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Berechnungsgrundlagen für Amateurastronomen

Himmelsmechanik für Anfänger

Fachbuch 2016 291 Seiten

Physik - Astronomie

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

Impressum des Verfassers

Vorwort des Verfassers

1. Einleitung
1.1. Astronomie - eine alte Wissenschaft
1.2. Theoretische Grundlagen
1.3. Hilfsmittel für die Berechnung
1.4. Genauigkeit der Berechnungen
1.4.1. Signifikante Stellen
1.4.2. Reelle Zahlen (Kommazahlen)
1.4.3. Ganze Zahlen (Integerzahlen)
1.4.4. Rundung der Zahlen
1.5. Richtigkeit der Berechnungen
1.6. Notation und Maßeinheiten in der Astronomie
1.6.1. Tabelle der Formelzeichen
1.6.2. Tabelle wichtiger Einheiten und Konstanten

2. Die Zeitrechnung der Römer
2.1. Die römischen Zahlen
2.1.1. Römischen Zahlzeichen
2.1.2. Aufbau des römischen Zahlensystems
2.1.3. Kommastellen und Brüche
2.2. Rechnen mit römischen Zahlen
2.2.1. Manuelles Rechnen
2.2.2. Das Rechenbrett (Abakus)
2.2.3. Prinzip des Abakus
2.3. Der römische Tag
2.3.1. Naturgegebene Tageszeiten
2.3.2. Tageslängen
2.3.3. Römische Tageseinteilung
2.3.4. Die römische Tag und die römische Stundenzählung
2.3.5. Die römische Nacht und die Nachtwachen
2.3.6. Tagesstunden und Nachtwachen in der Realität
2.4. Zeitmessung und Uhren
2.4.1. Natürliche Zeitmarken
2.4.2. Sonnenuhr
2.4.3. Wasseruhr
2.4.3.1. Prinzip der Wasseruhr
2.4.3.2. Einrichtung der Wasseruhr
2.4.3.3. Automatischer Betrieb der Wasseruhr
2.4.4. Sanduhr
2.5. Der römische Kalender
2.5.1. Römische Wochentage
2.5.2. Römische Monatsnamen
2.5.3. Römische Tageszählung (Monatstage)
2.5.4. Römische Bezeichnung des Schalttages
2.5.5. Der römische Jahreskalender
2.5.6. Umrechnung der Monatstage auf heutiges Datum
2.6. Römische Jahreszahlen

3. Ortszeiten und Zeitzonen auf der Erde
3.1. Schreibweise der Uhrzeiten
3.2. Moderne Zeiteinheiten
3.3. Definitionen
3.3.1. Mittlere Sonne
3.3.2. Wahre Sonne
3.3.3. Weltzeit UT
3.3.4. Zonenzeit
3.3.5. Mitteleuropäische Zeit (MEZ)
3.3.6. Mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ)
3.3.7. Vorteile und Nachteile der Sommerzeit
3.3.8. Ortszeit

4. Die Zeitgleichung (ZGL)
4.1. Zusammenhang der ZGL mit der Ortszeit
4.2. Die genauen ZGL-Werte
4.3. Genaue ZGL-Werte für das Jahr 2011
4.4. Das ZGL-Diagramm
4.5. Die Extrema und Nullstellen der Zeitgleichung
4.6. Schwankungen der Werte in Laufe der Jahre

5. Definition der verschiedenen Zeitbasen
5.1. Zeitmesser
5.2. Erdrotationsdauer als natürliche Zeitbasis
5.3. Erdumlaufdauer als natürliche Zeitbasis
5.3.1. Julianisches Jahrhundert
5.3.2. Mittlere Länge der Sonne
5.3.3. Ephemeridenzeit (ET)
5.3.4. Ephemeridensekunde
5.3.5. Tropisches Jahr
5.4. Unabhängige Zeitbasen
5.4.1. Quarz-Zeitbasis
5.4.2. Quarz-Zeitbasis für Amateure
5.4.3. Atomschwingung als Zeitbasis
5.4.4. Internationale Atomzeit (TAI)
5.4.5. Atomuhren
5.5. SI-Sekunde
5.5.1. Terrestrische Dynamische Zeit TT
5.6. Beziehung zwischen Atomzeit (TAI) und Weltzeit (UT)
5.6.1. Abweichungen der Uhrzeit von der Atomzeit
5.6.2. Verbesserte Weltzeit UT1
5.7. Koordinierte Weltzeit (UTC)
5.7.1 Der Korrekturwert T
5.7.2. Zeitdifferenz und Schaltsekunden
5.8. Der Zeitzeichensender DCF77
5.8.1. Standort des Senders
5.8.2. Modulation des DCF-Signals
5.8.3. Codierung des DCF-Signals
5.8.4. Erläuterungen zur DCF-Codierung
5.9. Funkuhren
5.9.1. Alte Technik
5.9.2. Neue Technik

6. Zeitrechnung und Kalender
6.1. Chronologie
6.2. Astronomisches (tropisches) Jahr
6.3. Julianische Kalenderreform
6.4. Gregorianische Kalenderreform
6.4.1. Korrektur des Kalenders
6.4.2. Monatskalender Okt. 1582 bis Jan. 1583
6.4.3. Schaltjahrregel GK
6.4.4. Vorschlag zur weiteren Korrektur ab dem Jahr 3200
6.5. Kalender-Umrechnungen und Datumsverschiebung
6.6. Das Osterdatum
6.7. Mathematische Jahreszahlen
6.8. Fortlaufende Tageszählung
6.8.1. Das Julianische Datum (JD)
6.8.2. Überprüfung geschichtlicher Ereignisse
6.8.3. Der Stern von Bethlehem
6.9. Algorithmen zur Berechnung des Julianischen Datums
6.9.1. Algorithmus (1) für Berechnung des JD aus Kalenderdatum
6.9.2. Algorithmus (2) für Berechnung des JD aus Kalenderdatum
6.9.3. Einfache Berechnung des JD aus der Tagesdifferenz
6.9.4. Algorithmus für Berechnung des Kalenderdatums aus JD
6.9.5. Taschenrechnerprogramme für das JD
6.9.6. Berechnung des Wochentags aus dem JD
6.10. Nummer der Kalenderwoche
6.10.1. Wochenbeginn
6.10.2. Auszug aus der Norm
6.10.3. Definition der Nummer der Kalenderwoche
6.10.4. Berechnung der Kalenderwoche
6.10.5. Algorithmus für die KW
6.11. Taschenrechnerprogramm KALND für Monatskalender
6.11.1. KAL = Monatskalender
6.11.2. WOT = Wochentag
6.11.3. KW = Kalenderwoche
6.11.4. MON = Ausgabe der Monatsnamen
6.11.5. Ausgabe des Monatskalenders
6.12. Wochentagsberechnung und Jahreskalender
6.12.1. Monatslängen
6.12.2. Sonntagsbuchstaben (SB)
6.12.3. Wochentagszahlen (WOTZ)
6.12.4. Wochentagszahlen der Monatsersten eines Jahres
6.12.5. Beispiele zur manuellen Berechnung der WOTZ
6.12.6. Programm zur Berechnung der Wochentagszahlen eines Jahres
6.12.7. Sonnenzirkel (SZ) oder Wochentagszirkel
6.13. Jahresreihen
6.13.1. Ungestörte Jahresreihen der Sonntagsbuchstaben
6.13.2. Leitjahre
6.13.3. Zuordnung des SZ zum Leitjahr der Jahresreihe
6.13.4. Gesetzmäßigkeiten der Jahrhundertzahlen des GK
6.13.5. Formel für den Sonnenzirkel SZ eines beliebigen Jahres
6.13.6. Zusammenstellung der Jahresreihen mit Leitjahren
6.13.7. Jahresreihen und die Lücken dazwischen
6.14. Dauerkalender für die Jahre von 1883 bis 2130
6.14.1. Tabelle der Wochentage der Monatsersten
6.14.2. Tabelle der Wochentage innerhalb des Monats
6.15. Jahreskalender aus 12 Monatskalendern
6.16. Weiterlaufen des Julianischen Kalenders (JK)

7. Die Sternzeit
7.1. Einleitung
7.2. Definitionen
7.2.1. Sonnentag
7.2.2. Frühlingspunkt
7.2.3. Sternzeit
7.2.4. Sterntag
7.2.5. Der Sterntag in der Physik
7.2.6. Länge eines Sonnentags in Sterntagen
7.3. Näherungsberechnung der Sternzeit
7.3.1. Näherungsformel
7.3.2. Erläuterungen zur Näherungsformel
7.3.3. Beispiele
7.3.4. Formel für Kopfrechnung
7.3.4.1. Beispiel
7.4. Sternzeit mit der drehbaren Kosmos-Sternkarte
7.4.1. Vorgang
7.4.2. Beispiele
7.5. Genaue Berechnung der Sternzeit
7.5.1. Sternzeitabweichungen
7.5.2. Definition der mittleren Sternzeit in Greenwich für 0 Uhr UT
7.5.2.1. Berechnung von T anhand der ganzzahligen Tagesdifferenz
7.5.2.2. Berechnung von T anhand des JD
7.5.2.3. Beispiele mit den verschiedenen Formeln
7.5.3. Mittlere Ortssternzeit in Greenwich für beliebige Weltzeit UT
7.6. Theoretische Grundlagen der Sternzeitberechnung
7.6.1. Ermittlung der verschiedenen Terme der Formeln
7.6.2. Vergleich der Terme
7.6.3. Mittlere Sternzeit für beliebigen Ort und beliebige Uhrzeit UT
7.6.4. Umrechnung von MEZ in mittlere Ortssternzeit
7.6.5. Sternzeit in Greenwich in Grad für 12 Uhr UT
7.6.6. Sternzeit für Standpunkt des Beobachters
7.7. Sternzeit und Navigation
7.7.1. Breitengrad
7.7.2. Längengrad

8. Global Positioning System (GPS)
8.1. Prinzip
8.2. Bezugssystem (Referenzellipsoid)
8.3. Geografische Koordinaten

9. Optische Einflüsse bei Himmelsbeobachtungen
9.1. Refraktion
9.1.1. Barometrische Höhenformel
9.1.2. Anwendung der Formel
9.1.3. Refraktionswert aus Höhenwinkel, Temperatur und Luftdruck
9.1.4. Normalrefraktionswerte
9.1.5. Refraktion in Abhängigkeit von Luftdruck und Temperatur
9.1.6. Berücksichtigung der Refraktion
9.2. Extinktion
9.3. Szintillation
9.4. Aberration
9.5. Lichtlaufzeit
9.5.1. Formeln
9.5.2. Erläuterung
9.5.3. Berechnungsgang
9.6. Parallaxe
9.7. Krümmung der Erdoberfläche
9.8. Beeinträchtigung durch Gerätefehler und falsche Handhabung

10. Gravitation und Keplersche Gesetze
10.1. Das Geheimnis der Anziehungskräfte
10.2. Geschichtliches über die Gravitation
10.3. Die Keplerschen Gesetze
10.4. Das Gravitationsgesetz von Newton
10.5. Gravitationskonstante
10.6. „Gravitationskonstante“ doch nicht konstant?

11. Kreisförmige Umlaufbahnen
11.1. Einkörperproblem
11.1.1. Gaußsche Gravitationskonstante
11.1.2. Siderisches Jahr
11.1.3. Zahlenwerte der beiden Gravitationskonstanten
11.1.4. Mittlere Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne
11.2. Zweikörperproblem
11.2.1. Gemeinsamer Schwerpunkt zweier Massen
11.2.2. Kräfte beim Zweikörperproblem
11.3. Gültigkeit der Keplerschen Gesetze
11.4. Mehrkörperproblem
11.5. Gemeinsamer Schwerpunkt des Sonnensystems

12. Elliptische Umlaufbahnen
12.1. Formelzeichen
12.2. Einleitung
12.2.1. Der exzentrische Kreis
12.2.2. Der Epizykel
12.2.3. Die Ellipse
12.3. Grundgleichungen von Kreis und Ellipse
12.3.1. Kreisgleichungen
12.3.2. Ellipsengleichungen
12.3.3. Ellipsenkonstruktion auf dem Papier
12.3.4. Exzentrizität und Brennpunkte der Ellipse
12.3.5. Fadenkonstruktion der Ellipse
12.3.6. Polarkoordinaten für einen Brennpunkt der Ellipse
12.3.7. Polarkoordinaten für das Zentrum der Ellipse
12.4. Die Ellipse als Planetenbahn
12.4.1. Dynamik des Planetenumlaufs
12.4.2. Benennungen und Begriffe
12.5. Berechnung des Bahnortes über Anomalien
12.5.1. Berechnung der mittleren Anomalie M
12.5.2. Berechnung der exzentrischen Anomalie E
12.5.3. Berechnung der wahren Anomalie und des Radius
12.5.3.1. Radius
12.5.3.2. Wahre Anomalie
12.5.3.3. Tangens des halben Winkels
12.6. Berechnung des Bahnortes mittels Fourier-Reihen
12.6.1. Mittelpunktsgleichung mit der mittleren Anomalie
12.6.2. Entwicklung des Radius aus der mittleren Anomalie
12.7. Berechnungsbeispiel
12.7.1. Angaben für die Erdbahn
12.7.2. Zeitangaben
12.7.3. Beispiel für exzentrische Anomalie
12.7.4. Beispiel für Mittelpunktsgleichung mit Fourier-Reihen
12.7.5. Ergebnisvergleich der beiden Verfahren
12.7.6. Radius aus Fourier-Reihen
12.7.7. Bemerkungen zu den Taschenrechner-Ergebnissen
12.8. Lage der Bahnebene im Raum
12.8.1. Die Ekliptik
12.8.2. Die Schiefe der Ekliptik
12.8.3. Frühlingspunkt und Herbstpunkt
12.9. Die Jahreszeiten der Erde
12.9.1. Tagundnachtgleiche
12.9.2. Wechsel zwischen Winter und Sommer
12.9.3. Unterschiede zwischen Nord- und Südhalbkugel
12.10. Bahnelemente der Erde
12.11. Bahnelemente für die elliptische Bahn
12.12. Bemerkungen zu den Bahnelementen der Erde
12.12.1. Inklination
12.12.2. Zeitpunkt des Periheldurchgangs
12.12.3. Umlaufzeit
12.12.4. Tabelle der Bahnelemente der Erde
12.13. Beispiel: Berechnung der wahren Anomalie und des Radius
12.13.1. Berechnungszeitpunkt
12.13.2. Wahre Anomalie aus E
12.13.3. Mittelpunktsgleichung aus Fourier-Reihen
12.13.4. Mittelpunktsgleichung aus mittlerer und wahrer Anomalie
12.13.5. Abweichung der Ergebnisse beider Verfahren
12.13.6. Radius aus Fourier-Reihe
12.14. Zusammenfassung
12.14.1. Berechnungsverfahren
12.14.2. Bestimmung des Bahnortes
12.14.3. Berechnung des Zeitpunktes für einen bestimmten Bahnort
12.14.4. Bahnbestimmung

