Risikomanagement mit dem Value at Risk

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Risikomanagement
2.1 Risikoarten
2.2 Phasen des Risikomanagement
2.2.1 Risikoidentifikation
2.2.2 Risikoquantifizierung
2.2.3 Risikosteuerung
2.2.4 Risikokontrolle

3 Risikomessung mit dem Value at Risk (VaR
3.1 Definition des Value at Risk
3.2 Statistische Hintergründe
3.3 Modellparameter
3.3.1 Halteperiode
3.3.2 Konfidenzniveau
3.4 Vorteile des Value at Risk

4 Methoden zur Berechnung des Value at Risk
4.1 Varianz-Kovarianz-Methode
4.1.1 Delta-Normal-Ansatz
4.1.2 Anwendung des Delta-Normal-Ansatzes
4.1.3 Delta-Gamma-Ansatz
4.1.4 Vor- und Nachteile der Varianz-Kovarianz-Metohde
4.2 Historische Simulation
4.2.1 Anwendung der historischen Simulation
4.2.2 Vor- und Nachteile der historischen Simulation
4.3 Monte-Carlo-Simulation
4.3.1 Anwendung der Monte-Carlo-Simulation
4.3.2 Vor- und Nachteile der Monte-Carlo-Simulation

5 Anwendung des VaR in dem Risikomanagement Prozess
5.1 Fazit

6 Kritik an dem VaR

Risikomanagement mit dem Value at Risk

1 Einleitung

Der Begriff Risiko kommt aus den altgriechischen und heißt „risicare“. Es bedeutet etwas zu wagen. Damit ein Unternehmen Gewinne erwirtschaftet muss es auch Risiken eingehen. Wichtig dabei ist das man mit diesen Risiken richtig einschätzen kann. Das systematische Risikomanagement wird immer wichtiger. Risikomanagement soll Gefahren abwehren und gleichzeitig die Chancen nutzen. Für börsennotierte Unternehmen wurde 1998 das KonTraG (Gesetzt zur Kontrolle und Transparenz im Unternehmensbereich) eingeführt, es soll zeigen dass sich der Vorstand bei einer Unternehmenskrise pflichtgemäß verhalten hat. Die Risikophasen sollen als ein strukturierter Prozess durchgeführt und protokolliert werden. In dieser Arbeit werde ich einige Risikoarten erläutern und den Prozess des Risikomanagement darstellen. Der Hauptteil meiner Arbeit fokussiert sich auf die Risikoquantifizierung mit dem Value at Risk (im folgenden VaR genannt) und die Überprüfung seiner Güte. Der VaR ist eine Kennzahl, die den möglichen Verlust einer Position (z.B. Aktien) auf die stets ein Risiko einwirkt misst. Seit den achtziger Jahren, in dem sich das Volumen der Finanzderivaten permanent erhöht hat, waren die gängigen Risikokennzahlen nicht mehr aktuell und anwendbar. Der Markt benötigte eine Kennzahl, um diese Risiken besser prognostizieren zu können. Die Standardrisikomaße die z.B. nur den Grad der Abweichung um den Mittelwert quantifizieren waren nicht ausreichend.² Der VaR wurde bereits seit den Achtzigern, intern in großen Gesellschaften angewandt. Als erstes hat die Investmentbank Morgan Stanley den Value at Risk im „Risk Matrix“ der Öffentlichkeit vorgestellt, um die Marktrisiken einfacher zu interpretieren. Seinen Höhepunkt erlebte der VaR 1998, bedingt durch die gesetzliche Eigenkapitalunterlegung, auf Basis des VaR durch Basel 2 für Kreditinstitute. Auslöser für diese Regulierung waren unter anderem die immer höher werdenden Verluste aus Termingeschäften wie z.B. der Barings Investmentbank, die mit einen Verlust von über 1,5 Mrd. DM aus Aktienindextermingeschäften Bankrott anmelden mussten.³

2 Risikomanagement

Unter Risikomanagement versteht man in einer sehr allgemeinen Begriffsbildung die Unternehmensführung unter Berücksichtigung der Unsicherheit.⁴

2.1 Risikoarten

Es gibt 4 wesentliche Risikoarten die auf ein Unternehmen ein wirken können, Kreditrisiko, Operationale Risiko, Geschäftsrisiko und Marktrisiko.

