Leseprobe
Vorwort
Ziel dieses Buches ist es , dem Leser die Grundbegriffe und die Grundmethoden der Regelungstechnik in
einfacher und anschaulicher Weise darzustellen .
Das Buch ist systematisch so aufgebaut , daß es den Leser Schritt für Schritt in die Methodik und Verfahren
hinleitet und ihn allmählich mit dem Stoff vertraut zu machen , ohne daß er dabei unbedingt Vorkenntnisse
hinsichtlich der Regelungstechnik besitzen muß .
Dieses Werk, wie es so ausgegangen ist , ist das Resultat langjähriger Erfahrung meiner Tutortätigkeit an der
Karlsruher Universität . Das Umgehen mit Studenten hat nämlich dazugeführt , das Werk so umzugestalten :
x Kompakt aber ohne unnötigen Komplikationen .
x Einfach erklärt .
x Bei jedem Schritt mit Beispielen bestützt .
x Am Ende jedes Kapitels mit zahlreichen prüfungsorientierten Aufgaben beliefert .
Das Buch gliedert sich in 10 Kapiteln und bedeckt einen breiten Stoffstreifen . Somit richtet sich das Buch
sowohl an Studenten aller Ingenieur Fachrichtungen insbesondere des Maschinenbaus und der
Elektrotechnik als auch an Berufsmann und Dozenten , die einen schnellen Eingriff ins Material suchen .
Die im Buch zahlreich aufgeführten Beispiele sowie die am Ende jedes Kapitels behandelten
prüfungsorientierten Aufgaben mit ausführlichen Lösungen machen dieses Buch zugleich als Vorlesungs
und Übungsbuch in einem zusammen , deswegen ist es optimal geeignet für die Prüfungsvorbereitung .
Zum Inhalt :
Kapitel 1 befaßt sich mit den grundlegenden mathematischen Kenntnissen , die für die Vorlesung der
Regelungstechnik unentbehrlich sind : Komplexe Funktionen und Laplace Transformation .
Kapitel 2 beschreibt die Anschaulichung eines dynamischen Systems aus regelungstechnischer Sicht als
Strukturbild und wie man davon das mathematische Modell des Systems im komplexen Bereich erhält : Die
Übertragungsfunktion .
Kapitel 3 kommt der eigentlichen Aufgabe der Regelung einen Schritt näher und erklärt das Zweck der
Regelung . Dabei werden die Forderungen an der Regelung besprochen und das dynamische Verhalten des
Systems im Hinblick auf die Erfüllung dieser Forderungen untersucht .
Kapitel 4 behandelt den Regelkreis und gibt die Gleichung des Regelkreises wieder . Regler und Reglertypen
werden dargestellt . Anfänglische Schtitte der Regelungssynthese werden durchgeführt
Kapitel 5 : Der Frequenzgang als Zeiger in der komplexen Ebene und die Bahn seiner Spitze ( die Ortskurve
OK ) ermöglichen , mit Hilfe des Nyquist Kriteriums , Aussagen über die Stabilität der Systeme zu machen .
Im Kapitel 6 werden wir weitere Syntheseverfahren kennenlernen . Mit Hilfe der Frequenzkennlinien (
Bode Diagramme ) und des Nyquist Kriteriums in Kennliniendarstellung wird der Blickwinkel hinsichtlich der
Stabilitätsuntersuchung deutlich größer .
Kapitel 7 beschäftigt sich mit der Operationsverstärkerschaltung als Regelkreis . Dabei spielt der
Operationsverstärker die Rolle des Reglers . Dieses Kapitel ist besonders den Studenten außerhalb der
Elektrotechnik gewidmet, die eigentlich während ihres Studiumsverlaufs wenig mit diesem Schema zu tun
haben .
Kapitel 8 erklärt die Lineareisierung solcher nichtlinearer Systeme , die kleine Schwankungen um den
sogenannten Arbeitspunkt aufweisen : Linearisierung um den Arbeitspunkt .
Kapitel 9 : Das Wurzelortskurvenverfahren
Da hier durch die Wurzelortskurve die Bewegungsbahnen der Pole des geschlossenen Regelkreises in der
gesamten komplexen s Ebene deutlich einsichtig sind , kann nicht nur die Stabilität sondern das gesamte
dynamische Verhalten des Systems beurteilt und sogar korrigiert werden .
Anschließend werden im Kapitel 10 die Reglerparameter so bestimmt , daß ein Gütemaß für die Qualität
des Systemverhaltens ein Minimum annimmt . Als am meistens verwendetes Gütemaß wird die zwischen
dem Quadrat der sogenannten Regeldifferenz und der t Achse eingeschlossene Fläche herangezogen : Die
quadratische Regelfläche ( Integralkriterium ) .
