Auswirkungen des lokalen Beulversagens von Wabenkernen auf das globale Festigkeitsversagen von Sandwich-Biegeproben

Gliederung

1. Einleitung.

2. Theorie zur Mechanik und zur Optimierung eines Sandwichbalkens.
2.1. Mechanik
2.1.1. Allgemeine mechanische Größen des Sandwichbalkens..
2.1.2. Steifigkeitsuntersuchung des Sandwichbalkens
2.1.3. Festigkeitsuntersuchung des Sandwichbalken
2.1.4. Stabilitätsuntersuchung der Kernstruktur
2.2. Optimierung.
2.2.1. Optimierung der Kernstruktur.
2.2.2. Optimierung der Sandwichstruktur .

3. Anwendung der theoretischen Vorgaben
3.1. Berechnung allgemeiner mechanischer Größen..
3.2. Berechnung der Biegelinie des Sandwichbalkens
3.3. Festigkeitsanalyse der Deckhäute und der Klebeverbindung..
3.4. Stabilitätsanalyse des Wabenkerns..
3.4.1. Tatsächliche Belastung der Stege
3.4.2. Kritische Lasten der als Platten modellierten Stege
3.4.3. Vergleich der Lasten in einer Beulhypothese..

4. Auswertung und Optimierung
4.1. Vergleich der globalen Untersuchungen mit Versuchsergebnissen
4.2. Auswertung und Diskussion der Stabilitätsanalyse des Wabenkerns.
4.3. Optimierung des Sandwichbalkens.
4.3.1. Optimierung der Kernstruktur.
4.3.2. Optimierung der Sandwichstruktur .

5. Zusammenfassung und Ausblick

6. Anhang
6.1. Geometrische Daten und Materialwerte der Sandwichproben
6.2. Bilder und Diagramme
6.2.1. Geometrie des Sandwichbalkens..
6.2.2. Tabellen und Diagramme.
6.3. Literaturverzeichnis.
6.4. Nomenklatur
6.5. Beschreibung der MATLAB-Progamme.

1. Einleitung

Die Sandwichbauweise bietet eine vorteilhafte Alternative zu profilierten Strukturen, da mit ihr Verbundplatten mit sehr guten statischen und konstruktiven Eigenschaften geschaffen werden können. Eine Sandwichtafel besteht in der Regel aus drei Schichten, den beiden außen liegenden Deckschichten und einer innen liegenden Kernschicht. Diese sind schub- und zugfest durch Klebung miteinander verbunden, um eine gemeinsame Tragwirkung zu erreichen. In den meisten Anwendungsbereichen hat sich die Kombination von faser­verstärkten Deckschichten und Hexagonalwabenkernen aus epoxidharzverstärktem Papier oder Aluminiumfolie durchgesetzt. Aufgrund der stetigen Stützung der Deckschichten durch den Kern eignet sich diese Bauweise hervorragend zur Aufnahme flächig verteilter Lasten. Für Punkte, an denen eine Einzellast eingeleitet werden soll, müssen allerdings konstruktive Maßnahmen getroffen werden, um diese Last aufzunehmen.

Das statische Verhalten eines Sandwichelements ähnelt dem eines I-Balkenprofils. Die Deck­schichten übernehmen das gesamte Biegemoment, während der Kern die gesamte Querkraft übernimmt; er wird also auf Schub belastet. Er hat außerdem noch die Aufgabe, die Deck­häute zu stützen, also ihr Ausbeulen zu verhindern, und für einen konstanten Abstand der Häute zu sorgen.

Das Institut für Luft- und Raumfahrt der Technischen Universität Berlin hat im Auftrag des DLR Braunschweig eine Testserie mit Sandwichbalken angestellt, in der das Deformations­verhalten dieser Proben untersucht wurde. An den Sandwichelementen wurden Vierpunkt-Biegeversuche gemäß DIN 53 293 durchgeführt. Die Versuchsausführung zeigte, dass das nicht optimale Verhalten und die Zerstörung der Biegeproben auf Kernversagen zurück­zuführen ist. An den Stellen der Krafteinleitung begann der Kern zu knittern. Die Auswertung brachte als Ergebnis, dass der Verbundwerkstoff noch hinsichtlich der Kernstabilität und des Gewichts optimiert werden kann.^[1]

In dieser Arbeit soll untersucht werden, inwieweit bei einem ebenen Sandwichtragwerk lokales Stabilitätsversagen des Kerns für das Festigkeitsversagen der Struktur mitverant­wortlich gemacht werden kann. Zunächst wird der Vierpunkt-Biegeversuch analytisch nach­gerechnet und die Testdaten werden mit dem Ergebnis verglichen. Als nächstes werden die einzelnen Wandsegmente des Hexagonalkerns als Stege eines Biegeträgers betrachtet und als solche einer Beulanalyse unterzogen. Die beulkritische Last wird mit Hilfe einer kombinierten Beulhypothese aus Druckkomponente und Schubkomponente bestimmt. Die Ergebnisse der Rechnung werden anhand der Testergebnisse diskutiert. Am Schluss wird versucht, den Sandwichverbund hinsichtlich Steifigkeit, Festigkeit, Stabilität und Gewicht zu optimieren. Die zu optimierenden Parameter sind die Deckschichtdicken, die Kernhöhe und der Kern­füllungsgrad.

In einem theoretischem Teil werden die zur Berechnung notwendigen Formeln mit Hilfe der Membrantheorie und der Platten-Beultheorie hergeleitet. Die Berechnung erfolgt in dem Programmsystem MATLAB.

Der Kern wird bei den meisten Berechnungsmodellen als Quasi-Kontinuum behandelt, das heißt, seine Moduln, seine Festigkeiten und sein Gewicht sind gemittelte Werte und werden als gleichmäßig über das Kernvolumen verteilt angenommen. Da der Kern aber bei optimaler Auslegung zwei Drittel des Gewichts beansprucht, kommt seiner Auslegung besondere Bedeutung zu; er sollte möglichst leicht gestaltet werden. Wird der Kern nicht als Kontinuum, sondern, wie in dieser Arbeit, als eine aus einzelnen Stegen zusammengesetzte Struktur betrachtet, dann besteht die Aussicht, dass unter Beachtung ausreichender Stabilität der Waben das Gewicht weiter zu reduzieren werden könnte.

2. Theorie zur Mechanik und zur Optimierung eines Sandwichbalkens

In diesem Abschnitt werden die theoretischen Grundlagen erläutert und die Gleichungen, die zur Berechnung notwendig sind, hergeleitet. Der erste Teil beinhaltet die Theorie der Mechanik der Sandwichberechnung, der zweite Teil beschäftigt sich mit der Optimierung des Sandwichbalkens.

2.1. Mechanik

Dieses Kapitel enthält die Herleitung der Gleichungen zur Berechnung der mechanischen Eigenschaften. Zuerst werden die Formeln für allgemeine mechanische Größen wie Schnitt­lasten, Spannungen und Verformungen hergeleitet; die folgenden Abschnitte beinhalten die Theorie der Steifigkeits-, Festigkeits- und Stabilitätsuntersuchungen am Sandwichbalken.

2.1.1. Allgemeine mechanische Größen des Sandwichbalkens

Schnittlasten

Die Schnittlasten des gebogenen Sandwichbalkens werden mit Hilfe der Balkentheorie bestimmt. Zur Berechnung der Schnittkräfte sind die Geometrie des Balkenquerschnitts, das Material und die Homogenität bzw. Inhomogenität des Balkenquerschnitts zunächst unwichtig, es spielt also keine Rolle, ob es sich um einen Sandwichbalken handelt oder um einen anderen Balken. Hat ein Bauelement gegenüber der Längenabmessung kleine Dicken­abmessungen, ist eine Voraussetzung dafür erfüllt, dass es als Balken bezeichnet werden kann. Andere Voraussetzungen sind die Aufrechterhaltung der Querschnittsgestalt und das Senk­rechtbleiben der Querschnitte gegenüber der neutralen Faser.

Die Auflagekräfte errechnen sich durch das Gleichgewicht der Kräfte und Momente am Balken. Da nur Kräfte in vertikaler Richtung auftreten, betrachtet man auch nur das Kräfte­gleichgewicht in dieser Richtung.

Zur Berechnung der Schnittkräfte wird der Balken in einzelne Abschnitte aufgeteilt, die durch die Positionen der Kraftangriffspunkte bzw. der Lager am Balken gegliedert sind. In den einzelnen Sektoren wird die Struktur aufgeschnitten und die Kräfte an den Schnittflächen angetragen. Die Schnittkräfte können wiederum durch das Gleichgewicht der Kräfte und Momente bestimmt werden.

Das Koordinatensystem und die Vorzeichendefinition sind in Abbildung 1 eingezeichnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Koordinatensystem und Vorzeichenkonvention für den Balken

Spannungen

Für die Berechnung der Spannungen muss der Querschnitt berücksichtigt werden. Ein Sand­wichbalken kann auch nicht mehr nach der Balkentheorie behandelt werden. Die von der Biegung des Sandwichbalkens rührenden Spannungen sind nicht wie bei homogenen Platten­querschnitten linear verteilt. Auch die aus der Querkraft resultierenden Spannungen verteilen sich nicht einfach parabolisch über die Dicke. Die Spannungen werden mit der Membran­theorie berechnet.^[2] Die Voraussetzungen für die Anwendung dieser Theorie sind:

- im Vergleich zur Kernhöhe dünne Häute
- ein im Vergleich mit den Häuten biegeweicher Kern
- ein konstanter Abstand der Hautmittellinien.

So kann die Hautbiegesteifigkeit vernachlässigt werden und der Kern beteiligt sich nicht an der Aufnahme von Längskräften.

