Auf Ramanujans Spuren. Summenmuster in der Folge der natürlichen Zahlen

Inhalt

Einleitung

1.Teil : Das Computerprogramm
1.2 Der Programmablaufplan
1.3 Die graphische Benutzeroberfläche
1.4 Die Ausgabe

2.Teil: Das Ausgangsproblem

3.Teil: Verallgemeinerungen des Ausgangsproblems
3.1 Beliebige Startzahlen der Sequenzen
3.2 Die Differenz der Summandenanzahl variiert
3.3 Die Lücke zwischen den summengleichen Abschnitten einer Sequenz variiert
3.3.1 Sequenzen ohne Lücke
3.3.2 Sequenzen mit einer Doppellücke

Ausblick und Anschlussfragen

Persönliches Fazit

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Eidesstattliche Erklärung

Anhang

Einleitung

In der vorliegenden Bachelorarbeit wurden Summenmuster in der Folge der natürlichen Zahlen untersucht. Mithilfe eines Computerprogrammes, das im ersten Teil dieser Bachelorarbeit dargestellt wird, wurden sämtliche Darstellungsmöglichkeiten natürlicher Zahlen, als Summe von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, für ein vorher festgelegtes Intervall ermittelt. Bei der Auswertung, der durch das Computerprogramm gewonnenen Datenblätter, wurden ausschließlich solche Sequenzen betrachtet, die sich in aufeinanderfolgende summengleiche Abschnitte halbieren lassen. Dabei wurden unterschiedliche Variationen dieser Sequenzen untersucht, sowie Muster und Ähnlichkeiten gefunden, deren Beweis und Verallgemeinerung Gegenstand dieser Bachelorarbeit sein sollen.

Ihren Ursprung hat die Thematik in der folgenden Knobelaufgabe, die der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan (1887-1920), der für seine außergewöhnlichen Fähigkeiten im Umgang mit zahlentheoretischen Problemen bekannt war, ohne zu zögern mithilfe von Kettenbrüchen löste:^[1]

Die durchnummerierten Häuser eines Straßendorfes stehen alle auf einer Seite. Jemand wohnt in einem Haus mit einer Hausnummer, für welches die Summe der Hausnummern vor und hinter diesem Haus gleich ist. Wie viele Häuser hat das Dorf? Welche Hausnummer ist dies? (Strick 2010: 4)

Daran anknüpfend, wird im zweiten Teil dieser Bachelorarbeit nach Lösungen dieser Knobelaufgabe gesucht, die das Ausgangsproblem dieser Arbeit darstellt. Indem nach Sequenzen gesucht wurde, die sich durch eine Lücke in zwei summengleiche Abschnitte teilen lassen, wobei die Sequenzen bei eins beginnen sollen, weil die durchnummerierten Häuser des Straßendorfes auch bei eins beginnen.

Das Ausgangsproblem bietet die Möglichkeit für verschiedene Modifikationen, die Untersuchungsgegenstand im dritten Teil dieser Bachelorarbeit sein werden. So kann eine andere Abwandlung der Aufgabenstellung sein, dass die Häuser des Straßendorfes nicht bei eins beginnen, sondern bei einer beliebigen natürlichen Zahl. Zum anderen kann der Betrachtungsraum variiert werden, indem man das Haus, vor dem ein Objekt steht, zur Summe der betrachteten Sequenz dazu zählt oder die Anzahl der Häuser, die nicht zur Summe der betrachteten Sequenz gehört, erhöht. Eine weitere Variation des Ausgangsproblems ergibt sich bei der Betrachtung der gefundenen lückenlosen Sequenzfolgen, deren Differenz der Summandenanzahl konstant bleibt, da diese mit dem konstanten Wachstum der Summanden, um die Differenz der Summandenanzahl, in beiden Abschnitten der Sequenz einhergeht.