Zababdeh , im Februar 2015
Husam Diebes
Inhaltsverzeichnis
1
. Einiges aus den komplexen Zahlen und der Laplace Transformation...1
1.1 Komplexe Zahlen...1
1.1.1 Darstellung einer komplexen Zahl ...1
1.1.2 Formen komplexer Zahlen...1
1.1.3 Rechenoperationen mit komplexen Zahlen...1
1.1.4 Weitere Regeln...2
1.2 Laplace Transformation...3
1.2.1 Was ist Laplace Transformation ?...3
1.2.2 Laplace Integral und Laplace Transformierte...3
1.2.3 Beispiele...4
1.2.4 Korrespondenz...5
1.2.5 Umkehrformel der Laplace Transformation...6
1.2.6 Weitere Regeln der Laplace Transformation...8
1.2.7 Einige Korrespondenzen der Laplace Transformation...10
2. System , Glied , Übertragungsfunktion...11
2.1 System...11
2.1.1 Regelungstechnische Darstellung eines Systems...11
2.1.2 Regelungstechnische Charakterisierung eines Systems im Zeitbereich...11
2.1.3 Bemerkungen...13
2.1.4 Charakterisierung des Systems im Laplace Bereich...13
2.1.5 Schlußfolgerungen...13
2.2 Glied...15
2.2.1 Definition eines Gliedes...15
2.2.2 Elementarglieder der Regelungstechnik...15
2.2.3 Der Einheitssprung , die Sprungantwort...16
2.2.4 Die Charakterisierung der Elementarglieder durch die Sprungantwort...18
2.2.5 Eine sehr wichtige Bemerkung...21
2.3 Blockschaltbild einer Strecke...22
2.3.1 Definition einer Strecke...22
2.3.2 Zusammenschaltung...22
2.3.3 Bestimmung der Übertragungsfunktion einer Strecke aus dem Blockschaltbild...23
2.3.4 Noch ein anderes Beispiel...27
2.3.5 Anschließende Bemerkungen...28
3. Studieren des Verhaltens eines dynamischen Systems...30
3.1 Die Forderungen an der Regelung...30
3.2 Die Stabilität...30
3.2.1 Definition der Stabilität...30
3.2.2 Untersuchung der Stabilität beim gegebenen
( )
G s
...31
3.2.3 Das grundlegende Stabilitätskriterium...34
3.2.4 Das Hurwitz Kriterium...36
3.2.4.1 Hurwitz Determinante H...36
3.2.4.2 Die Kettenbruchzerlegungs Methode...38
3.2.5 Beispiele zum Abschnitt Stabilität...42
3.3 Die genügende Schnelligkeit...45
3.3.1 Definition der Schnelligkeit...45
3.3.2 Schlußfolgerungen...46
3.3.3 Zeitkonstanten und Übertragungsfunktion...46
3.3.4 Beispiel...49
3.3.5 Komplexe Pole und Schnelligkeit...51
3.3.6 Aufgabe...52
3.4 Die hinreichende Dämpfung...52
3.4.1 Definition der Dämpfung...52
3.4.2 Dämpfung und Schwingungslehre...53
3.4.3 Mathematische Betrachtung der Dämpfung...53
3.4.4 Schlußfolgerungen...57
3.4.5 Die Dämpfung geometrisch...58
3.5 Die stationäre Genauigkeit...59
3.6 Kurze Zusammenfaßung des Kapitels und anschließende Bemerkungen...59
3.6.1 Optimales Verhalten eines dynamischen Systems...59
3.6.2 Aufgabe der Regelung...60
3.6.3 Anschließende Bemerkung...60
4. Der Regelkreis...61
4.1 Einführung...61
4.2 Entstehung und Funktionsweise der Regelung ( des Regelkreises )...61
4.3 Der offene Regelkreis...65
4.4 Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises...66
4.5 Charakteristisches Polynom und charakteristische Gleichung des Regelkreises...67
4.6 Regler und Reglertypen...67
4.7 Verfahren zur günstigen Auswahl von Reglern...69
4.7.1 Kessler Verfahren...69
4.7.2 Das Verfahren von Ziegler Nichols...71
4.8 Anschließendes Beispiel zum Kapitel...74
5. Frequenzgang , Ortskurve...83
5.1 Definition des Frequenzgangs...83
5.2 Mathematische Berechnung des Frequenzgangs...83
5.3 Eigenschaften des Frequenzgangs...84
5.4 Physikalische Bedeutung des Frequenzgangs...86
5.5 Meßtechnische Bestimmung des Frequenzgangs...87
5.6 Ortskurve...89
5.6.1 Definition und Form der Ortskurve...89
5.6.2 Eigenschaften der Ortskurve...90
5.7 Stabilitätsuntersuchung des geschlossenen Regelkreises mittels der Ortskurve des offenen
Regelkreises...94
5.8 Anschließendes Beispiel...98
6. Frequenzkennlinien...100
6.1 Definition der Frequenzkennlinien...100
6.2 Frequenzkennlinien einfacher Übertragungsglieder...102
6.2.1 Proportionalglied ( P Glied )...102
6.2.2 Integrierglied ( I Glied )...103
6.2.3 Differenzierglied ( D Glied )...105
6.2.4 Verzögerungsglied 1. Ordnung ( VZ1 Glied )...105
6.2.5 Die Umkehrung des VZ1 Glieds...108
6.3 Aufzeichnung der Frequenzkennlinien von Systemen...109
6.4 Vorteile der Frequenzkennlinien gegenüber der Ortskurve...116
6.5 Beurteilung des Verhaltens eines Systems aus den Frequenzkennlinien...116
6.6 Untersuchung der Stabilität von Regelkreisen mittels der Frequenzkennlinien...118
6.6.1 Stabilitätsgrenze...118
6.6.2 Nyquist Kriterium in Frequenzkennliniendarstellung ( ohne Herleitung )...119
6.7 Bestimmung des Frequenzgangs
(
)
G j
Z
aus den Frequenzkennlinien...120
6.7.1 Vorbemerkung...120
6.7.2 Minimalphasensysteme...121
6.7.3 Regeln...121
6.7.4 Beispiel...122
6.8 Abschließendes Beispiel zum Kapitel...124
7. Operationsverstärker...132
7.1 Definition und Sympol des Operationsverstärkers...132
7.2 Beschaltung des Operationsverstärkers...132
7.3 Polung des Operationsverstärkers...133
7.4 Arbeitsweise des Operationsverstärkers...133
7.5 Der ideale Operationsverstärker ...134
7.6 Allgemeines Beispiel...136
7.7 Beispiel für einen nicht invertierenden Operationsverstärker ...137
7.8 Kettenschaltung von Operationsverstärkerstufen...138
8. Linearisierung...139
8.1 Lineare und nichtlineare Systeme...139
8.2 Linearisierung um den Arbeitspunkt...139
8.3 Beispiele von Kennliniengliedern...141
8.3.1 Multiplikatives Glied...141
8.3.2 Dividierglied...141
8.4 Nichtlinearität vorgegeben als Differentialgleichung...142
8.5 Zusätzliche Bemerkungen zum Linearisierungsproblem...143
8.6 Abschließendes Beispiel zum Kapitel...144
9. Wurzelortskurvenverfahren...148
9.1 Allgemeine Charakterisierung des Verfahrens...148
9.2 Definition der Wurzelortskurve ( WOK )...148
9.3 Darstellung des Regelkreises...149
9.4 Bemerkungen...150
9.5 Beispiel...150
9.6 Einiges über die Form der WOK...156
9.7 Ablesen des dynamischen Verhaltens der Regelung aus der WOK...157
9.8 Regeln zur Konstruktion der WOK...160
9.9 Gleichung der WOK...162
9.10 Gleichung der erweiterten WOK...163
9.11 Beispiele zum Kapitel...164
10. Parameteroptimierung...18
10.1 Prinzip des Verfahrens...18
10.2 Regelflächen...18
10.2.1 Die lineare Regelfläche...18
10.2.2 Die quadratische Regelfläche...18
10.2.2.1 Die Berechnung von
1
n
a
für n=3...18
10.2.2.2
1
n
a
für n beliebig ( ohne Herleitung )...19
10.3 Liste der verschiedenen Regelflächen...19
10.4 Das symmetrische Optimum...19
10.5 Einstellregeln von Ziegler und Nichols...19
10.6 Beispiele zum Kapitel...19
Schrifttum
20
1
1.
