Leseprobe
Schwache Lösung der
Stokes-Gleichungen für
nicht-Newton'sche Fluide
Weak Solution of the Stokes equations for non-Newtonian fluids
Bachelor-Thesis von Daniel Janocha
Tag der Einreichung:
Fachbereich Mathematik
Forschungsbereich Analysis, AG Partielle
Differentialgleichungen
Schwache Lösung der Stokes-Gleichungen für nicht-Newton'sche Fluide
Weak Solution of the Stokes equations for non-Newtonian fluids
Vorgelegte Bachelor-Thesis von Daniel Janocha
Tag der Einreichung:
Zusammenfassung
Die grundlegenden Gleichungen in der Strömungsmechanik sind die Navier-Stokes-Gleichungen. Sie stel-
len ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen dar und beschreiben das Fließver-
halten zäher Fluide. Setzt man die Dichte des betrachteten Fluids als konstant voraus und erweitert
das Gleichungssystem um diese Bedingung, so spricht man von den inkompressiblen Navier-Stokes-
Gleichungen. In der mathematischen Lösungstheorie dieser Gleichungen sind noch viele Fragen offen,
weswegen das Clay Mathematics Institute die Analyse der Navier-Stokes-Gleichungen in die Liste der
Millenium-Probleme aufgenommen hat. Dabei verursacht der sogenannte konvektive Term die Schwie-
rigkeit. Wenn man ihn vernachlässigt, erhält man die Stokes-Gleichungen. Für die Stokes-Gleichungen
existieren schwache Lösungen unter gewissen Annahmen.
Man leitet die Navier-Stokes-Gleichungen unter der Bedingung her, dass die Reibung eine lineare Funk-
tion der Geschwindigkeit ist. In dieser Bachelorarbeit wird die Existenz von schwachen Lösungen unter
der Annahme untersucht, dass die Reibung eine beliebige, nichtlineare Funktion der Geschwindigkeit ist.
Genauer soll die Nichtlinearität ein monotoner Operator sein, der symmetrische, reelle
3 × 3-Matrizen
auf ebensolche abbildet. Des Weiteren setzen wir voraus, dass das Fluid homogen und inkompressibel
ist: Dies impliziert, dass das Geschwindigkeitsfeld divergenzfrei ist. Die daraus resultierenden Stokes-
Gleichungen nennen wir allgemeine Stokes-Gleichungen. Das Ziel dieser Bachelorarbeit ist es, folgenden
Satz zu beweisen:
Seien das dreidimensionale Geschwindigkeitsfeld zur Zeit
t
= 0 und homogene Dirichlet-
Randbedingungen gegeben. Dann existieren genau ein divergenzfreies Geschwindigkeitsfeld
u
und genau ein Druckfeld
p, sodass
(u, p) das allgemeine Stokes-Problem im schwachen Sinne
löst. Dabei seien äußere Kräfte vernachlässigbar.
In diesem Zusammenhang ist die Frage zu klären, welche weiteren Bedingungen an den monotonen,
nichtlinearen Operator gestellt werden müssen.
Im ersten Kapitel leiten wir die Navier-Stokes-Gleichungen unter Vernachlässigung von äußeren Kräften
her, um im zweiten Kapitel das allgemeine Stokes-Problem als Anfangs-Randwert-Problem zu formulie-
ren. Im Anschluss konstruieren wir die Helmholtz-Projektion, mit deren Hilfe wir den Druck aus den
Gleichungen eliminieren können. Daraus erhalten wir ein äquivalentes Anfangs-Randwert-Problem. Um
dieses zu lösen, führen wir im dritten Kapitel die Funktionenräume ein, aus denen wir den Lösungsraum
konstruieren können. Da die benötigten Funktionenräume allesamt Hilberträume sind, stellen wir ihre
Elemente als Fourierreihen dar. Im vierten Kapitel zeigen wir zunächst, dass das äquivalente Problem
höchstens eine schwache Lösung besitzen kann, bevor wir nachweisen, dass tatsächlich eine schwa-
che Lösung existiert. Dazu wenden wir die Galerkin-Methode an, indem wir approximative Lösungen
konstruieren.
