Estudio de trayectorias hipotéticas de aprendizaje en la geometría topológica (espacio/forma)

INDICE

INTRODUCCIÓN

PLANTEAMIENO DEL PROBLEMA

HIPÓTESIS

OBJETIVO GENERAL

OBJETIVOS ESPECÍFICOS

JUSTIFICACIÓN

CAPÍTULO I. TRAYECTORIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAJE
1.1 Concepto
1.2 Análisis de Contenido y Análisis Cognitivo
1.2.1 Análisis de Actuación
1.3 Trayectoria Didáctica
1.4 Mecanismo de Reflexión sobre la Relación Actividad-Efecto y Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje
1.5 Teoría de las Situaciones Didácticas de Brousseau
1.6 El Aprendizaje visto desde diversas lentes constructivistas

CAPÍTULO II. CURRÍCULUM Y GEOMETRÍA TOPOLÓGICA EN PREESCOLAR
2.1 Antecedentes Históricos de la Geometría
2.2 Definición de Geometría Topológica
2.3 Currículum de Preescolar
2.4 La Geometría Topológica en Preescolar
2.4.1 El desarrollo de sistemas de referencia
2.4.2 El micro espacio
2.4.3 El meso espacio
2.4.4 El macro espacio
2.5 Los Niveles de Van Hiele
2.6 Enseñanza de la Geometría en el Nivel Inicial
2.7 Materiales y Recursos
2.8 El Juego como Herramienta de Aprendizaje

CAPÍTULO III. ESTUDIO DE LAS TRAYECTORIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAJE EN EL JARDÍN DE NIÑOS ELISA HERNÁNDEZ RODRÍGUEZ
3.1 Metodología
3.2 Procesos e Instrumentos
3.3 Procedimiento

RESULTADOS

CONCLUSIONES

PROPUESTA DE CURSO-TALLER

“GEOMETRÍA TOPOLÓGICA PARA DOCENTES

DELNIVEL PREESCOLAR”

ANEXOS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

RESUMEN

INTRODUCCIÓN

La noción de trayectorias hipotéticas de aprendizaje, constituye el marco teórico que permite analizar los procesos de cómo debería aprender un alumno, en contraste con las trayectorias reales que el propio estudiante sigue para resolver tareas planteadas, de ésta manera, en el Capítulo I, se encuentra dicho sustento teórico. Las trayectorias hipotéticas que han sido estudiadas y llevadas a la práctica por investigadores con diferentes formas de exponerla, pero con la clara finalidad de abrir una brecha que permita, a los docentes una comprensión más clara sobre una forma diferente de enseñanza y a los alumnos la oportunidad de un aprendizaje significativo.

La información que los diferentes autores han aportado a la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje, sirve de guía para poder identificar los diferentes constructos, que tanto alumnos como profesores realizan dentro del complejo proceso de enseñanza-aprendizaje. Se mencionan brevemente las aportaciones de algunos investigadores que han trabajado dicha noción; ya sea como “trayectorias”, “rutas” o bien como “procesos progresivos”, todos referidos al aprendizaje.

Ríos (1991: pp. 28-96), del Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional, de acuerdo a los resultados obtenidos en su investigación en Jardínes de Niños, a través de observar el trabajo en el aula de una muestra de discentes de 4 a 6 años de edad, encontró que los conceptos iniciales de la geometría eran manejados por las docentes en forma restringida al reconocimiento de figuras geométricas, así como al aprendizaje memorístico de sus nombres; las experiencias observadas giraban en la representación de las figuras geométricas para que los niños las copiaran e iluminaran; las figuras eran cuadrados, círculos triángulos y rectángulos que fueron colocadas en determinadas posiciones, sin posibilidad de movimiento; los resultados dejaron en claro ciertas imprecisiones en las intervenciones docentes sobre la forma de denominar a las figuras geométricas que van más allá de la verbalización; generando confusiones en los estudiantes respecto a la delimitación entre lo que es una figura plana y un cuerpo tridimensional, así como imprecisiones al enseñar otras nociones geométricas topológicas, como por ejemplo, en las transformaciones. Por lo anterior, es necesario entender no sólo el concepto básico de la geometría sino también comprender cómo esta asignatura es introducida en el mapa curricular. En éste trabajo, se da una explicación documentada al respecto dentro del Capítulo II.

Las investigaciones sobre el constructo “ trayectorias hipot é ticas de aprendizaje ” sólo se encontraron a nivel superior para futuros docentes de matemáticas impartidas en secundaria. Por lo que, la investigación de Ríos con respecto a lo que sucede en preescolar dentro del campo de la Geometría Topológica, deja en claro que, así como no se trabaja éste aspecto de las matemáticas; también está el desconocimiento por parte de los docentes en cuanto a su enseñanza. No existen investigaciones o estudios específicos previos sobre las trayectorias hipotéticas de aprendizaje con alumnos del nivel preescolar; por lo que en el Capítulo III se desarrollan y se muestran todas aquellas evidencias que surgen a partir de éste trabajo de investigación, que podría aportar elementos importantes para el área de conocimientos que ayuden a las profesoras tanto en su intervención docente, como para el diseño de trayectorias de aprendizaje, sustentadas en el modelo del ciclo de la enseñanza de Simon (1995: pp. 114-145.), con la finalidad de detectar las dificultades que los alumnos enfrentan al realizar las tareas asignadas con respecto al contenido curricular de la Geometría Topológica. Por lo anteriormente expuesto, uno de los propósitos de éste trabajo es el estudio de las trayectorias hipotéticas de aprendizaje para el nivel preescolar; mismo que, dé soporte a la propuesta de las trayectorias hipotéticas de aprendizaje de las matemáticas (Geometría Topológica), apoyada en introducción de materiales manipulables innovadores. Así mismo, se pretende en un futuro proponer un curso-taller de orientación pedagógica sobre la enseñanza de la geometría.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Los resultados en México a nivel preescolar reportados por la última evaluación de EXCALE-00 realizada en el año 2007 y recientemente en el 2011, con respecto al campo formativo del Pensamiento Matemático, evaluó el logro educativo a una muestra representativa, extrayendo las inferencias con sus respectivos errores de estimación sobre los aprendizajes del alumnado; para una mejor interpretación utilizaron cuatro niveles de logro:

1. Avanzado
2. Medio
3. Básico
4. Por debajo del básico.

Definiendo así, los niveles de logro educativo en término de los indicadores y estándares de competencia que deben poder demostrar los alumnos en el campo formativo respecto al PEP-2011 (Programa de Educación Preescolar 2011, SEP). A nivel nacional, por ejemplo, en lo que respecta a la competencia: reconoce y nombra características de objetos, figuras, cuerpos geométricos, englobado en el aspecto forma, espacio y medida, arrojó los siguientes resultados: entre seis y siete de cada diez niños fueron capaces de identificar algunos objetos similares a un cuerpo geométrico de muestra; poco más de la mitad lograron identificar algunas figuras geométricas a partir de una solicitud, identificar todas las que tuvieran una cierta cantidad de lados del mismo tamaño, un porcentaje similar de niños pudo reconocer una de tres figuras geométricas semejantes a una muestra. Menos de la mitad de los niños logró distinguir una figura geométrica al combinarlas con otras.

