Arbeit mit Medien im Mathematikunterricht - Einführung des Rechners TI-92 in einer Unterrichtsreihe in einem Profilkurs 11 im Stoffgebiet Stochastik

Inhaltsverzeichnis

0 Einleitung
1 Psychologische und didaktische Aspekte zum Medienbegriff
1.1 Was verstehen wir unter Medien (im Unterricht)?
1.2 Psychologische Voraussetzungen beim Lernen mit Medien
1.3 Didaktische Aspekte von Unterrichtsmedien

2 Mathematikunterricht und das neue Medium „Computer“
2.1 Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit Unterricht unter Verwendung von Computern
2.1.1 Veränderungen in den Lern- und Problemlösestrategien
2.1.2 Veränderungen in den didaktischen Prinzipien
2.1.3 Veränderung in der Planung und Durchführung des Unterrichts
2.2 Computer-Algebra-Systeme (CAS)
2.2.1 Entwicklung von CAS und Vordringen in die Schule
2.2.2 Was leistet ein modernes CAS?
2.2.3 Kurzcharakteristika einiger CASe
2.3 Der TI-92 im schulischen Einsatz

3 Planung der Unterrichtsreihe
3.1 Curriculare Einordnung
3.1.1 Thema der Unterrichtsreihe
3.1.2 Die Stoffeinheit
3.1.3 Überblick über die Unterrichtsreihe
3.2 Bedingungsanalyse
3.2.1 Sachanalyse
3.2.2 Situative Analyse
3.3 Didaktische Analyse
3.3.1 Inhaltliche Gestaltung der Unterrichtsreihe
3.3.2 Didaktische Reduktion
3.3.3 Legitimation der Unterrichtsreihe
3.3.4 Zielformulierungen
3.4 Methodische Entscheidungen

4 Reflexion und Zusammenfassung

5 Literaturverzeichnis

6 Anhang zur Unterrichtsreihe

0 Einleitung

Unter dem Motto „Fit für das Jahrhundert der Bildung - Bildungsoffensive 2000“ startete der Minister für Bildung, Jugend und Sport des Landes Brandenburgs Steffen Reiche zum Anfang des Schuljahres 2000/2001 eine umfassende Novellierung des Brandenburgischen Schulgesetzes [Min00]. Als Grundpfeiler dieser Bildungsoffensive nannte er unter anderem [Lsb00,S.2]:

- die innere Schulentwicklung zu mehr Selbstständigkeit, o strukturelle Veränderungen der Schulstruktur,
- die Weiterentwicklung der Schulaufsicht sowie Schulberatung, o die Medienoffensive sowie
- die Qualitätsevaluation von Schulen.

Im August 2001 soll dann eines der besten und modernsten Schulgesetze der Bundes- republik vorliegen. Die Schülerinnen und Schüler¹ des Landes Brandenburgs sollen dann an modernen und leistungsfähigen Schulen bestmöglich auf ihr Leben vorbereitet werden und die Forderungen unserer Wirtschaft, Wissens- und Informationsgesell- schaft erfüllen. Diese Forderungen beinhalten beispielsweise das Denken in größeren Zusammenhängen, die Fähigkeit und Bereitschaft zum lebenslangen Lernen, die si- chere Beherrschung von Fremdsprachen und eine hohe Medienkompetenz.

Inhalt der Arbeit soll es aber nicht sein, eine Diskussion der angestrebten Veränderungen, d.h. die Novellierung des Brandenburger Schulgesetzes sowie der Entwürfe der neuen Rahmenpläne, durchzuführen. Vielmehr geht es um die bereits angesprochene Medienoffensive an den Schulen.

Jeder weiß, wie wichtig gerade in der heutigen Zeit eine umfassende Medienkompetenz und die damit verbundenen Kompetenzen im Umgang mit Computern oder ähnlichen Hilfsmitteln sind. Deshalb formulierte Steffen Reiche die Offensive „m.a.u.s. - medien an unsere Schulen“ als eine zentrale Aufgabe der oben genannten Bildungsoffensive. Der Staatssekretär Szymanski nannte in der 2. Sitzung des Landesschulbeirates (LSB) am 22. Januar 2000 [Lsb00,S.16f] drei Ziele:

1. eine sachgerechte Computerausstattung (Grundausstattung an Hard- und Soft- ware),
2. einen Internetanschluss für alle Brandenburger Schulen und
3. ein Qualifizierungsprogramm für die Lehrkräfte an den Schulen des Landes. Des Weiteren sollen die neuen Rahmenpläne so ausge-arbeitet werden, dass der geübte Umgang mit neuen Medien zu einer ähnlich elementaren Kulturtechnik wird wie Lesen, Schreiben und Rechnen. Der Umgang mit dem Computer soll Grundlage für das Lernen mit neuen Medien und das Lernen durch neue Medien sein.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: m.a.u.s.-Logo (www.bb.schule.de)

Was wurde nun aber im Laufe eines Jahres erreicht? Der kostenlose Internetzugang für alle Schulen der Bundesrepublik wurde aufgrund der Initiative „Schulen ans Netz“ von T-Online (Telekom) realisiert. Einige wenige Lehrkräfte des Landes Brandenburgs erlernen in der ersten Stufe der Fortbildungsmaßnahmen, mehr oder weniger motiviert, die technischen Grundlagen im allgemeinen Umgang mit Computer und Internet. Doch wo bleiben die versprochenen Computer, wenn doch im Jahr 2000 cirka 12 Mio. DM zur Verbesserung der Ausstattung der Schulen zur Verfügung standen?

Wenn Herr Szymanski anbringt, dass der Ausstattungsgrad mit Computern in der gymnasialen Oberstufe mit 85% als relativ zufriedenstellend anzusehen ist [Lsb00,S.17], habe ich zu entgegnen, dass

- die Rechnersysteme zum Teil überaltert sind und ein Arbeiten mit gängiger Soft- ware kaum möglich ist,
- alle Computer des Gymnasium zum großen Teil in einem Raum zusammenge- fasst sind und so nur von einer Lerngruppe zu nutzen sind,
- dieser Raum schon mit dem Informatikunterricht in der Sekundarstufe II überbe- lastet ist.

