Grundlagen der Elektrotechnik

Inhaltsverzeichnis:

1 Gleichstromlehre
1.1 Aufbau des SI-Systems - Grundgrößen und Einheiten
1.2 Das Internationale Einheitensystem
1.3 Abgeleitete Einheiten:
1.4 Darstellung der abgeleiteten Einheiten durch Größengleichungen und Einheitengleichungen
1.5 Pegel, Verstärkungs- und Dämpfungsmaße:
1.6 Besonderheiten und Vorsilben der SI-Einheiten:
1.7 SI-fremde Einheiten:
1.8 Gleichungen:
1.9 Gleichstromkreise: Grundbegriffe der elektrischen Strömung
1.10 Der elektrische Strom
1.11 Stromdichte:
1.12 Die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen:
1.13 Die elektrische Spannung:
1.14 Elektrisches Potential:
1.15 Zusammenhang von Potential und elektrischer Spannung:
1.16 Der elektrische Widerstand:
1.17 Das ohmsche Gesetz:
1.18 Nichtlineare Widerstände
1.19 Widerstand und Temperatur:
1.20 Der verzweigte Stromkreis
1.21 Erstes Kirchhoffsches Gesetz:
1.22 Zweites Kirchhoffsches Gesetz:
1.23 Zählpfeilsysteme:
1.24 Spannungsquellen und innerer Widerstand von Spannungsquellen:
1.25 Detaillierte Betrachtung der Ersatzspannungsquelle:
1.26 Stromquellen:
1.27 Detaillierte Betrachtung der Ersatzstromquelle:
1.28 Äquivalenz von Spannungs- und Stromquelle:
1.29 Vergleich der Ersatzquellen:
1.30 Elektrische Arbeit
1.31 Elektrische Leistung
1.32 Nutzleistung, Verlustleistung und Wirkungsgrad
1.33 Leistungsanpassung, Spannungsanpassung, Stromanpassung
1.34 Energieumwandlung:
1.35 Elektrochemische Spannungsreihe:
1.36 Der verzweigte Stromkreis
1.37 Reihenschaltung linearer Widerstände
1.38 Der unbelastete Spannungsteiler
1.39 Parallelschaltung linearer Widerstände
1.40 Verhältnisse von Strömen und Widerständen bei der Parallelschaltung
1.41 Gemischte Schaltungen
1.42 Belasteter Spannungsteiler
1.43 Brückenschaltung
1.44 Stern-Dreieck Umwandlung
1.45 Knotenpunkt-Maschensatz Verfahren
1.46 Überlagerungsverfahren
1.47 Das Maschenstromverfahren

2 Magnetismus
2.1 Dauermagnete - Pole des Magneten:
2.2 Magnetostriktion:
2.3 Magnetisches Feld:
2.4 Feldlinienmodelle:
2.5 Anwendung der Dauermagnete:
2.6 Elektromagnetismus, Magnetfeld um den stromdurchflossenen Leiter:
2.7 Magnetfeld einer stromdurchflossenen Spule:
2.8 Magnetische Größen:
2.9 Eisen im Magnetfeld einer Spule:
2.10 Magnetischer Kreis:
2.11 Der Verzweigte magnetische Kreis:
2.12 Berechnungsprinzip Scherung:
2.13 Stromdurchflossener Leiter im Magnetfeld:
2.14 Stromdurchflossene Spule im Magnetfeld:
2.15 Generatorprinzip (Induktion durch Bewegung):
2.16 Induktivität:
2.17 Selbstinduktion (Induktion der Ruhe):
2.18 Lenzsche Regel:
2.19 Transformatorprinzip (idealer Transformator):
2.20 Transformatorenhauptgleichung:
2.21 Wirbelströme:
2.22 Stromverdrängung, Skineffekt:
2.23 Messwerke:
2.24 Energieinhalt der stromdurchflossenen Spule:
2.25 Reihen- und Parallelschaltung von Induktivitäten:
2.26 Induktive Kopplung:
2.27 Magnetisch gekoppelte Spulen:
2.28 Ein- und Ausschaltvorgang einer Induktivität:
2.28.1 Einschaltvorgang:
2.28.2 Ausschalten einer Induktivität:
2.29 Integrierglied:
2.30 Differenzierglied:
2.31 Kräfte zwischen parallelen, stromdurchflossenen Leitern:
2.32 Kräfte auf bewegte Ladung im Magnetfeld:
2.33 Kräfte an Grenzflächen:
2.34 Kraft auf einen Eisenkern in Zylinderspule:

3 Elektrisches Feld
3.1 Das elektrische Potential
3.2 Physikalische Vorgänge im elektrischen Feld und Kondensator (Polarisation, Influenz, Ionisation)
3.3 Polarisation:
3.4 Influenz:
3.5 Ionisation und Durchschlag:
3.6 Größen des elektrischen Feldes und des Kondensators
3.6.1 Feldstärke:
3.6.2 Ladung:
3.6.3 Verschiebungsfluß:
3.6.4 Verschiebungsflußdichte:
3.6.5 Kapazität:
3.7 Piezo-Effekt:
3.8 Elektrostrinktion:
3.9 Elektroskop:
3.10 Braunsche Röhre:
3.11 Elektrofilter:
3.12 Aufbau und Berechnung von Kondensatoren (Bauformen)
3.12.1 Plattenkondensator:
3.12.2 Keramik-Rohrkondensator (Röhrchenkondensator):
3.13 Werte für Permittivitätszahlen und Durchschlags-Feldstärken:
3.14 Grundlegendes zur Bauform von Kondensatoren:
3.15 Kapazität beim Koaxialkabel (abgeschirmtes Kabel):
3.16 Zusammenschaltung von Kondensatoren
3.16.1 Reihenschaltung:
3.16.2 Parallelschaltung:
3.17 Quer geschichtetes Dielektrikum:
3.18 Längs geschichtetes Dielektrikum
3.19 Laden und Entladen von Kondensatoren
3.19.1 Laden mit konstanter Spannung:
3.19.2 Entladen des Kondensators:
3.20 Ladung mit konstantem Strom:
3.21 Differenzierglied:
3.22 Integrierglied:
3.23 Kondensator als Energiespeicher:
3.24 Kräfte im elektrostatischen Feld:
3.25 Kraft zwischen parallelen Flächen:
3.26 Kraft zwischen Punktladungen:

4 Wechselstromgrößen:
4.1 Gleich und Wechselgrößen:
4.2 Periodische Schwingungen:
4.2.1 Größtwert:
4.2.2 Gleichwert:
4.2.3 Gleichrichtwert:
4.2.4 Effektivwert:
4.2.5 Mischspannung:
4.3 Reine Wechselgrößen:
4.3.1 Scheitelfaktor (Crestfaktor):
4.3.2 Formfaktor:
4.4 Sinusförmiger Wechselstrom:
4.4.1 Bogenmaß und Winkelgeschwindigkeit:
4.5 Mit [ n ] = 1/s (Drehzahl der Leiterschleife im Magnetfeld Rotationsfrequenz)
4.6 Induzierte Spannung:
4.6.1 Konstruktion der Sinuslinie:
4.7 Phasenverschiebung:
4.8 Effektivwert:
4.8.1 Mathematische Bestimmung des Effektivwertes:
4.8.2 Gleichwert, Gleichrichtwert:
4.8.3 Scheitelwert, Crestfaktor:
4.8.4 Formfaktor:
4.9 R, C und L an Wechselspannung:
4.9.1 R an Wechselspannung:
4.9.2 C an Wechselspannung:
4.9.3 L an Wechselspannung:
4.10 Wirkwiderstand:
4.11 Kapazitiver Blindwiderstand:
4.12 Induktiver Blindwiderstand:
4.13 Parallelkompensation:
4.14 Reihenkompensation:
4.15 Parallelresonanz:
4.15.1 Güte des Parallel-Kreises:
4.15.2 Bandbreite des Parallel-Kreises:
4.16 Reihenresonanz:
4.16.1 Güte des Reihen-Kreises:
4.16.2 Bandbreite des Reihen-Kreises:
4.17 Hochpässe:
4.18 Tiefpässe:
4.19 Pegelberechnung:

5 Komplexe Zahlen
5.1 Reelle und Imaginäre Zahlen:
5.2 Komplexe Zahlenebene:
5.3 Darstellungsformen:
5.4 Konjugiert komplexe Zahlen:
5.5 Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen:
5.6 Multiplikation von komplexen Zahlen:
5.7 Division von komplexen Zahlen:
5.8 Potenzieren von komplexen Zahlen:
5.9 Spannung und Strom:
5.9.1 Operatoren:
5.10 Leitwert-Operatoren:
5.11 Ohmsches Gesetz:
5.12 Reihenschaltung:
5.13 Parallelschaltung:
5.14 Äquivalente Schaltungen:
5.15 Reihenschaltung von R, L und C:
5.16 Parallelschaltung von R, L und C:
5.17 Gemischte Schaltungen:
5.18 Leistung im Wechselstromkreis:
5.19 Leistungsanpassung:
5.20 Beispielaufgaben allgemein:
5.21 Abgeglichene Wechselstrombrückenschaltungen
5.22 Phasenschieberbrü>

6 Drehstrom
6.1 Geschichtliche Entwicklung
6.2 Technische Erzeugung von Drehstrom
6.3 Entstehung
6.4 Linienbilder
6.5 Komplexe Darstellung
6.6 Unverkettetes Drehstromsystem
6.7 Sternschaltung
6.8 Zeichnerische Darstellung
6.9 Spannungsverkettung
6.10 Drei- und Vierleiternetz
6.11 Strom im N-Leiter
6.12 Dreieckschaltung
6.13 Zeichnerische Darstellung
6.14 Stromverkettung
6.15 Stern- und Dreieckschaltung
6.16 Anschluß von Drehstrommotoren
6.17 Stern-Dreieck-Umschaltung
6.18 Wirkleistung
6.19 Symmetrische Last
6.20 Komplexe Berechnung
6.21 Zeigerbilder
6.22 Unsymmetrische Belastung: Sternschaltung mit N-Leiter
6.23 Sternschaltung ohne N-Leiter bzw. N-Leiter Unterbrechung
6.24 Unsymmetrische, ohmsche Last
6.25 Unsymmetrische, Komplexe Last
6.26 Unsymmetrische Belastung: Dreieckschaltung
6.27 Drehstrommotor
6.28 Drehfrequenz
6.29 Drehsinn, Drehrichtung
6.30 Drehrichtungsumkehr
6.31 Aufbau von Drehstrommotoren
6.32 Wirkungsweise
6.33 Schlupf
6.34 Hochlaufkennlinien
6.35 Anlaßverfahren
6.36 Schleifringläufermotoren
6.37 Drehzahlsteuerung

Literaturverzeichnis

Vorwort

Das vorliegende Skript wurde als ergänzendes Hilfsmittel zum Thema

Grundlagen der Elektrotechnik

entworfen und niedergeschrieben. Es enthält alle relevanten Themengebiete der oben angegebenen Veranstaltung. Die Themen sind in der Reihenfolge der Unterrichte gestaffelt.

Die Inhalte orientieren sich an den Lehrstoffinhalten für die technische Ausbildung von Technikern (Fachrichtung Elektrotechnik) und Fachoberschulen (Technik). Die Themengebiete sind klassisch gestaffelt und behandeln die Gleichstromlehre, Magnetisches und Elektrisches Feld, sowie Wechsel- und Drehstromlehre. In jedem Teilgebiet können die Lernerfolge mittels Übungsaufgaben kontrolliert werden. Benötigte mathematische Grundlagen werden teilweise hergeleitet und erläutert. Bei Interesse am tieferen Verständnis von mathematischen Zusammenhängen ist es empfehlenswert entsprechende Literatur heranzuziehen. Der Fokus des vorliegenden Skripts liegt auf der elektrotechnischen Erläuterung der benannten Inhalte.

Das Skript hat bezüglich der zu absolvierenden Abschlussprüfungen keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Der Besuch der Veranstaltungen ist somit unabdingbar, um die Prüfungen mit einer befriedigenden Leistung zu absolvieren.

Die Autoren danken den Studierenden und Schülern die während den Veranstaltungen stets kritische Rückfragen stellen und das vorliegende Skript somit kontinuierlich verbessern.

Saarbrücken, im April 2015 Thomas Kuberczyk, Thomas Bertel

2 Gleichstromlehre

2.1 Aufbau des SI-Systems - Grundgrößen und Einheiten

Physikalische Größen

Physikalische Größen sind meßbare Eigenschaften der Materie sowie von Vorgängen und Zuständen in Raum und Zeit. Um eine Größe messen zu können, muß eine gleichartige Größe als Einheit festgelegt werden. Messen heißt dann: Vergleichen der zu messenden Größe mit der Einheit. Das Ergebnis der Messung ist das Produkt aus den folgenden zwei Faktoren:

1. Zahlenwert, der aussagt, wie oft die Einheit in der gemessenen Größe enthalten ist.
2. Einheit, die bei der Messung verwendet worden ist.

Physikalische Größe = Zahlenwert · Einheit (1.1.1)

Eine physikalische Größe dient zur Beschreibung physikalischer Zustände und Vorgänge. Eine physikalische Größe muß aufgrund einer Meßvorschrift mit einer Meßapparatur meßbar sein, d.h. sie muß durch einen physikalischen Vorgang in eine direkt der menschlichen Erfahrungswelt zugängliche Erscheinung (z. B. Zeigerausschlag) umgewandelt werden können.

Eine Einheit ist die Vereinbarung, aufgrund derer die Beobachtung einer physikalischen Einheit quantifiziert werden kann. So ist z. B. die Masseneinheit die Masse des internationalen Kilogrammprototyps; d.h. alle Massen werden in Vielfachen und Teilen dieser Masse gemessen. Die Festlegung einer Einheit geschieht durch die Angabe der physikalischen Erscheinung, die eine Einheit (oder eine bestimmte Menge) der physikalischen Größe ausmachen soll. Beispielhaft sind hierbei die Masse des Kilogrammprototyps oder die vom Licht während einer bestimmten Zeit im Vakuum zurückgelegten Strecke. Die jeweilige Einheit erhält einen Namen (z.B. Ampere), der in Formeln durch eine Abkürzung bzw. ein Symbol (A) bezeichnet wird.

Zur Beschreibung von Naturvorgängen sind zahlreiche physikalische Größen definiert worden. Zu den bekanntesten Größen zählen die Länge, Zeit, Geschwindigkeit, elektrische Spannung, und Temperatur. Zur Messung und Darstellung benötigte man Einheiten. Einheiten für die Länge sind z.B. Meter, Zentimeter oder Millimeter; Einheiten für Zeit sind Stunde oder Sekunde; Einheiten für die Geschwindigkeit sind Kilometer pro Stunde oder Meter pro Sekunde. Zur vereinfachten Darstellung verwendet man sowohl für die physikalischen Größen als auch für die Einheiten Abkürzungen. Zum Beispiel wird die Länge durch l, die Zeit durch t, das Meter durch m und die Sekunde durch s abgekürzt.

Jede physikalische Größe kann durch ein Produkt aus Zahlenwert und Einheit dargestellt werden. Wählen wir hierzu als Beispiel

l = 13 m (1.1.2)

so ist l die physikalische Größe (Länge), 13 der Zahlenwert und m die Einheit (Meter). Allgemein in der Symbolsprache ausgedrückt:

G = { G } · [ G ] (1.1.3)

Hierbei ist G das Formelzeichen wobei das allgemeine Formelzeichen G für eine nicht näher benannte Größe benutzt wurde. Weiterhin ist { G } der Zahlenwert der Größe. Die geschweifte Klammer bedeutet, daß der Zahlenwert der Größe gemeint ist. Schließlich ist [ G ] die Einheit der Größe. Die eckige Klammer bedeutet, daß die Einheit der Größe gemeint ist.