13. Bahnstörungen
13.1. Genauigkeit der Ereigniszeitpunkte
13.2. Störungen der Erdumlaufbahn
13.2.1. Präzession und Nutation
13.2.2. Periheldrehung
13.2.3. Die „großen Jahre“ der Erde
13.2.4. Störungen durch Mehrkörperproblem
13.2.5. Zeitliche Änderung der Bahnparameter
13.2.6. Berechnungsfehler

14. Krümmung der Erdoberfläche
14.1. Daten des Erdkörpers
14.2. Rotationsellipsoid und Geoid
14.2.1. Geodäsie
14.2.2. Geografische und geozentrische Breite
14.2.3. Umrechnung der geografischen in die geozentrische Breite
14.2.4. Anwendung der geozentrischen Breite
14.2.5. Erdradius
14.2.6. Berechnung des Erdradius
14.2.7. Berücksichtigung der Höhe des Beobachters über NN
14.2.8. Krümmung und Krümmungsradius

15. Sichtweiten auf der Oberfläche der Erdkugel
15.1. Wahrer und scheinbarer Horizont
15.2. Kimmtiefe und Horizontpunkt
15.3. Großkreisbogen
15.4. Geometrische Sichtweite
15.5. Herleitung der Formeln
15.5.1. Sichtlinie
15.5.2. Stichhöhe des Kugelsegments
15.5.3. Kimmtiefe und Horizontabrückung
15.6. Anwendungen
15.7. Refraktion in bodennahen Luftschichten
15.7.1. Krümmung der Sichtlinie durch Refraktion
15.7.2. Berechnung der Refraktion
15.7.3. Refraktionskoeffizient
15.7.4. Refraktion in der Wirklichkeit
15.7.5. Formeln für die Sichtweite
15.7.6. Kimmtiefe bei Refraktion
15.7.7. Refraktionswinkel
15.8. Berechnungsbeispiele
15.8.1. Beispiel für einfache Sichtweitenberechnung
15.8.2. Beispiel für zusammengesetzte Sichtweite

16. Koordinatensysteme in der Astronomie
16.1. Vorbemerkung
16.2. Bezugszeitpunkte, Standardepochen und Besseljahr
16.3. Orientierung im Raum durch Koordinaten
16.4. Festlegung der Koordinatensysteme
16.5. Rechtwinkliges Koordinatensystem (Grundsystem)
16.5.1. Definition eines räumlichen orthogonalen Rechtssystems
16.5.2. Kartesisches Koordinatensystem
16.5.3. Polarkoordinatensystem
16.5.4. Koordinatenumrechnung kartesisch in polar und umgekehrt
16.5.5. Umrechnung von polar in kartesisch
16.5.6. Umrechnung von kartesisch in polar
16.6. Topozentrisches horizontales Koordinatensystem (th)
16.6.1. Astrometrische und geometrische Koordinaten
16.6.2. Umrechnung astrometrisch auf geometrisch
16.6.3. Umrechnung von geometrisch auf astrometrisch
16.6.4. Horizontsystem und topozentrische horizontale Koordinaten
16.6.5. Praktische Anwendung
16.7. Geozentrisches äquatoriales Koordinatensystem (gä)
16.7.1. Koordinatenursprung
16.7.2. Bezugslinien für Winkel
16.7.3. Rektaszension und Deklination
16.7.4. Geozentrische äquatoriale Koordinaten
16.8. Topozentrisches äquatoriales Koordinatensystem (tä)
16.8.1. Parallaxe
16.8.1.1. Objekt in Meridianebene
16.8.1.2. Objekt außerhalb der Meridianebene
16.8.2. Topozentrische äquatoriale Koordinaten
16.9. Heliozentrisches ekliptikales Koordinatensystem (he)
16.9.1. Ursprung und Orientierung im Raum
16.9.2. Heliozentrische Koordinaten in der Ekliptik
16.9.3. Aufsteigende Knoten in Ekliptik und Planetenbahn
16.10. Geozentrisches ekliptikales Koordinatensystem (ge)
16.10.1. Ursprung und Orientierung im Raum
16.10.2. Geozentrische ekliptikale Koordinaten
16.11. Koordinatensystem der heliozentrischen Bahnebene (hb)
16.11.1. Lage der Bahnebene zur Ekliptik
16.11.2. Koordinaten der Bahnebene
16.12. Tabellarische Zusammenstellung der Koordinatensysteme
16.13. Ermittlung der geometrischen Koordinaten
16.13.1. Refraktion
16.13.2. Aberration
16.13.3. Lichtlaufzeit
16.13.4. Zeitabhängige Einflüsse

17. Koordinatentransformationen
17.1. Gleichungssysteme lösen
17.2. Genauigkeitsanforderungen
17.3. Transformationsketten
17.4. Vereinfachungen der Transformationen
17.5. Eigenschaften der Transformationspaarungen
17.5.1. Heliozentrische Bahnebene - heliozentrisch ekliptikal (hb-he)
17.5.2. Heliozentrisch ekliptikal zu geozentrisch ekliptikal (he-ge)
17.5.3. Geozentrisch ekliptikal zu geozentrisch äquatorial (ge-gä)
17.5.4. Geozentrisch äquatorial - topozentrisch äquatorial (gä-tä)
17.5.5. Geozentrisch äquatorial - topozentrisch horizontal (gä-th)

18. Raumkoordinaten in der Zeit
18.1. Alles in Bewegung
18.2. Transformationen in der Zeit

19. Das sphärische Dreieck und der Großkreisbogen
19.1. Einleitung
19.2. Die Formeln für den Großkreisbogen
19.2.1. Begriffe und Bezeichnungen
19.2.2. Erdradius für Großkreisbogen
19.2.3. Formeln für das Poldreieck
19.3. Berechnungsbeispiele mit dem Taschenrechner
19.3.1. Bogenlänge und Kurswinkel

20. Satellitenpeilung
20.1. Einführung
20.2. Berechnung der Satellitenbahn
20.2.1. Wo befindet sich der Satellit?
20.2.2. Umlaufzeit T
20.2.3. Bahnradius R
20.2.4. Position des Satelliten (Längengrad)
20.3. Ausrichtung der Satellitenantenne (Peilung)
20.4. Berechnung von Azimut und Elevation
20.4.1. Sphärisches Dreieck
20.4.2. Die Variablen
20.4.3. Formeln
20.4.4. Das Azimut
20.4.5. Die Elevation
20.4.6. Wie weit ist der Satellit von der Antenne entfernt?
20.5. Berechnungsbeispiel
20.6. Taschenrechnerprogramm SATPEIL
20.7. Sichtbarkeit der Satelliten
20.7.1. Längengrad (Grenzwinkel)
20.7.2. Breitengrad (Grenzwinkel)
20.7.3. Gesamtsichtbarkeit (Strahlungskegel)
20.8. Empfangbarkeit von Satellitensignalen
20.9. Wettersatelliten
20.10. Hinweise zur Montage der Satellitenantenne
20.10.1. Mehrsatellitenempfang mit einer Antenne
20.10.2. Literaturhinweise zum Satellitenempfang

21. Auf- und Untergänge von Himmelkörpern
21.1. Definitionen
21.1.1. Aufgang
21.1.2. Untergang
21.1.3. Kulmination, Meridian
21.1.4. Dämmerungen
21.1.5. Zirkumpolare Objekte
21.2. Koordinaten der Sonne
21.2.1. Berechnungszeitpunkt
21.2.2. Ekliptikschiefe
21.2.3. Mittlere Länge der Sonne
21.2.4. Mittlere Anomalie der Sonne
21.2.5. Mittelpunktsgleichung der Sonne (Erdbahn)
21.2.6. Wahre Anomalie der Sonne
21.2.7. Radius Sonne-Erde
21.2.8. Exzentrizität der Erdbahn
21.2.9. Wahre Länge der Sonne
21.2.10. Rektaszension und Deklination der Sonne
21.2.11. Elevation (Sonnenstand) und Azimut zum Zeitpunkt t
21.2.12. Zeitgleichung
21.2.13. Kulminationszeitpunkt der Sonne in MEZ
21.2.14. Tagbogen eines Himmelskörpers
21.2.15. Herleitung der Formel für den halben geometrischen Tagbogen
21.3. Geometrische Auf- und Untergangspunkte am Horizont
21.3.1. Auf- und Untergangszeitpunkte für geometrischen Tagbogen
21.3.2. Höhenwinkel bei Kulmination des Himmelskörpers
21.3.3. Azimut der geometrischen Auf- und Untergangspunkte
21.3.4. Stundenwinkel t und Höhenwinkel h eines Himmelskörpers
21.4. Berücksichtigung der Refraktion
21.5. Berücksichtigung des Objektdurchmessers
21.6. Zeitpunkte für Aufgang und Untergang
21.6.1. Genaue Zeitpunkte nur durch Iteration
21.6.2. Kulminationszeitpunkt und Stundenwinkel
21.6.3. Berücksichtigung von Refraktion und Objektradius
21.6.4. Azimut der wirklichen Auf- und Untergangspunkte
21.6.5. Dämmerungen
21.7. Höhe des Beobachters und Horizontabrückung
21.8. Zusammenstellung der Formeln
21.9. Zusammenfassung

22. Die Sonne und die Sonnenuhren
22.1. Sonnenuhren als Zeitmesser
22.1.1. Prinzip der Sonnenuhr
22.1.2. Sonnenuhren im Altertum
22.1.3. Sonnenuhren heute
22.2. Äquatoriale Ringsonnenuhr
22.2.1.1. Beschreibung
22.2.1.2. Anwendung der Ringsonnenuhr
22.3. Berechnung von Sonnenuhren
22.3.1. Berechnung einer horizontalen Sonnenuhr
22.3.1.1. Berechnungsmethode
22.3.1.2. Aufbau der Grafik für die horizontale Sonnenuhr
22.3.1.3. Sonnenuhr als begehbare Grafik
22.3.1.4. Gebrauchsanweisung
22.3.1.5. Feststellen der Südrichtung durch Kompass
22.3.1.6. Feststellen der Südrichtung durch bekannte Uhrzeit
22.3.2. Urheberrecht und Nutzung der Grafik

23. Bedeckung bei astronomischen Ereignissen
23.1. Definition
23.2. Fallunterscheidungen
23.3. Durchschnitt zweier Kreise
23.3.1. Winkel
23.3.2. Länge der gemeinsamen Sehne
23.3.3. Stichhöhen der Segmente
23.3.4. Segmentflächen und Durchschnitt
23.3.5. Bedeckungen

24. Die Geometrie der Finsternisse
24.1. Einleitung
24.2. Daten des Mondes
24.3. Formelzeichen
24.4. Voraussetzungen für eine Sonnenfinsternis
24.5. Formen einer zentralen Sonnenfinsternis
24.6. Voraussetzungen für eine Mondfinsternis
24.7. Kontakte
24.8. Sonnenfinsternisse
24.8.1. Kernschattenkegel des Mondes
24.8.2. Kernschatten - Halbschatten
24.8.3. Herleitung der Formeln
24.8.3.1. Kernschattenkegel
24.8.3.2. Kernschattendurchmesser k
24.8.3.3. Halbschatten
24.8.3.4. Gesamtschatten
24.8.4. Extremkonstellationen
24.8.4.1. Tabellenwerte für totale Sonnenfinsternisse
24.8.4.2. Tabellenwerte für ringförmige Sonnenfinsternisse
24.8.5. Verlauf einer Sonnenfinsternis
24.9. Mondfinsternisse
24.9.1. Kernschattenkegel der Erde
24.9.2. Verlauf einer Mondfinsternis
24.9.3. Finsternisdauern
24.9.3.1. Längstmögliche Finsternis
24.9.3.2. Kürzeste totale Mondfinsternis
24.10. Brauchbarkeit der Berechnungen

25. Der Mond und die Mondphasen
25.1. Grundsätzliche Betrachtungen zu den Mondphasen
25.2. Himmelsrichtungen des Mondes und der Planeten
25.3. Absolute und relative Bewegung des Mondes
25.4. Mondbahn, Auf- und Untergangszeiten des Mondes
25.5. Beschreibung der vier Mondphasen
25.5.1. Erstes Viertel
25.5.2. Vollmond
25.5.3. Drittes Viertel
25.5.4. Neumond
25.6. Berechnung der Mondposition für ein bestimmtes Datum
25.6.1. Vereinfachungen
25.6.2. Berechnungsgrundlagen
25.6.3. Näherungsformel zur Berechnung der mittleren Mondposition
25.6.4. Mondphase
25.6.5. Fehlerabschätzung
25.6.6. Berechnungsprogramm Mondposition aus Kalenderdatum
25.6.7. Umkehrrechnung Kalenderdatum aus Mondposition
25.6.8. Vergleich mit den genauen Werten

26. Himmelsbeobachtungen
26.1. Das menschliche Auge
26.1.1. Fähigkeiten des Auges
26.1.2. Augenfehler korrigieren lassen
26.1.3. Überanstrengung und Gefährdung der Augen
26.2. Das Fernrohr
26.3. Das Spiegelteleskop
26.3.1. Prinzip
26.3.2. Katadioptrisches Spiegelteleskop
26.3.3. Selbstbau von Spiegelteleskopen
26.3.4. Fernrohrmontierung bei Himmelsbeobachtungen
26.3.4.1. Azimutale Montierung
26.3.4.2. Parallaktische Montierung
26.4. Himmelsfotografie
26.4.1. Grundsätzliches zur Fotografie am Teleskop
26.4.1.1. Digitalkamera mit fest eingebautem Objektiv
26.4.1.2. Spiegelreflex-Kamera (SLR) mit auswechselbaren Objektiven
26.4.2. Versuche
26.4.3. Literatur zu Himmelsaufnahmen

27. Astronomie mit dem Computer
27.1. Berechnungen
27.2. Astronomie auf dem Taschenrechner
27.2.1. Taschenrechnerprogramm von Heiko Arnemann
27.2.2. Taschenrechnerprogramm von Otto Praxl
27.2.3. Differenzen zwischen den verschiedenen Ergebnissen
27.2.4. Programme anderer Autoren
27.2.5. Bildbearbeitung mit dem Computer
27.3. Der Sternenhimmel auf dem Computerbildschirm

28. Anhang
28.1. Literatur-Verzeichnis
28.2. „Kosmos-Himmelsjahr“: Spezielle Monatsthemen
28.3. Das griechische Alphabet
28.4. Satellitenliste
28.5. Bilderverzeichnis
28.6. Formelverzeichnis
28.7. Tabellenverzeichnis
28.8. Alphabetisches Sachregister (Index)

Impressum des Verfassers

Verfasser:

Otto Praxl.