Einiges aus den komplexen Zahlen und der Laplace Transformation
Die Grundkenntnisse der beiden Schwerpunkte ''komplexe Zahlen'' und '' Laplace Transformation
''
sind
für die bessere Verständnis der Vorlesung der Regelungstechnik unentbehrlich .
Es ist deshalb empfehlenswert, die Grundvorlesung der höheren Mathematik über komplexe Zahlen zu
wiederholen .
Zur Auffrischung der Kenntnisse seien im folgenden die wichtigsten Gesetzmäßigkeiten nocheinmal
erläutert .
1.1 Komplexe Zahlen :
1.1.1 Darstellung einer komplexen Zahl :
Eine komplexe Zahl ist als Vektor in der komplexen Ebene darstellbar
1.1.2 Formen komplexer Zahlen :
a. Normalform (Linearform ) : z
x
jy
, j : imaginäre Einheit
x : Realteil
y : Imaginärteil
b. Polarform :
,
:
,
:
j
z
z e
z
Betrag
Argument von z
M
M
<
Es gilt :
2
2
arctan
cos
sin
j
z
x
y
y
x
e
j
M
M
M
M
x
x
x
Damit :
>
@
cos
sin
cos
sin
j
x
y
z
z e
z
j
z
j z
M
M
M
M
M
<
<
<
<
Beispiel :
2
2
arctan 0.4
5 2
Re
5 , Im
2 ,
5
2
25 4
29
2
2
arctan
arctan
arctan 0.4
5
5
29
j
z
j
z
z
z
z
e
M
1.1.3 Rechenoperationen mit komplexen Zahlen :
a. Addition , Subtraktion : komplexe Zahlen werden so addiert ( subtrahiert ), indem Realteil mit
Realteil und Imaginärteil mit Imaginärteil addiert ( subtrahiert ) wird .
Beispiel :
1
2
1
2
1
2
3 8 ,
1 4
2 4 ,
4 12
z
j
z
j
z
z
j
z
z
j
b. Multiplikation : Multiplikation komplexer Zahlen geschiet wie die übliche Multiplikation von
2
Faktoren . Dabei muß man beachten : j . j = 1
Beispiel :
1
2
1
2
3 6
,
5
15 3
30
6
9 33
z
j
z
j
z z
j
j
j
C. Division : komplexe Zahlen sind Vektoren in der Ebene . Es gibt keine Division von Vektoren .
Man wandelt die Division komplexer Zahlen in eine Multiplikation um, indem man mit
der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert .
Die konjugiert komplexe Zahl
z einer komplexen Zahl z ist die jenige komplexe Zahl,
deren Realteil gleich dem Realteil von z und deren Imaginärteil gleich dem negativen
Imaginärteil von z ist . Eine solche Zahl ergibt sich geometrisch spiegelbildlich zur reellen
Achse der komplexen Ebene .
z
x
jy
z
x
jy
Es gilt :
x
2
2
2
2
2
z z
x
jy
x
jy
x
jxy
jxy
y
x
y
z
x
2
2 Re
z
z
x
jy
x
jy
x
z
x
2
2 Im
z
z
x
jy
x
jy
j
y
j
z
Beispiel :
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2 3
7 4
14 8
21
12
2 3 ,
7 4
49 16
65
2
29
65
65
j
j
z
z
z
z
z
z
z
j
j
z
j
z
j
z
z
z
z
z
z
j
1.1.4 Weitere Regeln :
Multipliziert man eine komplexe Zahl
1
z mit einer anderen komplexen Zahl
2
z , so
bedeutet dies geometrisch eine Umdrehung von
1
z um das Argument
2
M
von
2
z
und gleichzeitig eine Verstreckung von
1
z
um
2
z
, denn :
N
P
N
P
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
,
A rgument von z
Argument von z
j
j
Betrag Längevon z
Betrag Längevon z
z
z
e
z
z
e
M
M
1
2
1
2
1
2
A rgument
j
Betrag
z
z
z
z
e
M M
3
Beispiel :
N
P
N
P
N
N
P
1
2
1
2
40
80
1
2
40
80
120
1
2
2
,
3
2 3
6
Argument von z
À rgument von z
Argument
Argument
j
j
Betrag Länge
Betrag Länge
von z
von z
j
j
Betrag
Betrag
z
e
z
e
z
z
e
e
D
D
D
D
D
Dementsprechend gilt :
1. Multiplikation einer komplexen Zahl
z mit j bedeutet geometrisch eine Umdrehung von z um
90
2
S
D
( gegen Uhrzeigersinn ) .
2. Multiplikation einer komplexen Zahl
z mit
j
bedeutet geometrisch eine Umdrehung von
z um
90
2
S
D
( Richtung Uhrzeigersinn ) .
Denn :
2
cos
sin
0
1
2
2
j
j
e
j
j
j
S
S
S
2
cos(
)
sin(
)
cos( )
sin( )
0
2
2
2
2
j
j
e
j
j
j
j
S
S
S
S
S
Damit :
(
)
(
)
2
2
, (
)
j
j
j z
z e
j
z
z e
S
S
M
M
1.2 Laplace Transformation :
1.2.1 Was ist Laplace Transformation?
Die Laplace Transformation ist eine Operation, durch die man vom Zeitbereich in den Komplexbereich
übergeht .
Laplace Operator : Laplace Integral , Sympol :
L
^ `
1.2.2 Laplace Integral und Laplace Transformierte :
Die Laplace Transformierte einer Zeitfunktion wird durch das Laplace Integral bestimmt .
Im Laplace Bereich=Komplexbereich werden die Größen mit großen Buchstaben geschrieben .
Laplace Transformierte F(s) einer Zeitfunktion f(t) ist :
L
{
f(t)
}
=
0
( )
( )
,
:
,
st
F s
f t
e
dt
s komplexeV ariable
s
j
V
Z
f
³
, t : Zeitvariable .