Por otra parte, con respecto a la competencia: construye sistemas de referencia en relación con la ubicación espacial y el 85% de los niños fue capaz de identificar un objeto igual al de la muestra, pero visto desde otra perspectiva; esto es, que alrededor de ocho de cada diez niños pudieron identificar objetos que cumplieran con la combinación de disposiciones espaciales abierto o cerrado, cerca o lejos, con la combinación dentro o fuera; siete de cada diez pudieron realizar ésta misma tarea con la combinación encima o debajo, cerca o lejos. La mitad de los niños lograron identificar un recorrido a partir de sus puntos de referencia, mientras que, tres de cada diez identificaron desplazamientos de objetos con respecto a otros objetos.

Así mismo, el 91% de los alumnos de tercer grado de preescolar alcanzan en promedio, al menos, el nivel básico en el campo formativo de Pensamiento Matemático; esto implica por un lado que, paulatinamente los docentes han ido aceptando el nuevo programa nacional, aunque todavía existe cierta resistencia al cambio pedagógico, por lo que, aún se ven en algunas aulas, prácticas educativas 100% tradicionales. Por otra parte, el 9% nacional de alumnos presenta un bajo rendimiento en los aprendizajes, donde las nociones iniciales de las matemáticas obtuvo sólo el 41%; lo que implica que, ese 9% en apariencia pequeño, representa en realidad más de doscientos mil niños que no están adquiriendo las competencias indispensables para ingresar sin desventaja al nivel de educación primaria. Estos huecos de aprendizaje se observan a muy temprana edad, propiciando que con el tiempo, en niveles superiores, las distancias del logro educativo se amplíen considerablemente hasta alcanzar niveles elevados con bajo rendimiento escolar.

Aquellos alumnos que se encuentran en el nivel por debajo del básico y del básico permanecen en general en esos mismos niveles al ingresar a la siguiente etapa educativa, debido a que la cantidad de cosas aprendidas no les brinda los elementos requeridos con respecto a la asignatura (matemáticas), encontrándose paralelamente con obstáculos respecto a la comprensión y adquisición de nuevos conocimientos y habilidades (Backhoff, et al; 2006: pp. 617-638).

El 91% se encuentra en el nivel básico, indicando en realidad, un dominio suficiente, mínimo, esencial o elemental de conocimientos, habilidades y destrezas escolares necesarios para poder seguir progresando satisfactoriamente en la materia, contenido o asignatura.

Específicamente en el aspecto forma-espacio, el 58% de los niños de tercero de preescolar no reconocen figuras geométricas que compartan atributos, no identifican figuras semejantes a una muestra; no identifican los cambios que ocurren en una figura geométrica al combinarlas con otras; no resuelven problemas que impliquen la transformación, no identifican el orden de puntos de referencia espacial en un trayecto representado gráficamente; ni establecen o identifican la secuencia de imágenes que representan las relaciones temporales antes, después, al final; tampoco logran trazar trayectos a partir de puntos de referencia espaciales que incluyen direccionalidad (desde, hacia, hasta), ni ubicar los días de la semana a partir de las actividades que realizan.

De ésta manera, vemos como desde los primeros grados escolares se van formando brechas educativas, encontrando así que, la mayor parte de los estudiantes en el nivel preescolar del país, al egresar no alcanzan un dominio adecuado de los contenidos (que se traduce en la adquisición de desarrollar competencias) del currículum nacional.

A lo largo de la experiencia adquirida en educación infantil he podido observar como la enseñanza de éste aspecto de las matemáticas se ha reducido centrándose únicamente en la definición de objetos geométricos, en la construcción de figuras y cuerpos geométricos sin una problematización que haga necesario al discente poner en juego sus capacidades cognitivas, a su vez, sea el propio estudiante quien comprenda las nociones o conceptos a través de interactuar con los materiales manipulables, a su propio nivel.

Otro aspecto del cual me he percatado, ha sido al observar que la geometría es uno de los contenidos matemáticos frecuentemente abandonado en segundo plano dentro de la educación infantil, dándole al aspecto “número” mayor relevancia. Una de las razones por las que éste fenómeno se ha dado, ha sido porque la formación académica en la Licenciatura de Educación Preescolar ha sido descuidada por varias décadas; así lo he podido constatar dentro de ésta investigación documental donde el artículo: “La Reforma en Marcha”, de Fernando González Sánchez, quien es Subsecretario de Educación Básica en la Secretaría de Educación Pública, expresa: “Es urgente cambiar a las escuelas Normales e incluir a las Universidades en la formación inicial y continua, así como elevar a maestría el perfil de ingreso al área laboral de los profesores” (González, 2011: citado de http://www.nexos.com.mx/?P=leerarticulo&Article=2099281; 6-IV-2012 ) También, señala la necesidad de realizar una reforma en las escuelas normales, de forma independiente a la formación continua. Por tanto, no debemos soslayar que el trabajo de la geometría en el aula es igualmente importante para el desarrollo lógico matemático en los niños de preescolar; la forma de enseñanza visual y verbal prevaleciente es limitante para lograr aprendizajes acordes a las necesidades actuales en la educación del siglo XXI.

De igual manera, se constata que llega a ser complicado y difícil en ocasiones para el alumnado asimilar determinados contenidos del pensamiento matemático en ésta etapa (5-6 años). El problema surge en la relación y correlación de los contenidos, de cómo cada docente acorde a sus saberes sobre la forma en que debe instruir, diseña las actividades para realizar la enseñanza con respecto a éste contenido de la matemática, es importante revalorar o resignificar las posibilidades didácticas utilizadas para su instrucción, específicamente en la geometría (forma, espacio); ya que, ésta didáctica determina en gran parte la forma de introducir nociones y conceptos de la geometría en el aula. Simon, propone un modelo de enseñanza, desde la perspectiva del profesorado, guiada por las trayectorias hipotéticas de aprendizaje; éste modelo ha sido utilizado en varias investigaciones y proyectos como: “La Construcción y uso de estructuras matemáticas específicas” (Simon, 2000: pp. 335-359), mismos que han aportado conocimientos nuevos para saber en qué medida se van construyendo los aprendizajes.

En una publicación Toshio Sawada (1999; citado por Alsina, 1990: http:// www.upc.edu/easmi/personal/claudi/.../geometria_realidad.pdf; 11-6-2012), resume acertadamente el problema sobre la geometría, expresando:

“De acuerdo con los datos internacionales, hay buenas oportunidades en la enseñanza de la aritmética, álgebra y medidas pero no en geometría, probabilidad y estadística… Además, en álgebra, como más oportunidades da un país a los estudiantes mejores son los resultados de los estudiantes, pero en geometría parece no haber relación entre oportunidad de aprender y resultados. Parece que todos los países/sistemas están confundidos sobre los contenidos y el método de la enseñanza de la geometría.”