Internetseite des Verfassers mit Kontaktdaten:

http://www.praxelius.de

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zusatzbeiträge und Ergänzungen sind auf der Internetseite zu finden. Dort nicht mehr vorhandene Beiträge können beim Verfasser angefordert werden.

Urheberrecht:

Das Buch und seine Teile unterliegen dem deutschen Urheberrecht.

Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich zugelassenen Fälle bedarf einer vorherigen schriftlichen Vereinbarung mit dem Verfasser. Jede widerrechtliche Nutzung wäre ein Verstoß gegen das Urheberrechtsgesetz.

Alle Werknutzungsrechte liegen beim Verfasser. Alle Rechte vorbehalten!

Layout und Gestaltung (mit Microsoft WORD™ 2007): Otto Praxl

Haftungsausschluss:

Im Text und in den Grafiken dieses Buches können auch Fehler enthalten sein. Für evtl. Fehler und daraus resultierende Nachteile übernimmt der Verfasser keine Haftung. Fehlermeldungen werden gerne entgegengenommen.

Quellenangaben und Bildnachweise:

Alle im Buch verwendeten Formeln und Algorithmen sind allgemeines Grundlagenwissen der Astronomen, das in vielen astronomischen Büchern zu finden ist. Die verwendeten Quellen, aus denen im konkreten Fall Inhalte verwendet wurden, werden im Text genannt.

Alle Fotos und Zeichnungen stammen vom Verfasser.

Titelbild: Horizontale Sonnenuhr, siehe Bild 89 auf Seite 230

Letztes Bearbeitungsdatum: 12.02.2016

Bearbeitungskennzeichen: AA-625720-186*

Vorwort des Verfassers

Ein Amateurastronom ist jemand, der sich mit der Astronomie hobbymäßig befasst. Der Verfasser zählt sich zu den Amateurastronomen.

Vorkenntnisse

Für die erfolgreiche Beschäftigung mit den Themen des Buches sind gute Kenntnisse in Mathematik und Physik erforderlich.

Zur Entstehung des Buches

Der Verfasser beschäftigt sich seit mehr als 50 Jahren mit Astronomie. Beim Studium der Astrono- miebücher hat er viele Randnotizen in diesen Büchern angebracht und auch eigene Aufzeichnungen gemacht, um bereits Verstandenes und Erarbeitetes nicht in Vergessenheit geraten zu lassen. Aus die- sem Skriptum ist nach und nach ein kleines Nachschlagewerk entstanden, das nun zu diesem Buch zu- sammengefasst wurde.

Inhalt des Buches

Hauptthema ist die Himmelsmechanik. Sie ist ein klassisches Teilgebiet der Astronomie, das die Bewegungen der Himmelskörper unter dem Einfluss der Gravitation beschreibt. Sie berechnet nach den physikalischen Gesetzen die Bewegungen der Planeten, des Mondes und anderer Himmelskörper (z. B. Satelliten). Daraus ergeben sich die Umlaufbahnen.

Außer der Himmelsmechanik werden noch andere Themen, wie Zeitrechnung, Zeitmessung, Kalen- derberechnung, Sonnenuhren, Satellitenpeilung, Finsternisgeometrie und andere Grundlagen behan- delt.

Der Rahmen dieses Buches umfasst nur die Phänomene des eigenen Sonnensystems. Astrophysik und Sternensysteme des tiefen Weltraums werden nicht behandelt. Innerhalb der behandelten Themen konnte aus Platzgründen nicht alles mit der gewünschten Ausführlichkeit behandelt werden. Beim Studium des Buches sollten deshalb astronomische Lehrbücher, vorzugsweise die angegebene Literatur, bereitliegen, um die Themen vertiefen zu können. Die zahlreichen Beispiele sollen die im Text beschriebenen Berechnungsvorgänge verdeutlichen.

Obwohl Astronomen ihre Probleme gerne mit komplizierten Gleichungen lösen, kommen wir im Buch mit einfacherer Mathematik aus. Im Einzelfall wird auf weiterführende Literatur hingewiesen, wo die genaue Theorie zu finden ist.

Dem Buch sind eine Kapitelübersicht und ein ausführliches Inhaltsverzeichnis vorangestellt. Im Anhang befinden sich die Verzeichnisse der Bilder, der Tabellen, der Formeln und der verwendeten Literatur. Ein alphabetisches Sachregister schließt das Buch ab.

Ergänzungsbeiträge und Fehlerberichtigungen zum Buch sind auf der Internetseite des Verfassers zu finden.

Unterschleißheim, im Februar 2016

Otto Praxl

1. Einleitung

1.1. Astronomie - eine alte Wissenschaft

Astronomie, die Kunde vom Weltall und den Gestirnen des Himmels ist wohl die älteste aller Wissenschaften. Sie reicht viele Jahrtausende zurück. Die alten Kulturvölker, wie die Chinesen, die Chaldäer, die Ägypter, die Babylonier, die mittelamerikanischen Mayas und andere, besaßen schon hochentwickelte astronomische Kenntnisse. Die Astronomen genossen dort hohes Ansehen.

Später kamen dann die Griechen (z. B. Claudius Ptolemäus, etwa 87 bis 170 n.Chr.), die die Bewegung der Planeten in einer Theorie zu erklären versuchten.

Das Erbe der griechischen Astronomie übernahmen im 10. bis 15. Jahrhundert n. Chr. die Araber. Sie brachten auch die heute gebräuchlichen Ziffern (arabische Ziffern) nach Europa.

Auch wenn sich das Wissen in der Astronomie erst in den letzten Jahrhunderten deutlich vermehrte, so hatten die Astronomen der Antike schon ein beachtliches Wissen. Sie hatten damals keine modernen Hilfsmittel, wie Fernrohre, Rechenmaschinen und moderne Mathematik zur Verfügung.

Im Abendland ist dagegen in der gleichen Zeit keine Entwicklung der Astronomie zu verzeichnen, wenn man von der Einführung des Julianischen Kalenders durch Caesar absieht (siehe Seite 58).

1.2. Theoretische Grundlagen

Der Beginn der neuzeitlichen Astronomie leitete Nikolaus Kopernikus (1473 bis 1543 n. Chr.) ein. Ihm folgten Tycho Brahe (1546 bis 1601), Galileo Galilei (1564 bis 1642), Johannes Kepler (1571 bis 1630.) und Isaac Newton (1643 bis 1727).

Die theoretischen Grundlagen der Himmelsmechanik stützen sich auf Mathematik und Physik. Die von Johannes Kepler gefundenen und nach ihm benannten drei Keplerschen Gesetze und das von Isaac Newton gefundene Gravitationsgesetz sind von besonderer Wichtigkeit.

Die ausführliche Theorie ist im Buch Himmelmechanik von Manfred Schneider (Lit.27 ) zu finden. Insbesondere die Bücher Einführung in die Himmelmechanik und Ephemeridenrechnung von Andreas Guthmann (Lit.8 ) und Grundlagen der Ephemeridenrechnung von Oliver Montenbruck (Lit.19 ) sind geeignet, Anfängern einen Einblick in die elementaren theoretischen und numerischen Methoden der Himmelsmechanik zu vermitteln.

Es gibt viele schöne Computerprogramme zu kaufen, mit denen man die Berechnung aller gewünsch- ten Planetenbahnen und Sternörter auf Knopfdruck durchführen kann und die den Sternenhimmel mit allen Planeten wie ein Planetarium oder Stellarium darstellen. Viele Amateure sind mit diesen han- delsüblichen Computerprogrammen zufrieden, weil die gewünschten Werte auf Knopfdruck geliefert werden.

Mathematisch interessierte Amateure wollen aber nicht nur mit fertigen Computerprogrammen arbeiten, sondern auch die Theorie verstehen und die Berechnungen auf ihrem PC oder ihrem wissenschaftlichen Taschenrechner selbst programmieren können. Denen sei das Buch Astronomie mit dem Personal Computer von Oliver Montenbruck und Thomas Pfleger (Lit. 20 ) empfohlen.

1.3. Hilfsmittel für die Berechnung

Noch im Jahr 1965 war es für Amateurastronomen nicht einfach, Planetenbahnen und astronomische Ereignisse zu berechnen, weil nur einfache Hilfsmittel zur Verfügung standen, die nicht ausreichten, um die mit der Himmelsmechanik zusammenhängenden Berechnungen mit der erforderlichen Genauigkeit bei annehmbarem Zeitaufwand selbst durchführen zu können. Früher standen nur Rechenschieber, Logarithmentafeln und mechanische Kurbelrechenmaschinen zur Verfügung, deren Genauigkeit für astronomische Berechnungen nicht ausreicht.

Heutzutage gibt es Personal Computer (PC) und wissenschaftliche Taschenrechner, mit denen diese Berechnungen mit der nötigen Genauigkeit durchgeführt werden können. Die astronomischen Berech- nungen für die Beispiele in diesem Buch wurden mit einem programmierbaren wissenschaftlichen HP- Taschenrechner durchgeführt. Die in Bild 1 gezeigten Modelle sind dafür geeignet (Beschreibung in Lit.24 ).

Bild 1: Wissenschaftliche Taschenrechner HP 49g+ und HP 50g

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Geräte bieten alle mathematischen Funktionen und programmiertechnischen Möglichkeiten, um astronomische Berechnungen ohne großen Aufwand programmieren und durchführen zu können. Sie können über ein Kabel an das PC-System angeschlossen werden.

Auch auf normalen Heimcomputern (PC) können die Berechnungen durchgeführt werden, wenn Programmiermöglichkeiten vorhanden sind.

Bei Berechnungen über Tabellenkalkulationsprogramme ist zu prüfen, ob diese Programme mit ausreichender Genauigkeit (ausreichende Stellenzahl der Zahlen) rechnen.

Manche Buchautoren legen ihren Büchern Programme auf Datenträgern bei, damit die Leser die in den Büchern behandelten Berechnungen nachvollziehen können (z. B. Lit.20 oder18 ).

1.4. Genauigkeit der Berechnungen

1.4.1. Signifikante Stellen

Astronomische Berechnungen sind mit ausreichend vielen signifikanten Stellen (Ziffern) durchzufüh- ren. Signifikant sind die Ziffern (engl.: digits), die übrig bleiben, wenn bei einer Zahl die vorderen und hinteren Nullen weggestrichen werden, das Komma wird nicht gezählt. Die Nullen zwischen den Zif- fern zählen aber mit.

Zahlenbeispiele mit 12 signifikanten Stellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die in Bild 1 abgebildeten Taschenrechner verwenden für reelle Zahlen 12 signifikante Stellen. Diese Genauigkeit ist für die meisten astronomischen Berechnungen des Amateurs ausreichend.

1.4.2. Reelle Zahlen (Kommazahlen)

Die in Bild 1 gezeigten HP-Taschenrechner rechnen mit reellen Zahlen x im Bereich 10-500 < |x| < 10500, allerdings immer nur mit 12 signifikanten Stellen.

Bei Verwendung einer externen Programmbibliothek für lange Dezimalzahlen können diese HPTaschenrechner mit beliebig einstellbarer Genauigkeit der reellen Zahlen (Dezimalzahlen) arbeiten. Berechnungen mit vielen hundert signifikanten Stellen sind möglich.

1.4.3. Ganze Zahlen (Integerzahlen)

Ohne eine externe Zusatzbibliothek ermöglicht die eingebaute Ganzzahlarithmetik der HPTaschenrechner bei ganzen Zahlen (engl.: integer) Berechnungen mit vielen tausend Ziffern. Z. B. kann die Zahl 720000 mit insgesamt 16902 Ziffern mit dem Taschenrechner berechnet werden.

1.4.4. Rundung der Zahlen

Es hat keinen Sinn, bei den Ergebnissen einer Berechnung zu viele Stellen „mitzuschleppen“, die für ein vernünftiges Ergebnis nicht notwendig sind. Der Astronom sollte sich immer fragen, wie genau ein Ergebnis sein kann, schon von den Eingabewerten her. Wenn die Eingabewerte schon in der fünften oder sechsten Kommastelle ungenau sind, hat es keinen Sinn, die anderen beteiligten Variablen oder Konstanten hochgenau einzusetzen. Wenn im Ergebnis mehr signifikante Stellen als nötig vorhanden sind, dann wird die Zahl auf die gewünschte Stellenzahl gerundet.

Wird z. B. mit 30 Nachkommastellen angegeben (siehe Tabelle 1), so genügt diese Genauigkeit, um den Umfang eines Kreises mit einem Radius von 2 Milliarden Lichtjahren auf 0,02 mm genau anzugeben (Lichtjahr siehe Tabelle 2). Kein Mensch braucht eine so hohe Genauigkeit von .

Für die meisten Berechnungen des Amateurs genügen 12 signifikante Stellen für das Ergebnis.

1.5. Richtigkeit der Berechnungen

Jede Berechnung sollte auf Plausibilität und Richtigkeit überprüft werden. Astronomen wissen meist schon vorher, was bei einer Berechnung ungefähr herauskommen muss. Jeder Fachmann kann auf- grund seiner Erfahrung und seiner Fachkenntnis abschätzen, ob seine Berechnung richtig ist oder ob etwas nicht stimmt. In der Schule machten wir die „Probe“, um zu überprüfen, ob die Lösung einer Aufgabe richtig war.

Man stellt sich die Frage: „Kann das stimmen?“ Wenn man nach einigem Nachdenken zur Antwort kommt, dass die Lösung plausibel, einleuchtend, glaubhaft und wahr sei, dann kann man beruhigt weitermachen. Im Zweifel muss man nachrechnen und noch einmal überprüfen.

1.6. Notation und Maßeinheiten in der Astronomie

Unter Notation verstehen wir die Art und Weise, wie ein Begriff, eine Variable oder ein Formelzeichen geschrieben oder abgekürzt (Kurzzeichen) wird. Die in der Astronomie verwendete Notation ist in nachfolgenden Tabellen und im laufenden Text angegeben.

1.6.1. Tabelle der Formelzeichen

Die Variablen sind meist kursiv und fett gedruckt. In Formeln vertreten sie Zahlenwerte. Viele Formelzeichen stammen aus dem griechischen Alphabet (siehe Seite 276).

Manche Formelzeichen werden in verschiedenen Bedeutungen verwendet.