2.2 Das Internationale Einheitensystem

In Technik, Forschung und Wissenschaft werden, ebenso wie auch in Handel und Gewerbe, überwiegend SI-Einheiten verwendet. SI ist die Abkürzung für Systeme Internationale d`Unites (Internationales Einheitensystem). Dieses international vereinbarte Einheitensystem enthält die sieben Basiseinheiten, die dadurch gekennzeichnet sind, daß sie willkürlich festgelegt wurden und nicht aus anderen Einheiten abgeleitet werden können.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Tab. 1.2.1: Si-Einheiten System

Meter: Der Meter ist die Länge der Strecke, die Licht im Vakuum in einem Zeitintervall von 1 / 299792458 Sekunden zurücklegt.

Kilogramm: Das Kilogramm ist die Einheit der Masse; es ist gleich der Masse des internationalen Kilogramm-Prototyps. Der internationale Kilogramm-Prototyp besteht aus einem Zylinder (Durchmesser = 39mm) einer Platin-Iridium- Legierung (Dichte = 21,5g/cm3) und wird im Internationalen Amt für Gewichte und Maße in Sevres, Frankreich, aufbewahrt.

Sekunde: Die Sekunde ist die Dauer von 9 192 631 700 Perioden der Strahlung, die dem Übergang zwischen den beiden hyperfeinen Niveaus des Grundzustands des Nuklids Cäsium-33 entspricht.

Ampere: Das Ampere ist die Stärke eines konstanten Stroms, der, wenn er in zwei geradlinigen, parallelen Leitern unendlicher Länge und vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitts fließt, die im Abstand von einem Meter voneinander im Vakuum angeordnet sind, eine Kraft von 2 · 10-7 Newton pro Meter Länge verursacht.

Kelvin: Das Kelvin, die Einheit der Thermodynamischen Temperatur, ist der Bruchteil 1 / 273,16 der thermodynamischen Temperatur des Tripelpunktes des Wassers.

Candela: Die Candela ist die Lichtstärke in einer gegebenen Richtung von einer Quelle, die Strahlung der Frequenz 540 1012 Hz emittiert und dessen Energieintensität in der gleichen Richtung 1 / 683 Watt pro Steradiant beträgt.

Mol: Das Mol ist die Stoffmenge eines Systems, das genauso viele Teilchen enthält, wie die Anzahl der Atome in 0,012 Kilogramm Kohlenstoff-12. Wenn die Einheit Mol verwendet wird, müssen die Teilchen spezifiziert werden und können Atome, Moleküle, Ionen, Elektronen, andere Teilchen oder spezifizierte Gruppen solcher Teilchen sein.

2.3 Abgeleitete Einheiten:

Von diesen o. g. Basiseinheiten werden alle anderen Einheiten abgeleitet. Man bezeichnet sie als abgeleitete Einheiten. Sie haben zum Teil eigene Namen und eigene Einheitenzeichen, für andere abgeleitete Einheiten trifft dies nicht zu. Abgeleitete SI-Einheiten, die eigene Namen haben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Tab. 1.3.1: Von SI-Größen abgeleitete physikalische Grundgrößen

Werden die Einheiten der abgeleiteten Größen so auf die Basiseinheiten abgestimmt, daß in den Definitionsgleichungen nur der Zahlenfaktor 1 vorkommt, so sind sie zu den Basiseinheiten kohärent. Kohärente Einheiten bilden ein Einheitensystem.

2.4 Darstellung der abgeleiteten Einheiten durch Größengleichungen und Einheitengleichungen

An folgenden Beispielen sei gezeigt, wie aus den SI-Basiseinheiten andere Einheiten abgeleitet werden. Die SI-Einheit der Geschwindigkeit leitet sich aus der Größengleichung

v = l / t (1.4.1)

her. Diese gibt an, daß die Geschwindigkeit v eines Körpers gleich dem zurückgelegten Weg l dividiert durch die benötigte Zeit t ist. Die zugehörige Einheitengleichung lautet:

[ v ] = [ l ] / [ t ] (1.4.2)

Darin bedeutet [ v ] die Einheit der Geschwindigkeit, [ l ] die Einheit des Weges und [ t ] die Einheit der Zeit. Mit den SI-Basiseinheiten [ l ] = 1m und [ t ] = 1s wird die abgeleitete SI-Einheit der Geschwindigkeit:

[ v ] = 1 m / s (1.4.3)

Die SI-Einheit der Kraft finden wir aus der Grundgleichung Kraft F gleich Masse m mal Beschleunigung a, also aus

F = m · a (1.4.4)

Die zugehörige Einheitengleichung lautet:

[ F ] = [ m ] · [ a ] (1.4.5)

Mit [ m ] = 1 kg und [ a ] = 1 m s-2 wird [ F ] = 1 kg m s-2.

Hierfür wird die Bezeichnung Newton verwendet (Einheitenzeichen N), so daß die Si-Einheit der Kraft 1 N = 1 kg m s-2 ist. Ein Newton ist also die Kraft, die einem Körper der Masse 1 kg die Beschleunigung 1 m/ s² erteilt. Die Einheit der Arbeit leitet sich aus der Größengleichung

W = F · l (1.4.6)

her. Diese gibt an, daß sich die geleistete Arbeit W aus dem Produkt von Kraft F und dem zurückgelegten Weg l ergibt. Die zugehörige Einheitengleichung lautet:

[ W ] = [ F ] · [ l ] (1.4.7)

Wird als Einheit der Kraft [ F ] =1 N und als Einheit für den zurückgelegten Weg [ l ] = 1m eingesetzt resultiert [ W ] = 1 Nm. Hierfür wird auch die Bezeichnung Joule verwendet (Einheitenzeichen J), so daß die Si-Einheit für die Arbeit 1 J = 1 Nm ist.

2.5 Pegel, Verstärkungs- und Dämpfungsmaße:

Als Pegel wird das logarithmierte Verhältnis zweier Leistungs- oder Feldgrößen bezeichnet, wenn die „Nennergröße“ ein festgelegter Wert einer Bezugsgröße gleicher Dimension wie die „Zählergröße“ ist. Ähnlich verhält es sich beispielsweise beim Spannungsverstärkungsmaß, bei dem der Betrag der Ausgangsspannung (U 2) zum Betrag der Eingangsspannung (U 1) ins Verhältnis gesetzt wird und anschließend mit 20 multipliziert wird. GU = 20 lg ½ U 2 / U 1½ dB

Die Argumente des Logarithmus sind Größenverhältnisse der Dimension 1 (d. h. Zahlenwerte). Die Einheit dB besitzt ebenfalls die Dimension 1 und wird deshalb auch als "Pseudoeinheit" bezeichnet. Sie ist keine SI-Einheit.

2.6 Besonderheiten und Vorsilben der SI-Einheiten:

SI-Einheiten sind dadurch gekennzeichnet, daß in den sie verbindenden Einheitengleichungen kein von eins verschiedener Zahlenfaktor auftritt. So ist z. B. die Krafteinheit Newton (N) eine SI-Einheit, da sie durch 1 N = 1 kg m s-2 dargestellt werden kann. Dagegen ist die veraltete Krafteinheit Kilopond (kp) keine SI-Einheit, da 1 kp = 9,81 kg m s-2.