Einen Überblick über die möglichen Verallgemeinerungen des Ausgangsproblems, die in der vorliegenden Bachelorarbeit betrachtet wurden, soll die folgende grafische Darstellung geben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abschließend soll ein Ausblick auf weitere Verallgemeinerungsmöglichkeiten der Ursprungsaufgabe gegeben werden, sowie Anschlussfragen an die Problembearbeitung thematisiert werden

1. Teil : Das Computerprogramm

Mithilfe der Programmiersprache Java wurde ein Programm entwickelt,^[2] dessen Algorithmus alle möglichen Summendarstellungen aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen für ein bestimmtes Intervall ermittelt. Dieses Intervall kann durch die Eingabe zweier Grenzwerte, die das Minimum und Maximum des Intervalls bestimmen, auf einer graphischen Benutzeroberfläche festgelegt werden. Nach der Festlegung der Grenzwerte beginnt das Programm die Zahlenfolgen zu ermitteln, indem der Benutzer die Schaltfläche betätigt.

Der grundsätzliche Aufbau des Programmes besteht aus einem Oberprogramm, welches eine innere und eine äußere „For-Schleife“ durchläuft, sowie einem Unterprogramm, das ebenfalls eine „For-Schleife“ nutzt. Das Oberprogramm beginnt, mithilfe des Unterprogrammes, für einen Wert zu überprüfen, ob dieser Start einer möglichen Zahlenfolge für das kleinste ist. Wenn eine Summendarstellung aufeinanderfolgender Zahlen für das gefunden wurde, speichert das Programm diese in einer Textdatei. In der inneren Schleife wird das um eins erhöht, um zu prüfen, ob die nächsthöhere Zahl der Beginn einer möglichen Zahlenfolge ist. Dieser Vorgang wird so lange wiederholt bis ist. Ist , wird um eins erhöht und die äußere Programmschleife wird wieder durchlaufen bis ist und das Programm endet. Das Unterprogramm, welches für einen Wert mögliche Zahlenfolgen überprüft, merkt sich drei Variablen , und einen alpha-nummerischen Text (String), der im Folgenden als Ausgabe bezeichnet wird. In einer „For-Schleife“, in der nach jedem Durchlauf um eins erhöht wird, wird so lange gilt, um erhöht, die Ausgabe um erweitert und mit verglichen. Ist wird die Ausgabe um „+“ erweitert und der nächste Schleifendurchlauf gestartet. Ist , wurde eine Zahlenfolge gefunden, die das Programm in der Textdatei speichert. Wenn ist, wurde für das entsprechende keine Zahlenfolge gefunden und das Unterprogramm wird beendet und die innere Schleife des Oberprogrammes prüft für das nächsthöhere eine mögliche Zahlenfolge.

1.2 Der Programmablaufplan

Der im Folgenden dargestellte linke Programmablaufplan (PAP) stellt das Oberprogramm des entwickelten Computerprogrammes dar (vgl. Abbildung 1). Der nebenstehende PAP veranschaulicht das Unterprogramm, das durchlaufen wird, so lange bei der Verzweigung gilt.

Oberprogramm: Unterprogramm:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1

Legende:

n: Zahl o, für die eine mögliche Zahlenfolge überprüft wird

i: Startzahl einer möglichen Zahlenfolge

j: Zahlenfolge, die auf i gerechnet wird

z: aktueller Wert (Speichervariable)

1.3 Die graphische Benutzeroberfläche

Die graphische Benutzer-oberfläche des Programmes ermöglicht dem Benutzer die Eingabe eines Intervalls für welches der Algorithmus die Summen-darstellungen berechnet.

Der Benutzer beschränkt das Intervall mit der Eingabe des Minimums im 1. Eingabefeld und des Maximums im 2. Eingabefeld der graphischen Benutzeroberfläche.

Nach der Eingabe der beiden Grenzwerte erfolgt die Berechnung der Zahlenfolgen für das angegebene Intervall durch die Betätigung der Schaltfläche „Berechne“ (vgl. Abbildung 2).

1.4 Die Ausgabe

Die Ausgabe des Computerprogrammes erfolgt in Form einer alpha-nummerischen Textdatei in Word, wenn das Programm für das festgelegte Intervall sämtliche Summendarstellungen aufeinanderfolgender Zahlen gefunden hat.

Die Abbildung 3 zeigt für das Intervall sämtliche Summendarstellungen aufeinander-folgender Zahlen. Zudem gibt das Programm die Anzahl der gefundenen Summendarstellungen an, welches nach dem Satz von Sylvester die Anzahl der ungeraden Teiler dieser natürlichen Zahl ist.^[3]

2. Teil: Das Ausgangsproblem

Im Folgenden wurde, mithilfe der durch das Computerprogramm gewonnenen Datenblätter, nach Lösungen für das Ausgangsproblem gesucht.

