Optionen. Überblick und Modelle zur Optionsbewertung

Inhaltsverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

1 Einleitung

2 Optionen
2.1 Überblick
2.2 Optionspositionen
2.3 Einflussfaktoren des Optionspreises

3 Modelle zur Optionsbewertung
3.1 Binomialmodelle
3.1.1 Einstufige Binomialmodelle
3.1.2 Mehrstufige Binomialmodelle
3.2 Black-Scholes-Merton-Modell

4 Fazit

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abb. 1: Gewinn-/Auszahlungsdiagramm eines Long Calls

Abb. 2: Gewinn-/Auszahlungsdiagramm eines Short Calls

Abb. 3: Gewinn-/Auszahlungsdiagramm eines Long Puts

Abb. 4: Gewinn-/Auszahlungsdiagramm eines Short Puts

Abb. 5: Aktien- und Optionspreise

Abb. 6: mehrstufiges Binomialmodell

Abb. 7: Ausschnitt eines mehrstufigen Binomialbaumes

1 Einleitung

Derivate Finanzmarktinstrumente, wie beispielsweise Optionen spielen eine immer größere Rolle an den Finanzmärkten dieser Welt. Nicht nur Banken und große Unternehmen haben das Potenzial von Optionen erkannt.^[1] Vor allem in Zeiten der Finanzkrise sind Anleger weniger rendite- als vielmehr sicherheitsorientiert.^[2] Mit Optionen haben Anleger ein wirksames Mittel, um sich vor Schwankungen bei Preisen und Kursen zu schützen. Obwohl Optionen in der Historie immer mal wieder auf- und abtauchten, erlebten sie Anfang der 1970er-Jahre eine Revolution. Im Jahre 1973 eröffnete die Chicago Board Option Exchange und der Optionshandel blühte wieder auf.^[3] Zur gleichen Zeit gab es einen Durchbruch bei der Bewertung von Optionen. Die Erkenntnisse von BLACK, SCHOLES und MERTON mündeten in einer Formel zur Optionspreisbestimmung, die heute nicht mehr wegzudenken ist.^[4]

Ziel dieser Arbeit ist es, ein einleitendes Verständnis für Optionen zu schaffen und zwei Bewertungsmethoden für Optionen vorzustellen. Dazu wird zunächst in Kapitel 2 ein Überblick über das Thema Optionen gegeben. Die verschiedenen Optionspositionen werden erläutert und mit Auszahlungs- und Gewinn- und Verlustdiagrammen verdeutlicht. Kapitel 2 endet mit der Darstellung von Einflussfaktoren auf den Optionspreis. Anschließend beschäftigt sich Kapitel 3 mit zwei Methoden der Optionsbewertung – dem Binomialmodell und dem Black-Scholes-Merton-Modell (BSM-Modell). In Kapitel 4 wird abschließend ein Fazit gezogen.

2 Optionen

2.1 Überblick

Optionen bezeichnen Verträge zwischen zwei Vertragspartnern: dem Käufer (auch Inhaber genannt) und dem Verkäufer (Stillhalter). Der Käufer erwirbt gegen Zahlung des Optionspreises an den Stillhalter das Recht eine Vermögensposition zu einem vereinbarten Preis zu kaufen oder zu verkaufen. Dieser vereinbarte Preis wird auch Ausübungs- oder Basispreis genannt. Hat der Käufer die Möglichkeit sein Wahlrecht innerhalb einer gewissen Zeitspanne auszuüben, spricht man von einer amerikanischen Option. Darf das Wahlrecht hingegen nur an einem festgelegten Stichtag erfolgen, handelt es sich um eine europäische Option. In beiden Fällen erwirbt der Käufer aber lediglich das Recht Vermögenspositionen zu kaufen bzw. zu verkaufen. Eine Pflicht hierzu besteht auf Seiten des Käufers nicht. Bei den Vermögenspositionen kann es sich um verschiedenste Finanztitel wie z.B. Aktien, Rentenpapiere, Waren, die über die Börse gehandelt werden, Devisen usw. handeln.^[5] Die den folgenden Ausführungen zu Grunde liegenden Underlyings sind Aktien. Zudem beziehen sich die Ausführungen auf europäische Optionen.

