Die Unendlichkeit in der Mathematik

Inhalt

1. Einleitung

2. Hauptteil
2.1. Gibt es ein Ende am Zahlenstrahl? (Mengenlehre)
2.2. Primzahlen und Unendlichkeit
2.3. Unendlichkeit im Mathematikunterricht in der Schule

3. Schluss/Fazit

Anhang

1. Einleitung

„Das Unendliche hat wie keine andere Frage von jeher so tief das Gemüt der Menschen bewegt. Das Unendliche hat wie kaum eine andere Idee auf den Verstand so anregend gewirkt. Das Unendliche ist aber auch wie kein anderer Begriff der Aufklärung bedürftig.“^[1]

In dieser Facharbeit widme ich mich dem Thema der Unendlichkeit in der Mathematik. Vorerst einige allgemeine Gedanken und Erklärungen zu meiner Themenfindung:

Die Unendlichkeit ist etwas sehr Abstraktes für uns Menschen. Sie wirkt groß und einschüchternd auf uns. Ich habe lange darüber nachgedacht, ob ich mich in meiner Facharbeit in Mathematik mit diesem Thema beschäftigen soll, ob es nicht paradox ist, als endlicher Mensch über die Unendlichkeit zu forschen.^[2]

Denn vieles, was uns umgibt, unser Handeln und unsere Gedanken, scheinen endlichen Charakter zu haben.^[3]

Und doch hat mich die Thematik sehr gereizt^[4], weil sich das Unendliche nicht nur in der Mathematik, sondern in sämtlichen Lebensbereichen und auf sämtlichen Ebenen wiederfindet, ohne dass wir es bemerken. Wer interdisziplinär, also fachübergreifend, denkt, merkt: Es gibt sie in unserem Alltagsleben, der Natur (den rhythmischen Abläufen, Kreisläufen, wie den Jahreszeiten), aber auch in unserer Kultur findet sie sich in kleinen Teilen wieder. Sie ist in der (modernen) Kunst vertreten (Bilder und eine Grafik siehe Anhang, S.15 und 16) in der Poesie (s. A., S. 17) oder zeigt sich in der Musik. Bei einem gesungenen Kanon kommen immer mehr Stimmen hinzu, die parallel singen, ihr Gesang könnte unendlich weitergehen, wenn der Dirigent ihn nicht „mit Gewalt“ mit einem Handzeichen beenden würde. Auch in der Poesie findet sich das Unendliche wieder. Manche Gedichte könnten nie enden, sie verfügen über Inhalte, die immer weiter fortgeführt werden können. (s. A., S.17)

Selbst wenn man in einen Klappspiegel schaut, so bemerkt man, dass die Innenseiten des Spiegels sich immer wieder gegenseitig spiegeln – scheinbar unendlich viele, immer kleiner werdende Spiegelbilder entstehen.

Der Ehering ist ein Symbol für die Unendlichkeit im übertragenen Sinn: seine kreisförmige Gestalt steht für die nie endende Liebe eines Paares.

Aber so oft sie auch auftreten mag, in gewisser Weise ist die Unendlichkeit doch in sich selbst unlogisch, ja, widersprüchlich. Es gibt, soweit wir heutzutage wissen, keine biologische Unsterblichkeit, kein unendliches Leben eines Individuums. Die Evolution verbietet dies, Sterblichkeit wird zum Überlebensvorteil der jeweiligen Tierart oder Rasse.^[5]

Was man - bei allen Unklarheiten, die diese Thematik mit sich bringt - sagen kann, ist, dass sich für eine Unendlichkeit etwas immer wieder repetieren muss, ohne Ende. Oder dass eine Anzahl von Dingen so groß ist, dass sie nicht enden kann.

Hier beginnt die Reise in die Unendlichkeit der Mathematik.

Kann es überhaupt Anzahlen von Dingen geben, die nie aufhören, also über kein Ende verfügen?

