Entdeckbarkeitstheorie. Eine Theorie über die Frage, ob mathematische Objekte von Menschenhand geschaffen sind

Inhaltsverzeichnis

1 Grundbegriffe und Axiomatik
1.1 Existenz, Entdeckbarkeit und Erfundenheit
1.2 Axiome der Entdeckbarkeitstheorie

2 Entdeckbare mathematische Objekte
2.1 Konstruktion entdeckbarer Mengen
2.2 Entdeckbarkeit von N
2.3 Entdeckbarkeit von Z, Q und R
2.4 Entdeckbare algebraische Strukturen

3 Entdeckbarkeitscharakteristik und Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie
3.1 Entdeckbarkeitscharakteristik
3.2 Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie
3.3 Philosophische Bedeutung der Entdeckbarkeitstheorie

Autor

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Daniel Janocha, geboren in Mannheim, Studium der Mathematik und Mechanik an der Technischen Universität Darmstadt, seit 2013 Mathematikdozent an der Dualen Hochschule Baden-Württemberg Mannheim.

Zusammenfassung

Die Entdeckbarkeitstheorie ist eine Theorie der philosophischen Mathematik, die sich mit der Existenz derjenigen Objekte beschäftigt, mit denen Mathematik gemacht wird. In den „Grundlagen der Arithmetik“ fasst Gottlob Frege ^[1] kurz und prägnant den philosophischen Kerngedanken der Entdeckbarkeitstheorie zusammen: Mathematische Objekte sind nicht von Menschenhand geschaffen, sie existieren unabhängig von menschlichem Denken. Der Mensch benennt mathematische Objekte, um mit ihnen arbeiten zu können. Das Definieren ist dabei aber kein existenzschaffender Prozess, es ist lediglich eine Taufe, eine Namensgebung für bereits Existierendes.

Grundlegend für die Definition aller mathematischen Objekte ist die Definition des Begriffs Menge. Georg Cantor definierte 1895 eine Menge als „jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschau- ung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen.“ ^[2]

John von Neumann lieferte ein mengentheoretisches Modell zur Definition der natürlichen Zahlen ^[3], also für die elementarsten mathematischen Objekte. Die Entdeckbarkeitstheorie basiert auf von Neumanns Definition der natürlichen Zahlen und muss daher nicht auf die Peano-Axiome eingehen. Die von Neumann’sche Definition der natürlichen Zahlen motiviert das Axiomensystem der Entdeckbarkeitstheorie, aus dem die zwei Kernresultate der Entdeckbarkeitstheorie folgen:

- Alle mathematischen Objekte sind entdeckbar (Entdeckbarkeitscharakteristik).

- Aus entdeckbaren mathematischen Objekten können nur entdeckbare mathematische Objekte kon- struiert werden (Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie).

Aus der Entdeckbarkeitscharakteristik und dem Hauptsatz der Entdeckbarkeitstheorie folgt, dass der Mensch keine mathematischen Objekte schafft, sondern mit a priori existenten Objekten arbeitet. Das Ziel dieser Arbeit ist es, ausgehend von der Entdeckbarkeit der natürlichen Zahlen, die unmittelbar aus dem Axiomensystem folgt, die Entdeckbarkeitscharakteristik und den Hauptsatz der Entdeckbar- keitstheorie zu beweisen. Außerdem soll auf die philosophische Bedeutung der Entdeckbarkeitstheorie eingegangen werden.

1 Grundbegriffe und Axiomatik

1.1 Existenz, Entdeckbarkeit und Erfundenheit

Grundlegend für die Entdeckbarkeitstheorie ist die Unterteilung von existierenden Objekten in Objekte, deren Existenz nicht durch menschlichen Einfluss begann, und Objekte, deren Existenz durch menschlichen Einfluss beginnt. Wir definieren:

Definition 1.1 (Menge aller existierenden Objekte, entdeckbar, erfunden).