Por otra parte, la enseñanza de la geometría, es un aspecto de las matemáticas poco trabajadas por desconocimiento sobre cómo abordarlo y por temor a utilizar materiales manipulables que desconocen, como es el caso por ejemplo del tangram, mismo que, generalmente se utiliza para que el alumnado se “entretenga”, mientras otros estudiantes terminan sus trabajos; de ésta manera se observa el problema en las instituciones públicas de Jardines de niños, los cuales se presentan al no propiciar técnicas innovadoras en los procesos de enseñanza- aprendizaje por parte de las docentes; sobre una forma diferente de enseñar la geometría ya sea, con los diversos materiales manipulables o a través de la experiencia de su cuerpo con respecto al espacio físico que le rodea, donde ponga de manifiesto lo que sabe o conoce sobre nociones topológicas e interpretando aquellas consignas, que dentro de una situación didáctica, el docente le plantea al discente para colocarlo ante un reto cognitivo. Derivado de lo anterior, las preguntas de investigación para la presente tesis son:

¿Los docentes del nivel preescolar podrán detectar dificultades cognoscitivas y de aprendizaje, que los alumnos enfrentan al realizar tareas asignadas del contenido curricular en la Geometría Topológica, para poder diseñar diversas estrategias pedagógicas que incidan en una formación integral de los alumnos?

¿El estudio de trayectorias hipotéticas de aprendizaje en la geometría topológica (espacio/forma), en el tercer grado de preescolar en el jardín de niños, puede ser una herramienta que permita a los docentes diseñar y aplicar diversas estrategias pedagógicas orientadas a la formación integral de los alumnos y su ulterior desarrollo académico?

HIPÓTESIS

Si las estrategias de enseñanza que diseñan los docentes del nivel preescolar, tomaran en cuenta las trayectorias cognoscitivas realizadas por los discentes, entonces los docentes, podrían diseñar trayectorias hipotéticas de aprendizaje para el contenido de la geometría topológica más apegadas a lo que, los estudiantes realmente requieren y éstas llegarían a buen fin cumpliendo su objetivo en el proceso de aprendizaje.

iv.- OBJETIVO GENERAL.

Contrastar las trayectorias de aprendizaje reales que llevan a cabo los alumnos del tercer grado de preescolar, con respecto a las trayectorias hipotéticas diseñadas por el docente cuando el estudiante se enfrenta a resolver problemas de geometría topológica, cuyo propósito fundamental será el diseño de nuevas trayectorias de aprendizaje más apegado a la realidad para éste contenido de la geometría, que apoye en forma efectiva el contenido propuesto por la currícula nacional, facilitando los procesos de aprendizaje en el alumnado, a través del diseño de un taller de apoyo a la formación docente.

v.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS.

1.- Identificar las trayectorias hipotéticas de aprendizaje subyacentes en la currícula de Preescolar en el contenido de Geometría Topológica, a efecto de una correcta contrastación entre las diferentes trayectorias de aprendizaje.
2.- Analizar la manera en que aprenden los alumnos las nociones topológicas
3.- Conocer las estrategias de enseñanza de los docentes que facilitan el desarrollo de las trayectorias de aprendizaje.

vi.- JUSTIFICACIÓN

En el presente siglo XXI, se considera que la educación preescolar tiene un impacto sobre el futuro comportamiento social de las personas, por lo que, en éste nivel deben desarrollarse habilidades cognitivas, psicomotoras, socio-afectivas a través de experiencias de socialización pedagógicas y recreativas que repercutirán en el futuro. Ésta afirmación está fundamentada en los estudios de Perry Preschool Study, dirigido por David Weikart, presentado por la Fundación High Scope (1962). Quien corrobora que la educación preescolar hace la diferencia entre un sector de la población que nunca cursó éste nivel, con otro que sí; alcanzando en los niveles siguientes mayor aprovechamiento escolar. Por lo que, es necesario mantener la continua formación docente tanto en la manera formal (cursos, talleres, etc., planeados, realizados por instituciones educativas), como informal (autodidácticamente, compartiendo experiencias entre profesores, investigando, etc.), con el claro objetivo de que esa preparación se vea reflejada en los aprendizajes del alumnado (citado por López, 2006 http://www.uv.es/RELIEVE/v12n1/RELIEVEv12n1_5.htm; 28 de mayo de 2012).

Es justo aquí, en este trabajo de investigación donde se pretende, construir nuevos conocimientos que permitan no sólo identificar, sino la comprensión de las trayectorias hipotéticas reales de aprendizaje del alumnado del grado de tercero de preescolar en el aspecto de la matemática sobre geometría, así mismo, poder identificar las trayectorias hipotéticas de aprendizaje que desde mis saberes y de acuerdo con el currículum planteo a los estudiantes del Jardín de Niños Elisa Hernández Rodríguez; ya que no existen investigaciones o estudios específicos previos sobre las trayectorias hipotéticas de aprendizaje en preescolar; por lo que, éste estudio aporta elementos importantes para el área de conocimientos, ayudando a las profesoras en su intervención docente, en el diseño de trayectorias de aprendizaje, sustentadas en el modelo del ciclo de la enseñanza de Simon, con el propósito de detectar dificultades que los alumnos enfrentan al realizar tareas asignadas del contenido curricular en la Geometría Topológica.

En las primeras edades, el proceso de enseñanza-aprendizaje debería comenzar por la manipulación, la exploración y la propia experiencia, de forma progresiva, mediante acciones cada vez más autónomas, para poder llegar a integrar conocimientos realmente significativos en los niños. Hay una gran necesidad de recursos utilizables en el proceso de enseñanza-aprendizaje y muchos recursos elaborados para ello, entonces ¿dónde está el problema?, se cree que podría estar en la búsqueda, selección, uso de materiales para el aprendizaje, en la planificación del proceso de enseñanza y en el control del desarrollo de todo ello; así como en la necesidad de que todas estas tareas estén automatizadas al máximo, dejando para el profesor, la selección de lo más adecuado para cada situación de enseñanza, para cada alumno y estilo de aprendizaje.

Es importante identificar las estrategias cognoscitivas que utilizan los niños y las dificultades que presentan al resolver problemas planteados a través del diseño de una trayectoria hipotética para el tercero de preescolar; ya que permite elaborar secuencias de enseñanza, en las cuales se tome en cuenta las dificultades que estos problemas implican para el alumno, a la vez que, se le respete la utilización de procedimientos o estrategias de resolución para cada tipo de problema.

CAPÍTULO I TRAYECTORIAS HIPOTÉTICAS DE APRENDIZAJE.

