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Numerische Verfahren für die Berechnung modellfreier impliziter Momente

Seminararbeit 2015 23 Seiten

VWL - Statistik und Methoden

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung ... 1

2 Modellfreie implizite Momente ... 2
2.1 Volatilität ... 2
2.2 Schiefe und Wölbung ... 4

3 Numerische Verfahren ... 6
3.1 Interpolation ... 6
3.2 Numerische Integration ... 8
3.2.1 Rechteckregel ... 8
3.2.2 Trapezregel ... 9
3.2.3 Simpsonregel ... 9
3.2.4 Gauß-Quadratur ... 11

4 Berechnung impliziter Momente ... 12
4.1 Simulierte Daten ... 12
4.1.1 Truncation Error ... 13
4.1.2 Diskretisierungsfehler ... 15
4.2 DAX-Optionen ... 17

5 Diskussion ... 20

6 Fazit ... 20

1 Einführung

Es liegt in der Natur der Sache, dass die Entwicklung von Wertpapieren für zukünftige Zeitpunkte ex ante nicht bekannt ist. Investoren gehen darum mit dem Kauf eines Wertpapieres immer ein Risiko ein, das sich allerdings vollständig mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreiben lässt. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilung lässt sich zwar aus beobachteten (vergangenen) Realisationen schätzen, möliche Änderungen der Wahrnehmungen von Marktteilnehmern bleiben dabei allerdings unberücksichtigt. Diese sind aber von wesentlicher Bedeutung für die Entwicklung von Wertpapieren. Geht man von einem vollständigen Finanzmarkt aus, in dem keine Arbitragemöglichkeiten existieren, müssen Optionen zu einem bestimmten Wertpapier dieses Risiko korrekt bepreisen. Umgekehrt müssen also auch Optionspreise Rückschlüsse auf die Verteilung der Returns des Wertpapieres erlauben: Breeden & Litzenberger (1978) zeigen, dass die risikofreie Verteilung des Wertpapieres der zweiten Ableitung der Optionspreise nach dem Ausübungspreis entspricht. Praktisch lässt sich das jedoch nicht so einfach umsetzen, da kein funktionaler Zusammenhang zwischen Ausübungspreisen und Optionspreisen bekannt ist und auerdem kein unbeschränktes Kontinuum an Ausübungspreisen vorliegt. Um zumindest Aussagen über die Volatilität der Returns von Wertpapiere machen zu können, hat man vielfach auf das Black-Scholes-Modell (Black & Scholes, 1973) zurückgegrien, um sogenannte implizite Volatilitäten zu berechnen.

Modelle dieser Art unterstellen einen funktionalen Zusammenhang für den Optionspreis und gehen bereits von einer bestimmten Verteilung der Entwicklung von Wertpapieren aus. Für die Berechnung ist das natürlich praktisch, da häufig eine Lösung bereits in geschlossener Form existiert. Allerdings hat sich gezeigt, dass diese Modelle nicht immer adäquate Resultate liefern. Beispielsweise ist die Annahme normalverteilter Returns im Black-Scholes-Modell meist verletzt. Ebenso gehen Vorhersagen des Black-Scholes-Modells für Optionen, die nicht am Geld sind, tendenziell in die Irre, da implizite Volatilitäten häufig einen konvexen Verlauf aufweisen (Volatilitäts- "Smile") und nicht konstant sind, wie das Modell voraussetzt.