Die Einheiten von Ergebnissen sollen mit dem Vorsatz versehen werden, der den Zahlenwert möglichst in den Bereich 0,1 bis 1000 bringt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Tab. 1.6.1: Vorsatz/Vorsilben und Vorsatzzeichen und deren Bedeutung

Zur richtigen Handhabung der Vorsätze müssen einige Einschränkungen und Zusammenhänge bekannt sein. Die nachstehenden Regeln sollen diese Details in Verbindung mit Beispielen greifbarer und einprägsamer machen.

a) Eine Einheit darf nicht mehr als einen Vorsatz zur Bezeichnung eines dezimalen Vielfachen oder Teiles dieser Einheit enthalten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

b) Ein Vorsatz ist keine selbständige Abkürzung für eine Zehnerpotenz, Vorsatz und Einheit bilden ein Ganzes. Nur in Verbindung mit der betreffenden Einheit hat ein Vorsatz die Bedeutung und Wirkung der ausgewählten Zehnerpotenz.

c) Mehrere (auch alle) Vorsätze können zu einem Vorsatz zusammengefaßt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

d) Die Exponenten der Einheiten gelten in gleicher Weise auch für die Vorsätze.

Beispiel: 1 cm² = (10-2 m) ² = 10-4 m²

e) Schreibweisen für Einheitenprodukte und Einheitenquotienten (Bruchstriche, Exponenten).

ms bedeutet Millisekunde

m s Satztechnisch mit Zwischenraum bedeutet m · s (Meter mal Sekunde)

2.7 SI-fremde Einheiten:

SI-fremde Einheiten sind inkohärent abgeleitet und nicht mehr zulässig. Einige sind jedoch wegen ihrer Bedeutung in Wissenschaft, Technik und Wirtschaft zumindest in Spezialgebieten auf Dauer oder zeitlich begrenzt zugelassen.

Länge:

1 Seemeile = 1 sm = 1852 m

1 Angström = 1 A = 10-10 m

1 Lichtjahr = 9,4605 · 1015 m

1 Dioptrie = 1 dpt = 1m-1

Ebener Winkel:

Grad: 1° = (p / 180) rad

Minute: 1' = (1/60) °

Sekunde: 1" = (1 / 60) '

Zeit:

1 Minute = 1 min = 60 s

1 Stunde = 1 h = 60 min = 3600 s

1 Tag = 1 d = 24 h = 1440 min = 86400 s

1 Jahr = 1 a = 365 d oder 366 d (im Schaltjahr)

Masse:

1 Pfund = 500 g = 0,5 kg

1 Zentner = 100 Pfund = 50 kg

1 Doppelzentner = 200 Pfund = 100 kg

1 Karat = 1 Kt = 0,2 g

Temperatur:

Umwandlung Grad Celsius (°C) in Kelvin: T = Q + 273

Mit [ T ] = K; [ Q ] = °C

Geschwindigkeit:

1 Knoten = 1kn = 1 sm / h = 0,51444 m / s

Druck:

1 Bar = 105 Pa

1 Atmosphäre = 1 atm = 760 mmHg = 101325 Pa

Arbeit, Energie:

1 Kalorie = 1 cal = 4,19 J

1 erg = 10-7 J

1 Elektronenvolt = 1 eV = 1,60 · 10-19 J

Leistung:

1 Pferdestärke = 1 PS = 0,736 kW

Angelsächsische Einheiten:

Die USA und Großbritannien haben heute noch in vielen Bereichen ihre alten nationalen Maße beibehalten. Diese Einheiten wurden von den Maßen des Menschlichen Körpers abgeleitet (z. B. Inch vom Daumen, Fuß...). Mit englischer Technik (etwa im Lokomotivbau) kamen im 19. Jahrhundert dort verbreitete Einheiten nach Kontinentaleuropa: Ein 28er- Fahrrad, ein 2-Zoll Rohr, ... Hier eine kleine Auswahl an angelsächsischen Einheiten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Tab. 1.7.1: Benennung und Umrechnung der Längeneinheiten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Tab. 1.7.2: Benennung und Umrechnung der Masseeinheiten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Tab. 1.7.3: Benennung und Umrechnung der Temperatureinheiten

2.8 Gleichungen:

Die Zusammenhänge zwischen den einzelnen physikalischen Größen werden durch Gleichungen beschrieben. Neben der bereits zu Beginn des Kapitels dargestellten Einheitengleichung wird als Darstellungsform überwiegend die Größengleichung verwendet. Sie ist dadurch gekennzeichnet, daß jedes einzelne Symbol (=Formelzeichen) eine physikalische Größe darstellt. Die Einheit des Ergebnisses folgt zwangsläufig aus den Einheiten, die eingesetzt werden. Hierzu ein Beispiel: Legt ein Körper den Weg l = 1800 m in der Zeit t = 180 s zurück, so beträgt die mittlere Geschwindigkeit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.8.1)

Wird für die gleiche Aufgabe eine andere Einheit verwendet, indem für l statt 1800 m der Wert 1,8 km und für t statt 180 s den Wert 0,05 h eingesetzt wird, so resultiert das Ergebnis zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.8.2)

Obwohl das Ergebnis auf den ersten Blick ganz anders aussieht (anderer Zahlenwert und andere Einheit) unterscheidet es sich vom obigen Ergebnis lediglich dadurch, daß die berechnete Geschwindigkeit in einer anderen Einheit angegeben ist. Denn es gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.8.3)

Neben der Größengleichung gibt es als weitere Darstellungsform für eine Gleichung die Zahlenwertgleichung. Bei ihr stellt jedes einzelne Symbol einen Zahlenwert dar. Dies hat zur Folge, daß jeweils anzugeben ist welche Einheiten zu verwenden sind. Die Zahlenwertgleichung zur Berechnung der Geschwindigkeit eines Körpers kann zum Beispiel

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.8.4)

lauten. Sie gilt jedoch nur unter der Voraussetzung, daß der zurückgelegte Weg l in m und die benötigte Zeit t in s eingesetzt wird, wobei man dann die mittlere Geschwindigkeit des Körpers in km / h erhält.

Zahlenwertgleichungen werden nur noch selten angewendet. Daher wird bei den folgenden Betrachtungen auch auf ihre Formulierung ganz verzichtet. Die nachfolgenden Gleichungen stellen also ausschließlich Größengleichungen dar, wobei die einzusetzenden Einheiten immer genannt werden.

Rechtsvorschriften, Richtlinien und Normen:

Das SI ist weltweit von der internationalen und nationalen Normung übernommen worden. In den EG-Mitgliedstaaten ist es die Grundlage für die Richtlinie über Einheiten im Meßwesen (EWG-Richtlinie80 /181 und 89 / 617).

In der Bundesrepublik Deutschland ist das Gesetz über Einheiten im Meßwesen die Rechtsgrundlage für die Angabe physikalischer Größen in gesetzlichen Einheiten. Es verpflichtet zu ihrer Verwendung im geschäftlichen und amtlichen Verkehr. Die Ausführungsverordnung zum Gesetz über Einheiten im Meßwesen (Einheitenverordnung) verweist auf die DIN 1301. In der Anlage zur Einheitenverordnung sind die gesetzlichen Einheiten in alphabetischer Reihenfolge aufgeführt. Das Einheitengesetz enthält eine Aufzählung von Aufgaben der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt (PTB) auf dem Gebiet der Einheiten. Zu diesen Aufgaben zählen

- die Darstellung der gesetzlichen Einheiten
- die Darstellung der Temperaturskala nach der internationalen Temperaturskala
- Prototype der Bundesrepublik Deutschland sowie die Einheitenverkörperung und Normale an die internationalen Prototypen anzuschließen oder anzuschließen zu lassen
- Prototype der Bundesrepublik Deutschland und Normale aufzubewahren
- Verfahren bekannt zu machen, nach denen nichtverkörperte Einheiten, einschließlich der Zeiteinheiten und -skalen sowie der Temperatureinheit und -skalen, dargestellt werden.