1
Inhaltsverzeichnis
1 Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
3
1.1 Konfigurationen, Euler'sche und Lagrange'sche Darstellung von Bewegungen . . . . . . . .
3
1.2 Substantielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3 Das Reynolds'sche Transporttheorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4 Die Kontinuitätsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5 Die Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.6 Die Navier-Stokes-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2 Allgemeines Stokes-Problem
9
2.1 Hilbertraüme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.2 Allgemeine konstitutive Gleichung, Formulierung des allgemeinen Stokes-Problems . . . .
10
2.3 Helmholtz-Projektion und Helmholtz-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.4 Formulierung des äquivalenten Problems, allgemeiner Stokes-Operator . . . . . . . . . . . .
14
3 Benötigte Funktionenräume
16
3.1 Hilberträume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2 Bochnerräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3 Spuroperator und Spursatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4 Lösung des äquivalenten Problems
28
4.1 Eindeutigkeit der schwachen Lösung des äquivalenten Problems . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2 Approximative Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
4.3 Existenz der Lösung des äquivalenten Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
5 Fazit und Ausblick
43
2
1 Herleitung der Navier-Stokes-Gleichungen
Wir führen zunächst einige Grundlagen aus der Kontinuumsmechanik ein, die wir zur Herleitung der
Navier-Stokes-Gleichungen benötigen. Um den Rahmen der Bachelorarbeit nicht zu sprengen, verzichten
wir auf die Beweise der Resultate in diesem Kapitel. Das Kapitel ist in Anlehnung an [LL91] und [GH09]
verfasst.
Im gesamten Kapitel wird die Einstein'sche Summenkonvention verwendet, d. h. es wird über doppelt
auftretende Indizes summiert.
1.1 Konfigurationen, Euler'sche und Lagrange'sche Darstellung von Bewegungen
In der Kontinuumsmechanik werden sogenannte Kontinua und deren Deformationen betrachtet. Darun-
ter versteht man Körper mit kontinuierlich verteilter Masse, wobei ein Körper eine Menge von materiellen
Punkten ist. Wir werden Körper im Folgenden mit
bezeichnen. Um Deformationen zu beschreiben,
führt man Konfigurationen und Bewegungen ein.
Definition 1.1.1 (Konfiguration, Bewegung).
· Eine Konfiguration ist eine Abbildung
x
:
-
3
,
x
() := x.
Dabei sei x der Vektor, der vom Ursprung zum materiellen Punkt zeigt. Wir fordern, dass die
Abbildung bijektiv ist.
· Die Bewegung eines materiellen Punkts ist eine mit der Zeit t parametrisierte Schar von Konfigura-
tionen. Wir schreiben für die Bewegung eines materiellen Punkts
x
(t, ) := x
t
().
Die Bijektivität einer Konfiguration bedeutet, dass jeder materielle Punkt
eindeutig mit dem
Ortsvektor x
identifiziert werden kann. Wir wollen daher im Folgenden einen materiellen Punkt mit
x
anstatt mit
bezeichnen.
Unter allen möglichen Konfigurationen gibt es zwei, die wir hervorheben.
Definition 1.1.2 (Referenzkonfiguration, Momentankonfiguration). Seien mit t
= 0 und t = T, T
+
0
,
Beginn und Ende der Deformation bezeichnet.
· Die Referenzkonfiguration ist die Konfiguration zur Zeit t
= 0. Für Elemente des Körpers in der
Referenzkonfiguration schreiben wir X anstatt x.
· Die Momentankonfiguration ist die Konfiguration zur Zeit t
(0, T].
3
Es ist zu betonen, dass x als Element des Körpers in der Momentankonfiguration von der Zeit t abhängt,
während X als Element des Körpers in der Referenzkonfiguration zeitunabhängig ist.
Es gibt nun zwei Möglichkeiten, die Bewegung eines materiellen Punkts zu beschreiben.
· In der Lagrange'schen Beschreibung wird die Bewegung eines ausgewählten materiellen Punkts über
alle Konfigurationen und über die gesamte Deformationsdauer verfolgt. Man kann sich also vor-
stellen, dass der Beobachter sich mit dem materiellen Punkt mitbewegt. Wir erhalten daher eine
Bewegungsdarstellung
x
= x(t, X ).
