
57
,
26
12
,
1
16. Un circuito tiene una admitancia total
S
Y
T
43
,
63
10
*
559
,
0
3
=
-
. Determinar
los valores de las resistencias y reactancias de los circuitos paralelo y serie
equivalentes.
R:
= k
R
p
4
,
= k
X
Cp
2
,
=
k
R
s
8
,
0
,
=
k
X
Cs
6
,
1
17. En el circuito mostrado en la figura 2.42, el voltímetro indica
V
45 . Hallar la
lectura del amperímetro. Representar fasorialmente todas las corrientes y el
voltaje Vab.
Figura 2.42:
Circuito mixto.
R:
A
4
,
19
El diagrama fasorial se muestra en la figura 2.43.
Capítulo 2. Características V/A de los elementos del circuito
95
Figura 2.43:
Diagrama fasorial.
18. Tres impedancias
=
-
=
+
=
4
8
,
5
5
3
2
1
Z
y
j
Z
j
Z
, están conectadas en
serie con una fuente de voltaje de valor V . a) Determinar y expresar en forma
polar, la corriente y el voltaje aplicado, conociendo que el voltaje (eficaz) a
través de
3
Z es igual a
V
45
,
18
2
,
63
. b) Escribir las expresiones del voltaje y
la corriente en forma instantánea.
R:
a)
A
45
8
,
15
,
V
0
150
;
b)
A
t
)
45
,
18
cos(
2
8
,
15
+
,
V
t)
cos(
2
150
19. En el circuito de la figura 2.44, con estímulo cosinusoidal estable, los cuatro
voltímetros indican
V
100 . Determinar: a) Las expresiones instantáneas de
R
v
,
L
v
,
C
v ,
0
e e i , si se conoce que
124
-
=
vR
y la frecuencia de la fuente de
alimentación es de
s
rad /
10
6
. b) Los valores de L , C y la impedancia total
T
Z
.
Figura 2.44:
Circuito RLC serie en estado estable sinusoidal.
R:
a)
V
t
e
v
R
)
124
cos(
2
100
0
-
=
=
,
V
t
v
L
)
34
cos(
2
100
-
=
,
V
t
v
C
)
146
cos(
2
100
+
=
,
A
t
i
)
124
cos(
2
5
-
=
; b)
H
20
,
F
05
,
0
,
20
.
20. En el circuito mostrado en la figura 2.45:
= 55
1
R
,
= 7
2
R
,
= 24
L
X
,
= 44
C
X
,
rms
V
V
220
=
. Determinar:
I
m
I
2
I
V
ab
R
e
45°
11,9°
I
1
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
96
a)
1
I
,
2
I
,
3
I e I .
b) La admitancia equivalente. Representarla circuitalmente.
c) El circuito serie equivalente.
Figura 2.45:
Circuito mixto.
R:
a)
A
I
0
4
1
=
,
A
I
74
,
73
8
,
8
2
-
=
,
A
I
90
5
3
=
,
A
I
1
,
28
32
,
7
-
=
;
b) El circuito de la admitancia equivalente se presenta en la figura 2.46.
Figura 2.46:
Representación circuital de la admitancia equivalente.
c) El circuito serie equivalente se presenta en la figura 2.47.
Figura 2.47:
Circuito serie equivalente.
97
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en
circuitos de CA
Introducción
En este capítulo se emplearán los métodos generales de solución y teoremas, aprendidos
durante el estudio de los circuitos de corriente directa. Se empleará el método fasorial
en la solución de circuitos de corriente alterna en estado estable sinusoial.
De manera general el proceso consistirá en:
· Transformar el circuito en el dominio del tiempo, en un circuito equivalente en
el dominio de la frecuencia (fasorial), empleando fasores de voltajes y
corrientes, impedancias y admitancias.
· Resolver el circuito en el campo fasorial, utilizando los métodos de solución y
teoremas.
· Transformar las respuestas, si se desea, al dominio del tiempo (variables en
forma instantánea).
El proceso matemático es más complejo que el empleado en el análisis de circuitos en
corriente directa, pues el método fasorial exige trabajar con números complejos.
3.1 Método de las corrientes de mallas (MCM)
MCM en un circuito sin fuentes de corriente (independientes o dependientes)
Ejemplo 3.1
En el circuito mostrado en la figura 3.1, hallar las corrientes
1
I
e
2
I
empleando el
MCM. Expresar los resultados en forma polar.
Figura 3.1:
Circuito sin fuentes de corriente.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Asignando las corrientes de mallas
1
I e
2
I (sus sentidos coinciden con las corrientes
1
I
e
2
I
) que se quieren determinar, como aparece en la figura 3.2:
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
98
Figura 3.2:
Circuito con las corrientes de mallas asignadas.
Aplicando la ley de Kirchhoff de los voltajes en cada una de las mallas:
0
)
(
1
5
3
3
2
1
1
1
=
-
+
+
-
I
I
I
j
I
5
)
3
4
(
2
1
-
=
-
-
I
I
j
(I)
0
5
4
2
)
(
1
2
2
1
2
=
+
+
+
-
I
j
I
I
I
5
)
4
3
(
2
1
-
=
+
+
-
I
j
I
(II)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I, II:
A
I
9298
,
151
1765
,
1
1
-
=
A
I
1056
,
132
2127
,
1
2
=
MATLAB:
>> A=[4-3i -1;-1 3+4i];
>> b=[-5;-5];
>> I=A\b
I =
-1.0381 - 0.5536i
-0.8131 + 0.8997i
>> magnituddeI1=abs(-1.0381 - 0.5536i)
magnituddeI1 =
1.1765
>> anguloI1=angle(-1.0381 - 0.5536i)*180/pi
anguloI1 =
-151.9298
>> magnituddeI2=abs(-0.8131 + 0.8997i)
magnituddeI2 =
1.2127
>> anguloI2=angle(-0.8131 + 0.8997i)*180/pi
anguloI2 =
132.1056
MCM en un circuito con fuentes de corriente independientes
Ejemplo 3.2
En el circuito mostrado en la figura 3.3 hallar la corriente
I empleando el MCM.
Exprese el resultado en forma binómica o rectangular.
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
99
Figura 3.3:
Circuito con fuente de corriente independiente en el perímetro del circuito.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Asignando las corrientes de mallas
1
I
e
2
I
e
3
I como se ilustra en la figura 3.4:
Figura 3.4:
Circuito con las corrientes de mallas asignadas.
A
I
0
2
1
=
(I)
(En esta malla no se aplica LKV).
Aplicando la ley de Kirchhoff de los voltajes en las mallas 2 y 3:
0
4
3
)
(
)
(
3
2
1
2
=
-
+
-
+
-
-
j
I
I
j
I
I
j
4
3
3
1
j
jI
jI
+
-
=
-
(II)
0
)
(
)
(
2
)
(
2
2
3
3
1
3
=
-
+
-
-
I
I
j
I
j
I
I
0
)
2
(
2
3
2
1
=
-
+
-
-
I
j
jI
I
(III)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I, II y III:
A
I
2
1
=
A
j
I
11
4
2
+
-
=
A
j
I
3
2
3
-
-
=
La corriente I es igual a la corriente de malla
2
I
:
A
j
I
I
11
4
2
+
-
=
=
MATLAB:
>> A=[1 0 0;i 0 -i;-2 -i 2-i]
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
100
A =
1.0000 0 0
0 + 1.0000i 0 0 - 1.0000i
-2.0000 0 - 1.0000i 2.0000 - 1.0000i
>> b=[2;-3+4i;0]
b =
2.0000
-3.0000 + 4.0000i
0
>> I=A\b
I =
2.0000
-4.0000 +11.0000i
-2.0000 - 3.0000i
Ejemplo 3.3
En el circuito mostrado en la figura 3.5,hallar el voltaje
o
V empleando el MCM.
Exprese el resultado en forma polar.
Figura 3.5:
Circuito con fuentes de corriente independientes en el perímetro del circuito
y en la rama común a las mallas superiores.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Asignando las corrientes de mallas
1
I
,
2
I
,
3
I e
4
I
como se ilustra en la figura 3.6:
Figura 3.6:
Circuito con las corrientes de mallas asignadas.
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
101
Existe una fuente de corriente en el perímetro del circuito. En esta malla no se aplica
LKV.
A
I
0
3
2
-
=
(I)
Fuente de corriente en la rama común a las mallas III y IV.
4
4
3
=
+
-
I
I
(II)
LKV en la supermalla formada por las mallas III y IV.
0
)
(
8
)
(
5
6
4
1
3
2
4
4
3
=
-
+
-
+
+
-
I
I
I
I
j
I
I
j
0
)
5
6
(
)
4
8
(
5
8
4
3
2
1
=
+
+
-
+
-
-
I
j
I
j
I
j
I
(III)
LKV en la malla I.
0
)
(
2
)
(
8
10
2
1
3
1
=
-
-
-
+
-
I
I
j
I
I
10
8
2
)
2
8
(
3
2
1
=
-
+
-
I
I
j
I
j
(IV)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I, II, III y IV:
A
j
I
6069
,
3
2828
,
0
1
-
=
A
I
3
2
-
=
V
j
j
j
I
I
j
V
o
6936
,
137
5742
,
9
5655
,
6
2138
,
7
))
3
(
6069
,
3
2828
,
0
(
2
)
(
2
2
1
-
=
-
-
=
-
-
-
-
=
-
-
=
MATLAB:
>> [I1,I2,I3,I4]=solve('I2=-3','-I3+I4=4','-8*I1-5*i*I2+(8-4*i)*I3+(6+5*i)*I4=0','(8-
2*i)*I1+2*i*I2-8*I3=10','I1,I2,I3,I4')
I1 =
41/145-523/145*i
I2 =
-3
I3 =
-271/145-642/145*i
I4 =
309/145-642/145*i
>> I1=numeric(I1)
I1 =
0.2828 - 3.6069i
>> I2=numeric(I2)
I2 =
-3
>> Vo=-2i*(I1-I2)
Vo =
-7.2138 - 6.5655i
>> magnituddeVo=abs(Vo)
magnituddeVo =
9.7542
>> anguloVo=angle(Vo)*180/pi
anguloVo =
-137.6936
MCM en un circuito con fuentes dependientes
Ejemplo 3.4
Determinar en el circuito mostrado en la figura 3.7 las corrientes
1
I
e
2
I
empleando el
MCM. Expresar las corrientes en forma polar.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
102
Figura 3.7:
Circuito con fuente de voltaje dependiente.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Asignando las corrientes de mallas
1
I
e
2
I
(sus sentidos coinciden con las corrientes
1
I
e
2
I ) que se quieren determinar, como se ilustra en la figura 3.8:
Figura 3.8:
Circuito con las corrientes de mallas asignadas.
Aplicando la ley de Kirchhoff de los voltajes en cada una de las mallas:
0
)
(
1
2
0
6
2
1
1
=
-
+
+
-
I
I
I
j
6
)
2
1
(
2
1
=
-
+
I
I
j
(I)
0
4
3
)
(
1
1
2
1
2
=
+
-
-
I
I
j
I
I
0
)
3
1
(
3
2
1
=
-
+
I
j
I
(II)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I y II:
A
I
8542
,
65
8880
,
1
1
-
=
A
I
2900
,
174
7911
,
1
2
-
=
MATLAB:
>> A=[1+2i -1;3 1-3i];
>> b=[6;0];
>> I=A\b
I =
0.7723 - 1.7228i
-1.7822 - 0.1782i
>> [angI1,magI1]=cart2pol(0.7723,-1.7228)
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
103
angI1 =
-1.1494
magI1 =
1.8880
>> angI1=angI1*(180/pi)
angI1 =
-65.8542
>> [angI2,magI2]=cart2pol(-1.7822,-0.1782)
angI2 =
-3.0419
magI2 =
1.7911
>> angI2=angI2*(180/pi)
angI2 =
-174.2900
· Problemas de consolidación
3-1. En el circuito mostrado en la figura 3.9, empleando el MCM, determine y exprese
en forma polar las corrientes
1
I
,
2
I
.
Figura 3.9:
Circuito sin fuentes de corriente.
R:
A
I
5688
,
164
8700
,
4
1
-
=
,
A
I
9281
,
144
1698
,
7
2
-
=
3-2. Empleando el MCM, determine y exprese en forma polar el voltaje
1
V
en el circuito
de la figura 3.10.
Figura 3.10:
Circuito con fuente de corriente independiente en el perímetro del circuito.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
104
R:
V
V
49
,
43
1623
,
3
1
-
=
3-3. Determine y exprese en forma polar la corriente
o
I en el circuito de la figura 3.11.
Emplee el MCM.
Figura 3.11:
Circuito con fuente de corriente independiente en la rama común a las
mallas de la parte derecha del circuito.
R:
A
I
o
943
,
5
075
,
5
=
3-4. En el circuito mostrado en la figura 3.12, hallar las corrientes
1
I
,
2
I
e
x
I . Emplear
el MCM.
Figura 3.12:
Circuito con fuente de voltaje dependiente.
R:
A
j
I
52
26
1
-
-
=
,
A
j
I
58
24
2
-
-
=
,
A
j
I
x
6
2
+
-
=
3.2 Método de los voltajes de nodos (MVN)
MVN en un circuito sin fuentes de voltaje ideales (independientes o
dependientes)
Ejemplo 3.5
Calcular la corriente
1
I
usando el MVN en el circuito de la figura 3.13. Exprese el
resultado en forma polar.
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
105
Figura 3.13:
Circuito sin fuentes ideales de voltaje.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Asignando el voltaje de nodo
1
V en la figura 3.14:
Figura 3.14:
Circuito con el voltaje de nodo asignado.
Aplicando LKC en el nodo superior:
0
1
6
4
2
2
1
1
1
1
=
-
-
+
+
-
j
V
V
j
V
Despejando
1
V
:
V
j
V
4
8
1
+
=
A
j
j
V
I
6901
,
123
6056
,
3
3
2
2
2
1
1
=
+
-
=
-
=
MATLAB:
>> V1=solve('(V1-2)/(2*i)+V1/4+(V1-6)/(-i)=0','V1')
V1 =
8+4*i
>> I1=(2-V1)/2i
I1 =
-2+3*i
>> I1=numeric(I1)
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
106
I1 =
-2.0000 + 3.0000i
>> MagnitudI1=abs(I1)
MagnitudI1 =
3.6056
>> AnguloI1=angle(I1)*180/pi
AnguloI1 =
123.6901
Ejemplo 3.6
Calcular el voltaje
)
(t
v
usando el MVN en el circuito de la figura 3.15. Los valores de
las fuentes son:
A
t
t
i
s
)
50000
cos(
10
)
(
=
y
V
t
t
v
s
)
90
50000
cos(
100
)
(
-
=
Figura 3.15:
Circuito sin fuentes ideales de voltaje.
R:
Representando el circuito en el campo fasorial y asignando el voltaje de nodo
1
V
como
aparece en la figura 3.16:
s
rad /
50000
=
=
=
=
-
5
)
10
)(
100
)(
10
)(
50
(
6
3
j
j
L
j
Z
L
-
=
=
=
-
2222
,
2
)
10
)(
9
)(
10
)(
50
(
1
1
6
3
j
j
C
j
Z
C
A
I
s
0
10
=
V
j
V
s
100
90
100
-
=
-
=
Figura 3.16:
Circuito representado en el campo fasorial con el voltaje de nodo
asignado.
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
107
Aplicando LKC en el nodo superior:
0
20
)
100
(
5
2222
,
2
5
10
1
1
1
1
=
-
-
+
+
-
+
+
-
j
V
j
V
j
V
V
Despejando
1
V
:
V
j
V
5656
,
71
6225
,
31
9998
,
29
9996
,
9
1
-
=
-
=
1
V
V
=
V
t
t
v
)
5656
,
71
50000
cos(
6225
,
31
)
(
-
=
MATLAB:
>> V1=solve('-10+V1/5+V1/(-2.2222*i)+V1/(5*i)+(V1+100*i)/20=0','V1')
V1 =
9.9996400012600320399607572942378 - 29.999819996580007920296279943096*i
>> V1=9.9996400012600320399607572942378 -
29.999819996580007920296279943096*i
V1 =
9.9996 -29.9998i
>> ModuloV1=abs(V1)
ModuloV1 =
31.6225
>> AnguloV1=angle(V1)*180/pi
AnguloV1 =
-71.5656
MVN en un circuito con fuentes de voltaje ideales
Ejemplo 3.7
Hallar la corriente
o
I usando el MVN en el circuito de la figura 3.17. Exprese la
corriente en forma polar.