Auflistung der Rechtsvorschriften, Richtlinien und Normen:

Gesetz über Einheiten im Meßwesen

Ausführungsverordnung zum Gesetz über Einheiten im Meßwesen, Änderungsverordnung

Gesetz über das Meß- und Eichwesen

Richtlinie 80 / 181 / EWG

DIN 1301 Teil 1, 12.93; DIN 1301 Teil 1 Beiblatt 1 04.82; DIN 1301 Teil 2, 02.78

DIN 1301 Teil 3, 10.79; DIN 1304 Teil 1, 03.94; DIN 5493 Teil 1, 02.93

ISO 1000: 11.92; ISO 31-0 bis ISO 31-XIII

2.9 Gleichstromkreise: Grundbegriffe der elektrischen Strömung

Aufbau der Materie

Wird ein Stoff fortwährend mechanisch zerkleinert, so gelangt man zum Molekül. Eine weitere Zerkleinerung ist nur noch auf chemischem Wege möglich. Sie führt zum Atom.

Jedes Atom besteht aus einem Kern und aus Elektronen, die den Kern umkreisen. Der Kern wiederum besteht aus den positiv geladenen Protonen und den ungeladenen Neutronen. Die Elektronen sind negativ geladen. Ihre Zahl ist gleich der Anzahl der vorhandenen Protonen. Zwischen den Ladungen von Protonen und Elektronen wirken Kräfte (elektrostatische Anziehungskräfte), die den Zentrifugalkräften der Elektronen das Gleichgewicht halten. Je nachdem, wieviel Protonen, Neutronen und Elektronen ein Atom besitzt, unterscheidet man über 100 Atomarten. Aus ihnen setzen sich sämtliche Moleküle der verschiedenen Stoffe zusammen. Stoffe die nur aus einer Atomart bestehen werden als chemische Elemente bezeichnet.

Die Elektronen umkreisen den Atomkern nur auf bestimmten Bahnen. Dabei werden Elektronen mit annähernd gleichem Abstand vom Kern zu einer Gruppe zusammengefaßt. Sie bilden jeweils eine Elektronenschale. Die Anzahl der zu einer Schale gehörenden Elektronen ist begrenzt. So enthält die Schale mit dem kleinsten Bahndurchmesser (K-Schale) maximal zwei, die Schale mit dem nächst größeren Bahndurchmesser (L-Schale) maximal acht Elektronen. Die nächste Schale wird M-Schale genannt und enthält maximal 18 Elektronen. Wird die betreffende Anzahl an Elektronen bei der entsprechenden Schale erreicht, so bezeichnet man diese als "vollständig besetzt".

Die Elektronen der in der Regel nicht vollständig besetzten äußeren Schale eines Atoms nennt man Valenzelektronen. Die Elektronen der darunter liegenden Schalen heißen Rumpfelektronen. Sie bilden zusammen mit dem Kern den Atomtrumpf.

Freie Elektronen, Defektelektronen, Ionen:

Ein Stoff ist nur dann elektrisch leitfähig, wenn er bewegliche Ladungsträger enthält und somit ein Ladungstransport möglich ist. Bei den beweglichen Ladungsträgern kann es sich um freie Elektronen, um Defektelektronen (auch Löcher genannt) oder um Ionen handeln.

Freie Elektronen treten insbesondere in Metallen auf. In dieser Stoffgruppe können sich die Elektronen der äußeren Schale (Valenzelektronen) sehr leicht vom Atomrumpf lösen. Dies hat zur Folge, daß die Valenzelekronen keinem bestimmten Atom mehr zugeordnet werden können, sondern sich frei im Material bewegen. Sie werden daher auch als freie Elektronen bezeichnet. Da sie sich ähnlich wie die Moleküle eines Gases verhalten spricht man auch von einem Elektronengas. Der beste metallische Leiter ist das Silber (Ag), dann folgen Kupfer (Cu), Gold (Au) und Aluminium (Al).

Defektelektronen (Löcher) können neben freien Elektronen die Ursache für das Vorhandensein einer elektrischen Leitfähigkeit sein. Dies gilt insbesondere für Halbleiter. Silizium oder Germanium sind Stoffe, die zwischen den Metallen und Nichtmetallen eingeordnet werden. Sie besitzen vier Valenzelektronen, die allerdings für die Bindung der Atome im Kristallgitter benötigt werden. Daher haben reine Halbleiter nur eine sehr geringe Leitfähigkeit. Ersetzt man jedoch z. B. einige Atome durch dreiwertige (d. h. drei Valenzelektronen) Fremdatome, so fehlt jedem Fremdatom zur Herstellung einer vollständigen Bindung ein Elektron. Das Fremdatom kann deshalb leicht ein Valenzelektron eines benachbarten Halbleiteratoms aufnehmen. Durch ein solches Überwechseln eines Elektrons wird das Fremdatom negativ und das Nachbaratom positiv aufgeladen. Die Stelle an einem positiven Atom an der ein Elektron fehlt bezeichnet man als Defektelektron oder als positives Loch. Ein solches Loch kann nun wiederum leicht durch ein anderes Valenzelektron aufgefüllt werden, wodurch allerdings an anderer Stelle ein Loch entsteht. Die eigentliche Bewegung eines positiven Loches ist also ein ständiges Springen der Valenzelektronen von Nachbaratomen in freie Plätze, so daß die Löcher scheinbar weiter wandern.

Ionen sind elektrisch geladene Atome. Löst sich z. B. ein Elektron von einem Atom, so bleibt ein positiv geladener Atomrest übrig, der als positives Ion bezeichnet wird. Lagert sich andererseits ein Elektron an ein neutrales Atom an, so entsteht ein negativ geladenes Atom, also ein negatives Ion. Befinden sich nun beispielsweise derartige Ionen in einer Flüssigkeit, so ist eine Bewegung dieser Ladungsträger und damit ein Ladungstransport möglich. Bei einem solchen Ladungstransport geht, bedingt durch die relativ große Masse der Ionen, oft ein beträchtlicher Materietransport einher. Solch ein Materietransport wird in galvanischen Bädern technisch genutzt. Im Gegensatz zu Metallen oder Halbleitern, die durch das Fließen des Elektronen- bzw. Löcherstromes nicht verändert werden, können sich Flüssigkeiten (sogenannte Elektrolyte) infolge der Ionenströmung chemisch verändern.

2.10 Der elektrische Strom

In elektrisch leitenden Stoffen führen die Ladungsträger ständig unregelmäßige Bewegungen aus. Überlagert sich dieser Bewegung eine Bewegung in eine bestimmte Richtung, so bezeichnet man dies als elektrischen Strom. Der elektrische Strom ist also ein gerichteter Ladungstransport. Das fließen eines solchen Stromes ist nur in einem geschlossenen Kreislauf möglich, der als elektrischer Stromkreis bezeichnet wird. Des weiteren braucht es eine Quelle, die das Fließen des Stromes hervorruft. Diese Quelle wird als Spannungsquelle bezeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.10.1: Geschlossener elektrischer Stromkreis

Hierbei ist im oberen Bild links die Spannungsquelle zu sehen, und rechts eine Glühlampe als Verbraucher. Dazwischen sind beide Teile durch elektrische Leiter miteinander verbunden. Den im Stromkreis fließenden, zeitlich konstanten Strom nennt man Gleichstrom. Die Stärke der auftretenden elektrischen Strömung bezeichnet man als Stromstärke, oder kurz als Strom. Man versteht darunter diejenige elektrische Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit den Leiterquerschnitt durchströmt. Einheit der elektrischen Stromstärke (Formelzeichen bzw. Symbol: I) ist die Si-Basiseinheit Ampere (Einheit: A).

[ I ] = Ampere = A (1.10.1)

Bei zeitlich konstanter Stromstärke I beträgt die während der Zeit t durch den Leiter strömende Ladungsmenge:

Q = I · t (1.10.2)

Daraus folgt die SI-Einheit der Ladungsmenge:

[ Q ] = Ampere · Sekunde = As (1.10.3)

Hierfür wird auch die Bezeichnung Coulomb verwendet (Einheitenzeichen: C)

1 C = 1 As (1.10.4)

Als Elementarladung wird die kleinste mögliche Ladung bezeichnet. Es ist die negative Ladung eines Elektrons und hat den Betrag:

e = 1.602 · 10-19 C (1.10.5)

Das Proton hat die gleich große positive Ladung. Jede Ladung, die größer als die Elementarladung ist, besteht aus ganzzahligen vielfachen von e.