Die durchnummerierten Häuser eines Straßendorfes stehen alle auf einer Seite. Jemand wohnt in einem Haus mit einer Hausnummer, für welches die Summe der Hausnummern vor und hinter diesem Haus gleich ist. Wie viele Häuser hat das Dorf? Welche Hausnummer ist dies? (Strick 2010: 4)

Die Aufgabe soll so interpretiert werden, dass die Hausnummern des Straßendorfes die Folge der natürlichen Zahlen darstellen. Um diese Knobelaufgabe zu lösen, soll eine Sequenz gefunden werden, die bei eins beginnt und welche durch eine Lücke ( getrennt wird. Diese Lücke wird durch ein Objekt vor dem Haus symbolisiert, die die Sequenz in zwei summengleiche Abschnitte teilt. Um eine Lösung zu finden, wurden jene natürliche Zahlen auf den Datenblättern näher betrachtet, die die folgende Gleichung erfüllen, wobei das Haus ist, vor dem das Objekt steht, das nicht zur Summe dazu zählt und die Anzahl der Häuser des Dorfes ist (vgl. Abbildung 4). und sind Elemente der natürlichen Zahlen. Daraus ergibt sich die folgende Bedingungsgleichung^[5]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine mögliche Lösung der Ursprungsaufgabe soll diesen Zusammenhang verdeutlichen. Für die Zahl 15 hat das Computerprogramm drei mögliche Summendarstellungen aufeinanderfolgender Zahlen gefunden. Die erste und die dritte Darstellung, welche rot von der Autorin hervorgehoben wurden (siehe Abbildung 6), erfüllen die Bedingungsgleichung:

Die Zahl 15 ist die kleinste natürliche Zahl, die in zwei Teilsummen zerlegt werden kann, die die oben genannte Bedingungsgleichung erfüllen. Somit liefert diese die kleinste Lösung des Ausgangsproblems: Das Dorf hat 8 Häuser und das Objekt steht vor der Hausnummer 6 (vgl. Abbildung 6)

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 6

Die Summe der aufeinanderfolgenden Zahlen auf der linken Häuserseite ist gleich der Summe der aufeinanderfolgenden Zahlen auf der rechten Häuserseite, mit Ausnahme des Hauses vor dem das Objekt steht: . Für die Zahl 15 wurde also eine Sequenz gefunden, die sich, durch eine Lücke getrennt, in zwei summengleiche Abschnitte teilen lässt.

Die nächstgrößere Lösung für diese Knobelaufgabe findet man für die natürliche Zahl 595. Denn diese ergibt sich aus der Summe der aufeinanderfolgenden Zahlen von 1 bis 34, die gleich der Summe der aufeinanderfolgenden Zahlen von 36 bis 49 ist. Das Dorf hat 49 Häuser und das Haus, vor dem das Objekt steht, ist die Nummer 35

Weitere Lösungen für das Ausgangsproblem für die Anfangszahl 1 lassen sich, über die Approximation von der aus, finden. Durch die Darstellung der Sequenz als Treppe und der Egalisierung als Dreieck wird deutlich, dass das Außendreieck zweimal die Größe des kleinen Dreiecks haben muss, wenn die Teilflächen gleich groß sein sollen. Das Außendreieck ist eine ähnliche Vergrößerung des kleinen Dreiecks und Flächenverdopplung erhält man mit dem Streckungsfaktor = (siehe Abbildung 7).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 7

Daher nähern sich die Lösungen für das Ausgangsproblem der an, wobei die Lücke und die Stufen der Treppe bei größeren Summen weniger ins Gewicht fallen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Über die Approximation von der aus, lassen sich unendlich viele Lösungen für die Ursprungsaufgabe mit dem Anfangswert 1 finden, die sich immer weiter der annähern. Aufgrund der Inhalte meiner Bachelorarbeit, die vor allem das Strukturreichtum der Verallgemeinerungen des Ausgangsproblems thematisieren soll, werden weitere Lösungen für die Knobelaufgabe nicht näher betrachtet, sondern der Untersuchungsbereich erweitert, indem im nächsten Teil dieser Arbeit beliebige Abschnitte summengleicher Sequenzen betrachtet werden, was bedeutet, dass die Summe der aufeinanderfolgenden Zahlen des vorangehenden Abschnittes nicht bei 1 beginnen muss.