1.1 Concepto

La trayectoria hipotética de aprendizaje es la ruta que sigue un estudiante al resolver una tarea planteada; así mismo, le proporciona al docente criterios para seleccionar o incluso elaborar un diseño instruccional particular que ayudarán a que el profesor tome decisiones de enseñanza basado en la mejor conjetura acerca de cómo va a proceder el aprendizaje (Simon, 1995: p. 114-145).

Ahora bien, éste constructo de trayectoria hipotética de aprendizaje ha sido estudiada y llevada a la práctica por diferentes investigadores con variadas formas de exponerla; pero con la clara finalidad de abrir una brecha que permita en primera instancia a los docentes una comprensión más profunda y reflexiva sobre una forma sistemática de realizar la enseñanza de conceptos matemáticos y por otro lado, brinda a los alumnos la oportunidad de un aprendizaje significativo.

Otra de las definiciones que amplía el concepto es el expresado por Tzur 2004, quien definió a la trayectoria hipotética de aprendizaje como el vehículo para planificar la enseñanza de conceptos matemáticos muy concretos. Esas trayectorias van a surgir de examinar las rutas que se manifiestan al explorar una situación problemática. Establecen que la construcción de trayectorias hipotéticas de aprendizaje se basa en las siguientes suposiciones:

1. La generación de una trayectoria hipotética de aprendizaje está basada en el entendimiento del conocimiento actual de los estudiantes.
2. Una trayectoria hipotética de aprendizaje es un vehículo para la planeación del aprendizaje de conceptos matemáticos particulares.
3. Las tareas matemáticas proporcionan herramientas para promover el aprendizaje de conceptos matemáticos particulares son, entonces, una parte clave del proceso de instrucción.
4. A causa de la naturaleza hipotética e inherentemente incierta de este proceso, el profesor regularmente está involucrado en la modificación de cada aspecto de la trayectoria hipotética de aprendizaje.

Cuando las tareas son diseñadas para revisar y ampliar los conocimientos matemáticos, no se tiene como objetivo principal que se logre el aprendizaje de un concepto matemático particular; más bien se pretende que dichas tareas sean un vehículo para ayudar a estructurar redes conceptuales (Simon y Tzur, 2004: pp. 91-104).

La información que los diferentes autores han aportado a la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje sirve de guía para poder identificar los diferentes constructos que, tanto alumnos como profesores, realizan dentro del complejo proceso de enseñanza-aprendizaje. Por lo que, algunos investigadores han trabajado con ésta noción; ya sea como “trayectorias”, “rutas” o bien como “procesos progresivos”, todos referidos al aprendizaje.

En 1995, Martin Simon introdujo la noción de trayectoria hipot é tica de aprendizaje como parte de su modelo del ciclo de enseñanza de las matemáticas; su propuesta se encontraba enfocada en reconstruir la pedagogía de las matemáticas bajo una visión constructivista; utilizó la caracterización del mecanismo cognitivo, el cual se centra en la relación actividad-efecto, donde las estructuras cognitivas que han construido los individuos les permiten anticiparse a los efectos de sus actividades. Simon examina el papel de diferentes aspectos del conocimiento del profesor, explora el reto intrínseco actual para integrar los objetivos, la dirección del docente para el aprendizaje con la trayectoria del pensamiento y el aprendizaje matemático de los estudiantes; por lo que, dentro de su ciclo de enseñanza de las matemáticas, mismo que, es congruente con los principios constructivistas del aprendizaje, aporta un modelo esquemático de la interrelación de aspectos del conocimiento, pensamiento, toma de decisiones y actuaciones del profesor (esquema 1). Se observa la enseñanza, desde la perspectiva del docente, mismo que está guiada por la trayectoria hipotética de aprendizaje, la cual consiste en la predicción del profesor sobre el camino, por el cual puede proceder el aprendizaje (Op. cit).

La trayectoria hipotética de aprendizaje le proporciona al docente criterios para seleccionar un diseño instruccional particular; por lo tanto, el maestro tomará decisiones de enseñanza basado en la mejor conjetura acerca de cómo va a proceder el aprendizaje. Las trayectorias hipotéticas de aprendizaje tienen tres componentes, relacionados entre sí: la visión del profesor sobre el objetivo de la instrucción, la planificación del profesor para las actividades de aprendizaje y las hipótesis del profesor acerca del proceso de aprendizaje. El objetivo de la enseñanza es la guía que le permite al profesor decidirse por unas actividades de aprendizaje. Esa decisión, la toma teniendo en cuenta sus hipótesis acerca del proceso de aprendizaje; estas actividades afectan, a su vez, sus hipótesis sobre el proceso. El siguiente esquema muestra el modelo propuesto por Simon.

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Esquema 1. Ciclo de enseñanza de las matemáticas, formada por tres componentes: la visión del profesor sobre el objetivo de la instrucción, la planificación del profesor para las actividades de aprendizaje y las hipótesis del profesor acerca del proceso de aprendizaje. El objetivo de la enseñanza es la guía que le permite al profesor decidirse por unas actividades de aprendizaje. Esa decisión, la toma teniendo en cuenta sus hipótesis acerca del proceso de aprendizaje (Simon, 1995: p. 136).

Las principales características del modelo de Simon son:

- El pensamiento de los estudiantes juega un papel central.
- El conocimiento del profesor evoluciona permanentemente.
- La planificación para la enseñanza incluye la generación de una trayectoria hipotética de aprendizaje.
- El cambio continuo en el conocimiento del profesor produce un cambio continuo en la trayectoria hipotética de aprendizaje.
- El modelo es local en el sentido de que se centra en la enseñanza de un tópico específico para una sesión de clase.

Tanto la planeación como la gestión de clase son dos de los problemas que el profesor debe resolver en su actividad docente. Las directivas gubernamentales y la planeación estratégica de la institución educativa determinan los contextos social, educativo e institucional en los que se produce el diseño curricular global de cada asignatura. Sin embargo, este diseño curricular global no aporta pautas específicas para la práctica cotidiana del docente. Lo que los maestros realizan como parte de la labor educativa es la planificación y puesta en práctica de secuencias didácticas en sus clases con ayuda de la experiencia que cada uno ha ido construyendo a lo largo de su profesión, de los documentos y materiales de apoyo disponibles, muchos maestros se basan exclusivamente en las propuestas de los libros de texto. Se espera que los profesores aborden su trabajo diario de manera sistemática y reflexiva, basándose en un conocimiento profesional, que los lleve a utilizar principios, procedimientos, herramientas que, fundamentados en la didáctica de la matemática, les permitan diseñar, evaluar, comparar las tareas, actividades de enseñanza y aprendizaje que pueden conformar su planificación de clase.

Este mecanismo cognitivo proporciona “ lentes te ó ricas ” para analizar los conocimientos disponibles de los estudiantes, cómo se sirven de éstos para construir nuevos conceptos. Tzur y Simon, identificaron dos fases en la construcción de un nuevo concepto: la fase de participaci ó n como el proceso por el cual el estudiante abstrae una regularidad en la relación entre la actividad realizada y el efecto producido; la fase de anticipaci ó n, referida al uso de la regularidad abstraída en situaciones distintas de la que llevó a la abstracción (Tzur., et al, 2004: pp. 345-352).

