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Nachhilfe Mathematik - Teil 3: Gleichungen

Fachbuch, 2015

95 Seiten

Erich Bulitta (Autor:in)

Leseprobe

Vorwort – Teil 3: Gleichungen

Liebe Schülerinnen und Schüler, liebe Eltern, liebe Lehrerinnen und Lehrer!

Die neue Reihe „Nachhilfe – Mathematik“ wendet sich an alle Schülerinnen und Schüler, die ihre schulischen Leistungen im Fach Mathematik verbessern und vertiefen wollen, um bessere Noten zu erzielen und fit für den Übergang in eine andere Schulart zu werden.

Eltern haben mit diesen pädagogisch erprobten Aufgaben die Möglichkeit, die schulischen Leistungen ihrer Kinder zu verbessern, sie für das Fach Mathematik zu motivieren, so dass auch der Übergang in eine andere Schulform leichter fällt.

Die Reihe „Nachhilfe – Mathematik“ wendet sich aber auch an Lehrerinnen und Lehrer, die die einzelnen Arbeitsblätter einfach kopieren und für ihren Einsatz im Unterricht (auch für Vertretungsstunden) einsetzen können. Auf diese Weise brauchen sie sich nicht die Mühe machen, selbst Aufgaben so zusammenzustellen, dass sie ihre Schülerinnen und Schüler auch verstehen und sie ihren Erfolg selbst sehen.

Die Seiten sind so gestaltet, dass die Aufgaben direkt bearbeitet werden können. Selbstverständlich können die einzelnen Bände dieser Reihe ganz alleine durchgearbeitet werden, aber besser ist es sicherlich, wenn jemand den Fortschritt kontrolliert. Die Aufgaben werden in kleinen Schritten erklärt und erarbeitet, so dass es leicht ist, zu verstehen, wie das „Rechnen“ geht. Die verschiedenen Aufgaben können dann selbst nachvollzogen und angewandt werden. Der Lösungsteil dient der Kontrolle. Im Anhang werden jeweils verschiedene wichtige Grundlagen für das Fach Mathematik angegeben.

Die Reihe „Nachhilfe – Mathematik“ ist unabhängig von Jahrgangsstufe, Schulart und Schulbuch und bietet in konzentrierter Form jeweils einen Teilbereich des Faches Mathematik an.

Jeder einzelne Teil der Reihe gliedert sich in zwei Einzelbände (Band 1 und Band 2) und einen Gesamtband, der die beiden Bände 1 und 2 enthält.

Im Teil 3 dieser Reihe wird das Rechnen mit Gleichungen und Ungleichungen behandelt. Dabei werden in kleinen Schritten die einzelnen Teilgebiete bearbeitet und ausführlich erklärt, um sicher mit Gleichungen und Ungleichungen umzugehen.

Dabei werden die einzelnen Teilgebiete (Rechenregeln, Rechenausdrücke, die Unbekannte x, das Lösen von Gleichungen, Grundaufgaben der Prozentrechnung, Geometrie, Raumlehre, sowie Ungleichungen) in kleinen Schritten behandelt und ausführlich erklärt. Somit ergibt sich eine echte Nachhilfe, um sicher damit umzugehen. Die Aufgaben sind so aufgebaut, dass sie alleine und ohne fremde Hilfe gelöst werden können. Die jeweiligen Arbeitshefte sind so angelegt, dass in das Heft geschrieben werden kann.

Ausgehend von „leichten“ Aufgaben werden die Schüler auch an schwierigere Aufgaben und Sachaufgaben herangeführt. Die Lösungsschritte werden erklärt und am Ende zeigen die Lösungen, ob richtig gerechnet worden ist.

Zum Schluss noch ein Tipp: Arbeite das Heft sorgfältig durch, dann bekommst du die Sicherheit, die du für das Fach Mathematik brauchst. Wir wünschen dir viel Spaß dabei.