Figura 3.17:
Circuito con fuente de voltaje ideal e independiente conectada al nodo de
referencia.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
108
R:
El circuito de la figura 3.18 ya está representado en forma fasorial.
Asignando los voltajes de nodos
1
V
y
2
V
:
Figura 3.18:
Circuito con los voltajes de nodos asignados.
Fuente de voltaje ideal conectada al nodo de referencia:
V
V
30
10
2
=
Aplicando LKC en el nodo superior izquierdo:
0
2
6
30
10
4
2
8
1
1
1
=
-
-
+
+
-
V
j
V
j
V
Despejando
1
V
:
V
j
V
6953
,
7
1407
,
6
1
+
=
A
j
j
V
I
o
4474
,
65
1939
,
1
0859
,
1
4961
,
0
2
8
1
=
+
=
-
=
MATLAB:
>> V1=solve('V1/(8-2*i)+V1/(4*i)+(V1-10*exp(i*30*pi/180))/6-2=0','V1')
V1 =
(116/317+90/317*i)*(5*3^(1/2)+5*i+12)
>> V1=numeric(V1)
V1 =
6.1407 + 7.6953i
>> Io=V1/(8-2i)
Io =
0.4961 + 1.0859i
>> MagnitudIo=abs(Io)
MagnitudIo =
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
109
1.1939
>> AnguloIo=angle(Io)*180/pi
AnguloIo =
65.4474
Ejemplo 3.8
Calcular los voltajes
1
V
y
2
V
en el circuito de la figura 3.19 usando el MVN. Exprese
los resultados en forma polar.
Figura 3.19:
Circuito con fuente de voltaje ideal e independiente conectada entre dos
nodos ninguno de los cuales es el nodo de referencia.
R:
El circuito de la figura 3.20 ya está representado en el campo fasorial.
Los nodos 1 y 2 forman un supernodo:
Figura 3.20:
Supernodo en el circuito.
Aplicando LKC al supernodo:
0
2
4
4
15
2
2
1
1
=
+
-
+
+
-
V
j
V
j
V
V
(I)
Relacionando el valor de la fuente con los voltajes de los nodos
1 y 2 :
60
20
2
1
=
-V
V
(II)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I y II:
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
110
V
V
6689
,
69
3600
,
19
1
=
V
V
7176
,
165
3779
,
3
2
=
MATLAB:
>>[V1,V2]=solve('(V1-15)/4+V1/(4*i)+V2/(-i)+V2/2=0','V1-
V2=20*exp(i*60*pi/180)','V1,V2')
V1 =
25/2+5/6*i-10/3*3^(1/2)+10*i*3^(1/2)
V2 =
(-5/6+5/6*i)*(-1+2*i*3^(1/2)-2*i+2*3^(1/2))
>> V1=numeric(V1)
V1 =
6.7265 +18.1538i
>> ModuloV1=abs(V1)
ModuloV1 =
19.3600
>> AnguloV1=angle(V1)*180/pi
AnguloV1 =
69.6689
>> V2=numeric(V2)
V2 =
-3.2735 + 0.8333i
>> ModuloV2=abs(V2)
ModuloV2 =
3.3779
>> AnguloV2=angle(V2)*180/pi
AnguloV2 =
165.7176
MVN en un circuito con fuentes dependientes
Ejemplo 3.9
Use el MVN en el circuito mostrado en la figura 3.21 para encontrar el voltaje
RL
V
.
Exprese el resultado en forma polar.
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
111
Figura 3.21:
Circuito con fuente de voltaje dependiente.
R:
El circuito de la figura 3.22 ya está representado en el campo fasorial.
Asignando el voltaje de nodo
1
V
al nodo superior:
Figura 3.22:
Circuito con el voltaje de nodo asignado.
Aplicando LKC en el nodo superior:
0
4
50
3
1
2
100
1
1
1
=
-
-
+
+
+
-
j
V
V
j
V
V
x
(I)
Expresando la variable de control
x
V en función del voltaje de nodo
1
V
:
3
1
3
1
j
j
V
V
x
+
=
(II)
(Aplicando
división
de
voltaje).
Sustituyendo II en I y despejando
1
V
:
V
j
V
8537
,
3
4835
,
1
1
+
=
3
1
8537
,
3
4835
,
1
3
1
1
1
j
j
j
V
V
RL
+
+
=
+
=
(Aplicando división de voltaje).
V
j
V
RL
6203
,
2
3059
,
1
0597
,
0
3045
,
1
-
=
-
=
MATLAB:
>> [V1,Vx]=solve('(V1-100)/2+V1/(1+3*i)+(V1-50*Vx)/(-
4*i)=0','Vx=V1*3*i/(1+3*i)','V1,Vx')
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
112
V1 =
17400/11729+45200/11729*i
Vx =
2100/11729+45900/11729*i
>> V1=numeric(V1)
V1 =
1.4835 + 3.8537i
MVN en un circuito con amplificadores operacionales
Ejemplo 3.10
Usando el MVN en el circuito mostrado en la figura 3.23, determine el voltaje
o
v .
Considere que el amplificador operacional es ideal.
V
t
v
s
5000
cos
2
=
.
Figura 3.23:
Circuito con amplificador operacional ideal.
R:
Representando el circuito en el campo fasorial y asignando el voltaje de nodo
1
V
como
se muestra en la figura 3.24:
V
V
s
0
2
=
s
rad
/
5000
=
-
=
-
=
-
=
-
20000
)
10
)(
10
)(
5000
(
1
1
9
1
1
j
j
C
j
Z
C
-
=
-
=
-
=
-
10000
)
10
)(
20
)(
5000
(
1
1
9
2
2
j
j
C
j
Z
C
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
113
Figura 3.24:
Circuito en el campo fasorial.
LKC en el nodo 1 y empleo de las propiedades del AOp ideal (el voltaje en ambos
terminales de entrada del AOp es igual a V
o
).
0
20000
20000
10000
2
1
1
1
=
-
-
+
-
+
-
j
V
V
V
V
V
o
o
(I)
10000
2
j
V
I
o
C
-
=
o
o
C
V
j
j
j
V
j
I
V
)
2
1
(
)
10000
20000
)(
10000
(
)
10000
20000
)(
(
2
1
+
=
-
-
=
-
=
(II)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I, II:
V
V
o
90
6667
,
0
-
=
V
t
v
o
)
90
5000
cos(
6667
,
0
-
=
MATLAB:
>> V=solve('(V1-2)/10000+(V1-Vo)/20000+(V1-Vo)/(-20000*i)=0','V1=(1+2*i)*Vo')
V =
V1: [1x1 sym]
Vo: [1x1 sym]
>> Vo=V.Vo
Vo =
-2/3*i
>> Vo=numeric(Vo)
Vo =
0 - 0.6667i
Ejemplo 3.11
Determinar la corriente
o
i en el circuito de la figura 3.25 empleando el MVN. Considere
que el amplificador operacional es ideal y
V
t
v
s
4
10
cos
4
=
.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
114
Figura 3.25:
Circuito con amplificador operacional ideal.
R:
Representando el circuito en el campo fasorial y asignando el voltaje de nodo
1
V
como
se muestra en la figura 3.26:
V
V
s
0
4
=
s
rad /
10
4
=
-
=
-
=
-
=
-
5
9
4
10
)
10
)(
10
(
1
1
j
j
C
j
Z
C
Figura 3.26:
Circuito en el campo fasorial.
LKC en el nodo 1 y empleo de las propiedades del AOp ideal (las corrientes por los
terminales de entrada son cero).
0
100000
50000
4
1
1
=
-
+
-
j
V
V
(I)
V
j
V
6
,
1
2
,
3
1
-
=
Teniendo en cuenta que los voltajes en los terminales inversor y no inversor son iguales:
A
j
j
V
I
o
5651
,
26
00003577
,
0
000016
,
0
000032
,
0
100000
6
,
1
2
,
3
100000
1
-
=
-
=
-
=
=
A
t
A
t
i
o
)
5651
,
26
10
cos(
77
,
35
)
5651
,
26
10
cos(
00003577
,
0
4
4
-
=
-
=
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
115
MATLAB:
>> V1=solve('(V1-4)/50000+V1/(-100000*i)=0')
V1 =
16/5-8/5*i
>> V1=numeric(V1)
V1 =
3.2000 - 1.6000i
>> Io=V1/100000
Io =
3.2000e-005 -1.6000e-005i
>> magnitudIo=abs(Io)
magnitudIo =
3.5777e-005
>> anguloIo=angle(Io)*180/pi
anguloIo =
-26.5651
· Problemas de consolidación
3-5. Empleando el MVN en el circuito de la figura 3.27, determine y exprese en forma
polar la corriente I .
Figura 3.27:
Circuito sin fuentes ideales de voltaje.
R:
A
I
07
,
28
4
=
3-6. Empleando el MVN en el circuito de la figura 3.28, determine y exprese en forma
polar la corriente I .
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
116
Figura 3.28:
Circuito con fuente de voltaje ideal e independiente conectada al nodo de
referencia.
R:
A
I
48
,
38
465
,
1
=
3-7. En el circuito mostrado en la figura 3.29, empleando el MVN, determine y exprese
en forma polar los voltajes
1
V
,
2
V
.
Figura 3.29:
Circuito con fuente de voltaje ideal e independiente conectada entre dos
nodos, ninguno de los cuales es el nodo de referencia.
R:
V
V
48
,
70
78
,
25
1
-
=
,
V
V
18
,
87
41
,
31
2
-
=
3-8. En el circuito mostrado en la figura 3.30, empleando el MVN, determine y exprese
en forma polar el voltaje
o
V .
Figura 3.30:
Circuito con fuente de corriente dependiente.
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
117
R:
V
V
o
90
55
-
=
3-9. En el circuito con amplificador operacional mostrado en la figura 3.31, empleando
el MVN, determine y exprese en forma polar el voltaje
o
V .
Figura 3.31:
Circuito con amplificador operacional.
R:
V
V
o
04
,
59
029
,
1
=
3.3 Teorema de Superposición
Teorema de Superposición en un circuito sin fuentes dependientes
Ejemplo 3.12
En el circuito mostrado en la figura 3.32, empleando el teorema de superposición,
determine y exprese en forma polar el voltaje
1
V
.
Figura 3.32:
Circuito sin fuentes dependientes.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Dejando activa solamente la fuente de voltaje y aplicando MVN como se ilustra en la
figura 3.33:
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
118
Figura 3.33:
Circuito con la fuente de corriente desactivada.
0
1
5
1
1
1
2
=
-
+
+
-
+
-
j
V
V
j
j
V
a
a
a
Determinando el valor de
a
V :
V
j
V
a
2353
,
3
0588
,
2
-
=
Aplicando división de voltaje:
V
j
j
j
j
j
j
j
j
V
V
a
8824
,
0
4706
,
1
)
1
1
2
1
1
)(
2353
,
3
0588
,
2
(
1
1
2
1
1
'
1
-
=
-
+
-
-
-
=
-
+
-
-
=
Dejando activa solamente la fuente de corriente y aplicando MVN como se ilustra en la
figura 3.34:
Figura 3.34:
Circuito con la fuente de voltaje desactivada.
0
2
1
1
2
=
-
-
+
-
+
-
j
V
V
j
V
b
a
a
(I)
0
1
1
2
=
+
+
-
-
j
V
V
j
V
V
b
b
a
b
(II)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I y II:
V
j
Va
2941
,
1
8235
,
0
-
=
V
j
Va
V
2941
,
1
8235
,
0
''
1
-
=
=
Por tanto:
V
j
j
j
V
V
V
4926
,
43
1623
,
3
1765
.
2
2941
,
2
2941
,
1
8235
,
0
8824
,
0
4706
,
1
''
1
'
1
1
-
=
-
=
-
+
-
=
+
=
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
119
MATLAB:
>> Va=solve('Va/(-2*i+1-i)+Va/1+(Va-5)/i=0')
Va =
35/17 - (55*i)/17
>> Va=35/17 - (55*i)/17
Va =
2.0588 - 3.2353i
>> V1p=Va*(1-1i)/(-2i+1-1i)
V1p =
1.4706 - 0.8824i
>> [V]=solve('-2+Va/(1-1*i)+(Va-Vb)/(-2*i)=0','(Vb-Va)/(-2*i)+Vb/1+Vb/(1*i)=0')
V =
Va: [1x1 sym]
Vb: [1x1 sym]
>> Va=V.Va
Va =
14/17 - (22*i)/17
>> Va=14/17 - (22*i)/17
Va =
0.8235 - 1.2941i
>> V1bp=Va
V1bp =
0.8235 - 1.2941i
>> V1=V1p+V1bp
V1 =
2.2941 - 2.1765i
>> magnitudV1=abs(V1)
magnitudV1 =
3.1623
>> anguloV1=angle(V1)*180/pi
anguloV1 =
-43.4926
Teorema de Superposición en un circuito con fuentes dependientes
Ejemplo 3.13
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
120
En el circuito que se muestra en la figura 3.35, empleando el teorema de superposición,
obtenga y exprese en forma polar el voltaje
x
V .
Figura 3.35:
Circuito con fuentes dependientes.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Dejando activa solamente la fuente de voltaje como se muestra en la figura 3.36 y
aplicando MVN:
Figura 3.36:
Circuito con la fuente de corriente desactivada (la fuente dependiente no
se desactiva).
LKC en el nodo 1:
0
25
,
0
12
2
1
2
2
1
'
1
1
=
-
-
-
+
+
-
+
j
V
V
j
V
V
V
x
(I)
LKC en el nodo x´:
0
2
1
1
2
1
2
'
'
1
'
=
+
-
+
-
+
+
-
j
V
V
j
V
j
V
V
x
x
x
(II)
Fuente ideal de voltaje conectada entre el nodo 2 y el nodo de referencia:
'
2
4
x
I
V
=
(III)
Variable de control en función de los voltajes de nodo:
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
121
2
1
'
1
'
j
V
V
I
x
x
+
-
=
(IV)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I-IV:
V
j
V
x
7082
,
6
2559
,
6
'
+
=
Dejando activa solamente la fuente de corriente como se ilustra en la figura 3.37 y
aplicando MVN:
Figura 3.37:
Circuito con la fuente de voltaje desactivada (la fuente dependiente no se
desactiva).
LKC en el nodo a:
0
25
,
0
2
1
2
60
4
''
=
-
-
+
+
-
+
+
-
j
V
V
j
V
V
V
b
a
x
a
a
(I)
LKC en el nodo x´´:
0
2
1
1
2
1
''
''
''
=
+
-
+
-
+
+
-
j
V
V
j
V
j
V
V
b
x
x
a
x
(II)
Fuente ideal de voltaje conectada entre el nodo b y el nodo de referencia:
''
4
x
b
I
V
=
(III)
Variable de control en función de los voltajes de nodo:
2
1
''
''
j
V
V
I
x
a
x
+
-
=
(IV)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I-IV:
V
j
V
x
2235
,
0
7309
,
0
''
+
=
Por tanto:
V
j
j
j
V
V
V
x
x
x
7770
,
44
8413
,
9
9371
,
6
9859
,
6
2235
,
0
7309
,
0
7082
,
6
2550
,
6
''
'
=
+
=
+
+
+
=
+
=
MATLAB:
>> VI=solve('V1/2+(V1-Vxp)/(1+2*i)+(V1-V2-12)/(-0.25*i)=0','(Vxp-
V1)/(1+2*i)+Vxp/(-i)+(Vxp-V2)/(1+2*i)=0','V2=4*Ixp','Ixp=(V1-
Vxp)/(1+2*i)','V1,V2,Vxp,Ixp')
VI =
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
122
Ixp: [1x1 sym]
V1: [1x1 sym]
V2: [1x1 sym]
Vxp: [1x1 sym]
>> Vxp=VI.Vxp
Vxp =
6.2549575070821529745042492917847+6.7082152974504249291784702549575*i
>> Vxp=numeric(Vxp)
Vxp =
6.2550 + 6.7082i
>> VI=solve('-4*(cos(60*pi/180)+j*sin(60*pi/180))+Va/2+(Va-Vxbp)/(1+2*i)+(Va-
Vb)/(-0.25*i)=0','(Vxbp-Va)/(1+2*i)+Vxbp/(-i)+(Vxbp-
Vb)/(1+2*i)=0','Vb=4*Ixbp','Ixbp=(Va-Vxbp)/(1+2*i)','Va,Vb,Vxbp,Ixbp')
VI =
Ixbp: [1x1 sym]
Va: [1x1 sym]
Vb: [1x1 sym]
Vxbp: [1x1 sym]
>> Vxbp=VI.Vxbp
Vxbp =
.73092164578754497923850348466064+.22350050900886466372438537968436*i
>> Vxbp=numeric(Vxbp)
Vxbp =
0.7309 + 0.2235i
>> Vxp=6.2550 + 6.7082i
Vxp =
6.2550 + 6.7082i
>> Vxbp=0.7309 + 0.2235i
Vxbp =
0.7309 + 0.2235i
>> Vx=Vxp+Vxbp
Vx =
6.9859 + 6.9317i
>> ModuloVx=abs(Vx)
ModuloVx =
9.8413
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
123
>> AnguloVx=angle(Vx)*180/pi
AnguloVx =
44.7770
· Problemas de consolidación
3-10. Empleando el teorema de superposición hallar
)
(t
v
o
en el circuito mostrado en la
figura 3.38. Los valores de las fuentes son:
V
t
t
v
)
13
,
53
4000
cos(
240
)
(
1
+
=
,
V
t
sen
t
v
)
4000
(
96
)
(
2
=
.