A partir de éste mecanismo sobre la reflexión actividad-efecto Simon y Tzur elaboraron en el 2004, la idea de trayectoria hipotética de aprendizaje. Para generarla, lo que hicieron fue conocer los conceptos previos de los estudiantes, tener presente los objetivos de aprendizaje, las tareas matemáticas, las hipótesis sobre el proceso de aprendizaje en el contexto de un conjunto particular de tareas. Estos dos últimos puntos son interdependientes, no necesariamente en este orden, puesto que se seleccionan las tareas a partir de las hipótesis sobre el proceso de aprendizaje. Las hipótesis están basadas en las tareas a realizar, es aquí donde Simon y Tzur, especifican la manera en la que se caracteriza el mecanismo de reflexi ó n sobre la relaci ó n actividad-efecto: se plantea la necesidad de seleccionar aquellas tareas que, desde las actividades disponibles para los estudiantes, sean la base para el aprendizaje pretendido. Así, “el mecanismo ofrece un marco para pensar cómo las tareas pueden fomentar el proceso de aprendizaje” (Simon y Tzur, 2004). En una situación problemática, el objetivo del estudiante, las actividades que realiza para conseguir su objetivo y los efectos de dichas actividades, son el cimiento de este mecanismo. Según estos autores, la abstracción se deriva de los registros de experiencia generados al realizar actividades, es decir, forma una regularidad en la relación entre la actividad realizada y el efecto generado. En este proceso intervienen dos tipos de comparaciones: el mecanismo reflexión sobre la relación Actividad-Efecto que consiste en dos tipos de comparaciones: entre el objetivo del estudiante y los efectos de la actividad, dando origen a una clasificación de los registros actividad- efecto, entre las diferentes situaciones que dan lugar a cada tipo de registros, lo que lleva a abstraer una relación actividad-efecto como una regularidad anticipada y razonada.

Gómez, Godínez y Rico en el 2008, destacan la importancia que juega el docente; pues, es quien identifica los conocimientos disponibles de los estudiantes y cómo sirven éstos para construir nuevos conceptos; de igual forma hay interés por conocer las nociones de conocimiento pedagógico, de contenido y currículo en un modelo que, aborda la problemática de conceptualizar la enseñanza de las matemáticas bajo una postura constructivista del aprendizaje por parte del maestro, a través de cómo trata de hacer accesible los contenidos, de lo que supone es la ruta adecuada para la enseñanza de los mismos.

Segovia y Rico (2001), identificaron esta problemática al poner de manifiesto las dificultades de los profesores con la noción de currículo en el nivel de la planificación global. En esta etapa, el profesor debe identificar unos objetivos, unos contenidos, una metodología y un esquema de evaluación con los que se pretende describir el currículo como plan de formación para una asignatura o para una porción amplia de una asignatura. Hay que diferenciar entre los problemas de diseño curricular global (para la totalidad de una asignatura, por ejemplo) y los problemas de diseño curricular local (para una unidad didáctica o una hora de clase sobre una estructura matemática específica o uno o más aspectos de ella). Si enfocamos únicamente los problemas de diseño curricular global (con el esquema de objetivos, contenidos, metodología y evaluación), entonces el profesor tiende a ver la planificación como la secuenciación de contenidos matemáticos, a considerar la enseñanza como el “cubrimiento” de estos contenidos. Al no tener en cuenta las problemáticas conceptuales, cognitivas de instrucción de las estructuras matemáticas específicas, el profesor tiene que describir los objetivos, la metodología y la evaluación en términos generales.

El análisis didáctico, introducido por Rico (1992: pp. 10-521.), es una conceptualización de ese nivel de la planificación. Es en sí, un procedimiento con el que es posible explorar, profundizar, trabajar con los diferentes y múltiples significados del contenido matemático escolar, para efectos de diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza-aprendizaje.

Si el profesor asume en su enseñanza una postura constructivista del aprendizaje frente a los estudiantes, como en principio, se espera que lo haga de acuerdo con la mayoría de las directivas curriculares, entonces el docente se enfrenta a lo que Simon y Tzur (2004: pp. 91-104), denominan la “paradoja de la planificación, la cual, señala que, si el profesor asume una posición constructivista con respecto al aprendizaje de los escolares, entonces él se enfrenta a una disyuntiva entre:

1. Su intención de lograr unos objetivos de aprendizaje y cubrir un contenido previamente establecido; lo que implica diseñar tareas en las que el contenido matemático que se trabaja sea claro y los escolares puedan saber qué es lo que tienen que hacer.
2. Su deseo de atender y sacar partido de las actuaciones de los estudiantes al abordar la tarea; lo que implica diseñar tareas que los induzcan a crear sus propias construcciones (trayectorias hipotéticas de aprendizaje), y que fomenten un ambiente de negociación en el aula, en el que exista una cierta ambigüedad sobre lo que hay que hacer, cómo se debe hacer y cómo se determina si lo que se hace es válido.

Así es, como en el análisis didáctico, el profesor formula conjeturas sobre la actuación de los escolares al abordar las tareas que conforman la instrucción. Estas conjeturas le permiten revisar y seleccionar dichas tareas en el contexto de los objetivos de aprendizaje que se ha impuesto, así como del contenido que ha seleccionado. También formula conjeturas sobre los posibles caminos por los que se puede desarrollar el aprendizaje de los escolares cuando ellos aborden las tareas que conforman la instrucción. El profesor utiliza esta información para diseñar, evaluar y seleccionar estas tareas. Por consiguiente, la selección de tareas que componen las actividades debe ser coherente con los resultados de los tres análisis y la evaluación de esas tareas. El docente puede realizar un nuevo ciclo de análisis, antes de seleccionar definitivamente las tareas que componen las actividades de enseñanza-aprendizaje.

Al igual que Rico, tanto Gómez como Godino al retomar en sus investigaciones a Simon y Tzur, analizan el ciclo de enseñanza; Gómez lo designa como análisis didáctico, mismo que, representa según los autores mencionados su propia visión ideal de, cómo el profesor debería diseñar, llevar a la práctica y evaluar actividades de enseñanza aprendizaje; también aclara el término “análisis didáctico”, refiriéndose a la manera en que va a servirle como medio para designar un procedimiento que se encuentra en el centro del modelo de enseñanza que describe en su artículo: “Análisis Didáctico y Diseño Curricular en Matemáticas” (Gómez, 2001: pp. 1245-1258., Godino, 2007: pp. 221-252.), el referido autor comienza por hacer la descripción de un ciclo del análisis didáctico para posteriormente seguir con la secuencia propuesta en el esquema 2. Describe las herramientas conceptuales y metodológicas que el profesor debe poner en juego para realizar el análisis didáctico, hace énfasis en las múltiples relaciones entre los análisis que lo componen y las herramientas que se ponen en juego, por lo que, el análisis didáctico se inicia con la determinación del contenido que se va a tratar, de los objetivos que se quieren lograr, a partir de la percepción que el profesor tiene de la comprensión de los estudiantes con motivo de los resultados del análisis de actuación del ciclo anterior y teniendo en cuenta los contextos social, educativo e institucional en los que se enmarca la instrucción (ver esquemas 1 y 2).