Die Anzahl der Sandkörner auf der Erde lässt sich nicht bestimmen. Ist sie deswegen schon unendlich? Theoretisch könnte man jedes einzelne Sandkorn zählen, auch, wenn dies praktisch nicht machbar ist.^[6] Die Anzahl der Nanosekunden seit dem Urknall muss riesig sein, sie scheint unendlich für uns. Aber es wäre doch theoretisch möglich, diese zu zählen, also müsste man auch hier von einer endlichen Menge sprechen. Die Anzahl der Elementarteilchen im Universum wirkt gigantisch – es besteht aus 10 hoch 78 Atomen – aber bei genauerer Überlegung ist wohl auch diese nur endlich.

Steht man am Meer und sieht den Horizont, wird man getäuscht, denn dieser „gaukelt“ Unendlichkeit vor. Die Erdoberfläche ist begrenzt, auch, wenn sie grenzenlos wirkt, weil man immer weiter geradeaus gehen kann und es kein „Weltende“ gibt. Ihre Oberfläche beträgt 510 Millionen km², ist riesig, aber endlich.

Denkt man an die Naturwissenschaften, so gerät man erneut ins Grübeln: Gibt es in diesem Bereich Unendlichkeiten? Eine Temperatur kann nicht unendlich hoch oder niedrig sein. Spannungen sind lediglich begrenzt, selbst die Lichtgeschwindigkeit hat eine Grenze, und so Frequenzen, Energien oder Massen. Und wie verhält es sich mit dem Vakuum im Weltraum? Ist das Vakuum unendlich?

Allgemein scheinen Dinge interessant für uns Menschen zu sein, die wir nicht begreifen können, die abstrakt sind. Selbst, wenn sie sich sogar im Alltagsleben wiederfinden. Wir bevorzugen es, Dinge zu kennen, einordnen und somit kontrollieren

zu können. Es liegt auf der Hand, dass sich die Unendlichkeit nicht ganz einfach definieren lässt. Die eben genannten 10 hoch 80 Atome, aus denen das Universum besteht, wäre zeichnerisch eine 1 mit 80 Nullen dahinter. Mit Konzentration und Ausdauer ließe sie sich schriftlich festhalten. Die Unendlichkeit allerdings, „ist weit. Vor allem gegen Ende.“,^[7] wie einst der französische Journalist Alphonse Allais (1854-1905) sagte.

Auch der Gedanke des „ewigen“, also unendlichen, Lebens, das über die soeben angesprochene biologische Unsterblichkeit auf Erden hinausgeht, nach dem Tod ist für uns Menschen nur schwer erfassbar. Das Unendliche findet sich dementsprechend nicht nur in den bereits genannten Lebensbereichen wieder, sondern hängt auch mit religiösen Ansichten und persönlichen Weltanschauungen zusammen, weswegen sie wahrscheinlich auch individuell unterschiedlich aufgefasst wird.

Gibt es überhaupt eine Unendlichkeit, oder ist diese nur eine Erfindung der Menschen, ein Konstrukt, das bemüht wird, wenn von Dingen gesprochen wird, deren Anzahl oder Größe über die menschliche Vorstellungskraft hinausreichen, die erst dann angesprochen wird, wenn die Menschen einer entsprechenden Anzahl keine Zahlen zuordnen, sie nicht mehr benennen können? Wie genau äußert sich dieses Phänomen in der Mathematik, welche Auswirkungen hat es? Dies werde ich in meiner Facharbeit genauer untersuchen.

2. Hauptteil

2.1. Gibt es ein Ende am Zahlenstrahl? (Mengenlehre)

Um sich mit der Unendlichkeit der Zahlen auseinanderzusetzten, so habe ich bei meinen Recherchen herausgefunden, ist die Mengenlehre von großer Bedeutung. Diese rief in den 1870er Jahren Georg Cantor ins Leben. Mengen sind „Ansammlungen“ von Dingen, die sich „Elemente“ der jeweiligen Menge nennen. Eine Menge sind z.B. die natürlichen Zahlen, die positiven ganzen Zahlen. Sie werden mit dem Symbol „ N “ bezeichnet und in geschweiften Klammern dargestellt:

N = {1,2,3,4,5,6,7,8,…}

Mengen lassen sich nun einschränken und werden „Teilmengen“ genannt. Beispielsweise lässt sich die Menge der positiven ganzen Zahlen auf eine Teilmenge A ={1,2,3,4} beschränken. Diese ist nur eine endliche Menge, da sie aus vier Zahlen besteht.