Um dieser Problematik zu begegnen und verlässlichere Aussagen über implizite Momente auch mit Optionen zu machen, die nicht am Geld sind, haben Britten-Jones & Neuberger (2000) ein nicht-parametrisches Verfahren entwickelt, um implizite Volatilitäten aus beobachteten Marktpreisen von Optionen mit gegebenen Ausübungspreisen und Laufzeiten zu berechnen. Dieses Verfahren beschränkte sich zunächst lediglich auf Prozesse, die keine Sprünge aufweisen, konnte allerdings später von Jiang & Tian (2005) auch auf Jump-Diusion-Prozesse erweitert werden. Jiang & Tian (2005) zeigten auch, wie eine praktische Umsetzung dieses Verfahrens möglich ist und wie die Annahme eines risikolosen Zinssatzes von Null sowie des Abhandenseins von Dividenden gelockert werden kann. Ein ähnlicher Ansatz - ein Querschnitt von Optionen wird benutzt, um auf die risikolose Verteilung des Wertpapiers zu schließen - findet sich auch bei Bakshi et al. (2003); diese entwickeln allerdings auch eine Methode für höhere Momente (Schiefe und Wölbung) der risikolosen Verteilung.

Da diese Methoden keine Lösungen in geschlossener Form liefern, muss man zur Berechnung dieser Momente auf numerische Verfahren zur Interpolation und Integration zurückgreifen. Hierfür existieren verschiedene Methoden mit jeweiligem Für und Wider mit entsprechenden Approximationsfehlern. Ziel dieser Arbeit ist, verschiedene numerische Verfahren vorzustellen und zu untersuchen, wie gut sich diese numerischen Methoden für die Berechnung impliziter modellfreier Momente eignen.

Diese Arbeit gliedert sich in sechs Abschnitte. Nach der Einführung folgt die Darstellung der theoretischen Fundierung modellfreier impliziter Momente (Abschnitt 2). Anschließend werden numerische Methoden zur Berechnung der impliziten Momente vorgestellt (Abschnitt 3). Im vierten Abschnitt werden diese numerischen Verfahren anhand simulierter und realer Optionsdaten untersucht. Einer Diskussion der Ergebnisse (Abschnitt 5) folgt dann im sechsten Abschnitt der Schluss.

2 Modellfreie implizite Momente

Nimmt man an, dass ein vollständiger Finanzmarkt vorliegt, d.h. es gibt keine Möglichkeit für Arbitrage, dann sind Wertpapiere oder Derivate korrekt bepreist. Das bedeutet insbesondere auch, dass im Preis einer Option bereits Erwartungen der Marktteilnehmer bezüglich des Risikos (also auch Momente der Verteilung wie Volatilität, Schiefe und Wölbung) enthalten sind. Aus diesem Preis kann man damit implizit auf diese Momente schlieen. Hierzu könnte man entweder ein Modell verwenden oder diese Momente aus der risikolosen Verteilung berechnen. Letzteres ist ein nichtparametrisches Verfahren, man spricht dann auch von modellfreien impliziten Momenten.

2.1 Volatilität

Die Herleitung der impliziten Volatilität von Britten-Jones & Neuberger (2000) baut auf Arbeiten von Carr & Madan (2001b) und Breeden & Litzenberger (1978) auf und beschränkt sich lediglich auf kontinuierliche Martingale, d.h. Prozesse, die keinen Sprung aufweisen. Auerdem nehmen Britten-Jones & Neuberger (2000) an, dass der risikofreie Zins Null beträgt und dass keine Dividenden existieren. Jiang & Tian (2005) zeigen, dass das Maß der impliziten Volatilität auch für Prozesse mit Sprüngen gilt und haben auerdem ein Verfahren entwickelt, wie dieses zu berechnen ist, wenn Dividenden existieren und der risikofreie Zins von Null verschieden ist.

Es gebe Call-Optionen mit einem Kontinuum von Ausübungspreisen (K) und gegebener Fälligkeit (T) zu einem zugrunde liegenden Wertpapier. Dann ergibt sich die integrierte Varianz der Returns zwischen heutigem Zeitpunkt 0 und einem zukünftigen Zeitpunkt T (in der Darstellung von Jiang & Tian, 2005) durch

[Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.]1

Dabei ist [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] der Forward-Preis des Wertpapiers und [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] der Forward-Preis der Call-Option, beide gemessen mit dem Forward-Wahrscheinlichkeitsmaß.