Somit habe ich keine Möglichkeit mit einer Lerngruppe in anderen Fächern die Computer mit Internetrecherchen, Erstellen von Tabellen und Diagrammen, Verwendung mathematischer und physikalischer Lehr- und Lernsoftware zu nutzen.

Die Aufgabe, jungen Menschen die Kompetenz dennoch zu vermitteln, neue Medien zur Wissensaneignung kennen und sie einsetzen zu lernen, haben mich bewogen, bei der Behandlung des Themas "Beschreibende Statistik und Simulation von Zufallsversuchen" den modernen Taschencomputer „Texas Instruments TI-92“ in Verbindung mit dem Computer-Algebra-Systems (CAS) einzusetzen. Im Rahmen der Arbeit sind dabei insbesondere folgende Fragen von Interesse:

- Inwieweit ist der Einsatz des Computers im Unterricht aufgrund der vorgegebe- nen Rahmenbedingungen in der Schule überhaupt zu realisieren? o Welche Probleme allgemeiner Art bestehen beim schulischen Computereinsatz? o Wie reagieren die Schüler auf das Medium Computer und das hier benutzte CAS?
- Inwieweit eignet sich der Taschenrechner für die Behandlung des Themas?
- Wie kann der TI-92 sinnvoll und effizient im Unterricht genutzt werden und bei welchen Themen bzw. in welchen Unterrichtsphasen kann ein CAS pädagogisch und didaktisch nützlich sein?

Trotz meiner Bemühungen diese Arbeit in einem akzeptablen Umfang zu halten, erach- te ich es als notwendig, zunächst auf grundlegende theoretische psychologische und didaktische Aspekte beim Lernen mit Medien (Kapitel 1) und im Speziellen auf das Lernen mit/durch/von Computern (Kapitel 2) einzugehen. Danach schließt sich die Pla- nung (Kapitel 3) und Reflexion/Zusammenfassung (Kapitel 4) der zur Arbeit gehören- den Unterrichtsreihe an.

Was verstehen wir unter einem Medium (im Unterricht)? 3

1 Psychologische und didaktische Aspekte zum Medien-begriff

1.1 Was verstehen wir unter Medien (im Unterricht)?

Mit Medien meint man umgangssprachlich Presse, Film, Funk, Fernsehen und neuer- dings auch Computer und Internet. Im pädagogischen Sinne umfasst dieser Begriff a- ber alle Formen der Informationsweitergabe durch Sprache, Mimik, Gestik und Ton.

Der Begriff „Medium“ wird aus dem Lateinischen übersetzt mit „Mitte“ oder „Mittelpunkt“. Im Allgemeinen meint man damit die „Öffentlichkeit, die allen zugänglich“ ist. In der Schule verstehen wir unter einem Medium ein „Mittel“ oder ein „Mittler“, mit dem Unterrichtsinhalte an die Schüler vermittelt werden [Mey94,S.148].

Die klassischen Medien des Schulunterrichts sind demnach das Schulbuch, die Tafel und das Übungsheft. Im 20. Jahrhundert sind zu diesen beiden viele audiovisuelle Me- dien hinzugetreten, beispielsweise das Diapositiv, der Film, das Transparent (Over- headprojektion) und das Video. Eine Sonderstellung nimmt der Computer als Bestand- teil von Experimenten, in der Art eines Filmprojektors, einer „Rechenmaschine“ und ei- nes Privatlehrers im Unterricht ein. Pädagogisch gesehen ist aber auch der Lehrer ein „Mittler“ von Unterrichtsinhalten.

Um diese Vielzahl von unterschiedlichen Medien zu ordnen und theoretische Überle- gungen für den Einsatz von Medien zu rechtfertigen, sind sowohl in der Psychologie als auch in der Didaktik¹ wiederholt Einteilungssysteme für Medien erarbeitet worden.

In der Psychologie unterscheidet man Medien nach den vier folgenden Aspekten [Wei93,S.497]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Einige Medien unterscheiden sich zwar in Hinblick auf die Hardware, benutzen aber das gleiche Symbolssystem. Je nach Betrachtung beziehen die Psychologen die Aspekte ganz unterschiedlich ein. Entweder wird zum Beispiel nur die Hardware einbezogen, andere beziehen sich mehr auf das Symbolsystem.

In der heutigen Zeit sind lineare, chronologische Codes, wie die Schrift, nicht mehr zeit- gemäß. Das Lesen von Büchern wird wieder elitär und erscheint den Menschen als Was verstehen wir unter einem Medium (im Unterricht)? 4 umständlich und mühsam. Heute bedienen sie sich den neuen Medien, wie Film, Funk, Fernsehen, Computer und Internet, mit technologischen Codes, den sogenannten Techno-Codes. Bei diesen Medien erfolgt die Informationsweitergabe nicht mehr nur über eine vorhandene Realität. Diese Mittler schaffen eigene Realitäten, die mit der vorhandenen, der tatsächlichen konkurriert und sie sogar verdrängt und ersetzt. Unse- re Aufgabe als Lehrer ist es, den Schülern neben dem Lesen, Schreiben und Rechnen auch beizubringen, die Botschaften der neuen Medien richtig zu entschlüsseln.

In der Didaktik bedient man sich einer anderer Klassifikationen von Medien. Je nach Ansatz unterscheidet man zum Beispiel personale oder apersonale Medien (menschliche oder technische Informationsträger), visuelle oder auditive Medien und vortechnische oder technische Medien. Diese Einteilungen sind jedoch bisher viel zu oberflächlich, um dem Lehrer bei der richtigen Auswahl für Unterrichtsmedien nennenswerte Hilfen zu geben. Die folgende Abbildung soll ein mögliches Ordnungssystem für Medien im Schulunterricht darstellen, wobei die angegebenen Beispiele um eine Vielzahl von Mittlern und Mitteln ergänzt werden können.

