Die Taylorreihe und das Taylorpolynom. Erläuterung des Verfahrens

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Hinführung zum Thema

3 Taylor’s Leben

4 Definition
4.1 Die Potenzreihe
4.2 Die Idee des Verfahrens
4.3 Approximieren
4.4 Fakultät

5 Taylorreihe von Hand berechnen am Beispiel von sin(x)

6 Formel
6.1 Allgemeine Formel
6.2 Formel für die Taylorreihe an der Entwicklungsstelle x=xe
6.3 Bedingungen für die Taylorreihe
6.4 Formel für das Restglied
6.5 Das Pascalsche Dreieck

7 Fazit

8 Anhang

9 Literaturverzeichnis
9.1 Internetdokument
9.2 Zeitschriftenaufsatz

1 Einleitung

Ich habe mir das Thema Taylor in Mathe für meine GFS ausgesucht, da mich Mathe im Allgemeinen sehr fasziniert und ich mich mit Taylor auseinander setzen wollte. Er hat es geschafft, Funktionen zu approximieren und ich wollte wissen, wie dies funktioniert. In meiner Ausarbeitung habe ich den Schwerpunkt gelegt, eine Hinführung zu diesem spannenden Thema zu machen, danach Taylors Leben vorzustellen und schließlich seine Arbeit zu präsentieren. Zunächst ist es wichtig, verschiedene Begriffe zu definieren. Anschließend werde ich durch eine Beispielrechnung sein Verfahren erläutern und als nächstes die Formeln darstellen. Zu diesem Thema war es sehr schwer verständliche Materialen zu finden, doch ich wurde fündig.

2 Hinführung zum Thema

TKKG sagt einem auf den ersten Blick nichts. Es sind vier Buchstaben mit denen man relativ wenig anfängt. Man kann TKKG aber auch anders darstellen. TKKG besteht aus Tim, Karl, Klößchen und Gaby. Tim ist der Leiter der Gruppe und sehr sportlich. Karl kennt sich gut mit Computern aus, Klößchen hat die richtige Intuition und Gaby hat Kontakte zur Polizei. Zusammen lösen die Kriminalfälle. Was nun passiert ist, dass ich TKKG anders dargestellt habe. Je mehr Details ich verwende um so genauer kann ich TKKG anders darstellen. Übertragen auf die Mathematik bedeutet das, dass ich Sinusfunktionen auch durch die Aneinanderreihung von Termen darstellen kann. Je mehr Terme ich verwende, umso genauer wird die Sinusfunktion dargestellt.^[1]

Im Mathematikunterricht konnten wir Potenzreihen untersuchen und ermitteln, welche Funktion sie darstellen. Mit dem Folgenden Wissen kann man zu einer gegebenen Funktion die Potenzreihe angeben.

3 Taylor’s Leben

Brook Taylor ist am 18.August 1685 in Edmonton geboren.^[2]

„Brook Taylor entstammt einer vornehmen und wohlhabenden Familie. Sein Großvater väterlicherseits war Schreiber von Colchester und Repräsentant von Bedfordshire in Oliver Cromwells Versammlung, sein Großvater mütterlicherseits war adelig. Sein Vater achtete auf strenge Disziplin, interessierte sich aber genauso für Malerei und Musik, eine Leidenschaft, die er auch seinem Sohn vererbte. So wurde Taylor ein anerkannter Musiker und Maler, wobei er später auch seine mathematischen Fähigkeiten auf diese Gebiete anwendete.“^[3]

Taylor studierte in Cambridge Mathematik.“^[4] Er „war ein britischer Mathematiker und Mitglied der Royal Society.“^[5] „Nach ihm benannt sind die Taylorreihe und die Taylorsche Formel, mit der man stetig differenzierbare Funktionen als Potenzreihen darstellen oder durch Polynome annähern kann.“^[6] Taylor starb am 29. Dezember 1731 in Somerset House.^[7]

4 Definition

Im Folgenden werde ich genauer auf die Begriffe Potenzreihe, die Idee des Verfahrens und das Approximieren eingehen.

4.1 Die Potenzreihe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Potenzreihe ist eine Reihe mit dieser obigen Form, die unendlich viele Glieder hat.