Empfehle diese Reihe auch deinen Mitschülerinnen und Mitschülern, die Schwierigkeiten im Fach Mathematik haben und sich verbessern wollen.

[…]

Inhaltsverzeichnis – Gleichungen: Gesamtband

Vorwort … 3

Die Rechenregeln … 6
1. Klammern setzen und auflösen … 6
2. Die Punkt-vor-Strich-Regel … 9
3. Anwendung der Regeln … 10

Mit Rechenausdrücken umgehen … 14
1. Rechenausdrücke aufstellen … 14
2. Rechenausdrücke durch geschicktes Zerlegen vereinfachen … 15
3. Rechenausdrücke durch vorteilhaftes Rechnen vereinfachen … 15
4. Rechenausdrücke durch Ausklammern vereinfachen … 16
5. Rechenausdrücke zuordnen … 16
6. Rechenausdrücke aufstellen und lösen … 17
7. Rechenausdrücke mit gleichem Wert zuordnen … 21
8. Rechenausdrücke mit gleichem Wert aufstellen … 21
9. Sachaufgaben als Rechenausdrücke darstellen und lösen … 22

Gleichungen kennen lernen … 25
1. Die Unbekannte x … 5
2. Die Variable x mit einer Zahl belegen … 25
3. Lösen einer Gleichung mit Tabellen … 26
4. Gleichungen lösen durch die Umkehraufgabe … 30
5. Einfache Gleichungen aufstellen und durch die Umkehraufgabe lösen … 33
6. Gleichungen lösen durch Umformen – Wichtige Regeln … 36
7. Einfache Gleichungen aufstellen und durch Umformen lösen … 42

Die Grundaufgaben der Prozentrechnung mit Gleichungen lösen … 48
1. Berechnung des Grundwertes … 48
2. Berechnung des Prozentwertes … 50
3. Berechnung des Prozentsatzes … 51
4. Übungsaufgaben zum Prozentrechnen … 53

Geometrieaufgaben mit Gleichungen lösen … 56
1. Umfangberechnungen … 56
2. Flächenberechnungen … 60

Raumlehreaufgaben mit Gleichungen lösen … 64
Volumenberechnung … 64

Ungleichungen aufstellen und lösen … 67
1. Ungleichungen aufstellen … 67
2. Ungleichungen zuordnen … 67
3. Ungleichungen überprüfen … 68
4. Ungleichungen am Zahlenstrahl lösen … 69
5. Ungleichungen lösen … 71
6. Vermischte Aufgaben … 72

Übungsaufgaben zu den Gleichungen … 74

Lösungen … 84

Anhang – Regeln … 93

[…]

Mit Rechenausdrücken umgehen

1. Rechenausdrücke aufstellen

Schreibe wie im Beispiel als Rechenausdruck. Setze wenn nötig Klammern, rechne aber noch nicht aus.

Beispiel:
Bilde die Summe aus 34 und 58 und dividiere durch 12:
(34 + 58) : 12 =

a) Dividiere 27 durch 41: ____________________________________________

b) Subtrahiere 521 von 1 457: ________________________________________

c) Multipliziere 39 mit 134: ___________________________________________

d) Addiere 96, 64 und 103: ___________________________________________

e) Multipliziere 17 mit 26 und addiere 105: ________________________________

f) Subtrahiere 27 vom Produkt aus 18 und 36:______________________________

g) Addiere 56 zum Quotienten aus 42 und 57: ______________________________

h) Dividiere die Differenz aus 67 und 32 durch 98: ___________________________

i) Addiere die Summe aus 21 und 45 zum Quotienten aus 128 und 63: ___________________________________________________________

j) Multipliziere das Produkt aus 213 und 768 mit der Differenz aus 187 und 76: _____________________________________________________

Nun geht es umgekehrt. Formuliere die folgenden Rechenausdrücke in Worten. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiel:
25 + 37 + 46
Addiere 25, 37 und 46

k) 124 – 32: _________________________________________________

l) 34 • 23: ___________________________________________________

m) 34 + 56: __________________________________________________

n) 234 : 65: __________________________________________________

o) (123 – 76) • 321: ___________________________________________

p) 87 • 40 – 237: _____________________________________________

q) (36 + 87) : (454 – 87): _______________________________________

r) 49 • (234 – 91) + 763: _______________________________________

2. Rechenausdrücke durch geschicktes Zerlegen vereinfachen

Rechne wie im Beispiel. Du kannst auch schneller rechnen. Versuche, im Kopf zu rechnen.

