Wir entdecken verschiedene Würfelnetze (Mathematik, 3. Klasse)

Thema der Unterrichtsreihe

„Wir werden Experten für Würfelnetze“

Die SuS erkennen Zusammenhänge zwischen Würfelnetz und Würfelkörper und entdecken Kriterien und Eigenschaften von Würfelnetzen.

Thema der Unterrichtsstunde

„Wir entdecken verschiedene Würfelnetze“

Die SuS entdecken handlungsorientiert zunächst in Einzelarbeit möglichst viele verschiedene Würfelnetze, vergleichen und sortieren diese in der Gruppenarbeit und präsentieren ihre gefundenen Würfelnetze dem Plenum.

Klasse: 3

- Einbettung der Stunde in die Unterrichtsreihe

Zentrale Absichten der Unterrichtsreihe

In der vorliegenden Unterrichtsreihe bekommen die SuS die Chance, Eigenschaften geometrischer Körper kennen zu lernen und diese voneinander zu unterscheiden. Die handlungsorientierte Auseinandersetzung mit dem einfachen geometrischen Körper „Würfel“ fördert bei den SuS die Entwicklung des räumlichen Vorstellungsvermögens. Zudem erkennen die SuS am Beispiel der „Würfelnetze“ erste Beziehungen zwischen Flächenmodellen und Körpern. Durch die Auswahl offen formulierter Aufgabenstellungen können alle SuS eigenständig oder in Zusammenarbeit mit der Gruppe auf ihrem individuellen Lernniveau arbeiten und Entdeckungen machen. Des Weiteren wird ihre Lernfreunde am Unterrichtsfach Mathematik durch ausprobierendes, handlungsorientiertes Tun an mathematischen Inhalten gefördert.

(vgl. PIK AS: „Wir entdecken Würfelnetze“)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Zentrale Absicht der Stunde und Lernchancen

Meine Absicht:

Die SuS erweitern ihr räumliches Vorstellungsvermögen, indem sie durch handlungsorientierte Auseinandersetzung am Material, sowie durch mentales Operieren und im Austausch mit der Gruppe möglichst viele verschiedene Würfelnetze finden und dabei Kriterien für verschiedene Würfelnetze entdecken und anwenden.

Im Sinne meiner formulierten Absicht eröffne ich folgende Lernchancen:

Auf der Ebene der Sacherfahrungen

Die SuS haben die Chance,

- ihr erworbenes Wissen in der Lernaufgabe anzuwenden (Merkmale eines Würfels bzw. Würfelnetzes) und somit falsche Würfelnetze zu erkennen.
- gleiche Würfelnetze durch Drehung und Spieglung zu erkennen (durch Drehung der Würfelnetze oder durch mentales Rotieren).
- Problemlösestrategien zu entwickeln und zu nutzen, indem sie willkürlich probieren oder systematisch verschiedene Möglichkeiten aus sechs Quadraten legen/finden.
- ihr visuelles Wahrnehmungsvermögen zu schulen, indem sie Würfelnetzte herstellen, beschreiben und vergleichen.
- ihr Raumvorstellungsvermögen zu schulen und dadurch den Zusammenhang zwischen Raum (Würfelkörper) und Ebene (Würfelnetz) zu erfahren.
- ihre Vorgehensweise nachvollziehbar zu beschreiben, darzustellen und ggf. zu begründen.
- das Zeichnen von Flächenmodellen eines Würfels zu vertiefen.

Auf der Ebene der Individualerfahrungen

Jede/r SchülerIn hat die Chance,

- eigene Strategien zur Bewältigung der Aufgabe zu entwickeln.
- eine stetige Loslösung vom Material zu vollziehen.
- sich mit Hilfe des „Wortspeichers“ in mathematischer Fachsprache auszudrücken.
- nach seinem/ihrem individuellem Lernniveau zu arbeiten und zu entdecken.
- seine/ihre Kommunikations-, Darstellungs- und Reflexionskompetenz zu schulen.

Auf der Ebene der Sozialerfahrungen

Die SuS haben die Chance,

- eigene Vorgehensweisen und Strategien in der Gruppe bzw. Klassengemeinschaft zu kommunizieren.
- in der Gruppenarbeit ihre Kooperationsfähigkeiten zu schulen.
- ihren Mitschülern/-innen Hilfestellung zu geben oder diese anzunehmen.

- Sachinformationen zur Stunde

Ein Würfel ist ein Polyeder (Vielflächner) der zu den fünf Platonischen Körpern gehört. Er wird von sechs kongruenten Quadraten begrenzt (Flächen). Der Würfel hat zwölf gleich lange Kanten, wobei an jeder Kante zwei Ecken und zwei Flächen liegen. An jeder der acht Ecken eines Würfels stoßen immer drei Flächen und drei Kanten zusammen.^[1]

Schneidet man einen Würfel entlang einiger Kanten auf und breitet die ausgeschnittenen Flächen in der Ebene aus, so erhält man das Netz eines Würfels. Ein Würfelnetz ist somit eine zweidimensionale Abwicklung des Würfels, bestehend aus 6 kongruenten Quadraten (Grundfläche, Deckfläche, vier Seitenflächen).