Die Vielfältigkeit der Medienarten und das reiche Angebot geben der Lehrkraft heutzu- tage abwechslungsreichere methodische Möglichkeiten als je zuvor. Das immer größer werdende Angebot der Lehr- und Lernmittelindustrie an modernen Maschinen und Ma- terialien erleichtert die Entwicklung und Herstellung eigener Lehrmittel. Diese Möglich- keiten werden durch die Fähigkeit moderner Medien, wie Computer und weltweite Ver- netzung, weiter verbessert.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Übersicht über Unterrichtsmedien als Vermittler von Wirklichkeit und Empfängee

1.2 Psychologische Voraussetzungen beim Lernen mit Me-dien

In seiner Einführung zum Buch „Medien und Symbolsysteme“¹ schrieb Olson:

„Wir werden kaum weiterkommen, solange wir nicht irgendein Schema besitzen, um genauer zu bestimmen, wie Information durch verschiedene Symbolsysteme struktu- riert wird und welche psychologischen Konsequenzen diese Strukturierungen haben.“ [Wei93 S.500] Seit den 40er Jahren des vergangenen Jahrhunderts versuchte die pädagogisch- psychologische Forschung die Lernwirksamkeit verschiedener Medien zu vergleichen. Kritiker der Forschung weisen jedoch darauf hin, dass man gar nicht primär die Medien und ihre Wirkung untersuche, sondern die Lehrmethoden (Treatments) und den Lern- stoff. Damit zerrinnt die ursprüngliche Frage nach den Medienunterschieden, da man eine Lehrmethode und einen Lernstoff mit unterschiedlicher Hard- und Software prä- sentieren kann.

In der neueren pädagogisch-psychologischen Medienforschung wird sowohl die Medienseite wie auch die Lernerseite ausdifferenziert. Man bleibt nicht bei den HardwareMerkmalen stehen, sondern analysiert zusätzlich das Symbolsystem und die Botschaft. Auf der anderen Seite wird versucht herauszufinden, wie der Lerner den Code entschlüsselt und die Botschaft verarbeitet. Somit beruht das Interesse der Untersuchungen auf den vier folgenden Tatsachen:

1. Informationen werden immer in einem Symbolsystem übermittelt (Code),
2. die Software (Übermittelungsmedien) strukturieren diesen Code entsprechend ih- rer inhärenten Eigenschaften,
3. die Information stellt somit eine kodierte und strukturierte Botschaft dar,
4. diese stellt an den Lerner bestimmte Anforderungen, die das Lernen beeinflus- sen,um auf folgende Fragen wissenschaftlich begründete Antworten zu erhalten: Wie können nicht-personale Informationsträger Lernprozesse begünstigen? Welcher Medieneinsatz ist optimal? Was verlangen die einzelnen Medien von der Lerngruppe? Wie geht sie mit ihnen um? Gibt es negative Wirkungen beim Lernen mit Medien? Sind mit „neuen“ Medien auch neue Lernformen möglich? [Wei93,S.497]

Die wichtigsten Voraussetzungen und Faktoren für ein effektives Lernen mit Hilfe eines Mediums sind

- die Einstellung bzw. Bewertung des Lerners zum Medium,
- die Fähigkeiten des Lerners, die Symbolsysteme zu entschlüsseln,
- die Verarbeitung der Botschaft, die der Lerner aus dem Medium extrahiert.

Große Beliebtheit bei den Schülern haben nachgewiesenermaßen audiovisuelle Me- dien, da Fernsehen und Video in erster Linie unterhaltend genutzt wird. Problematisch ist daher, dass die Lerner das Medium zwar konsumieren, aber die Informationen nicht so verarbeiten, wie es für das Lernen erforderlich ist. Dagegen werden Druck-Medien mit Information und Bildung verbunden und als anspruchsvolle Medien bewertet, die mehr Verarbeitungsaufwand erfordern. Eine immer größer werdende Mittelstellung im Hinblick auf Motivation und Information nehmen bei den Schülern Computer ein, die die Seriosität eines Buches mit der Attraktivität audiovisueller Medien verbinden.

Zum Dekodieren der Symbolsysteme müssen die Schüler bestimmte kognitive Anfor- derungen erfüllen. Jeder weiß, dass man das Lesen von Texten erlernen muss. Neben der offensichtlichen Gemeinsamkeit von Sprache und Bild, beides sind Symbolsyste- me, sind jedoch bedeutungsvolle Unterschiede erarbeitet worden. Die Wahrnehmung von einfachen Umrisszeichnungen und klaren Fotografien scheint nicht erlernt werden zu müssen. Andere kognitive Fähigkeiten, vor allem die Entschlüsselung einer zweidi- mensionalen Darstellung eines dreidimensionalen Raumes und das „Lesen“ von bildli- chen Symbolen und konventionellen Zeichen (zum Beispiel Pfeile und Tabellen), müs- sen ebenfalls erlernt werden. Beim bewegten Bild, dem Film, werden zum Teil andere visuelle Fähigkeiten vom Lerner abverlangt. Das räumliche Sehen wird aufgrund der sich ändernden Blickwinkel und sich bewegenden Objekte erleichtert. Wichtig erscheint dagegen zum Beispiel die Fähigkeit zum Erkennen des zeitlichen Zusammenhanges einzelner Filmszenen [Wei93,S.507ff].

Eine effektive Mediennutzung hängt schließlich auch davon ab, wie intensiv der Schüler die vermittelten Informationen verarbeitet. Je mehr der Lerner kognitiv beansprucht wird, je vielfältiger die Information übermittelt wird und je mehr Operationen der Betroffene mit ihr ausführt, um so besser wird die Information behalten. Allerdings sollten die zahlreichen Elemente dem kognitiven Entwicklungsstand des Lerners entsprechen, ihn aber andererseits auch nicht unterfordern.

