Modellierungsmöglichkeiten von Ungewissheit bei Ungültigkeit der Kolmogoroffschen Axiome (possibilitäts- und fuzzy-set-theoretischen Ansätze

INHALTSVERZEICHNIS

1. Einführung

2. Methologische Grundlagen
2.1 Kolmogoroffschen Axiome
2.2 Formen der Unschärfe

3. Fuzzy-Set Theorie
3.1 Grundidee
3.2 Begriff der unscharfen Mengen – Fuzzy-sets
3.3 Darstellungsformen unscharfer Mengen
3.4 wichtige Definitionen
3.5 Mengenoperatoren

4. Die Possibilitätstheorie
4.1 Grundlagen und allgemeine Definitionen
4.2 Wahrscheinlichkeit versus Möglichkeit

5. Zusammenfassung

6. Anhang

7. Abbildungsverzeichnis

8. Symbolverzeichnis

9.Literaturverzeichnis

1. Einführung

Täglich werden wir mit neuen Problemen konfrontiert, seien es private oder berufliche Probleme. Um diese Probleme lösen zu können, müssen wir Entscheidungen treffen. Entscheidungen sind somit ein zentraler Bestandteil unseres täglichen Lebens. Die Entscheidung ist als Wahlakt zwischen mehreren sich gegenseitig ausschließenden Handlungsalternativen definiert und dient zur Verfolgung zukünftiger Ziele¹⁾. Voraussetzung für eine Entscheidung sind Informationen bezüglich Handlungs-alternativen, Umweltzuständen und Ergebnissen, sowie deren Eintrittswahrscheinlichkeiten. Ein Entscheidungsträger verfügt aber fast nie über vollständige Informationen seiner zukünftigen Entscheidung. Somit können Konflikte entstehen, wenn Entscheidungsprobleme nicht nach dem klassischen Muster der Wahrscheinlichkeitstheorie modelliert werden .

In der vorliegenden Arbeit wollen wir verschiedene Möglichkeiten betrachten, wie man mit ungenauen Informationen umgehen und solche Probleme unscharfer Informationen modellieren kann. Im folgenden werden wir vorerst die allgemeinen methologischen Grundlagen erläutern. Anschließend werden wir zwei Ansätze kennenlernen, die für die Verarbeitung unscharfer Informationen entwickelt wurden. Ersterer Ansatz wird die Fuzzy-Theorie sein, welche unscharfe Informationen über eine Zugehörigkeitsfunktion modelliert. Der zweite Ansatz stellt die Possibilitätstheorie dar, die die Möglichkeit der Zugehörigkeit von Ereignissen in den Vordergrund stellt. Aber zunächst wollen wir auf die methologischen Grundlagen eingehen.

2. Methologische Grundlagen

Der Begriff der Wahrscheinlichkeit wird definiert als „ein Maß zur Quantifizierung der Sicherheit bzw. Unsicherheit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses“²⁾. Diese Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffes bringt zum Ausdruck mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis eintritt oder nicht. Die Wahrscheinlichkeitstheorie unterscheidet grundsätzlich zwei Arten des Wahrscheinlichkeitsbegriffes, den objektiven und den subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff. Um uns auf die wesentlichen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie beschränken zu können, soll an dieser Stelle auf eine nähere Erläuterung der beiden Wahrscheinlichkeitsbegriffe verzichtet werden. Wir verweisen hier auf die einschlägige Literatur der Wahrscheinlichkeitstheorie, sowie auf den Anhang, der eine ausführliche Beschreibung beider Begriffe liefert.

2.1 Kolmogoroffschen Axiome

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses A muss mehreren formalen Bedingungen genügen, den sogenannten Kolmogoroffschen Axiomen. Die Kolmogoroffschen Axiome basieren auf σ-Algebren. Eine s-Algebra ist ein System von Teilmengen. Ein System A von Teilmengen einer Menge W heißt s -Algebra (über W ) wenn gilt³⁾:

1) Das sichere und das unmögliche Ereignis gehören zur s - Algebra

formal: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

2) Jedes Ereignis und das dazugehörige Komplement gehören zur s - Algebra

formal: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

3) Alle Vereinigungsmengen der Ereignisse gehören zur s - Algebra

formal: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], mit I als höchstens abzählbarer Indexmenge

Die Axiome von Kolmogoroff erklären den Wahrscheinlichkeitsbegriff anhand folgender 3 Definitionen⁴⁾.

A1) Nicht-Negativität: Die Wahrscheinlichkeit für jedes zufällige

Ereignis X ist nicht negativ. Jedem Ereignis X kann eine Zahl

zwischen 0 und 1 zugeordnet werden, wobei die Grenzen mit

eingeschlossen sind.

A2) Normierung: Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses ist 1

A3) s-A dditivität: Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von

endlich vielen zufälligen Ereignissen, die sich gegenseitig

ausschließen (disjunkte Ereignisse) ist gleich der Summe der

Einzelwahrscheinlichkeiten.

Zur formalen Notation der Axiome definieren wir eine Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten als Wahrscheinlichkeitsmaß auf einer Ergebnisalgebra A.