Figura 3.38:
Circuito sin fuentes dependientes.
R:
V
t
t
v
o
)
87
,
36
4000
cos(
48
)
(
+
=
3-11. En el circuito de la figura 3.39, empleando el teorema de superposición, hallar
)
(t
v
a
. Considere
s
rad
/
250
=
.
Figura 3.39:
Circuito con fuentes dependientes.
R:
V
t
t
v
a
)
2
,
81
250
cos(
43
,
12
)
(
-
=
3.4 Teorema de Thevenin
Teorema de Thevenin en un circuito formado solamente por impedancias y
fuentes independientes
Ejemplo 3.14
Determine la corriente
C
I , empleando el teorema de Thevenin en el circuito de la figura
3.40. Exprese el resultado en forma polar.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
124
Figura 3.40:
Circuito sin fuentes dependientes.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Se separa el capacitor tal como se muestra en la figura 3.41 y se determina el
equivalente de Thevenin del circuito resultante.
Cálculo del voltaje de Thevenin (
th
V ):
Figura 3.41:
Circuito para el cálculo del voltaje de Thevenin.
+
=
+
+
+
=
5
,
2
5
8
6
10
)
8
6
)(
10
(
j
j
j
Z
equiv
V
j
j
Z
V
equiv
th
5651
,
26
7214
,
44
20
40
)
5
,
2
5
)(
8
(
)
)(
0
8
(
=
+
=
+
=
=
Cálculo de la impedancia de Thevenin (
th
Z ): Se desactiva la fuente de corriente tal
como aparece en la figura 3.42.
Figura 3.42:
Circuito para el cálculo de la impedancia de Thevenin.
+
=
+
+
+
=
5
,
2
5
8
6
10
)
8
6
)(
10
(
j
j
j
Z
th
Se une el capacitor al circuito equivalente de Thevenin según se muestra en la figura
3.43:
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
125
Figura 3.43:
Capacitor conectado al circuito equivalente de Thevenin.
A
j
j
j
Z
Z
V
I
C
th
th
C
1301
,
53
8
4
,
6
8
,
4
5
5
,
2
5
5651
,
26
7214
,
44
=
+
=
-
+
=
+
=
MATLAB:
>> Ic=4.8+j*6.4
Ic =
4.8000 + 6.4000i
>> [anguloIc,magnitudIc]=cart2pol(4.8,6.4)
anguloIc =
0.9273
magnitudIc =
8
>> anguloIc=anguloIc*180/pi
anguloIc =
53.1301
Teorema de Thevenin en un circuito formado por impedancias, fuentes
independientes y fuentes dependientes
Ejemplo 3.15
Hallar el circuito equivalente de Thevenin entre los terminales a y b del circuito de la
figura 3.44.
Figura 3.44:
Circuito con fuentes independientes y fuentes dependientes.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
126
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Cálculo del voltaje de Thevenin (
th
V ) en el circuito de la figura 3.45 con los terminales a
y b en circuito abierto:
Aplicando MVN:
Figura 3.45:
Circuito para determinar
th
V empleando MVN.
LKC en el nodo 1:
0
10
20
45
2
2
1
1
=
-
+
+
-
j
V
V
V
(I)
La fuente
x
I
10 determina el voltaje en el nodo 2:
x
I
V
10
2
=
(II)
Variable de control en función de los voltajes de nodos:
20
1
V
I
x
=
(III)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I - III para determinar el valor de
2
V
:
V
V
90
1421
,
14
2
=
Aplicando división de voltaje:
V
j
j
j
j
j
V
V
th
45
10
)
10
10
10
)(
1421
,
14
(
10
10
10
2
=
-
-
=
-
-
=
Cálculo de la corriente de cortocircuito, para determinar la impedancia de Thevenin
(
th
Z ):
Aplicando MVN en el circuito de la figura 3.46, donde aparecen los terminales a y b en
corto corcuito:
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
127
Figura 3.46:
Circuito para determinar
sc
I empleando MVN.
LKC en el nodo 1:
0
10
20
45
2
2
1
1
=
-
+
+
-
j
V
V
V
(I)
La fuente
x
I
10 determina el voltaje en el nodo 2:
x
I
V
10
2
=
(II)
Variable de control en función de los voltajes de nodos:
20
1
V
I
x
=
(III)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I - III para determinar el valor de
2
V
:
V
V
90
1421
,
14
2
=
A
V
I
sc
90
4142
,
1
10
90
1421
,
14
10
2
=
=
=
-
=
-
=
=
=
5
5
45
0711
,
7
90
4142
,
1
45
10
j
I
V
Z
sc
th
th
El circuito equivalente de Thevenin se muestra en la figura 3.47:
Figura 3.47:
Circuito equivalente de Thevenin.
MATLAB:
>> V=solve('-2*exp(j*45*pi/180)+V1/20+(V1-V2)/(10*i)=0','V2=10*Ix','Ix=V1/20')
V =
Ix: [1x1 sym]
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
128
V1: [1x1 sym]
V2: [1x1 sym]
>> V2=V.V2
V2 =
10*i*2^(1/2)
>> V2=10*i*2^(1/2)
V2 =
0 +14.1421i
>> Vth=V2*(-10i)/(10-10i)
Vth =
7.0711 + 7.0711i
>> moduloVth=abs(Vth)
moduloVth =
10
>> anguloVth=angle(Vth)*180/pi
anguloVth =
45
· Problemas de consolidación
3-12. Aplicando el teorema de Thevenin en el circuito de la figura 3.48, encontrar el
voltaje
o
v . Los valores de la fuentes independientes son:
V
t
v
s
)
45
cos(
10
1
-
=
,
V
t
sen
v
s
)
30
(
5
2
+
=
Figura 3.48:
Circuito sin fuentes dependientes.
R:
V
t
v
o
)
1
,
112
cos(
73
,
15
-
=
3-13. Hallar el circuito equivalente de Thevenin entre los terminales a y b de la figura
3.49.
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
129
Figura 3.49:
Circuito con fuentes dependientes.
R:
V
V
th
15
071
,
7
-
=
,
-
=
13
71
,
66
th
Z
3.5 Teorema de Norton
Teorema de Norton en un circuito formado solamente por impedancias y
fuentes independientes
Ejemplo 3.16
Determine la corriente
C
I , empleando el teorema de Norton en el circuito de la figura
3.50. Exprese el resultado en forma polar.
Figura 3.50:
Circuito sin fuentes dependientes.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Se separa el capacitor y se determina el equivalente de Norton del circuito resultante
como se muestra en la figura 3.51.
Cálculo de la corriente de Norton o corriente de cortocircuito (
sc
I ):
Figura 3.51:
Circuito para el cálculo de la corriente de cortocircuito.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
130
Es evidente que toda la corriente de la fuente circula por el cortocircuito.
A
I
sc
0
8
=
Cálculo de la impedancia de Thevenin (
th
Z ), que es igual a la impedancia de Norton, en
el circuito de la figura 3.52:
Figura 3.52:
Circuito para el cálculo de la impedancia de Thevenin.
+
=
+
+
+
=
5
,
2
5
8
6
10
)
8
6
)(
10
(
j
j
j
Z
th
Se une el capacitor al circuito equivalente de Norton como se muestra en en el circuito
de la figura 3.53:
Figura 3.53:
Capacitor conectado al circuito equivalente de Norton.
Aplicando división de corriente:
A
j
j
j
j
j
j
I
I
sc
C
1301
,
53
8
4
,
6
8
,
4
5
,
2
5
5
,
2
5
8
5
5
,
2
5
5
,
2
5
=
+
=
-
+
=
-
+
+
=
MATLAB:
>> [RealIc,ImagIc]=pol2cart(53.1301*pi/180,8)
RealIc =
4.8000
ImagIc =
6.4000
Teorema de Norton en un circuito formado por impedancias, fuentes
independientes y fuentes dependientes
Ejemplo 3.17
Hallar el circuito equivalente de Norton entre los terminales a y b en el circuito de la
figura 3.54.
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
131
Figura 3.54:
Circuito con fuentes independientes y fuentes dependientes.
R:
El circuito ya está representado en el campo fasorial.
Cálculo de la corriente de Norton o corriente de cortocircuito (
sc
I ) en el circuito de la
figura 3.55:
Aplicando MVN:
Figura 3.55:
Circuito para determinar
sc
I empleando MVN.
Al cortocircuitar los terminales a y b el capacitor queda cortocircuitado.
LKC en el nodo 1:
0
10
20
45
2
2
1
1
=
-
+
+
-
j
V
V
V
(I)
La fuente
x
I
10 determina el voltaje en el nodo 2:
x
I
V
10
2
=
(II)
Variable de control en función de los voltajes de nodos:
20
1
V
I
x
=
(III)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I - III para determinar el valor de
2
V
:
V
V
90
1421
,
14
2
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
132
A
V
I
sc
90
4142
,
1
10
90
1421
,
14
10
2
=
=
=
Cálculo del voltaje de circuito abierto, para determinar la impedancia de Thevenin
(
th
Z ):
Aplicando MVN en el circuito de la figura 3.56:
Figura 3.56:
Circuito para determinar
th
V empleando MVN.
LKC en el nodo 1:
0
10
20
45
2
2
1
1
=
-
+
+
-
j
V
V
V
(I)
La fuente
x
I
10 determina el voltaje en el nodo 2:
x
I
V
10
2
=
(II)
Variable de control en función de los voltajes de nodos:
20
1
V
I
x
=
(III)
Resolviendo el sistema de ecuaciones I - III para determinar el valor de
2
V
:
V
V
90
1421
,
14
2
=
Aplicando división de voltaje:
V
j
j
j
j
j
V
V
th
45
10
)
10
10
10
)(
1421
,
14
(
10
10
10
2
=
-
-
=
-
-
=
Cálculo de la impedancia de Thevenin (
th
Z ), que es igual a la impedancia de Norton:
-
=
-
=
=
=
5
5
45
0711
,
7
90
4142
,
1
45
10
j
I
V
Z
sc
th
th
El circuito equivalente de Norton se muestra en la figura 3.57:
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
133
Figura 3.57:
Circuito equivalente de Norton.
MATLAB:
>> Zth=7.0711*exp(-j*45*pi/180)
Zth =
5.0000 - 5.0000i
· Problemas de consolidación
3-14. Determine la corriente
o
I , empleando el teorema de Norton en el circuito de la
figura 3.58. Exprese el resultado en forma polar.
Figura 3.58:
Circuito sin fuentes dependientes.
R:
A
I
o
48
,
38
465
,
1
=
3-15. Hallar el circuito equivalente de Norton entre los terminales a y b en el circuito de
la figura 3.59.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
134
Figura 3.59:
Circuito con fuentes dependientes.
R:
A
I
sc
2
106
,
0
-
=
,
-
=
13
71
,
66
th
Z
· Problemas de final de capítulo
21. Use el MCM para determinar
)
(t
i
x
en el circuito que se muestra en la figura
3.60.
Figura 3.60:
Circuito sin fuentes de corriente.
R:
A
t
t
i
x
)
9649
,
75
100
cos(
2127
,
1
)
(
-
=
22. Hallar la corriente
o
I usando el MCM. Exprese la corriente en forma polar en el
circuito de la figura 3.61.
Figura 3.61:
Circuito con fuente de corriente independiente en el perímetro del circuito.
R:
A
45
,
65
194
,
1
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
135
23. Hallar la corriente
o
I usando el MCM en el circuito de la figura 3.62. Exprese la
corriente en forma polar.
Figura 3.62:
Circuito con fuente de corriente independiente en la rama común a las
mallas inferiores.
R:
A
101
,
2
971
,
1
-
24. Use el método de las corrientes de mallas (MCM) en el circuito mostrado en la
figura 3.63 para encontrar el voltaje fasorial
RL
V
.
Figura 3.63:
Circuito con fuente de voltaje dependiente.
R:
V
62
,
2
3
,
1
-
25. Use MCM para encontrar el voltaje fasorial
o
V en el circuito de la figura 3.64.
Exprese el voltaje en forma fasorial.
Figura 3.64:
Circuito con fuente de corriente y fuente de voltaje dependiente.
R:
V
90
80
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
136
26. Emplear el MVN en el circuito de la figura 3.65 para determinar la expresión de
o
v si
V
t
v
g
50000
cos
40
=
.
Figura 3.65:
Circuito sin fuentes ideales de voltaje.
R:
V
t
v
o
)
45
50000
cos(
43
,
42
+
=
27. En el circuito mostrado en la figura 3.66, hallar la corriente
I empleando el
MVN.
Figura 3.66:
Circuito con fuente de voltaje ideal e independiente conectada al nodo de
referencia.
R:
A
j
I
11
4
+
-
=
28. En el circuito mostrado en la figura 3.67 se requiere hallar la corriente
o
I
empleando el MVN. Expresar la corriente en forma polar.
Figura 3.67:
Circuito con fuente de voltaje ideal e independiente conectada entre dos
nodos ninguno de los cuales es el nodo de referencia.
R:
A
I
o
3
,
174
35
,
3
=
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
137
29. Determinar en el circuito mostrado en la figura 3.68 las corrientes
1
I
e
2
I
empleando el MVN. Expresar las corrientes en forma polar.
Figura 3.68:
Circuito con fuente de voltaje dependiente.
R:
A
I
8542
,
65
8880
,
1
1
-
=
,
A
I
2900
,
174
7911
,
1
2
-
=
30. En el circuito mostrado en la figura 3.69, considere que el amplificador
operacional es ideal. Empleando el MVN, determine y exprese en forma polar el
voltaje
o
V .
Figura
3.69:
Circuito con amplificado operacional ideal.
R:
V
V
o
79
,
69
174
,
0
-
=
31. En el circuito que se muestra en la figura 3.70, empleando el teorema de
superposición, hallar el voltaje de estado estable
)
(t
v
o
. Los valores de las
fuentes son:
A
t
t
i
s
cos
10
)
(
=
y
V
t
sen
t
v
s
100
)
(
=
.
s
krad
/
50
=
.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
138
Figura 3.70:
Circuito sin fuentes dependientes.
R:
V
t
t
v
o
)
57
,
71
50000
cos(
62
,
31
)
(
-
=
32. Usar el teorema de superposición y hallar la corriente I en el circuito que se
muestra en la figura 3.71. Expresar el resultado en forma polar.
Figura 3.71:
Circuito con fuente dependiente.
R:
A
I
49
,
43
906
,
7
=
33. Aplicando el teorema de Thevenin en el circuito de la figura 3.72, encontrar el
voltaje
o
v . Los valores de las fuentes independientes son:
V
t
sen
v
s
4
16
1
=
,
A
t
i
s
4
cos
2
1
=
.
Figura 3.72:
Circuito sin fuentes dependientes.
R:
V
t
v
o
)
02
,
35
4
cos(
835
,
3
-
=
34.
Determinar el equivalente de Thevenin del circuito de la figura 3.73, entre los
puntos a y b.
