Zahlenbereichserweiterung in der Schule

1 Von den Rationalen Zahlen zu den Reellen Zahlen

1.1 Lehrplanbezug und Voraussetzungen

Im Laufe der Schulzeit verändert sich mehrfach der Begriff „Zahl“. Das Thema der Reellen Zahlen kommt im Lehrplan in der 8. Schulstufe (4. Klasse^[1]AHS) vor. Dort findet man unter „Arbeiten mit Zahlen und Maßen“ folgendes:

Durch zusammenfassendes Betrachten das Zahlenverständnis vertiefen.

Anhand einfacher Beispiele erkennen, dass es Rechensituationen gibt, die nicht mit Hilfe der rationalen Zahlen läsbar sind.

In der 9. Schulstufe werden die Zahlenbereichserweiterungen vertieft:

Reflektieren Uber das Erweitern von Zahlenmengen an Hand von Natürlichen, Gan­zen, Rationalen und Irrationalen Zahlen. Bewusstes und sinnvolles Umgehen mit exakten Werten und Naherungswerten. Nach der Einfährung der Reellen Zahlen sieht der Lehrplan reellwertige Funktionen und Gleichungen mit Rellen Zahlen vor.

Fär die systematische Einfährung sollten die Schäler^[2]folgende Vorausetzungen mitbringen:

-Sicherer Umgang mit den Natärlichen, den Ganzen Zahlen und den Quotien- tenkärper Q = { m : m,n € Z,n = 0}: Dazu gehört auch das Verstandnis, dass zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen sich immer eine weitere finden lässt
-Umrechnen von Brächen in Dezimalschreibweise und umgekehrt. Somit ha­ben die Schäler bereits periodische nicht abbrechende Dezimalzahlen kennen gelernt.
-Das Modell der Zahlengeraden zur Darstellung von Zahlen. Bisher sind neben den Ganzen Zahlen die Rationalen Zahlen als Punkte dazwischen vorgekom­men.
-Der Satz des Pythagoras zum geometrischen Vertändnis von Wurzeln.
-Ganzzahlige Potenzen und deren Rechenregeln.
-Erfahrungen mit einfachen Mathematischen Beweisen (optimal mit Wider­spruch)

1.2 Lernziele Kognitiv

-Erkenntnis, dass nicht jede Lange als Rationale Zahl aufgefasst werden kann.
-Verständnis der Analogie zwischen den Reellen Zahlen und dem geometrischen Modell der Zahlengerade.
-Verstehen, warum \/2 keine Rationale Zahl ist. Verstehen, dass man diese Zahl nicht als abbrechende Dezimalzahl darstellen kann.

Affektiv

-Faszination und Verständnis für die Exaktheit von Zahlen. Besserer Umgang mit dem Begriff der Unendlichkeit.
Psychomotorisch
-Konstruieren von Zahlen mit „Bleistift und Lineal“ auf der Zahlengeraden. Genaues Arbeiten mit diesen Mitteln.

1.3 Die Zahlengerade als Geometrisches Modell

Um sich Zahlen besser vorstellen zu kännen, ist das Modell der Zahlengeraden sehr hilfreich. Im Modell der Zahlengeraden werden Zahlen als Punkte aufgefasst. Jede rationale Zahl kann nach Festlegen eines Nullpunktes und der Zahl 1 auf der Zah­lengeraden als Punkt identifiziert werden.

Die Länge zwischen dem Nullpunkt und beliebigen Punkten werden als Reelle Zah­len interpretiert. Wir werden später zeigen, dass zur Beschreibung beliebiger Längen die Rationalen Zahlen nicht ausreichen. Die Analogie der Reellen Zahlen zu belie­bigen Punkten auf der Zahlengeraden kann fär das Verständnis der Vollstandigkeit der reellen Zahlen eine Hilfe sein.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Die Zahlengerade

Die alternative Einfuährung der Reellen Zahlen durch die Konstruktion von Ad­dition und Multiplikatoin von Zahlen mit „Bleistift und Lineal“ wird im Kapitel 5 genauer Beschrieben.

1.4 Motivation und Einführung

Die Schäler wissen an dieser Stelle bereits, dass sich zwischen zwei Rationale Zahlen immer eine weitere Rationale Zahl finden lasst. Dies bedeutet, dass zwischen zwei Rationalen Zahlen sich unendliche viele weitere befinden. Wir bauen diesen Sach­verhalt als Reaktivieren“ zu Beginn der Unterrichtseinheit ein.

Da man durch oftmalige Unterteilung offensichtlich jedem Punkt auf der Zahlen­gerade beliebig nahe kommt, liegt der Schluss nahe, jeder Punkt känne durch ei­ne rationale Zahl dargestellt werden. Die Tatache, dass die Rationalen Zahlen die Zahlengerade aber dennoch nicht ausfällen, also „Läcken“ frei lassen, kann fär die Schuäler schwer vorstellbar sein.

Um dies zu widerlegen kann das typische Gegenbeispiel, die Lange der Diagonale eines Quadrates mit Seitenlänge 1, herangezogen werden. Nach dem pythagoräischen Lehrsatz gilt fär die Diagonale d dieses Quadrates

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Demnach ist d also eine Zahl sein, deren Quadrat 2 ist. Man kann zeigen, dass es in Q aber keine solche Zahl gibt.

Über diesen analytischen Zugang wird der Übergang von den Rationalen zu den Reellen Zahlen in der geplanten Unterrichtsstunde mit den Schülern anhand eines Arbeitsblattes behandelt.

Das Problem kann man auf der Zahlengeraden graphisch plakativ veranschauli­chen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Die irrationale Zahl \/2 auf der Zahlengeraden

Die Schuüler erarbeiten dies selbstaündig entweder allein oder in Partnerarbeit anhand des Arbeitsblattes. Bei Schwierigkeiten bietet der Lehrer^[3]Unterstützung an. In einer weiteren Übung sollen die Schüler durch Probieren die irrationale Zahl erst durch zwei Natürliche Zahlen, dann durch die benachbarten Dezimalzahlen ein­grenzen, wobei schrittweise eine Nachkommastelle hinzugenommen wird. Bei diesem Vorgehen handelt es sich eigentlich um eine Intervallschachtelung, die gegen \f2 konvergiert. Obwohl der Begriff „Intervall“ erst spüter eingeführt wird, sollten die Schuüler nun auf die Vermutung kommen, dass man diese Zahl nicht als Bruchzahl schreiben kann.

Der Beweis, dass die Zahl Ü2 keine Rationale Zahl ist, kann nun sinnvoll sein. Die Schüler sollten bereits Erfahrungen mit einfachen Beweisen gemacht haben. Optimal würe natürlich, wenn sie bereits einen Beweis durch Widerspruch (z.B. es gibt unendlich viele Natürliche Zahlen) kennen gelernt haben. In diesem Fall sollte der Beweis auch für Schüler nachvollziehbar sein, wenn darauf geachtet wird, dass die die Schuüler mitarbeiten und bei allen Schritten eventuelle Fragen geklaürt werden. Damit wird nun deutlich, dass mit den Rationalen Zahlen nicht alle Punkte auf der Zahlengeraden erfasst werden koünnen. Wir haben in der Ünterrichtseinheit vorgesehen, dass der Lehrer den Beweis auf der Tafel vorführt.

[...]

^[1]hn Südtirol: 3. Klasse Mittelschule

^[2]Mit „Schüler“ sind in Folge ausdrücklich beide Geschlechter gemeint

^[3]Mit „Lehrer“ sind in Folge ausdrücklich beide Geschlechter gemeint.