Somit gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aus den Axiomen A2 und A3 lassen sich leicht zwei weitere formale Bedingungen für Wahrscheinlichkeiten ableiten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gleich eins minus der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses X.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei genauerer Betrachtung der Kolmogoroffschen Axiome und dem daraus resultierenden Wahrscheinlichkeitsbegriff wird man erkennen, dass dieser zur Anwendung für betriebswirtschaftliche Entscheidungssituationen völlig ungeeignet ist. Der Grund ist die Forderung nach objektiven oder subjektiven Wahrscheinlichkeiten⁵⁾. Dieser entscheidende Aspekt macht die Anwendung auf Fälle schwierig, in denen die Informationen des Entscheidungsträgers nicht den Axiomen genügen. Wenn Informationen nur ungenau vorliegen oder ungenau formuliert sind, können Wahrscheinlichkeiten auf der Grundlage der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie nicht fehlerfrei ermittelt werden. Als Beispiel soll hier die Einschätzung langfristiger Absatzchancen für ein innovatives Produkt genannt werden. Der Entscheidungsträger besitzt nicht genügend präzise Informationen , um mit Sicherheit sagen zu können, wie sich die Absatzchancen entwickeln.

Im folgenden wollen wir Ansätze betrachten, in denen solche ungenauen Informationen verarbeitet werden und die traditionelle Wahrscheinlichkeitstheorie versagt. Vorerst wollen wir uns kurz ein Bild über die Formen der ungenauen Information machen.

2.2 Formen der Unschärfe

Allgemein kann man festhalten, dass die Menschen selbstverständlich mit ungenauen Informationen umgehen. So kommunizieren wir auf der Basis eines Wortschatzes, der an vielen Stellen nur unscharf definiert ist, und sind trotzdem in der Lage einander zu verstehen. Wir können sinnvolle Entscheidungen fällen, selbst wenn wir Situationen nicht perfekt einschätzen können. Im Bereich der strategischen Planung können langfristige Ergebnisse jedoch nur in vager Form angegeben werden. So können zum Beispiel die Absatzchancen nur in Form von „ziemlich gut“ oder „mäßig“ vorausgesagt werden. Bei dieser Form der Unbestimmtheit von Informationen spricht man von Unschärfe. Sie bezieht sich nicht auf das zufällige Eintreten eines Ereignisses, sondern auf das Ereignis selbst. Man kann zwei Arten der Unschärfe definieren, die intrinsische Unschärfe und die informationale Unschärfe⁶⁾. Die intrinsischen Unschärfe wird auch als sprachliche Unschärfe bezeichnet. Sie wird hauptsächlich mit menschlichen Empfindungen in Zusammenhang gebracht. Ausdrücke wie „ein hoher Gewinn“ oder „niedrige Kosten“ sind gute Beispiele dafür. Jedoch liefern diese Ausdrücke keine klaren Beschreibungen sondern nur subjektive Empfindungen, weil die Grenzen nur subjektiv festgelegt werden. Wenn 10000 Euro als untere Grenze für einen hohen Gewinn festgelegt wird, kann man sich dann die Frage stellen, warum 9999 Euro nicht auch ein hoher Gewinn ist. Durch diese subjektive Festlegung der Grenzen treten oft Erklärungsprobleme auf⁷⁾. Bei der informationalen Unschärfe spricht man von exakt definierten Begriffen, bei denen lediglich bei der praktischen Handhabung Probleme auftreten⁸⁾. Ursache der Unschärfe ist hierbei mangelndes Wissen und fehlende Information, die nicht zu beschaffen ist. Ein gutes Beispiel ist das Wort „kreditwürdig“. Entweder man ist kreditwürdig oder nicht, d. h. es gibt nur ein „ja“ oder ein „nein“ als Antwort. Bei der konkreten Entscheidung spielen eine Menge von Informationen als messbare Indikatoren (z. B. Umsatz, Gewinn oder Wert von Immobilien) eine wichtige Rolle. Dennoch ist ex ante nicht feststellbar, ob ein Unternehmen in der Lage ist, den Kredit zurückzahlen zu können.

Wir haben gesehen, dass bei der Anwendung der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie Probleme auftreten, wenn Unsicherheit bezüglich der Daten in Form von Unschärfe vorliegt. Es wird eine Theorie vorgestellt, die die Probleme der Unschärfe gelöst hat. Diesbezüglich gehen wir zunächst auf die Grundlagen der unscharfen Informationsverarbeitung ein. Danach definieren wir grundlegende Begriffe und Schreibweisen.

[...]

¹⁾ Vgl. Kahle (1997) S.9 sowie Vorlesungsskript (2001) Anlage 3

²⁾ Woll (Band IV), S. 731

³⁾ Vgl. Vorlesungsskript (2001) Anlage 17 sowie Spengler (1999), S. 87

⁴⁾ Vgl. Eisenführ/Weber (1993), S. 20 sowie Vorlesungsskript (2001), Anlage 17

⁵⁾ Vgl. Spengler (1999), S.87-89

⁶⁾ Vgl. Biethahn/ Schumann (1997), S. 30 ff

^{7) 8)} Vgl. Rommelfanger (1994) S. 4