Eine unendliche Menge ist dementsprechend eine Menge, die nicht endlich ist.^[8]

Ein berühmtes Beispiel für unendliche Mengen hat sich David Hilbert (1862-1943) überlegt. Er ist Erfinder des Gedankenkonstrukts „Hilberts Hotel“:

„In einem Hotel mit endlich vielen Zimmern, also einem üblichen Hotel, kann es passieren, dass alle Zimmer belegt sind. Für einen dann noch eintreffenden Gast gibt es kein Unterkommen mehr. Ganz anders im Unendlichen. Stellen wir uns ein Hotel, eben „Hilberts Hotel“ vor, das unendlich viele Zimmer besitzt. Diese tragen die Nummern 1,2,3… Jedes dieser Zimmer ist mit einem Gast belegt. Nun kommt ein neuer Gast und begehrt Einlass. „Kein Problem“, sagt der Mann an der Rezeption, „nur einen Augenblick.“ Er bittet den Gast aus Zimmer 1, in Zimmer 2 zu gehen, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 3 , den aus Zimmer 4 in Zimmer 5, usw. Schließlich hat jeder Gast ein Zimmer, und das erste Zimmer ist frei, hier kann nun der neue Gast einziehen. Mathematisch kurz könnte man dieses Phänomen durch die Gleichung ∞+1=∞ ausdrücken. Klar, dass mit derselben Methode auch noch ein weiterer Gast unterzubringen ist, ja jede endliche Menge von neuen Gästen. Also gilt auch ∞+2=∞, ∞+3=∞ usw. Nun stehen aber (unglaublich, aber wahr)! unendlich viele Gäste vor der Tür. Auch hier hat der Mann an der Rezeption eine Idee: Er bittet den Gast aus Zimmer 1, in Zimmer 2, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 4, den aus Zimmer 3 in Zimmer 6, usw; dann sind nur die Zimmer mit gerader Nummer belegt – und die unendlich vielen Neuankömmlinge können die Zimmer mit den ungeraden Nummern beziehen. Dies zeigt ∞+∞=∞.“^[9]

Anhand dieses Gedankenspiels ergibt sich schon ein größeres Verständnis für die Unendlichkeit. Ich bin bei meinen Recherchen auf noch ein anderes Gedankenexperiment gestoßen, welches mir persönlich noch besser gefallen hat und ebenfalls ein Wunder der Unendlichkeit darstellt. Man kann mit der Unendlichkeit nämlich nicht nur die Übernachtungsmöglichkeiten vermehren, sondern ebenso das Geld: „Stellen Sie sich vor, es würde unendlich viele Menschen geben: Nummer 1, Nummer 2, Nummer 3, usw. Diese stehen alle in einer Reihe hintereinander, und jeder hält einen Euro in der Hand. Sie stehen vor der ganzen Reihe und halten nur ihre Hand auf. Der erste gibt Ihnen seinen Euro, erhält aber von seinem Hintermann wieder einen. Dieser erhält von der Person hinter ihm wieder einen Euro usw. Jeder hat einen Euro, aber Sie haben auch einen! (Es gilt ∞-1=∞). Natürlich setzen Sie das Spiel fort, halten die Hand auf und erhalten einen zweiten Euro. Und so geht es immer weiter: Sie werden steinreich, ohne, dass jemand dadurch weniger Geld hat.“^[10]