Mit dem Kraftvektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

dem Momentenvektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und der Neutrallage

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt sich das Momentengleichgewicht des Sandwich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man hier die Kräftebilanz des Elements

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ein, so ergibt sich für die Biegespannung in den Häuten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Kernschubspannungen sind über die Höhe konstant. Sie berechnen sich aus den Quer­kräften:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Biegespannungen sind also abhängig von den Normalkräften und den Schnittmomenten im Balken, sowie der Balkengeometrie. Die Schubspannungen berechnen sich aus der Quer­kraft und der Balkenhöhe.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2:Kräfte, Momente und Spannungen am Sandwichelement (aus Wiedemann I,
S. 225)

Biegesteifigkeit

Da der E-Modul des Kerns sehr viel kleiner ist als die Moduln der Häute, kann die Biege­steifigkeit des Kerns vernachlässigt werden. Die Biegesteifigkeit der Häute berechnet sich aus den Dehnsteifigkeiten, die das Produkt aus den E-Moduln und den Dicken der Häute sind. Die Dehnsteifigkeiten der Häute in y-Richtung sind^[3]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Biegesteifigkeit hängt zusätzlich vom Abstand der Hautmittelflächen ab. Sie berechnet sich aus den beiden Dehnsteifigkeiten^[4]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schubsteifigkeit

Die Schubsteifigkeit errechnet sich aus der Querkraft und der Schubverformung der Platte^[5]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da die gesamte Schubkraft vom Kern aufgenommen wird, kann die Schubverformung der Platte durch die des Kerns ersetzt werden. Die Schubverformung des ganzen Sandwichs ist dann um den Faktor h/d geringer als die des Kerns:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Querkraft gilt laut (2.7) und mit der Definition für die Schub­spannung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Somit ergibt sich für die Schubsteifigkeit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Kernschubmodul wird bestimmt durch den Schubmodul des Kernmaterials und den Kern­füllungsgrad^[6]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dieser Wert muss noch mit einem Korrekturfaktor multipliziert werden, der von der Höhe des Kerns abhängig ist, da die Schubsteifigkeit mit der Kernhöhe abnimmt.^[7]

Der Kernfüllungsgrad ist der Quotient aus dem spezifischen Kerngewicht und dem spezifischen Gewicht des Kernmaterials:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das spezifische Kerngewicht berechnet sich über den Quotienten aus Gewicht des Kerns und Volumen des Kerns: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Das Gewicht einer Zelle des Kerns - bestehend aus zwei geraden und zwei schrägen Stegen (siehe Abbildung 4) – entspricht dem vierfachen Gewicht eines Steges: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das gesamte Kerngewicht ist das Produkt aus dem Gewicht einer Zelle und der Anzahl der Zellen pro Kernlänge bzw. -breite : Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt sich das spezifische Kerngewicht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Kerngewicht ist also nur abhängig von den variablen Größen Papierdicke sowie Waben­durchmesser, da das spezifische Gewicht des Papiers konstant ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Geometrie der Wabenstruktur

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Geometrie einer Zelle

2.1.2. Steifigkeitsuntersuchung des Sandwichbalkens

Zur Berechnung der Verformungen gelten wieder die Voraussetzungen der Sandwichtheorie, also dünne Häute, weicher Kern und konstanter Abstand der Häute. Setzt man in die Kräfte­gleichgewichte des Sandwichelements als Scheibe und in die Kräfte- und Momenten­gleichgewichte des Sandwichelements als Platte die Verformungen und die Elastizitäts­beziehungen ein, dann ergeben sich 5 Differentialgleichungen, die das Verformungsverhalten der Sandwichplatte beschreiben^[8]. Dieses Differentialgleichungssystem vereinfacht sich für den Sandwichbalken sehr, weil hier nur die Verformungen in der Querschnittsebene (y-z-Ebene) betrachtet werden. Es bleiben zwei Differentialgleichungen übrig:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wird die Durchbiegung w in zwei Anteile aufgespaltet, einen Teil, der aus der Biege­verformung resultiert und einen Teil, der aus der Schubverformung resultiert, so lässt sich das gekoppelte System in zwei Einzelgleichungen trennen.

Setzt man die aufgeteilte Verformung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und deren Ableitung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in (2.15) ein und ersetzt die Neigung der Sand­wichquerschnitte und die Schubverformung des Plattenquerschnitts durch die entsprechenden Ableitungen der Durchbiegung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

so ergibt sich für den Biege- und den Schubanteil:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Kräftegleichgewicht an einem Balken ist^[9]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eingesetzt in (2.17) ergibt sich der Biegeanteil:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und der Schubanteil:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Biegeanteilanteil hängt somit von der Biegesteifigkeit und dem Biegemoment ab, der Schubanteil berechnet sich aus Querkraft und Schubsteifigkeit. Durch Randbedingungen können die Integrationskonstanten, die sich nach der Integration der Differentialgleichungen ergeben, bestimmt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 5:Verformung des Sandwichbalkens aufgrund von Biegung und aufgrund von Schub (aus Wiedemann I, S. 241)

2.1.3. Festigkeitsuntersuchung des Sandwichbalken

Biegefestigkeit

Da laut der Voraussetzung der Membrantheorie der Kern biegeweich ist und sich nicht an der Aufnahme von Längskräften beteiligt, treten Biegespannungen nur in den Häuten auf. Es gibt zwar sowohl eine Zugspannung in der unteren Haut als auch eine Druckspannung in der oberen Haut, die Zugspannung wird jedoch viel eher zu einem Festigkeitsversagen führen als die Druckspannung. Es muss also nur die untere Haut auf Zugfestigkeit untersucht werden, da die kritische Spannung für Druckbelastung viel höher ist, als für Zugbelastung . Die Biege­festigkeit ist gewährleistet, solange die tatsächlich auftretende Spannung kleiner ist als eine zulässige Spannung. Die tatsächliche Spannung berechnet sich nach (2.6). Die kritische Spannung ist erreicht, sobald eine zulässige Dehnung der Haut überschritten ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schubfestigkeit

Der Kern nimmt die gesamte Schubbelastung des Sandwichverbundes auf. Dadurch wird die Klebeverbindung zwischen dem Wabenkern und den Häuten belastet. Um die Festigkeit dieser Verbindung nachzuweisen, wird ein Element des Kerns – also ein Steg der Wabe – herausgenommen und untersucht, ob die Klebeschicht zwischen dem Kernsteg und der Haut der angreifenden Kraft standhält. Die Schubspannung in der Klebeschicht verteilt sich nicht gleichmäßig, sondern es treten an den Rändern der Klebeschicht Spannungsspitzen auf.^[10] Der Mindestwert der Schubspannungsspitze muss geringer sein, als die Schubfestigkeit des Klebers:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Schubsteifigkeitsverhältnis errechnet sich aus den Schubmoduln des Kernmaterials und des Haut­materials sowie der Kern- und der Hautdi>

Auf eine Festigkeitsuntersuchung der Wabenwände selber wird hier verzichtet, weil davon aus­gegangen wird, dass die Stege unter der Schubbelastung zuerst beulen und dann brechen werden.

2.1.4. Stabilitätsuntersuchung der Kernstruktur

Eine Voraussetzung der Membrantheorie ist der konstante Abstand zwischen den Häuten. Bei intaktem Kern ist diese Bedingung auch erfüllt. Wenn der Kern sich unter dem Druck der angreifenden Kräfte verformt, dann werden die Häute zusammengedrückt und der Abstand zwischen ihnen ist nicht mehr überall gleich. Es ist deshalb notwendig zu untersuchen, bei welcher Belastung der Kern sich verformt. Aus dem Wabenkern wird ein Steg - eine Wand einer sechseckigen Wabe - herausgeschnitten und als Platte modelliert. Diese Platte steht unter einer Drucklast und unter einer Schubbelastung. Überschreiten die angreifenden Kräfte zulässige Werte, dann wird die Platte anfangen zu beulen, so dass sich ihre Länge ändert. Da alle Stege zusammenhängen und sich gegenseitig beeinflussen und stützen, sich aber im Falle des Versagens auch gegenseitig zum Beulen anregen, führt dies bei einer bestimmten Druck­kraft für den ganzen belasteten Bereich des Kerns zum Versagen, der Kern wird zusammen­gestaucht.

Für die Berechnung der kritischen Last stehen entsprechend den Belastungs- und den Lagerungsbedingungen Formeln zur Verfügung.^[11]

Platte unter Druckbelastung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6: Wabenwand unter Druckbelastung

Die kritische Last, ab der eine Platte unter Druck zu beulen anfängt, berechnet sich aus einem Beulfaktor k und einer Druckkraft N, die von den Biegesteifigkeiten und der Breite der Platte abhängt^[12]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Biegesteifigkeiten sind dabei wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Beulfaktor wird aus dem modifizierten Seitenverhältnis, der Halbwellenzahl der Beulen in Längsrichtung m (siehe Diagramm in Bild 7), den beiden Faktoren p und q, die von den Einspannverhältnissen bestimmt werden (siehe Diagramm in Bild 8), und der Kreuzzahl Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten berechnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das modifizierte Seitenverhältnis ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Formeln für die Kreuzzahl und die Querkrümmungssteifigkeit lauten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7: Diagramm zur Bestimmung der Halbwellenzahl m (aus Pflüger, S. 441), Das c ist in diesem Diagramm der Randeinspannungskoeffizient. Es ist für die gelenkige Lagerung ¥ und für die feste Einspannung 0.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 8:Diagramm zur Bestimmung von p und q in Abhängigkeit von dem Rand­einspannungskoeffizienten c (aus Pflüger, S. 441).