· In der Euler'schen Beschreibung wird der Zustand in einem ausgewählten Raumpunkt in einer fest
gewählten Konfiguration über die gesamte Deformationsdauer beobachtet. Man kann sich also
vorstellen, dass die einzelnen materiellen Punkte vorbeiziehen. Wir erhalten daher eine Bewe-
gungsdarstellung
x
= x(t, x).
Wir verwenden im Folgenden die Euler'sche Bewegungsbeschreibung.
1.2 Substantielle Ableitung
Wir betrachten eine differenzierbare Abbildung
f
:
×
3
-
n
.
Wir setzen noch x
:= (x
1
, x
2
, x
3
) und u :=
x
t
und leiten f mit der Kettenregel nach t ab:
d f
dt
=
f
(t, x)
(t, x)
t
=
f
t
,
f
x
t/ t
x/ t
=
f
t
· 1 +
f
x
x
t
=
f
t
+ (
x
f
) u.
Diese Rechnung motiviert folgende Definition.
Definition 1.2.1 (Substantielle Ableitung). Sei
f
:
×
3
-
n
,
(t, x) f (t, x)
eine differenzierbare Abbildung und u
:=
x
t
das zu x gehörige Geschwindigkeitsfeld. Die substantielle
Ableitung von
f ist gegeben durch
d f
dt
(t, x) =
f
t
(t, x) +
x
f
(t, x) u(t, x).
Der erste Summand heißt lokale Ableitung. Er gibt an, wie f sich lokal ändert, d. h. am festen Ort x. Der
zweite Summand heißt konvektive Ableitung. Er gibt an, wie f sich durch die Bewegung des materiellen
Punkts ändert.
4
1.3 Das Reynolds'sche Transporttheorem
Um die Kontinuitätsgleichung herzuleiten, brauchen wir einen Satz, der uns erlaubt, die Zeitableitung
in das Integral zu ziehen, obwohl die Integrationsgrenzen von der Zeit abhängen. Dies führt uns zum
Reynolds'schen Transporttheorem.
Satz 1.3.1 (Reynolds'sches Transporttheorem). Sei f
:
×
3
-
3
eine differenzierbare Abbildung.
Sei
n
ein Gebiet in der Momentankonfiguration mit äußerem Normaleneinheitsfeld n und
das
Oberflächenmaß von
. Sei x ein materieller Punkt und u :=
x
t
das zu x gehörige Geschwindig-
keitsfeld. Dann gilt
d
dt
f t
, x)dx =
t
f
(t, x)dx +
f
(t, x) u(t, x) · n(t, x) d.
(1.1)
Bemerkung 1.3.2. Es gilt folgende Variante des Reynolds'schen Transporttheorems:
d
dt
f t
, x)dx =
t
f
(t, x) +
x
f
(t, x) u(t, x) + f (t, x) div
x
u
(t, x) dx.
(1.2)
1.4 Die Kontinuitätsgleichung
Im Folgenden leiten wir die Kontinuitätsgleichung in Anlehnung an [LL91] her. Dazu betrachten wir ein
Fluid und sehen dieses als Kontinuum an. Wir fixieren einen Teil des Gesamtvolumens, in dem wir die
Strömung beobachten (Euler'sche Beschreibung). Solch ein Volumen wird Kontrollvolumen genannt. Wir
bezeichnen es mit V
0
, wobei V
0
3
. Sei
· x
: [0, T ] - ein materieller Punkt in der Momentankonfiguration,
· u
: [0, T ] × -
3
das Geschwindigkeitsfeld des Fluids, gegeben durch u
=
x
t
,
· p
: [0, T ] × -
der Druck und
·
: [0, T ] × -
die Dichte des Fluids.
Die Masse des Kontrollvolumens ist gegeben durch
m
:=
V
0
dx.
Das Prinzip der Massenerhaltung besagt, dass Masse weder erzeugt noch vernichtet werden kann, d. h.
0 =
d
dt
m
=
d
dt
V
0
dx.
Mit dem Reynolds'schen Transporttheorem (1.1) und dem Gauß'schen Integralsatz folgt daraus
0 =
V
0
t
dx +
V
0
(u · n)d
=
V
0
t
dx +
V
0
div
x
( u)dx
=
V
0
t
+ div
x
( u) dx.