4
1.2.3 Beispiele :
Man bestimme die Laplace Transformierte F(s) für folgende Zeitfunktionen :
1
2
3
4
( )
10 ,
( )
,
( )
sin
,
( )
,
:
tan
t
f t
f t
t
f t
t
f t
e
Kons
te
D
Z
D
Lösung :
L
^
`
1
1
1
0
0
0
0
1
1
10
( )
( )
( )
10
10
10
10
0
t
st
st
st
st
t
f t
F s
f t
e
dt
e
dt
e
dt
e
s
s
s
f
f
f
f
ª
º
ª
º
§
·
¨
¸
«
»
«
»
¬
¼
©
¹
¬
¼
³
³
³
1
10
( )
F s
s
^
`
2
2
2
0
0
0
0
2
0
0
1
1
( )
( )
( )
1
1
1
1
1
1
1 1
1
0
0
t
st
st
st
st
t
partielle Integration durchführen
t
st
st
t
L f t
F s
f t
e
dt
t e
dt
t
e
e
dt
s
s
e
dt
e
s
s
s
s
s
s s
s
F
f
f
f
f
f
f
ª
º
§
·
§
·
¨
¸
¨
¸
«
»
©
¹
©
¹
¬
¼
ª
º
ª
º
§ ·
¨ ¸
«
»
«
»
¬
¼
© ¹
¬
¼
³
³
³
³
2
2
1
( )
s
s
^
`
N N
N
,
,
3
3
3
0
0
0
0
0
0
0
1
1
( )
( )
( )
sin
cos
cos
1
1
1
1
cos
sin
sin
1
si
t
st
st
st
st
u
t
v
t
st
st
st
l
t
q
L f t
F s
f t
e
dt
t e
dt
t e
t
se
dt
s
s
t e
dt
t e
t
se
dt
s
s
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z Z
Z Z Z
Z
Z Z Z
f
f
f
f
f
f
f
ª
º
«
»
¬
¼
½
°
°
ª
º
®
¾
«
»
¬
¼
°
°
¯
¿
³
³
³
³
³
2
0
0
2
2
0
0
0
3
2
2
2
2
2
0
2
3
1
n
sin
1
1
sin
sin
1
sin
1
1
( )
sin
1
( )
st
st
st
st
st
st
s
t e
dt
t e
dt
s
s
t e
dt
t e
dt
t e
dt
F s
t e
dt
s
s
s
F s
s
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
Z
f
f
f
f
f
f
½
§ ·
®
¾
¨ ¸
© ¹
¯
¿
ª
º
§ ·
§ ·
«
»
¨ ¸
¨ ¸
© ¹
© ¹
«
»
¬
¼
§ ·
¨ ¸
© ¹
³
³
³
³
³
³
2
2
Z
^
`
4
4
4
0
0
0
0
4
1
1
1
( )
( )
( )
0
1
( )
t
s
t
s
st
t
st
t
L f t
F s
f t
e
dt
e
e
dt
e
dt
e
s
s
s
F s
s
D
D
D
D
D
D
D
f
f
f
f
ª
º
§
·
«
»
¨
¸
©
¹
¬
¼
³
³
³
5
1.2.4 Korrespondenz :
Die Beziehung zwischen einer Zeitfunktion f(t) und ihrer Laplace Transformirten F(s) wird öfters in
Form einer Korrespondenz geschrieben, die allgemein so aussieht :
Sympol der Korrespondenz :
f(t)
F(s)
Dabei wird die Zeitfunktion f(t) stets auf der Seite des großen Kreises, die Laplace Transformierte F(s)
auf der Seite des kleinen Kreises geschrieben .
Für die Funktionspaare unseres Beispiels schreibt man dann :
10
10
s
2
1
t
s
2
2
sin t
s
Z
Z
Z
1
t
e
s
D
D
Die letzte Korrespondenz kann man als Regel auffaßen, die bei der Rücktransformationsoperation der
Laplace Transformation eine sehr wichtige Rolle spielt :
1
t
e
s
D
D
... (R1)
Man kann von dieser Regel zu einer noch allgemeineren Regel übergehen, die folgrndrmaßen lautet :
1
1
(
1)!
n
t
n
t
e
n
s
D
D
... (R2)
Diese Beziehung kann man mit Hilfe der vorigen durch vollständige Induktion beweisen :
Beweis :
1. Induktionsbeginn :
0
1
1
1
1
0!
t
t
t
n
e
e
s
s
D
D
D
D
Das ist (R1)
2. Induktionsannahme : Es ist angenommen, daß die Beziehung für n=k richtig ist .
1
1
1 !
k
t
k
t
e
k
s
D
D
ist richtig
6
3. Induktionsbehauptung : Die Beziehung sei dann für n=k+1 richtig
1
1
!
k
t
k
t
e
k
s
D
D
sei richtig
4. Induktionsbeweis : Der Beweis der Behauptung geschieht stets in Anlehnung an die Richtigkeit der
Annahme .
N
,
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1 !
1 !
1 !
1
!
!
!
!
1
1
!
k
k
k
s
t
t
t
st
k
k
k
k
s
t
s
t
t
t
st
k
u
v
t
s
t
k
k
t
t
t
t
L
e
e
e
dt
e
dt
ist richtig
k
k
k
s
t
t
t
L
e
e
e
dt
e
dt
t
e
dt
k
k
k
k
t
e
kt
k
s
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
f
f
f
f
f
f
½
°
°
®
¾
°
°
¯
¿
½
®
¾
¯
¿
ª
º
§
·
¨
¸
«
»
©
¹
¬
¼
³
³
³
³
³
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
!
1
1
1
1
1
1
1 !
1 !
k
s
t
s
t
k
k
s
t
s
t
k
k
k
s
k
e
dt
t
e
dt
s
k
s
t
t
e
dt
e
dt
k
s
s
k
s
s
s
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
f
f
f
f
½
°
°
§
·
®
¾
¨
¸
©
¹
°
°
¯
¿
³
³
³
³
5. Induktionsschluß : Damit ist die Beziehung für alle
n
`
richtig .