Platte unter Schubbelastung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 9:Platte unter Schubbelastung

Auch bei der Platte unter Schubbelastung errechnet sich die kritische Last aus einem Beul­faktor und einer Kraft N f ^[13]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

N f ist nach Formel (2.25) zu bestimmen und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erhält man aus einem Diagramm (siehe Abbildung 10).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 10:Diagramm zur Bestimmung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ( aus Pflüger, S. 444)

Damit der Kern nicht beult, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das heißt, die tatsächlich angreifenden Kräfte müssen geringer sein als die kritischen Lasten und das Verhältnis zwischen tatsächlicher und kritischer Belastung muss auch noch bei Kombination von Schub- und Druckbelastung kleiner als 1 sein. Da der erste Term nicht quadriert wird, ist berücksichtigt, dass eine Zugspannung entlastend wirkt. Aus der Definition der Biegesteifigkeiten (Formel 2.26) ist zu erkennen, dass die Stegdicke t in der dritten Potenz in die Gleichungen für die kritischen Lasten eingeht. Das bedeutet, durch die Veränderung dieser Größe kann die Stabilität am wirksamsten beeinflusst werden.

2.2. Optimierung

In diesem Kapitel wird die Theorie zur Optimierung der Sandwichplatte gezeigt. Zunächst wird die Kernstruktur optimiert und anschließend die Sandwichstruktur.

2.2.1. Optimierung der Kernstruktur

Für die Optimierung des Kerns gelten zwei Restriktionen. Zum einen müssen die Waben stabil sein, das heißt die gegebene Belastung darf die Beulgrenze nicht überschreiten. Zum anderen soll eine ausreichende Schubfestigkeit zwischen der Deckschicht und dem Kern gewährleistet sein. Die Zielfunktion ist das Gewicht, das möglichst klein sein sollte.

Stabilitätsrestriktion

Der Kern besteht aus Nomex-Papier, das mit Epoxidharz verstärkt ist. Dieses bildet eine Hexagonalwabenstruktur. Damit die Stabilität des Kerns gewährleistet ist, muss die Bedingung für die Stabilität (siehe Formel 2.28) erfüllt sein. Um mögliche Ungenauigkeiten in der Wabenstruktur^[14] zu berücksichtigen, wird noch ein Sicherheitsfaktor j eingeführt. Es muss gelten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Einsetzen der Formeln (2.24), (2.31) und (3.49-52) erhält man eine Bedingung, in der die Höhe des Kerns, der Wabendurchmesser und die Dicke des Papier variiert werden können.

Schubfestigkeitsrestriktion

Um eine ausreichende Schubfestigkeit zwischen Deckschicht und Kern zu gewährleisten, darf die maximale Schubspannungsspitze in der Klebeschicht nicht größer sein als eine zulässige Schubspannung für diesen Kleber. Zusätzlich wird ein Sicherheitsfaktor j mit eingerechnet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zielfunktion Gewicht

Das spezifische Kerngewicht (siehe Formel 2.14) sollte möglichst gering sein. Es hängt von der Dicke des Papiers und dem Wabendurchmesser ab.

2.2.2. Optimierung der Sandwichstruktur

Das gesamte Sandwichelement wird über dem Strukturkennwert optimiert.^[15] Der Struktur­kennwert enthält die Last und eine für die Aufgabe charakteristische Länge und gibt damit Auskunft über die Art der Belastung. Die Restriktionen sind Festigkeit und Steifigkeit. Das Gewicht des Sandwichbalkens soll minimiert werden und gleichzeitig darf eine gewisse zulässige Werkstofffestigkeit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und ein vorgegebener Verformungsweg Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten nicht über­schritten werden. Hinsichtlich dieser Restriktionen ist der Sandwichbalken auszudimensio­nieren.

Der Strukturkennwert für eine Linienlast ist wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Festigkeits- und Steifigkeitsrestriktionen leiten sich aus den Formeln für die maximale Biegespannung und die maximale Durchbiegung her und können auf folgende Form gebracht werden^[16]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Beiwerte Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenund Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten enthalten die Lagerbedingungen und die Exzentrizitätsbeiwerte der Deckschichten. Vernachlässigt man die Schubverformung durch die Querkraft, ergibt sich folgende Steifigkeitsrestriktion:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da auf minimales Gewicht optimiert werden soll, muss als Zielfunktion ein Äquivalent­volumen definiert werden, welches die unterschiedlichen spezifischen Gewichte von Kern und Haut berücksichtigt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um das Gewicht zu verringern, kann also die Dicke der Deckschichten, der Abstand der Hautmittelflächen oder der Kernfüllungsgrad verkleinert werden.

Durch Einsetzen der Restriktionen in die Zielfunktion erhält man das Volumenminimum als Kennwertfunktion. Durch partielles Ableiten lassen sich die Variablen optimieren.

3. Anwendung der theoretischen Vorgaben

In diesem Abschnitt wird anhand der gegebenen geometrischen Größen sowie der Material­kennwerte^[17] das Verhalten des Sandwichbalkens untersucht. Zunächst werden die allgemeinen mechanischen Größen bestimmt. Anschließend wird die Biegelinie des Balkens berechnet. Schließlich werden eine Festigkeitsanalyse der Deckhäute und der Klebeverbindung zwischen Deckhäuten und Kleber sowie eine Stabilitätsanalyse des Kerns durchgeführt.

3.1. Berechnung allgemeiner mechanischer Größen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 11: Kräfte am Balken

Schnittlasten

Die Lagerkräfte errechnen sich nach dem Kräftegleichgewicht am Gesamtbalken:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Schnittlasten werden für jeden Bereich getrennt berechnet. Für Bereich I Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund der Symmetrie gilt dies ebenso für Bereich V [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Im Bereich II [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sind Schnittkraft bzw. Moment:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Bereich IV verhält sich spiegelbildlich zu Bereich II, da der Balken und die Belastung symmetrisch sind.

Im Bereich Bereich III [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] tritt keine Querkraft auf, das Schnittmoment ist konstant:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei einer Belastung von F = 4000 N sind die Maximalwerte also Q max = -2000 N und Mmax = -324 Nm. (Siehe Diagramme 1 und 2)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 1: Querkraftverteilung für den Sandwichbalken

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 2: Schnittmomentverteilung für den Sandwichbalken

Da ein Sprung im Verlauf der Querkraft zu Problemen bei der Berechnung der Biegelinie führt^[18], wird angenommen, die Kraft des Stempels greift nicht als Punktlast, sondern als Linien­last über eine Strecke von 2 h an:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ergibt sich dadurch ein weiterer Bereich zwischen II und III (Bereich IIa).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 11a: Kräfte als Flächenlast

Die Schnittlasten für die Bereiche I, II und III bleiben gleich. Für den Bereich IIa gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die neuen Schnittlastverläufe sind in den Diagrammen 3 und 4 abgebildet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 3: Querkraftbelastung bei Linienlast

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 4: Schnittmomentbelastung bei Linienlast

Spannungen, Biegesteifigkeit und Schubsteifigkeit

Die Spannungen berechnen sich laut Formel (2.6). Mit dem Kraft- bzw. Momentenvektor:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gilt für die untere Haut:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als Maximalwert im Bereich III ergibt sich mit der Belastung von F = 4000 N eine Spannung von: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Schubspannung kann mit Hilfe der Formel (2.7) berechnet werden. Mit der Quer­belastung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten;

Die Maximalbelastung im Bereich II und IV ist also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Biegesteifigkeit ergibt sich mit der Formel (2.9) zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Schubsteifigkeit ist laut der Formel (2.11):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.2. Berechnung der Biegelinie des Sandwichbalkens

Die Biegelinie wird für jeden Bereich (II, IIa und III) getrennt berechnet. Sie setzt sich laut der Formel (2.16) aus dem Anteil der Durchbiegung aufgrund der Biegemomente und dem Anteil der Durchbiegung aufgrund der Schubkraft zusammen. Setzt man die Formeln für Biegung (2.19) und Schub (2.20) in (2.16) ein, ergeben sich Differentialgleichungen, die durch Integration die Lösung für die Biegelinie liefern. Mithilfe von Rand- und Übergangs­bedingungen können die Integrationskonstanten bestimmt werden.

Zunächst werden die Gleichungen für die Biegelinie für jeden Bereich (II, IIa und III) hergeleitet:

Bereich II

Mit dem Schnittmoment:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt sich für den Biegeanteil

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch zweimaliges integrieren erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit der Querbelastung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gilt für den Schubanteil:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch Integration ergibt sich der Anteil der Durchbiegung aufgrund der Schubbelastung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die gesamte Durchbiegung im Bereich II ist somit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bereich IIa

Mit dem Schnittmoment:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt sich die Durchbiegung aufgrund der Biegemomente:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit der Querbelastung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ist der Schubanteil:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die gesamte Durchbiegung im Bereich IIa setzt sich aus den beiden Anteilen zusammen und ist somit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bereich III

Im Bereich III tritt keine Querkraft auf und deshalb auch keine Schubbelastung. Die Durch­biegung berechnet sich also nur aus dem Anteil aufgrund der Biegemomente.

Mit dem Schnittmoment:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt sich die Durchbiegung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Nach der Integration erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als nächstes werden die Rand- und Übergangsbedingungen aufgestellt. Am Auflager muss die Durchbiegung gleich Null sein:

1:Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

An den Übergängen zwischen den drei Bereichen muss die Durchbiegung und der Winkel der Biegelinie rechts und links gleich groß sein:

2: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

4: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

5: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Aufgrund der Symmetrie muss die Durchbiegung im Bereich III an den beiden Rändern gleich groß sein:

6: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hier wird deutlich, warum eine unstetige Verteilung der Querkraft in dieser Rechnung zu einem falschen Ergebnis geführt hätte. Die Berechnung hätte nur für zwei Bereiche durch­geführt werden müssen. Die Übergangsbedingungen hätten gelautet:

1:Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2:Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

An der Stelle y = 5h muss die Biegelinie also stetig verlaufen. Die Biegelinie ist abhängig von der Querkraft und dem Biegemoment. Der Biegemomentverlauf ist an dieser Stelle stetig, der Querkraftverlauf allerdings unstetig.^[19] Mit diesen Schnittlastverläufen wäre die Übergangs­bedingung nur zu erfüllen, wenn die Querkraft keinen Einfluss auf die Biegelinie hätte. Das bedeutet, der Biegelinienverlauf wäre unabhängig von der Schubbelastung; einzig die Biegung trägt zur Verformung bei. Das ist aber unwahrscheinlich, auch die Schubbelastung muss zur Verformung beitragen. Es ist deshalb sinnvoll, die Lastverteilung so anzunehmen, dass ein stetiger Querkraftverlauf gegeben ist.