3. Teil: Verallgemeinerungen des Ausgangsproblems

3.1 Beliebige Startzahlen der Sequenzen

Eine mögliche Verallgemeinerung der Ursprungsaufgabe kann beinhalten, dass der Startwertwert des vorangehenden Abschnittes einer Sequenz nicht bei 1 beginnen muss, sondern dass die Startzahl einer Sequenz eine beliebige natürliche Zahl ist. Aus dieser Generalisierung der Aufgabenstellung, ergibt sich eine neue Bedingungsgleichung:

Mit dieser nun wesentlich allgemeineren Aufgabenstellung lassen sich auch für kleinere natürliche Zahlen weitaus mehr Sequenzen finden, deren Teilsummen, durch eine Lücke getrennt, aufeinanderfolgen und gleich sind.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die natürliche Zahl 100 kann eine solche, in summengleiche Abschnitte halbierbare, Sequenz gefunden werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 8

Dabei fällt auf, dass sich die gefundene Sequenz nahtlos an die kleinste Lösung des Ausgangsproblems anschließt. Sucht man nach einer weiteren Summendarstellung, die sich wiederum an diese neue Sequenz anschließt, wird man schnell bei der natürlichen Zahl 308 fündig:.

Und auch an diese Sequenz, grenzt nahtlos eine weitere Sequenz an, sodass wir an dieser Stelle von einer lückenlosen Sequenzfolge sprechen wollen. Anhand eines Zahlenstrahls soll dieses Muster verdeutlicht werden, dass sich bis ins unendliche fortsetzt^[6]:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Betrachtung der Sequenzfolge auf dem Zahlenstrahl ist auffällig, dass alle Sequenzen dieselben Eigenschaften besitzen. Nach Sequenzen mit anderen Eigenschaften, sucht man in dieser Sequenzfolge vergeblich. Zum einen grenzen alle Sequenzen nahtlos aneinander, zum anderen ist auffällig, dass die Differenz der Summandenanzahl, der beiden summengleichen Abschnitte, in jeder Sequenz der Sequenzfolge gleich 3 ist. Das lässt sich durch das konstante Wachstum um 3 Summanden in beiden Abschnitten in jeder weiteren Sequenz der Sequenzfolge begründen. Die Feststellung, dass die Differenz der Summandenanzahl in einer Sequenzfolge immer gleich ist, führt nun zu der 2. Verallgemeinerung der Ursprungsaufgabe. Denn die Differenz der Summandenanzahl der möglichen Lösungen des Ausgangsproblems ist, offensichtlich, nicht gleich. Da im Folgenden unterschiedliche Sequenzfolgen mit verschiedenen Differenzen der Summandenanzahl der beiden Abschnitte einer Sequenz betrachtet werden, wird dieses Kapitel „die Differenz der Summandenanzahl variiert“ genannt. Im engeren Sinne handelt es sich hierbei nicht um eine Verallgemeinerung, sondern um eine Strukturierungsmöglichkeit der gefundenen Sequenzfolgen, die dem Leser das Verständnis dieser Arbeit erleichtern soll.

[...]

^[1] (vgl. Kanigel 1995: 190f.).

^[2] Das Computerprogramm wurde mithilfe meines Bruders Jonas Lüddecke (Fachinformatiker für Anwendungsentwicklung) entwickelt.

^[3] (vgl. Winter 2003: 19).

^[4] L ist die Größe der Lücke zwischen den summengleichen Abschnitten einer Sequenz.

^[5] Man kann an diese Stelle von einer Bedingungsgleichung sprechen, da die Bedingung erfüllt sein muss, dass die beiden Teilsummen einer Sequenz, die durch eine Lücke getrennt sind, gleich sein müssen.

^[6] Ein Beweis für das lückenlose Aneinandergrenzen wird an späterer Stelle dieser Bachelorarbeit geführt (vgl. S.18f.). Dennoch gehen wir im Folgenden von der Nahtlosigkeit der Sequenzen aus.