Tabelle 1: Tabelle der Formelzeichen mit Notation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.6.2. Tabelle wichtiger Einheiten und Konstanten

Tabelle 2: Tabelle wichtiger Maßeinheiten und Konstanten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Die Zeitrechnung der Römer

Von den alten Kulturvölkern stehen uns die Römer zeitlich am nächsten. Schon in der Schule haben wir viel darüber gelernt (Latein, römische Geschichte, Limes, römische Zahlen, julianischer Kalender, Römisches Reich usw.). Zur Wiederholung und der Vollständigkeit halber wollen wir die römischen Zahlen, die römische Zeitrechnung und den römische Kalender eingehend behandeln.

2.1. Die römischen Zahlen

Die Römer kannten unsere modernen Ziffernzeichen noch nicht, da diese erst um etwa 800 n. Chr. von den Arabern nach Europa gebracht wurden. Die Römer mussten ihre eigenen Zahlzeichen und ihr eigenes Zahlensystem verwenden.

2.1.1. Römischen Zahlzeichen

Tabelle 3: Die 7 römischen Zahlzeichen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie diese Zahlzeichen entstanden sind, darüber gibt es unterschiedliche Meinungen. Fest steht aber, dass C (= 100) dem lateinischen Wort centum (hundert) entspricht und M (= 1000) auf mille (tausend) hinweist.

2.1.2. Aufbau des römischen Zahlensystems

1. Durch die römischen Zahlzeichen I (=1), X (= 10), C (= 100), M (= 1000) werden die Grund- zahlen mit der Basis 10 dargestellt.

2. Durch die römischen Zahlzeichen V (=5), L (= 50), D (= 500) wird jeweils das Fünffache der ersten drei Grundzahlen dargestellt.

3. Das 2- bis 4-Fache der Grundzahlen der Basis 10 wird durch Wiederholung (Nebeneinander- schreiben) der entsprechenden Grundzahlen dargestellt. Die Römer ließen bis zu vier gleiche Zeichen nebeneinander zu.

Zur Darstellung einer römischen Zahl werden diese Zahlzeichen ohne Zwischenraum nebeneinandergeschrieben, wobei das höherwertigere voransteht. Da es nur 7 Zahlzeichen gibt, müssen größere Zahlen durch Multiplikation der Grundzahlen dargestellt werden: Ein übergesetzter Strich bedeutet das 1000-Fache: z. B.: II = 1000 × 2 = 2000; D = 1000 × 500 = 500000; M = 1000 × 1000 = 1000000.

4. Eine römische Zahl, die beidseits und oben mit je einem Strich gekennzeichnet ist, bedeutet das 100 000-Fache dieser Zahl.

Beispiele für größere Zahlen:

| X | = 100000 × 10 = 1000000

XXV = 1000 × 25 = 25 000;

| XXV| = 100000 × 25 = MMD = 1000 × 2500 = 2500000

5. Die Werte aller nebeneinanderstehenden Zahlzeichen werden addiert. Dies ist die Additions- schreibweise der römischen Zahlen.

Man nennt diese Darstellungsweise additive Zahlendarstellung, weil die Einzelwerte nebeneinander ohne Umrechnung addiert werden. Dabei werden die höherwertigen Zahlzeichen links vor die anderen geschrieben. Mit den römischen Zahlzeichen (M, D, C, L, X, V, I) können nur positive ganze Zahlen dargestellt werden. Eine Null kommt nicht vor.

Um die Zahlen auf dem Papier nicht zu lang werden zu lassen, verwendet man zusätzlich innerhalb der römischen Zahl die Subtraktionsschreibweise: Steht ein kleineres Zahlzeichen voran, so ist der Wert vom nachfolgenden größeren abzuziehen, z. B.: MCM = 1900; MIM = 1999; MID = 1499.

2.1.3. Kommastellen und Brüche

Das Dezimalkomma und die Stellen hinter dem Komma kannten die Römer noch nicht. Sie kannten nur ganze Zahlen und Brüche.

Teile von ganzen Zahlen wurden durch Brüche dargestellt, die mit lateinischen Wörtern bezeichnet wurden. Brüche hatten für die Zahlendarstellung keine Bedeutung. Sie wurden bei Maßen und Gewichten verwendet.

2.2. Rechnen mit römischen Zahlen

2.2.1. Manuelles Rechnen

Die unpraktische Schreibweise der römischen Zahlen erschwert das Rechnen mit Bleistift auf Papier. Trotzdem kann man auch mit den Römischen Zahlen manuell rechnen, indem man die Zahlen in Spalten mit Einer, Fünfer, Zehner, Fünfziger, Hunderter usw. aufteilt und in den Spalten aufaddiert. Der Übertrag wird zur nächsthöheren Spalte übertragen.

Beispiel:

Man addiere die beiden Zahlen: XVI CCCCLXVIII = 16468 und CCCLXXII = 372.

Vor der Addition werden diese beiden Zahlen zuerst in ihre Einzelteile zerlegt und diese der Größe nach sortiert. Dann werden gleichartige Zahlzeichen in gleichen Spalten zusammengefasst, am Schluss wird die Summe hingeschrieben und zum Ergebnis zusammengefasst:

Tabelle 4: Manuelles Rechnen mit römischen Zahlen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.2.2. Das Rechenbrett (Abakus)

Obwohl die römischen Zahlen wegen ihrer Schreibweise für das Rechnen mit Bleistift auf Papier nicht vorteilhaft sind, so ist das Zahlensystem doch ein vollwertiges Dezimalsystem (Zehnersystem).

Um das Rechnen zu vereinfachen und zu mechanisieren, haben um 1100 v. Chr. im Orient die Gelehrten der Antike das Rechenbrett entwickelt. Die Römer übernahmen das Rechenbrett und nannten es Abakus (lat.: abacus = Rechenbrett, Rechentisch, Abakus).

Auf dem Abakus kann man die Zahlen übersichtlich durch senkrechtes und waagrechtes Nebeneinanderlegen von Steinchen (lat.: calculus = Steinchen, Rechenstein, Rechnung) darstellen. Von diesen Steinchen, lat. calculi, leitet sich auch das Wort „kalkulieren“ ab.

Der Abakus ist ein Rechengerät, das die Stellenwertschreibweise verwendet. Für den Wert einer Ziffer kommt es also darauf an, an welcher Stelle die Ziffer in der Zahl steht. Für den Abakus ist es unerheblich, mit welcher Art Ziffern eine Zahl auf dem Papier darstellt wird. Er arbeitet nur mit Zahlenwerten, die durch einzelne, aufgereihte Steinchen repräsentiert werden.

Mit dem Abakus lassen sich die vier Grundrechenarten (Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division) durchführen. Multiplikationen werden durch wiederholte Additionen, Divisionen durch wiederholte Subtraktionen für jede Stelle der Zahl durchgeführt.

Das Rechnen mit römischen Zahlen mag zwar auf dem Papier beschwerlich sein, mit dem Abakus lässt es sich wesentlich vereinfachen und beschleunigen, weil die Ziffern mit ihren Stellenwerten in die Rechnung eingehen.

Die Handhabung des Abakus musste erlernt werden, dafür gab es eigene Rechenlehrer (lat.: calculator, Rechenlehrer).

Ursprünglich wurde mit Steinchen auf einem Brett gerechnet, später wurden Geräte gebaut, die man in der Tasche mitnehmen konnte (Bild 2).

Der Abakus ist auch in Ostasien bekannt, wo er Suapan genannt wird und noch heute ein unentbehrliches Hilfsmittel ist.

2.2.3. Prinzip des Abakus

Im Prinzip genügen in Ermangelung eines Geräts einige Striche im Sand und einige Steinchen. Senkrechte Striche dienen als Kennzeichnung der Stellen und ein gerader Stock dient als waagrechte Trennlinie (Querbalken) zwischen den oberen und unteren Steinchen. Für jede Dezimalstelle werden 7 Steinchen verwendet, zwei Fünfer-Steinchen über dem Querbalken und fünf Einer-Steinchen unter dem Querbalken. Dadurch kann der Abakus für jedes Dezimalsystem verwendet werden.

Beim Abakus werden die Zahlenwerte nach folgender Tabelle zugeordnet, wobei die dicke Linie den Querbalken darstellt. Die Stellenzahl kann beliebig nach links erweitert werden.

Tabelle 5: Stellenwerte des Abakus

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Steinchen oberhalb des Querbalkens stellen die fünffachen Werte der unterhalb des Querbalkens befindlichen Steinchen dar.

In der Einerspalte stehen unten die Einer und oben die Fünfer, in der Zehnerspalte stehen unten die Zehner und oben die Fünfziger, für die weiteren Spalten gilt dasselbe Prinzip der Zehnerpotenzen (unten) und ihres Fünffachen (oben).

Wenn die Steinchen am Querbalken anliegen, haben sie den zugewiesenen Wert. Liegen sie außen, also ganz oben oder ganz unten, werden sie nicht gezählt, haben also den Wert null.

Die Null als Zahlzeichen gibt es bei den römischen Zahlen nicht. Beim Abakus wird der Nullwert in jeder Spalte dadurch dargestellt, dass kein Steinchen von oben oder von unten am Querbalken anliegt.

Wenn die Stelle „überläuft“, arbeitet man mit Übertrag in die nächsthöhere Stelle. Reicht die Stellenanzahl nicht aus, kann man mehrere dieser Geräte links daneben legen.

Bild 2 zeigt einen Abakus (9-stellig) in Messingausführung auf Marmorplatte in der Größe 90 × 60 mm. Er zeigt die Dezimalzahl 123456789.

Bild 2: Abakus in tragbarer Form (Taschen-Abakus = Taschenrechner)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3. Der römische Tag

2.3.1. Naturgegebene Tageszeiten

Bevor wir uns mit den Zeitzonen und Ortszeiten der Neuzeit beschäftigen, seien hier die naturgegebenen Tageszeiten erwähnt, die durch das Tageslicht von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang bestimmt werden. Viele alte Völker richteten sich nach dem Lauf der Sonne. Auch die Tageszeiten der Römer wurden vom Lauf der Sonne bestimmt.

Der römische Tag richtete sich nach der Sonne und dauerte von Sonnenaufgang (lat.: solis ortus) bis Sonnenuntergang (lat.: solis occasus) und wurde in zwölf Teile (römische Stunden) eingeteilt. Für die Länge des Tages war also die Dauer des Tageslichts bestimmend.

Die römische Nacht wurde in 4 Nachtwachen eingeteilt. Die römischen Tagstunden und die Nachtwachen zusammen ergaben einen Kalendertag.

Die Länge eines Kalendertages (z. B. von Mittag bis Mittag des nächsten Tages) konnte man damals nicht mit 24 Stunden angeben, weil die Stunden nicht durchgehend gezählt wurden und auch nicht gleich lang waren. Der Mittagspunkt kann einwandfrei bestimmt werden, weil zu diesem Zeitpunkt die Sonne den höchsten Stand hat (Kulmination).

Ob nun Sommer oder Winter, die Zeitspanne zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang war als „der römische Tag“ definiert, er wurde immer in 12 gleiche Teile (römische Stunden) unterteilt. Die römischen Stunden waren also, je nach Jahreszeit, unterschiedlich lang (siehe Diagramm Bild 3 ).

2.3.2. Tageslängen

Die Angaben der Uhrzeit nach unserer 24-Stunden-Zählung gab es damals noch nicht. Trotzdem wollen wir hier zum Vergleich unsere Uhrzeiten angeben:

In Rom und Mittelitalien (geografische Breite etwa 42° Nord) findet der Sonnenaufgang etwa zwischen 4.30 Uhr Ortszeit im Sommer und 7.30 Uhr im Winter. Der Sonnenuntergang liegt etwa zwischen 16.30 Uhr im Winter und 19.30 Uhr im Sommer statt. Der römische Tag (Tageslicht) dauert im Sommer etwa 15 Stunden und im Winter etwa 9 Stunden. Das war nicht nur damals so, sondern stimmt heute noch.

In Gallien und Germanien (jetziges Frankreich und Deutschland) verschoben sich Sonnenaufgang und Sonnenuntergang wegen der höheren geographischen Breite der Orte auf etwa folgende Zei- ten: Sonnenaufgang zwischen 4 Uhr (Sommer) und 8 Uhr (Winter), Sonnenuntergang zwischen 16 Uhr (Winter) und 20 Uhr (Sommer). Der römische Tag war in Gallien und Germanien im Sommer 16 Stunden und im Winter nur 8 Stunden lang.

Am Frühlingsanfang (21. März) und am Herbstanfang (23. September) findet auf der ganzen Erde der Sonnenaufgang um 6.00 Uhr Ortszeit und der Sonnenuntergang um 18.00 Uhr Ortszeit statt. Tag und Nacht sind an diesen beiden Tagen (theoretisch) gleich lang: Tagundnachtgleiche, Äqui- noktium.

Der Sonnenaufgang ist astronomisch genau definiert: Es ist der Zeitpunkt, zu dem die ersten Sonnen- strahlen vom oberen Rand der Sonne am Horizont sichtbar werden. Auch der Sonnenuntergang ist ast- ronomisch genau definiert: Es ist der Zeitpunkt, zu dem die letzten Sonnenstrahlen am Horizont ver- schwinden. Beide Zeitpunkte sind ortsabhängig und auch geländeabhängig (siehe auch 21.7 auf Seite 220).

Die oben angegebenen Uhrzeiten berücksichtigen weder die Refraktion (siehe Abschnitt 9.1 ab Seite 100) noch die Zeitgleichung (siehe Kapitel 4 ab Seite 39). Will man diese beiden Einflüsse berücksich- tigen, dann muss man wegen der Zeitgleichung zur genauen Berechnung auch das Datum angeben.

2.3.3. Römische Tageseinteilung

Das Diagramm (Bild 3) zeigt den Verlauf der römischen Tageszeiten mit den unterschiedlichen Stundenlängen im Laufe eines Jahres. Die Dämmerungszeiten sind hier nicht berücksichtigt.

Bild 3: Römische Tageseinteilung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Links am Rand des Diagramms und an den senkrechten Linien sind die Stunden nach unserer 24- Stunden-Zählung angegeben.

Die Längen der unterschiedlichen römischen Stunden sind durch die Breiten der geschwungenen Streifen gegeben, die sich während des Jahres über Frühjahr, Sommer, Herbst und Winter ändern.

Der Verlauf des Sonnenstandes innerhalb eines Jahres folgt etwa einer Sinuslinie. In Bild 3 sind diese Sinuslinien erkennbar.