Mit den Randbedingungen 1-6 lassen sich nun alle Konstanten bestimmen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit können für alle drei Bereiche die Gleichungen für die Biegelinie aufstellt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(3.31b)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Biegelinienverlauf für eine Kraft F = 2000 N ist im Diagramm 5 abgebildet. Zusätzlich wurden noch die gemittelten Messergebnisse^[20] der Gruppe 1 für diese Kraft eingezeichnet. Die Diagramme für die anderen Messwerte sind im Anhang abgebildet.^[21]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 5: Berechnete Biegelinie und tatsächliche Durchbiegung bei einer Belastung von 2000 N

3.3. Festigkeitsanalyse der Deckhäute und der Klebeverbindung

Biegefestigkeit

Die kritische Dehnung des Faserverbundmaterials der Deckschichten beträgt ca. 0,5%. Da nur ein einachsiger Spannungszustand herrscht, muss die Querkontraktion nicht beachtet werden. Nach der Formel (2.21) ergibt sich die kritische Biegespannung in der unteren Deckschicht:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Ein Versagen müsste also im Bereich III eintreten, da hier die höchste Biegebelastung herrscht; die kritische Kraft ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Kraft liegt über den Testlasten im Versuch; die Festigkeit ist also gewährleistet.

Schubfestigkeit

Die Klebeverbindung zwischen Kern und Deckschicht wird auf Schub belastet. Um die Schubfestigkeit der Klebestellen zu testen, wird zunächst eine Zelle im Wabenkern betrachtet.^[22] Der Schubfluss, der an einem Steg in der Zelle angreift, ist im Bereich II bei maximaler Belastung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eingesetzt in die Formel (2.22) ergibt sich für die obere Klebeschicht eine Schubspannungs­spitze von:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Es ist also bei einer zulässigen Spannung von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten eine Sicherheit von 8,8 gegeben. Für die untere Klebeschicht ergibt sich eine Schubspannungsspitze von:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und damit eine Sicherheit von 6,9.

3.4. Stabilitätsanalyse des Wabenkerns

Um den Wabenkern einer Stabilitätsanalyse zu unterziehen, wird überprüft, ab welcher Last eine einzelne Wand einer Wabe, die als Platte modelliert wird, anfängt zu beulen. Zunächst werden die tatsächlichen Lasten auf einen Steg ermittelt. In einer kombinierten Beulhypothese werden diese mit den kritischen Lasten für Platten verglichen.

3.4.1. Tatsächliche Belastung der Stege

Verteilung der Last

Um das Stabilitätsverhalten des Kerns zu untersuchen, muss zuerst bestimmt werden, wie sich die Last auf den Kern verteilt. Auf der Deckschicht greift die Kraft zwar als Linienlast an der Auflagefläche des Stempels an, auf den Kern selber wirkt sie aber nicht punktuell, sondern wird durch die Deckschicht gestreut. Für die Verteilung muss eine Näherungslösung gefunden werden.

In dem Bereich, in dem die Kraft angreift (in der Rechnung als die Länge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bezeichnet), kann die Deckschicht als Balken modelliert werden. Der Kern, auf dem die Deckschicht lagert, kann als ein Feld von Federn angenommen werden. Auf den Balken wirken dann von der einen Seite die Einzelkraft und von der anderen Seite die Federkräfte, die als kontinuier­liche Linienlast angenommen werden kann, abhängig von der Durchbiegung der Deckschicht. Bestimmt man für den Balken die Biegelinie, kann mit einem Federkennwert die Belastung des Kerns berechnet werden. Für die Last gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 12: Biegung der Deckschicht

Aus dieser Flächenlast lässt sich das Schnittmoment M(y) bestimmen. Laut Balkentheorie gilt die Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Schnittmoment im Balken ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch zweimaliges Ableiten erhält man die Differentialgleichung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das ist eine sehr komplizierte Differentialgleichung, so dass es sinnvoll ist, eine Vereinfachung vorzunehmen. Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten wird nicht aus der Federkraft des Kerns bestimmt, die sich aus der bisher unbekannten Durchbiegung ergibt, sondern als Durchbiegung wird zunächst die Verformung eines beidseitig gelenkig gelagerten Balkens, auf dem mittig eine Kraft P angreift, angenommen.

Abbildung 13: Balken unter Punktlast

Die Biegelinie für den Balken unter einer Einzellast lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eingesetzt in die Gleichung (3.37) ergibt sich als erste Näherungslösung für die Gegenkraft des Kerns:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch zweimaliges Integrieren und mit den Randbedingungen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten erhält man das Schnittmoment:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das kann in die Differentialgleichung der Balkentheorie (3.38) eingesetzt werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Durch zweimalige Integration erhält man die zweite Näherungslösung für die Gleichung der Biegelinie. Mit den Randbedingungen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ergibt sich die Durch­senkung des Balkens zu:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diese Gleichung gibt die Verteilung der Last über die Länge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten an. In Diagramm 6 sind die beiden Geraden w0 und w1 dargestellt. Zeichnet man die Länge einer einzelnen Zelle in das Diagramm und setzt die Fläche unter der Kurve, die von der Zellenlänge begrenzt wird, in das Verhältnis mit der gesamten Fläche unter der Kurve, erhält man den AnteilAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Last, die auf der Länge einer Zelle auf den Kern wirkt. In dieser Näherungsrechnung ist die Verteilung der Last jedoch nicht direkt von den Materialdaten der Deckschicht abhängig. Die Form der Kurve wird einzig durch die Länge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bestimmt, die Stecke, auf der die Kraft auf den Kern wirkt. Diese Größe wird durch Material- und Geometriedaten der Deckschicht und des Kerns bestimmt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 6:Durchbiegung der Deckschicht

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 7: Anteil der Kraft, die auf eine Zelle wirkt, an der Gesamtkraft in Abhängigkeit von der Wirklänge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in der Deckschicht

In Diagramm 7 ist der Lastanteil Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten in Abhängigkeit von der Wirklänge l P dargestellt. Geht die Länge l P gegen unendlich, dann ist der Anteil Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten bei 0,017; dieser Prozentsatz ist also das Minimum, das auf der Breite einer Zelle wirkt. Grenzt man die Länge l P auf lediglich die doppelte Länge einer Zelle ein (l P = 22,2 mm), dann ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gleich 0,733. Reelle Grenzen für l P sind h (32,4 mm) als unterer Wert und 2h (65 mm) als oberer Wert; der Anteil Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten liegt hier zwischen 0,552 und 0,285.

Belastung eines Steges

Die Kraft, die auf die Breite der Zelle wirkt, die sich genau unter der Spitze der Parabel befindet, also der am stärksten belasteten Zelle, beträgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit lässt sich die Maximallast auf eine Zelle bestimmen; die Maximallast auf einen Steg ist ein Viertel dieser Last, da eine Zelle aus vier Stegen besteht. Die maximale Linienlast auf ein Steg ist also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Schubfluss pro Steg wurde bereits in der Formel (3.34) berechnet. Er beträgt in Abhän­gigkeit von der Belastung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3.4.2. Kritische Lasten der als Platten modellierten Stege

Die einzelnen Wände der Waben werden als Platten modelliert, die mit Druck und Schub belastet und die an den Rändern miteinander verbunden sind. Die Verbindung der Stege untereinander stellt die seitliche Lagerung der Platten dar. Für die Lagerbedingungen muss ein Kompromiss gefunden werden zwischen einer gelenkigen und einer festen Lagerung, da die Verbindung eines Stegs zu dem benachbarten Steg weder als fest noch als gelenkig bezeichnet werden kann, sondern in einem Zwischenbereich liegt. Die Stege stützen sich zwar gegen­seitig, reißen sich aber auch wechselseitig aus dem stabilen Zustand, wenn ein Steg zu Beulen anfängt. Die Lagerungsbedingung ähnelt also mehr dem der gelenkigen Lagerung, als dem der festen Einspannung. Die Werte für die gelenkige Lagerung gehen dreifach in die Rechnung ein, die Werte für die feste Einspannung nur mit einfacher Wertung.

Weiterhin ist zu beachten, dass aus fertigungstechnischen Gründen jeder zweite Steg aus einer doppelten Schicht Papier besteht, also die doppelte Dicke t besitzt. Aufgrund der Anordnung der Stege werden die einfachen Wände als schräge Stege und die doppelten Wände als gerade Stege bezeichnet.

Druckbelastung

Die kritische Last im Fall der Druckbelastung der Platte setzt sich laut Formel (2.24) aus dem Beulfaktor k und einer Vergleichslast zusammen. Der Beulfaktor wird mit der Formel (2.27) berechnet. Das Seitenverhältnis ergibt sich aus den gegebenen Geometriegrößen. Mit dessen Hilfe lässt sich die Halbwellenzahl m in der Girlandenkurve bestimmen.^[23] Die Faktoren p und q sind von den Lagerbedingungen abhängig.^[24] Für gelenkige Lagerung gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Kreuzzahl Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten berechnet sich nach Formel (2.29) aus dem Verhältnis der Biegesteifig­keiten. Diese sind abhängig von den E-Moduln, den Querkontraktionszahlen und der Platten­dicke t. Die Vergleichslast Nf ist abhängig von der Breite der Platte und den Steifigkeiten.