A partir de esta información, el profesor inicia la planificación con el análisis de contenido. De la información que surge del análisis de contenido se sustenta el análisis cognitivo. A su vez, la realización del análisis cognitivo puede dar lugar a la revisión del análisis de contenido. Esta relación simbiótica que describe Gómez, entre los análisis también se establece con el análisis de instrucción. Su formulación debe ser compatible con los resultados de los análisis de contenido y cognitivo, a su vez, su realización puede generar la necesidad de corregir las versiones previas de estos análisis. La selección de tareas que componen las actividades debe ser congruente con los resultados de los tres análisis, la evaluación de esas tareas a la luz de los análisis puede si es que lo considera pertinente o necesario, llevar al profesor a realizar un nuevo ciclo de análisis; antes de seleccionar definitivamente las tareas que compondrán las actividades de enseñanza y aprendizaje (relación entre esquemas 2 y 3). El profesor pone en práctica estas actividades (esquema 2, cuadro 4) y, al hacerlo, analiza las actuaciones de los estudiantes para obtener información que sirva como punto de inicio de un nuevo ciclo (esquema 2, cuadro 5). El conocimiento didáctico (esquema 2, cuadro 6) es el conocimiento que el profesor pone en juego durante todo el proceso. Por lo que, la realización de un ciclo del análisis didáctico estará condicionada por las creencias, las metas del profesor, por los contextos social, educativo e institucional.

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Esquema 2. Ciclo de análisis didáctico (Gómez, 2001: pp. 1245-1258). Inicia con la percepción que el profesor tiene de la comprensión de los estudiantes a partir de esta información, el profesor inicia la planificación con el análisis de contenido. De la información que surge del análisis de contenido se sustenta el análisis cognitivo. A su vez, la realización del análisis cognitivo puede dar lugar a la revisión del análisis de contenido, en una relación simbiótica.

Para Gómez y Godínez, tanto las metas como las creencias del profesor, el contexto institucional educativo y social, son condicionantes de la práctica docente. Estos factores influyen tanto en las decisiones como en las actuaciones, condicionando a su vez, la forma en que abordará el análisis didáctico de una estructura matemática.

Las metas son lo que se quiere lograr; éstas pueden ser globales con respecto a los estudiantes en periodos largos de tiempo; en las lecciones, en las partes particulares de la lección y locales a una interacción particular. Pueden estar orientadas epistemológicamente (con respecto al contenido) o socialmente también estar predeterminadas o pueden ser emergentes.

Gómez afirma, se han realizado una gran variedad de estudios sobre el papel de las creencias en la actuación del docente (Thompson, 1992: pp. 127-146.). Sin embargo, no es suficiente para afirmar que esta relación sea evidente. En todo caso, como sucede en las demás áreas, las creencias configuran la percepción que el individuo tiene de su experiencia. El profesor puede y debe tener un conocimiento sobre las diferentes posturas que es posible asumir en estos temas y asume consciente o inconscientemente una de ellas. Su posición sobre estas cuestiones afecta y condiciona la manera como él aborda las diferentes fases del ciclo del análisis didáctico.

El análisis de actuación (esquema 2, cuadro 5) proporciona al profesor información sobre las actuaciones y producciones de los escolares al final del ciclo anterior. Con esta información, el profesor debe hacer una descripción de la comprensión de sus estudiantes sobre la estructura matemática en cuestión. Esta descripción deberá identificar:

- Las tareas que sus estudiantes pueden resolver.
- Las tareas que no pueden resolver.
- Los errores en los que los estudiantes han incurrido al abordar las tareas.
- Las dificultades que subyacen a esos errores.
- Los obstáculos que es necesario superar para resolver esas dificultades.

En cuanto a los contenidos, éstos los considera Gómez el eje central del análisis didáctico; el proceso de planificación, puesta en práctica y evaluación de las actividades de enseñanza y aprendizaje se refiere a una estructura matemática específica; en el presente trabajo será la geometría trabajando específicamente con la forma y el espacio. Las herramientas conceptuales y metodológicas en las que se basa el análisis didáctico, adquieren sentido cuando se utilizan para analizar los diferentes significados de esa estructura matemática. Por lo tanto, el análisis de contenido, siendo el análisis matemático, debe ser el punto de inicio y de referencia en el proceso cíclico del análisis didáctico. El análisis de contenido es una observación de las matemáticas escolares, cuyo propósito es la descripción de la estructura matemática desde la perspectiva de su enseñanza y aprendizaje en el aula.

La descripción del conocimiento conceptual es definida por Rico (1997d: pp. 39-59), afirmando que “los conceptos” son aquello con lo que pensamos, según su mayor o menor concreción, afirmando que se pueden distinguir tres niveles de conocimientos en el campo conceptual:

a) Los hechos, son unidades de información y sirven como registros de acontecimientos.
b) Los conceptos propiamente tales, describen una regularidad o relación de un grupo de hechos, suelen admitir un modelo o representación y se designan con signos o símbolos.
c) Las estructuras conceptuales, sirven para unir conceptos, para sugerir formas de relación entre ellos, constituyendo de esta manera una jerarquía de orden superior, ya que pueden establecer algún orden o relación entre conceptos no inclusivos.

Gómez aclara, que la anterior es una descripción, desde una perspectiva cognitiva (Op. cit), de la noción de concepto en sus distintos niveles de concreción. Su interpretación desde la perspectiva de las matemáticas escolares, en la dimensión conceptual, permite organizar el conocimiento matemático en hechos, conceptos y estructuras conceptuales. En el análisis de contenido lo que buscó Gómez fue, no sólo identificar sino describir estructuradamente los diversos significados matemáticos de la estructura matemática. Este análisis toma en cuenta tres tipos de significados: la estructura conceptual, los sistemas de representación y los modelos (análisis fenomenológico).

El constructo sobre la trayectoria hipotética de aprendizaje fue utilizado por Gómez y Lupiáñez (Op. cit), ambos revisaron la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje que diseñó Martín Simon en 1995, adaptándola en la formación inicial de profesores de matemáticas en la secundaria; el objetivo de la investigación de Gómez y Lupiáñez, se centró en que los futuros profesores puedan desarrollar las competencias para construir trayectorias hipotéticas, que les permitan tanto diseñar, cómo llevar a la práctica actividades de aprendizaje de temas matemáticos concretos. A través del análisis que realizaron sobre el significado de la noción de trayectoria hipotética de aprendizaje, encontraron en los futuros docentes que participaron en la investigación, que no tenían experiencia docente ni acceso a la práctica en aulas de matemáticas; por lo que, en su investigación sugirieron sean tomadas en cuenta estas restricciones, a fin de entender la experiencia docente como un punto clave para una mejor comprensión de éste constructo. Por otra parte, la investigación permitió desarrollar un procedimiento para identificar y organizar las capacidades de los escolares antes y después de la instrucción basada en la noción de capacidad de Dorsch (1985); de ésta manera propuso una herramienta en el diseño de actividades de enseñanza-aprendizaje convirtiéndolo en un proceso sistemático (Op. cit).