Capítulo 3. Métodos generales y teoremas en circuitos de CA
139
Figura 3.73:
Circuito con fuente dependiente.
R:
V
V
th
90
55
-
=
,
-
=
6667
,
0
4
j
Z
th
35.
Determine el equivalente de Norton del circuito de la figura 3.74, entre los
puntos a y b.
Figura 3.74:
Circuito sin fuentes dependientes.
R:
A
I
sc
63
,
41
83
,
0
-
=
,
+
=
25
,
6
5
,
2
j
Z
th
36.
Hallar el equivalente de Norton que se observa entre los puntos a y b en el
circuito de la figura 3.75.
Figura 3.75:
Circuito con fuentes dependientes.
R:
A
I
sc
57
,
116
01118
,
0
-
=
,
+
=
500
500
j
Z
th
140
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente
alterna
Introducción
En este capítulo se aplica el método fasorial para el estudio de la potencia en circuitos
de corriente alterna. La potencia en circuitos de corriente alterna es objeto de atención
debido a que la potencia eléctrica se genera, transmite y distribuye de manera más
económica y eficiente en forma de corriente alterna. Además, todos los dispositivos
eléctricos y electrónicos tienen rangos de potencia que no deben ser excedidos, para
garantizar una operación eficiente de los mismos.
La potencia es una cantidad muy importante en los sistemas eléctricos, electrónicos y de
comunicaciones, debido a que en esos sistemas la transmisión de potencia de un punto a
otro es un elemento principal.
En el capítulo, se definen los conceptos de potencia instantánea, potencia activa y
reactiva instantáneas y a partir de los mismos se definen las potencias de mayor interés
práctico: potencia activa (promedio), potencia aparente, y potencia reactiva. Se
desarrolla el concepto de potencia compleja, como una expresión matemática que
permite sintetizar todas las potencias de interés práctico. Se define el factor de potencia
y se detalla el procedimiento para mejorar el mismo y hacer más eficiente el empleo de
la energía eléctrica.
Se introduce el triángulo de potencias, el cual permite, sin necesidad de memorizar
nuevas fórmulas y aplicando conocimientos de geometría y trigonometría, establecer
numerosas relaciones entre las potencias y el factor de potencia. Por su importancia se
dedica una parte del capítulo a los tópicos relacionados con el balance de potencia y la
máxima transferencia de potencia.
4.1 Potencia instantánea
En circuitos de corriente directa, la potencia
)
(W
P
entregada a un resistor, es una
magnitud constante, es el producto del voltaje constante
)
(V
V
R
a través del resistor y la
corriente constante
)
(A
I
R
que circula por el mismo. En circuitos de corriente alterna, la
potencia entregada a cualquier elemento en función del tiempo
)
(W
p
, viene dada por
el producto del voltaje instantáneo
)
(V
v
a través del elemento y la corriente instantánea
)
( A
i
por el elemento. Asumiendo la convención pasiva de los signos:
W
vi
p
=
Considerando que el voltaje y la corriente en los terminales de una red lineal pasiva, son
sinusoidales:
V
t
V
v
v
m
)
cos(
+
=
A
t
I
i
i
m
)
cos(
+
=
La potencia instantánea (potencia absorbida por la red en un instante específico de
tiempo) se obtendrá mediante:
W
t
I
t
V
vi
p
i
m
v
m
)
cos(
)
cos(
+
+
=
=
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
141
Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica:
[
]
)
cos(
)
cos(
2
1
cos
cos
B
A
B
A
B
A
+
+
-
=
W
t
I
V
I
V
p
i
v
m
m
i
v
m
m
)
2
cos(
2
1
)
cos(
2
1
+
+
+
-
=
Como
i
v
-
=
y considerando
0
=
v
, la expresión de
p
queda como:
W
t
I
V
I
V
p
m
m
m
m
)
2
cos(
2
cos
2
-
+
=
Se observa que la potencia instantánea tiene dos términos de características diferentes.
El primer sumando no depende del tiempo (es constante), mientras que el segundo
sumando es dependiente del tiempo y tiene una frecuencia angular dos veces mayor
(
2 ) que la frecuencia angular del voltaje o la corriente (
).
Ejemplo 4.1
Graficar empleando MATLAB, el voltaje, la corriente y la potencia instantánea
suministrada a un circuito lineal pasivo.
V
t
v
v
)
cos(
2
+
=
,
A
t
i
i
)
cos(
3
+
=
,
s
rad /
2
=
. a)
0
=
v
,
0
=
i
; b)
0
=
v
,
45
-
=
i
; c)
0
=
v
,
90
-
=
i
.
El archivo para graficar estas señales se muestra en la figura 4.1
Figura 4.1:
Archivo .m para graficar
)
(t
v
,
)
(t
i
y
)
(t
p
.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
142
Los gráficos obtenidos en MATLAB se muestran en la figura 4.2.
Figura 4.2:
Voltaje, corriente y potencia instantánea suministrada a un circuito lineal
pasivo, para diferentes valores de
.
De los gráficos anteriores se observa que
)
(
t
p
es periódica,
)
(
)
(
p
T
t
p
t
p
+
=
, siendo
2
T
T
p
= , donde
T
es el período de las señales de voltaje y corriente.
La potencia instantánea es cero en aquellos instantes en que
)
(t
v
o
)
(t
i
son nulos.
Cuando el circuito es resistivo puro (
0
=
),
)
(t
p
es en todo momento positiva
(excepto en los instantes de tiempo donde momentáneamente es cero), lo que significa
que en todo instante el circuito absorbe potencia (la potencia entregada al circuito
resistivo puro será disipada en forma de calor).
Cuando el circuito es resistivo-inductivo (
90
0
) o resistivo-capacitivo
(
0
90
-
), durante una parte del ciclo
)
(t
p
es positiva, el circuito absorbe
potencia y durante la otra parte del ciclo
)
(t
p
es negativa, la potencia es transferida del
circuito a la fuente. Las áreas de la gráfica de
)
(t
p
, por encima y por debajo del eje de
abscisas son diferentes, variando de acuerdo al valor de
. Esto es posible debido a la
presencia de elementos almacenadores de energía (inductores y capacitores) en el
circuito.
Cuando el circuito es puramente reactivo, inductivo o capacitivo (
90
±
=
), durante un
cuarto de ciclo de la señal de voltaje o de corriente, el circuito absorbe potencia y
durante el siguiente cuarto de ciclo la potencia es transferida del circuito a la fuente. Las
áreas de la gráfica de
)
(t
p
, por encima y por debajo del eje de abscisas son iguales.
Para cualquier valor de
, el área neta de la gráfica de
)
(t
p
durante un ciclo es positiva
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
143
o cero (la red lineal pasiva no puede devolver en un ciclo, más energía, que la que
recibe de la fuente en dicho ciclo).
De los gráficos anteriores se observa que la potencia instantánea
)
(
t
p
, como se señaló
anteriormente, tiene una componente que es independiente del tiempo y otra sinusoidal
de doble frecuencia con respecto a la de
)
(
t
v
o
)
(
t
i
.
En función de los valores eficaces (
rms
m
V
V
2
=
e
rms
m
I
I
2
=
), la expresión de la
potencia instantánea se transforma en:
)
2
cos(
cos
-
+
=
t
I
V
I
V
p
rms
rms
rms
rms
Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica:
senAsenB
B
A
B
A
+
=
-
cos
cos
)
cos(
t
sen
sen
I
V
t
I
V
I
V
p
rms
rms
rms
rms
rms
rms
2
2
cos
cos
cos
+
+
=
Agrupando convenientemente queda:
t
sen
sen
I
V
t
I
V
p
rms
rms
rms
rms
2
)
2
cos
1
(
cos
+
+
=
En la expresión de
p
se identifican 2 componentes:
1. El término
)
2
cos
1
(
cos
t
I
V
rms
rms
+
es siempre mayor o igual que cero, se
corresponde con la componente de la potencia instantánea
p
que es disipada en
el dipolo. Su amplitud
cos
rms
rms
I
V
es máxima cuando
0
=
(red puramente
resistiva) y es nula cuando
90
±
=
(dipolo puramente reactivo). Recibe el
nombre de potencia activa instantánea ya que es la que actúa realizando un
trabajo, transformándose en otras formas de energía (calor, luz, etc.).
2. El término
t
sen
sen
I
V
rms
rms
2 oscila tomando valores alternativamente
positivos y negativos, se corresponde con la componente de la potencia
instantánea que oscila entre la fuente y los campos eléctricos y magnéticos de
los elementos almacenadores de energía del dipolo. Su amplitud
sen
rms
rms
I
V
es máxima cuando
°
±
= 90
y es nula cuando
°
= 0
. Recibe
el nombre de potencia reactiva instantánea ya que está asociada con el
almacenamiento de energía en los elementos reactivos.
La interpretación de que la potencia instantánea
)
(
t
p
está formada por dos
componentes, la potencia activa instantánea y la potencia reactiva instantánea,
conduce a la definición de las magnitudes fundamentales para la potencia en corriente
alterna: potencia activa
P
, potencia aparente S , potencia reactiva
Q
.
Ejemplo 4.2
Se aplica un voltaje
V
t
v
cos
140
=
a una impedancia
-
=
60
5
Z
. Calcular
)
(t
p
.
R:
V
V
0
140
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
144
A
Z
V
I
60
28
60
5
0
140
=
-
=
=
A
t
i
)
60
cos(
28
+
=
60
60
0
-
=
-
=
-
=
i
v
))
60
(
2
cos(
2
)
28
(
140
)
60
cos(
2
)
28
(
140
)
2
cos(
2
cos
2
)
(
-
-
+
-
=
-
+
=
t
t
I
V
I
V
t
p
m
m
m
m
W
t
)
60
2
cos(
1960
980
+
+
=
La potencia instantánea tiene una componente constante de
W
980
y una componente
sinusoidal con una frecuencia angular dos veces mayor que la del voltaje de
alimentación.
MATLAB:
>> t=0:0.001:1;
>> vt=140*cos(2*pi*t);
>> it=28*cos(2*pi*t+60*pi/180);
>> pt=vt.*it;
>> pconstante=980*ones(size(t));
>> psinusoidal=1960*cos(2*2*pi*t+60*pi/180);
>> plot(t,vt,'-',t,it,':',t,pt,'-.', t,pconstante,'o',t,psinusoidal,'.')
>> xlabel('t (s)')
>> ylabel('vt (V), it (A), pt, pconstante, psinusoidal (W)')
>> title('Voltaje, corriente y potencia (\alpha_v - \alpha_i = -60^0)')
>> grid
>> legend('vt','it','pt','pconstante','psinusoidal')
El gráfico obtenido por MATLAB se muestra en la figura 4.3.
Figura 4.3:
Voltaje, corriente, potencia instantánea y sus componentes constante y
sinusoidal de doble frecuencia.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
145
Ejemplo 4.3
El voltaje aplicado a una red lineal pasiva y la corriente que circula por la misma, están
dados por:
V
t
v
)
45
377
cos(
120
+
=
e
A
t
i
)
10
377
cos(
10
-
=
. Determinar la potencia
instantánea
)
(
t
p
absorbida por la red.
R:
s
rad
i
v
/
377
;
10
;
45
=
-
=
=
)
2
cos(
2
1
)
cos(
2
1
i
v
m
m
i
v
m
m
t
I
V
I
V
p
+
+
+
-
=
)
35
754
cos(
600
)
55
cos(
600
))
10
(
45
754
cos(
)
10
)(
120
(
2
1
))
10
(
45
cos(
)
10
)(
120
(
2
1
+
+
=
-
+
+
+
-
-
=
t
t
p
W
t
p
)
35
754
cos(
600
1459
,
344
+
+
=
MATLAB:
>> syms Vm Im zitav zitai w t
>> Vm=120;Im=10;zitav=45;zitai=-10;w=377;
>> p=1/2*Vm*Im*cos((zitav-
zitai)*pi/180)+1/2*Vm*Im*cos(2*w*t+(zitav+zitai)*pi/180)
p =
6054278027388441/17592186044416+600*cos(754*t+7/36*pi)
>> 6054278027388441/17592186044416
ans =
344.1459
>> 7/36*pi*180/pi
ans =
35
· Problemas de consolidación
4-1. A un inductor puro con inductancia
L
, se le aplica un voltaje
V
t
V
v
m
)
cos(
=
.
Determinar la potencia instantánea
)
(
t
p
absorbida por el inductor.
R:
)
2
(
2
t
sen
I
V
m
m
4-2. Determinar la potencia instantánea
)
(
t
p
absorbida por una red lineal pasiva si el
voltaje aplicado es
V
t
t
v
)
20
10
cos(
80
)
(
+
=
y la corriente que circula por la misma
está dada por
A
t
sen
t
i
)
60
10
(
15
)
(
+
=
.
R:
W
t
p
)
10
20
cos(
600
7
,
385
-
+
=
4.2 Potencia activa
El valor medio en un período de la potencia activa instantánea es la potencia activa
(potencia promedio o potencia real), se simboliza por
P
y su expresión es:
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
146
dt
t
I
V
T
dt
I
V
T
P
rms
T
rms
rms
T
rms
2
cos
cos
1
cos
1
0
0
+
=
La integral en un período (número entero de períodos) de las funciones seno o coseno es
igual a cero, por lo tanto el término que contiene
t
2
cos
es igual a cero, por lo que:
cos
rms
rms
I
V
P
=
(Potencia activa consumida por un dipolo lineal pasivo).
La potencia activa se expresa en watts (W ). Es proporcional a la energía que se disipa
en forma de calor u otras formas de energía disipativa.
La potencia activa (
P
) consumida por un dipolo pasivo nunca puede ser negativa, ya
que eso implicaría que el dipolo genere energía lo cual es imposible si es pasivo. De
aquí se deriva que el coseno de
no puede ser negativo, lo que ratifica la condición de
que el argumento de la impedancia de carga no puede ser mayor que
90
ni menor que
90
-
(
90
).
0
=
R
Z
=
Circuito resistivo puro.
P
Es máxima positiva.
90
0
jX
R
Z
±
=
Circuito resistivo - reactivo.
P
Es positiva siempre.
90
±
=
jX
Z
±
=
Circuito reactivo puro.
P
Es cero.
Lo anterior implica que la potencia activa es nula (
0
=
P
) en el inductor ideal y en el
capacitor ideal (la potencia instantánea
p
como se señaló anteriormente, puede tomar
valores positivos o negativos en algunos instantes de tiempo). Solamente existirá
P
en
el resistor, pudiéndose calcular como:
W
R
I
R
V
I
V
I
V
I
V
P
rms
rms
rms
rms
rms
rms
rms
rms
2
2
0
cos
cos
=
=
=
=
=
Donde el voltaje es el existente en los terminales del resistor y la corriente es la que
circula por el mismo.
La potencia activa (promedio) al ser una magnitud que no depende del tiempo, es más
fácil de medir que la potencia instantánea. Los instrumentos denominados wattímetros
miden la potencia activa (promedio) y en este libro serán considerados instrumentos
ideales (sin pérdidas).
Ejemplo 4.4
El voltaje y la corriente en los terminales de una red lineal pasiva, están dados por:
V
t
v
)
45
377
cos(
120
+
=
e
A
t
i
)
10
377
cos(
10
-
=
. Calcular la potencia activa
(promedio o real) absorbida por dicha red.
R:
2
120
2
=
=
m
rms
V
V
2
10
2
=
=
m
rms
I
I
55
)
10
(
45
=
-
-
=
-
=
i
v
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
147
W
I
V
P
rms
rms
1459
,
344
55
cos
2
10
2
120
cos
=
=
=
MATLAB:
>> Vrms=120/sqrt(2); Irms=10/sqrt(2); fi=55;
>> P=Vrms*Irms*cos(fi*pi/180)
P =
344.1459
Ejemplo 4.5
El voltaje y la corriente en los terminales de una red lineal pasiva, están dados por:
V
t
v
cos
140
=
e
A
t
i
)
60
cos(
28
+
=
. Calcular la potencia activa (promedio o real)
absorbida por dicha red.