5
Da die Gleichung für jedes beliebige Kontrollvolumen gilt, muss der Integrand verschwinden:
t
+ div
x
( u) = 0.
(1.3)
Dies ist die Kontinuitätsgleichung.
Wir geben die Kontinuitätsgleichung noch in einer Darstellung an, die die substantielle Ableitung von
enthält. Sei dazu
{e
i
}
3
i
=1
eine Orthonormalbasis des
3
. Wir berechnen
div
x
( u) =
( u
i
)
x
i
=
x
i
u
i
+
u
i
x
i
=
x
i
ik
u
k
+
u
i
x
i
=
x
i
e
i
· u
k
e
k
+
u
i
x
i
=
x
· u + div
x
u
.
Wir erhalten damit aus (1.3) unter Verwendung der substantiellen Ableitung
t
+
x
· u + div
x
u
= 0
d
dt
+ div
x
u
= 0.
(1.4)
1.5 Die Euler-Gleichungen
In diesem Abschnitt leiten wir die Euler-Gleichungen her. Sie stellen den Impulssatz für ideale Fluide dar
und lassen sich daher aus dem zweiten Newton'schen Axiom ableiten.
Definition 1.5.1 (Ideales Fluid). Unter einem idealen Fluid verstehen wir ein Fluid mit folgenden Eigen-
schaften:
· Es ist reibungsfrei, d. h. die Gesamtenergie des Systems hängt nicht von der Reibung ab.
· Es ist inkompressibel, d. h. die Dichte hängt weder vom Druck noch von der Zeit ab, also
= (x).
· Energiedissipation wird vernachlässigt.
Wir fixieren wieder ein Kontrollvolumen V
0
und nehmen an, dass keine Volumenkräfte wirken. Da
das Fluid ideal ist, gibt es auch keine Reibungskräfte: Die gesamte Kraft f , die auf V
0
wirkt, ist deswegen
gegeben durch den auf die Oberfläche wirkenden Druck p:
f
= -
V
0
p
· nd.
6
Das negative Vorzeichen begründet sich dadurch, dass der Druck von außen wirkt, also entgegen der
angenommenen Normalenrichtung. Wir schreiben das Integral mit dem Gauß'schen Integralsatz um:
f
= -
V
0
p
· nd = -
V
0
x
p
dx.
Der Impuls des Systems ist gegeben durch
I
:=
V
0
u
dx.
Das zweite Newton'sche Axiom besagt, dass die zeitliche Änderung des Impulses der Kraft entspricht,
also
d
dt
I
= f .
Einsetzen liefert
d
dt
V
0
u
dx = -
V
0
x
p
dx.
Das Reynolds'sche Transporttheorem (1.2) liefert nun
-
V
0
x
p
dx =
d
dt
V
0
u
dx
=
V
0
t
( u) +
x
( u) u + ( u) div
x
u
dx,
also
0 =
V
0
x
p
+
t
( u) +
x
( u) u + ( u) div
x
u
dx.
Da die Gleichung für jedes beliebige Kontrollvolumen gilt, muss der Integrand verschwinden:
-
x
p
=
t
( u) +
x
( u) u + ( u) div
x
u
.
Wir vereinfachen nun
x
( u)u. Sei dazu {e
i
}
3
i
=1
eine Orthonormalbasis des
3
. Wir erhalten
x
( u)u =
( u
i
)
x
k
(e
i
e
k
) u
m
e
m
=
( u
i
)
x
k
u
m
(e
m
· e
k
)e
i
= u
m
( u
i
)
x
k
(e
m
· e
k
)e
i
= u
m
e
m
·
x
k
e
k
( u
i
)e
i
= (u ·
x
)( u)
Durch Einsetzen erhalten wir die Euler-Gleichungen:
-
x
p
=
t
( u) + (u ·
x
)( u) + ( u) div
x
u
.
(1.5)
7
Ende der Leseprobe aus 47 Seiten
- Arbeit zitieren
- Daniel Janocha (Autor:in), 2012, Schwache Lösung der Stokes-Gleichungen für nicht-Newton'sche Fluide, München, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/285549
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