Es werden zwei Arten von Optionen unterschieden, Calls und Puts. Eine Kaufoption (sog. Call) erlaubt es dem Käufer Aktien zum festgelegten Zeitpunkt zum Ausübungspreis zu erwerben. Ein Put, also eine Verkaufsoption hingegen erlaubt es dem Käufer dieser Option Aktien zum festgelegten Zeitpunkt zu veräußern.^[7]

2.2 Optionspositionen

Es gibt also sowohl bei Calls als auch bei Puts immer einen Inhaber und einen Stillhalter. Daraus ergeben sich vier verschiedene Positionen. Bei Kaufoptionen (Calls) stellen sich diese Positionen wie folgt dar: Der Long-Call beschreibt die Position des Inhabers eines Calls, der das Recht zum Kauf hat. Dem steht die Position des Short Call gegenüber, also der Stillhalter eines Calls, welcher verpflichtet ist, zu verkaufen, sofern der Inhaber von seinem Wahlrecht Gebrauch macht. Bei Verkaufspositionen (Puts) gibt es ebenfalls einen Long Put und einen Short Put. Der Long Put stellt den Inhaber eines Puts dar, der das Recht zum Verkauf hat. Der Short Put beschreibt den Stillhalter, also den Verkäufer der Verkaufsoption, der dem Inhaber gegenüber verpflichtet ist, von diesem Aktien zu kaufen, sofern der Inhaber der Verkaufsoption sein Wahlrecht ausüben möchte.^[8]

Diesen Positionen liegen verschiedene Erwartungshaltungen zu Grunde. Beim Long Call hofft der Käufer darauf, dass der Kurs der Aktie steigt und letztlich über dem Basispreis liegt. Umgekehrt ist es beim Short Call. Der Verkäufer hofft hingegen, dass der Kurs der Aktie während der Laufzeit bzw. zum Fälligkeitstermin unter dem Basispreis bleibt bzw. liegt. Bei den Put-Positionen sind die Erwartungen umgekehrt. Beim Long Put wird mit einem fallenden Kurs gerechnet. Beim Short Put hingegen wird mit einem steigenden bis maximal leicht fallenden Kurs gerechnet. Alle Positionen sind selbstverständlich an einer Gewinnmaximierung interessiert.^[9]

In welcher Position unter welchen Umständen Gewinne erzielt werden bzw. Auszahlungen erfolgen, zeigen die Abbildungen 1 bis 4. Die Kurve der Auszahlung lässt Optionsprämien bzw. Transaktionskosten unberücksichtigt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1: Gewinn-/Auszahlungsdiagramm eines Long Calls, eigene Darstellung in Anlehnung an Rudolph, B./Schäfer, K. (2010), S. 22; Hull (2009), S. 236.

Die Abbildung zeigt, dass der Käufer eines Calls Verluste in Höhe der gezahlten Optionsprämie P macht, solange der Kurs der Aktie unter dem Ausübungs- oder Basispreis K liegt, da der Käufer in diesem Fall die Option verfallen lässt. Schließlich wäre eine Beschaffung der Aktien am Markt günstiger. Die entrichtete Optionsprämie stellt den maximalen Verlust des Käufers eines Calls dar. Im Long Call wird erst dann Gewinn erzielt, wenn der aktuelle Aktienkurs größer als die Summe aus ist. Ist jedoch kleiner als die Summe aus , aber größer als ist der Long Call in der verminderten Verlustzone. Beim Short Call sind die Graphen gespiegelt (siehe Abbildung 2).^[10]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2: Gewinn-/Auszahlungsdiagramm eines Short Calls, eigene Darstellung in Anlehnung an: Rudolph, B./Schäfer, K. (2010), S. 23; Hull (2009), S. 236

Hier zeigt sich, dass der maximale Gewinn des Verkäufers eines Calls die Optionsprämie ist. Der Verlust hingegen ist unbegrenzt.^[11] Abbildung 3 verdeutlicht die Gewinne bzw. Verluste sowie die Auszahlung bei einem Long Put.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3: Gewinn-/Auszahlungsdiagramm eines Long Puts, eigene Darstellung in Anlehnung an: Rudolph, B./Schäfer, K. (2010), S. 23; Hull (2009), S. 236

Bei einem Long Put werden Gewinne erzielt, wenn der Aktienkurs kleiner ist als die Differenz von und . Denn in diesem Fall kann der Käufer eines Puts die Aktie zu einem Wert verkaufen, der größer als der aktuelle Kurs der Aktie ist. Der Verlust beschränkt sich auf die Optionsprämie. Der Gewinn kann höchstens sein.^[12] Die Graphen des Short Put sind auch hier wieder entlang der Abszissenachse gespiegelt (siehe Abbildung 4).^[13]

[...]

^[1] Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. IX.

^[2] Vgl. Lindmayer (2013), S. V.

^[3] Vgl. Spremann (1996), S. 604.

^[4] Vgl. Hull (2001), S. 364.

^[5] Vgl. Spremann (1996), S. 604ff.

^[6] Vgl. Prätsch/Schikorra/Ludwig (2007), S. 225.

^[7] Vgl. Spremann (1996), S. 604ff.

^[8] Vgl. Pfeifer (2009), S. 317.

^[9] Vgl. Lindmayer (2013), S. 164.

^[10] Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 22.

^[11] Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 22.

^[12] Vgl. Becker (2013), S. 314.

^[13] Vgl. Rudolph/Schäfer (2010), S. 24.