- Die Menge aller existierenden Objekte Oex ist die Menge aller konkreten Objekte und aller abstrak- ten Objekte unserer Anschauung.
- Ein existierendes Objekt heißt entdeckbar, wenn seine Existenz nicht durch menschlichen Einfluss begann. Wir bezeichnen die Menge aller entdeckbaren Objekte mit Oent.
- Ein existierendes Objekt heißt erfunden, wenn es nicht entdeckbar ist, seine Existenz also durch menschlichen Einfluss beginnt. Wir bezeichnen die Menge aller erfundenen Objekte mit Oerf.

Existierende Objekte lassen sich dementsprechend in Entdeckungen und Erfindungen einteilen. Per Definition sind die Menge der Entdeckungen und die Menge der Erfindungen disjunkt, d. h.: Ist ein Objekt entdeckbar, so ist es nicht erfunden. Ist ein Objekt erfunden, so ist es nicht entdeckbar. Präzise:

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Die vorangegangene Definition lässt sich in folgendem Schaubild darstellen:

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Abbildung 1.1: Die Entdeckbarkeitstheorie unterteilt existierende Objekte in entdeckbare und erfundene Objekte.

Beispiel 1.2 (Existierende Objekte).

- Beispiele für konkrete erfundene Objekte sind Fahrräder, Taschen, Tische, Häuser, Hosen, Hemden etc.
- Beispiele für abstrakte erfundene Objekte sind juristische Gesetze, Algorithmen, Konventionen etc.
- Beispiele für konkrete entdeckbare Objekte sind chemische Elemente, Gesteine, Pflanzen, Erde, Wasser, Feuer, Luft etc.
- Beispiele für abstrakte entdeckbare Objekte sind die Natur, Naturgesetze, Tod, Gefühle etc.

Zweifelsohne sind mathematische Objekte (Zahlen, Mengen, Vektorräume, Abbildungen etc.) abstrakt. Wir wollen im Folgenden klären, ob sie erfunden oder entdeckbar sind.

1.2 Axiome der Entdeckbarkeitstheorie

Wir wollen der Frage nachgehen, welche mathematischen Objekte entdeckbar sind. Mathematische Objekte sind zwar abstrakt, können nach obiger Definition aber unabhängig davon erfunden oder entdeckbar sein. Wir zeigen unter milden Forderungen, dass jedes mathematische Objekt entdeckbar ist. Dies folgt im Wesentlichen daraus, dass jedes mathematische Objekt als Menge definiert ist. Um Entdeckbarkeit sichern zu können, benötigen wir zum einen entdeckbare Objekte, also ein Existenzaxiom. Zum anderen ist ein Konstruktionsaxiom notwendig, mit dessen Hilfe wir aus der Entdeckbarkeit eines entdeckbaren Objekts die Entdeckbarkeit eines anderen Objekts folgern können.

Um das Axiomensystem stark zu halten, fordern wir lediglich die Entdeckbarkeit eines einzigen Objekts. Um ein Konstruktionsaxiom zu formulieren, lassen wir uns von der Intuition leiten, dass alle Konstituenten eines entdeckbaren Objekts entdeckbar sind. Um sich die Situation zu veranschaulichen, stelle man sich eine Zelle in einem Blatt einer Pflanze vor. Wenn die Pflanze entdeckbar ist, ist das Blatt entdeckbar, das einen Teil der Pflanze ausmacht. Und wenn das Blatt entdeckbar ist, ist die Zelle entdeckbar, die einen Teil des Blatts ausmacht. Dies ist klar, da die Existenz des betrachteten Objekts Pflanze nicht durch menschlichen Einfluss begann, also begann auch die Existenz der Konstituenten des betrachteten Objekts nicht durch menschlichen Einfluss. Wir haben also Pflanze entdeckbar [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Blatt entdeckbar [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Zelle entdeckbar.

Es ist daher naheliegend zu fordern, dass alle Konstituenten eines entdeckbaren Objekts entdeckbar sind. Um ein hinreichendes Kriterium für Entdeckbarkeit zu erhalten, fordern wir Äquivalenz: Ein Objekt soll genau dann entdeckbar sein, wenn all seine Konstituenten selbst entdeckbar sind. Konkret postulieren wir:

Axiom 1.3 (Axiome der Entdeckbarkeitstheorie).