Unter Kreditrisiko wird hier die Gefahr eines möglichen Ausfalls oder Wertverlustes einer Forderung gegenüber einem Schuldner verstanden. Ein Grund hierfür kann eine Zahlungsunfähigkeit sein. ⁵ Operationale Risiken sind für Produktionsunternehmen relevant. Sie entstehen wenn es zu mangelnder Qualifikation der Mitarbeitern oder es zu Fehlfunktionen in den Systemen kommt. Aber auch externe Effekte können den internen Ablauf beeinträchtigen, wie zum Beispiel: Terroranschläge oder Naturkatastrophen⁶ (z.B. als ein isländischer Vulkan den Flugverkehr in Europa wochenlang zum erliegen brachte und somit Passagier- und Frachtverkehr beeinträchtigte). Solche Extremfälle sind nicht vorhersehbar, aber es sollte bei Planungen berücksichtigt werden wenn die Zuliefererkette unterbrochen wird.⁷ Geschäftsrisiken können durch unerwartete Schwankungen der Absatzmenge, Absatzpreises und der Umsatzmargen auf Grund veränderter Kundennachfrage oder Kundenpräferenzen entstehen.⁸

In dieser Arbeit werde ich speziell auf das Marktrisiko (Aktienkursrisiko) eingehen. Unter Marktrisiko wird die Abweichung von Marktpreisen verstanden, beispielsweise von Aktien, Währungen, Rohstoffen und Zinsen.⁹ Die Kunst für die Konzerne besteht darin, dass Risikomanagement nicht als reine Erfüllung von Gesetzesvorschriften zu begreifen ist, als „Compliance“, wie das heute genannt wird, sondern um systematisch die Chancen für das eigenen Unternehmen zu erkennen.¹⁰

2.2 Phasen des Risikomanagement

Risikomanagement ist ein dynamischer Ablauf, den man in vier Bereiche Aufteilen kann:

2.2.1 Risikoidentifikation:

Alle Risiken die auf ein Unternehmen einwirken müssen erfasst werden und in einer dieser oben vorgestellten Risikoarten eingeteilt werden. Als Basisinstrumente werden Analyseraster, Risikotabellen usw. eingesetzt.¹¹

2.2.2 Risikoquantifizierung:

Als nachfolgender Prozess erfolgt die Risikoquantifizierung. Die Risikoquantifizierung ist der Kern des Risikomanagements. Denn nur Risiken die erfasst bzw. gemessen werden, können geplant und gesteuert werden.¹² Die Bewertung erfolgt in dieser Arbeit ausschließlich mit dem VaR. Nach der Messung resultiert die Risikoanalyse, sie ist abhängig von der Risikoeinstellung des Unternehmers.¹³ Es folgt die Unterteilung in verschiedene Risikograde:

Kritische Risiken, die zu einer Gefährdung des Unternehmens führen können.  Wichtige Risiken die zwar nicht die Existenz des Unternehmens gefährden, die aber zu einem zusätzlichen Kapitalaufwand führen können um den Unternehmensfortbestand zu sichern.¹⁴

Der VaR wird als Risikokapital definiert und wird bei einem möglichen Verlust eingesetzt, um diesen Schaden zu decken. So wird ein Risikokapital, das bis zu 5% des Eigenkapitals beansprucht, als ein normales Risiko eingestuft. Risikopositionen von 5% bis 20% sind wichtige Risiken, Risikopositionen ab 20% kennzeichnen kritische Risiken.¹⁵ Wichtig ist nicht nur den möglichen Verlust zu ermitteln, sondern auch die Gewinnerwartung zu berücksichtigen um die eigenen Chancen besser zuerkennen.

2.2.3 Risikosteuerung:

An dieser Stelle werde ich einige Instrumente der Risikosteuerung aufzählen. Die Risikovermeidung, Risikodiversifikation, Risikoüberwälzung und Risikovermeidung.¹⁶

2.2.4 Risikokontrolle:

Das Risikocontrolling soll die Unternehmensführung durch Planung, Kontrolle und mit Informationen unterstützen. Backtesting ist eine typische Kontrollfunktion. Es wird rückwirkend überprüft, wie zuverlässig die verwendeten Rechenmethoden den VaR geschätzt haben. Es werden die tatsächlichen Verluste überprüft und mit den geschätzten Werten verglichen.¹⁷ Die künftigen Verluste dürfen den VaR nur bis zu einer bestimmten Anzahl überschreiten. Anderenfalls muss die Berechnungsmethode neu angepasst werden. In der Realität werden Abweichungen, bis zu einem gewissen Grad toleriert. Die Zuverlässigkeit einer Methode wird in Frage gestellt, wenn es zu drei bis fünffachen Überschreitungen, des vorher festgelegten Sicherheitsniveaus kommt.¹⁸

3 Risikomessung mit dem Value at Risk

Der Value at Risk (VaR) ist eine quantitative Risikokennzahl, der die Höhe eines möglichen Verlustes, einer Risikoposition, mit einer Wahrscheinlichkeit wiedergeben soll.