1.2.5 Umkehrformel der Laplace Transformation :
Auch der umgekehrte Weg ist möglich . Das heißt man kann für eine gegebene Bildfunktion
( Laplace Transformierte ) F(s) die zugehörige Zeitfunktion ( Originalfunktion ) f(t) bestimmen .
Das geschieht durch die Umkehrformel der Laplace Transformation :
Sympol :
^
`
@
1
1
( )
0
:
1
(
0)
(
0)
0
:
1
2
,
( )
( )
( )
0
0
2
1
( 0)
0
2
c
j
ts
c
j
f t für t
und t Stetigkeitsstelle von f
f t
f t
für t
und t Sprungstelle von f
L
L
F s
f t
F s
e ds
für t
j
f
für t
S
f
f
°
°
°
®
°
°
°¯
³
;
;
E
Im allgemeinen wird es nicht nötig sein, für solche Zwecke immer die Umkehrformel zu benutzen .
Treten zum Beispiel rationale Ausdrücke in s auf, so gelangt man zur zugehörigen Zeitfunktion, indem
Man den rationalen Ausdruck in Partialbrüche der Form
1
n
s
D
zerlegt und dann durch Anwendung
der Formel (R2) rücktransformiert .
Das wollen wir an einem Beispiel demonstrieren :
Gegeben ist die Bildfunktion
4
3
2
2
( )
2
s
F s
s
s
s
. Man bestimme die zugehörige Zeitfunktion
( Originalfunktion ) f(t) .
7
Lösung :
1. Man führt eine Partialbruchzerlegung durch .
Nenner :
2
4
3
2
2
2
2
( )
2
2
1
1
N s
s
s
s
s
s
s
s
s
11
12
21
22
2
2
2
2
2
( )
1
1
1
r
r
r
r
s
F s
s
s
s
s
s
s
2. Man bestimme dann die Partialbruchkoeffizienten
11
12
21
22
,
,
,
r
r
r
r
durch Koeffizientenvergleich .
2
2
2
2
11
12
21
22
2
2
2
2
3
2
2
3
2
2
11
12
21
22
2
2
3
2
11
21
11
12
21
22
11
12
12
2
2
11
21
11
12
21
1
1
1
2
( )
1
1
2
2
1
1
2
2
1
0 ...(1)
2
r s s
r
s
r s
s
r s
s
F s
s
s
s
s
r
s
s
s
r
s
s
r
s
s
r s
s
s
s
r
r
s
r
r
r
r
s r
r
r
s
s
r
r
r
r
r
22
11
12
12
11
12
11
0 ...(2)
2
1 ...(3)
2 ...(4)
(4)
(3)
:
1 2
3
3
r
r
r
r
in
eingesetzt liefert r
r
r
Dann folgt aus (1) :
21
11
21
3
3
r
r
r
Und aus (2) :
22
11
12
21
22
2
6 2 3 1
1
r
r
r
r
r
Damit ist F(s) in Partialbrüche dargestellt :
2
2
3
2
3
1
( )
1
1
F s
s
s
s
s
3. Rücktransformation in den Zeitbereich durch Anwendung der Formel .
2
2
3
2
3
1
( )
1
1
F s
s
s
s
s
( )
3 2
3
t
t
f t
t
e
t e
In den Fällen, in denen sich F(s) nicht in Partialbrüche zerlegen läßt, ist man automatisch
gezwungen, die Umkehrformel zu benutzen, um f(t) zu bestimmen .
8
1.2.6 Weitere Regeln der Laplace Transformation :
Zur besseren Anschauung dieser Regeln wollen wir nun annehmen, daß das System keine
Vorgeschichte zeigt . Das heißt : zum Zeitpunkt der Betrachtung ( t=0 ) sind keine Anfangsbedingungen
vorhanden ( für t=0
» alle Anfangswerte = 0 ) .
a. Regel der verallgemeinerten Differentation der Originalfunktionen :
( )
n
f
t
( )
n
s
F s
Diese Regel ist sehr wichtig bei der Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten .
Beispiel :
Man bestimme die Lösung der Differentialgleichung
5 ( ) 6 ( )
( ) 4
0
y t
y t
y t
Lösung :
5 ( ) 6 ( )
( ) 4
0
y t
y t
y t
2
4
5
( ) 6
( )
( )
0
s Y s
s Y s
Y s
s
2
2
4
4
( )
5
6
1
( )
5
6
1
Y s
s
s
Y s
s
s
s
s
ª
º
¬
¼
Man zerlegt dann Y(s) in Partialbrüche und rücktransformiert in den Zeitbereich :
Partialbruchzerlegung : Pole :
1
2,3
1
2
3
6
36 20
6 4
0 ,
0 ,
0.2 ,
1
10
10
p
p
p
p
p
r
r
1
2
3
3
1
2
2
1
2
3
1
2
3
1
0.2
1
1
0.2
4
( )
0.2
1
0.2
1
0.2
1
5
6
0.2
0.2
1
r s
s
r s s
r s s
r
r
r
Y s
s s
s
s
s
s
s s
s
s
r
r
r
s
r
r
r
r
s s
s
9
Koeffizientenvergleich der Zähler :
1
2
3
1
2
3
1
1
1
3
3
1
3
2
1
3
5
0 ...(1)
6
0.2
0 ...(2)
4 ...(3)
(1) (2)
0.8
0
0.8
5
0.8
(1)
:
5
20 5
25
4
25
( )
0.
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
A us
ist r
r
r
Y s
s
s
5
2
1
s
0.2
( )
4 25
5
t
t
y t
e
e
b. Multiplikation der Originalfunktionen ( Faltung der Bildfunktionen ) :
1
2
( )
( )
f t
f t
N
1
2
1
2
1
2
1
1
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
2
2
c
j
c
j
c
j
c
j
F s
F s
F z
F s
z dz
F s
z
F z dz
j
j
S
S
f
f
n
f
f
³
³
Zeichen des Faltungsprodukts
c. Faltung der Originalfunktionen :
1
2
1
2
1
2
0
0
( )
( )
( )
(
)
(
)
( )
t
t
f t
f t
f
f t
d
f t
f
d
W
W W
W
W W
³
³
1
2
( )
( )
F s
F s
d. Dämpfung der Originalfunktionen :
( )
t
f t
e
D
(
)
,
:
F s
beliebig
D
D
e. Differentation der Bildfunktionen :
( 1)
( )
n
n
t
f t
( )
,
0,1, 2...