Die römischen Stundenlängen waren von der Jahreszeit und damit vom Winkel des Sonnenstandes zum Kulminationszeitpunkt abhängig, der in Rom zwischen 24,5° (= 90° - 42° - 23,5°) im Winter und 71,5° (= 90° - 42° + 23,5°) im Sommer hin und her pendelt. Die Änderung des Sonnenstandes ist be- dingt durch die jährliche Wanderung der Sonne vom südlichen Wendekreis (-23,5° geografische Brei- te) über den Äquator (0°) zum nördlichen Wendkreis (+23,5° geografische Breite) und wieder zurück. Die Wendekreise sind durch die Neigung von 23,5° der Äquatorebene der Erde gegenüber der Bahn- ebene der Erdumlaufbahn (Ekliptik) um die Sonne bedingt (siehe 12.8.1 auf Seite 134). Die Tageslän- ge zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang ist von dieser Neigung abhängig.

Obwohl die Babylonier bereits um 1700 v. Chr. den Tag in 24 gleich lange Stunden einteilten (ein Tag zu 24 Stunden, eine Stunde zu 60 Minuten, eine Minute zu 60 Sekunden), hielten die Römer im Alltag und beim Militär an der ungleichmäßigen Tageslänge und an der damit verbundenen Stundeneinteilung fest. Dies wurde auch nicht geändert, als Caesar den Julianischen Kalender eingeführt hatte. Das hing wohl damit zusammen, dass die Römer keine geeigneten tragbaren Uhren besaßen.

2.3.4. Die römische Tag und die römische Stundenzählung

Die Stunden (lat.: hora, die Stunde) wurden von Sonnenaufgang bis Sonnenuntergang gezählt:

- Die erste Stunde (hora prima = h I.), begann mit dem Sonnenaufgang, im Sommer (am 21. Juni) nach unserer modernen Stundenzählung in Rom um 4.30 Uhr und im Winter (am 21. Dezember) um 7.30 Uhr.
- Die sechste Stunde (h VI.) ging mittags mit Erreichen des höchsten Sonnenstandes (Kulminati- on) zu Ende. Den Mittagspunkt, also den Zeitpunkt des höchsten Sonnenstands, nannten die Römer meridies.
- Die siebte Stunde (h VII.) begann mit dem höchsten Sonnenstand.
- Die neunte Stunde (h IX.) lag im Sommer etwa zwischen 14.30 und 15.30 Uhr. Im Frühling und Herbst ging die neunte Stunde genau um 15.00 Uhr zu Ende.
- Die zwölfte Stunde (h XII.) ging mit dem Sonnenuntergang zu Ende, im Sommer um etwa 19.30 Uhr und im Winter um etwa 16.30 Uhr, im Frühling und Herbst um 18 Uhr.

Die Tageszeit nach Sonnenstand ist ortsabhängig. Die Sonne hat ihren Höchststand (Kulmination) mittags. Da die Sonne östlich vom eigenen Standort früher aufgeht, kulminiert sie dort früher und westlich davon später. Die römischen Tageszeiten waren nach astronomischen Gesichtspunkten eine wahre Ortszeit, weil sie sich nach der Kulmination und nach den Auf- und Untergangszeiten der Sonne an einem bestimmten Ort richteten.

Diese Stundenangaben sind auch in der Bibel erwähnt: „In der neunten Stunde ...“

2.3.5. Die römische Nacht und die Nachtwachen

Die römische Nacht (Dauer der Dunkelheit) wurde in vier Teile unterteilt. Die Einteilung richtete sich nach den Zeiten der Nachtwache (vigilia die Wache, das Nachtwachen, das Wachehalten):

vigilia I. und vigilia II. dauerten zusammen von Sonnenuntergang bis Mitternacht (media nox),

vigilia III. und vigilia IV. lagen von Mitternacht bis Sonnenaufgang.

2.3.6. Tagesstunden und Nachtwachen in der Realität

Zeiteinheiten und genaue Uhren in unserem Sinne gab es damals noch nicht. Es gab kaum Möglichkeiten, die Stunden und deren Unterteilung genau zu messen.

Die ungleichmäßige Stundenlänge und die Stundenzählung (hora I. bis hora XII.) der Römer ändern aber nichts an der Tatsache, dass die astronomische Tageslänge von Mitternacht bis zur nächsten Mitternacht nach unserer Definition 24 gleich lange Stunden beträgt und die römischen Nachtstunden mit einschließt. Zwischen der Kulmination der Sonne (mittags 12 Uhr Ortszeit) und der Kulmination der Sonne am nächsten Tag liegen 24 Stunden nach unserer Definition.

Die Tagesstunden waren in der Realität leicht festzulegen, weil man nur die Zeit zwischen dem Sonnenaufgang und dem Sonnenuntergang in 12 gleiche Teile zerlegen musste. Auf den damaligen Uhren (siehe unten) mussten nur die Markierungen richtig angebracht werden.

Es war aber schwierig, die Zeiten innerhalb der Nächte abzuschätzen. Wann ist Wachablösung? Wann geht die Sonne auf? Taschenuhren gab es damals nicht und Sonnenuhren funktionierten nur am Tag.

2.4. Zeitmessung und Uhren

2.4.1. Natürliche Zeitmarken

Die Römer konnten nur dreimal am Tag ihre Ortszeit ohne Hilfsmittel nach dem Sonnenstand genau bestimmen:

1. Bei Sonnenaufgang (solis ortus, Tagesbeginn, erste Marke an der Sonnenuhr),
2. am Mittagspunkt (meridies, Kulmination, mittags, kürzester Schatten, Sonne genau im Sü- den) und
3. bei Sonnenuntergang (solis occasus, Tagesende, letzte Marke an der Sonnenuhr).

Diese Zeitpunkte markierte man auf Sonnenuhren und Wasseruhren und hatte damit die für diesen Tag gültigen „Eichpunkte“. Die Zeiten zwischen Sonnenaufgang und Mittagspunkt und zwischen Mittagspunkt und Sonnenuntergang unterteilte man in je 6 gleiche Teile.

2.4.2. Sonnenuhr

Bei der Sonnenuhr verwendet man den Schatten eines Stabes, um den Stand der Sonne anzuzeigen. Der Schatten des Stabes dient als Zeiger für die Zeitanzeige. Kennzeichnet man zu jeder Stunde die Position der Stabspitze auf dem Boden oder an der Wand, dann erhält man eine Skala für die Stunden. Dort kann die Uhrzeit abgelesen werden.

Der römische Kaiser Augustus ließ eine riesige horizontale Sonnenuhr, Solarium Augusti genannt, bauen. Im Jahr 10 v. Chr. wurde sie eingeweiht. Sie stand auf dem Campus Martius („Marsfeld“) in Rom. Als Zeiger dieser Uhr, die auch ein Kalender war, diente ein 30 m hoher ägyptischer Obelisk, der einst als Siegestrophäe von Ägypten nach Rom gebracht worden war. Sein Schatten wurde auf ein weitläufiges System von Bronzelinien und Bronzeschrift in Latein und Griechisch geworfen, die sich auf dem Boden befanden und begehbar waren.

Hier in diesem Buch wird eine ähnliche horizontale Sonnenuhr berechnet und als Grafik angeboten (Titelbild und Bild 89 auf Seite 230). Die große Grafik (2500×2500 Pixel) kann auch von der Webseite des Verfassers im Original heruntergeladen werden.

2.4.3. Wasseruhr

Die Wasseruhr ist eine der ältesten Zeitmessvorrichtungen. Sie funktioniert auch, wenn die Sonne nicht scheint.

Da im Internet von der Existenz unzähliger antiker Wasseruhren die Rede ist, aber keinerlei Konstruk- tionsdetails überliefert sind, können hier nicht die antiken Praktiken und Techniken beschrieben wer- den, sondern nur die technischen Möglichkeiten, wie man Wasseruhren heute bauen und betreiben kann.

2.4.3.1. Prinzip der Wasseruhr

Aus einem oberen Wasserbehälter fließt durch eine kleine Öffnung langsam Wasser in einen darunter befindlichen Behälter. Die Wasserhöhe am Zulauf des oberen Behälters muss durch einen Überlauf konstant gehalten werden, weil das Wasser nur dann gleichmäßig durch die kleine untere Öffnung fließt, wenn der Wasserdruck gleich bleibt.

Die Höhe des steigenden Wasserspiegels im unteren Behälter ist ein Maß für die abgelaufene Zeit. Ist der untere Behälter genügend groß, um das Wasser für einen ganzen Kalendertag aufzunehmen, dann kann man dort die Uhrzeiten umlaufend bei Tag und Nacht ablesen.

Man kann einen Schwimmer im unteren Wasserbehälter verwenden und mit einem Zeiger verbinden, der auf einer Skala die Uhrzeit (proportional zum Wasserstand) anzeigt. Je nach Größe des unteren Behälters kann man den Zeitraum eines Kalendertages von Mittag bis zum nächsten Mittagszeitpunkt messen. Damit hat man eine Wasseruhr für den ganzen Kalendertag, die man auch nachts ablesen kann.

2.4.3.2. Einrichtung der Wasseruhr

Die Wasseruhr wird mit leerem unteren Behälter genau zur Kulmination der Sonne (mittags) gestartet. Man markiert die untere Zeigerstellung (untere Marke) auf der Skala. Die oberste Markierung wird am nächsten Tag mittags an der Skala angebracht.

Die dazwischen liegenden Markierungen werden angebracht während sich der untere Behälter füllt. Da sind einmal die Marken für Sonnenuntergang und Sonnenaufgang, die zeitgerecht auf der Skala am Zeiger angebracht werden. Die Strecke dazwischen teilt man nachträglich in vier gleich lange Nacht- wachen ein.

Der Mitternachtszeitpunkt liegt genau in der Mitte zwischen Sonnenuntergang und Sonnenaufgang, also nach der zweiten Nachtwache. Der Zeitraum von Mittag bis Sonnenuntergang wird in 6 gleiche Teile geteilt (hora VII bis XII) und ebenso der Zeitraum von Sonnenaufgang bis Mittag (hora I bis VI). Die Marken für Sonnenaufgang und Sonnenuntergang und damit die Länge der Tagesstunden und der Nachtwachen sind täglich anders, das ist durch die Jahreszeit bedingt. Nur die Zeitpunkte für Mittag und Mitternacht bleiben konstant. Bild 3 zeigt die Reihenfolge der Nachtwachen.

2.4.3.3. Automatischer Betrieb der Wasseruhr

Genau mittags bei vollem unteren Behälter löst der Zeiger oder Schwimmer eine Entleerungsklappe aus, sodass der Wasserspiegel mit dem Schwimmer vom oberen Maximum schnell nach unten bis zum Boden sinkt. Der untere Behälter füllt sich dann von neuem.

Ist die Schwimmerschnur um eine runde Trommel gewickelt, deren Umfang genau dem Abstand zwischen der oberen und unteren Schwimmermarke entspricht, dann kann man auch eine kreisförmige Skala verwenden, bei der sich der Zeiger an der Trommel innerhalb eines Kalendertages um genau 360° bewegt. Bei Entleerung des unteren Behälters dreht sich der Zeiger um 360° zurück.

Hatte man damals mehrere identische Wasseruhren, so konnten deren Besitzer unabhängig voneinander dieselbe Zeit ablesen. Terminvereinbarungen stand nun nichts mehr im Wege.

2.4.4. Sanduhr

Die Sanduhr diente als Maß für gleich lange kleine Zeitspannen. Weil der Sand sehr schwer ist, konnte man nur kleine Sandmengen bewegen, wenn der Sanddurchlauf an der Sanduhr neu gestartet werden musste. Sanduhren gab es für die Bemessung der Redezeit im römischen Senat.

Prinzip der Sanduhr:

Im Prinzip funktioniert eine Sanduhr wie eine Wasseruhr:

Durch eine kleine Öffnung rieselt eine genau bemessene Menge trockenen feinen Sandes von einem Gefäß in ein darunter stehendes zweites Gefäß. Die Zeitdauer des vollständigen Sanddurchlaufs ist bei gleichen Bedingungen immer gleich. Auf diese Weise kann man durch die Menge des Sandes auch die Zeit festlegen, die man vorgeben will.

2.5. Der römische Kalender

Obwohl Caesar den Julianischen Kalender (JK) einführte, blieb man im Römischen Reich (Imperium Romanum) bei der viel zu komplizierten Zählung der Tage im Monat. Diese macht jedem Lateinschüler Schwierigkeiten.

Die Eigentümlichkeiten der römischen Tageszeiten (römische Stunden) haben wir schon kennengelernt (Seite 29). Der Vollständigkeit halber werden hier die Besonderheiten des römischen Kalenders nach- getragen.

2.5.1. Römische Wochentage

Die Wochentage sind nach den fünf mit freiem Auge sichtbaren Planeten benannt, ergänzt durch Sonne und Mond. Sie lauten (ab etwa 200 v. Chr.):

Tabelle 6: Römische Wochentage

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.5.2. Römische Monatsnamen

Die Namen der Monate sind Adjektive, also muss immer mensis (Monat) ergänzt werden.

Tabelle 7: Römische Monatsnamen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ursprünglich endete das römische Jahr mit dem Februar, er wurde auch als Reinigungsmonat bezeichnet. Bei den Römern begann das Jahr mit dem März, deshalb war ursprünglich der Dezember der 10. Monat der Römer (decem = 10).

Im Jahr 153 v. Chr. wurde festgelegt, dass die beiden Konsuln jedes Jahr am 1. Januar ihren Dienst antreten müssen und dann 1 Jahr lang herrschen sollten. Deshalb wurde auch der Jahresbeginn vom 1. März auf den 1. Januar gelegt und die Monate ab Januar gezählt.

Dass damit die ursprünglichen Namen (September = siebenter Monat, Oktober = achter Monat, November = neunter Monat, Dezember = zehnter Monat) nicht mehr stimmten, war nebensächlich.

Juli und August hatten ursprünglich die Ordnungszahlen 5. Monat (mensis Quintilis = Juli) und 6. Monat (mensis Sextilis = August), doch der römische Senat benannte diese beiden Monate zu Ehren von Caesar und Augustus um in mensis Iulius und mensis Augustus.

2.5.3. Römische Tageszählung (Monatstage)

Die Römer hatten ein für uns ungewöhnliches System für die Bezeichnung der Monatstage. Eine Durchnummerierung vom ersten bis zum letzten Monatstag gab es nicht. Das weiter unten beschriebene römische Datierungssystem wurde erst im Mittelalter von der heute üblichen Tageszählung abgelöst, die die Tage vom ersten bis zum letzten Tag des Monats durchnummeriert.