In der Realität liegt kein Kontinuum an Ausübungspreisen von Call-Optionen zu einem gegebenen Wertpapier und mit gegebener Laufzeit vor. Stattdessen liegt lediglich eine abzählbar endliche Menge in einem Intervall [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] vor. Dadurch ergeben sich notwendigerweise Approximationsfehler bei der Berechnung, namentlich durch die Diskretisierung und das Abschneiden der Bereiche auerhalb der Intervallgrenzen. Im Verlauf dieser Arbeit werden wir noch näher auf diese möglichen Fehler eingehen.

Gleichung (1) bezieht sich noch auf Forward-Preise, in der Praxis sind allerdings meist Spot-Preise beobachtbar. Deshalb muss Gleichung (1) für die praktische Anwendung noch etwas modiziert werden. Mit der Annahme, dass sowohl Zins als auch Dividenden deterministisch sind, lassen sich der Forward-Preis des Wertpapiers und der Call-Option zum Zeitpunkt t schreiben als [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] und [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.]. Dabei ist [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] der Spot-Preis des Wertpapiers abzüglich des Barwerts aller erwarteter Dividenden, die bis zur Fälligkeit der Option ausgezahlt werden. [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] ist der Preis einer Nullkuponanleihe in t, die in T eine Auszahlung einer Geldeinheit generiert und C(T,K) ist der Spot-Preis der Call-Option. Gleichung (1) wird dadurch zu

[Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.]

Gleichung (2) ist damit für die Berechnung der modellfreien impliziten Volatilität unter Zuhilfenahme numerischer Verfahren geeignet, da alle benötigten Größen am Markt beobachtet werden können.

2.2 Schiefe und Wölbung

Die in diesem Abschnitt gegebene theoretische Fundierung höherer modellfreier Momente gründet sich auf die Arbeiten von Bakshi et al. (2003) und Bakshi & Madan (2000), richtet sich in der Darstellung allerdings nach Rouah & Vainberg (2012).

Es sei H[S] eine zweimal stetig dierenzierbare Funktion, die den Payoff in Abhängigkeit eines Stock-Preises S (der sich am Ende einer Laufzeit realisiert) abbildet. Weiter sei alle Unsicherheit bezüglich des Preises S vollständig durch die risikoneutrale Dichte q[S] beschrieben. Der Preis einer Option mit diesem Payoff ergibt sich damit unter dem risikoneutralen Maß durch

[Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.]

wobei [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] der Erwartungswert unter q ist.

Beispielsweise ergibt sich für [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] der Preis einer europäischen Call-Option, mit [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] risikoneutralem Zins r und restlicher Laufzeit [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] durch

[Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.]

Ist eine Payoff-Funktion zweimal stetig dierenzierbar und ist ihr Erwartungswert endlich, so lässt sich diese Funktion durch eindeutige Positionen aus Nullkuponanleihen [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.], Wertpapieren [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.], sowie aus Call- und Put-Optionen, die aus dem Geld sind [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] für alle Ausübungspreise [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] replizieren (Carr & Madan, 2001a):

[Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.]

[Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] sind dabei erste und zweite Ableitung nach [Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.] ist der aktuelle Preis für das betrachtete Wertpapier. Wird dieser Ausdruck mit der risikoneutralen Diskontrate abdiskontiert und davon der risikoneutrale Erwartungswert genommen, erhält man den arbitragefreien Preis für diesen Payoff:

[Dies ist eine Leseprobe. Formeln, Abbildungen und Tabellen sind nicht enthalten.]

[...]


1Die Herleitung hierfür findet sich im Anhang zu Jiang und Tian (2005).

Details

Seiten
23
Jahr
2015
ISBN (eBook)
9783668173583
ISBN (Buch)
9783668173590
Dateigröße
805 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v318088
Institution / Hochschule
Universität Regensburg
Note
1,3
Schlagworte
numerische verfahren berechnung momente

Autor

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Titel: Numerische Verfahren für die Berechnung modellfreier impliziter Momente