Zurück zu Hilberts Hotel und der Mächtigkeit unendlicher Mengen: Was mich vorerst verwirrt hat, war die Tatsache, dass in einem Hotel mit unendlich vielen Zimmern die Anzahl, also die Menge (die, wie bereits erklärt, in der Mathematik Teilmenge genannt wird) der ungeraden Zimmernummern genauso groß sein soll wie die Menge aller Zimmer. Dies war unverständlich für mich, da man bei einem „normalen“ Hotel mit einer endlichen Zimmeranzahl erwarten würde, dass die Gesamtmenge aller Zimmer größer ist als die Teilmenge der Zimmer mit ungerader Nummer. Würde dies bedeuten, dass ein Tortenstück im Unendlichen genauso groß sein kann, wie eine ganze Torte!? „Ist das denn möglich?“, frage ich mich. Günter M. Ziegler gelangt in seinem Buch „Darf ich zahlen?“ genau zu demselben Unverständnis wie ich, wie ich nach intensiver Forschung und Suche nach diesem Problem herausfand. Er stellt fest, dass unendliche Mengen die Eigenschaft haben, über Teilmengen zu verfügen, die gleichmächtig der „Gesamtmenge“ sind. Diese Mächtigkeit abzählbarer Mengen, so erklärt er, wird N0 („Aleph 0“) genannt. Aleph ist der erste Buchstabe des hebräischen Alphabets.^[11]

Gehen wir also nun davon aus, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt. Schnell kommt die Frage auf, ob es dementsprechend auch unendlich viele Bruchzahlen gibt. Von meinem Gefühl her, also intuitiv, würde ich sofort sagen, dass es mehr Bruchzahlen gibt, da ja zwischen zwei natürlichen Zahlen sehr viele Bruchzahlen liegen. Das tabellarische Konstrukt von G. Cantor (1845-1918) (Cantor'sches Diagonalverfahren) zeigt, dass dem so sein muss, denn man kann alle Zahlen in der von ihm erstellten Tabelle durch eine Schlängelbewegung erreichen: Die erste Zahl, auf die man kommt, ist die 1, die nächste die 2, dann die 3, usw. Somit gibt es eine Zuordnung, die jedem Bruch eine natürliche Zahl beistellt. So bekommen verschiedene Brüche unterschiedliche natürliche Zahlen zugeordnet und sind deswegen von derselben Unendlichkeit wie die natürlichen Zahlen.^[12] (Sofern diese das sind). (Grafik s. A., S.18) Dass eine Menge dann unendlich ist, wenn es eine eindeutige Zuordnung zwischen ihren Elementen und denen ihrer echten Teilmenge gibt, bewies Galileo Galilei (1564-1642) in seinem Paradoxon. (s. A., S.19)^[13]

2.2. Primzahlen und Unendlichkeit

„Wir sind zweiseitig symmetrische, geschlechtlich differenzierte Zweibeiner, ansässig in einer der äußeren Spiralen der Milchstraße, fähig, Primzahlen zu erkennen…“ (Text, der an den Raumsonden der NASA angebracht ist)^[14]

Bisher bin ich auf verschiedene Arten von Zahlen eingegangen. Noch nicht erwähnt habe ich die Primzahlen, die in Bezug auf die Unendlichkeit in der Mathematik ebenso von Relevanz sind. Primzahlen sind die Zahlen, die nur zwei natürliche Zahlen als Teiler hat. Eine Primzahl ist größer als 1 und lässt sich (mit ganzen Zahlen) nur durch eins und sich selbst teilen.^[15] Sofort habe ich mir direkt die Frage gestellt, ob es sich mit den Primzahlen ähnlich verhält wie mit den natürlichen oder den Bruchzahlen, oder, ob es zumindest hier einen „handfesten“ Beweis gibt, der besagt, dass die Primzahlen irgendwo ein Ende finden. –

Bald fand ich heraus, dass es diesen nicht gibt, sondern Euklid im 4. Jahrhundert bereits bewiesen hat, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.^[16] Er formulierte den Satz: „Es gibt mehr Primzahlen als jede vorgelegte Anzahl von Primzahlen.“^[17] Der wichtigste Aspekt seines Beweises wird heutzutage als „ euklidische Zahl “ bezeichnet.