n
F
s
n
10
1.2.7 Einige Korrespondenzen der Laplace Transformation :
f(t)
F(s)
f(t)
F(s)
1
. ( )
bzw
t
V
1
s
( )
t
G
1
0
(
)
t
t
G
0
0
0
t s
e
t
;
!
n
t
n
1
1
0,1, 2...
n
n
s
1
sin t
Z
Z
2
2
1
s
Z
cos t
Z
2
2
s
s
Z
sinh at
2
2
a
s
a
cosh at
2
2
s
s
a
1
sin
t
e
t
G
Z
Z
2
2
2
1
2
s
s
G
G
Z
cos
t
e
t
G
Z
2
2
2
2
s
s
s
G
G
G
Z
sin
2
t
t
Z
Z
2
2
2
s
s
Z
cos
t
t
Z
2
2
2
2
2
s
s
Z
Z
1
t
S
1
s
t
e
t
G
S
1
s
G
11
12
13
2.1.3 Bemerkung :
Die Funktionalbeziehung zwischen Ausgangsgröße und Eingangsgröße wird durch die
Elemente des Systems
bestimmt . Mit anderen Worten :
Die Form der Funktionalbeziehung hängt vom Aufbau des Systems ab.
Jedes Element des Systems liefert seinen eigenen Beitrag zur Bildung der Funktionalbeziehung
(Differentialgleichung) .
Zur Erklärung dieses Sachverhalts betrachten wir als Beispiel unser mechanisches System nocheinmal :
( )
( )
( )
( )
m x t
d x t
k x t
F t
xx
x
( )
. .2.
Beitrag des
Beitrag des
Beitrag des
Masse Elements
Dämpfer Elements
Feder Elements
m
x
d
x
k
x
F t
Diff gl
Ordnung
xx
x
So ist zum Beispiel die Masse das Element, das dafür verantwortlich ist, daß das System von 2.Ordnung ist
(Diff.gl.2.Ordnung) . Wäre die Masse nicht vorhanden ( Feder Dämpfer System ) , so würde die das System
beschreibende Differentialgleichung so aussehen :
( )
d x
k x
F t
x
Diff.gl.1.Ordnung
2.1.4 Charakterisierung des Systems im Laplace Bereich :
Dazu transformieren wir die Funktionalbeziehung in den Laplace Bereich, in dem in der Regelungstechnik
gearbeitet wird :
1.Beispiel:
2
( )
( )
( )
( )
( )
m x d x
k x
F t
ms X s
dsX s
kX s
F s
xx
x
9S
Durch Umformung :
2
2
1
( )
( )
( )
( )
X s
ms
ds
k
F s
X s
F s
ms
ds
k
ª
º
¬
¼
2.Beispiel :
2
2
2
2
1
1
1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
q
q
q
du
d i
di
L
R
i
Ls I s
RsI s
I s
s U
s
I s
Ls
Rs
s U
s
dt
dt
C
dt
C
C
ª
º
«
»
¬
¼
9S
2
2
( )
( )
( )
( )
1
1
q
q
s
Cs
I s
U
s
Oder I s
U
s
LCs
RCs
Ls
Rs
C
2.1.5 Schlußfolgerungen :
1.
Die Differentialgleichung, die die Ausgangsgröße mit der Eingangsgröße verknüpft, wird durch die
Laplace Transformation in eine algebraische Gleichung in s umgewandelt .
14
2.
Dabei ist die Ausgangsgröße stets als Produkt aus einer Größe mit der Eingangsgröße darstellbar .
Allgemein :
N
N
N
( )
( )
( )
A usgangsgröße
Eingangsgröße
Übertragungsfunktion
Y s
G s
X s
n
n
n
x
Die Größe G(s) ist stets das Verhältnis :
( )
Ausgangsgröße
G s
Eingangsgröße
Und wird ``Übertragungsfunktion`` des Systems genannt .
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Y s
A usgangsgröße
Y s
G s
X s
G s
X s
Eingangsgröße
Definition der Übertragungsfunktion
eines dynamischen Systems
Der Begriff ``Übertragung`` kommt dadurch, daß das System auf Grund seines
Übertragungsverhaltens vom Eingang zum Ausgang untersucht wird .Nämlich die Übertragung der
Information vom Eingang zum Ausgang .
In unseren beiden Beispielen sind die Übertragungsfunktionen jeweils :
1
2
2
2
1
( )
( )
( )
,
( )
( )
1
( )
q
X s
Cs
I s
G s
G s
ms
ds
k
F s
LCs
RCs
U
s
3.
Die Übertragungsfunktion eines dynamischen Systems als Abbildung der Differentialgleichung des
Systems im komplexen Bereich, hängt auch logischerweise von den Elementen des Systems ab.
D.h.ihre Struktur wird durch den Aufbau des Systems bestimmt.
4.
In der Regelungstechnik wird das System durch seine Übertragungsfunktion G(s) dargestellt.D.h. das
System wird als Übertragungsfunktion gegeben.
G(s)
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Bei Erreichung der Eingangsgröße ist die Aufgabe praktisch beendet. Was man weiter zu tun hat, ist
nun die Zwischengrößen zu eliminieren, indem man sie in Abhängigkeit von der Eingangsgröße U(s)
und der Ausgangsgröße Y(s) ausdrückt .
5.
Man eliminiert alle Zwischengrößen und bekommt am Ende eine Beziehung, in der nur die
Ausgangsgröße Y(s) und die Eingangsgröße U(s) auftauchen .
6.
Man muß durch Umformung die Beziehung in der Form :
25
^
`
( )
( )
( )
G s
Y s
U s
erhalten konnen .
Der mit der Eingangsgröße U(s) multiplizierte Ausdrück ist dann die gesuchte Übertragungsfunktion G(s) des
Systems .
Nun wollen wir dies praktizieren und die Übertragungsfunktion G(s) der oben aufgezeichneten Stecke
bestimmen .
1.
Die Übertragungsfunktionen der einzelnen Blöcke sind :
Block,,1,, ist ein I Glied
1
3
( )
G s
s
Block,,2,, ist ein P Glied
2
( )
8
G s
Block,,3,, ist ein VZ1 Glied
3
2
( )
1 6
G s
s
Block,,4,, ist ein TZ Glied
2
4
( )
5
s
G s
e
Block,,5,, ist ein D Glied
5
( )
G s
s
2.