Die Ausführungen zeigen also, dass bei der Auswahl des Mediums die kognitive Entwicklungsstufe des Lernenden eine entscheidende Rolle spielt. Jedes gesunde Kind durchläuft in seiner Entwicklung etappenweise dieselbe Reihenfolge von Entwicklungsstufen, auf denen er ein bestimmtes geistiges Vermögen und bestimmte Tendenzen, Objekte der Umwelt zu organisieren, besitzt. Jean Piaget hat seine Stadientheorie erstmals in seiner „Psychologie der Intelligenz“ (franz., 1947) dargestellt. Diese Theorie wurde im Laufe der Zeit von Psychologen bzw. Pädagogen wie Aebli, Bruner, Galperin modifiziert und zu Unterrichtstheorien ausgebaut.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.3 Didaktische Aspekte von Unterrichtsmedien

Die Notwendigkeit von Medien im Unterricht dürfte aus den vorangegangenen Kapiteln klar geworden sein. Sie dienen dem Lehrer und den Schülern als Vermittler zwischen der Wirklichkeit und dem Empfänger, d.h. die Mittler werden in allen Phasen des Ma- thematikunterrichts benutzt. Demzufolge werden Medien im Unterricht zur Motivierung, Information, Aktivierung, Stimulierung, Steuerung, Erkenntnisgewinnung, Objektivie- rung, Übung und Rationalisierung eingesetzt. Sie dienen der Förderung der Selbst- ständigkeit beim Schüler, der Auseinandersetzung und der Wiederholung mit dem Lernstoff, der besseren Anschaulichkeit, Optimierung und Differenzierung der Informa- tion.

Welcher Art diese Lern- und Lehrmittel sein können wurde in der Abbildung 2 dargestellt. Die wichtigsten Medien des derzeitigen Mathematikunterrichts sind u.a.:

- personale: Lehrer, Schüler
- „vortechnische“: Tafel(skizze), Schulbuch, Formelsammlung (Tafelwerk), Model- le, Arbeitsheft bzw. -blatt, Fach- bzw. Unterrichtsraum
- technische: Overhead-Projektor (OHP), Schultaschenrechner.

Sie bestimmen grundlegend die Organisationsform der Unterrichtsstunde. Aber auch die Organisationsformen üben einen erheblichen Einfluss auf die Einbindung von Kommunikations- und Informationsmittler aus. Somit sind Medien und Organisationsformen nie neutral. Diese Abhängigkeiten bestimmen deshalb genauso den optimalen und effektiven Medieneinsatz wie die folgenden Auswahlkriterien:

- Lernziel- und Inhaltsangemessenheit, o wissenschaftliche Zuverlässigkeit, o Schülerangepasstheit,
- dem Unterrichtszweck dienlich,
- emanzipatorischen Zielen dienlich,
- methodische Aspekte, wie Arbeitstechniken, Sozialformen, Aktionsformen, Unter- richtkonzepten,
- Lehrerobjektivität,
- Zugänglichkeit für alle Schüler, o Unterrichtsökonomie,
- der Differenzierung und Individualisierung dienlich, o äußere Voraussetzungen,
- Mediengemäßheit.

Im Folgenden soll lediglich betrachtet werden, wie man die Informationsübertragung optimieren kann. Im Schulunterricht ist es so, dass ein Lehrer (Sender) versucht, In- formationen an viele Schüler (Empfänger) zu senden. Um also dem Empfänger eine Botschaft zukommen zu lassen, ist es am optimalsten, sich des Symbolsystems „Spra- che“ zu bedienen. Der Sprachcode ist praktisch, bequem und effizient. Allerdings kommt man früher oder später an Punkte, an denen die Sprache allein nicht ausreicht, an denen sie zu umständlich oder nicht mehr eindeutig genug ist. Um dem Schüler dann konkrete Wahrnehmungen zu ermöglichen, sind Bilder oder Skizzen hilfreich. Nun kann es aber sein, dass aufgrund des kognitiven Entwicklungsstandes des Emp- fängers und der eventuellen Mehrdeutigkeit oder Reduktion der Darstellung, z.B. die oben angesprochene zweidimensionale Darstellung einer dreidimensionalen Perspek- tive, der Informationsfluss wiederum abgebrochen wird. Dann hilft unter Umständen etwas zum Anfassen, ein plastisches Modell, das man aus den verschiedenen Per- spektiven betrachten kann, um den Informationsfluss zu optimieren.

Die Speicherung der Information beim Empfänger funktioniert um so besser, je mehr Assoziationsbrücken sich dieser baut. Je mehr der Lernende hört, sieht und anfasst, je mehr Sinne angesprochen werden, desto mehr Möglichkeiten der Erinnerung an die Information hat er.

Man sieht also, dass jeder Medieneinsatz auch Anforderungen an die Lehrkraft stellt. Dazu gehören unter anderem eine fachdidaktische und lernpsychologische Beurteilung der Medien, eine kritische Auseinandersetzung mit den Medien und die Kenntnis der Auswahl und Technik der Medien. Mit dem Einsatz „neuer“ Medien wird aber auch das selbstständige Anfertigen von Medien immer wichtiger.

Im Folgenden verzichte ich auf eine weitere Auseinandersetzung der Bedeutung der Vielzahl unterschiedlicher Medien im Mathematikunterricht und beschränke meine Aus- führungen auf die Bedeutung der sogenannten „neuen“ Medien - dem Computer und Computer-Algebra-Systemen (kurz CAS) - und im Besonderen dem Taschencomputer TI-92.

2 Mathematikunterricht und das neue Medium „Computer“

Das Attribut „neu“ wird modernen Technologien derzeit allzu bereitwillig verliehen. Bei genauer Betrachtung, wenn man diese Medien z.B. nicht nur im Hinblick auf die tech- nischen Merkmale untersucht, stellt man fest, dass sich das Symbolsystem, der Code, kaum geändert hat. Unbestreitbar ist allerdings, dass die technologische Entwicklung die Einsatzmöglichkeiten der Medien erweitern - Stichwort: Multimedia und Internet.

