Schiefe Asymptoten und Näherungskurven

Inhalt

Einleitung

1. Gebrochenrationale Funktionen
I. Form
II. Verhalten im Unendlichen
a) Zählergrad < Nennergrad
b) Zählergrad > Nennergrad

2. Schiefe Asymptoten

3. Polynomdivision

4. Näherungskurven

5. Zusammenfassung

6. Quellenverzeichnis

Einleitung

Eine häufig sehr interessante Eigenschaft von Funktionen ist ihr Verhalten im Unendlichen. Man analysiert hier, wie sich ein Funktionsgraph für immer größer bzw. kleiner werdende x- Werte verhält.

Dieses Wissen ist bei Kurvendiskussionen oft hilfreich, da sich das Verhalten oft nicht gleich aus dem Funktionsterm auslesen lässt. Wenn ich weiß, wie die Funktion sich für x gegen Unendlich verhält, bin ich in der Lage, diese Information direkt auf die Skizze zu übertragen und mögliche Fehler frühzeitig zu erkennen.

Es werden hier im Allgemeinen zwei Fälle unterschieden: Die Funktion wächst sozusagen ins Unendliche (∞), oder nähert sich einem bestimmten Grenzwert an, den es durch Umformung des ursprünglichen Funktionsterms zu bestimmen gilt.

In der vorliegenden schriftlichen Ausarbeitung wird das Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen näher beleuchtet und dabei die vier auftretenden Fälle untersucht. Die ersten beiden wurden im Unterricht schon behandelt und nur der Vollständigkeit halber hinzugenommen.

1. Gebrochenrationale Funktionen

I. Form

Die Form von gebrochenrationalen Funktionen sollte man bei der Untersuchung des

Verhaltens im Unendlichen immer im Hinterkopf behalten.

Es sei eine Funktion f(x) gegeben, die durch den Quotienten zweier ganz rationaler Polynome bestimmt ist: das Zählerpolynom g(x) mit dem Zählergrad und das Nennerpolynom h(x) mit dem Grad n. Diese Funktion nennt man gebrochenrational.

Allgemeine Form

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion und ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Diesen letzten Fall kann man durch Polynomdivision in eine ganzrationale Funktion und einen gebrochenrationalen Rest aufgeteilt werden.

II. Verhalten im Unendlichen

a) Zählergrad < Nennergrad

Betrachten wir zunächst den ersten Fall, nämlich wenn der Zählergrad z einer gebrochenrationalen Funktion kleiner als der Nennergrad n ist. Das kann man beispielhaft an einer Funktion dieser Art machen. Nehmen wir die Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Untersucht

wird ihr Verhalten im Unendlichen, dementsprechend setzt man exemplarisch sehr hohe x- Werte ein, beispielsweise eine Millionen. Eingesetzt würde das so aussehen:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Im Zähler hätten wir somit2'000'0000 stehen (die 1 kann man für große x-Werte vernachlässigen) und im Nenner1 ‘000 ‘000 im Quadrat. Die Million im Quadrat dominiert hier allerdings über die zwei Millionen. Somit, und weil die Million im Quadrat im Nenner steht, wird der Term für große x-Werte gleich0. Man schreibt Ž‹[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Die Funktion nähert sich im Unendlichen also beliebig 0, was uns zur waagerechten Asymptote y = 0 führt. Die allgemeine Asymptotengleichung für den Fall, dass der Zählergrad kleiner dem Nennergrad ist, ist also y = 0.

Graph der Funktion f(x) und ihrer waagerechten Asymptote:

Man erkennt, dass sich die Funktion f(x) (in Rot) immer mehr der x-Achse, ihrer waagerechten Asymptote (in Blau) annähert.

Anmerkung: Die Farben Rot f ü r die zu untersuchende Funktion und Blau f ü r die Asymptote bzw. N ä herungskurve, an die sich die Funktion im Unendlichen anschmiegt, werden die Ausarbeitung hindurch f ü r die jeweiligen Funktionsgraphen beibehalten. Die senkrechten Geraden sind jeweils die Polstellen, also Definitionsl ü cken der Funktion und f ä lschlicherweise eingezeichnet. Diese sind unbeachtet zu lassen.

b) Zählergrad = Nennergrad

Kommen wir zum zweiten Fall, nämlich wenn der Zählergrad einer Funktion gleich dem Nennergrad ist. Das spielen wir anhand einer Beispielfunktion wieder durch, diesmal mit der Funktion ݂[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Wieder wird das Verhalten im Unendlichen untersucht. Hierfür kann man sich der Methode des Ausklammerns bedienen. Nach diesem Schema hätte man auch im ersten Fall verfahren können, dort wurde es allerdings auch ohne Ausklammern hinreichend klar. Man klammert demnach x aus, wir erhalten den Funktionsterm[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] und können im nächsten Schritt x aus Zähler und Nenner kürzen. Übrig bleibt im Zähler ʹ[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]und im Nenner [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Da die gebrochenrationalen Terme ௫ und െ௫ für große x-Werte Null werden, können wir sie (zumindest im Kopf) wegstreichen. Übrig bleiben würdeZwei Drittel ist also die horizonta. Zwei Drittel ist also die horizontale Asymptote der Funktion f(x). Allgemein kann man also sagen:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei c ein konstanter Wert und gleichzeitig der Achsenabschnitt der Asymptote ist.

Die Funktion nähert sich im Unendlichen also beliebig dem Wert[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Allgemein lässt sich für eine gebrochenrationale Funktion mit gleichem Zähler- und Nennergrad also die Asymptotengleichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]aufstellen. Dabei sind ܽ௭ und [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wenn man jetzt an die [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] allgemeine Form gebrochenrationaler Funktionen vom Beginn denkt, jeweils die Koeffizienten der Exponenten, die das Verhalten der Funktion bestimmen. Graph der Funktion f(x) und ihrer Asymptote: Deutlich wird, dass es sich bei der Asymptote um eine waagerechte Gerade handelt, die in y-Richtung verschoben ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten.

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