Zu beachten ist, dass die Dicke t in der dritten Potenz in die Berechnung eingeht; sie ist also der Faktor, mit dem man am wirkungsvollsten die Stabilität der Platte erhöhen kann.

Für eine Dicke t = 0,1 mm ergeben sich folgende Werte:

Für die schrägen Stege (einfache Dicke):

- gelenkige Lagerung: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
- feste Einspannung: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die kritische Drucklast für einen schrägen Steg ist damit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die geraden Stege (doppelte Dicke):

-gelenkige Lagerung: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
-feste Einspannung: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die kritische Drucklast für einen geraden Steg beträgt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für einen geraden Steg (mit der zweifachen Dicke) ist die kritische Last acht mal so groß wie die eines schrägen Stegs, da die Dicke, wie oben gesagt, in der dritten Potenz in die Rechnung eingeht.

Schubbelastung

Auch die kritische Last bei Schubbelastung setzt sich aus dem Beulfaktor k und einer Vergleichsspannung zusammen; es gilt die Formel (2.31). Die Vergleichsspannung berechnet sich ebenso wie bei der Rechnung für die Druckbelastung. Der Beulfaktor kann aus einem Diagramm abgelesen werden.^[25] Er ist abhängig von dem Seitenverhältnis der Platte und der Kreuzzahl Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Die Lagerungsbedingungen der Platte haben hier nur geringen Einfluss, so dass sie vernachlässigt werden können.

Für eine Dicke t = 0,1 mm ergeben sich für die kritischen Lasten bei Schub folgende Werte:

Für die schrägen Stege (einfache Dicke): Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (3.51)

Für die geraden Stege (doppelte Dicke): Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (3.52)

In den Diagrammen 8 und 9 sind die Druck- bzw. Schubbelastungen pro Steg in Abhängigkeit von der Stempelkraft P eingezeichnet (rote Linie). Als Grenzen sind die kritischen Lasten angegeben, bei denen ein schräger Steg bzw. ein gerader Steg anfängt zu beulen. In den Diagrammen ist zu erkennen, dass unter reiner Druckbelastung die Stabilitätsgrenze zwischen Werten von 4,5 kN und 36 kN für die Stempelkraft P liegt. Bei reiner Schubbelastung liegt sie zwischen 2 kN und 16 kN. Die Schubbelastung ist also die kritischere Belastung, da hier die Stabilitätsgrenze eher überschritten wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 8: Kritische Lasten unter Druckbelastung und tatsächliche Drucklast pro Steg in Abhängigkeit von der Stempelkraft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 9: Kritische Lasten unter Schubbelastung und tatsächliche Schublast pro Steg in Abhängigkeit von der Stempelkraft

3.4.3. Vergleich der Lasten in einer Beulhypothese

Damit die Stabilität bei kombinierter Belastung gewährleistet ist, muss die Stabilitäts­bedingung laut Formel (2.32) erfüllt sein. Die Terme werden zunächst sowohl für die schrägen, einfachen als auch für die geraden, doppelten Stege einzeln berechnet. Da sich die schrägen und die geraden Stege gegenseitig beeinflussen, also stützen, aber auch im Versagensfall destabilisieren, wird der Mittelwert aus dem Ergebnis der geraden und dem der schrägen Stege genommen und in die Bedingung eingesetzt.

Für die schrägen Stege berechnet sich der erste Term aus den Formeln (3.47) und (3.49):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Der Term für die Schubbelastung setzt sich aus den Formeln (3.48) und (3.51) zusammen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die geraden Stege besitzen die doppelte Dicke, an ihnen greift also auch die doppelte Kraft an, da die Last ja als Linienlast idealisiert wurde. Den Term für Druckbelastung erhält man aus den Formeln (3.47) und (3.50):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und den für die Schubbelastung aus den Formeln (3.48) und (3.52):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Stabilitätsbedingung für den gesamten Kern ist aus den beiden Bedingungen für die schrägen und für die geraden Stege zusammengesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In dem Diagramm 10 ist die Stabilitätsbedingung in Abhängigkeit von der Stempelkraft P für verschiedene Stegdicken abgetragen. Die große Abhängigkeit der Stabilität des Kerns von der Dicke des Papiers ist hier gut zu erkennen. Für die gegebene Papierdicke (0,09-0,1 mm) liegt die Versagenslast des Kerns zwischen den Werten 1,7 kN und 2,3 kN für die Stempelkraft P, also bei einer Gesamtbelastung von F = 3 – 5 kN.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 10:Versagenslasten für verschiedene Stegdicken t (tatsächliche Stegdicke rot). Auf der Ordinate ist die Stempelkraft P abgetragen. Auf der Abszisse ist das Verhältnis zwischen der tatsächlichen Stegbelastung und der kritischen Plattenbelastung laut Formel (3.57) abgetragen. Am oberen Rand ist dieses Verhältnis gleich eins; hier versagt der Kern.

In Diagramm 11 wurde die Stabilitätsbedingung für verschiedene Anteile Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, mit der der Kern auf der Breite einer Zelle belastet wird, dargestellt. Die Stegdicke ist in diesem Diagramm konstant bei 0,1 mm. Zu sehen ist, dass der Anteil Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten nur geringen Einfluss auf die Stabilität hat. Die kritischen Lasten bleiben bei den oben angegebenen Grenzen für Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten noch in demselben Bereich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 11: Versagenslasten für verschieden hohe Druckbelastungen (Parameter Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten)

4. Auswertung und Optimierung

In diesem Teil werden die Ergebnisse aus dem dritten Abschnitt ausgewertet. Die berechneten Werte werden mit den Ergebnissen der Versuche verglichen und diskutiert. Die Stabilitäts­untersuchung wird ausgewertet. Im letzten Teil wird das Sandwichelement optimiert.

4.1. Vergleich der globalen Untersuchungen mit Versuchsergebnissen

Die Ergebnisse, die die Berechnung der Biegelinie mit Hilfe der Sandwich-Membrantheorie liefert, stimmen relativ gut mit den Ergebnissen der Versuche überein. Als grobe Näherung liefert, diese Theorie akzeptable Werte. Die Werte der Durchbiegung des Balkens sind im Versuch geringfügig höher als in der Rechnung. Dies ist darauf zurückzuführen, dass auch schon bei geringen Lasten der Kern sich nicht ideal verhält, sondern leicht zusammengedrückt wird. Die Versuche haben jedoch gezeigt, dass bei größeren Kräften die Form der berechneten Biegelinie nicht mit dem Verlauf des verformten Sandwichs übereinstimmt. Der Sandwich­balken sackt an den Stellen, an denen der Stempel bzw. das Auflager die Probe berühren, durch.

Das Versagen der Biegeproben kann mit dieser Theorie nicht nachgewiesen werden. Die Proben dürften nach der Sandwich-Membrantheorie erst bei einer Kraft von ca. 7,9 kN versagen, erst dann ist die Festigkeitsgrenze der Häute erreicht. Die Biegeproben der unter­suchten Gruppe 1 versagten jedoch schon ab ca. 5,4 kN aufgrund Kerndurchschlagens. Bei geringer Belastung wurde schon Kernknittern festgestellt.^[26]

Auch die Klebeverbindung müsste nach der Berechnung Belastungen bis weit über 4 kN aushalten. Die Rechnung gilt so jedoch nur für ideale Verbindungen. Der Kleber muss gleichmäßig verteilt sein, die Klebeschicht überall gleich dick sein und die Auflageflächen müssen glatt aufeinander liegen. Aber selbst wenn aufgrund von Ungenauigkeiten ein Sicher­heitsfaktor von j = 2 einbezogen wird, ist die Klebung immer noch fest genug. In den Versuchen haben sich jedoch teilweise die Deckschichten von dem Kern gelöst.^[27] Dies ist vermutlich darauf zurückzuführen, dass sich durch die zu starke Kerndeformation die Spannungsverhältnisse in der Klebeschicht drastisch geändert haben.

4.2. Auswertung und Diskussion der Stabilitätsanalyse des Wabenkerns

Die Untersuchung des Kerns hat gezeigt, dass die Kernstabilität ab einer Belastung der Probe von ca. 4 kN nicht mehr gewährleistet ist. Dieses Ergebnis kann jedoch nur sehr ungenau sein. Es gibt zahlreiche Faktoren, die nicht berücksichtigt werden konnten. Wie oben schon angesprochen, kann die Kraft, die als Drucklast auf einen Steg wirkt, nur näherungsweise bestimmt werden. Dieser Wert hat jedoch, wie gezeigt, nur relativ geringen Einfluss auf die Stabilität, da die kritischere Belastung die Schubbelastung der Stege ist.

Andere Einflussfaktoren, die in der Rechnung nicht berücksichtigt wurden, setzten die Stabilitätsgrenze aber weiter herab. So ist die Struktur der einzelnen Zellen oder Stege nicht ganz gleichmäßig. Die sechseckige Form der Waben und die rechteckige Form der Zellen­wände sind ideale Näherungswerte der wirklichen Formen, die immer kleine Unregelmäßig­keiten aufweisen. Das Papier der Wabenwände kann auch schon vorgebeult oder wellig sein. Das Epoxydharz ist in der Realität nicht vollkommen gleichmäßig auf dem Papier verteilt, so dass die Materialwerte nicht über den ganzen Steg homogen sind. Auch ist das Epoxydharz spröde und kann schon an einigen Stellen gebrochen sein. Alle diese Unregelmäßigkeiten tragen dazu bei, dass die Stabilitätsgrenze schon bei geringerer Belastung überschritten wird.

