Die Ermittlung risikoeffizienter Portfolios

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Die Ermittlung von Rendite und Risiko in der Kapitalmarkttheorie

3. Portfoliotheorie von Harry M. Markowitz
3.1 Annahmen der Portfolio-Selection-Theorie
3.2 Risikominimierung durch Portfoliobildung
3.3 Das Minimum-Varianz-Portfolio
3.3.1 Herleitung des Minimum-Varianz-Portfolios für den 2-Wertpapierfall
3.3.2 Kovarianzeigenschaft des Minimum-Varianz-Portfolios
3.4 Modellkritik

4. Fazit

Internetverzeichnis

1. Einleitung

Mit der vorliegenden Arbeit werden folgende Ziele verfolgt:

- Die Begriffe „Rendite“ und „Risiko“ sollen im Rahmen der kapitalmarkttheoretischen Modellwelt eingeordnet werden.
- Das Portfolio-Selection-Modell von Harry M. Markowitz soll dargestellt werden und zeigen, dass durch Portfoliobildung das Risiko in Wertpapieranlagen minimiert werden kann.
- Das Minimum-Varianz-Portfolio soll für den 2-Wertpapierfall hergeleitet und hin-sichtlich seiner Kovarianzeigenschaften mit anderen Wertpapieren und Portfolios untersucht werden.
- Eine kritische Stellungnahme zum Modell von Harry M. Markowitz soll am Ende der Arbeit folgen.

Um diesen Zielen gerecht zu werden, ist die Arbeit anhand der gesteckten Ziele gegliedert und beginnt mit der Einordnung der Begriffe Rendite und Risiko.

2. Die Ermittlung von Rendite und Risiko in der Kapitalmarkttheorie

Die Kapitalmarkttheorie verkörpert eine Modellwelt, die neben der Rendite auch das Risiko einer Investition explizit berücksichtigt. Diese zweidimensionale Betrachtung des Anlage-erfolges einer Investition mittels Rendite und Risiko stellt eine bedeutende Errungenschaft dieser Modelltheorie dar. Die kapitalmarkttheoretische Modellwelt ist auf die Zukunft gerichtet und basiert auf erwarteten Größen.^[1]

Der Erwartungswert der Rendite µi einer Anlagealternative berechnet sich aus der Summe der mit ihrer Eintrittswahrscheinlichkeiten multiplizierten, prognostizierten, zustandsabhängigen Renditeausprägungen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da Renditeerwartungen abhängig von zukünftigen Umweltzuständen sind, unterliegen sie der Unsicherheit, dass sie am Ende der Planungsperiode nicht realisiert werden können. Diese Situation wird dann als Risiko bezeichnet, wenn sich objektive und subjektive Wahrschein-lichkeiten für den Eintritt der denkbaren zukünftigen Umweltzustände formulieren lassen.^[2] Das Risiko ist umso größer, je breiter die erwarteten Renditen um ihren Erwartungswert streuen. Zur Quantifizierung des Risikos werden die Varianz bzw. die Standardabweichung zugrunde gelegt.^[3]

Die Varianz σ² misst den Mittelwert der quadratischen Abweichungen der Renditen von ihrem Erwartungswert. Die Quadratwurzel aus der Varianz ergibt die Standardabweichung σ:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund der direkten Beziehung zwischen der Varianz und der Standardabweichung ist es unerheblich welche der beiden Größen als Risikomaßgröße Verwendung findet. Während sich die Varianz aufgrund ihrer Additivitätseigenschaften zur Zerlegung des Risikos in seine Bestandteile eignet, besitzt die Standardabweichung die gleiche Dimensionierung wie die Rendite und stellt deshalb ein intuitiv verständlicheres Risikomaß dar.^[4]

Das folgende Beispiel soll die Ermittlung der erwarteten Renditen und der Streuungsmaße verdeutlichen:

Tabelle 1: Zustandsabhängige Renditen der Wertpapiere 1 und 2

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle: Kleeberg, J. M., Der Anlageerfolg des Minimum-Varianz-Portfolios, S. 7.

Der Erwartungswert der Rendite (µi) der beiden Wertpapiere 1 und 2 errechnet sich wie folgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus ergeben sich folgende Varianzen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit ergeben sich folgende Standardabweichungen:

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Im Rahmen der empirischen Kapitalmarktforschung werden die als Erwartungswerte formulierte Größen Rendite und Risiko durch empirisch ermittelte ex post (vergangene) Werte ersetzt. Diese werden auf Grundlage beobachteter (sicherer) Kursveränderungen ermittelt.^[5] Die Rendite Ri einer Anlage während einer zurückliegenden Periode lässt sich wie folgt bestimmen:^[6]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Ertrag Ri eines Wertpapiers ist bestimmt durch die Kursentwicklung innerhalb eines Beobachtungszeitraumes Kt-K(t-1) zzgl. der Ausschüttungszahlungen a bezogen auf den Einstandskurs K(t-1).^[7]