Um Würfelnetze zu finden bieten sich folgende Möglichkeiten an:

- durch Aufschneiden und Auseinanderklappen eines Würfels
- durch Zusammensetzen von kongruenten Quadraten
- durch Abrollen eines Würfels (nur vier mögliche Würfelnetze)
- durch mentales Operieren

Insgesamt gibt es 35 verschiedene Quadratsechslinge, jedoch lassen sich nur 11 davon zu einem Würfel zusammenklappen.^[2] Zwei Netze sind gleich, wenn sie durch Spiegelung oder Drehung aufeinander abgebildet werden können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.1: Systematische Darstellung von 11 Würfelnetzen - sechs Würfelnetzen bestehen aus vier aneinander gereihten Quadraten, vier Würfelnetze aus drei aneinander gereihten Quadraten und ein Würfelnetz aus zwei aneinander gereihten Quadraten.^[3]

- Fachdidaktische Analyse

Das Raumvorstellungsvermögen zu schulen ist eines der Hauptziele des Geometrieunterrichts. Für Kinder ist es von lebenspraktischer Bedeutung zu erlernen sich in einem dreidimensionalen Raum zu orientieren und auch in der Vorstellung damit zu operieren.^[4] Zudem wird die Raumvorstellung als ein Faktor menschlicher Intelligenz eingeordnet und entwickelt sich laut den Entwicklungsstufen nach Piaget bis zum 10. Lebensjahr weitgehend aus.^[5] Folglich kommt der Behandlung geometrischer Inhalte zur Förderung der räumlichen Fähigkeiten insbesondere in der Grundschule eine wesentliche Bedeutung zu.^[6] Eine Möglichkeit, das Raumvorstellungsvermögen der SuS zu fördern und die Beziehungen von Ebene und Raum zu verdeutlichen, stellt die unterrichtliche Behandlung von Würfelnetzen dar.^[7] Die SuS kennen den Spielwürfel als geometrischen Körper aus ihrem alltäglichen Leben und erkennen seine charakteristischen Eigenschaften.

Während bei der visuellen Wahrnehmung mit Material operiert wird, definiert Wollring (1997) das Raumvorstellungsvermögen als ein „mentales Operieren mit räumlichen Objekten“.^[8] Besonders wichtig für die Entwicklung visueller Fähigkeiten sind die konkreten Handlungserfahrungen mit dem Material, wie beispielsweise die Entdeckungen an Würfelnetzen. So können zunächst Würfelnetze immer wieder mit dem Material gefaltet und überprüft werden. Dabei entstehen aus den sinnlich registrierten Reizen Vorstellungsbilder, die mental abgespeichert, verändert und zueinander in Beziehung gesetzt werden können.^[9] Es findet innerhalb der Unterrichtsreihe eine stetige Loslösung vom Material statt. Die SuS führen Handlungen zunehmend im Kopf durch, wie beispielsweise das Drehen, Spiegeln und Falten der Würfelnetze (Raumvorstellungsvermögen).

Im Lehrplan wird unter dem Punkt Aufgaben und Ziele „das entdeckende Lernen“, „beziehungsreiches Üben“ und „der Einsatz ergiebiger Aufgaben“ angeführt.^[10] Die SuS können bei der Findung möglichst verschiedener Würfelnetze Unterscheidungskriterien entdecken. Zudem können sie das Wissen aus den vorangegangenen Stunden vertiefen und das zunehmend mentale Operieren mit Würfelnetzen üben. Dabei können die SuS die Würfelnetze am konkreten Material legen und falten (enaktive Ebene), auf Papier zeichnerisch übertragen (ikonische Ebene) und ihre Vorgehensweise verbalisieren (symbolische Ebene). Nach den fachdidaktischen Prinzipien eines wünschenswerten Mathematikunterrichts bietet die Lernaufgabe eine „natürliche Differenzierung“ und „Handlungsorientierung“. Die offene Aufgabenstellung „Finde möglichst viele verschiedene Würfelnetze“ gibt bewusst keine Vorgaben hinsichtlich der Anzahl der zu findenden Würfelnetze und kann somit der Leistungsheterogenität der Lerngruppe gerecht werden. Der Schwerpunkt der Stunde ist hier auf den individuellen Lernprozess gerichtet und weniger auf das Endprodukt. Die Bearbeitung der Aufgabe kann entweder mithilfe des Materials oder bereits im Kopf durchgeführt werden.