Weiterhin wurde bei der Rechnung nicht berücksichtigt, dass zumindest bei den schrägen Stegen nicht nur Druck- und Schubkräfte angreifen, sondern zusätzlich auch noch Biegekräfte. Da die Stege nicht parallel zur Längsrichtung stehen, führt die Verzerrung des Kerns durch die Biegung das Balkens dazu, dass diese Stege auch auf Biegung belastet werden. Die Verzerrung der Waben bei der Durchbiegung des Balkens führt zu Unregelmäßigkeiten in der Wabenstruktur. Auch das hat Einfluss auf die Stabilität des Kerns.

Die Feststellung, dass die Stabilitätsgrenze schon bei kleineren Kräften überschritten wird, stimmt mit Beobachtungen bei den Versuchen überein. Schon bei geringer Belastung wurde ein Knistern im Kern gehört. Es kam also vereinzelt schon zu Stabilitätsversagen bei einzelnen Stegen im Kern. Die Kernstruktur besaß aber noch genügend Stabilität, um nicht als Ganzes zu versagen. Zum Durchbrechen des Kerns kam es erst bei größeren Kräften.

Wird aufgrund dieser Faktoren, welche die Stabilitätsgrenze herabsetzen, die Stabilitäts­bedingung mit einem Sicherheitsfaktor von j = 2 multipliziert (siehe Formel 2.33), dann ergibt sich eine Verteilung der Stabilitätsbedingung, wie sie in Diagramm 12 dargestellt ist. Die Versagenslast liegt hier bei einem F von ca. 2500-3000 N.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 12: Versagenslasten unter Einbeziehung eines Sicherheitsfaktors j=2 (Stegdicke als Parameter)

4.3. Optimierung des Sandwichbalkens

In diesem Kapitel wird der Sandwichbalken hinsichtlich seines Gewichts optimiert. Zunächst wird versucht, eine optimale Kernstruktur zu finden. Anschließend wird die gesamte Sand­wichstruktur optimiert.

4.3.1. Optimierung der Kernstruktur

Der Kern soll auf minimales Gewicht optimiert werden. Restriktionen sind hierbei aus­reichende Stabilität der Kernstruktur und genügende Schubfestigkeit zwischen dem Kern und den Deckhäuten. Es ist nicht sinnvoll, für die Kernoptimierung einen Strukturkennwert zu definieren. Der Strukturkennwert setzt sich aus der Belastung und den konstruktiv vorge­gebenen Längenabmessungen zusammen. Die Stabilität des Kerns und die Schubfestigkeit zwischen Kern und Deckhaut sind zwar abhängig von der Last, aber nicht von den globalen Abmessungen, sondern nur von der lokalen Kerngeometrie. Deshalb wird der Kern so optimiert, dass er für die maximale Kraft in den Versuchen von
F = 4000 N ausreichend stabil und die Klebeverbindung genügend fest ist.

Das Gewicht des Kerns kann mit der Formel (2.14) berechnet werden. Die Stabilitäts­restriktion ist in Formel (2.33) gegeben und die Schubfestigkeitsrestriktion in Formel (2.34). Die Zellengröße, die Papierdicke und die Höhe des Kerns können variiert werden. Der Höhe des Kerns sind allerdings Grenzen gesetzt. Die Dicke des Sandwichs sollte in dem Bereich bleiben, der mit den Proben vorgegeben ist. Die Kernhöhe darf also zwischen 25 und 35 mm liegen. Die Dicke des Papiers richtet sich nach den lieferbaren und verarbeitbaren Papier­stärken. Nomex-Papier ist in Stärken zwischen 0,05 mm und 0,76 mm lieferbar.

Wird der Wabendurchmesser vergrößert, ändert sich die Schubkraft, die an einem Steg angreift. Da die Breite einer Zelle größer wird, vergrößert sich auch die Schubkraft pro Wabenwand (siehe Formel 3.34). Bei einem Sicherheitsfaktor von j = 2 liegt der durch die Schubfestigkeitsrestriktion begrenzte maximale Wabendurchmesser bei r = 13,1 mm.

Neben der angreifenden Schubkraft pro Steg ändert sich bei Vergrößerung des Waben­durchmessers auch noch das Seitenverhältnis der Wabenwände und damit ihr Beulverhalten. Um die Stabilitätsrestriktion zu erfüllen, müssen bei größerem Wabendurchmesser die Wabenwände verstärkt werden. Der Zusammenhang zwischen Papierstärke und Waben­durchmesser ist in Diagramm 13 dargestellt. Für die Stabilitätsrestriktion wurde ein Sicher­heitsfaktor von j = 2 verwendet. Die Schubfestigkeitsrestriktion ist als Grenze eingezeichnet. Für den maximalen Radius von r = 13,1 mm ist eine Papierstärke von t = 0,41 mm erforderlich.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 13: Minimale Papierdicke in Abhängigkeit vom Wabenradius und maximaler Wabenradius, der noch ausreichende Schubfestigkeit garantiert.

Das spezifische Gewicht des Kerns hängt außer von dem konstanten spezifischen Gewicht des Papiers nur noch von der Papierdicke und dem Wabenradius ab. Dabei verhalten sich Papier­stärke und Wabenradius genau umgekehrt in ihrem Verhältnis zum Kerngewicht (siehe Formel 2.14). Da die Papierdicke jedoch nur geringfügig vergrößert werden muss, um genügend Stabilität für einen Kern mit größerem Wabenradius zu gewährleisten, überwiegt der Gewichtsvorteil bei größerem Kern. Der Zusammenhang zwischen dem Wabenradius und dem spezifischen Kerngewicht ist in Diagramm 14 dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 14: Abhängigkeit des Gewichts vom Wabenradius

Mit dem Wabenradius ändert sich jedoch auch das Seitenverhältnis der Wabenwände und damit die Halbwellenzahl m für die beulkritische Belastung (siehe Formel 2.27). Die notwen­dige Papierdicke nimmt deshalb mit größerem Radius nicht gleichmäßig zu. Da das spezifi­sche Gewicht sehr stark von der Papierdicke des Wabenmaterials abhängt, ist der Verlauf in Diagramm 14 unregelmäßig. Es sind Maxima und Minima vorhanden. Ein Minimum in dem Bereich unterhalb der Schubfestigkeitsgrenze besteht bei einem Wabenradius von r = 11,2 mm. Die erforderliche Wabenwanddicke beträgt hier t = 0,34 mm. Diese Papierstärke muss jedoch auch zu einem Honigwabenkern verarbeitet werden können, ansonsten müsste dünneres Papier genommen werden, und damit wäre nur ein kleinerer Wabenradius möglich.

Die Höhe des Kerns hat ebenfalls Einfluss auf das Stabilitätsverhalten, da mit ihr das Seiten­verhältnis der Zellenwände sich ändert und damit das Beulverhalten. In Diagramm 15 ist der Zusammenhang zwischen der Kernhöhe und der Mindestdicke der Wabenwände, welche die Stabilität des Kerns gewährleistet, für den vorgegebenen Bereich dargestellt. Der Waben­durchmesser beträgt hier 11,2 mm. Je höher der Kern ist, umso stabiler ist die Struktur und umso geringer muss die Papierstärke sein. Dies gilt jedoch nur für den hier betrachteten Bereich zwischen 25 mm und 35 mm. Mit höherem Kern kann hier also das spezifische Gewicht gesenkt werden. Insgesamt wird der Kern dadurch jedoch schwerer, da zusätzliche Höhe auch mehr Volumen bedeutet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 15: Minimale Papierstärke (und damit minimales spezifisches Gewicht) in Abhängigkeit von der Kernhöhe c.

Die Ergebnisse der Kernoptimierung sind im folgenden zusammengefasst:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1: Optimierte Werte des Kerns im Vergleich mit den ursprünglichen Werten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 16: Vergleich von Kernhöhe, Wabendurchmesser, Papierstärke und spezifischem Kerngewicht vor und nach der Optimierung (ursprüngliche Werte = 100%)

Bei der Kernoptimierung wurde vor allem eine höhere Kernstabilität erreicht. Dafür ist eine größere Papierstärke erforderlich, weswegen nur eine sehr geringe Gewichtsersparnis erzielt werden konnte.

3.2. Optimierung der Sandwichstruktur

Aufstellen der Restriktionen

Die Festigkeitsrestriktion muss für die untere Haut aufgestellt werden, da hier am ehesten Festigkeitsversagen auftritt. Die Spannung wird mit der Formel (2.6) berechnet. Sie ist über die Sandwichbreite verteilt, also wird durch b geteilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das maximale Biegemoment tritt im Bereich III auf; mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten
(siehe Formel 3.4) und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Setzt man den Strukturkennwert (Formel 2.35) ein, ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit dem Restriktionsbeiwert: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (4.4)

und dem Exzentrizitätsbeiwert: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (4.5)

Diese Spannung muss die Festigkeitsrestriktion in Formel (2.36) erfüllen.

Die maximale Durchsenkung tritt an der Stelle y = 10 h auf. Der Biegepfeil an dieser Stelle lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und dem Strukturkennwert, ergibt sich:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten,

dem Restriktionsbeiwert: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (4.8)

und dem Exzentrizitätsbeiwert: Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten (4.9)

Dieser Biegepfeil muss der Festigkeitsrestriktion laut Formel (2.36) genügen.

Vernachlässigt man die Schubkraft ergibt sich folgender Biegepfeil:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Beiwerte bleiben dieselben.

Dimensionierung des Sandwichs

Grundsätzlich kann das Schlankheitsverhältnis l/d, der Kernfüllungsgrad a und das Dicken­verhältnis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten dimensioniert werden.