R:
2
140
2
=
=
m
rms
V
V
2
28
2
=
=
m
rms
I
I
60
60
0
-
=
-
=
-
=
i
v
W
I
V
P
rms
rms
980
)
60
cos(
2
28
2
140
cos
=
-
=
=
MATLAB:
>> fi=-90:0.01:90;
>> P=140/sqrt(2)*28/sqrt(2)*cos(fi*pi/180);
>> plot(fi,P)
>> xlabel('\theta_v - \theta_i')
>> ylabel('P (W)')
>> title('Variacion de P con \theta_v - \theta_i')
>> grid
El gráfico de la variación de la potencia activa consumida por una red lineal pasiva,
obtenido en el MATLAB se muestra en la figura 4.4.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
148
Figura 4.4:
Variación de la potencia activa consumida por una red lineal pasiva con el
ángulo
i
v
-
=
(
V
V
rms
2
140
=
,
A
I
rms
2
28
=
).
· Problemas de consolidación
4-3. Calcule la potencia activa absorbida por una impedancia
-
=
70
30
j
Z
cuando a
sus terminales se le aplica un voltaje
V
0
120
.
R:
W
24
,
37
4-4. En el circuito mostrado, calcular la potencia activa (promedio) suministrada por la
fuente.
Figura 4.5:
Circuito resistivo capacitivo.
R:
W
5
,
2
4.3 Potencia aparente
Se simboliza por S y se define como:
rms
rms
I
V
S
=
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
149
Aunque dimensionalmente, tiene unidad de potencia (W ), se acostumbra expresar la
potencia aparente S en voltampere (VA ) para diferenciarla de la potencia activa
(
P
), ya que físicamente tienen significados diferentes.
Los equipos eléctricos (generadores, motores, transformadores, etc.) se diseñan para
operar bajo determinados valores de voltaje y corriente que no pueden ser sobrepasados,
pues se causarían daños al equipo. Por ejemplo, el aislamiento de los enrollados de los
generadores y transformadores se calcula para un voltaje máximo dado y la magnitud
máxima de la corriente determina el calentamiento permisible de los enrollados. Por
tanto, cada equipo posee una potencia aparente S máxima permisible establecida por el
fabricante.
En la figura 4.6 se representa un generador de CA, para el cual el voltaje y la corriente
permisibles son
V
100
y
A
10
respectivamente.
Figura 4.6:
Generador de corriente alterna con
VA
S
1000
=
.
En la figura a) dicho generador entrega a la carga una potencia de
W
1000
y
VA
S
1000
=
. En el circuito de la figura b) la potencia
P
entregada por el generador es
nula, por lo que podría pensarse que el voltaje y la corriente pudieran aumentar
ilimitadamente. No obstante, esto no es así ya que S sigue siendo
VA
1000
, que es la
máxima permisible según los requerimientos del diseño.
La potencia aparente S es igual al valor máximo de la potencia activa (real)
P
que
puede obtenerse para un voltaje y una corriente dados. Para una potencia aparente
determinada, la magnitud de
P
depende de la naturaleza de la carga. Si la carga es
puramente resistiva,
P
es máxima. Si la carga es puramente reactiva, la potencia activa
P
es nula.
Ejemplo 4.6
Por una carga circula una corriente
A
t
i
)
10
100
cos(
4
+
=
, cuando se le aplica un
voltaje
V
t
v
)
20
100
cos(
120
-
=
. Determinar la potencia aparente consumida por la
carga.
R:
2
120
2
=
=
m
rms
V
V
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
150
2
4
2
=
=
m
rms
I
I
VA
I
V
S
rms
rms
240
2
4
2
120
=
=
=
MATLAB:
>> S=abs((120/sqrt(2))*(4/sqrt(2)))
S =
240.0000
>> format short e
>> S
S =
2.4000e+002
Ejemplo 4.7
Encuentre la potencia aparente entregada por la fuente en el circuito de la figura 4.7.
Figura 4.7:
Fuente de voltaje alimentando un circuito mixto.
R:
Expresando el voltaje de la fuente en forma fasorial:
V
V
s
0
100
=
Hallando las impedancias de los elementos reactivos:
=
=
=
-
1593
,
314
)
10
)(
50
)(
10
2
(
3
3
j
j
L
j
Z
L
-
=
=
=
-
63
,
338
)
10
)(
47
,
0
)(
10
2
(
1
1
6
3
j
j
C
j
Z
C
Dibujando el circuito mostrado en la figura 4.8 en el campo fasorial:
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
151
Figura 4.8:
Circuito equivalente en el campo de la frecuencia.
-
=
-
=
+
+
-
=
+
+
=
8766
,
52
3086
,
257
16
,
205
29
,
155
1593
,
314
270
)
1593
,
314
)(
270
(
63
,
338
j
j
j
j
Z
R
RZ
Z
Z
L
L
C
T
La corriente que entrega la fuente se obtiene mediante:
A
Z
V
I
T
s
8766
,
52
3886
,
0
8766
,
52
3086
,
257
0
100
=
-
=
=
El ángulo de fase de la corriente indica que esta adelanta al voltaje de la fuente, el
circuito se comporta capacitivamente.
La potencia aparente entregada por la fuente se obtiene como:
VA
I
V
S
rms
rms
4300
,
19
2
3886
,
0
2
100
=
=
=
MATLAB:
>> S=100/sqrt(2)*0.3886/sqrt(2)
S =
19.43000000000000
>> round(S)
ans =
19
· Problemas de consolidación
4-5. Encontrar la potencia aparente en el circuito mostrado en la figura 4.9.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
152
Figura 4.9:
Circuito RLC paralelo.
R:
VA
3081
4-6. Un circuito pasivo tiene una impedancia equivalente
+
=
4
3
j
Z
. El voltaje
aplicado al mismo es
V
t
t
v
)
30
1000
cos(
5
,
42
)
(
+
=
. Hallar la potencia aparente
consumida por el circuito.
R:
VA
6
,
180
4.4 Factor de potencia
Se denomina factor de potencia (
fp
)
a la relación entre
P
y S en un dipolo pasivo.
S
P
fp
=
(Adimensional).
El factor de potencia (
fp
) determina de manera precisa, qué parte de la potencia
aparente ( S ) se convierte o utiliza en forma de potencia activa (
P
).
)
cos(
cos
cos
i
v
rms
rms
rms
rms
I
V
I
V
S
P
fp
-
=
=
=
=
Al ángulo
se le denomina ángulo de factor de potencia, ya que es el ángulo cuyo
coseno es el factor de potencia
fp
. El ángulo de factor de potencia es igual al ángulo de
la impedancia de carga si el voltaje fasorial V es el voltaje a través de la carga y la
corriente fasorial
I
es la corriente que circula por la misma.
Si:
0
=
1
=
fp
S
P
= (Circuito resistivo puro).
90
±
=
0
=
fp
0
=
P
(Circuito reactivo puro).
90
0
1
0
fp
0
P
(Circuito resistivo - reactivo).
El
fp
siempre es positivo con independencia del signo de
, el cual puede ser positivo
o negativo. Para diferenciarlo cuando
0
, se denomina factor de potencia inductivo
y cuando
0
, se denomina factor de potencia capacitivo. En la práctica, se
acostumbra denominar al primero como factor de potencia en atraso, ya que la corriente
atrasa al voltaje. El segundo se denomina factor de potencia en adelanto ya que la
corriente adelanta al voltaje.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
153
Para la utilización más eficiente de la energía eléctrica, el
fp
debe ser lo mayor posible,
es decir, lo más cercano posible a 1. Por ejemplo, para una carga de
kW
10
, la fuente
debe suministrar
kVA
20
si el
5
,
0
=
fp
y solo
kVA
10
si el
1
=
fp
.
Un
fp
alto disminuye las pérdidas en las líneas de transmisión. Si en la expresión de la
potencia activa, se despeja
rms
I
, se tiene:
cos
rms
rms
I
V
P
=
fp
V
P
V
P
I
rms
rms
rms
=
=
cos
Se observa que para trasmitir a una carga que opera a un voltaje
rms
V
una potencia
P
,
el valor de
rms
I
será menor mientras mayor sea
fp
. Esto implica que las pérdidas por
efecto Joule Lenz (
R
I
rms
2
) en las líneas de transmisión, disminuyan mientras mayor
sea el
fp
, lo cual aumenta la eficiencia del sistema.
Para mejorar el
fp
, es decir, hacerlo lo más cercano posible a la unidad, se utiliza el
siguiente procedimiento que se ilustra en la figura 4.10:
Figura 4.10:
Método para mejorar el factor de potencia.
En la figura a) se muestra un circuito muy simplificado donde aparece una carga
Z
con
un ángulo de impedancia
1
, que opera a un voltaje
rms
V y corriente
rms
I
1
. Dicha carga
se supone inductiva ya que la mayoría de las cargas industriales son resistivas -
inductivas. Si se conecta en paralelo un capacitor, como se muestra en la figura b), no se
alteran las condiciones de funcionamiento de la carga
Z
(
rms
V ,
rms
I
1
y
P
no varían).
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
154
Ahora, como consecuencia de la presencia del capacitor en paralelo con la carga, la
nueva corriente
rms
I
que entrega la fuente es modularmente menor, también es menor el
nuevo ángulo de impedancia
2
de la carga resultante. Como
1
2
,
1
2
cos
cos
,
1
2
fp
fp
, o sea, se ha logrado mejorar el
fp
. Escogiéndose adecuadamente el valor del
capacitor (
C
X ), puede lograrse el
fp
deseado.
Ejemplo 4.8
Por una carga circula una corriente
A
t
i
)
10
100
cos(
4
+
=
, cuando se le aplica un
voltaje
V
t
v
)
20
100
cos(
120
-
=
. Determinar el factor de potencia de la carga.
R:
866
,
0
)
30
cos(
)
10
20
cos(
)
cos(
=
-
=
-
-
=
-
=
i
v
fp
(En adelanto o capacitivo)
MATLAB:
>> zitav=-20*pi/180;
>> zitai=10*pi/180;
>> fi=zitav-zitai;
>> fp=cos(fi)
fp =
0.8660
Ejemplo 4.9
En el circuito de la figura 4.11 que se muestra, determinar el factor de potencia con que
opera la fuente.
Figura 4.11:
Fuente de voltaje alimentando un circuito mixto.
R:
-
=
-
=
-
-
+
=
2405
,
13
9857
,
6
6
,
1
8
,
6
2
4
)
2
)(
4
(
6
j
j
j
Z
T
9734
,
0
)
2405
,
13
cos(
=
-
=
fp
capacitivo
MATLAB:
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
155
>> ZT=6+(4*-2i)/(4-2i)
ZT =
6.8000 - 1.6000i
>> moduloZT=abs(ZT)
moduloZT =
6.9857
>> fi=angle(ZT)*180/pi
fi =
-13.2405
>> fp=cos(fi*pi/180)
fp =
0.9734
· Problemas de consolidación
4-7. En la red que se muestra, determinar el factor de potencia con que opera la fuente.
Figura 4.12:
Circuito RLC serie.
R:
6
,
0
capacitivo
4-8. Un voltaje sinusoidal de valor eficaz
V
10
se aplica a una impedancia
Z
. Calcular
el factor de potencia
fp
si: a)
+
=
1
1
j
Z
; b)
-
=
1
1
j
Z
; c)
+
=
)
1
1
(
j
Z
en
paralelo con
- 1
1
j
.
R:
a)
707
,
0
inductivo; b)
707
,
0
capacitivo ; c) 1
4.5 Potencia reactiva o reactivo
En la expresión de
)
(
t
p
se mencionó la existencia de la potencia reactiva instantánea
t
sen
sen
I
V
rms
rms
2 , que es la que oscila entre la fuente y el dipolo. El valor máximo
de esta componente (
sen
I
V
rms
rms
) se designa por
Q
, siendo esta la potencia reactiva
o reactivo:
X
V
X
I
sen
I
V
Q
rms
rms
rms
rms
2
2
=
=
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
156
Donde el voltaje es el existente en los terminales del elemento reactivo y la corriente es
la que circula por el mismo.
Aunque dimensionalmente su unidad es el watt para diferenciarla de
P
y S se mide en
voltampere reactivo
(VAR ). Esta potencia es el índice de la energía, que está
oscilando entre la fuente y los campos eléctricos y magnéticos de los capacitores e
inductores.
Para un elemento inductivo puro, la expresión anterior queda:
=
=
=
=
2
max
2
2
1
90
L
rms
L
rms
L
rms
L
rms
L
rms
L
LI
I
L
I
V
sen
I
V
Q
Observándose que la potencia reactiva consumida por un inductor puro, es proporcional
a la energía máxima almacenada en dicho elemento.
En el caso de un capacitor puro, un análisis similar daría como resultado:
-
=
2
max
2
1
C
CV
Q
Al igual que en el caso del inductor puro, se observa que la potencia reactiva consumida
por un capacitor puro, es proporcional a la energía máxima almacenada en dicho
elemento.
La potencia reactiva
Q
puede ser positiva o negativa en dependencia del signo de
.
Si:
0
0
Q
(El reactivo es inductivo).
0
0
Q
(El reactivo es capacitivo).
0
=
0
=
Q
(El circuito es resistivo puro y el reactivo es nulo).
Ejemplo 4.10
Por una carga circula una corriente
A
t
i
)
50
cos(
5
,
1
+
=
, cuando se le aplica un voltaje
V
t
v
)
10
cos(
60
-
=
. Determinar la potencia reactiva (
Q
) consumida por la carga.
R:
2
60
2
=
=
m
rms
V
V
2
5
,
1
2
=
=
m
rms
I
I
i
v
-
=
VAR
sen
sen
sen
I
V
Q
i
v
rms
rms
9711
,
38
)
60
(
2
5
,
1
2
60
)
50
10
(
2
5
,
1
2
60
)
(
-
=
-
=
-
-
=
-
=
El signo menos en el resultado indica que el reactivo tiene un carácter capacitivo.
MATLAB:
format short
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
157
Q=60/sqrt(2)*1.5/sqrt(2)*sin(-60*pi/180)
Q =
-38.9711
format hex
Q=60/sqrt(2)*1.5/sqrt(2)*sin(-60*pi/180)
Q =
c0437c4e6b5e15e6
Ejemplo 4.11
En el circuito mostrado en la figura 4.13, calcular la potencia reactiva entregada por la
fuente.
Figura 4.13:
Circuito RL serie.
R:
A
j
j
I
87
,
36
5
3
4
30
40
0
250
-
=
-
=
+
=
VAR
sen
sen
sen
I
V
Q
i
v
rms
rms
750
)
87
,
36
(
)
5
)(
250
(
))
87
,
36
(
0
(
)
5
)(
250
(
)
(
=
=
-
-
=
-
=
La potencia reactiva entregada por la fuente es positiva debido a que la reactancia de la
carga es inductiva.
MATLAB:
V=250*(exp(j*0*pi/180))
V =
250
moduloV=abs(V)
moduloV =
250
ZitaV=angle(V)
ZitaV =
0
I=V/(40+30i)
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
158
I =
4.0000 - 3.0000i
moduloI=abs(I)
moduloI =
5
ZitaI=angle(I)
ZitaI =
-0.6435
Q=moduloV*moduloI*sin(ZitaV-ZitaI)
Q =
750
· Problemas de consolidación
4.9 Una red pasiva tiene una impedancia equivalente
+
=
4
3
j
Z
y un voltaje aplicado
V
t
v
)
30
1000
cos(
5
,
42
+
=
. Calcular la potencia reactiva consumida por la red.
R:
VAR
5
,
144
inductivo
4.10 En la red mostrada en la figura, determinar la potencia reactiva entregada por la
fuente.
Figura 4.14:
Circuito RLC serie.
R:
VAR
576
inductivo
4.6 Triángulo de potencias
En un triángulo rectángulo, similar al triangulo de impedancias, se pueden representar
todas las potencias estudiadas, tal como se muestra en la figura 4.15.
El triángulo de potencias de la figura 4.15, corresponde a un circuito
predominantemente inductivo (la carga tiene un factor de potencia en atraso). En el caso
de un circuito predominantemente capacitivo,
y
Q
son negativos, desarrollándose el
triángulo en el semiplano inferior.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
159
Figura 4.15:
Triángulo de potencias.
El triángulo de potencias permite, sin necesidad de memorizar nuevas fórmulas y
aplicando conocimientos de geometría y trigonometría, establecer numerosas relaciones
entre las potencias y el factor de potencia (
fp
). En el triángulo de potencias se observan
cuatro elementos: la potencia activa
P
, la potencia aparente S , la potencia reactiva
Q
y el ángulo de factor de potencia
. Si se conocen dos de estos elementos, los dos
restantes pueden ser hallados sin dificultad.
