Das Thema "Maßstab" im Geometrieunterricht der Klassen 3 und 4

Inhaltsverzeichnis

- Maßstab

- Verdrehte Maßstäbe

- Mathematisch-didaktische Bemerkungen

- Vergrößern und Verkleinern

- Maßstabsgerechtes Zeichnen

- Maßstabsgerechtes Bauen

- Rechnen mit Maßstäben

- Lernziele

- Ideen und Anregungen für den Unterricht:
1. Unterrichtseinstiege
2. Verschiedene Aufgabenstellungen (Schulbücher)
3. Ideen für Stationenarbeit
4. Spiele / Materialien
5. Sammlung guter Internetseiten

Seminararbeit: Tagespraktikum Mathematik

Geometrieunterricht Klasse 3/4 (Thema: Maßstab)

Maßstab (vgl. Schipper/Dröge/Ebeling: Handbuch für den Mathematikunterricht 4. Schuljahr. Schroedel 2000)

- Maßstab

Große Objekte (z.B. Gebäude, Landschaften) müssen verkleinert werden und sehr kleine Objekte (z.B. Insekten) müssen vergrößert werden, damit man sie zeichnerisch darstellen kann. Damit Proportionen und Formen im Bild erhalten bleiben, ist ein geeigneter Maßstab zu wählen. Maßstabsgerechte Vergrößerungen und Verkleinerungen entsprechen einer zentrischen Streckung. Der Maßstab gibt dabei das Verhältnis von den Längen des Bildes zu den Längen der Wirklichkeit an. Bei einem Maßstab von 2:1 werden alle Strecken verdoppelt, die Fläche jedoch vervierfacht.

- Verdrehte Maßstäbe

Wir haben gelernt, Größenverhältnisse aus Bildern abzulesen. Dabei verlassen wir uns auf die Maßstabstreue und stellen sie nicht mehr in Frage. Unter verdrehten Maßstäben versteht man Abbildungen, bei denen die Größenverhältnisse nicht stimmen. Bekanntes Beispiel sind die beliebten Helden aus der „Sendung mit der Maus“. Beide Tiere passen, gemessen an der Realität, in der Größe nicht zueinander, denn die Maus ist größer als der Elefant. Aber hier geht es nicht um die mathematische Größe, sondern um die „innere Größe“.

- Mathematisch-didaktische Bemerkungen

Sachanalyse

Um große Objekte (z.B. Häuser, Fahrzeuge, Landschaften...) oder sehr kleine Objekte (z.B. Insekten, Mikroorganismen,...) zeichnerisch darstellen zu können, müssen diese verkleinert bzw. vergrößert werden.

Damit die realen Formen und Proportionen im Bild erhalten bleiben, bedarf es eines geeigneten Maßstabes, nach welchem alle Längen bei der Verkleinerung / Vergrößerung, im gleichen Verhältnis verändert werden. Der Maßstab drückt das Verhältnis zwischen den Längen der realen Objekte und den Längen in den bildlichen Darstellungen aus. Er wird mathematisch in Form einer Proportion oder eines Bruches ausgedrückt, wobei sich die erste Zahl auf das Bild und die zweite Zahl auf das Original bezieht:

Maßstab a:b = Maßstab Bild : Original

Der Maßstab 1:4 beispielsweise gibt an, dass eine Längeneinheit im Bild vier Längeneinheiten in der Wirklichkeit/im Original entspricht. Die Längen des Bildes sind folglich nur ¼ mal so lang wie im Original.

Handelt es sich um einen großen Bruch, so spricht man von einem großen Maßstab, handelt es sich um einen kleinen Bruch, spricht man von einem kleinen Maßstab.
Zentrische Streckung

Maßstabsgerechte Vergrößerungen und Verkleinerungen bezeichnet man als zentrische Streckungen:

Die zentrische Streckung an Z mit dem Steckfaktor k ordnet jedem Punkt P der Ebene einen Bildpunkt a(P) = P‘ zu. Hierbei werden alle Längen mit dem selben Streckfaktor abgebildet.

Eine solche Abbildung bezeichnet man als Streckung im Zentrum Z, wobei k der Streckfaktor ist.

Diese Abbildung hat folgende Eigenschaften:

Sie ist bijektiv, ihre Umkehrabbildung ist eine Streckung mit Zentrum Z und Sreckfaktor 1/k.

Sie ist geradentreu.

Sie führt jede Gerade in eine zu ihr parallele Gerade über.

Ist k ¹ 0, so ist das Streckzentrum Z einziger Fixpunkt der Abbildung a.

Jede Gerade durch das Streckzentrum Z ist Fixgerade von a, d.h. sie stimmt mit ihrer Bildgeraden überein.