Beispiel:
7 • 56 = 7 • 50 + 7 • 6 = 350 + 42 = 392

a) 9 • 84 = __________________ = __________________ = ______

b) 6 • 39 = __________________ = __________________ = ______

c) 4 • 97 = __________________ = __________________ = ______

d) 6 • 127 = _________________ = __________________ = ______

e) 8 • 598 = _________________ = __________________ = ______

f) 7 • 854 = __________________ = __________________ = ______

g) 4 • 1 987 = ________________ = __________________ = ______

h) 3 • 4 756 = ________________ = __________________ = ______

i) 8 • 6 941 = _________________ = __________________ = ______

3. Rechenausdrücke durch vorteilhaftes Rechnen vereinfachen

Rechne wie in den Beispielen. Versuche im Kopf zu rechnen.

Beispiele:
2 • 28 • 5 = 10 • 28 = 280
26 + 37 + 54 = 26 + 54 + 37 = 117

a) 4 • 81 • 25 = ________________________ = ______

b) 105 – 84 – 15 = ______________________ = ______

c) 5 • 163 • 20 = ________________________ = ______

d) 497 + 184 – 107 = ____________________ = ______

e) 8 • 36 • 125 = ________________________ = ______

f) 1 055 – 294 + 145 = ___________________ = ______

g) 3,5 • 15 • 2 = ________________________ = ______

h) 3,7 + 15,29 + 4,3 = ___________________ = ______

i) 16,8 • 7 • 10 = ________________________ = ______

j) 12,25 + 109,51 – 0,25 = ________________ = ______

k) 1 1/2 – 4/5 + 1/2 = ____________________ = ______

l) 6 3/4 + 7 4/9 + 1/4 = ___________________ = ______

4. Rechenausdrücke durch Ausklammern vereinfachen

Rechne auch hier wie im Beispiel. Nebenrechnungen passen auf die Seite.

Beispiel:
37 • 21 + 37 • 36 = 37 • (21 + 36) = 37 • 57 = 2109

a) 54 • 106 – 54 • 28 =

_____________________ =

_____________________ = _________

b) 31 • 134 + 31 • 49 =

_____________________ =

_____________________ = _________

c) 81 • 632 – 81 • 85 =

_____________________ =

_____________________ = _________

d) 4,5 • 173 + 4,5 • 31 =

________________________ =

________________________ = _________

e) 3/4 • 164 – 3/4 • 124 =

________________________ =

________________________ = _________

[…]

7. Rechenausdrücke mit gleichem Wert zuordnen

Ordne jedem Rechenausdruck auf der linken Seite den entsprechenden der rechten Seite zu. Beide müssen jedoch den gleichen Wert haben. Schreibe den Buchstaben des zugeordneten Rechenausdrucks in das Kästchen davor.

a) (33 + 27) • 8 [_____] 125 : 5 + 75

b) 12 • 5 + 120 – 80 [_____] 26 • 6 – (156 – 100)

c) (73 – 64) • 17 [_____] 10 • 12 + 64 : 4

d) 5 • 23 – 3 • 5 [_____] 120 • 4

e) 32 : 4 • 11 + 12 • 4 [_____] 37 • 3 – (81 + 28)

f) (156 – 132) : (1 043 –1 031) [_____] 12 • 18 – 12 • 18 – 63

8. Rechenausdrücke mit gleichem Wert aufstellen

Stelle zu dem vorgegebenen Rechenausdruck einen auf, der den gleichen Wert hat.

a) 124 : 4 – 30 = ___________________________________

b) (56 + 54) : 11 = __________________________________

c) (212 – 154) • 2 + 64 = _____________________________

d) 315 : 5 : 9 • (225 – 125) = __________________________

Stelle nun selbst Rechenausdrücke auf und finde jeweils einen dazu, der den gleichen Wert hat.