Enthält ein Leiter bewegliche positive und negative Ladungsträger und fließt darin ein Strom, so bewegen sich positive und negative Ladungsträger in entgegengesetzte Richtungen. Daher ist eine Vereinbarung darüber notwendig, welche Richtung als positive Richtung anzusehen ist. Als positive Stromrichtung ist die Bewegungsrichtung der positiven Ladungsträger definiert worden. Bei dieser Festlegung bewegen sich z. B. in Metallen die negativen Elektronen entgegengesetzt der als positiv definierten Stromrichtung. Dies ist in Bild 1 gezeigt, in dem sowohl die definierte positive Stromrichtung als auch die Bewegungsrichtung der Elektronen dargestellt sind.

2.11 Stromdichte:

Verteilt sich der elektrische Strom I gleichmäßig auf den zur Verfügung stehenden Leiterquerschnitt A, so stellt

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.11.1)

den Strom pro Flächeneinheit dar. Diese Größe wird als Stromdichte bezeichnet und hat die SI-Einheit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.12.1)

Zweckmäßigerweise wird jedoch häufig die Einheit A / mm² verwendet.

Übungsaufgabe:

Eine Glühlampe ist über eine Zuleitung von 0,75 mm² angeschlossen. Der Strom durch die Zuleitung beträgt 0,2608 A. Der Glühfaden hat einen Durchmesser von 0,05 mm. Berechnen Sie die Stromdichte in der Zuleitung und im Glühfaden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Tab. 1.11.1: maximale Stromdichten nach DIN VDE 0298 / DIN VDE 0100

2.12 Die Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen:

Bei einem stromdurchflossenen Leiter kann die Strömungsgeschwindigkeit der Ladungsträger ermittelt werden. Dies soll an einem beliebigen, metallischen Leiter untersucht werden. Dazu benötigen wir die Elektronendichte (n). Sie gibt an, wie groß die Anzahl der freien Elektronen je Volumeneinheit ist. Für Kupfer gilt beispielsweise: n = 8,47 · 1019 mm-3. Dies bedeutet, daß in einem mm³ Kupfer 8,47 · 1019 freie Elektronen enthalten sind. Zur Herleitung einer brauchbaren Formel dient Abb. 1.12.1. Im dargestellten Leiter mit der Länge l und dem Querschnitt A ist bei der Elementarladung e sowie der Elektronendichte n die Ladungsmenge

Q = e n A l (1.12.1)

enthalten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.12.1: Herleitung der Strömungsgeschwindigkeit im Leiter

Die Elektronen benötigen eine bestimmte Zeit t, um den Leiter vollständig zu durchwandern und somit den Weg l zurückzulegen. Die gleiche Zeit wird benötigt um die Ladung Q vollständig durch den Strömungsquerschnitt A zu bewegen. Damit gilt für die Stromstärke:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.12.2)

Hierin ist v = l / t die mittlere Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen. Sie wird auch als Driftgeschwindigkeit bezeichnet. Wenn obige Gleichung nach v umgestellt wird so erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.12.3)

[ v ] = m/s; [ I ] = A; [ e ] = As; [ n ] = mm-3; [ A ] = mm²

Die Strömungsgeschwindigkeit ist in der Regel relativ gering und liegt oft im Bereich

v = 0,1...10 mm / s. Dagegen breitet sich die Ursache der Elektronenbewegung mit Lichtgeschwindigkeit aus. Anschaulich kann man sich das wie folgt vorstellen: Der elektrische Leiter wird als dünne Röhre gedacht, die mit passenden, kleinen Kugeln (Elektronen) komplett aufgefüllt ist. Schiebt man nun von einem Ende des Rohres eine weitere Kugel in die Röhre so fällt gleichzeitig am anderen Ende der Röhre eine Kugel heraus. Der Schiebeimpuls der einen Kugel, die hineingedrückt wurde, pflanzt sich mit Lichtgeschwindigkeit fort, wobei aber die einzelnen Kugeln in der Röhre nur eine kleine, langsame Bewegung ausgeführt haben. Das bedeutet, daß auch in einem langen Leiter die Elektronenbewegung praktisch überall gleichzeitig im Augenblick des Schließens des Stromkreises beginnt.

Übungsaufgabe:

Ein Kupferleiter von A = 1,5 mm² Querschnitt führt den Strom I = 15 A. Die Dichte der freien Elektronen beträgt n = 8,47 · 1019 mm-3, die Elementarladung e = 1.602 · 10-19 C.

Berechnen Sie die mittlere Strömungsgeschwindigkeit der Elektronen.

2.13 Die elektrische Spannung:

Wie bereits erwähnt, ist zum Fließen eines Stromes eine Spannungsquelle erforderlich. Sie ist diejenige Stelle innerhalb des Stromkreises, in der sich die treibende Kraft befindet, die die Bewegung der Ladungsträger verursacht. Wichtige Ausführungen von Spannungsquellen sind die elektrochemische Spannungsquelle (z.B. Taschenlampenbatterie) und die elektro-mechanische Spannungsquelle (z. B. Generator). Einige gebräuchliche Schaltzeichen von Spannungsquellen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.13.1: Darstellungen für Spannungsquellen

Die in Spannungsquellen wirksame elektrische Größe, die das Fließen eines Stromes verursacht, bezeichnet man als elektrische Spannung. Sie ist der elektrische Ausdruck für die in Spannungsquellen erzeugten, auf Ladungsträger wirkenden Kräfte, die bei einem geschlossenen Stromkreis zu einem Strom führen. Es stellt sich jetzt die Frage nach der genauen Definition der elektrischen Spannung. Dazu betrachten wir eine Spannungsquelle deren Pole mit einem Leiter kurzgeschlossen sind. Das Fließen des Stromes erfordert einen Energieaufwand, der sich in der Erwärmung des Leiters äußert. Es zeigt sich nun, daß die im Leiter entstehende Wärmeenergie W proportional der Ladung Q ist, die durch den Querschnitt des Leiters fließt. Also gilt:

W ~ Q (1.13.1)

Oder genauer:

W = U · Q (1.13.2)

Die hierin enthaltene Proportionalitätskonstante U wird als die von der Spannungsquelle gelieferte und am Leiter anliegende elektrische Spannung bezeichnet. Ihre Einheit finden wir aus der Einheitengleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.13.3)

Mit [ W ] = 1 Nm = 1 kg m² s-2 und [ Q ] = 1 As wird die SI-Einheit der Spannung

[ U ] = 1 kg m² s-3 A-1. Hierfür wird die Bezeichnung Volt (Einheitenzeichen V) verwendet.

[ U ] = 1 V.

Üblicherweise wird die Spannung U wie in Bild 4 dargestellt durch einen Richtungspfeil angegeben, der vom Pluspol zum Minuspol zeigt. Der Strom I fließt dann außerhalb der Spannungsquelle vom Pluspol zum Minuspol.

2.14 Elektrisches Potential:

Um allgemeine Aussagen über die mögliche (potentielle) Arbeitsfähigkeit eines elektrischen Feldes zu bekommen, wird die Arbeitsfähigkeit auf die Ladung bezogen. Diese Arbeitsfähigkeit je Ladungseinheit heißt elektrisches Potential j. Das Bezugspotential j 0 kann willkürlich festgelegt werden. Meist wird der negative Pol als Nullpotential definiert.