Así mismo, Godino (2008: desde http://www.ugr.es/local/jgodino, 19-IV-2012), vislumbró la noción de trayectoria, describiéndola en su trabajo doctoral donde esboza algunas nociones de una posible teoría de la instrucción matemática e incorpora elementos del interaccionismo simbólico; es decir, patrones de interacción didáctica y la teoría de situaciones didácticas de Brousseau (1997), misma que se abordará en otro apartado; estos dos elementos se articulan en la instrucción matemática como un proceso multidimensional donde las nociones claves son precisamente las de trayectoria didáctica. En su trabajo Godino, distinguió cuatro subtrayectorias, las cuales en éste apartado sólo se mencionan profundizándolas posteriormente en otro apartado:

1) Las epistémicas: relativas a los componentes del significado sistémico del objeto pretendido.
2) La trayectoria docente: referidas a las funciones del profesor.
3) La trayectoria discente: que son las funciones del estudiante.
4) La mediacional: relativa a los recursos instruccionales temporales y materiales.

Su objetivo radicó en la unidad básica de análisis didáctico con el propósito de ofrecer posibles trayectorias didácticas que optimicen el aprendizaje matemático, sugiriendo se asuman principios epistemológicos complementarios.

Duit en (1999: pp. 263-282), habló en sus trabajos del modelo del cambio conceptual, denominándolo como las rutas de aprendizaje desde las coincidencias pre instruccionales de los estudiantes hasta el contenido o contenidos a ser aprendidos. Éste cambio conceptual comienza con un preconcepto, que se reestructura fundamentalmente para lograr la comprensión del conocimiento, por ejemplo: la adquisición de conocimientos científicos; simbolizando los pasos existentes para llegar de un estadío al otro. Se apoya en el constructivismo con énfasis en el desarrollo de las concepciones; el papel que los conocimientos previos juegan en el aprendizaje, como ya se mencionó anteriormente y las estrategias conducentes a que éste resulte memorístico o significativo (Ausubel, Novak y Hanesian, 1983: pp. 40-53., Novak, 1982: p. 57., Driver, 1988: 109-120.).

Posteriormente Wandersee, Mintzes y Novak en 1994, asumieron que el cambio conceptual guía con más éxito a los alumnos hacia los conceptos científicos. Así mismo, Duit manifestó que es un enfoque gradual, continuamente enriquecido, estructurado con la participación activa del alumno en la construcción de sus propios conocimientos.

En 1999 Reigeluth, retomó las ideas de Simon y Ausubel, en su teoría de La Elaboraci ó n Aplicable al Establecimiento de Secuencia de Aprendizaje, propuso presentar en un principio los elementos más simples, generales y fundamentales del contenido, para después pasar a elaborar cada uno de ellos mediante la introducción de información detallada, siendo cada vez más compleja. Esto propicia un aprendizaje en espiral, por que “cuando se elaboran elementos iniciales, se vuelve al punto de partida con el fin de no sólo enriquecer, sino ampliar el plano de conjunto”; por tanto, también implica un ciclo dinámico; tal y como lo propuso Simon en su ciclo de enseñanza.

Schoenfeld (2000: pp. 243-261), en su propuesta para construir un modelo del profesor de matemáticas, describe de la siguiente manera la relación entre las creencias, las metas, el conocimiento del profesor y su práctica docente: Postula que, el profesor consciente o no de sus creencias, metas y conocimiento; éstos son factores claves para la toma de decisiones. Por lo que, el modelo de un profesor en particular, tendrá representaciones de metas, creencias y conocimiento atribuidos a ese profesor; un mecanismo de toma de decisiones que sugiere cómo, en unas circunstancias dadas, esas metas, creencias, conocimiento configurarán la decisión del profesor con respecto a qué hacer después.

1.2 Análisis de Contenido y Análisis Cognitivo.

El análisis cognitivo es a priori, dada la percepción y comprensión de los estudiantes al final del ciclo de análisis didáctico, teniendo en cuenta los objetivos que el profesor se ha propuesto para el siguiente ciclo, el contenido que pretende tratar, el contexto. Así mismo, en el análisis cognitivo, el docente describe sus hipótesis acerca de cómo los estudiantes pueden progresar en la construcción de su conocimiento sobre la estructura matemática cuando se enfrenten a las tareas que compondrán las actividades de enseñanza y aprendizaje. Con él, el docente pretende prever las actuaciones de los escolares en la fase posterior del ciclo en la que se ponen en juego las actividades de enseñanza-aprendizaje que él ha diseñado. Estas hipótesis deben estar sustentadas por una descripción de aquellos aspectos cognitivos que se relacionan directamente con la estructura matemática sobre la cual se trabaja en dichas actividades. El análisis cognitivo es también la identificación, descripción y caracterización de los errores en los que los escolares pueden incurrir al abordar dichas tareas, de las dificultades que subyacen a esos errores y de los obstáculos que es necesario superar para resolver dichas dificultades (Gómez, 2001: pp. 73-95).

El análisis de contenido sirve de punto de partida y de referencia para el análisis cognitivo. Una estructura matemática es, la identificación, descripción, caracterización sistemática, detallada y fundamentada de las tareas (relacionadas con dicha estructura matemática), que los estudiantes pueden resolver en ese momento, de aquellas tareas las cuales deberían poder abordar durante la sesión que se está planificando. La estructura conceptual que el profesor produce en el análisis de contenido, su conocimiento sobre el aprendizaje, la comprensión en matemáticas, su conocimiento sobre la estructura matemática en cuestión le permiten caracterizar las tareas que los escolares pueden resolver y las que deberían poder abordar desde la perspectiva de:

a. Los elementos (conceptos y estructuras conceptuales) involucrados en la tarea.
b. Las representaciones de esos conceptos y estructuras conceptuales.
c. Las relaciones entre esas representaciones.
d. Las relaciones entre los elementos de una misma representación.
e. Los modelos involucrados.

De esta manera Gómez analiza, la relación entre el análisis de contenido y el análisis cognitivo. Cada tarea involucra conceptos (o estructuras conceptuales), pertenecientes a la estructura matemática sobre la que se está trabajando. El punto a), requiere que el profesor identifique aquellos elementos de la estructura conceptual que puedan llegar a ponerse en juego cuando los estudiantes aborden la tarea. Es posible que ésta pueda abordarse poniendo en juego más de un grupo de conceptos, es decir, donde su resolución no requiera de la puesta en juego de una única subestructura. La identificación de estos elementos (conceptos y estructuras conceptuales), debe hacerse en aquellos sistemas de representación que, en principio, podrían o deberían activarse en la resolución de dicha tarea. De nuevo, diferentes aproximaciones a la tarea pueden poner en juego diferentes representaciones de los conceptos involucrados.