_____________________________________ = __________________________________

9. Sachaufgaben als Rechenausdrücke darstellen und lösen.

Erstelle zu den folgenden Sachaufgaben einen Rechenausdruck und löse ihn. Schreibe einen Antwortsatz. Vergiss die Benennung nicht. Schreibe wie im Beispiel. Manchmal gibt es mehrere Möglichkeiten.

Beispiel:
Der Großhändler erhält 25 Kisten Orangen, die Kiste zu 7,45 €. Für Fracht und Steuern bezahlt er insgesamt 125 €. Wie teuer kommt eine Kiste?
125 : 25 + 7,45 =
5 + 7,45 =
= 12,45 [€]
Antwort: Eine Kiste kostet 12,45 €

a) Im Sommerschlussverkauf kosten Jacken statt 146,45 € nur 112 € und leichte Hosen anstatt 87,35 € nur 71,75. Herr Flott kauft zwei Hosen und eine Jacke. Wieviel Geld spart er?

Rechenausdruck: __________________________________________

Rechnung: ________________________________________________

__________________________________________________________

Antwort: __________________________________________________

b) Frau Munter geht mit 50 € zum Getränkemarkt. Sie kauft 2 Kästen Wasser zu je 2,88 €. Das Pfand beträgt pro Kasten 4,90 €, 3 Kästen Limo zu 11,89 € inklusive Pfand und ein Kasten Bier zu 12,90 €. Das Pfand dafür beträgt 3,10 €. Zusätzlich gibt sie Leergut ab: 3 Wasserkästen und 2 Bierkästen. Wieviel Geld hat sie noch im Geldbeutel?

Rechenausdruck: ____________________________________

Rechnung: __________________________________________

____________________________________________________

Antwort: ____________________________________________

c) Herr Sparsam hat dreimal im Jahr Öl gekauft. Das erste Mal brauchte er 500 l zu 0,75 €, das zweite Mal waren es 1400 l zu 0,62 € und beim dritten Mal kaufte er 2300 l zu 0,71 €. Wieviel Geld hat er in diesem Jahr für Heizöl ausgegeben?

Rechenausdruck: ____________________________________

Rechnung: __________________________________________

____________________________________________________

Antwort: ____________________________________________

d) Evi hat Geburtstag. Für die Tombola kauft sie 8 Preise zu je 1,25 €, 4 Preise zu je 1,45 € und 2 Preise zu je 1,75 €. Außerdem besorgt sie 2 Bogen Geschenkpapier zu je 0,95 € und 1 Packung Luftballons zu 2,57 €. Was gibt sie aus?

Rechenausdruck: ____________________________________

Rechnung: __________________________________________

____________________________________________________

Antwort: ____________________________________________

e) Die Firma Hans Meier erhält eine Lieferung Elektrogeräte. Es werden 7 Waschmaschinen zu je 479 €, 3 Wäschetrockner zu je 409 € und 12 Spülmaschinen zu je 499 € geliefert. Welchen Wert hat die Lieferung?

Rechenausdruck: ____________________________________

Rechnung: __________________________________________

____________________________________________________

Antwort: ____________________________________________

f) Peter spart regelmäßig für ein Fahrrad. Er zahlt in 5 Monaten folgende Beträge ein: 139 €, 97,50 €, 65,98 € 234,40 € und 32,22 €. Wieviel Geld hat er durchschnittlich im Monat gespart?