Durch die Lernaufgabe sollen folgende prozessbezogene Kompetenzen vertieft werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Stunde ist im Lehrplan dem Inhaltsbezogenen Bereich „Raum und Form“ zuzuordnen. Die SuS erkennen den geometrischen Körper „Würfel“, können ihn benennen und finden für den Würfel verschiedene Netze.^[11]

- Analyse der Lernaufgabe

Die vorliegende Unterrichtsstunde dient dazu, den SuS zunächst durch Handlungserfahrungen einen möglichst eigenaktiven Zugang zu Würfelnetzen zu ermöglichen. Hier geht es nicht darum, dass die Kinder alle verschiedenen Würfelnetze entdecken sollen oder Begründungen finden, warum es keine weiteren mehr gibt. Vielmehr sollen die SuS mithilfe des Materials und durch zunehmend mentales Operieren verschiedene Würfelnetze voneinander unterscheiden und erste Strategien zur Findung weiterer Würfelnetze entwickeln. Dadurch sollen Zusammenhänge zwischen Würfelnetz und Würfelkörper (zwischen Ebene und Raum) erkannt und beschrieben werden.

Die SuS lösen die Lernaufgabe nach dem „Ich-Du-Wir-Prinzip“. Zur Problemlösung der Aufgabe „Würfelnetze finden“ stehen den SuS in der Ich-Phase jeweils sechs Lokon Quadrate^[12] zur Verfügung. Es können Würfelnetze gefunden werden, indem sie das Lokon Würfelmodell entweder auffalten oder aus sechs Lokon Quadraten zusammensetzen und anschließend ihre Lösungen als Papiermodelle festhalten. Zur weiteren Unterstützung stehen den SuS Tipp-Karten zur Verfügung, die ihnen Anregungen für die Suche nach Würfelnetzen geben können. In der Du-Phase stellen sich die SuS ihre gefundenen Würfelnetze gegenseitig vor, vergleichen und sortieren gleiche Würfelnetze auf Stapeln einander zu. Verschiedene Würfelnetze werden auf einem Plakat festgehalten und im gemeinsamen Austausch evtl. weitere Würfelnetze gefunden. Anschließend präsentieren einzelne Gruppen in der Wir-Phase ihre Ergebnisse dem Plenum und es wird über die Kriterien gleicher und verschiedener Würfelnetze argumentiert, indem wir gemeinsam ein Gruppenplakat mit weiteren Würfelnetzen ergänzen. Eventuell werden hier auch ersten Strategien deutlich zur Findung von Würfelnetze und können mit Material veranschaulicht werden.

Im Folgenden wird die Lernaufgabe anhand der Anforderungsbereiche analysiert:^[13]

A1 (Reproduzieren): Die SuS kennen erste Kriterien zum Finden von Würfelnetzen aus der vorangegangenen Stunde und können weitere Würfelnetze durch spontanes Probieren entdecken.

A2 (Zusammenhänge herstellen): Die SuS können gedrehte und gespiegelte Würfelnetze voneinander unterscheiden (mentales Rotieren) und Zusammenhänge von gefundenen Würfelnetzen herstellen, indem sie beispielsweise nur einzelne Flächen von bereits gefundenen Würfelnetzen systematisch umlegen (strategisches Vorgehen).

A3 (komplexe Tätigkeiten): Die SuS können grundlegende Strukturen von Würfelnetzen erkennen (bestehen aus sechs zusammengesetzten Flächen, die nur durch bestimmte Anordnungen zum Würfel führen – beispielsweise die Entdeckung der 4er-Struktur). Die SuS können die begrenzte Anzahl von Würfelnetzen begründen.

Erhebung der Lernvoraussetzungen für die konkrete Stunde

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Besondere Informationen zur Lerngruppe

In der Klasse 3c herrscht eine große Leistungsheterogenität im Fach Mathematik.

Vier Kinder mit besonderem Förderbedarf erfahren derzeit Unterstützung von einer Sonderpädagogin, die sie im Fach Mathematik auf ihrem Niveau, durch geeignetes Material entsprechend fördert.

[...]

^[1] vgl. Franke: 2007, S. 152

^[2] vgl. Radatz et. al.: 1998, S. 162

^[3] vgl. Franke: 2007, S. 155

^[4] vgl. ebd., S. 27

^[5] vgl. ebd., S. 52

^[6] vgl. MSW: 2008, S.58

^[7] vgl. PIK AS: 2010, S.1

^[8] vgl. Merschmeyer-Brüwer : 2003, S. 7

^[9] vgl. PIK AS: 2010, S.1

^[10] vgl. MSW: 2008, S.60

^[11] vgl. MSW: 2008, S.65

^[12] Lokon Quadrate vom Betzold Verlag sind einzelne Quadrate, die mit einem Stecksystem von einem ebenen Würfelnetz zu einem dreidimensionalen Würfel gefaltet werden können.

^[13] vgl. Seminar-Handout (angelehnt an Blum, u. a.: 2006)