„Gerade Multimedia und Telekommunikation werden das Lern- und Arbeitsverhalten der Lernenden innerhalb und außerhalb der Bildungseinrichtungen grundlegend verändern. Diese Tatsache muss von den Lehrerinnen und Lehrern im Hinblick auf die sich ergebenden Situationen und Probleme in ihrer Tragweite für das pädagogische Handeln in der Schule erfasst werden.“ [Hen00,S.9]

Diese Feststellung von Hendricks macht die Bedeutung der massiven Einführung von technologischen Werkzeugen und Medien zu Beginn des 21. Jahrhunderts deutlich. Bereits 1984 legte die Bund-Länder-Kommission für Bildungsplanung und Forschungsförderung (BLK) eine erste Rahmenempfehlung für die Bundesländer vor, wonach eine informationstechnische Bildung im bestehenden Fächerkanon erfolgen sollte. Ein Gesamtkonzept der BLK für die informationstechnische Bildung mit drei Schwerpunkten wurde 1987 vorgelegt [Hen00,S.29]:

1. eine verpflichtende Grundbildung für alle Schüler,
2. eine vertiefende informationstechnische Bildung (Informatikunterricht),
3. eine berufsbezogene informationstechnische Bildung.

In den Bundesländern werden darauf aufbauend momentan unterschiedliche didakti- sche Modelle entwickelt und erprobt. Der fächerverbindende, projektorientierte Ansatz zielt auf die gesellschaftliche Bedeutung unter Beteiligung verschiedener Fächer (z.B. in Brandenburg und Hessen). Einen integrativen, fachbezogenem Ansatz verfolgt Nie- dersachsen. Die Idee einer informatischen Grundbildung im mathematisch- naturwissenschaftlichen Bereich (Leitfächer-Ansatz) untersuchen vor allem Rheinland- Pfalz, Bayern und das Saarland.

Nun zeigt sich aber ein enorm großer Nachholbedarf bei der Ausstattung mit Compu- tern und entsprechender Software an den deutschen Schulen. Während in den USA bereits 1997 85% der Schulen und sogar 44% der Klassenräume über einen Internet- zugang verfügten und sich nur 13 Schüler einen Computerarbeitsplatz teilten, lagen in Deutschland zu diesem Zeitpunkt die Anteile bei 20% der über einen Anschluss verfü- genden Schulen. Des Weiteren mussten sich mehr als 60 Schüler einen PC teilen, mit einer stark zunehmenden Tendenz in Richtung der neuen Bundesländer [Hen00,S.50f].

Dieses Defizit von mehr als vier Jahren gegenüber anderen großen Industriestaaten belegt die ungenügende Förderung der Bundesrepublik in den letzten Jahren in diesem Gebiet. Um dem technologischen Ansprüchen einer modernen Wissens- und Informa- tionsgesellschaft gerecht zu werden, werden von der Regierung und den Ländern gro- ße Geldbeträge bereitgestellt. Man bewirbt sogar Spezialisten aus anderen Ländern mit der sogenannten „Green-Card“ für eine Arbeit im „Industriestandort Deutschland“.

Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit 10 Unterricht unter Verwendung von Computern Die Bildung in einer Medien- und Informationsgesellschaft verlangt also nach Nutzung der Möglichkeiten, die neue Entwicklungen - gerade des Computers mit entsprechender Software - mit sich bringen. Das heißt für uns, Lehrer und Schüler müssen dazu befähigt werden. Diese Medienkompetenz meint aber nicht nur die Bedienungskompetenz, sondern zielt auch auf die Kritik- und Analysefähigkeit ab. „Neue“ Medien dürfen nicht nur auf die Technik reduziert werden, sondern müssen als soziotechnische Systeme angesehen werden. Somit wird eine umfassende Medienkompetenz als neue Kulturtechnik neben Schreiben, Lesen und Rechnen angesehen.

2.1 Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit Unterricht unter Verwendung von Computern

2.1.1 Veränderungen in den Lern- und Problemlösestrategien

Wie aus der TIMSS-Studie¹ hervorgeht, gehört die Schulung des Problemlösens zu den wichtigsten Bildungsaufträgen der Mathematik [Heu96]. Die Richtlinien für Mathe- matik der Sekundarstufen I und II weisen im Rahmen wissenschaftlichen Arbeitens auf entsprechende Schlüsselqualifikationen wie eigenständiges Erschließen von Informati- onsquellen, heuristisches und systematisches Herangehen an Probleme, Dokumenta- tion von Arbeitsschritten, selbstkritische Überprüfung von Ergebnissen, Betonung der Modellbildung, Herstellen von Bezügen und Finden von Zusammenhängen (Vernet- zungen), Eröffnen experimenteller Arbeitsweisen u.a. hin. In diesem Zusammenhang werden wiederholt die vielfältigen Einsatzmöglichkeiten des Computers herausgestellt. Der Computer prägt den Ablauf von Problemlöseprozessen in besonderer Weise.[Min91,S.10f], [Min92,S.18f]

Dennoch ist der Computer mit all seinen möglichen Peripheriegeräten und der Vielzahl der Anwendungen das derzeit am meisten diskutierte neue Medium der Schule. Dabei ist es sinnvoll, zwischen dem Computer als Medium und Werkzeug sowie der themati- schen Behandlung des Computers zu unterscheiden. Der Einsatz des Computers als Medium und Werkzeug wird in einigen Fächern (hoffentlich) bald eine Selbstverständ- lichkeit sein, da sich durch ihn faszinierende Möglichkeiten eröffnen, Prinzipien des entdeckenden und handelnden Lernens anzuwenden. Dies schließt jedoch nicht die thematische Auseinandersetzung mit dem Medium und seinen Auswirkungen ein.

Mit einem modernen Computersystem ist man in Lage, bis zu 80% aller im Mathematikunterricht anfallenden Aufgaben zu bearbeiten:

Der Computer als „Trivialisierer“ Die Beherrschung arithmetischer Techniken galt einst als anspruchsvolle kognitive Fä- higkeit. Der Computer (und mit ihm der Taschenrechner) hat sie zu einer stupiden, zeitaufwendigen Rechenarbeit entwertet. Der Computer übernimmt die Rolle von Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit 11 Unterricht unter Verwendung von Computern Rechner, Graphiker und Textverarbeiter ein. Moderne Computer-Algebra-Systeme gehen noch einen Schritt weiter. Sie sind in der Lage symbolische Rechnungen alge- braischer Ausdrücke durchzuführen. Termumformungen, Gleichungslösen, Differenzie- ren, bestimmtes und unbestimmtes Integrieren werden mit hoher Rechengeschwindig- keit erledigt, welche bisher menschliche geistige Leistungen mit zum Teil hohen Zeit- aufwand waren.