4.2 Die Idee des Verfahrens

Man möchte eine Funktion durch ein Polynom mit unendlich vielen Gliedern ersetzen. Es gilt dann:

„Wenn die Potenzreihe und die Funktion tatsächlich gleich sind, dann haben sie an der Entwicklungsstelle den gleichen Wert. Außerdem sind auch alle Ableitungen von Funktion und Potenzreihe an der Entwicklungsstelle gleich.“^[8]

Ableitungen sind eine gute Idee für die Annäherung.

4.3 Approximieren

Approximieren bedeutet annähern. Man möchte eine Funktion durch eine Polynomfunktion annähern. In einem gewissen Bereich sollte die Funktion mit der Polynomfunktion die gleichen Funktionswerte haben.^[9] Auf den Abbildungen zwei, drei und vier im Anhang wird deutlich, je mehr Glieder ein Taylorpolynom hat, umso genauer ist die Approximation.

4.4 Fakultät

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn man die ersten fünf Natürlichen Zahlen multipliziert, kann man dies vereinfachen. Dies geschieht durch die Fakultät.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier ist ein weiteres Beispiel.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist die allgemeine Formel.^[10]

5 Taylorreihe von Hand berechnen am Beispiel von sin(x)

Bsp:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir haben nun jeweils die Ableitung gebildet und dann für x den Wert 0 eingesetzt. Dadurch können wir die einzelnen Konstanten berechnen.

Ansatz:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies ist unser allgemeiner Ansatz. Nun muss man die Konstanten einsetzen und erhält die Taylorreihe.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nun wendet man die Fakultätschreibweise an, um die Funktion zu vereinfachen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

6 Formel

Wie man an der Beispielrechnung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erkennen kann, gibt es eine logische Folge, die man in Formeln darstellen kann.

6.1 Allgemeine Formel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zusammenfassend kann man dies schreiben.Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die Funktion unendlich viele Glieder hat, bezeichnet man dies als Taylorreihe.

6.2 Formel für die Taylorreihe an der Entwicklungsstelle x=xe

Dies ist die Formel, wenn man der Stelle x=xe approximieren möchte.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um dies zu vereinfachen kann man die Summenschreibweise anwenden.Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Man kann also Funktionen an beliebiger Entwicklungsstelle approximieren. Diese beiden Funktionen wurden an verschiedener Entwicklungsstelle approximiert.^[11]

Entwicklungsstelle x=0 Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Entwicklungsstelle x=Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beide Taylorreihen beschreiben die Cosinusfunktion und müssten identisch sein. Doch die Formel sehen ganz unterschiedlich aus. „Die Reihen sind tatsächlich gleich. Dies erkennt man aber erst, wenn man die Klammern ausmulipliziert, und dabei sehr viele Glieder der Reihe in der Rechnung berücksichtigen würde!“^[12] Daraus ergibt sich ein Fazit. „Während das Taylorpolynom von der Entwicklungsstelle abhängt, ist die Taylorreihe einer Funktion für alle Entwicklungsstellen gleich, auch wenn es auf den ersten Blick nicht so aussieht.“^[13]

[...]

^[1] EUROPA: Wer sind TKKG :: TKKG - Hörspiele, Bücher und vieles mehr. https://www.tkkg.de/www/charaktere, 28.05.2014

^[2] Wikipedia: Brook Taylor. http://de.wikipedia.org/w/index.php?oldid=128780937, 28.05.2014.

^[3] Taylor, http://www.f07.fh-koeln.de/imperia/md/content/personen/bold_christoph/taylor.pdf, S. 1.

^[4] Wikipedia (16.05.2014) [wie Anm.2].

^[5] Wikipedia (16.05.2014) [wie Anm.2].

^[6] Wikipedia (16.05.2014) [wie Anm.2].

^[7] Wikipedia (16.05.2014) [wie Anm.2].

^[8] Taylorreihen und Taylorpolynome. http://www.mathematik.net/reihen-taylorreihen/ty2s20.htm, 28.05.2014.

^[9] Taylorpolynome. http://www.mathematik.net/reihen-taylor-polynome/tp1s20.htm, 28.05.2014.

^[10] Fakultäten (Mathematik) Einführung. http://www.youtube.com/watch?v=w69LMN-9lpY, 28.05.2014.

^[11] Taylorreihen und Taylorpolynome. http://www.mathematik.net/reihen-taylorreihen/ty2s26.htm, 29.05.2014.

^[12] (05.08.2009) [wie Anm.13].

^[13] (05.08.2009) [wie Anm.13].