Der Kernfüllungsgrad wurde schon unter 4.3.1. bei der Kernoptimierung festgelegt. Die Höhe d kann nur in einem begrenzten Bereich variiert werden. Das optimale Verhältnis zwischen Kerngewicht und Hautgewicht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist konstant; es ist für Festigkeit gleich eins und für Steifigkeit gleich zwei.^[28] Lässt man die Hautdicke als feste Größe und errechnet sich die optimale Höhe, kommt man zur Einhaltung der Festigkeitsrestriktion auf einen Wert von
d = 70,5 mm und zur Einhaltung der Steifigkeitsrestriktion auf einen Wert von d = 141 mm. Diese Werte sind viel zu hoch und liegen außerhalb des zulässigen Bereichs. Sie zeigen jedoch, dass innerhalb der vorgegebenen Grenzen der höchste Wert der sinnvollste ist. Ebenso wie bei der Kernoptimierung wird deshalb hier die Kernhöhe c = 35 mm verwendet.

Das Bauteil braucht also nun nur noch nach dem Dickenverhältnis ausdimensioniert werden. Die kritische Belastung wurde in Formel (3.32) berechnet. Mit einem Sicherheitsfaktor von
j = 2 ergibt sich als zulässige Spannung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als maximale Durchbiegung ist kein Wert vorgegeben. Das optimierte Bauteil sollte sich aber nicht viel weiter durchsenken als die nicht optimierten Proben in dem Versuch. Als zulässige Durchsenkung wird deshalb zunächst ein fm von 10 mm festgesetzt.

In die Formeln der Festigkeits- bzw. Steifigkeitsrestriktion lässt sich ein Spannungskennwert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bzw. ein Federkennwert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

einsetzen. Löst man die Festigkeitsrestriktionen nach dem Dickenverhältnis Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten auf, dann erhält man:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Den Term in die Formel für das Äquivalentvolumen (2.39) eingesetzt, ergibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die Steifigkeitsrestriktion, nach Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten aufgelöst, ergibt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In das Äquivalentvolumen eingesetzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In diesen beiden Gleichungen (4.13 und 4.14) ist das Äquivalentvolumen in Abhängigkeit vom Strukturkennwert gegeben. Nach diesen beiden Formeln wurde es in Diagramm 16 über den Strukturkennwert eingetragen, einmal für die Steifigkeitsrestriktion und einmal für die Festigkeitsrestriktion. Die Kurven sind Mindestwerte für das Äquivalentvolumen; es ist also immer die höher liegende Linie maßgeblich. Im Bereich kleinerer Strukturkennwerte stellt die Festigkeitsrestriktion eine untere Begrenzung des Äquivalentvolumens dar, im Bereich höherer Strukturkennwerte, die Steifigkeit. Der Übergang kann aus dem Diagramm abgelesen werden, er liegt bei einem Strukturkennwert von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 17: Äquivalentvolumen in Abhängigkeit vom Strukturkennwert bei Erfüllung der Steifigkeits- bzw. der Festigkeitsrestriktion.

Aus dem Äquivalentvolumen lässt sich die mittlere Deckschichtdicke berechnen (siehe
Formel 2.39) ; sie ist proportional zu dem Äquivalentvolumen. In Diagramm 17 kann sie direkt abgelesen werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 18: Summe der Deckschichtdicken in Abhängigkeit vom Strukturkennwert bei Erfüllung der Steifigkeits- bzw. Festigkeitsrestriktion

Für die Proben in dem Versuch ist bei einer Kraft von F = 4000 N der Strukturkennwert (laut Formel 2.35) Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Die optimale Hautdicke beträgt hier also Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Die beiden Deckschichtdicken sind also Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wenn das gleiche Verhältnis der beiden Hautdicken wie beim Test beibehalten wird. Dieses kann allerdings noch verändert werden. In Diagramm 18 ist für die Belastung von F = 4000 N die minimale Hautdicke für verschiedene Dickenverhältnisse Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten der Häute eingezeichnet. Das aktuelle Verhältnis bei den Proben liegt bei 0,6. Ein Optimum ergibt sich bei 0,9. Bei diesem Verhältnis kann die Hautdicke nochmals verkleinert werden. Der neue Wert beträgt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und die einzelnen Deckschichtstärken sind Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten. Die maßgebliche Restriktion ist nun die Steifigkeit.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 19: Summe der Deckschichtdicken in Abhängigkeit von ihrem Verhältnis zueinander für die Erfüllung der Steifigkeits- bzw. Festigkeitsrestriktion.

Das Ziel der Optimierung ist es, das Gewicht des Sandwichelements zu reduzieren. Durch die Optimierung der Deckschichten kann Gewicht eingespart werden. Dieser Vorteil wurde aller­dings mit einer Vergrößerung des Kerns erkauft. Zwar ist das spezifische Gewicht des Kerns geringer als das der Häute, es muss allerdings überprüft werden, ob ein Sandwich mit größerer Höhe aufgrund der dünneren Deckschichten wirklich leichter ist. In Diagramm 19 ist das Produkt aus dem spezifischen Gewicht des Sandwichbalkens und der Höhe des Sandwichs über der Kernhöhe aufgetragen. Als Parameter wurde die zulässige Durchbiegung des Balkens verwendet. In dem Diagramm sieht man, dass die Kernhöhe möglichst maximal in dem vorgegebenen Bereich gewählt werden sollte, also 35 mm. Das zusätzliche Gewicht des Kerns wird durch die dünneren Deckschichten mehr als ausgeglichen. Die Grenze der Kernhöhe ist somit durch die Anwendung des Sandwichs vorgegeben.

Die Steifigkeitsrestriktion kann die Durchbiegung maximal auf 8,7 mm begrenzen, damit die Sandwichprobe genau dasselbe Gewicht besitzt wie vor der Optimierung. Wird allerdings eine größere Durchsenkung erlaubt, dann kann Gewicht gespart werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 20: Das Produkt aus dem spezifische Gewicht des gesamten Sandwichverbunds und der Gesamthöhe des Sandwichs in Abhängigkeit von der Kernhöhe und der zulässigen Durchbiegung fm.

Die Ergebnisse der Optimierung sind im folgenden zusammengefasst:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 2: Optimierte Werte des Sandwichs im Vergleich mit den ursprünglichen Werten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramm 21: Vergleich von Sandwichhöhe, Deckschichtdicken und spezifischem Gewicht vor und nach der Optimierung. (ursprüngliche Werte = 100%)

Durch eine geringe Vergrößerung der Sandwichhöhe und eine Optimierung des Verhältnisses der beiden Deckschichtdicken konnte eine Verkleinerung des Hautanteils erreicht werden. Da die Deckschichten im Vergleich zum Kern ein hohes spezifisches Gewicht besitzen, konnte damit trotz der größeren Höhe eine Gewichtsreduzierung erzielt werden.

5. Zusammenfassung und Ausblick

Für eine Untersuchung des globalen Deformationsverhaltens des Sandwichverbundes liefert die Sandwich-Membrantheorie gute Ergebnisse. Diese Theorie kann jedoch nur so lange angewandt werden, so lange sich der Sandwich nahezu ideal, gemäß den Voraussetzungen der Sandwich-Membrantheorie verhält. Werden größere Lasten punktuell eingeleitet, kann es allerdings sein, dass diese Voraussetzungen nicht mehr erfüllt werden. Es muss untersucht werden, ob der Kern diese Lasten aushält.

Die Kernanalyse hat gezeigt, dass die Stabilität des Kerns sehr stark von der Dicke der Wabenwände abhängt. Durch Verstärkung der Stege kann eine ausreichende Stabilität gewährleistet werden. Durch stärkere Wabenwände erhöht sich aber auch das Gewicht des Kerns. Um das Gewicht gleich zu halten oder zu senken, muss der Wabendurchmesser erhöht werden. Die Begrenzung hierfür ist die ausreichende Schubfestigkeit der Klebeverbindung zwischen dem Kern und den Deckhäuten, da sich durch die Vergrößerung der Waben die Länge der Klebekanten erhöht. Durch die Kernoptimierung konnte wegen der Verbesserung der Kernstabilität nur eine Gewichtsreduzierung des Kerns von 2,9 % erreicht werden, was den Gewichtszuwachs durch den höheren Kern nicht ausgleicht.

Die Optimierung des gesamten Sandwichverbundes hat jedoch eine deutliche Reduzierung der Deckschichtdicken gebracht; sie konnten um 20,8 % verkleinert werden. Dies wurde durch eine Vergrößerung der Sandwichdicke und eine bessere Verteilung der beiden Deckschicht­stärken erreicht. Dafür musste wieder etwas zusätzliches Gewicht durch den dickeren Kern und eine geringfügig stärkere Durchbiegung in Kauf genommen werden. Insgesamt konnte jedoch eine Gewichtseinsparung von 11,2 % erzielt werden.

Die Optimierung erfolgte gemäß dem Belastungsfall, der durch die DIN 53 293 vorgegeben wurde. Hier wird in einem Vier-Punkt-Biegeversuch eine Kraft mit zwei Stempeln in den Sandwichbalken eingeleitet, der auf zwei Lagern liegt. An den Stellen der Krafteinleitung, also dort, wo Lager und Stempel den Balken berühren, wird der Kern extrem beansprucht. In solchen Fällen ist es sinnvoller, den Kern nur an den Stellen zu verstärken, an denen die Kraft wirkt. Hier sollten Krafteinleitungselemente angebracht werden oder der Kern lokal verstärkt werden. Als Krafteinleitungselemente können Stege im Kern oder mit Harz ausgefüllte Waben an den kritischen Stellen dienen. Die Stabilitätsrestriktion für den Rest des Kerns kann dann geringer sein; die Gefahr des Kernversagens ist an den weniger belasteten Stellen nicht so hoch.

Greift jedoch eine flächig verteilte Last an, ist die lokale Belastung überall geringer. Auch in diesem Fall könnte die Stabilitätsrestriktion gelockert werden. Dadurch könnte das Kern­gewicht noch mehr gesenkt werden. Die Wabenwände müssten nicht mehr so dick dimensioniert werden, was einen Gewichtsvorteil bringen würde.