Rechenausdruck: ____________________________________

Rechnung: __________________________________________

____________________________________________________

Antwort: ____________________________________________

g) Klaus hat zum Geburtstag 100 € bekommen und kauft sich dafür Kassetten und CDs. Die Kassetten kosten im Fünfer-Pack 7,99 €, die CDs im Zehner-Pack 5,60 €. Wie viele Packungen kann er kaufen und wie viel Geld bleibt übrig?

Rechenausdruck: ____________________________________

Rechnung: __________________________________________

____________________________________________________

Antwort: ____________________________________________

h) Ein Radfahrer fährt 16,25 km /h. Wie weit ist er nach einer Fahrzeit von 3 Stunden 45 Minuten von seinem ursprünglichen Ziel (90 km) entfernt.

Tipp: Denke daran, dass 1 Stunde 60 Minuten hat.

Rechenausdruck: ____________________________________

Rechnung: __________________________________________

____________________________________________________

Antwort: ____________________________________________

i) Peter hat 80 € auf dem Sparbuch und möchte sich in 4 Monaten ein neues Fahrrad kaufen, das 480 € kostet. Seine Eltern geben ihm den dritten Teil des Kaufpreises, sein Pate den vierten Teil dazu. Wie viel muss Peter in den jedem Monat sparen?

Rechenausdruck: ____________________________________

Rechnung: __________________________________________

____________________________________________________

Antwort: ____________________________________________

j) Der Geflügelhändler Bauer leiht sich von seinem Nachbarn Geld und bezahlt die Zinsen mit Eiern, die je einen Wert von 0,25 € haben. Bei der Bank hätte er 12,50 € Zinsen zahlen müssen. Wie viele Eier muss er dafür dem Nachbarn geben?

Rechenausdruck: ____________________________________

Rechnung: __________________________________________

____________________________________________________

Antwort: ____________________________________________

[…]

4. Gleichungen lösen durch die Umkehraufgabe

Du weißt, dass Addition und Subtraktion, sowie Multiplikation und Division jeweils Umkehraufgaben sind.

Beispiele:
27 + 14 = 41
41 – 14 = 27
41 – 27 = 14

53 – 21 = 32
21 + 32 = 53
53 – 32 = 21

16 • 24 = 384
384 : 16 = 24
384 : 24 = 16

475 : 19 = 25
19 • 25 = 475
475 : 25 = 19

Diese Tatsache sollst du nun auch beim Lösen von Gleichungen verwenden.

1. Löse die folgenden Aufgaben durch die Umkehraufgabe. Schreibe wie im Beispiel.

Beispiele:

143 + x = 324
x = 324 – 143
x = 181

oder: 367 – x = 154
367 – 154 = x
213 = x

56 • x = 2 632
x = 2 632 : 56
x = 47

oder: 2 378 : x = 29
2 378 : 29 = x
82 = x

Um die Richtigkeit deiner Lösung zu überprüfen, solltest du immer eine Probe machen. Setze in den folgenden Gleichungen für x den Wert ein, den du errechnet hast und überprüfe durch die Probe.

Probe:
143 + 181 = 324
324 = 324

367 – 213 = 154
154 = 154

56 • 47 = 2 632
2 632 = 2 632

2 378 : 82 = 29
29 = 29

a) 532 + x = 790

______________________________

__________________
Probe:

b) 540 + x = 901

______________________________

__________________
Probe:

c) 984 – x = 808

______________________________

__________________
Probe:

d) 626 – x = 194

______________________________

__________________
Probe:

e) x + 854 = 1 093

______________________________

__________________
Probe:

f) x – 5 093 = 4 931

______________________________

__________________
Probe:

g) 8,743 + x = 15,632

______________________________

__________________
Probe:

h) 9,901 – x = 0,64

______________________________

__________________
Probe:

[…]

2. Löse die folgenden Aufgaben schrittweise. Schreibe wie in den Beispielen.

Tipp: Rechne schrittweise, dann kommst du schneller zum Ergebnis.