2.15 Zusammenhang von Potential und elektrischer Spannung:

Bei der Aufnahme bzw. Abgabe von Energie wird eine elektrische Ladung von einem elektrischen Potential j 1 zu einem anderen Potential j 2 gebracht. Die Potentialdifferenz j 1- j 2 heißt elektrische Spannung U. Die erzeugte Spannung ist somit die aufgewandte Arbeit bezogen auf die verschobene elektrische Ladung: U = W / Q

Sowohl Spannung als auch Potential werden in Volt gemessen.

2.16 Der elektrische Widerstand:

Die Bezeichnung „elektrischer Widerstand“ kann in zweierlei Hinsicht gebraucht werden; einmal im Zusammenhang mit einem elektronischen Bauteil und zum anderen im nachfolgend näher betrachteten physikalischen Zusammenhang.

Fließt durch einen elektrischen Leiter ein elektrischer Strom, so schieben sich die frei beweglichen Ladungsträger (Elektronen) durch das Atomgitter des Leiters. Dabei stoßen sie gegen die Atomrümpfe und verlieren dabei an Bewegungsenergie. Äußerlich erscheint der Energieverlust als Spannungsabfall und als Erwärmung des Leiters. Der Widerstand ist um so größer,

1.) je länger der Leiter ist. Die Häufigkeit der Kollision der Elektronen mit den Atomen nimmt demnach zu,
2.) je kleiner der Querschnitt ist, durch den sich die Elektronen hindurchzwängen müssen,
3.) je größer die „elektrische Dichte“ des Leitermaterials ist, die durch den spezifischen Widerstand r (rho) ausgedrückt wird, und
4.) je höher die Temperatur des Leiters ist.

Krümmungen des Leiters sind wegen der geringen Masse der Elektronen und der niedrigen Geschwindigkeit, mit der sich die Elektronen durch den Draht bewegen, bedeutungslos. Unter dem spezifischen Widerstand eines Stoffes versteht man den in Ohm gemessenen Widerstand eines Leiters von der Länge l = 1m bei A = 1mm² Querschnitt. Der Widerstand R eines beliebigen Leiters bei 20°C ist demnach:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.16.1)

Oftmals wird anstelle von r, der Kehrwert davon verwendet. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Formel lautet dann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.16.2)

Hierbei ist [ R ] = W; Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten; Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten; [ l ] = m; [ A ] =mm²

Übungsaufgabe:

Berechnen Sie die jeweiligen Widerstände eines Drahtes aus Kupfer, Aluminium, Konstantan (CuNi44) und Stahl. Die Drahtlänge beträgt jeweils 10m und der Durchmesser 0,5 mm.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Übungsaufgabe:

Die Wicklung einer Spule besteht aus Kupferdraht mit einem Durchmesser von 0,2 mm. Der Widerstand der Spule beträgt 380 W. Berechnen Sie die Länge des Kupferdrahtes.

Übungsaufgabe:

Auf einem zylindrischen Spulenkörper, mit einem Durchmesser von 20 mm, steht eine Wickelbreite von 50 mm zur Verfügung. Der Spulenkörper soll mit einem Konstantandraht von 0,2 mm Durchmesser einlagig bewickelt werden. Berechnen Sie die notwendige Drahtlänge und den sich dadurch ergebenden Widerstand.

2.17 Das ohmsche Gesetz:

Für einen grundlegenden Stromkreis benötigen wir eine Spannungsquelle, elektrische Leitungen und einen Widerstand als Verbraucher. Die Bezeichnung Verbraucher hat sich eingebürgert, ist aber nicht ganz korrekt, da Energie nicht verbraucht wird sondern nur von einer Energieform in eine andere umgewandelt wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.17.1: Stromkreis zur Herleitung des ohmschen Gesetz

Ist der Stromkreis geschlossen so verursacht die Spannung einen Stromfluß. Die Höhe des Stromes hängt von der Spannung und dem Widerstand des Verbrauchers ab.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.17.2: Widerstandsgerade

Bei einem linearen Widerstand zeigt die Kennlinie eine ansteigende Gerade. Ein solcher Widerstand wird auch als ohmscher Widerstand bezeichnet und ist von Strom und Spannung unabhängig. Die Steigung [ m ] = (ygroß-yklein) / (xgroß-xklein) der Geraden bezeichnet man als den Kehrwert des Widerstandes (Leitwert), je steiler die Kennlinie verläuft desto kleiner ist der Widerstand und um so größer ist der Leitwert. Mit der Kenntnis des ohmschen Widerstandes können wir bei einem bekannten Strom direkt auf die dazugehörige Spannung schließen, und umgekehrt bei einer bekannten Spannung auf den mit dieser verknüpften Strom. Es besteht also eine Proportionalität zwischen Spannung und Strom mit dem Widerstand R als Proportionalitätsfaktor. Als Formel ausgedrückt ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.17.1)

In einigen Fällen wird anstelle von R, der Kehrwert davon verwendet. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Formel lautet dann:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (1.17.2)

Hierbei ist: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten; Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten; Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten; Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Übungsaufgabe:

Über einem Widerstand wurden eine Spannung von 5 V und ein Strom durch den Widerstand von 0,1 A gemessen. Wie groß ist der Widerstand? Welcher Strom fließt durch diesen Widerstand wenn eine Spannung von 50 V an diesen angelegt wird.

Übungsaufgabe:

Ein Drehspulmeßwerk hat einen Innenwiderstand von 0,5 Ohm. Welchen Spannungsabfall verursacht es bei einem Stromdurchgang von 1 A?

Übungsaufgabe:

Die Heizspirale eines Heißluftgebläses für 230 V hat einen Innenwiderstand von 50 W. Berechnen Sie den Nennstrom.

2.18 Nichtlineare Widerstände

Heißleiter:

Wie der Name schon sagt, leiten diese Widerstände im heißen Zustand den elektrischen Strom besser. Der Widerstandswert eines Heißleiters nimmt bei Temperaturanstieg ab, also ist der Temperaturbeiwert dieser Widerstände negativ. Wegen des negativen Temperaturkoeffizienten werden diese Widerstände auch NTC-Widerstände (negative temperature coefficient) genannt. Der erwähnte Temperaturanstieg dieses Widerstandes kann entweder durch Eigenerwärmung d. h. einen elektrischen Strom oder durch das den Widerstand umgebende Medium erfolgen. Heißleiter bestehen aus Oxiden von Uran, Magnesium, Nickel, Kupfer, Titan und Gemischen davon.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.18.1: Schaltzeichen Heißleiter

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.18.2: Kennlinie Heißleiter

Kaltleiter:

Die Analogie der Thermistoren (Heißleiter und Kaltleiter) ist ähnlich obwohl sie ganz unterschiedliche Kennlinien besitzen und aus unterschiedlichen Materialien bestehen. Wie der Name schon sagt, leiten die Kaltleiter im kalten Zustand den elektrischen Strom besser. Der Widerstandswert eines Kaltleiters nimmt bei Temperaturanstieg zu, also ist der Temperaturbeiwert dieser Widerstände positiv. Wegen des positiven Temperaturkoeffizienten werden diese Widerstände auch PTC-Widerstände (positive temperature coefficient) genannt. Der erwähnte Temperaturanstieg dieses Widerstandes kann entweder durch Eigenerwärmung d. h. einen elektrischen Strom oder durch das den Widerstand umgebende Medium erfolgen. Kaltleiter bestehen aus dotiertem Bariumtitanat.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.18.3: Schaltzeichen Kaltleiter

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.18.4: Kennlinie Kaltleiter

Varistoren:

Mann nennt diese Widerstände auch spannungsabhängige Widerstände oder VDR-Widerstände (Voltage-Dependent-Resistor). Sie bestehen aus gesintertem Silizimkarbid (SiC) oder Zinkoxid. Mit zunehmender Spannung über dem Bauteil verkleinert sich der Widerstand des Varistors. Varistoren werden zur Spannungsbegrenzung an überspannungsempfindlichen Bauteilen eingesetzt. Beschränkend wirkt sich dabei die relativ große Eigenkapazität des Varistors aus, so daß er nur bis ca. 10 kHz eingesetzt werden sollte.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.18.5: Schaltzeichen Varistor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.18.5: Kennlinien Varistor

Übungsaufgabe:

Das Datenblatt eines VDR gibt folgende Werte an: 14V/8mA; 18V/80mA; 20V/0,9mA; 22,5V/4mA; 24V/5,7mA; 27V/12mA. Zeichnen Sie die Strom-Spannungs-Kennlinie (5V = 1cm; 2mA = 1cm) und ermitteln Sie die Widerstandswerte für die betreffenden Wertepaare.

