Quantencomputer und Quantenverschlüsselung. Eine Einführung

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Das Quantenbit
2.1 Rechenoperationen
2.2 Ein Zufallsgenerator
2.2.1 In der Theorie
2.2.2 In der Praxis

3 Quantenregister

4 Verschränkung
4.1 Teleportation

5 Messen bezüglich verschiedener Basen

6 Quantenkryptographie - Das BB84 Protokoll
6.1 In der Theorie
6.2 In der Praxis
6.3 Eves Angriff
6.4 Ausblick auf Variante mit Verschränkung

1 Einleitung

In der Quantenwelt gelten viele Gesetze der klassischen Physik nicht mehr. Als Metapher wird hierzu häufig Schrödingers Katze herangezogen. Es sei eine Katze in einer Kiste, die vollständig von der Außenwelt abgeschottet ist. In dieser Kiste befinden sich eine Katze und ein Behältnis mit einem giftigen Gas, das die Katze auf der Stelle tötet. Das Behältnis geht mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% ka- putt. Nun wissen wir jedoch nicht, ob dies eingetreten ist oder nicht. Deswegen ist die Katze in einem Art Zombi-Zustand (Superposition) tot und lebendig zugleich. Erst beim Öffnen der Kiste, geht Sie in einen der zwei Zustände über. Natürlich ist eine Katze zu groß, um Quanteneffekte zu zeigen, dennoch ist dies eine ein- prägsame Metapher.

Ähnlich verhält es sich bei Quantencomputern. Diese zusätzliche Eigenschaft ver- leiht ihnen Möglichkeiten, die klassische Computer nicht haben, wie z.B. das Be- nutzen echter Zufallszahlen, knacken klassischer Verschlüsselungsverfahren und das aufstellen neuer und wiederum sicherer Verschlüsselungsverfahren. Jedoch wurden Quantencomputer in der Realität nur bis auf wenige Bits (Qubits) im Labor ge- baut, weshalb die meisten Inhalte dieser Arbeit theoretisch ausfallen.

2 Das Quantenbit

Klassische Bits eines herkömmlichen Rechners können (nur) entweder den Zustand 0 oder 1 annehmen. Bei Quantenbits (kurz Qubits) verhält sich das anders. Es kann zudem in einer so gennanten Superposition vorliegen:

Definition 2.1 (Quantenbit) Ein Quantenbit |x 〉 , kurz Qubit, nimmt Zust ä nde der folgenden Form an:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn wir das Qubit |x 〉 messen, so wird jedoch die Superposition zerstört und wir messen es mit Wahrscheinlichkeit | α | ² im Zustand | 0 〉 und mit Wahrscheinlichkeit | β | ² im Zustand | 1 〉 .

Wir können Superpositionen auch als Vektoren auffassen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.1 Rechenoperationen

Ein Rechenschritt auf einem Qubit wird als 2 × 2-Matrix dargestellt. Diese Matrizen sind stets unitär.

Definition 2.2 (Unitäre Matrix) Eine n × n-Matrix mit komplexen Eintr ä gen hei ß t unit ä r: ⇔

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

A † hei ß t zu A adjungierte Matrix und entsteht, indem jeder Eintrag komplex kon jugiert wird, sowie einer anschlieenden Transposition. Es gilt also:

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Sind die Eintr ä ge reell, so ist eine Matrix unit ä r ⇔

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Satz 2.3 Unit ä re Transformationen sind l ä ngenerhaltend und winkelerhaltend

Beweis: Für das Standardskalarprodukt 〈 • | • 〉 von Vektoren | Φ 〉 , | Ψ 〉 und eine unitäre Matrix U gilt:

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Da die Norm und der Winkel über das Standardskalarprodukt definiert sind, folgt die Invarianz der Norm und Winkel sofort. □

Auf Grund von Satz 2.3 wird durch eine unitäre Transformation ein zulässiges Qubit auf ein weiteres Qubit abgebildet, denn | α | ² + | β | ² (Quadrat der Norm) bleibt konstant.

Eine in der Welt der Quantencomputer wichtige (unitäre) Matrix, ist die Hadamard- Matrix:

Definition 2.4 (Hadamard-Matrix) Die Matrix

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ist unit ä r und hei ß t Hadamard-Matrix.

Beweis: Es gilt

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2.2 Ein Zufallsgenerator

2.2.1 In der Theorie

Ein großer Nachteil von herkömmlichen Rechnern ist, dass diese keine Zufallszah- len generieren können. Es werden lediglich Pseudozufallszahlen berechnet, die eine Normalverteilung aufweisen. In der Quantenwelt existiert dieser Zufall jedoch. Zu- fallszahlen finden in vielen Anwendungen Nutzen. So helfen sie beispielsweise in der weiter unten aufgegriffenen Kryptographie und in Simulationen von z.B. Wirt- schaft oder Wetter. Folgender Algortihmus wäre als Zufallsgenerator eines Bits vorstellbar:

Algorithmus 2.5 (Zufallsgenerator) Ein Algorithmus zum Generieren einer Zufallszahl:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es mag vielleicht nicht auf Anhieb einzusehen, doch dieser Algorithmus erzeugt bereits eine Zufallszahl. Die in Schritt 2 angewandte Hadamard-Transformation versetzt das Qubit in den Zustand [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]), denn

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Die Zustände | 0 〉 und | 1 〉 treten also beim Messen beide mit Wahrscheinlichkeit [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]auf.Mit 50%-igerWahrscheinlickeitmessenwirinSchritt 3 | 0 〉 und mit ebenfalls⁵⁰ %-iger Wahrscheinlichkeit | 1 〉.

2.2.2 In der Praxis

In der Praxis ist es sehr einfach eine 1-Bit-Zufallszahl herzustellen. Es wird in diesem Versuchsaufbau noch nicht auf Polarisation von Licht zurückgegriffen. Der o.g. Algorithmus wird dementsprechend nicht 1 zu 1 abgebildet.

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Ein Photon wird auf einen Strahlteiler (z.B. Halbtransparenter Spiegel) geschossen. Nach den Quanteneffekten besteht eine 50%-ige Ablenkungswahrscheinlichkeit. Dementsprechend sind lediglich 2 Detektoren notwendig. Reflektierte Photonen werden als | 1 〉 interpretiert und nicht reflektierte als | 0 〉.

3 Quantenregister

Das Prinzip des Qubits kann auf ganze Quantenregister verallgemeinert werden. Ähnlich wie bei herkömmlichen Computern, besteht ein Quantenregister aus n Qubits, von denen jedes selbst in einer Superposition ist. Ein Quantenregister mit n Qubits kann nun in einer Superposition aller 2 n möglichen Zustände sein. Wir schreiben für einen Register mit z.B. 2 Qubits:

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Zur Vereinfachung schreiben wir:

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Übersichtlicherwird es wenn wir die Binärdarstellung durch die dargestellte Zahl im Dezimalsystem ersetzen:

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Man beachte, dass dies ebenso eine zulässige Superposition ist, denn:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wir gelangen also zu folgender allgemeinen Definition:

Definition 3.1 (Quantenregister) Ein Quantenregister R[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten〉 kann sich in einer Superposition der Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

befinden, wobei |i 〉 f ü r i ∈ [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]bedeutet, dass die Bits entsprechend der Bin ä rdarstellung der nat ü rlichen Zahl i gesetzt sind. Analog zu einem Qubit gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und beim Messen beobachtet man Zustand |i 〉 mit Wahrscheinlichkeit | α i | ² .

Analog zu einem Qubit können wir uns ein Quantenregister also als Vektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

vorstellen.

[...]