Por ejemplo:
2
2
Q
P
S
+
=
;
cos
S
P
=
;
sen
S
Q
=
;
P
Q
=
tan
Ejemplo 4.12
Por una carga circula una corriente
A
t
i
)
50
cos(
5
,
1
+
=
, cuando se le aplica un voltaje
V
t
v
)
10
cos(
60
-
=
. Determinar los lados del triángulo de potencia de la carga y el
ángulo
.
R:
2
60
2
=
=
m
rms
V
V
2
5
,
1
2
=
=
m
rms
I
I
60
50
10
-
=
-
-
=
-
=
i
v
W
I
V
P
rms
rms
5
,
22
)
60
cos(
2
5
,
1
2
60
cos
=
-
=
=
VAR
sen
sen
I
V
Q
rms
rms
9711
,
38
)
60
(
2
5
,
1
2
60
-
=
-
=
=
VA
I
V
S
rms
rms
45
2
5
,
1
2
60
=
=
=
MATLAB:
x=[0 22.5 22.5 0];y=[0 0 -38.9711 0];
fill(x,y,'c')
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
160
El grafico obtenido por MATLAB se muestra en la figura 4.16.
Figura 4.16:
Triángulo de potencia.
Ejemplo 4.13
Encontrar los elementos del triángulo de potencia de un circuito cuya impedancia es
+
=
4
3
j
Z
y al que se aplica un voltaje eficaz de
V
30
100
.
R:
A
j
Z
V
I
1
,
23
20
1
,
53
5
30
100
4
3
30
100
-
=
=
+
=
=
W
I
R
P
1200
)
20
)(
3
(
2
2
=
=
=
VAR
I
X
Q
1600
)
20
)(
4
(
2
2
=
=
=
VA
I
Z
S
2000
)
20
)(
5
(
2
2
=
=
=
1
,
53
)
1
,
23
(
30
=
-
-
=
-
=
i
v
MATLAB:
x=[0 1200 1200 0];y=[0 0 1600 0];
fill(x,y,'m')
El grafico obtenido por MATLAB se muestra en la figura 4.17.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
161
Figura 4.17:
Triángulo de potencia.
· Problemas de consolidación
4.11 Determinar los elementos del triángulo de potencia del circuito mostrado en la
figura.
Figura 4.18:
Circuito RLC serie.
R:
W
P 300
=
;
VAR
Q 400
=
(Inductivo);
VA
S
500
=
;
1
,
53
=
4.12 Una carga eléctrica trabaja a
rms
V
240
. La carga consume una potencia activa de
kW
8
a un factor de potencia en atraso de
8
,
0
. Determinar las magnitudes del
triángulo de potencia de la carga.
R:
W
P 8000
=
;
VAR
Q 6000
=
(Inductivo);
VA
S
10000
=
;
87
,
36
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
162
4.7 Potencia compleja
La potencia compleja es una expresión matemática que sintetiza todas las relaciones
anteriormente halladas. Se simboliza por S y se define como:
*
rms
rms
I
V
S
=
Considerando que:
v
rms
rms
V
V
=
e
i
rms
rms
I
I
=
i
rms
rms
I
I
-
=
*
Entonces:
=
+
=
=
-
=
=
S
jQ
P
I
V
I
V
I
V
S
rms
rms
i
v
rms
rms
rms
rms
*
La potencia compleja se puede representar gráficamente como se muestra en la figura
4.19.
Es importante recalcar que se trata de una cantidad abstracta, la cual es posible definir
de otra forma, como por ejemplo,
rms
rms
I
V
S
*
=
, mientras se refleje el fenómeno físico.
Se prefiere mantener la definición original, ya que es consecuente con la definición de
que
Q
es mayor que cero, cuando
es mayor que cero.
Figura 4.19:
Potencia compleja ( S ).
Ejemplo 4.14
Cuando a una carga se le aplica un voltaje
V
t
v
)
10
cos(
60
-
=
, la corriente que
circula por la misma es
A
t
i
)
50
cos(
5
,
1
+
=
. Determinar la potencia compleja
entregada a la carga.
R:
10
2
60
2
-
=
=
v
m
rms
V
V
50
2
5
,
1
2
=
=
i
m
rms
I
I
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
163
50
2
5
,
1
*
-
=
rms
I
VA
j
I
V
S
rms
rms
9711
,
38
5
,
22
60
45
50
2
5
,
1
10
2
60
*
-
=
-
=
-
-
=
=
MATLAB:
V=60/sqrt(2)*exp(j*(-10*pi/180))
V =
41.7819 - 7.3673i
I=1.5/sqrt(2)*exp(j*(50*pi/180))
I =
0.6818 + 0.8125i
Iconjugado=conj(I)
Iconjugado =
0.6818 - 0.8125i
S=V*Iconjugado
S =
22.5000 -38.9711i
Ejemplo 4.15
Una carga consume
kVA
12
a un factor de potencia
856
,
0
en atraso de una fuente de
voltaje de
rms
V
120
. a) Calcular la potencia compleja consumida por la carga; b) la
impedancia de la carga.
R:
a)
W
S
P
10272
)
856
,
0
)(
12000
(
cos
=
=
=
1296
,
31
)
856
,
0
(
cos
1
=
=
-
VAR
sen
sen
S
Q
7
,
6203
))
1296
,
31
(
)(
12000
(
=
=
=
VA
j
jQ
P
S
7
,
6203
10272
+
=
+
=
b)
0
120
=
V
(Referencia).
*
* I
V
S
=
A
j
j
V
S
I
6975
,
51
6
,
85
120
7
,
6203
10272
*
+
=
+
=
=
A
j
I
6975
,
51
6
,
85
-
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
164
=
+
=
-
=
=
1308
,
31
2
,
1
6204
,
0
0272
,
1
6975
,
51
6
,
85
120
j
j
I
V
Z
MATLAB:
fi=acos(0.856)*180/pi
fi =
31.1296
[angulo,magnitud]=cart2pol(1.0272,0.6204)
angulo =
0.5433
magnitud =
1.2000
angulo=angulo*180/pi
angulo =
31.1308
Ejemplo 4.16
Una carga inductiva consume
kW
1
a un
fp
de 0,9 en atraso. Para elevar el
fp
del
circuito de la figura 4.20 se coloca una carga capacitiva en paralelo con la inductiva
como se muestra en la figura. La carga capacitiva consume
W
10
a un
fp
de 0,02 en
adelanto. La fuente que alimenta al circuito es de
rms
V
120
. Determine:
a) Potencia compleja entregada por la fuente.
b) Magnitud de la corriente eficaz suministrada por la fuente.
c) Magnitud de la corriente eficaz que circula por la carga inductiva.
d) Impedancia de la carga equivalente.
e) El fp del circuito.
Figura 4.20:
Variación del
fp
mediante el empleo de una carga capacitiva.
R:
a)
2
1
S
S
S
fte
+
=
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
165
1
1
1
jQ
P
S
+
=
(Potencia compleja absorbida por la carga 1).
El triángulo de potencias de la carga 1 es el representado en la figura 4.21.
Figura 4.21:
Triángulo de potencias absorbidas por la carga 1.
8419
,
25
)
9
,
0
(
cos
)
(
cos
1
1
1
1
=
=
=
-
-
fp
(El ángulo es positivo porque la carga número
uno es inductiva).
1
1
1
tan
P
Q
=
1
1
1
tan
P
Q
=
VA
j
j
jQ
P
S
3214
,
484
1000
)
8419
,
25
tan(
1000
1000
1
1
1
+
=
+
=
+
=
2
2
2
jQ
P
S
+
=
(Potencia compleja absorbida por la carga 2).
El triángulo de potencias de la carga 2 es el representado en la figura 4.22.
Figura 4.22:
Triángulo de potencias absorbidas por la carga 2.
8540
,
88
)
02
,
0
(
cos
)
(
cos
1
2
1
2
-
=
-
=
-
=
-
-
fp
(El ángulo es negativo porque la carga
número dos es capacitiva).
2
2
2
tan
P
Q
=
2
2
2
tan
P
Q
=
VA
j
j
jQ
P
S
8965
,
499
10
)
8540
,
88
tan(
10
10
2
2
2
-
=
-
+
=
+
=
VA
j
j
j
S
S
S
fte
5751
,
15
1010
8965
,
499
10
3214
,
484
1000
2
1
-
=
-
+
+
=
+
=
(Potencia
compleja entregada por la fuente).
El triángulo de potencias de la fuente es el representado en la figura 4.23.
Figura 4.23:
Triángulo de potencias entregadas por la fuente.
b)
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
166
rms
rms
fte
I
V
S
=
A
V
Q
P
V
S
I
rms
rms
fte
rms
4177
,
8
120
5751
,
15
1010
2
2
2
2
=
+
=
+
=
=
c)
rms
rms
I
V
S
1
1
=
A
V
Q
P
V
S
I
rms
rms
rms
2593
,
9
120
3214
,
484
1000
2
2
2
1
2
1
1
1
=
+
=
+
=
=
d)
=
=
=
2557
,
14
4177
,
8
120
rms
rms
I
V
Z
0154
.
0
1010
5751
,
15
tan
-
=
-
=
=
fte
fte
fte
P
Q
8823
,
0
)
0154
.
0
(
tan
1
-
=
-
=
-
fte
8823
,
0
2557
,
14
-
=
Z
e)
9999
,
0
)
8823
,
0
cos(
cos
=
-
=
=
fte
circuito
fp
(Capacitivo o en adelanto).
MATLAB:
Sfuente=1010-15.5751i
Sfuente =
1.0100e+003 -1.5575e+001i
P=real(Sfuente)
P =
1010
Q=imag(Sfuente)
Q =
-15.5751
moduloSfuente=abs(Sfuente)
moduloSfuente =
1.0101e+003
Ejemplo 4.17
En el circuito de la figura 4.24, calcular el valor de C necesario para elevar el factor de
potencia hasta
92
,
0
(inductivo).
Vrms
V
45
2
200
=
y
s
rad /
377
=
.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
167
Figura 4.24:
Capacitor para elevar el factor de potencia.
R:
Sin capacitor:
A
j
V
I
L
0
10
45
2
20
45
2
200
20
20
=
=
+
=
VA
I
V
S
L
2
2000
)
10
)(
2
200
(
=
=
=
Como
R
es igual a
L
X :
45
=
L
(Ángulo de la impedancia de la rama RL).
W
S
P
L
L
2000
45
cos
2
2000
cos
=
=
=
VAR
sen
sen
S
Q
L
L
2000
45
2
2000
=
=
=
Con el capacitor conectado
23
92
,
0
cos
1
=
=
-
n
El triángulo de potencia para los dos estados del circuito (sin capacitor y con capacitor)
se muestra en la figura 4.25:
Figura 4.25:
Triángulo de potencias para los dos estados del circuito.
Como el capacitor es ideal, no consume potencia activa por tanto la potencia
L
P no
varía.
L
T
n
P
Q
=
tan
VAR
P
Q
n
L
T
94
,
848
23
tan
2000
tan
=
=
=
C
L
T
Q
Q
Q
+
=
VAR
Q
Q
Q
L
T
C
06
,
1151
2000
94
,
848
-
=
-
=
-
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
168
C
C
X
V
Q
2
=
=
=
=
5
,
69
06
,
1151
)
2
200
(
2
2
C
C
Q
V
X
C
X
C
1
=
F
X
C
C
16
,
38
)
5
,
69
)(
377
(
1
1
=
=
=
El archivo .m se muestra en la figura 4.26
MATLAB:
Figura 4.26:
Archivo .m para graficar los triángulos de potencias para los dos estados
del circuito.
Los gráficos obtenidos en MATLAB se ilustran en la figura 4.27.
Figura 4.27:
Triángulos de potencias para los dos estados del circuito.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
169
· Problemas de consolidación
4.13 En el circuito de la figura 4.28, determinar la potencia compleja absorbida por la
carga.
Figura 4.28:
Circuito RL serie.
R:
VA
S
13
,
53
20
=
4.14 Calcular la potencia compleja suministrada por la fuente en el circuito de la figura
4.29.
Figura 4.29:
Fuente de voltaje alimentando una carga a través de una línea.
R:
VA
j
S
750
1000
+
=
4.8 Balance de potencia
A partir del principio de conservación de la energía se puede afirmar que para
cualquier circuito es válida la ley de conservación de los valores instantáneos de la
potencia.
Se puede demostrar que este principio se cumple para la potencia activa (
P
), la
potencia reactiva (
Q
) y para la potencia compleja ( S ), no así para la potencia aparente
( S ). Es decir:
generadas
P
=
absorbidas
P
generadas
Q
=
absorbidas
Q
generadas
S
=
absorbidas
S
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
170
+
generadas
jQ
P
)
(
=
+
absorbidas
jQ
P
)
(
Sin embargo, como el módulo de una suma de números complejos no es igual, en
general, a la suma de sus módulos, se tiene que:
generadas
S
absorbidas
S
En el circuito de la figura 4.30, dos impedancias de carga
1
Z y
2
Z , están conectadas en
paralelo a una fuente de voltaje de corriente alterna que entrega un voltaje fasorial (rms)
V .
Figura 4.30:
Impedancias de carga en paralelo, alimentadas por una fuente de voltaje.
2
1
I
I
I
+
=
La potencia compleja suministrada por la fuente, se determina mediante:
2
1
*
2
*
1
*
2
*
1
*
2
1
*
)
(
)
(
S
S
VI
VI
I
I
V
I
I
V
VI
S
+
=
+
=
+
=
+
=
=
1
S y
2
S , son las potencias complejas absorbidas por las cargas
1
Z y
2
Z ,
respectivamente.
En el circuito de la figura 4.31, dos impedancias de carga
1
Z y
2
Z , están conectadas en
serie con la fuente de voltaje de corriente alterna que entrega un voltaje fasorial (rms)
V .
Figura 4.31:
Impedancias de carga en serie, alimentadas por una fuente de voltaje.
2
1
V
V
V
+
=
La potencia compleja suministrada por la fuente, se determina mediante:
2
1
*
2
*
1
*
2
1
*
)
(
S
S
I
V
I
V
I
V
V
VI
S
+
=
+
=
+
=
=
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
171
1
S y
2
S , son las potencias complejas absorbidas por las cargas
1
Z y
2
Z ,
respectivamente.
A partir de los dos casos tratados, se puede concluir que, independientemente de que las
cargas estén conectadas en serie o en paralelo (o de cualquier otra forma), la potencia
compleja (activa o reactiva) entregada por la fuente (fuentes), es igual a la suma de las
potencias complejas (activas o reactivas) absorbidas por las cargas.
Para una fuente conectada a N cargas, puede plantearse de manera general:
N
S
S
S
S
+
+
+
=
...
2
1
Ejemplo 4.18
En el circuito de la figura 4.32, se tienen tres cargas conectadas en serie. Una carga
resistiva de
19
, una carga inductiva con una impedancia
2
j
y una carga capacitiva
con una impedancia
- 10
j
. Demostrar que la potencia activa, reactiva y compleja
entregada por la fuente es igual a la suma de las potencias activas, reactivas y complejas
consumidas por las cargas.
Figura 4.32:
Circuito con cargas de naturaleza diferente conectadas en serie.
R:
A
j
j
Z
V
I
8337
,
22
6716
,
10
8337
,
22
6155
,
20
0
220
8
19
0
220
)
10
2
(
19
0
220
=
-
=
-
=
-
+
=
=
Para la carga resistiva:
W
R
I
P
R
8
,
2163
)
19
)(
6716
,
10
(
2
2
=
=
=
0
=
R
Q
(El resistor no consume potencia reactiva).
VA
j
jQ
P
S
R
R
R
0
8
,
2163
+
=
+
=
Para la carga inductiva:
0
=
L
P
(El inductor ideal no consume potencia activa).
VAR
X
I
Q
L
L
7661
,
227
)
2
)(
6716
,
10
(
2
2
=
=
=
(Inductivos).
VA
j
jQ
P
S
L
L
L
7661
,
227
0
+
=
+
=
Para la carga capacitiva:
0
=
C
P
(El capacitor ideal no consume potencia activa).
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
172
VAR
X
I
Q
C
C
8
,
1138
)
10
)(
6716
,
10
(
2
2
-
=
-
=
-
=
(Capacitivos).