Beispiele:

(x + 7) • 5 = 55
(x + 7) = 55 / : 5
x + 7 = 11
x = 11 / – 7
x = 4

Probe: (4 + 7) • 5 = 55
11 • 5 = 55
55 = 55

(919 – 2 • x) : 7 = 105
(919 – 2 • x) = 105 / • 7
919 – 2 • x = 735
2 • x = 919 / – 735
2 • x = 184
x = 184 / : 2
x = 92

Probe: (919 – 184) : 7 = 105
735 : 7 = 105
105 = 105

a) (x + 19) • 27 = 675

__________________

__________________
Probe:

b) (x – 31) : 15 = 2

__________________

__________________
Probe:

c) (4 • x – 19) : 27 = 7

__________________

__________________
Probe:

d) (35 : x + 4) : 11 = 1

__________________

__________________
Probe:

e) (28 + 3 • x) • 9 = 495

__________________

__________________
Probe:

f) (x – 332) • 28 = 1 904

__________________

__________________
Probe:

g) (x : 24) – 175 = 17

__________________

__________________
Probe:

h) (39 + x) • 51 = 3 111

__________________

__________________
Probe:

i) (x + 8,25) • 0,4 = 3,98

__________________

__________________
Probe:

j) 4,7 • 5 = 6,6 + 13 • x

__________________

__________________
Probe:

k) x : 3/4 – 0,5 = 17,6

__________________

__________________
Probe:

l) 9 • x – 1 1/2 = 1 1/2

__________________

__________________
Probe:

5. Einfache Gleichungen aufstellen und durch die Umkehraufgabe lösen

Bevor wir einfache Textaufgaben aufstellen, wollen wir einige vorbereitende Übungen machen.

1. Setze die folgenden Texte in mathematische Zeichen um. Schreibe wie im Beispiel. addiere zu einer Zahl 5: x + 5

a) subtrahiere von einer Zahl 7: ___________________

b) multipliziere eine Zahl mit 19: ___________________

c) multipliziere 532 mit einer Zahl: ___________________

d) dividiere eine Zahl durch 135: ___________________

e) dividiere 3 567 durch eine Zahl: ___________________

f) addiere zur Differenz aus 3 und einer Zahl 9: ___________________

g) subtrahiere vom Produkt aus 6 und einer Zahl 41: ___________________

h) multipliziere den Quotienten aus 2 289 und 31 mit einer Zahl. _________________

i) addiere eine Zahl zum Produkt aus 67 und der Zahl: ___________________

j) dividiere die Summe aus 43 und 39 durch eine Zahl: ___________________

k) multipliziere die Differenz aus 54 und einer Zahl mit der Summe aus 34 und der Zahl: ___________________

l) addiere die Summe aus 769 und einer Zahl zur Differenz aus 984 und einer Zahl: ___________________

m) multipliziere das 4–fache einer Zahl mit 765: ___________________

n) addiere zum 3-fachen einer Zahl das 7-fache der Summe aus 17 und der Zahl: ___________________

o) multipliziere 4,6 und 3,4 mit dem 9-fachen der Summe aus 7,6 und einer Zahl: ___________________

p) subtrahiere vom Quotienten aus 59,5 und einer Zahl die 15-fache Differenz aus 768,98 und 34,234: ___________________

q) addiere 1 1/2 zu einer Zahl und du erhältst 3,547: ___________________

r) dividiere die Summe aus 34,5 und 14,6 durch eine Zahl: ___________________

2. Stelle nun selbst Gleichungen auf und löse sie durch die Umkehraufgabe. Schreibe wie im Beispiel. Überprüfe mit der Probe.

Beispiel: Peter denkt sich eine Zahl und addiert dazu 435. Er erhält 798.

x + 435 = 798
x = 798 / – 435
x = 363

Probe: 363 + 435 = 798
798 = 798

a) Welche Zahl muss ich zu 456 addieren, um 3 213 zu erhalten?

________________________