Man beachte: Alles musste in römischen Zahlen ausgedrückt werden. Für drei Tage des Monats gab es besondere Namen:

1. Die Kalenden bezeichneten den ersten Monatstag,

2. die Iden waren am 13. Monatstag, außer im März, Mai, Juli und Oktober, da waren sie am 15. Monatstag,

3. die Nonen waren am 5. Monatstag, außer im März, Mai, Juli und Oktober, da waren sie am 7. Monatstag. Die Nonen sind eigentlich die neunten Tage vor den Iden (nicht die neunten Tage des Monats und auch nicht die neunten Tage vor den Kalenden). Und da man die Iden selbst mit- zählt, rechnet man: 13 - 9 + 1 = 5, also die 5. des Monats. In den Monaten März, Mai, Juli und Ok- tober rechnet man: 15 - 9 + 1 = 7, also die 7. des Monats.

4. Die Zählung der Monatstage beruht am Monatsanfang auf dem Zeitabstand bis zu den nächsten Nonen, anschließend bis zu den nächsten Iden und dann in der zweiten Monatshälfte bis zu den nächsten Monatsersten, den Kalenden.

Für die Angabe des genauen Monatstages wurde von diesen Tagen zurückgerechnet, um einen bestimmten Tag zu benennen. Dabei war der Anfangs- und Endtag mit eingeschlossen.

5. Als „Tage vor den Kalenden“ werden jeweils die Tage in der zweiten Hälfte des vorangehenden Monats gezählt: Z. B. ist der „sechste Tag vor den Kalenden des August“ (a d VI Kal. Aug.) der 27. Juli, wobei a d = ante diem = vor dem Tag bedeutet1.

6. Wenn nur der Tag davor gemeint ist, dann verwendet man pridie (tags vorher = einen Tag vorher). Anstatt a d II Kal Mart für den 28. Februar kann man auch schreiben: pridie Kal Mart. oder für den 30. April: pridie Kalendas Maias = letzter April(tag).

2.5.4. Römische Bezeichnung des Schalttages

Der Schalttag wurde mit der Umstellung auf den Julianischen Kalender im Jahr 45 v. Chr. eingeführt. Vorher galt auch in Rom der ägyptische Kalender mit 365 Tagen.

Den Schalttag hängte man nicht einfach wie bei uns an das Ende des Februars an, sondern geschaltet wurde mit Ablauf des 24. Februar, der im Kalender mit VI notiert ist, man rechnete diesen Tag doppelt (bis = zweimal, doppelt). Der Schalttag (also der 25. Februar) wird gezählt als der „zweite sechste (bisextilis) vor den Kalenden des März“. Der Schalttag wurde deshalb als bisextus und das Schaltjahr als annus bisextilis bezeichnet. Entsprechend rutschen die folgenden Tage im Februar nach hinten (Klammerwerte in der Tabelle 8).

2.5.5. Der römische Jahreskalender

Quellen:

Lit.17, dort Seite 107;

Artikel „Römischer Kalender“ in der deutschen Wikipedia.

Tabelle 8: Römischer Kalender

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Erklärung: Kal. = Kalendae, Non. = Nonen, Id. = Iden, pr. ( = pridie = 1 Tag vor …). Die Klammerwerte im Februar gelten für das Schaltjahr.

2.5.6. Umrechnung der Monatstage auf heutiges Datum

Zur Umrechnung des römischen Jahreskalenders in unseren modernen Kalender gibt es einige einfache Faustregeln:

- Monatstage, die vor den Nonen liegen, werden in normalen Monaten von 5 + 1 abgezogen, in den Monaten März, Mai, Juli und Oktober (MOMJul= März, Oktober, Mai, Juli) von 7 + 1 ab- gezogen, da ja die Nonen auf den 5. oder 7. eines Monats fallen können.
- Monatstage, die vor den Iden liegen, werden von 13 + 1 abgezogen. In den Monaten März, Mai, Juli und Oktober (MOMJul) werden sie von 15 + 1 abgezogen. Die Iden können auf den 13. oder 15. fallen.
- In der zweiten Monatshälfte werden die Monatstage vor den Kalenden (1. des folg. Monats) von der um 2 vermehrten letzten Tageszahl unseres Monats abgezogen.

Beispiele:

20. Mai = 2 + 31 - 20 = 13. Also: a d XIII Kal Jun.

24. Februar = 2 + 28 - 24 = 6. Also: a d VI Kal Mart.

Im Schaltjahr gilt für den 25. Februar: 2 + 29 - 25 = 6. Also: a d VI Kal Mart = bisextus. Siehe unter 2.5.4 auf Seite 33.

Zur Probe vergleiche man die Berechnungen mit Tabelle 8!

2.6. Römische Jahreszahlen

Der römische Amtskalender, fasti genannt, war ein fortlaufendes Verzeichnis der jährlichen obersten Magistrate (508 v. Chr. bis 354 n. Chr.), auch fasti consulares genannt. Er bestand aus Tafeln, die eine Beschreibung des ganzen Jahres mit Tag und Monat enthielten, wo hauptsächlich die in ihnen enthal- tenen (in sie fallenden) Feste und Ereignisse verzeichnet waren. Die Kalendertage hießen dies fasti.

Jahreszahlen in unserem heutigen Sinn gab es nicht. Man hatte zwar versucht, die Jahreszählung (Datierung) mit dem Gründungsjahr der Stadt Rom 753 v. Chr. (a. u. c. = ab urbe condita von der Gründung der Stadt an) beginnen zu lassen, aber man gab doch immer noch lieber das Jahr der regierenden Konsuln als Zeitpunkt für wichtige Ereignisse an. Dazu muss man aber wissen, in welchem Jahr welche Konsuln im Amt waren, um die Jahreszahl zu bekommen. Dazu brauchte man eine Liste der Regierungsjahre aller Konsuln (fasti consulares).

In einer Biographie des Kaisers Augustus steht:

Natus est Augustus M. Tullio Cicerone C. Antonio consulibus ante diem nonum Kalendas Octobres paulo ante solis ortum.

Übersetzung:

Augustus wurde geboren im Konsulat des Marcus Tullius Cicero und des Gaius Antonius am neunten Tag vor den Kalenden des Oktober (IX. = 23. September) kurz vor Sonnenaufgang. Kaiser Augustus wurde also am 23. September im Jahre 63 v. Chr. geboren.

3. Ortszeiten und Zeitzonen auf der Erde

3.1. Schreibweise der Uhrzeiten

Normale Uhrzeiten werden wie folgt geschrieben:

- 12.14 Uhr ist eine Zeitangabe in deutscher Schreibweise mit Punkt, ohne Sekundenangabe. Der Punkt ist kein Dezimalpunkt, sondern er trennt die Minutenangabe von der Stundenangabe: 12 Uhr, 14 Minuten.
- 12:14:10 Uhr ist eine Zeitangabe, wie sie in Computerprogrammen verwendet wird. Der Punkt wird hier nicht verwendet, da er im angelsächsischen Sprachraum meist für das Dezimalzeichen reserviert ist.
- 12h 14m 10s ist die Angabe für eine Zeitdauer oder einen Zeitpunkt in astronomischer Schreib- weise.

Hinter den Uhrzeiten wird dann meist noch die betreffende Zonenzeit (ET, UT, MEZ, siehe unten) geschrieben, wenn Verwechslungen zu befürchten sind.

3.2. Moderne Zeiteinheiten

Der Astronom spricht von einem „Sonnentag“ zu 24 Sonnenstunden, weil die Sonne von einer Kulmination zur nächsten genau 24 Stunden braucht. Die Stunde ist unterteilt in 60 Minuten, die Minute ist unterteilt in 60 Sekunden.

Unsere Bezeichnungen „Minute“ und „Sekunde“ als Zeiteinheiten wurden aus lateinischen Wörtern gebildet:

- Die Bezeichnung „Minute“ steht für die erste Untereinheit einer Stunde („Minute“ kommt vom lat. minuere: verkleinern, minutio: Verminderung),
- die Bezeichnung „Sekunde“ steht für die zweite Untereinheit (lat.: secundus: der zweite; die zweite Verkleinerung).

Außerdem gibt es noch den „Sterntag“ (Seite 86), der zwischen zwei Kulminationen eines bestimmten Sterns liegt und 4 Minuten kürzer ist als der Sonnentag.

Unsere heutige amtliche Uhrzeit ist keine Ortszeit, sondern eine Zonenzeit (Seite 37).

3.3. Definitionen

3.3.1. Mittlere Sonne

Die normale Uhrzeit (bürgerliche Zeit) im täglichen Leben wird von der mittleren Sonne abgeleitet. Der Begriff „mittlere Sonne“ stützt sich auf folgende Festlegung: Unabhängig von den wirklichen Verhältnissen wird die Umlaufbahn der Erde nicht als Ellipse, sondern als exakte Kreisbahn betrachtet, auf der die Erde ganz gleichförmig um die Sonne läuft. Diese Festlegung vereinfacht die Berechnun- gen.

3.3.2. Wahre Sonne

Die wirkliche Position der Sonne aufgrund der elliptischen Umlaufbahn wird wahre Sonne genannt. Die Positionen von wahrer und mittlerer Sonne weichen voneinander ab (siehe Zeitgleichung in Abschnitt 4 auf Seite 39). Von der wahren Sonne wird die wahre Ortszeit abgeleitet, die von einer Sonnenuhr angezeigt wird.

3.3.3. Weltzeit UT

Die Zeitpunkte von Ereignissen (Finsternisse), die weltweit von Interesse sind, werden in Weltzeit UT (engl.: Universal Time = UT oder auch Greenwich Mean Time = GMT) angegeben, die auf den NullMeridian der Erde (an der alten Sternwarte Greenwich bei London, gesprochen „grinitsch“) bezogen wird. Die Weltzeit basiert auf der mittleren Sonne.

3.3.4. Zonenzeit

Von Greenwich aus ist die Erde in Zeitzonen eingeteilt. Dies sind Meridianstreifen, die eine Breite von 15° Längengraden haben und deren Mitten jeweils den durch 15 teilbaren Längengraden zugeord- net sind.

Sie werden von Greenwich aus nach Osten positiv und nach Westen negativ gerechnet. Die Zonenzei- ten liegen im Raster von genau 1 Stunde, denn die mittlere Sonne „wandert“ in einer Stunde um genau 15 Längengrade weiter, in 4 Minuten jeweils um 1°.

Die Grenzen der Zeitzonen sind weltweit verbindlich festgelegt (siehe Karte in der deutschen Wikipe- dia unter https://de.wikipedia.org/wiki/Zeitzone).

Die Zeitzonen können auch an die Ländergrenzen angepasst werden und dabei über den Bereich des Zonenmeridians ± 7,5° hinausgehen bzw. hin und her springen, um zu gewährleisten, dass innerhalb eines Landes dieselbe Zeitzone gilt.

3.3.5. Mitteleuropäische Zeit (MEZ)

Die Mitteleuropäische Zeit (MEZ) ist auf den 15. östlichen Längengrad bezogen (= UT + 1). Dieser berührt bei Görlitz in Sachsen den östlichsten Teil der Bundesrepublik Deutschland. Wenn in Görlitz die mittlere Sonne genau im Süden steht, ist es dort genau 12 Uhr mittlere Ortszeit.

Das Zeitgesetz von 1978 (Bundesgesetzblatt 1978, Teil I, S. 1110-1111) legt die mitteleuropäische Zeit MEZ und die mitteleuropäische Sommerzeit MESZ als gesetzliche Zeit fest, die im amtlichen und geschäftlichen Verkehr verwendet werden sollen.

3.3.6. Mitteleuropäische Sommerzeit (MESZ)

Die Sommerzeit ist eine willkürliche gesetzliche Festlegung und hat keinen Bezug zur Astronomie. Die Einführung der Sommerzeit wurde durch Rechtsverordnung der Bundesregierung bekannt gemacht und gilt seit dem Jahr 1980.

Bei der Mitteleuropäischen Sommerzeit (MESZ) werden die Uhren am letzten Sonntag im März um 2:00:00 Uhr eine Stunde vor und am letzten Sonntag im Oktober um 2:59:59 wieder um eine Stunde zurück gestellt.

Während der MESZ gilt:

Formel 1: Umrechnung MEZ in Sommerzeit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiele:

MEZ = UT + 1h heißt: 11h UT in Greenwich bedeutet 12 Uhr MEZ (Mittag) in Deutschland. MESZ = UT + 2h heißt: 11h UT in Greenwich bedeutet 13 Uhr MESZ in Deutschland.

3.3.7. Vorteile und Nachteile der Sommerzeit

Der Arbeitsbeginn in den Büros und der Unterrichtsbeginn in den Schulen erfolgt am Morgen eine Stunde früher. Dafür ist nachmittags eine Stunde früher Schluss, wenn die Sonne noch hoch am Him- mel steht.

Es gibt aber wesentlich mehr Nachteile als Vorteile.

Liest man einen Messwert immer um 8 Uhr morgens ab und tut das auch in der Sommerzeit, so hat man in der Reihe der Messwerte, die ja auf einen einheitlichen Ablesezeitpunkt bezogen sein sollen, in der Sommerzeit zwar den Ablesezeitpunkt 8 Uhr MESZ, aber die Werte gehören zur Uhrzeit 7 Uhr MEZ. Außerhalb der Sommerzeit bleibt 8 Uhr MEZ der Ablesezeitpunkt.

Bei kontinuierlichen Messwertablesungen fehlen am Beginn der Sommerzeit (Uhrzeitumstellung von 1:59:59 Uhr auf 3:00:00 Uhr) die Messwerte einer ganzen Stunde und am Ende der Sommerzeit hat man für eine Stunde doppelte Messwerte, weil die Uhr von 2:59:59 Uhr auf 2:00:00 Uhr zurückgestellt wurde und diese Stunde noch einmal durchlaufen wird.

Man behilft sich, indem man die Messwertreihen auch in der Sommerzeit auf MEZ bezogen durchlaufen lässt und den jeweiligen Messwerten die Uhrzeiten in MEZ zuordnet.

Im Bahnverkehr führt die Sommerzeit zu der absurden Situation, dass am Umstellungstag im März die Züge ab 3 Uhr eine Stunde Verspätung haben und am Umstellungstag im Herbst irgendwo auf einem Bahnhof die überschüssige Stunde abwarten müssen, weil die Uhr von 2:59:59 Uhr wieder auf 2:00:00 Uhr zurückgesprungen ist und die Züge nun zu früh ankommen würden.

3.3.8. Ortszeit

Die Kulmination ist der höchste Stand der Sonne. Sie steht dann genau im Süden (im Meridian2 ). Durch die einheitlichen Uhrzeiten in den Zeitzonen erreicht die wahre Sonne (wahre Ortszeit) nicht an jedem Ort mittags genau um 12.00 Uhr MEZ ihren höchsten Stand (Kulmination).