3.1 Definition des Value at Risk

Beim Value at Risk handelt es sich um,

- den geschätzten,
- maximalen erwarten Verlust,
- der unter üblichen Marktbedingungen,
- innerhalb einer bestimmten Periode,
- mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten kann.¹⁹

Vereinfachend kann man diese Aussagen so zusammenfassen:

„Wir sind zu X Prozent sicher, dass wir in den nächsten N Tagen nicht mehr als V Euro verlieren.“²⁰

Bei einem Sicherheitsniveau von 5% X=95%, einem Tag als Halteperiode N=1 und einem VaR von 20.000 Euro V =20.000 würde das bedeuten, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von 95% in der folgenden Halteperiode, bei normalen Marktbedingungen nicht mehr als 20.000 Euro verlieren kann. Der VaR kann als eine Funktion verstanden werden. Diese Funktion hängt von den beiden Parametern Halteperiode N und von dem Konfidenzniveau α ab.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2 Statistische Hintergründe

Statistisch gesehen ist der VaR eine Zufallsvariable, die eine Ausprägung annimmt.

Häufig sind das Renditen von Preisänderungen. Speziell in dieser Arbeit wird nur von Aktienkursrenditen gesprochen. Eine weitere Annahme ist, dass wir von einer Normalverteilung der Renditen ausgehen und aufgrund der günstigen Eigenschaften stetige Renditen verwenden. Mit diesen stetigen Zufallsvariablen kann man eine theoretische Normalverteilung bilden. Diese Verteilung lässt sich in zwei Arten darstellen. Einmal die symmetrische Dichtefunktion, die die Häufigkeit bzw. die Wahrscheinlichkeit beschreibt, welche eine stetige Zufallsvariable in einen Intervall annehmen kann. Durch die Bildung des Integrals der Dichtefunktion, entsteht die Verteilungsfunktion. Diese gibt an mit welcher Wahrscheinlichkeit, die Beobachtungsdaten einen bestimmten Wert oder ein bestimmtes Wertintervall erreichen bzw. über- oder unterschreiten kann.²¹ Durch eine spezielle Transformation der Normalverteilung, erhält man die Standardnormalverteilung mit dem Erwartungswert von Null und einer Standartabweichung von eins:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit: Z= standardnormalverteilte Zufallsvariable; X= normalverteilte Zufallsvariable; EW Erwartungswert von X; STD= Standartabweichung von X²²

Daraus kann man jede Zufallsvariable ermitteln, da die Verteilung standardisiert ist. Es wird zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten, nur die aus der Tabelle entnommenen Werte der Dichte- und Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung benötigt. Hier ein kleiner Auszug:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1 Funktionswerte der Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung für ausgewählte Z-Werte.

Durch Einsetzen von z=2 in die Verteilungsfunktion F(2) erhält man die Wahrscheinlichkeit von 97,72%. Durch die Symmetrie Eigenschaft der Verteilung kann man eine zusätzlich Aussage machen, dass man mit einer Wahrscheinlichkeit von 2,28% =1-F(2) unter der Zufallsvariable z= -2 liegt und mit einer Wahrscheinlichkeit von 97,72% darüber.²³ Dies ist sehr gut in Abb. 2 zu erkennen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.2 Normalverteilte Verteilungsfunktion (vgl. Schierenbeck)

Zur Verdeutlichung dieser Theorie und Einbeziehung der Standartnormalverteilung kann man den Grenzwert der Rendite ermitteln, der mit einer Wahrscheinlichkeit von 97,72% z=2 nicht überschritten wird. Wir haben eine Risikoposition mit dem Erwartungswert von 1% und der Standardabweichung 2%. Durch einsetzen in die Gleichung 2 erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei einer Wahrscheinlichkeit von 97,72% kann man davon ausgehen, dass die Rendite nicht schlechter als -3% sein wird.²⁴ In der Abb. 3 kann man diesen Grenzwert VaR auf der linken Seite erkennen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3 Normalverteilte Dichtefunktion (vgl. Schierenbeck)