VA
j
jQ
P
S
C
C
C
8
,
1138
0
-
=
+
=
Potencias entregadas por la fuente:
VA
j
VI
S
06
,
911
8
,
2163
8337
,
22
8
,
2347
)
8337
,
22
6716
,
10
)(
220
(
*
-
=
-
=
-
=
=
W
P
8
,
2163
=
VAR
Q
06
,
911
-
=
(Capacitivos).
VA
S
8
,
2347
=
Sumatoria de las potencias activas consumidas por las cargas:
W
P
P
P
P
C
L
R
T
8
,
2163
0
0
8
,
2163
=
+
+
=
+
+
=
Sumatoria de las potencias reactivas consumidas por las cargas:
VAR
Q
Q
Q
Q
C
L
R
T
0339
,
911
8
,
1138
7661
,
227
0
-
=
-
+
=
+
+
=
A los VAR inductivos se le asigna un signo más (+) y a los VAR capacitivos se le
asigna un signo menos (-) en la sumatoria.
Sumatoria de las potencias complejas consumidas por las cargas:
VA
j
j
j
j
S
S
S
S
C
L
R
T
0339
,
911
8
,
2163
8
,
1138
0
7661
,
227
0
0
8
,
2163
-
=
-
+
+
+
+
=
+
+
=
Sumatoria de las potencias aparentes consumidas por las cargas:
VA
S
S
S
S
C
L
R
T
6
,
3302
8
,
1138
7661
,
227
8
,
2163
=
+
+
=
+
+
=
Los resultados indican que la potencia activa, reactiva y compleja entregada por la
fuente, es igual a la suma de las potencias activas, reactivas y complejas absorbidas por
las cargas, en general, no sucede lo mismo con la potencia aparente, como se observa en
los resultados del ejemplo.
VA
S
S
S
S
VA
S
C
L
R
T
6
,
3302
8
,
2347
=
+
+
=
=
MATLAB:
V=220;I=10.6716*exp(j*22.8337*pi/180);
S=V*conj(I)
S =
2.1638e+003 -9.1106e+002i
potenciaaparente=abs(S)
potenciaaparente =
2.3478e+003
Ejemplo 4.19
Determine la potencia activa (
P
) absorbida por cada elemento en el circuito de la figura
4.33 y verifique que la suma de las mismas es igual a cero, indicando que se cumple el
principio de conservación de la potencia activa.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
173
Figura 4.33:
Circuito con dos mallas.
R:
Empleando el MCM:
Para la malla 1:
A
I
4
1
=
(I)
Para la malla 2:
0
30
60
)
(
5
)
(
10
2
1
2
=
+
-
-
I
j
I
I
j
(II)
Resolviendo las ecuaciones I y II:
A
I
1
,
79
58
,
10
2
=
La potencia absorbida por la fuente de voltaje se determina mediante:
W
P
V
8
,
207
)
1
,
79
30
cos(
)
2
58
,
10
)(
2
60
(
=
-
=
El voltaje en los terminales de la fuente de corriente (
1
V ) se calcula mediante:
V
j
I
I
j
I
V
21
,
6
984
,
184
)
1
,
79
58
,
10
4
(
10
)
4
(
20
)
(
10
)
(
20
2
1
1
1
=
-
+
=
-
+
=
La corriente que entra por el terminal positivo de
1
V es
A
I
180
4
1
-
=
-
.
La potencia absorbida por la fuente de corriente se determina mediante:
W
P
I
8
,
367
))
180
(
21
,
6
cos(
)
2
4
)(
2
984
,
184
(
-
=
-
-
=
(La fuente está generando).
El voltaje en los terminales del resistor (
2
V ) se calcula mediante:
V
I
V
0
80
)
4
(
20
)
(
20
1
2
=
=
=
La potencia absorbida por el resistor es:
W
P
R
160
)
0
0
cos(
)
2
4
)(
2
80
(
=
-
=
El voltaje en los terminales del capacitor (
3
V ) se determina mediante:
V
j
I
j
V
9
,
10
9
,
52
)
1
,
79
58
,
10
(
5
)
(
5
2
3
-
=
-
=
-
=
La corriente que entra por el terminal positivo de
3
V es
A
I
1
,
79
58
,
10
2
=
.
La potencia absorbida por el capacitor es:
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
174
0
)
1
,
79
9
,
10
cos(
)
2
58
,
10
)(
2
9
,
52
(
=
-
-
=
C
P
El voltaje en los terminales del inductor (
4
V ) se determina mediante:
V
j
I
I
j
V
9
.
10
8
,
105
)
1
,
79
58
,
10
4
(
10
)
(
10
2
1
4
=
-
=
-
=
La corriente que entra por el terminal positivo de
4
V es
A
I
I
1
,
79
58
,
10
2
1
-
=
-
.
La potencia absorbida por el inductor se calcula mediante:
0
))
1
,
79
(
9
,
10
cos(
)
2
58
,
10
)(
2
8
,
105
(
=
-
-
=
L
P
Se observa que la potencia activa (
P
) absorbida por el inductor y el capacitor es cero
(los inductores y capacitores ideales no consumen potencia activa).
0
0
0
160
8
,
367
8
,
207
=
+
+
+
-
=
+
+
+
+
L
C
R
I
V
P
P
P
P
P
El resultado obtenido
0
=
absorbidas
P
, demuestra que la potencia activa o real se
conserva (se cumple el balance de potencias).
MATLAB:
I2=solve('sqrt(-1)*10*(I2-4)-sqrt(-1)*5*I2+60*exp(j*30*pi/180)=0')
I2 =
-2*i*(i-3*3^(1/2))
I2=numeric(I2)
I2 =
2.0000 +10.3923i
moduloI2=abs(I2)
moduloI2 =
10.5830
anguloI2=angle(I2)*180/pi
anguloI2 =
79.1066
· Problemas de consolidación
4.15 En el circuito de la figura 4.34, verifique que se cumple el balance de potencias
activas.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
175
Figura 4.34:
Circuito ramificado.
R:
=
+
+
+
=
=
=
W
s
Pabsorbida
W
generadas
P
5850
1950
1970
240
1690
5850
4.16 En el circuito que se muestra en la figura, verifique que se cumple el balance de
potencias complejas.
Figura 4.35:
Circuito RLC serie.
R:
VA
generadas
S
45
5
,
353
=
=
-
+
+
=
VA
absorbidas
S
45
5
,
353
90
250
90
500
0
250
4.9 Máxima transferencia de potencia
En muchos circuitos electrónicos es necesario determinar las condiciones que debe
reunir este para transmitir la máxima potencia activa a un elemento en particular. Al
estudiar los circuitos resistivos puros, se demostró que en un circuito resistivo, formado
por una fuente real de voltaje y una resistencia de carga, para obtener máxima
transferencia de potencia (MTP), la resistencia de carga (
)
c
R debe ser igual a la
resistencia interna de la fuente o generador (
)
g
R
que es la resistencia de Thevenin (
th
R )
vista por la carga (
)
th
g
c
R
R
R
=
=
.
En condiciones de estado estable sinusoidal, el generador posee una impedancia interna
g
g
g
jX
R
Z
+
=
y la carga es una impedancia
c
c
c
jX
R
Z
±
=
. Para que se cumpla que
g
c
R
R
=
, debe cancelarse la parte reactiva de la impedancia del generador. Es decir, la
reactancia de la carga debe tener el mismo valor que la del generador, pero debe ser de
naturaleza opuesta. Por lo tanto, para máxima transferencia de potencia, la impedancia
de la carga debe ser igual al conjugado de la impedancia del generador como se observa
en la figura 4.36.
*
*
th
g
c
Z
Z
Z
=
=
(Condición de MTP).
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
176
Figura 4.36:
Condición de MTP.
En condiciones de máxima transferencia de potencia (MTP), el valor de la potencia
máxima suministrada a la carga estará dado por:
th
rms
th
g
rms
g
máx
R
V
R
V
P
4
4
2
2
=
=
En los sistemas de comunicaciones, donde se manejan potencias relativamente bajas, se
requiere la condición de MTP (máxima transferencia de potencia) y bajo este requisito
se realiza el diseño.
En los sistemas de energía, que trabajan con potencias grandes, es más importante
obtener una alta eficiencia. La eficiencia se simboliza por la letra griega
(eta) y se
define como:
Pgenerador
a
Pc arg
=
Para el circuito de la figura:
g
c
c
g
c
rms
c
rms
R
R
R
R
R
I
R
I
+
=
+
=
)
(
2
2
Ejemplo 4.20
Demuestre que para máxima transferencia de potencia (MTP), la impedancia de la carga
debe ser igual al conjugado de la impedancia de Thevenin del generador que la
alimenta.
R:
Consideremos:
th
th
th
jX
R
Z
+
=
L
L
L
jX
R
Z
+
=
Asumiendo que el voltaje de Thevenin se expresa en términos de su valor eficaz y
tomándolo como referencia:
V
V
V
th
th
0
=
La corriente
I
, que circula por el circuito expresada fasorialmente es:
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
177
)
(
)
(
L
th
L
th
th
X
X
j
R
R
V
I
+
+
+
=
Potencia activa entregada a la carga:
2
2
2
2
)
(
)
(
L
th
L
th
L
th
L
X
X
R
R
R
V
R
I
P
+
+
+
=
=
En la ecuación anterior,
th
V ,
th
R y
th
X , son cantidades fijas, mientras que
L
R y
L
X son
las variables independientes. Por tanto, para maximizar
P
, se deben determinar los
valores de
L
R y
L
X para los cuales tanto
L
R
P
como
L
X
P
sean cero.
Las derivadas parciales son:
2
2
2
2
]
)
(
)
[(
)]
(
2
th
L
th
L
th
L
L
th
L
X
X
R
R
X
X
R
V
X
P
+
+
+
+
-
=
2
2
2
2
2
2
]
)
(
)
[(
)]
(
2
)
(
)
[(
th
L
th
L
th
L
L
th
L
th
L
th
L
X
X
R
R
R
R
R
X
X
R
R
V
R
P
+
+
+
+
-
+
+
+
=
L
X
P
es igual a cero cuando:
th
L
X
X
-
=
L
R
P
es igual a cero cuando:
2
2
)
(
th
L
th
L
X
X
R
R
+
+
=
Al sustituir en la ecuación anterior
L
X por
th
X
-
, se obtiene:
th
L
R
R
=
Por tanto ambas derivadas parciales son cero (
P
se maximiza) cuando:
th
th
th
L
jX
R
Z
Z
-
=
=
*
MATLAB:
syms RL Rth XL Xth Vth
P=Vth^2*RL/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)
P =
Vth^2*RL/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)
derivadaPLconXL=diff('Vth^2*RL/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)','XL')
derivadaPLconXL =
-Vth^2*RL/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)^2*(2*Xth+2*XL)
derivadaPLconRL=diff('Vth^2*RL/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)','RL')
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
178
derivadaPLconRL =
Vth^2/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)-
Vth^2*RL/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)^2*(2*Rth+2*RL)
XL=solve('-Vth^2*RL/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)^2*(2*Xth+2*XL)','XL')
XL =
-Xth
RL=solve('Vth^2/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)-
Vth^2*RL/((Rth+RL)^2+(Xth+XL)^2)^2*(2*Rth+2*RL)','RL')
RL =
[ (Rth^2+XL^2+Xth^2+2*Xth*XL)^(1/2)]
[ -(Rth^2+XL^2+Xth^2+2*Xth*XL)^(1/2)]
RL= (Rth^2+XL^2+Xth^2+2*Xth*XL)^(1/2)
RL =
(Rth^2)^(1/2)
Ejemplo 4.21
Graficar la variación de la potencia entregada a la carga y la eficiencia para diferentes
valores de la resistencia de carga. Considerar
V
V
rms
g
100
=
y
= 1
g
R
.
R:
Potencia entregada por el generador a la carga:
c
c
g
rms
g
c
R
R
R
V
P
2
+
=
Potencia generada:
+
=
c
g
rms
g
g
R
R
V
P
2
Eficiencia:
c
g
c
g
c
R
R
R
P
P
+
=
=
MATLAB:
Vg=100;Rg=1;
Rc=0:0.01:10;
Pc=(Vg./(Rg+Rc)).^2.*Rc;
Pg=Vg^2./(Rg+Rc);
eficiencia=Pc./Pg;
subplot(1,2,1)
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
179
plot(Rc,Pc)
grid
xlabel('Rc (\Omega)')
ylabel('Pc (W)')
title('|Vg rms| = 100 V Rg = 1 \Omega Pc vs Rc')
subplot(1,2,2)
plot(Rc,eficiencia)
grid
xlabel('Rc (\Omega)')
ylabel('\eta')
title('|Vg rms| = 100 V Rg = 1 \Omega \eta vs Rc')
Los diagramas obtenidos en MATLAB se muestran en la figura 4.37.
Figura 4.37:
Variación de la
c
P y la
al variar la resistencia de carga.
Se observa que para la condición de MTP en la cual
*
g
c
Z
Z
=
(en el ejemplo esto ocurre
cuando
=
=
1
g
c
R
R
, ya que la impedancia del generador y la de la carga son
resistivas puras), la eficiencia
5
,
0
=
, solo la mitad de la potencia generada llega a la
carga, lo cual es inadmisible en los sistemas energéticos.
Ejemplo 4.22
En el circuito de la figura 4.38, encuentre la carga que recibirá la máxima potencia
(MTP). Determine el valor de dicha potencia.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
180
Figura 4.38:
Dipolo activo alimentando una carga Z
L
.
R:
Determinando el equivalente de Thevenin del circuito visto por la carga mostrado en la
figura 4.39:
Figura 4.39:
Circuito para determinar el voltaje de Thevenin (V
oc
).
V
j
j
V
th
13
,
53
6
3
4
3
0
10
-
=
-
-
=
La Zth se calcula a partir del circuito de la figura 4.40.
Figura 4.40:
Circuito para determinar la impedancia de Thevenin (Zth).
-
=
-
-
+
=
92
,
0
44
,
1
3
4
)
3
(
4
1
j
j
j
j
Z
th
Para MTP:
+
=
=
92
,
0
44
,
1
*
j
Z
Z
th
L
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
181
El valor de la potencia máxima transferida a la carga será:
W
R
V
P
th
rms
th
máx
L
125
,
3
)
44
,
1
(
4
2
6
4
2
2
=
=
=
El archivo .m del MATLAB se muestra en la figura 4.41.
MATLAB:
Figura 4.41:
Archivo .m para determinar la potencia entregada por una fuente real de
voltaje (equivalente de Thevenin), a una impedancia de carga, al variar el valor de la
misma.
El gráfico tridimensional obtenido en MATLAB se muestra en la figura 4.42.
Figura 4.42:
Gráfico tridimensional que muestra que se transfiere la potencia máxima a
la carga (MTP) cuando
+
=
=
92
,
0
44
,
1
*
j
Z
Z
th
L
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
182
· Problemas de consolidación
4.17 Determine los valores de
R
y
L
en el circuito de la figura 4.43, para que se
transfiera máxima potencia a la carga. Considere
s
rad /
1000
=
.
Figura 4.43:
Circuito en que se transfiere máxima potencia a la carga.
R:
H
L
R
6
,
1
;
800
=
=
4.18 Hallar el valor necesario del capacitor C de la figura 4.44, para que la potencia
absorbida por el resistor de
4000
, sea máxima. Considere
s
rad /
5000
=
.
Figura 4.44:
Circuito en que se transfiere máxima potencia al resistor de
4000
.
R:
F
C
1
,
0
=
4.10 Medición de potencia
La medición de los valores eficaces del voltaje y la corriente en los terminales de
entrada de una carga, empleando un multímetro común, permite determinar la potencia
aparente consumida por la carga, calculando su producto
VA
I
V
S
rms
rms
=
. Si se conoce
el factor de potencia de la carga, la potencia activa (promedio o real) consumida por la
carga puede calcularse mediante
W
fp
I
V
P
rms
rms
=
. Existen instrumentos
específicamente diseñados para medir la potencia activa, denominados watímetros.
El watímetro tradicional, es un instrumento analógico electrodinámico, aunque en la
actualidad se emplean también instrumentos digitales. En la figura 4.45 se muestran dos
representaciones para el watímetro y el esquema circuital del watímetro conectado para
medir la potencia consumida por una carga monofásica.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
183
Figura 4.45:
Medición de potencia activa (
P
) empleando un watímetro.