Eine Strecke [AB] wird somit auf das Bild [A’B‘] abgebildet. Mit anderen Worten: die Strecke [A’B‘] ist das Bild der Strecke [AB]. Das Verhältnis ihrer Längen entspricht dem Streckfaktor k.

Handelt es sich in der Abbildung um eine zentrische Streckung mit dem Streckfaktor k=2, so werden alle Längen im Original um den Faktor 2 gestreckt. Folglich sind die Längen des Bildes doppelt so groß wie die Längen im Original. Da der Maßstab das Verhältnis der Längen des Bildes zu den Längen im Original angibt, bedeutet die für das Beispiel, dass das Original im Maßstab 2:1 vergrößert wurde.

Will man bei dem gegebenen Maßstab 2:1 von den Längen des Originals auf die Längen des Bildes schließen, müssen die Längen mit dem Faktor 2 multipliziert werden, will man von den Längen des Bildes auf die Längen des Originals schließen, müssen diese durch den Faktor 2 dividiert werden.

Anwendungsbereiche

Es lassen sich grundsätzlich zwei maßstabsgerechte Abbildungen unterscheiden:

Die Vergrößerung, bei welcher die erste Zahl der Maßstabsangabe größer als die zweite ist. Diese finden ihre Anwendung:

in der Biologie oder Medizin (Darstellung von Insekten, Mikroorganismen...)

in der Technik ( Detailzeichnungen in Konstruktionspläne von Maschinenteilen)

Die Verkleinerung, bei welcher die erste Zahl der Maßstabsangabe eins ist und die zweite größer ist. Diese sind anzutreffen bei:

Möbelzeichnungen (1:10)

im Modellbau (1:87)

in Stadtplänen (1:12 500)

auf Landkarten (1:10 000)

Bezug von Maßstabsangaben

Maßstabsangaben beziehen sich ausschließlich auf Längen und nicht auf Flächen. Denn das Verhältnis von Bildfläche zu Originalfläche entspricht dem Quadrat von k. D.h. bei einer beispielsweisen Verdoppelung der Strecken (k = 2), vervierfacht sich der Flächeninhalt.

Didaktische Analyse

Einordnung des Themas in den Lehrplan

Das Thema Maßstab ist nicht Inhalt des Bildungsplans für die Grundschule. Dieses Thema erscheint erstmals im Bildungsplan für die Hauptschule als „geeigneter Wahlinhalt“ in der Lehrplaneinheit Sachrechnen im Rahmen des Inhaltes „Rechnen mit Größen in Sachaufgaben“ in Klasse 5. Verpflichtend als Thema war er nirgendwo im Lehrplan zu entdecken, wobei im Fach Erdkunde in Klasse 5 in der Lehrplaneinheit 2: Orientierung im Heimatraum der Inhalt „Einführung in das Kartenverständnis“ verpflichtend ist. Das Thema „Maßstab“erscheint hier ausschließlich unter der Rubrik der unverbindlichen Hinweise.

Es ist schade, dass das Thema „Maßstab“ nicht als Pflichtthema, z.B. im Rahmen des fächerverbindenden Unterrichts Erdkunde/Mathematik/Biologie/Kunst/Sport verpflichtend unterrichtet werden muss. Denn hierdurch ist nicht gewährleistet, dass die Kinder im Erkunde- bzw. Biologieunterricht, in dem sie fortwährend mit vergrößerten bzw. verkleinerten Abbildungen konfrontiert werden, diese auch ausreichend interpretieren können.

Didaktische Überlegungen zum Thema

Das Thema „Maßstab“ ist ein interessantes und ein in sehr vielen Bereichen relevantes Thema aus der Lebenswelt der Kinder wie auch der Erwachsenen. Wir Menschen begegnen diesem mehr oder weniger bewusst alltäglich. Ob dies nun Fotos, Abbildungen in Büchern, Zeitschriften oder auf Litfassäulen, Filme im Fernsehen oder Kino, eine Straßenkarte, Wanderkarten oder Stadtpläne sind...- wir sind alltäglich umgeben von Vergrößerungen und Verkleinerungen, die mehr oder weniger maßstabsgetreu (oder auch in verdrehten Maßstäben wie bei Sendung mit der Maus) abgebildet sind.

Im Bildungsplan der Grundschule taucht der Begriff nicht auf. Insofern gehe ich davon aus, dass dieses Thema für die Kinder neu sein wird. Dennoch kann ich auch davon ausgehen, dass die einige Schüler im privaten Bereich mit diesem Begriff bereits in Kontakt gekommen sind (Stadtplan, Wanderkarte).

Die meisten Kinder wissen intuitiv wohl auch, dass „richtige“ Vergrößerungen und Verkleinerungen „gleichmäßig“ (o.ä..) erfolgen müssen. Aus „Verzerrspiegeln“ oder aus Comics oder Fernsehen dürften einige bis viele Kindern unnatürlich wirkende Abbilder gesehen haben.

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