Je nach geografischem Längengrad  des Ortes weicht die für einen bestimmten Ort gültige, durch die Sonne bestimmte Ortszeit (wahre Ortszeit = WOZ) von der Zonenzeit ab.

Ausgehend von der Zonenzeit (MEZ) muss zuerst die mittlere Ortszeit (MOZ) berechnet werden und daraus kann dann die wahre Ortszeit (WOZ) über die Zeitgleichung bestimmt werden.

Die mittlere Ortszeit ist eine Funktion des Längengrades und der Zonenzeit. Für beide gilt die mittle- re Sonne, die aus einem angenommenen gleichmäßigen Lauf der Erde auf einer Kreisbahn um die Sonne berechnet wird. Der Zusammenhang zwischen mittlerer Ortszeit (MOZ) und Zonenzeit (MEZ) ist eine feste Zeitdifferenz, die durch den Längengradunterschied des Ortes zur zugehörigen Zeitzone bestimmt wird:

Formel 2: Umrechnung Ortszeit in MEZ

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für München mit  = 11,5° Ost gilt also nach Formel 2:

MOZMü = MEZ - (15° - 11,5°) · 4 Minuten/° = MEZ - 14 Minuten.

MEZ = MOZMü + (15° - 11,5°) · 4 Minuten/° = MOZMü + 14 Minuten.

4. Die Zeitgleichung (ZGL)

4.1. Zusammenhang der ZGL mit der Ortszeit

Die Erde läuft in einer elliptischen Bahn auf der Ekliptik3 um die Sonne. Daraus resultiert eine ungleichmäßige Umlaufgeschwindigkeit der Erde. Die Sonne kulminiert dann in Wirklichkeit mit einer gewissen Abweichung von 12.00 Uhr mittlerer Ortszeit (MOZ). Die durch diese wahre Sonne bestimmte Uhrzeit heißt wahre Ortszeit (WOZ), die auch von einer Sonnenuhr angezeigt wird. Die Differenz zwischen WOZ und MOZ wird Zeitgleichung ZGL genannt.

Der Begriff Zeitgleichung bezeichnet keine mathematische Gleichung, sondern einen Zeitunterschied, der zur Angleichung der mittleren an die wahre Ortszeit gebraucht wird.

Die Zeitgleichung ist der Unterschied zwischen wahrer (WOZ) und mittlerer Ortszeit (MOZ), der der mittleren Sonnenzeit (MOZ) hinzugefügt werden muss, um die wahre Sonnenzeit (WOZ) zu erhalten.

Formel 3: Zeitgleichung als Differenz von wahrer und mittlerer Ortszeit

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 4: Wahre Ortszeit aus Zeitgleichung und MOZ WOZ  ZGL  MOZ

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formel 5: WOZ aus Zeitgleichung und MEZ

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.2. Die genauen ZGL-Werte

Die Werte ZGL lassen sich für jeden Tag des Jahres genau berechnen. Die Formel zur Berechnung der Zeitgleichung unter Berücksichtigung der mittleren Länge der Sonne, der Schiefe der Ekliptik, ist als Formel 148 auf Seite 211 zu finden. Mit dieser Formel können wir beim jetzigen Kenntnisstand noch nicht viel anfangen, vorher müssen wir noch einige Grundlagen dafür erarbeiten.

Trotzdem verwenden wir jetzt schon die damit berechneten Zahlenwerte für ein EXCEL-Diagramm. Die Berechnung der ZGL zeigt Tabelle 9, dort sind die Zahlenwerte für jeden Tag des Jahres 2011 aufgeführt.

4.3. Genaue ZGL-Werte für das Jahr 2011

Tabelle 9: Zahlenwerte in Minuten für die Zeitgleichung des Jahres 2011 (berechnet vom Verfasser)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.4. Das ZGL-Diagramm

Aus den Tabellenwerten lässt sich eine Kurve zeichnen, welche die jährliche Doppelwelle zeigt. In Bild 4 ist die Kurve für die mit Formel 148 berechneten Werte des Jahres 2011 dargestellt.

Bild 4: Zeitgleichung, berechnet für das Jahr 2011

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Kurve setzt sich zusammen aus

- einer Sinuskurve mit einfacher Periode, die durch die jährliche ungleichförmige Bewegung der Erde auf einer Ellipsenbahn um die Sonne bedingt ist, und aus
- einer Sinuskurve mit doppelter Periode, die aus der Schiefe der Ekliptik folgt.

Beide Effekte überlagert ergeben die jährliche Doppelwelle, die in Bild 4 zu sehen ist.

Diese beiden Sinuskurven verschieben sich im Laufe der Jahrtausende langsam gegeneinander, weil sich die Neigung der Ekliptik und die Parameter der Erdbahn ändern, sodass andere Extremwerte und andere Nullstellen entstehen.

Im Verlauf eines Jahres schwanken die Werte ZGL vom 12. Februar bis 3. November um etwa 31 Minuten hin und her.

In Bild 5 ist die jährliche Doppelwelle der Zeitgleichung schematisch gezeichnet, wobei die charakteristischen Extremwerte (Minima, Maxima, Nullwerte) mit Datum markiert sind. Eine ähnliche Grafik ist auch in Lit.10, dort auf Seite 46 zu finden.

Bild 5: Zeitgleichung, schematisch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4.5. Die Extrema und Nullstellen der Zeitgleichung

Die Extremwerte (auf volle Minuten gerundet) und die Nullstellen dieser ZGL-Kurve sind in Tabelle 10 zusammengestellt. Die Tabelle zeigt die wichtigsten Werte (Quelle: markierte Tage in Tabelle 9).

Wahre Ortszeit (WOZ) und mittlere Ortszeit (MOZ) stimmen in unserem Jahrhundert nur an vier bestimmten Tagen im Jahr überein (Nullstellen). An diesen Tagen ist die Zeitgleichung (Abweichung) gleich null (ZGL = 0): 15. April, 13. Juni, 01. September, 25. Dezember (siehe Tabelle 10).

Tabelle 10: Extrema und Nullstellen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Maximalwert am 3. November schwankt zwischen dem Jahr 2000 (+16,47m) und 2052 (+16,51m) nur um 0,04m. Der Minimalwert am 12. Februar schwankt zwischen dem Jahr 2000 (-14,28m) und 2052 (-14,17m) nur um 0,11m. Die auf eine ganze Minute gerundeten Werte werden durch diese Schwankun- gen nicht verändert.

4.6. Schwankungen der Werte in Laufe der Jahre

Ob wir nun die Werte für das Jahr 2011 oder für ein anderes Jahr in der Tabelle 9 angeben, ist nicht von Bedeutung, weil die Schwankungen sich im Bereich von höchstens 0,3m bewegen und deshalb vernachlässigbar sind, wenn auf ganze Zahlen gerundete Minutenwerte verwendet werden.

Die Werte ZGL der Zeitgleichung sind ortsunabhängig. Sie hängen nur vom Datum innerhalb des Jahres, genauer: vom Tag innerhalb der Reihenfolge im Schaltjahreszyklus von 1461 Tagen (= 1 × 366 Tage + 3 × 365 Tage) ab. Sie sind für das betreffende Jahr +0, +1, +2 und +3 im Zyklus (jeweilige Tabellenzeile in Tabelle 11) charakteristisch.

Als Beispiel nehmen wir den 21.März und berechnen dafür 6 Schaltjahreszyklen:

Tabelle 11: Schwankungen der Zeitgleichung für den 21. März

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Differenzen der Werte ZGL schwanken für dasselbe Datum (hier für den 21.03.) insgesamt nur um etwa 0,3m (= 18 Sekunden). Innerhalb der gezeigten Tabellenzeilen für das jeweilige Jahr +0, +1, +2 oder +3 im Schaltjahrzyklus schwanken die Werte nur um 0,06m (= 3,6 Sekunden)

Die Werte ZGL dieses Datums wiederholen sich etwa alle 25 Jahre in der in Tabelle 11 dargestellten Reihenfolge. Wie wir sehen, gilt für den 21. März der gerundete Wert ZGL = -7m. Dieser Rundungswert gilt für dieses Datum die nächsten zweihundert Jahre und noch länger. Deshalb gelten alle auf ganzzahlige Minuten gerundeten Werte ZGL für viele Jahre.

Allerdings werden sich mit den Änderungen der Stellung der Erdachse (Präzession) und der Perihel- drehung in einigen tausend Jahren auch die Werte ZGL langsam verändern (siehe Abschnitt 13.2 ab Seite 144).

Allgemeine Erläuterungen der Zeitgleichung sind in Lit. 15, dort auf den Seiten 29 und 30, und im WIKIPEDIA-Artikel „Zeitgleichung“ zu finden.

5. Definition der verschiedenen Zeitbasen

Für die Berechnungen in der Astronomie ist ein absolut gleichförmiger Ablauf der Zeit unabdingbar. Durch verschiedene Zeitdefinitionen wurden immer genauere Zeitskalen geschaffen, die von astronomischen Gegebenheiten unabhängig sind.

5.1. Zeitmesser

Sand-, Wasser- und Sonnenuhren sind die ältesten Zeitmesser. Damit können nur Stunden (Stundenglas) und eventuell noch Minuten (Minutenglas) gemessen werden, es kann aber keine Sekundengenauigkeit erreicht werden.

Im Jahre 1510 erfand Peter Henlein die Taschenuhr („Nürnberger Ei“), die mit einer „Unruhe“ als Zeitbasis (Taktgeber) arbeitete. Die Anzahl der Takte wurde durch entsprechende Zahnradübersetzungen auf Minute und Stunde „heruntergeteilt“ und angezeigt.

Erst nach der Erforschung des Pendels durch Galilei (1638) erfand Huygens um 1656 die Pendeluhr (schwingendes Pendel als Zeitbasis). Die Pendeluhr kann nur stationär eingesetzt werden. Ein zusätzliches Gewicht (oder eine Feder) am Uhrmechanismus sorgt dafür, dass die durch Lagerreibung und Luftreibung des Pendels verlorene Energie nachgeliefert wird und das Pendel nicht zum Stillstand kommt. Dazu muss man die Uhr „aufziehen“, also das Gewicht hochziehen (oder die Feder nachspannen), damit die in der Pendeluhr verbrauchte Energie wieder ersetzt wird.

Später wurden genauere Taschenuhren (Schiffs-Chronometer) gebaut, die zur Längennavigation (siehe 7.7.2 auf Seite 98) auf hoher See verwendet wurden. Alle diese mechanischen Uhren waren temperaturempfindlich und liefen deshalb nicht gleichmäßig genug. Sie mussten regelmäßig (nach der Erdrotation bzw. nach der Sonne) auf die genaue Tageslänge justiert werden. Erst in neuerer Zeit wurden genauere Uhren entwickelt, die elektrische Schwingungen als Zeitbasis verwenden. Die genauen Sekundenimpulse werden durch entsprechende elektronische Frequenzteilung gewonnen.

Seit 1936 gibt es Quarzuhren, bei denen die Schwingungen von Quarzkristallen als Zeitbasis dienen. Später wurden die Atomuhren entwickelt, die die Schwingungen bestimmter Atome (Caesium) ver- wenden.

5.2. Erdrotationsdauer als natürliche Zeitbasis

Die Maßeinheiten für die Zeit (Stunden, Minuten, Sekunden) wurden ursprünglich aus der Dauer eines Sonnentages (Dauer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Kulminationen der Sonne) gewonnen, der von der Erdrotation abhängig ist.

Diese klassische Definition einer Sekunde als Zeitbasis mit dem Wert von1 /86400 eines Sonnentages in Abhängigkeit von der Erdrotation hat sich aber nicht als praktikabel erwiesen, weil die Erdrotation zu ungleichmäßig ist. Die Tageslänge unterliegt täglichen und jahreszeitlichen Schwankungen.

Die Rotationsgeschwindigkeit der Erde um die eigene Achse, die als Basis für die Tageslänge dient, verändert sich aufgrund der Gezeitenreibung und anderer Einflüsse (Lit.14, Jahrbuch 2003, Seite 68: „Wenn die Tage länger werden ...“.

Durch Beobachtungen und genaue Messungen wurde festgestellt, dass sich die Rotationsgeschwindig- keit der Erde verlangsamt und dadurch die Länge des normalen Sonnentages in Laufe von 100000 Jah- ren um 1,6 Sekunden zunimmt (Quellen: Lit.5, dort Seite 33; Lit.10, dort Seite 49, und Lit.15, dort Seite 32).

Durch paläontologische Untersuchungen wurde dies bestätigt. Anhand der Kalkablagerungen der Korallen und anderer Funde wurde festgestellt, dass vor etwa 600 Millionen Jahren das Jahr 425 Tage zu etwa 21 Stunden und vor 400 Millionen Jahren 400 Tage zu rund 22 Stunden hatte.

Da die Jahreslänge (Umlaufzeit der Erde um die Sonne in Stunden) im Laufe der Jahrmillionen fast konstant bleibt, ist das Produkt aus „Tagesanzahl 365,242198781 pro astronomisches Jahr mal Tageslänge von 24 Stunden“ ein nahezu konstanter Wert (8765,81277075 Stunden pro Jahr).

Da die Erde sich immer langsamer dreht, werden es immer weniger Tage pro Jahr, dafür aber längere. Die Verlängerung beträgt pro Tag zwar nur 1,6/(100000 · 365,242198781) = 4,38 · 10-8 Sekunden, die täglichen Abweichungen summieren sich jedoch quadratisch auf (Integration über die Zahl der vergangenen Tage), was leicht nachgerechnet werden kann:

Formel 6: Verlangsamung der Erdrotation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach dieser Formel beträgt die gesamte Verschiebung der Zeitmarken in 100 Jahren 29,22 Sekunden. Entsprechend ergibt sich für 1110 Jahre 1 Stunde Abweichung und für 2010 Jahre 3,28 Stunden (= 3 Stunden 16 Minuten) Abweichung.

Beispiel:

Wäre am 31.12.0000 um 12h 00m eine absolut gleichförmig laufende Uhr auf die damalige Tages- länge (Dauer einer Erdumdrehung) justiert worden, so würde sie nach 2010 Jahren (genau 734139 volle Tage) absolut gleichförmigen Laufes am 31.12.2010 die Uhrzeit 12h 00m anzeigen, während es nach der Rotation der Erde dann erst 8h 44m wäre. Die gleichförmig laufende Uhr ginge also um 3 Stunden 16 Minuten gegenüber der langsameren Rotation der Erde vor.