Ist die Stabilitätsrestriktion wirklich über die gesamte Struktur strikt einzuhalten, da eine hohe Last an dem Sandwich angreift, dann ist zu überlegen, ob ein anderes Kernmaterial zu verwenden ist. Waben aus Aluminium bieten eine höhere Steifigkeit. Es ist zu überprüfen, ob sie auch stabiler sind und damit eventuell Gewicht gespart werden kann.

Neben einer Einführung von Krafteinleitungselementen und eines Austauschs des Materials besteht eine andere Möglichkeit der Sandwichoptimierung in einer Veränderung der Sand­wichgeometrie. Der Balken könnte gebogen sein oder die Dicke könnte über die Länge variieren. Auch die Geometrie des Kerns kann verändert werden. Die regelmäßigen Hexagonalwaben könnten, je nach Belastungsfall, langgezogen werden.

6. Anhang

6.1. Geometrische Daten und Materialwerte der Sandwichproben

Geometrie^[29]

Höhe Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Breite Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Länge Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Kerndicke Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hautdicke oben Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hautdicke unten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abstand der Hautmittelflächen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wabenradius Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Papierdicke des Kernmaterials Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abstand der Lager Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abstand der Stempel Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dicke der Klebeschicht zwischen Haut und Kern Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Materialwerte^[30]

E-Modul obere Deckschicht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

E-Modul untere Deckschicht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schubmodul Deckschicht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Reißfestigkeit des Deckschichtmaterials Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

spezifisches Gewicht der Deckschichten Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

E-Modul des Kerns in horizontaler Richtung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

E-Modul des Kerns in vertikaler Richtung Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schubmodul des Nomex-Papiers Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

spezifisches Gewicht des Nomex-Papiers Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Querkontraktionszahl des Nomex-Papiers Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schubmodul des Klebers Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

zulässige Schubspannung der Klebeschicht Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

6.2. Bilder und Diagramme

6.2.1. Geometrie des Sandwichbalkens

l

Abbildung A1: Abmessung des Sandwichbalken und Koordinatensystem

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung A2: Versuchsanordnung laut DIN 53 293 (aus DIN-Norm, S.1)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung A3: Sandwichquerschnitt (aus DIN-Norm, S.1)

6.2.2 Tabellen und Diagramme

F [kN] fs[mm] fm[mm]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle A1: Gemittelte Messwerte der Durchbiegung für die Proben der Gruppe 1 (lfd. Nr.: 1, 2, 31, 32 ,41, 42, 46, 47; siehe Rostek-Testbericht).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthaltenAbbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Diagramme A1-A6: Die errechnete Biegelinie und die gemessenen Werten der Durchbiegung (siehe Tabelle A1) für die verschiedenen Belastungsstufen.

6.3. Literaturverzeichnis

DIN-Norm – DIN 53 293: Prüfung von Kernverbunden – Biegeversuch, Februar 1982. Beuth-Verlag Berlin.

Pflüger – Pflüger, Alf: Stabilitätsprobleme der Elastostatik. Berlin 1975.

Rostek Testbericht - Rostek, Peter: Testbericht – illbruck Challange – Experimentelle Analyse von Sandwich-Biegeproben. Technische Universität Berlin. Institut für Luft- und Raumfahrt. Fachgebiet Luftfahrzeugbau und Leichtbau. Berlin 2001.

Sandwich Structures Handbook – Giancarlo Caprino, Roberto Teti: Sandwich Structures – Handbook. Padua 1989.

Stamm/Witte – Stamm, Klaus; Witte, Horst: Sandwichkonstruktionen. Berechnung, Fertigung, Ausführung. Wien 1974.

Wiedemann I - Wiedemann, Johannes: Leichtbau. Band 1: Elemente. Berlin 1986.

Wiedemann II - Wiedemann, Johannes: Leichtbau. Band 2: Konstruktion. Berlin 1989.

Zenkert – Zenkert, Dan: The handbook of sandwich construction. Cradley Heath 1997.

6.4. Nomenklatur

b - m Breite des Sandwichstabs

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

c - m Kerndicke

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

d - m Abstand der Hautmittelflächen

h - m Sandwichdicke

e1, e2 - m Exzentrizitäten der Deckschichten

f - m Biegepfeil

j - Sicherheitsfaktor

k - Beulfaktor

l - m Länge des Sandwichstabs

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

m - Halbwellenzahl der Beulen in Plattenlängsrichtung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- Nm/m Momente am Sandwichelement

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

- N/m Kräfte am Sandwichelement (Zug- und Druckkräfte)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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p - N/m Linienlast

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Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

p,q - Faktoren, die durch die Lagerbedingungen der Platte bestimmt werden

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

r - m Wabenradius

s - m Breite eines Stegs im Wabenkern = Länge einer Seitenfläche des

Sechsecks

t - m Dicke des Nomex-Papiers

t1, t2 - m Dicken der Deckschichten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

w - m Durchbiegung des Sandwichbalkens

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

x - m Koordinate in Querrichtung

y - m Koordinate in Längsrichtung

z - m Koordinate in Höhenrichtung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten- Nm Biegesteifigkeiten der Platte

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten- N/m2 E-Moduln der Deckschichten (y-Richtung)

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Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

F - N Prüfkraft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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K - N/m2 Strukturkennwert

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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M - Nm Moment

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

P - N Kraft eines Stempels auf der Probe

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Q - N Querkraft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

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- N/m2 Spannungen am Sandwichelement

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten- N/m2 Kernschubspannung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abkürzungen

DLR - Deutsches Institut für Luft- und Raumfahrttechnik

DIN - Deutsche Industrie Norm

6.5. Beschreibung der MATLAB-Progamme

Schnittlasten.m - Berechnet die Schnittlasten für punktuelle Belastung und Belastung mit Flächenlast, Abhängig von Belastung P = Kraft pro Stempel

ZeichneW.m - Berechnet die Biegelinie des Sandwichstabs nach der mit der Sandwichtheorie hergeleiteten Differentialgleichung.

Deckschichtbiegung.m - Berechnet die Kraft, die auf den Kern wirkt.

Versagenslasten.m - Berechnet die Lasten, ab denen der Kern unter Druck- und Schub­belastung versagt. Darstellung getrennt für Schub und Druck.

VersagenslastenT.m - Berechnet die Lasten, ab denen der Kern unter Druck und Schub­belastung versagt. Darstellung in Abhängigkeit von der Last mit der der Stempel auf die Ober­fläche drückt und von der Stegdicke t.

VersagenslastenLambda.m - Berechnet die Lasten, ab denen der Kern unter Druck und Schubbelastung versagt. Darstellung in Abhängigkeit von dem Lastanteil Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

VersagenslastenJ.m - Berechnet die Lasten, ab denen der Kern unter Druck und Schub­belastung versagt unter Einbeziehung eines Sicherheitsfaktors j. Darstellung in Abhängigkeit von der Last, mit der der Stempel auf die Oberfläche drückt und von der Stegdicke t.

optDickeRadius.m - Berechnet die Mindestpapierstärke in Abhängigkeit von dem Radius der Waben, das spezifische Gewicht für jeden Radius, den maximalen Radius für ausreichende Schubfestigkeit und das Gewichtsoptimum.

optHoehe.m - Berechnet optimale Höhe des Kerns.

Optimierung.m - Berechnet das Äquivalentvolumen und die Hautdicke des optimierten Sandwichs in Abhängigkeit vom Strukturkennwert K.

OptimierungBeta.m - Berechnet die Deckschichtdicken in Abhängigkeit vom Verhältnis der Häute.

OptimierungHoehe.m - Berechnet das Produkt aus dem spezifische Gewicht des gesamten Sandwichverbunds und der Gesamthöhe des Sandwichs in Abhängigkeit von der Kernhöhe und der zulässigen Durchbiegung fm.

[...]

---

^[1] Vgl. Rostek Testbericht.

^[2] Vgl. Wiedemann I, S. 224ff.

^[3] Siehe Wiedemann I, S. 225.

^[4] Siehe Stamm/Witte, S. 21.

^[5] Siehe Wiedemann I, S. 226.

^[6] Siehe Wiedemann I, S.230.

^[7] Vgl. Zenkert, S.31, Abb. 2.9.

^[8] Vgl. Wiedemann I, S. 236ff.

^[9] Für das Gesamtgleichgewicht der Platte siehe Wiedemann I, S. 49. (2.2-38a-c). Beim Balken werden alle Komponenten, die nicht in der y-z-Ebene liegen, gestrichen.

^[10] Vgl. Wiedemann II, S. 350ff.

^[11] Siehe Pflüger, Anhang.

^[12] Siehe Pflüger, S. 440, Tabelle II, B,1.

^[13] Siehe Pflüger, S. 443, Tabelle II, B,5.

^[14] Vgl. Kapitel 4.2.

^[15] Vgl. Wiedemann II, S. 99ff.

^[16] Vgl. Wiedemann II, S. 129.

^[17] Siehe Anhang 6.1.

^[18] Siehe Abschnitt 3.2

^[19] Siehe Diagramm 1.

^[20] Siehe Anhang 6.2.2, Tabelle A1

^[21] Siehe Anhang 6.2.2, Diagramm A1-A6.

^[22] Siehe Abbildung 4.

^[23] Siehe Abbildung 7.

^[24] Siehe Abbildung 8.

^[25] Siehe Abbildung 10.

^[26] Vgl.: Rostek – Testbericht, S. 9.

^[27] ebd.

^[28] Vgl.: Wiedemann II, S.129.

^[29] Siehe Rostek – Testbericht.

^[30] Siehe Rostek – Testbericht und Sandwich Structures Handbook, S. 52.