Der Computer als „Entdecker“

Mit dem Computer liegt für die mathematische Forschung und auch für den Unterricht ein Werkzeug für eine experimentelle, heuristisch vorgehende Mathematik vor. Zum Beispiel kann der Schüler ohne große Vorkenntnisse den Einfluss eines Parameters in einer gegebenen Funktionsgleichung am zugehörigen Graphen untersuchen.

Der Computer als „Beweiser“

Mit Einführung der sogenannten „künstlichen Intelligenz“ werden mit Hilfe von Dedukti- onssystemen mathematische Beweise automatisch durchgeführt. So kann man im Un- terricht mit geeigneter Software klassische Sätze der ebenen Geometrie beweisen.

Um sinnvolle Einsatzgebiete von Computern im Mathematikunterricht zu finden, ist es zunächst wichtig, den Weg des Lernenden in der Mathematik zu durchleuchten. Im klassischen Unterricht liegt der Schwerpunkt der Aktivität auf der Phase des Operierens. 90% der zur Verfügung stehenden Zeit verbringen die Schüler mit dem Lösen von Gleichungen. Am Anfang einer Unterrichtsreihe steht oft ein innermathematisches Problem, für welches der Lehrer (zusammen mit den Schülern) einen Lösungsalgorithmus erarbeitet. Den Schülern fehlen jedoch allzu oft die nach Klafki geforderte Gegenwarts-, Zukunfts- und auch exemplarische Bedeutung. Das Schlimmste ist jedoch, dass sich die Schüler damit abgefunden haben, dass höhere Mathematik nichts mit dem alltäglichen Leben zu tun hat. Sie sind zufrieden, wenn sie die Lösungsstrategie verstanden und auf ähnliche Probleme anwenden können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3: Phasen des Problemlösens im Mathematikunterricht

Vergleich von herkömmlichem Unterricht ohne Computer mit 12 Unterricht unter Verwendung von Computern

An der Abb. 3 lassen sich die Schwerpunkte eines idealen Lernprozesses im Mathematikunterricht erklären.

1. Beobachtungen und Probleme der Wirklichkeit als Ausgangspunkt,
2. Übertragen des Problems auf ein mathematisches Modell, Erreichen von Vermu- tungen, ersten Beweisideen durch heuristische Strategien (Analysieren, Experi- mentieren),
3. Finden von bekannten, gesicherten Algorithmen, Theoremen und Sätzen durch Beweisen und Begründen der Vermutungen,
4. Entwicklung von neuen Algorithmen, Regeln, auch Testen und Festigen durch Übung,
5. Lösen des Ausgangsproblems durch Anwenden der Erkenntnisse und Strategien
6. Rückübertragen der Lösung auf das Ausgangsproblem.

Neue Probleme erfordern die Entwicklung neuer Algorithmen, den Durchlauf neuer Schleifen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4: Kreativitätsspirale nach Heugl, Klinger und Lechner [Heu96,S.81]

Heugl, Klinger und Lechner nennen diesen Prozess auch „Kreativitätsspirale“, die durch drei wichtige Tätigkeiten gekennzeichnet ist: Modellbildung in der heuristischen, experimentellen Phase, Operieren - in der exaktifizierenden Phase und Interpretieren in der Anwendungsphase.

Mit einem Computersystem könnte man nun in der heuristischen Phase zu Vermutun- gen kommen, die Phase der theoretischen Absicherung von Algorithmen und das Ein- üben von Rechenfertigkeiten umgehen und unter Nutzung des CAS schwerpunktmäßig bei den Anwendungen fortfahren. Damit würden die Schüler jedoch keine Modellbil- dungskompetenz etc. erlangen können, und somit würde man den Richtlinien für Ma- thematik nicht gerecht werden. Sicherlich ergibt sich durch das Wegfallen langwieriger Zwischenrechnungen ohnehin eine genügend große Zeitersparnis, so dass den durch- aus wichtigen Anwendungen genügend Aufmerksamkeit gewidmet werden kann.

Der Computereinsatz bietet also die Chance, den Problemlöseprozess zu erweitern und die Modellbildung und Interpretation in den Unterricht einzubeziehen.

2.1.2 Veränderungen in den didaktischen Prinzipien

Wissenschaftspropädeutisches, problemorientiertes Lernen verlangt als eine der wichtigsten Bedingungen die Erziehung zum selbstständigen Lernen, Urteilen und Handeln. Das erfordert ein Umdenken bei der didaktischen Konzeption und bei der Organisation von Unterricht, die durch das Lehr- und Lernmedium Computer und besonders durch das CAS stark beeinflusst und verändert werden. [Min91], [Min92]

Im Folgenden sollen einige didaktische Prinzipien, bei denen vor allem ComputerAlgebra-Systeme¹ eine wichtige Rolle spielen, als Konstruktionsanleitung für den Unterricht dargestellt werden.

Das White Box / Black Box-Prinzip

Beim White Box / Black Box-Prinzip handelt es sich um ein Unterrichtsmodell, das in zwei Phasen abläuft: In der ersten Phase wird eine Erkenntnis in allen Details und ohne Computerunterstützung erworben und geübt (White Box-Phase). In der darauf folgenden Black Box-Phase sollen die Schüler die Erkenntnisse der White Box-Phase in Anwendungen oder weiteren White Box-Phasen nutzen. Die Schüler sollen begründen, warum sie auf frühere White Box-Phasen zugreifen, überlassen aber nötige Berechnungen dem Computer [Kut95,S.31].