Analog dazu lässt sich die Varianz und die Standardabweichung für einen historischen Zeitraum auf der Basis realisierter Renditen wie folgt bestimmen:^[8]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der späteren Darstellung des Minimum-Varianz-Portfolios werden ausschließlich realisierte Renditen und daraus berechnete Risikoparameter verwendet. Grund hierfür ist, dass primär Erkenntnisse über den tatsächlichen Renditebildungsprozess und nicht über die Erwartungshaltung der Anleger gewonnen werden soll. Die Erwartungsbildung der Anleger entzieht sich ohnehin weitgehend einer empirischen Untersuchung, da die zu den historischen Zeitpunkten gültigen Renditeerwartungen benötigt werden, die selbst bei professionellen Anlegern selten ausreichend dokumentiert und abrufbar sind.^[9]

3. Portfoliotheorie von Harry M. Markowitz

Abbildung 1: Harry M. Markowitz Quelle: Internet-quelle 4.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Harry M. Markowitz machte sich zum ersten Mal 1952 in seinem erschienenen Aufsatz und später in seiner 1959 veröffentlichten Dissertation die Erkenntnisse der Statistik zunutze, um neben der Rendite auch das Risiko von Wertpapierportfolios quantitativ zu erfassen.^[10] Er verwendet die Varianz der Wertpapierrenditen als Maßzahl für das mit einer Anlage verbundene Risiko. Markowitz gilt somit als Begründer von parametrischen Entscheidungsmodellen zur Portfolioselektion aus einer umfassenden Anlagemöglichkeiten-menge. Diese Theorie findet intensive Anwendung in der Praxis der Vermögensverwaltung. Von sehr großer Bedeutung in dieser Hinsicht ist der Nachweis, dass aus nicht perfekt-positiv korrelierten Einzelanlagen ein Portfolio erstellt werden kann, welches ein Gesamtrisiko aufweist, das kleiner als die Summe der Einzelrisiken ist (sog. Diversifikationseffekt).^[11] Bevor die algebraischen Formulierungen zu dieser Theorie folgen, sollen zuerst die Modellannahmen und ihre Bedeutung geklärt werden.

3.1 Annahmen der Portfolio-Selection-Theorie

Die Portfoliotheorie von Markowitz geht von folgenden Annahmen und Voraussetzungen aus:

1.) Das Risiko einer Anlage ist wie in Kapitel 2 beschrieben die Streuung der Renditen um den Erwartungswert.^[12]
2.) Die Renditen sind nach der Gauss’schen Wahrscheinlichkeitsverteilung normalverteilt, dass heißt μ und δ beschreiben vollkommen die Verteilung.^[13]
3.) Der Anlagehorizont der Investoren berücksichtigt genau nur eine Periode, dass heißt es werden nur zwei Zeitpunkte betrachtet (Ein- und Auszahlung).^[14]
4.) Die Investoren handeln rational und risikoavers. Sie beurteilen die einzelnen Anlagen anhand errechneter Standardabweichungen und erwarteter Renditen. Ihr Ziel ist die Nutzenmaximierung.^[15]
5.) Es herrscht Friktionslosigkeit, was bedeutet, dass keine Informations- und Trans-aktionskosten sowie Steuern anfallen. Am Markt gibt es vollkommene Konkurrenz ohne Eintrittsbarrieren und ohne segmentierte und illiquide Marktplätze.^[16]
6.) Markowitz setzt die unendliche Teilbarkeit der Wertpapiere voraus, damit gewisse Lösungen aus der Portfolioselektion nicht ausgeschlossen werden müssen.^[17]
7.) Es gibt keine Anlage oder Aufnahme von Kapital zum Zins auf risikolose Anlagen.^[18]

[...]

^[1] Vgl. Markowitz, Harry M. (1952), S. 79 f.

^[2] Vgl. Perridon, Louis und Steiner, Manfred (1993), S. 96 ff.

^[3] Vgl. Markowitz, Harry M. (1952), S. 80; Mandell, Lewis und O’Brien, Thomas J. (1992), S. 41 f.

^[4] Vgl. Rudd, Andrew und Clasing, Henry K. (1988), S. 44 und S. 74.

^[5] Vgl. Leupold, Dr. Thomas (1996), S. 30.

^[6] Vgl. Rudd, Andrew und Clasing, Henry K. (1988), S. 44 und S. 74.

^[7] Vgl. Stephan, Ulrich (1998), S. 80.

^[8] Vgl. Bleymüller, Josef et al. (1993), S. 73.

^[9] Vgl. Kleeberg, Jochen M. (1995), S. 9.

^[10] Vgl. Markowitz, Harry M. (1959), S. 1 ff.

^[11] Vgl. Leupold, Dr. Thomas (1996), S. 12.

^[12] Vgl. Internetquelle 1.

^[13] Vgl. Leupold, Dr. Thomas (1996), S. 13.

^[14] Vgl. Internetquelle 1.

^[15] Vgl. Internetquelle 1.

^[16] Vgl. Leupold, Dr. Thomas (1996), S. 13.

^[17] Vgl. Ebenda, S.13.

^[18] Vgl. Internetquelle 1.