Wir beginnen nun mit der Ausgangsgröße Y(s) und gehen rückwärts :
1
1
2.
1.
3
2
( )
8
1 6
Summierungsstelle
Summierungsstelle
Y s
Z
Z
sY
s
s
ª
º
«
»
«
»
¬
¼
wobei
1
Z eine Zwischengröße ist (siehe Bild)
1
1
6
24
24
1 6
Z
Z
Y
s
s
s
1
1
1
1
6 24 1 6
6
24
30 144
25 ( )
1 6
1 6
1 6
30 144
( )
(1)
25 1 6
s
s
Y s
Z
Z
Z
s
s
s
s
s
s
s
s
Y s
Z
s
s
ª
º
«
»
¬
¼
3.
Nun machen wir jetzt rückwärts weiter angefangen mit der Zwischengröße
1
Z :
2
1
2
( )
( ) 5
( )
(2)
s
Z s
sY s
e
Z
s
wobei
2
Z eine zweite Zwischengröße ist
(siehe Bild)
4.
Weiter mit
2
( )
Z s :
2
1
( )
( )
( )
( )
(3)
Z s
U s
sY s
Z s
Damit hat man die Eingangsgröße U(s) erreicht .
5.
Elimination der Zwischengrößen
1
2
Z und Z :
Man setzt nun (3) in (2) ein :
26
@
2
1
1
5
s
Z
sY
e
U
sY
Z
Damit wurde die Zwischengröße
2
Z eliminiert .
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1 5
5
5
5
1 5
5
( )
( )
( )
1 5
s
s
s
s
s
s
s
Z
e
sY
e
U
se
Y
e
U
s
e
Y
e
Z s
U s
sY s
e
Man setzt jetzt
1
Z in (1) ein :
2
2
30 144
5
( )
( )
( )
25 1 6
1 5
s
s
s
e
Y s
U s
sY s
s
s
e
ª
º
«
»
¬
¼
Damit wurde die Zwischengröße
1
Z eliminiert und man hat somit eine Beziehung, in der nur die
Eingangsgröße U(s) und die Ausgangsgröße Y(s) vorkommen .
6.
Umformung der Beziehung :
27
28
3
3
3
3
3
1
2
2
3
7
3
( )
6
42
3
1
3
43
( )
43
43
:
7
1
3
7
21
( )
43
43
43
43
3
1
3
3
9
( )
1 5
43
43
43 1 5
43 1 5
U s
Y
X
s
U
Y
X
U
s
s
s
U
Y
X
U s
Y
X
s
s
Damit
U s
Y
X
Y
X
s
s
s
s
s
s
U s
Y
X
Y
X
s
s
s
s
ª
º
«
»
¬
¼
ª
º
«
»
¬
¼
Einsetzen von
1
2
(1):
U und U in
2
2
2
2
2
2
516
1 5
21 1 5
9
7 1 5
3
43 1 5
43
1 5
2
1
7
21
3
9
( )
12
1 4
43
43
43 1 5
43 1 5
1
21
9
7
3
( ) 12
( )
1 4
43
43 1 5
43
43 1 5
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
X s
X
Y
X
Y
X
s
s
s
s
s
s
x s
Y s
s
s
s
s
s
ª
º
«
»
¬
¼
ª
º
«
»
«
»
½
½
°
°
°
°
«
»
®
¾
®
¾
«
»
°
°
°
°
¯
¿
¯
¿
«
»
«
»
¬
¼
3
2
2
2
580
507
105
21
7 35
3
43 1 5
43
1 5
3
2
2
2
3
2
2
2
4
1
2580
507
105
21
7 35
3
( )
( )
( )
1 4
43
1 5
43 1 5
2580
507
105
21
7 35
3
( ) 1
( )
43
1 5
1 4
43 1 5
1 4
860
21
( )
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
X s
X s
Y s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
X s
Y s
s
s
s
s
s
s
s
X s
ª
º
«
»
¬
¼
ª
º
«
»
¬
¼
p
p
3
2
2
4
3
2
4
3
2
2
2
4
3
2
( )
93
464
105
21
7 35
3
( )
860
387
43
43 1 5
1 4
860
2193
464
105
21
( )
7 35
3
( )
7 35
3
( )
( )
860
2193
464
105
21
G s
s
s
s
s
s
Y s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
X s
s
s
Y s
s
s
s
s
X s
Y s
s
s
s
s
2.3.5 Anschließende Bemerkungen :
1.
Die Übertragungsfunktion G(s) eines Systems ist die mathematische Erfaßung (Darstellung) des
Systems, die man durch eine mathematische Hilfe (Laplace Transformation) aus der realen Welt
gewinnt .
Das heißt :
Durch dieses mathematische Hilfsmittel (Laplace Transformation) wird das System aus der realen
technisch erfaßbaren Welt in die Mathematikwelt transportiert .
29
Warum man zu diesem Vorgehen veranlaßt ist, is es deswegen, weil die Dinge dann im Komplexen
viel einfacher zu handhaben und zu bearbeiten sind . Es ist in der Tat viel einfacher mit einer
algebraischen Funktion G(s) umzugehen als mit einer noch viel komplizierteren Differentialgleichung.
2.
Durch diese Transformation in die Mathematikwelt ist die Systeminformation keineswegs verloren
gegangen . Im Gegenteil sie ist vollkommen in der Übertragungsfunktion G(s) eingebettet, da G(s)
durch den Aufbau des Systems bestimmt ist . Das heißt : G(s) ist die mathematische Reflexion des
Aufbaus des Systems . Deshalb ist es mit G(s) das System selbst zu verstehen !!! .
3.
Als mathematische Größe ist G(s) eine normierte einheitslose Größe anzusehen .
Die unabhängige Variable s der komplexen s Ebene wird auch als komplexe Frequenz genannt
s= +j
(obwohl in der Tat keine komplexe Frequenz existiert) . Trotzdem wird s als Frequenz
betrachtet .