- Existenzaxiom: Die leere Menge ; ist entdeckbar:

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- Konstruktionsaxiom: Eine Menge M ist genau dann entdeckbar, wenn alle ihre Elemente entdeckbar sind:

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Man könnte auf die Idee kommen, das Axiomensystem abzuschwächen, indem man das Konstruktionsaxiom durch

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abschwächt. Dies impliziert aber, dass es entdeckbare Mengen geben kann, deren Elemente selbst nicht alle entdeckbar sind. Es kann dann sogar entdeckbare Mengen geben, von denen kein einziges Element entdeckbar ist. Abgesehen von dieser seltsam anmutenden Tatsache, ist beim abgeschwächten Konstruktionsaxiom problematisch, dass es kein Objekt als erfunden klassifizieren kann: Man kann per Negation zwar feststellen, dass jede erfundene Menge mindestens ein erfundenes Element beinhalten muss. Aber man erhält kein hinreichendes Kriterium für Erfundenheit. Betrachte hierzu die Menge

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; ist nach dem Existenzaxiom entdeckbar, „Gabel“ hingegen ist erfunden. Ob M1 entdeckbar ist oder nicht, kann mit dem abgeschwächten Konstruktionsaxiom nicht beantwortet werden. Dasselbe gilt beispielsweise für die Menge

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die nur aus erfundenen Objekten besteht. Ein ordentliches, der Intuition entsprechendes Axiomensystem würde M2 als erfunden klassifizieren, da M2 nur aus erfundenen Objekten besteht. Um diese Problematik zu umgehen, verwenden wir das in Axiom 1.3 angegebene Konstruktionsaxiom. Negiert lautet es

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da Oerf das Komplement von Oent in Oex ist. Ausgesprochen: Eine Menge ist genau dann erfunden, wenn sie mindestens ein erfundenes Element besitzt. Damit haben wir ein hinreichendes Kriterium für Erfundenheit, wenn wir das in Axiom 1.3 gegebene Konstruktionsaxiom negieren. Da es sowohl in M1 als auch in M2 erfundene Objekte gibt, liefert dieses Axiom, dass M1, M2 ∈ Oerf, also dass sowohl M1 als auch M2 erfunden sind. Für M2 entspricht dies der Intuition. M1 besitzt aber ein entdeckbares Objekt. Das verwendete Axiomensystem besagt also, dass erfundene Mengen entdeckbare Elemente besitzen können. Nur wenn alle Elemente entdeckbar sind, ist die Menge selbst entdeckbar.

2 Entdeckbare mathematische Objekte

2.1 Konstruktion entdeckbarer Mengen

Zunächst geben wir eine Vielzahl allgemeiner entdeckbarer Mengen an.

Satz 2.1 (Konstruktion entdeckbarer Mengen). Sei I eine beliebige Indexmenge. Seien [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Oent. Dann gilt

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Beliebige Vereinigungen, Schnitte und Teilmengen entdeckbarer Mengen sind also entdeckbar. Beweis. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] d. h. für beliebiges i [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] gilt

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Wir wollen im Folgenden konkret entdeckbare Mengen angeben und beginnen mit Betrachtungen rund um die Menge der natürlichen Zahlen.

2.2 Entdeckbarkeit von N

Wie eingangs bemerkt, liegt der Entdeckbarkeitstheorie die von Neumann’sche Definition der natürlichen Zahlen [3] zugrunde, sodass hier nicht auf die Peano-Axiome eingegangen werden muss.

Definition 2.2 (Menge der natürlichen Zahlen). Definiere Null und den Nachfolger n + 1 einer natürlichen Zahl n durch

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Die Menge der natürlichen Zahlen N ist definiert durch die kleinste Menge mit den zwei Eigenschaften

[...]

^[1] Frege, G.: Die Grundlagen der Arithmetik, Reclam (1987)

^[2] Cantor, G.: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre, Mathematische Annalen 46 (1895), S. 481.

^[3] Kriegel, K.: Logik und Diskrete Mathematik: Grundbegriffe der Mengenlehre, Vorlesungsskript, FU Berlin, Wintersemester 2008 / 2009