Diese euklidische Zahl N erhält man, wenn man alle Primzahlen bis zu einer vorgegebenen Primzahl (P) multipliziert und zu diesem Produkt 1 addiert. (Grafik s. A.,S.19)

[...]

^[1] Hilbert, D., www.hs-augsburg.de (zuletzt aufgerufen am 31.1.15)

^[2] Zu der schwierigen Problematik äußerten sich viele Mathematiker und auch Philosophen. (siehe Anhang, S. 18)

^[3] Wobei diese Annahme sich bezüglich der Gedanken nicht bestätigen wird (s. A., S.18)

^[4] Bereits in der Unterstufe, in der ich meinem Mathematiklehrer Herrn Grichtol bereits mehrere, aus Interesse freiwillig verfasste, Seiten als meine„Hausarbeit“ gab. Das Thema beschäftigt mich nämlich schon lange

^[5] Immer wieder neue Anpassung an die Lebensverhältnisse der jeweiligen Spezien haben sich als nützlich erwiesen.

(Trotzdem gibt es weiterhin die menschliche Hoffnung an ein unendlich verlängerbares Leben: Für 30.000 US-$ kann man in den USA eine Risiko-Lebensversicherung abschließen und den eigenen Leichnam nach dem Tod tiefkühllagern lassen, mit der Hoffnung, dass man, wenn die Forschung vorangeschritten ist, wiederbelebt werden kann. Meiner Meinung nach ist dies allerdings nichts Erstrebenswertes, da hier mit Hoffnungen und Ängsten von Menschen Geld verdient wird. Es gibt die Unendlichkeit also auch als Geschäftsmodell). àwww.cryonicssociety.org (zuletzt aufgerufen am 14.2.15)

^[6] Hiermit beschäftigte sich auch Archimedes, der die Zahl10^63 für die Sandkörner, die im Universum Platz haben , herausfand. Er verwandte für den Radius des Universums die Entfernung von der Erde zur Sonne. Diese Menge Sand kommt seltsamer-/zufälligerweise der heute bekannten Materie im beobachteten Teil des Universums (10^78 Atome), recht nahe.

Archimedes: „"Es gibt Leute, König Geleon, die der Meinung sind, die Zahl des Sandes sei unendlich groß [...] Andere glauben zwar nicht, dass die Zahl unendlich sei, aber doch, dass noch keine Zahl genannt worden sei, die seine Menge übertreffen könnte." J.C. Lotter, „Kompaktes Wörterbuch des Unendlichen“, www.unendliches.net/german/sandzahl.htm zuletzt aufgerufen am 14.2.15

^[7] http://www.quotez.net/german/unendlichkeit.htm (zuletzt aufgerufen am 5.2.2015)

^[8] Crilly, T., Mathematik, die großen Fragen, Heidelberg, 2012², S.145f

^[9] Am aufgerufenen Ort (a.a.O), S.4

^[10] a.a.O, S.4

^[11] In Übereinstimmung mit dem Befund bewiesBernhard Riemann (1826-1866), dass eine endliche und eine unendliche Fläche genau gleich viele Punkte haben. → Crilly, T., Mathematik, die großen Fragen, Heidelberg, 2012², S.145f

^[12] Blum, W., Die Grammatik der Logik München, 1999², S.203

^[13] www.unendliches.net/german/gparadoxon.htm (zuletzt aufgerufen am 4.2.2015)

^[14] Beutelspracher, A., Kleines Mathematikum, 2010, S.76

^[15] Schüler Duden, Mathematik I, Prof. Dr. Scheid, H. Mannheim, 1990³, S. 326

^[16] (In seinem Buch IX, Proposition 20, S.99)

^[17] Beutelspracher, A., Kleines Mathematikum, 2010, S.185