Kommen in G(s) Ausdrücke, wie zum Beispiel, (2s+3) vor, was ofters der Fall ist, so handelt es sich bei
denen um reine einheitslose Zahlen . 3 ist eine reine Zahl, so muß 2s auch eine reine Zahl sein . Da
aber s eine Frequenz ist, deren Einheit das Hertz Hz=
1
Sekunde
ist, dann muß es sich beim
Koeffizienten 2 um eine Zeitkonstante handeln, deren Einheit die Sekunde ist, damit 2s insgesamt
einheitslos wird . Es ist deswegen nicht umsonst, daß man zum Beispiel beim VZ1 Glied G(s)=
1
k
Ts
den Koeffizienten von s mit T bezeichnet, um zu deuten, daß es sich dabei um eine Zeitkonstante
handelt. Whärend es sich beim k um eine reine Zahl handelt, weswegen k auch als
Verstärkungskonstante genannt wird .
30
3.Studieren des Verhaltens eines dynamischen Systems :
3.1 Die Forderungen an der Regelung
:
Nachdem man nun in der Lage ist, ein System regelungstechnisch zu erfaßen d.h es als Übertragungsfunktion G(s)
darzustellen, erhebt sich die Frage :
Wie kann man ein System regeln ?
Oder mit anderen Worten : Was bedeutet, ein system regeln zu lassen ?
Ein System regeln zu lassen bedeutet :
Bestimmtes gewünschtes dynamisches Verhalten am System zu erzielen !
Die Regelungstechnik zielt, das folgende dynamische Verhalten am System zu gewährleisten :
1.
2.
3.
4.
Die Stabilität
Die genügende Schnelligkeit
Die hinreichende Dämpfung
Die stationäre Genauigkeit
Bevor wir uns der Aufgabe der Regelung zuwenden, wollen wir zuerst das dynamische Verhalten einer Strecke anhand
dieser vier Forderungen untersuchen .
Nun :
x Was bedeutet : ein System ist stabil ? und wann ist ein System stabil ?
x Was bedeutet : ein System ist schnell ? und wann ist ein System schnell genüg ?
x Was bedeutet : ein System ist gedämpft ? und wann ist ein System hinreichend gedämpft ?
x Was bedeutet : ein System ist stationär genau ? und wann ist ein System stationär genau ?
3.2 Die Stabilität :
3.2.1 Definition der Stabilität :
Ein System arbeitet dann stabil, wenn seine Sprungantwort h(t) einen endlichen stationären Wert annimmt . Das
heißt : Wenn gilt :
.
lim ( )
st
t
h t
h
h
endlich
f
of
Aufgabe : Im folgenden seien die Sprungantworte von vier Systemen aufgezeichnet .
Welche von denen sind stabil ? welche nicht ?
31
32
x Durch den Grenzwertsatz der Laplace Transformation bedeutet dies :
0
0
0
0
lim ( )
lim
( )
1
( )
( )
:
1
lim ( )
lim
( )
lim
( )
lim
( )
(0)
lim ( )
(0)
t
s
t
s
s
s
t
h t
s H s
Mit H s
G s
wird
s
h t
s H s
s G s
G s
G
s
h t
G
of
o
of
o
o
o
of
Wir wollen allerdings die erste Vorgehensweise anwenden, weil sie uns zum Schluß ermöglicht, eindeutige
Schlußfolgerungen zu ziehen .
Nun wollen wir dies an drei Systemen demonstrieren, um danach zu sehen, wie das Endresultat aussieht .
Wir betrachten die drei Systeme :
2
1
2
3
2
2
3
1
2
3
1
( )
,
( )
,
( )
3
8
1
3
6
1 3
7
4
s
s
s
s
G s
G s
G s
s
s
s
s
s
s
s
s
System 1 :
1
1
2
1
3
( )
( )
1 3
7
4
s
H s
G s
s
s s
s
s
Wir führen eine Partialbruchzerlegung für
1
( )
H s
durch :
4,1
4,2
3
1
2
1
2
( )
7
1
4
4
3
3
r
r
r
r
r
H s
s
s
s
s
s
§
·
¨
¸
©
¹
Die Koeffizienten
1
2
4,2
,
,
,
r r
r
bestimmt man durch Koeffizientenvergleich . Wir wollen sie hier aber nicht
bestimmen, weil ihre genauen Werte für die weitere Betrachtung nicht wichtig sind .
Rücktransformation von
1
( )
H s
in den Zeitbereich :
7
4
4
3
3
1
1
2
4,1
4,2
( )
3
t
t
t
t
r
h t
r
r e
e
r e
r te
Grenzübergang :
1
1
lim
( )
.
,
0
:
1
!
t
h t
r
konst
Da die e
Faktoren alle gegen gehen für t
Ergebnis System ist stabil
of
o f
33
System 2 :
2
2
2
1
2,3
1
2,3
1
1
( )
( )
3
8
:
3
9 32
(
) :
0 ,
2
3
23
3
23
0 ,
2
2
2
3
23
3
23
inf
:
,
2
2
2
2
konjugiert komplexes Polpaar
s
H s
G s
s
s s
s
Partialbruchzerlegung
Pole Nullstellen des Nenners
p
p
p
p
j
W ir setzen e
ach ein
j
dann ist
j
D
D
r
r
r
3
1
2
2
2
3
2
1
2
3
3
23
3
23
3
23
3
23
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
2
1
( )
, :
!
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( )
,
:
( )
t
t
j
t
j
t
t
j
t
t
j
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H s
mit r r komplex
s
s
s
s s
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Rücktransformation
h t
r
r e
r e
Setzt mann
wieder ein
h t
r
r e
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e
r
r
D
D
D
D
D
D
D D
§
·
§
·
¨
¸
¨
¸
¨
¸
¨
¸
©
¹
©
¹
3
3
2
2
3
2
1
23
23
23
23
cos
sin
cos
sin
2
2
2
2
.
:
lim
( )
.
t
t
t
e
j
t
r e
t
j
t
Die beiden Klammerausdrücke stellen Schwingungen dar
Grenzübergang
h t
r
konst
of
ª
º
ª
º
«
»
«
»
¬
¼
¬
¼
Da die e Faktoren gegen 0 gehen für
t
o f
, und die beiden Schwinganteile beim Grenzübergang keine Rolle
spielen, weil der Cosinus und der Sinus stets Werte zwischen 1 und 1 einnehmen .
:
2
!
Ergebnis System ist auch stabil
System 3 :
Ende der Leseprobe aus 207 Seiten
- Arbeit zitieren
- Husam Diebes (Autor:in), 2015, Lineare Regelungen, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/289295
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