Die Tageslänge hat in dieser Zeit nur um 2010 · 1,6 /100000 = 0,03216 Sekunden zugenommen. Nach Umstellung der Formel 6 kann berechnet werden, nach wievielen Jahren die Erdumdrehung gegenüber einer gleichmäßig laufenden Uhr genau um 1 Tag (= 86400 Sekunden) „hinten“ geht. Es ergeben sich rund 5438 Jahre. Nach 7 690 Jahren sind es genau 2 Tage.

Solche Abweichungen der Zeitbasis sind für astronomische Berechnungen untragbar, da alle Formeln für genaue Vorausberechnungen und auch für Rückrechnungen in die Vergangenheit eine absolut gleichförmige Zeitbasis erfordern. Da die normale bürgerliche Uhrzeit (Weltzeit) auf der ungleichmäßigen Rotationsgeschwindigkeit der Erde beruht, ist sie für astronomische Berechnungen, die eine gleichförmige Zeitbasis erfordern, nicht geeignet.

5.3. Erdumlaufdauer als natürliche Zeitbasis

Wegen der Ungenauigkeit der Erdrotation wurde die Ephemeridensekunde eingeführt. Sie ist eine vom Umlauf der Erde um die Sonne (Erdrevolution) hergeleitete Größe. Dazu wird die Dauer zwischen zwei aufeinanderfolgenden Durchgängen der mittleren Sonne durch den mittleren Frühlingspunkt  gemessen. Diese Dauer ist als tropisches Jahr definiert (siehe 5.3.5 auf Seite 46).

5.3.1. Julianisches Jahrhundert

Weil die tatsächliche Dauer eines Jahres von der Dauer eines Erdumlaufs um die Sonne abhängt, kann diese nicht als Maßeinheit benutzt werden. Als geeignete Maßeinheit kann jeder beliebige Zeitraum mit einer festen Anzahl gleich langer Tage (1 Sonnentag = 24 Stunden zu je 3600 Sekunden = 86400 Sekunden) dienen.

Die Astronomen nahmen das Julianische Jahr mit einer Jahreslänge von 365,25 Sonnentagen zu je 24 Stunden als feste Berechnungsbasis. Ein julianisches Jahr hat 365,25 · 24 = 8766 Stunden.

Dagegen hat ein astronomisches Jahr genau 8765,81277075 Stunden (siehe oben).

Für die astronomischen Berechnungen führten sie dann als Maßeinheit das Julianische Jahrhundert mit insgesamt 36525 Tagen ein (876600 Stunden). Die Bezeichnung „julianisch“ soll an Julius Caesar erinnern, der den Julianischen Kalender mit einer mittleren Jahreslänge von 365,25 Tagen eingeführt hat.

5.3.2. Mittlere Länge der Sonne

Für die folgende Betrachtung wird angenommen, dass die Erde unabhängig von den tatsächlichen Verhältnissen einer elliptischen Bahn in einer exakten Kreisbahn gleichförmig um die Sonne läuft. Für die Berechnung wird also die mittlere Sonne (siehe Abschnitt 3.3.1 auf Seite 36) zugrunde gelegt.

L ist die von der Erde aus betrachtete geometrische mittlere ekliptikale Länge der Sonne, also der Winkel, den die mittlere Sonne von der Erde aus betrachtet, zum Zeitpunkt T mit dem mittleren Frühlingspunkt bildete. L beträgt nach S. Newcomb4:

Formel 7: Mittlere Länge der Sonne in Altgrad

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Formel 7 ist im Wikipedia-Artikel http://de.wikipedia.org/wiki/Ephemeridensekunde und in Lit. 19, dort auf Seite 44, zu finden.

Die Länge L ist hier der Winkel aus mittlerer Anomalie + Länge des Perihels und soll an einen Län- gengrad erinnern (Seite 126). Darin bezeichnet T die Anzahl der Julianischen Jahrhunderte, die seit Mittag des 00. Januar 1900 (= Bezugszeitpunkt 31.12.1899, 12h) vergangen sind. T stellt in dieser Formel eine unabhängige Variable (Dezimalzahl) dar. T = 1 bezeichnet ein Julianisches Jahrhundert zu 36525 Sonnentagen.

T wird aus dem Kalenderdatum des Berechnungszeitpunktes über das Julianische Datum (JD, Abschnitt 6.8.1, Seite 62) sekundengenau berechnet:

Formel 8: Berechnung von T

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für Bezugszeitpunkt 00. Januar 1900 12h Weltzeit (JD = 2415020,0).

5.3.3. Ephemeridenzeit (ET)

Die Internationale Astronomische Union (IAU) führte im Jahr 1956 die Ephemeridenzeit (ET) ein, deren Basis die Ephemeridensekunde ist.

Da sich die Umlaufzeit der Erde um die Sonne während der Jahrhunderte auch geringfügig ändert, musste ein fester Bezugszeitpunkt gewählt werden. Ausgang und Bezugszeitpunkt der Zählung der Umlaufzeit der Erde um die Sonne ist der als 00. Januar 1900 12h ET bezeichnete Moment, in dem die mittlere Länge L der Sonne genau 279,6966778° = 279°41'48,04" betrug (T = 0). Im bürgerlichen Leben ist dies der 31.12.1899, 12 Uhr.

Die mittlere Winkelgeschwindigkeit der Erde beim Umlauf um die Sonne ist durch den zweiten Term der Formel 7 gegeben und betrug zu diesem Zeitpunkt pro Julianisches Jahrhundert: 36000,768925°.

Bei einem Ansatz von 100 Jahren zu je 365,25 Sonnentagen à 86400 Sekunden, also insgesamt 100 365,2586400  3155760000 Ephemeridensekunden, benötigt die Erde für eine volle Umrundung der Sonne von 360°, wenn die angesetzte Geschwindigkeit als konstant voraussetzt wird, insgesamt:

Formel 9: Zeitdauer für einen vollen Umlauf der Erde um die Sonne

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Formel stellt die Beziehung zwischen Julianischem und tropischem Jahr dar.

5.3.4. Ephemeridensekunde

Die oben angeführten Berechnungen führten schließlich zur von der IAU verabschiedeten Definition der Ephemeridensekunde:

Definition:

Die Ephemeridensekunde ist der 31556925,9747-te Teil der Dauer eines tropischen Jahres am 00. Januar 1900 12h Ephemeridenzeit.

Damit war die Länge einer Sekunde theoretisch festgelegt. Nun musste sie nur noch in der Wirklichkeit durch eine sehr genaue Uhr realisiert werden. Dazu dienen Atomuhren.

5.3.5. Tropisches Jahr

Da es sich beim Ergebnis der Formel 9 um einen vollen Umlauf zu 360° von Frühlingspunkt zu Frühlingspunkt handelt, entspricht diese Zeitdauer einem tropischen Jahr:

Formel 10: Tropisches Jahr

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein tropisches Jahr hat 365,24219878125 Sonnentage (siehe auch 7.2.1 auf Seite 84) zu je 24 Sonnenstunden, also insgesamt 8765,81277075 Stunden oder 31556925,9747 Sekunden. 12 signifikante Stellen für das Ergebnis reichen aus:

Ein tropisches Jahr hat also (abgerundet) 365,242198781 Sonnentage.

5.4. Unabhängige Zeitbasen

Nachdem die durch die Natur vorgegebenen astronomischen Größen wie Rotation und Umlaufdauer der Erde den Genauigkeitsanforderungen der Astronomen nicht genügten, musste eine Zeitbasis gefunden werden, die wesentlich genauer ist.

5.4.1. Quarz-Zeitbasis

Quarzuhren haben einen Schwingquarz als Zeitbasis. Ein Schwingquarz schwingt mechanisch. Hier wird der piezoelektrische Effekt ausgenützt, bei dem durch mechanische Schwingungen elektrische Impulse entstehen. Diese Impulse regen den Quarz wiederum zu Resonanzschwingungen an, sodass durch Rückkopplung ein Schwingungsgenerator entsteht.

Der Schwingquarz wird beim Herstellungsvorgang auf die genaue Schwingfrequenz (Resonanzfre- quenz) justiert. Diese Frequenz entspricht meist genau einer Zweierpotenz, z. B. 1048576 Hz (= 220 ). Hintereinandergeschaltete 2:1-Frequenzteilerstufen halbieren jeweils die ankommende Frequenz der vorhergehenden Stufe, am Schluss bleibt ein 1-Sekunden-Impuls übrig, der den Takt der Uhr be- stimmt.

Quarzuhren können durch Temperatureinflüsse „verstimmt“ werden. Sie wären als Zeitbasis für astronomische Uhren auch nicht geeignet.

5.4.2. Quarz-Zeitbasis für Amateure

Bild 6 zeigt ein Gerät, das als Quarz-Zeitbasis, Impulsgeber, Zeitmesser und Frequenzzähler verwendbar ist. Konstruiert und gebaut wurde das Gerät vom Verfasser im Jahre 1980. Das war die Zeit, als professionelle Geräte für den privaten Bastler noch unerschwinglich waren. Damals gab es noch keine PCs, keine Handys und kein Internet. Man musste als Amateur noch vieles selbst bauen.

Bild 6: Frontansicht eines Frequenzzählers mit Quarz-Zeitbasis (Eigenbau Praxl)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bild 7: Frequenzzähler mit Quarz-Zeitbasis, auseinandergeklappt (Eigenbau Praxl)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Platinen passen in ein Gehäuse von 17×14×8 cm. Die Elektronik befindet sich auf einer hoch- klappbaren Steuerungsplatine mit Zeitbasis, Steuerlogik und Verstärker, der Programmierplatine und den 6 mit der Programmierplatine fest verbundenen Anzeigeplatinen, die mit der Frontplatte verbun- den sind.

Bild 7 zeigt die Elektronik des Geräts. Das Programmierfeld in der Mitte des Bildes ist so eingerichtet, dass das Gerät als Frequenzzähler, Impulsgeber, Zeitmesser, Quarzuhr, Timer und als Schaltuhr pro- grammiert werden kann. Die Programmierung wird durch gelötete Drahtverbindungen zwischen den Stiften hergestellt. Unter den Stiften befinden sich 6 hochkant stehende Platinen (im Bild nicht sicht- bar), auf denen sich die Logikbausteine für die 7-Segment-Anzeigen befinden, die auf der Frontseite sichtbar sind. Der Quarz links oben im Bild 7 schwingt mit 1 MHz. Diese Frequenz wird durch 10:1- Teilerstufen heruntergeteilt, sodass sich Impulse mit 1 Sekunde Abstand und wahlweise (umschaltbar) auch mit 10 Sekunden Abstand ergeben.

Schaltet man das Gerät als Zeitmesser, so können Impulslängen gemessen werden. Die Impulslänge wird zwischen der aufsteigenden und der abfallenden Flanke des eingehenden Impulses gemessen. Man nennt diese Zeitdauer auch „Torzeit“, weil während des Impulses das Tor für die Messung offen ist. Auf diese Weise können auch Verschlusszeiten von Kameras genau ermittelt werden.

Der Messbereich reicht von .000001 Sekunden Dauer bis .999999 Sekunden Dauer mit 1 Millionstel Sekunde (= 1 Mikrosekunde = 1 µs) Genauigkeit oder von 0.00001 Sekunden bis 9.99999 Sekunden mit 10 µs Genauigkeit. Der Dezimalpunkt wird je nach Messbereich vor oder hinter der ersten Ziffer angezeigt. Wird das Gerät als Impulsgeber programmiert, dann kann man es so einstellen, dass es nach n Impulsen der Quarz-Zeitbasis (= n µs) einen Impuls nach außen abgibt.

5.4.3. Atomschwingung als Zeitbasis

Um die Länge einer Sekunde von den natürlichen astronomischen Gegebenheiten zu lösen, wurde auf der 13. Generalkonferenz für Maß und Gewicht im Jahr 1967 als Basis für die Länge einer Sekunde nicht mehr die Ephemeridensekunde genommen, sondern eine physikalische Basis dafür festgelegt, die in der Länge einer Ephemeridensekunde entspricht:

Definition:

Eine Sekunde ist die Zeitdauer von 9192631770 Perioden der Schwingung des Caesiumatoms2 S1/2 Cs133 (Atomgewicht 132,905).

5.4.4. Internationale Atomzeit (TAI)

Diese Schwingungen werden von der Strahlung des Caesium-(133)-Atoms ausgesandt. Diese Frequenz 9192631770 Hz ist sehr konstant und wird deshalb als Zeitbasis für Atomuhren (Atomzeit) verwendet. Damit ist die Sekundendefinition nicht mehr von natürlichen astronomischen Größen abhängig. Diese durch Atomzeit festgelegte Sekunde ist Grundlage einer gleichförmigen Zeitskala, die als Internationale Atomzeit (TAI = Temps Atomic International) bezeichnet wird. Sie wird durch Atomuhren gewährleistet. Dass die Schwingung des Caesium-Atoms auch eine natürlich gegebene physikalische Größe ist, darf nicht vergessen werden.

5.4.5. Atomuhren

Eine Atomuhr besteht im Prinzip aus einem Schwingungsgenerator mit Caesium-Zeitnormal, einem Verstärker, der die Caesiumschwingungen verstärkt, und aus einem sehr flinken elektronischen Zähler, der die schnellen elektronischen Schwingungen des Caesiumatoms zählt. Bei Erreichen des Zählerstands von 9192631770 gibt er einen Impuls auf einen Sekundenzähler, der um 1 weiterzählt. Dann setzt er seinen eigenen Zählerstand auf null und beginnt erneut zu zählen. Dieser Sekundenzähler ist der Taktgeber für eine sogenannte Atomuhr. Es ist dasselbe Prinzip, das auch im oben gezeigten Selbstbaugerät verwendet wird, wenn es als Impulsgeber geschaltet ist.

[...]


1 a d nicht verwechseln mit A. D. = anno domini der nachchristlichen Jahresangaben: 2016 n. Chr. = A. D. 2016

2 Meridian kommt vom lateinischen meridies = Mittag, es ist die Mittagslinie, die genau durch den Südpunkt des Horizonts verläuft.

3 Ekliptik ist die Bahnebene, in der die Erde um die Sonne läuft.

4 Simon Newcomb (1835 - 1909) kanadisch-amerikanischer Mathematiker und Astronom.

Details

Seiten
291
Jahr
2016
ISBN (eBook)
9783668165250
ISBN (Buch)
9783668165267
Dateigröße
6.4 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v316351
Note
Schlagworte
Himmelsmechanik Astronomie Zeitrechnung Zeitmessung Kalenderberechnung Sonnenuhren Satellitenpeilung Geometrie der Finsternisse Grundlagen

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Titel: Berechnungsgrundlagen für Amateurastronomen