Diese Aussagen kann man mathematisch wie folgt zusammenfassen:

Die Wahrscheinlichkeit auf deren Basis der VaR berechnet wird, ist durch das α-Quantil definiert das bei der Verteilungsfunktion F(X)= α eine Zufallsvariable X entspricht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier wird die Fläche von -∞ bis X berechnet, um einen Quantilswert α aus einer Verteilungsfunktion zu bestimmen.²⁵ Man könnte sich vorstellen, dass man einen VaR vorgegeben bekommen hat. Darauf hin soll die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Wert nicht überschritten wird ermittelt werden. Natürlich setzt das die Kenntnis der Verteilungsfunktion voraus, was in der Realität sehr aufwendig zu realisieren ist. Äquivalent kann eine unbekannte Zufallsvariable, aus der inversen Verteilungsfunktion bestimmt werden:²⁶

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Zufallsvariablen X sind im Endeffekt, alle möglichen Wertänderung ΔV einer Risikoposition V innerhalb eines Zeitraums. Hier erfolgt die Berechnung einer Zufallsvariable zwischen den Perioden t und t-1:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Weitere Eigenschaften des VaR sind:²⁷

[...]

² Markus Kremers (Risikoübernahme in Industireunternehmen,2002)S.122/Meyer,C.(Value at Risk,1999), S.12/ Huschens, S (Value-at-Risk-Berchnung,2000),S.183

³ Lutz Johanning (VaR zur Marktrisikosteruerung und Eigenkapitalallokation, 1998), S.1

⁴ Oehler/Unser(Finanzwirtschaftliches Risikomanagement, 2001), S.15

⁵ Jens Fricke (VaR Ansätze zur Abschätzung von Marktrisiken, 2006), S.8

⁶ Jens Fricke (VaR Ansätze zur Abschätzung von Marktrisiken, 2006), S.10

⁷ Herbert Fromme(Financial Times, 24.6.2010), Sonderbeilage Risikomanagement

⁸ Jens Fricke (VaR Ansätze zur Abschätzung von Marktrisiken, 2006), S.10/ Merbecks, Stegemann, Frommeyer (Intelligentes Risikomanagement, 2004),S.92

⁹ Jens Fricke (VaR Ansätze zur Abschätzung von Marktrisiken, 2006), S.8

¹⁰ Herbert Fromme(Financial Times, 24.6.2010), Sonderbeilage Risikomanagement

¹¹ Thomas Wolke (Risikomanagement, 2008), S.7

¹² Thomas Wolke (Risikomanagement, 2008), S.11

¹³ Thomas Wolke (Risikomanagement, 2008), S.67

¹⁴ Thomas Wolke (Risikomanagement, 2008), S.67

¹⁵ Thomas Wolke (Risikomanagement, 2008), S.67

¹⁶ Thomas Wolke (Risikomanagement, 2008), S.79

¹⁷ Thomas Wolke(Risikomanagement, 2008), S.240

¹⁸ Thomas Wolke(Risikomanagement, 2008), S.53

¹⁹ Markus Kremers (Risikoübernahme in Industireunternehmen, 2002) S.123/ Huschens, S ( Anmerkungen,1999), S.75

²⁰ John C. Hull (Opionen,futures und andere Derivate,2006), S.524

²¹ Henner Schierenbeck ( Ertragsorientiertes Bankmanagement, 2001), 63

²² Henner Schierenbeck ( Ertragsorientiertes Bankmanagement, 2001), 64

²³ Henner Schierenbeck ( Ertragsorientiertes Bankmanagement, 2001), 66

²⁴ Henner Schierenbeck ( Ertragsorientiertes Bankmanagement, 2001), 67

²⁵ Mark Neukomm (VaR –Quantifizierung unter Verwendung von Hochfrequenzdaten, 2003), S.8

²⁶ Mark Neukomm (VaR -Quantifizierung unter Verwendung von Hochfrequenzdaten, 2003), S.9

²⁷ Mark Neukomm (VaR -Quantifizierung unter Verwendung von Hochfrequenzdaten, 2003), S9/ Poddig/ Dichtl/ Petersmeier (Statistik, Ökonometrie, Optimierung, 2001), S.26