Mientras que en el análisis de contenido, el profesor identifica estos elementos desde la perspectiva matemática; en el análisis cognitivo, el profesor busca identificar estos elementos desde la perspectiva del conocimiento conceptual que el estudiante debería movilizar para poder abordar las tareas, dentro de éste análisis del procedimiento, Gómez expresa, que son aquellas formas de actuación o ejecución de tareas matemáticas; se distinguen tres niveles diferentes en el campo de los procedimientos:

1. Las destrezas consisten en la transformación de una expresión simbólica en otra expresión; para ello hay que ejecutar una secuencia de reglas sobre manipulación de símbolos; por lo general, las destrezas se ejecutan procesando hechos.
2. Los razonamientos se presentan al procesar relaciones entre conceptos, permitiendo establecer relaciones de inferencia entre los mismos.
3. Las estrategias, que se ejecutan sobre representaciones de conceptos y relaciones; operan dentro de una estructura conceptual, suponen cualquier tipo de procedimiento que pueda ejecutarse, teniendo en cuenta las relaciones y conceptos implicados.

Las destrezas tienen que ver con dos de las relaciones, las cuales el profesor identifica en el análisis de contenido: las relaciones entre diferentes representaciones de un mismo concepto y las transformaciones de las expresiones de un concepto dentro de una misma representación. Los razonamientos, por su parte, describen la capacidad de los escolares para relacionar dos o más conceptos dentro un sistema de representación. Las estrategias tienen que ver con lo que se refiere al análisis fenomenológico descrito en el análisis de contenido. En este análisis, el profesor debe identificar, describir, caracterizar y clasificar los fenómenos matemáticos que pueden ser organizados (modelados), por subestructuras.

Así mismo, el análisis cognitivo también involucra la identificación, descripción y caracterización de los errores en los cuales, los escolares pueden incurrir, de las dificultades que subyacen a esos errores y de los obstáculos que es necesario superar para resolverlas. Cuando un alumno proporciona una respuesta incorrecta a una cuestión matemática se puede decir que su respuesta es errónea, la solución proporcionada es un error en relación con la cuestión propuesta (Radatz, 1979: pp. 163-172). Los errores se identifican en las producciones de los estudiantes cuando ellos abordan tareas específicas poniendo en juego el conocimiento que tienen en ese momento. Por lo tanto, la mayor parte de los errores son consecuencia de ese conocimiento y de la manera como los alumnos lo movilizan para resolver la tarea. Los errores se pueden clasificar de múltiples maneras (Rico, 1995: pp. 69-108). En el análisis cognitivo, el profesor identifica aquellos errores, producto del conocimiento de los discentes, los puede clasificar en dos categorías: aquellos que son producto de un conocimiento, éste es independiente de la estructura matemática que se está trabajando; de aquellos que surgen de un conocimiento específico a esa estructura matemática.

El conocimiento que el profesor debe tener sobre el aprendizaje, la comprensión en matemáticas y la investigación que él haga en la literatura le debe permitir identificar esos errores.

Gómez a su vez, especifica una manera de clasificar las dificultades que consiste en disponerlas en dos categorías: aquellas que son específicas a la estructura matemática que se está trabajando y aquellas que no lo son. Las dificultades que son específicas a la estructura matemática pueden ser organizadas de acuerdo con la dualidad entre conocimiento conceptual y procedimental. Socas (1997), las explica diciendo que las dificultades se conectan, se refuerzan en redes complejas que se concretan en la práctica en forma de obstáculos y se manifiestan en los alumnos en errores.

1.2.1 Análisis de Actuación.

El análisis de actuación es un análisis a posteriori; donde el profesor recoge la información para analizarla durante la puesta en práctica de las actividades, con base en las actuaciones de los discentes y tiene el compromiso de describir esas actuaciones. El resultado del análisis de actuación es la descripción sistemática de la comprensión de los escolares con el propósito de proporcionar información que sea útil para el inicio de un nuevo ciclo del análisis didáctico. Esta descripción debe hacerse, por un lado, en términos de las tareas que los alumnos pudieron resolver, pues son indicadores del conocimiento adquirido. Por otro lado, en muchas ocasiones los educandos, no podrán resolver adecuadamente todas las tareas; habrá soluciones incompletas, con errores. En éste momento es cuando, el profesor analiza las soluciones con el objetivo de dilucidar esas dificultades. Este análisis surgirá de su experiencia, de su conocimiento sobre el aprendizaje y la comprensión de la estructura matemática en cuestión. El análisis de las actuaciones de los escolares se centra en la descripción de la manera como ellos abordan las tareas.

Gómez, hace énfasis en el contexto del aula como el entorno estructurado dentro del cual tiene lugar la construcción del conocimiento matemático por parte de los estudiantes. Dicho contexto es el espacio donde se constituye y se desarrolla una comunidad de práctica de las matemáticas escolares. Es aquí donde se negocia, se conforma conjuntamente entre profesor y estudiantes, por consiguiente, no restringe la instrucción.

Desde un punto de vista metodológico, si se observa que el análisis didáctico se inicia en la constatación de un estado inicial y pasa por una planificación, con base en la cual tiene lugar una actuación (de profesores-estudiantes), que es observada y evaluada con el propósito de dar lugar al inicio de un nuevo ciclo, entonces es posible relacionar este procedimiento con los pasos propuestos en la investigación-acción: planificación, acción, observación y reflexión (Kemmis y McTaggart, 1988 pp. 50-109).

Shulman (1986: p. 4-14) detalla, desde la perspectiva del profesor, en su modelo de “Razonamiento y acci ó n pedag ó gicos ”; las fases de comprensión, transformación, instrucción, evaluación, reflexión y nueva comprensión. De la misma manera, que el modelo del ciclo de enseñanza de las matemáticas de Simon (1995: p. 114-145), partiendo de una visión constructivista del aprendizaje, sugiere un procedimiento similar, en el que se determina un objetivo de aprendizaje, se realiza un plan de actividades, se formulan hipótesis sobre el proceso de aprendizaje, se ponen en práctica las actividades y se evalúa el conocimiento de los estudiantes.

1.3 Trayectoria Didáctica.

Para Godino, (2008: citado de http://www.ugr.es/local/jgodino; 19-IV-2012) la trayectoria didáctica está compuesta de cuatro subtrayectorias: la epistémica, docente, discente y mediacional. A estas las define como estados potenciales de las trayectorias y patrones de interacción didáctica. Explica que se produce una trayectoria muestral del proceso, misma que a su vez describe la secuencia particular de funciones o componentes que ha tenido lugar; es así, como distingue los cuatro tipos de trayectorias muestrales dentro de procesos instruccionales:

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