2.19 Widerstand und Temperatur:

Wie bereits erwähnt schwingen die Atomrümpfe bei höherer Temperatur stärker um ihre Ruheposition. Dadurch kommt es häufiger zu Kollisionen mit gerichtet bewegten Elektronen. Als Folge davon steigt der elektrische Widerstand. Die Widerstandszunahme kann wie folgt beschrieben werden:

R u2 = R 20 + D R (1.19.1)

Hierbei ist: [ R 20] = W = Widerstand bei 20°C

[ R u2] = W = Widerstand bei erhöhter (bzw. erniedrigter) Temperatur)

[D R ] = W = Widerstandszunahme bzw. Widerstandsabnahme

Die Widerstandsänderung DR ist von der Temperaturänderung und dem Werkstoff abhängig. Für den jeweiligen Werkstoff wurde der Temperaturbeiwert a eingeführt. Der Temperaturbeiwert gibt die Widerstandszu- oder abnahme eines Werkstoffes von 1 Ohm Widerstandswert und einer Temperaturänderung um D u = 1K an. Die Widerstandsänderung für D u = 1K beträgt somit:

D R = R 20 · a · D u (1.19.2)

Wenn wir jetzt für die Temperaturdifferenz statt D u allgemein schreiben Du = u2 – 20°C dann erhalten wir:

D R = R 20 · a · (u 2 – 20°C) (1.19.3)

Diese Formel in (1.19.1) eingesetzt ergibt:

R u2 = R 20 + R 20 · a · (u 2 – 20°C) (1.19.4)

R u2 = R 20 (1+ a (u 2 – 20°C)) (1.19.5)

Hierbei ist: [ R u2] = W = Widerstand bei erhöhter oder erniedrigter Temperatur z. B. 100°C

[ R 20] = W = Widerstand bei 20°C

[ u 2] = Erhöhte oder erniedrigte Temperatur

Diese Formel ist gültig für Temperaturen bis u 2 = 200°C

Übungsaufgabe:

Die Spule eines Relais hat bei 20°C einen Widerstand von 2,4kW, während des Betriebes wird sie auf 100°C erwärmt. Wie groß ist der Spulenwiderstand bei 100°C? Um wieviel % hat sich der Widerstand erhöht (R 20 =100%)? aCu = 0,004K-1

Übungsaufgabe:

Die Wicklung eines Motors hat bei 20°C den Widerstand von 0,52Ohm. Nach längerem Betrieb ist der Wicklungswiderstand infolge der Erwärmung auf 0,67Ohm gestiegen. Berechnen Sie die erhöhte Wicklungstemperatur. aCu = 0,004K-1

Quadratischer Temperaturbeiwert:

Wird ein Metalldraht auf mehr als 200°C erwärmt so steigt sein Widerstand nicht mehr linear mit der Temperatur. Der Widerstand steigt überproportional an, was mathematisch durch einen quadratischen Temperaturbeiwert ausgedrückt wird. Die Formel lautet dann:

R u2 = R 20 (1+ a (u 2 – 20°C)+ b (u 2 – 20°C)²) (1.19.6)

Hierbei ist: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.19.1 Widerstandsänderung bei Temperaturänderung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Tab. 1.19.1: Auswahl gängiger Temperaturbeiwerte

Die Temperaturbeiwerte sind stark von der Reinheit des Metalls wie z. B. Verunreinigungen und Legierungsbestandteile abhängig.

2.20 Der verzweigte Stromkreis

Der einfache Stromkreis nur aus Quelle und Verbraucher bestehend, ist in der Elektrotechnik eine Seltenheit. Meistens verzweigt sich der Strom und fließt gleichzeitig durch mehrere Verbraucher. Diese so genannte Parallelschaltung setzt sich aus Knotenpunkten, Strompfaden und Verbrauchern zusammen. Die Stromführenden Leitungen werden allgemein Zweige genannt, während der Verzweigungspunkt als Knotenpunkt oder Knoten bezeichnet wird. Ein Knoten ist also eine Stelle an der Ströme zu- bzw. abfließen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.20.1: Beispiele für verzweigte Stromkreise

2.21 Erstes Kirchhoffsches Gesetz:

In einem geschlossenen System, was ja ein geschlossener Stromkreis ist, kann an einem Knotenpunkt nur soviel Strom abfließen wie in diesen Knoten zufließt. Mathematisch ausgedrückt heißt das:

S I zu = S I ab (1.21.1)

Üblicherweise bekommen die zufließenden Ströme ein positives Vorzeichen und die abfließenden ein negatives Vorzeichen. Dann sieht das erste Kirchhoffsche Gesetz wie folgt aus:

S I = 0 (1.21.2)

Damit ist einfach nur gesagt, daß die Summe der Zufließenden Ströme = der Summe der abfließenden Ströme ist. Das erste Kirchhoffsche Gesetz wird wegen seines Bezuges zu den Knotenpunkten auch als Knotenregel bezeichnet.

Übungsaufgabe:

Stellen Sie die Knotengleichung für folgenden Knoten auf und berechnen Sie

allgemein I1.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.21.1: Schaltung Übungsaufgabe – Zwei Widerstände parallel

Übungsaufgabe:

Stellen Sie die Knotengleichungen für folgende Knoten auf und berechnen Sie allgemein I4.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.21.2: Schaltung Übungsaufgabe – Drei Widerstände parallel

2.22 Zweites Kirchhoffsches Gesetz:

In jedem geschlossenem Stromkreis ist die in die Ladungsträger gesteckte Energie (= Quellenspannung) in jedem Augenblick genau so groß wie die von den Ladungsträgern abgegebene Energie (= Spannungsabfall).

Mathematisch ausgedrückt ergibt sich:

S U = 0 (1.22.1)

Trägt man die Bezugsrichtungen sowohl der Quellenspannung(en) als auch die Spannungsabfälle der Verbraucher vom Pluspol zum Minuspol ein und durchläuft man diesen Stromkreis z. B. rechts herum so ist die Summe aller Spannungen gleich Null. (Kurz gesagt: Summe aller Teilspannungen = Null). Hierbei sei gleich darauf hingewiesen, daß der 2. Kirchhoffsche Satz ganz allgemein gilt, d. h. nicht nur für einen speziellen Stromkreis, sondern für jede beliebige Netzmasche. Er hat deshalb auch die Bezeichnung Maschenregel.

1.Beispiel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.22.1: Einfacher Maschenumlauf

Maschenumlauf: S U = 0 U 1 + U 2 – U q = 0

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.22.2: Maschenumlauf mit Netzknoten

Maschenumlauf: S U = 0 U 1 + U 2 + U 3 - U q2 - U q1 = 0

R 1• I 1 + R 2• I 2 + R 3• I 3 - U q2 - U q1 = 0

Übungsaufgabe:

Geg.: R 1 = 10Ω, U q1 = 12V, U q2 =12V

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.22.3: Maschenumlauf mit zwei Spannungsquellen

Stellen Sie die Maschengleichung auf und berechnen Sie den Strom durch den Widerstand.

Übungsaufgabe:

R 1 = 20 W, R 2 = 40 W, R 3 = 60 W, U q2 = 12 V

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 1.22.4: Maschenumlauf mit einer Spannungsquelle und drei Widerständen

Stellen Sie die Maschengleichung auf und Berechnen Sie den Strom in der Schaltung.

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