Dieses Prinzip wird durch den Einsatz von numerischen Taschenrechnern schon lange Zeit praktiziert. In der Unterstufe wird beispielsweise die Division von Dezimalbrüchen „zu Fuß“ hergeleitet und geübt. Später übernimmt dann der Taschenrechner als Black Box solche Berechnungen.

Das Black Box / White Box-Prinzip

Dieses Prinzip bietet sich besonders in Verbindung mit experimentellem Arbeiten an. Die Schüler erhalten ein Problem aus einem ihnen nicht bekannten Bereich der Mathematik und sollen unter Verwendung des Computers durch experimentelles Lernen Vermutungen äußern (Black Box-Phase). Die Vermutungen werden in der folgenden White Box-Phase gesichert.

Das Modulprinzip

Die Idee des Moduls stammt aus der Informatik und wurde von den CAS übernommen. Bei diesem Prinzip wird mathematisches Wissen, das bereits bewiesen wurde und spä- ter verwendet werden soll, in einem Modul zusammengefasst. Module werden zum Teil vom CAS mitgeliefert bzw. in Zeitschriften und im Internet ständig veröffentlicht. Der Lehrer und besonders die Schüler können und sollten Module aber auch selbst erstel- len. Die Schüler können auf diese Weise ihre erworbenen Erkenntnisse durch Festhal- ten in Modulen eigenständig sammeln. Wenn sie später auf ein von ihnen program- miertes Modul zurückgreifen, kann sich zudem ein Selbstbewusstsein entwickeln, das sich auf seine Motivation vorteilhaft auswirkt. Das Modulprinzip soll nicht dazu führen,erworbene Kenntnisse nur noch unzureichend zu üben. Sie sollten nur nicht gerade dann geübt werden, wenn eine neue Erkenntnis erworben werden soll und das Modul, eingesetzt als Black Box, den Erwerb dieser Erkenntnis deutlich erleichtern kann. [Heu96,S.179ff], [Kut95,S.38]

Die Window-Shuttle-Technik

Hier nutzt man die Mehrfenstertechnik, um zwischen verschiedenen Darstellungsformen hin- und herzupendeln (daher der Begriff „Shuttle“). Diese Technik erleichtert die Entwicklung von Begriffen und Problemen. Berechnungen können im Algebrafenster erfolgen, die Ergebnisse dann im Grafikfenster dargestellt werden. Sind die Ergebnisse nicht befriedigend, wechselt man wieder zum Algebrafenster und überarbeitet die Eingaben. Erst durch den Computer wurden solche Arbeitstechniken durchführbar. Sie ermöglichen den Schüler zu experimentieren und fördern dadurch in besonderem Maße ihre Eigenständigkeit und Eigenaktivität [Kir96,Abs.4.3]

2.1.3 Veränderung in der Planung und Durchführung des Unterrichts

Computergestützter Unterricht verändert die gesamte Unterrichtsorganisation, die Rolle von Schülern und Lehrern, die Vorbereitungsarbeit, Prüfungssituationen bis hin zur Leistungsbeurteilung [S.8f].

Unterrichtsstunden mit Computereinsatz unterscheiden sich in den Bereichen „Sozial- form“ und „Aktionsform“ vom herkömmlichen Unterricht. Die Schülertätigkeit steigt an und der Anteil an reiner Lehreraktivität sinkt entsprechend. Der Anteil individualisierter Unterrichtsformen (Einzel-, Partner-, Gruppenarbeit, projektorientiertes Arbeiten, indivi- duelle Beratung) vergrößert sich. Während im herkömmlichen Unterricht das Aufneh- men überwiegt, dominiert im Unterricht mit Computereinsatz der Bereich „Produzieren“.

Computergestützter Unterricht verändert die Rolle des Lehrers. Er muss

- trotz der häufig noch unbefriedigenden Ausstattung der Schule für ständige Einsatzbereitschaft der Geräte (Computer, Software, View-Screen oder Beamer, etc.) sorgen, einschließlich der Raumbeschaffung und anderer organisatorischer Randbedingungen,
- Unterrichtsmaterialien (Arbeitsblätter, Programmbeschreibungen, etc.) zu einem großen Teil selbst entwickeln, da erst neuere Schulbücher in ersten Ansätzen das CAS einbeziehen,
- die teilweise sehr unterschiedlichen Voraussetzungen der Schüler im Umgang mit dem Computer berücksichtigen,
- die Hausaufgaben der veränderten Unterrichtssituation anpassen,
- neue Kriterien und Methoden der Leistungsbeurteilung entwickeln,
- den Computer in Leistungskontrollen und Prüfungen mit einbeziehen, falls die Schüler über hinreichende Erfahrungen verfügen.

Um diesen Anforderungen gerecht werden zu können, muss der Lehrer zunächst viel Zeit und Engagement aufbringen, er muss über Fortbildungsmaßnahmen die notwen- digen Qualifikationen erwerben und nicht zuletzt den Mut haben, Neuland zu betreten. Ich denke dabei sehr stark an „m.a.u.s.“ und die unterschiedlichsten Reaktionen der betroffenen Lehrer.

2.2 Computer-Algebra-Systeme (CAS)

2.2.1 Entwicklung von CAS und Vordringen in die Schule

Die Entwicklung von Computer-Algebra-Systemen geht bis in die vierziger Jahre des 20sten Jahrhunderts zurück. Aber erst, als man in der theoretischen Physik Formeln mit Hilfe von Computern bearbeiten lies, begann der richtige Aufschwung. Die über 50 DIN-A4-Seiten erstreckenden Terme waren „von Hand“ nicht mehr zu bewältigen. Mit einem früheren CAS konnten diese Formeln nicht nur manipuliert, sondern auch gene- riert werden.

Das Wort „Algebra“ meint die algorithmische Behandlung symbolischer algebraischer Ausdrücke, die zu einer Lösung eines gestellten algebraischen Problems, eines Gleichungssystems, notwendig ist. Man hat CASe heute schon so weit entwickelt, dass man mit ihnen Beweise durchführen und sogar numerisch rechnen kann. Das heißt, ein CAS übernimmt somit die drei wichtigsten Aufgaben der Mathematik:

1. Der Rechner (Computer) setzt vorgegebene Werte in einen Term ein und be- rechnet das Ergebnis.
2. Der Löser (Solver) erzeugt alle Werte einer Variablen, für die eine bestimmte Be- ziehung gültig ist.
3. Der Beweiser (Prover) entscheidet, ob für alle Variablen einer Menge eine Be- ziehung gilt.