Los watímetros constan de dos bobinas, llamadas bobina de corriente y bobina de
voltaje.
La bobina de corriente también denominada elemento de corriente es un enrollado
móvil formado por pocas vueltas de un conductor relativamente grueso, de forma que
0
Li
Z
y al conectarse en serie con la carga y circular por ella
)
(t
i
, no se produce una
caída de voltaje sensible y por lo tanto no se afecta el comportamiento de la carga.
La bobina o elemento de voltaje es un enrollado móvil formado por muchas vueltas de
un conductor de pequeña sección transversal de forma que
Lv
Z
y al conectarse
entre las líneas (en paralelo con la carga) y estar sometida a un voltaje apreciable
)
(
t
v
circula por la misma una corriente pequeña y no se afecta sensiblemente el
comportamiento del circuito.
Al igual que los voltímetros y amperímetros, en este libro el watímetro será considerado
un instrumento ideal, la impedancia de la bobina de corriente
0
=
Li
Z
(cortocircuito) y
la impedancia de la bobina de voltaje
=
Lv
Z
(circuito abierto).
En los watímetros aparecen dos marcas de polaridad. Desde el punto de vista del
comportamiento del instrumento, una corriente se considera positiva cuando entra por la
marca de polaridad de dicho elemento y un voltaje se considera positivo cuando el
terminal que posee la marca es el que está sometido al mayor potencial.
La bobina de corriente se enrolla sobre una estructura pivotante unida a la aguja
indicadora, mantenida en su posición inicial por un muelle. Cuando ambas bobinas
están energizadas, se desarrolla un torque que gira la estructura pivotante contra el
muelle produciéndose una deflexión (la aguja indica la lectura del watímetro sobre una
escala) proporcional al producto
)
(
)
(
t
i
t
v
, cuyos signos están determinados por sus
sentidos con respecto a las marcas de cada elemento. Aunque las señales de corriente
alterna producen torques pulsantes, la inercia mecánica del sistema proporciona un
efecto promediado, lo que resulta en un ángulo de deflexión estable que es proporcional
al valor promedio del producto
)
(
)
(
t
i
t
v
.
Si se designa como W a la lectura del watímetro, esta se puede expresar como:
dt
t
i
t
v
T
W
T
)
(
)
(
1
0
=
Esta expresión es la del valor medio de la potencia activa instantánea y por lo tanto, en
circuitos de corriente alterna se puede plantear también a través de la ecuación de la
potencia activa (indicando que la escala del instrumento puede ser calibrada
directamente en W ), o sea:
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
184
cos
rms
rms
I
V
P
W
=
=
Donde:
I
V
-
=
Para el caso de una carga monofásica,
también es el argumento de la impedancia de
la carga.
Un watímetro siempre indicará
)
cos(
I
V
I
V
W
-
=
, o sea, el módulo del voltaje
aplicado a su bobina de voltaje (rms), por el módulo de la corriente que circula por su
bobina de corriente (rms), y por el coseno del ángulo del voltaje menos el ángulo de la
corriente.
El watímetro solo leerá la potencia activa consumida por todos los elementos que se
encuentren en el lado de la carga del instrumento. La lectura del instrumento
corresponderá a la suma de las potencias activas consumidas por cada uno de dichos
elementos.
Ejemplo 4.23
Encontrar la lectura del watímetro en el circuito de la figura 4.46.
Figura 4.46:
Watímetro conectado para medir la potencia real (
P
) consumida por la
carga formada por las impedancias de
8
y
- 6
j
, conectadas en serie.
R:
La lectura del watímetro estará dada por:
)
cos(
Ia
Vab
Ia
Vab
W
-
=
A
j
j
j
Z
Ia
3099
,
11
3544
,
7
4
20
150
6
8
10
12
0
150
0
150
-
=
+
=
-
+
+
=
=
V
j
j
Ia
Vab
1798
,
48
5436
,
73
)
6
8
)(
3099
,
11
3544
,
7
(
)
6
8
(
-
=
-
-
=
-
=
W
W
6923
,
432
))
3099
,
11
(
1798
,
48
cos(
)
3544
,
7
)(
5436
,
73
(
=
-
-
-
=
MATLAB:
format long
W=73.5436*7.3544*cos(-48.1798*pi/180-(-11.3099)*pi/180)
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
185
W =
4.326952281381368e+002
MATLAB da una aproximación de punto flotante de la respuesta (precisa hasta
alrededor de 15 digitos).
W=vpa(73.5436*7.3544*cos(-48.1798*pi/180-(-11.3099)*pi/180))
W =
432.69522813813676975769340060651
MATLAB da una respuesta que es correcta solo en sus primeros 16 dígitos.
W=vpa('73.5436*7.3544*cos(-48.1798*pi/180-(-11.3099)*pi/180)')
W =
432.69522813813676138211764900426
Creando una representación simbólica exacta de la expresión matemática y
empleando el comando de aritmética de precisión variable (vpa) se obtiene la
respuesta exacta.
Ejemplo 4.24
En el circuito de la figura 4.47, determinar la lectura del watímetro.
Figura 4.47:
Watímetro conectado para medir la potencia activa (
P
) consumida por la
carga formada por las impedancias de
20
y
8496
,
18
j
, conectadas en
paralelo.
R:
La lectura del watímetro estará dada por:
)
cos(
I
Vab
I
Vab
W
-
=
+
=
+
=
9825
,
9
4083
,
9
8496
,
18
20
)
8496
,
18
)(
20
(
j
j
j
Z
p
+
=
+
+
=
+
=
9825
,
9
4083
,
19
9825
,
9
4083
,
9
10
10
j
j
Z
Z
p
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
186
A
j
j
Z
I
2186
,
27
4983
,
5
5148
,
2
8894
,
4
9825
,
9
4083
,
19
120
0
120
-
=
-
=
+
=
=
V
j
j
j
I
Z
Vab
p
4775
,
19
4218
,
75
1484
,
25
1056
,
71
)
5148
,
2
8894
,
4
)(
9825
,
9
4083
,
9
(
=
+
=
-
+
=
=
W
W
4237
,
284
))
2186
,
27
(
4775
,
19
cos(
)
4983
,
5
)(
4218
,
75
(
=
-
-
=
MATLAB:
Z1=20;Z2= 18.8496i;
Zp=Z1*Z2/(Z1+Z2)
Zp =
9.4083 + 9.9825i
Z=10+Zp
Z =
19.4083 + 9.9825i
I=120/Z
I =
4.8894 - 2.5148i
abs(I)
ans =
5.4983
angle(I)*180/pi
ans =
-27.2186
Vab=Zp*I
Vab =
71.1056 +25.1484i
abs(Vab)
ans =
75.4218
angle(Vab)*180/pi
ans =
19.4775
W=75.4218*5.4983*cos(19.4775*pi/180-(-27.2186*pi/180))
W =
284.4237
Ejemplo 4.25
Determinar la lectura del watímetro en el circuito mostrado en la figura 4.48.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
187
Figura 4.48:
Watímetro conectado en un circuito compuesto por diferentes cargas.
R:
El watímetro indicará la suma de las potencias activas consumidas por cada una de las
cargas conectadas en el lado de la carga del instrumento.
W
W
1000
900
60
40
=
+
+
=
MATLAB:
W=40+60+900
W =
1000
isreal(W)
ans =
1
· Problemas de consolidación
4.19 En el circuito mostrado el watímetro mide la potencia promedio (
P
) consumida
por todo el circuito. Determinar la lectura del instrumento.
Figura 4.49:
Watímetro conectado para medir la potencia activa (
P
) consumida por
todo el circuito.
R:
W
1437
4.20 Un watímetro correctamente conectado a una carga, tiene un voltaje aplicado a su
bobina de voltaje
V
V
L
10
100
=
y por su bobina de corriente circula una
corriente
A
I
L
30
15
=
. Determinar la potencia activa consumida por la carga.
R:
W
1410
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
188
· Problemas de final de capítulo
1. Calcule la potencia activa (
P
) que está siendo absorbida por el circuito de la
figura 4.50.
V
t
t
v
)
15
cos(
100
)
(
-
=
,
A
t
t
i
)
105
cos(
4
)
(
-
=
.
Figura 4.50:
Circuito en el que se calcula la potencia real (
P
) absorbida.
R:
W
100
-
2. Determinar en el circuito mostrado en la figura 4.51, la potencia compleja
absorbida por la carga.
A
t
t
i
)
15
5
cos(
25
,
1
)
(
-
=
Figura 4.51:
Circuito en el que se calcula la potencia compleja ( S ) absorbida.
R:
VA
53
375
,
9
3. Determinar el valor de la potencia compleja ( S ) entregada por la fuente del
circuito de la figura 4.52.
V
t
t
v
)
30
5
cos(
24
)
(
+
=
. La impedancia
A
Z absorbe
una potencia compleja
VA
j
S
A
912
,
6
216
,
9
+
=
.
=
45
246
,
24
B
Z
.
Figura 4.52:
Circuito en el que se calcula la potencia compleja ( S ) entregada por la
fuente de voltaje.
R:
VA
9
,
39
265
,
18
4. En el circuito mostrado en la figura 4.53, verifique que la sumatoria de las
potencias complejas ( S ) absorbidas por cada uno de los elementos es igual a
cero.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
189
Figura 4.53:
Circuito en el que se verifica la conservación de la potencia compleja ( S ).
R:
0
90
250
90
500
0
250
45
5
,
353
=
-
+
+
+
-
=
+
+
+
C
L
R
V
S
S
S
S
5. Una carga se alimenta con un voltaje de
V
120
eficaz,
Z
H
60
y absorbe una
potencia promedio de
kW
1
con un factor de potencia de
75
,
0
en adelanto.
Determinar un circuito equivalente de la carga, formado por dos elementos
conectados en serie.
R:
F
C
R
3
,
371
;
1
,
8
=
=
6. En el circuito de la figura 4.54, la carga
A
consume
kW
50
y la carga
B
consume
kVA
100
a un factor de potencia de
86
,
0
en atraso. El voltaje de la
fuente es de
rms
V
10000
. Hallar el factor de potencia a que opera la fuente y la
magnitud de la corriente
I
.
Figura 4.54:
Fuente de voltaje alimentando dos cargas en paralelo.
R:
94
,
0
=
fp
en atraso;
rms
A
I
52
,
14
=
7. En el circuito mostrado en la figura 4.55, la impedancia
+
=
100
100
j
Z
.
Hallar el valor de la capacitancia C requerida, para elevar el factor de potencia a
95
,
0
en atraso. La fuente está operando a
s
rad /
377
=
.
Figura 4.55:
Utilización de un capacitor para mejorar el factor de potencia.
R:
F
C
9
,
8
=
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
190
8. En el circuito que se muestra en la figura 4.56, determinar la potencia activa (
P
)
absorbida por el resistor.
V
t
t
v
)
77
4
cos(
28
,
7
)
(
+
=
.
= 3
R
y
H
L
54
,
0
=
.
Figura 4.56:
Circuito
RL
.
R:
W
P
8
,
5
=
9. Determinar la impedancia de carga (
L
Z ) que garantiza máxima transferencia de
potencia en el circuito de la figura 4.57 y hallar el valor de la potencia activa
máxima que se entregaría a dicha impedancia de carga.
Figura 4.57:
Impedancia
L
Z para máxima transferencia de potencia.
R:
+
=
6
5 j
Z
L
,
W
P
máx
5
,
2
=
10. En el circuito mostrado en la figura 4.58, hallar la potencia activa (
P
) entregada
por la fuente.
Figura 4.58:
Circuito mixto.
R:
W
P
72
,
11
=
11. Un circuito
RL
serie se conecta a una fuente de
V
120
rms,
Z
H
60
. El voltaje a
través del inductor es de
V
60
rms y la potencia activa absorbida por el circuito
es
W
25
. Hallar los valores de
R
y
L
.
R:
H
L
R
6616
,
0
;
432
=
=
12. En el circuito de la figura 4.59, encuentre la carga que recibirá la máxima
potencia (MTP). Determine el valor de dicha potencia.
Capítulo 4. Potencia en circuitos de corriente alterna
191
Figura 4.59:
Impedancia
L
Z para máxima transferencia de potencia.
R:
W
P
j
Z
máx
L
125
,
3
;
0588
,
2
2353
,
0
=
+
=
13. Calcule la potencia activa (
P
), reactiva (
Q
) y aparente S , absorbida por una
impedancia
+
=
300
100
j
Z
, cuando a sus terminales se le aplica un voltaje
rms
V
0
120
,
Z
H
60
.
R:
VA
S
VAR
Q
W
P
54
,
45
;
20
,
43
;
40
,
14
=
=
=
14. A los terminales de una impedancia
+
=
300
100
j
Z
se le aplica un voltaje
rms
V
0
120
,
Z
H
60
. Hallar un elemento reactivo conveniente que, cuando se
conecte en paralelo con la impedancia dada, el valor del factor de potencia del
circuito resultante, sea igual a la unidad.
R:
F
C
958
,
7
=
15. Una fuente de voltaje con un valor de
rms
V
220
,
Z
H
60
, alimenta a una carga que
consume
kW
50
a un factor de potencia de
75
,
0
en atraso. Determinar el valor
del capacitor, que al ser conectado en paralelo con la carga, eleve el factor de
potencia del circuito resultante a
95
,
0
en atraso. Hallar la magnitud de la
corriente eficaz, que circulará por el capacitor.
R:
F
C
1516
=
;
A
I
rms
C
7
,
125
=
16. En el circuito de la figura 4.60, la carga
1
consume
kW
8
a un factor de
potencia de
8
,
0
en adelanto, la carga
2
consume
kW
15
a un factor de potencia
de
6
,
0
en atraso. Determinar el voltaje de la fuente
rms
s
V
.
Figura 4.60:
Fuente de voltaje alimentando dos cargas conectadas en paralelo.
Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab
192
R:
V
V
rms
s
42
,
3
6
,
243
=
17. Un watímetro correctamente conectado a una carga, tiene un voltaje aplicado a
su bobina de voltaje
V
V
L
0
100
=
y por su bobina de corriente circula una
corriente
A
I
L
60
15
=
. Determinar la potencia activa consumida por la carga.
R:
W
750
18. La potencia compleja consumida por una carga es
VA
j
S
700
600
+
=
. Hallar la
lectura de un watímetro correctamente conectado a dicha carga.
R:
Un watímetro solo indica potencia activa, por tanto su lectura es
W
600
193
Bibliografía
Ayllón, E., Montó, A. (1987). Fundamentos de la Teoría de Circuitos Eléctricos II.
La Habana: MINED.
Boylestad, R. L. (2006). Introductory Circuit Analysis (10th ed.): Prentice Hall.
Edminister, J. A., Nahvi, M. (1997). Circuitos Eléctricos (3th ed.). Madrid:
MCGRaw Hill.
Kathey, J. J., Nasar, S. A. (1984). Basic Electrical Engineering (2nd ed.). USA:
McGraw Hill.
Nilsson, J. W., Riedel, S. A. (2011). Electric Circuit (9th Edition ed.). Mexico City:
Prentice Hall.
Svoboda, J. A., Dorf, R. C. (2014). Introduction to Electric Circuit (9th ed.). USA:
John Wiley Sons, Inc.
William H. Hayt, J., Kemmerly, J. E., Durbin, S. M. (2007). Análisis de Circuitos en
Ingeniería (7th ed.). México: McGraw Hill Interamericana.
194
Sobre los autores
Ileana Moreno Campdesuñer: Ingeniera Electrónica. Máster en Ingeniería Electrónica.
Dr. en Ciencias de la Educación. Profesora Titular de la Universidad Central Marta
Abreu de Las Villas, Cuba. Profesora Invitada de Universidad Cooperativa de
Colombia.
Juan Curbelo Cancio: Ingeniero electricista. Máster en Ingeniería Eléctrica. Profesor
Asistente de la Universidad Central Marta Abreu de Las Villas, Cuba.
Final del extracto de 200 páginas
- Citar trabajo
- Ileana Moreno Campdesuñer (Autor)Juan Curbelo Cancio (Autor), 2016, Análisis de circuitos eléctricos alimentados con corriente alterna utilizando MatLab, Múnich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/343115
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