Mit der massenhaften Verbreitung des sogenannten Personal-Computer (PC) in den 80er Jahren, entstanden ab etwa 1990 auch erste CASe für diese PC. Sie boten neben Algorithmen auch graphische Darstellung, Programmierung und Texteditorfunktionen. Die Entwicklung der CASe wird natürlich durch die Entwicklung der Hardware immer noch stark beschleunigt, denn ein CAS benötigt eine Wissensbasis (einen Speicher) in der die Daten und Algorithmen stehen und die Abarbeitung der Algorithmen benötigt Rechenzeit.

Programme wie Derive, Maple, Mathematica, Mathcad und Mathplus fanden zunächst nur im Bereich von Hochschule und Forschung Verbreitung. Darauf zurückzuführen, dass ein modernes CAS nun nicht mehr nur von Spezialisten bedient werden kann, sondern sogar von einem Schüler der Sekundarstufe I, stehen diese nun auch an der Schwelle der Schulen. Und nachdem Computer-Algebra längst ein großes For- schungsgebiet geworden ist und sich die Softwarefirmen mit Verbesserungen gegen- seitig übertreffen, ist abzusehen, dass CASe bald an den Schulen mit der gleichen Selbstverständlichkeit eingesetzt werden wie ein Taschenrechner und vor ihm der Re- chenstab.

2.2.2 Was leistet ein modernes CAS?

Gerade die Rechnungen in der Sekundarstufe werden immer komplexer, so dass be- sonders schwächere Schüler schnell den „roten Faden“ verlieren und in den Zwischen- rechnungen versinken. Das Lösen komplizierter Gleichungssysteme, z.B. in der analy- tischen Geometrie, nimmt so viel Zeit in Anspruch, dass keine Zeit mehr für die Klärung mathematischer Zusammenhänge bleibt. Bei der Überprüfung einer „vollständigen Kurvendiskussion“ können sich die Schüler nicht auf ein Ergebnis einigen. Ein CAS lie- fert schnell und beliebig exakt das richtige Ergebnis. Mit Ausnahme des letzten Bei- spiels kann ein CAS nicht viel mehr als ein moderner Taschenrechner. Was es darüber hinaus noch kann, soll im folgenden Abschnitt vorgestellt werden.

Im einfachsten Fall wird das CAS als numerisches Hilfsmittel eingesetzt. Im Gegensatz zu numerischen Taschenrechnern ist es imstande, exakt zu rechnen. Damit ist ge- meint, dass Brüche als Brüche und Wurzeln als Wurzeln behandelt und in der uns aus der Mathematik vertrauten Weise verknüpft werden [Heu96,S.26ff]. Da beim CAS die Anzahl der Ziffern nicht durch die Anzeige beschränkt ist, können approximierte Zahlen mit einer nahezu beliebigen, frei wählbaren Anzahl von Ziffern angezeigt werden. Na- türlich beherrschen CASe die algebraischen Grundfertigkeiten, wobei sie zusätzlich in der Lage sind zu faktorisieren. Hierdurch ergeben sich beispielsweise bei der Bestim- mung von Nullstellen ganzrationaler Funktionen neue Möglichkeiten.

Eingesetzt als symbolisches Hilfsmittel lassen sich mit einem CAS auch algebraische Umformungen mit Symbolen durchführen. Diese Eigenschaft öffnet Türen zum allgemeinen Lösen von Gleichungen, zur Bestimmung von Ableitungen und unbestimmten Integralen sowie zur Lösung von Differentialgleichungen [Heu96,S.34ff].

Häufig kann ein Lösungsverfahren durch einen Algorithmus beschrieben werden, bei- spielsweise bei der näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen stetiger Funktionen unter Verwendung der Intervallschachtelung. Ein CAS ist als algorithmisches Hilfsmittel in der Lage, solche Näherungsverfahren auszuführen. Einige Algorithmen sind dazu bereits im CAS implementiert, es lassen sich aber auch vom Benutzer weitere hinzufü- gen. Durch die Verwendung des CAS kann man sich innerhalb des Unterrichts somit auf die interessante Formulierung der Algorithmen konzentrieren [Heu96,S.48ff].

Für den Einsatz in der Schule ist die Verwendung des CAS als methodisches Hilfsmit- tel von besonderem Interesse. Durch die Möglichkeit der Visualisierung können Schü- ler beispielsweise experimentell durch systematisches Variieren der Parameter in der Scheitelpunktform der Parabel ihren Einfluss auf Lage und Form der Parabel untersu- chen.

Die Formelsprache der Mathematik wirkt auf viele Schüler abschreckend. Hier bietet das CAS als sprachliches Hilfsmittel die Möglichkeit, als Bindeglied zwischen Alltagssprache und Formelsprache zu fungieren. So lassen sich z.B. Variablen als Wortformeln definieren. Sicherlich sehen Schüler aber auch die Notwendigkeit der mathematischen Formalisierung, wenn sie einen zunächst alltagssprachlich formulierten Algorithmus vom CAS ausführen lassen wollen.

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¹ Im Folgenden wird nur der Begriff „Schüler“ verwendet, gemeint sind damit aber immer beide Geschlechter.

¹ Gemeint ist die Didaktik im neuen, weiteren Sinne, die auch methodische Aspekte einschließt.

¹ Olson, D. R.: Media and symbols: The form of expression, communication and education, Chicago University Press, Chicago, 1974

¹ TIMSS - The Third International Mathematics and Science Study, die dritte internationale Mathematik- und Naturwissenschaftsstudie, durchgeführt zwischen 1994 und 1995 unter Verantwortung der International Association for the E- valuation of Educational Achievement (IEA)

¹ im Folgenden kurz mit CAS bezeichnet