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Förderung des entdeckenden Lernens durch den Einsatz dynamischer Geometrie-Software

Am Beispiel des Themas "Umkreis von Dreiecken"

Bachelorarbeit 2010 44 Seiten

Didaktik - Mathematik

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Theoretische Grundlagen
2.1. Entdeckendes Lernen
2.1.1. Forderung an die Aufgabenstellungen
2.1.2. Kreativitätsmodelle des entdeckenden Lernens
2.2. Dynamische Geometrie-Softwares
2.2.1. Der Zugmodus
2.2.2. GeoGebra

3. Praxisbezogene Untersuchung
3.1. Bedingungsanalyse
3.1.1. Rahmenbedingungen
3.1.2. Lerngruppenbeschreibung
3.2. Sachanalyse
3.2.1. Ziele des Geometrieunterrichts
3.2.2. Curriculare Einordnung des Themas
3.3. Planung zur Durchführung der Studie
3.4. Untersuchungsinteresse und Erwartung
3.5. Analyse des Verlaufs der Unterrichtsstunden
3.5.1. Themenbereich: Entdeckendes Lernen
3.5.2. Kritische Betrachtungen
3.5.3. Reflexion und Legitimation
3.6. Vor- und Nachteile des Einsatzes dynamischer Geometrie-Softwares

4. Schlussbetrachtung

Bibliographie

Anhang

1. Einleitung

Bereits Konfuzius sagte einst: „Sage es mir, und ich vergesse es; Zeige es mir, und ich erinnere mich; Lass es mich tun, und ich verstehe es.“ Dieses Zitat sollte der Leitfaden eines jeden Lehrers für seine Unterrichtsgestaltung sein. Tatsächlich ist weiterhin die geläufigste Unterrichtsmethode das fragend-entwickelnde Unterrichtsgespräch. Anhand geschickt gestellter Fragen des Lehrers vollzieht der Schüler den Unterrichtsstoff lediglich nach, und es mangelt an einem aktiven selbständigen Wissenserwerbsprozess des Lerners, durch den oftmals eine Nachhaltigkeit der Lernergebnisse erzielt werden könnte. Aus diesem Grund fordern Didaktiker einen Mathematikunterricht, in dem entdeckendes Lernen gefördert wird.

In einem Seminar zum Computereinsatz im Mathematikunterricht entsprang die Idee zum Thema der vorliegenden Arbeit, diesem Anspruch unter Verwendung einer dynamischen Geometrie-Software[1] nachzukommen. Obwohl der Einsatz elektronischer Medien im Unterricht seit langem eine Forderung vieler Bundesländer ist und dieser teilweise im brandenburgischen Rahmenlehrplan[2] integriert ist, stellt seine Durchsetzung oftmals noch eine Seltenheit dar. Um diesem in einem ersten Schritt zu entgegnen, möchte ich in einer dieser Arbeit zugrundeliegenden Untersuchung eigene Erfahrungen bezüglich der neuen Unterrichtsmethode sammeln.

Das Hauptziel dieser Arbeit besteht darin herauszufinden, inwieweit das entdeckende Lernen durch den Einsatz einer dynamischen Geometrie-Software am Beispiel des Themas „Umkreis von Dreiecken“ gefördert werden kann. Beginnend mit einer theoretischen Einführung zu den Begriffen des entdeckenden Lernens und dynamischer Geometrie-Softwares werden die entscheidenden Grundlagen im ersten Teil dieser Arbeit gelegt. Daran schließt sich der praktische Teil an, in dem neben den Rahmenbedingungen die Grundintention und Ziele des zu behandelnden Themas der Geometrie betrachtet und die nachfolgende Konkretisierung der Studiendurchführung und das Untersuchungsinteresse anhand von zentralen Fragestellungen erörtert werden. In der Analyse der Unterrichtsstunden und der anschließenden kritischen Betrachtung wird die Konzentration auf dem entdeckenden Lernen mittels der dynamischen Geometrie-Software liegen. In der Reflexion und Legitimation wird zu den zentralen Fragestellungen abschließend Stellung genommen. Es folgen Vor- und Nachteile des Einsatzes einer DGS, die sich zum Teil aus der Untersuchung ergaben.

2. Theoretische Grundlagen

2.1. Entdeckendes Lernen

Zu der pädagogisch-didaktischen Methode des entdeckenden Lernens existiert in der Literatur keine allgemein akzeptierte Definition. Diese Sachlage erklärt Winter (1991: 1) damit, dass sich der Pädagoge selbst in dem zu definierenden System befindet und dieses wahrscheinlich verändert, sobald er einen Versuch einer Definition wagt. Unter entdeckendem Lernen fasst Bruner, der den Begriff geprägt hat, generell „die selbstlernende Erschließung eines Wissensgebietes“[3] mit Hilfe des eigenen Verstandes. Aus diesem Grund ergeben sich methodische Veränderungen, bei denen die Schülerinnen und Schüler[4] im Unterrichtsgeschehen in das Zentrum rücken. Dadurch verlagert sich die aktive Tätigkeit der Lehrperson auf die des Schülers, und somit steht das entdeckende Lernen im Gegensatz zum Lernen durch Belehrung. Winters Hauptthese beschreibt diese Auffassung sehr gut:

„Das Lernen von Mathematik ist umso wirkungsvoller […], je mehr es im Sinne eigener aktiver Erfahrungen betrieben wird, je mehr der Fortschritt im Wissen, Können und Urteilen des Lernenden auf selbständigen entdeckerischen Unternehmungen beruht.“ (Winter, 1991:1).

Entscheidend ist demnach die lernpsychologische Idee, dass die Aneignung von Wissen und bestimmter Fähigkeiten zum Problemlösen[5] nicht durch Mitteilung anderer Personen, sondern durch selbständiges und aktives Handeln geschieht. Im Entdeckungsprozess kann der Lerner auf bereits erworbenes Wissen zurückgreifen, um sich neues anzueignen (vgl. Winter, 1991: 2).

Zur Förderung von Kreativität und Entdeckungsprozessen schlägt Winter (1991: 175) unter anderem folgende Anregungen aus der psychologischen Literatur vor: das Bereitstellen von Möglichkeiten zum freien Experimentieren und die Ermunterung zum Vermuten, Probieren und Erkunden sowie eine genügend weite Haltung von Lern- und Entdeckungshilfen als auch Hilfen zum Selbstfinden eines Lösungsweges. Mittels solcher Maßnahmen, wie stützende Hilfen seitens der Lehrperson und das Sichern von Teilerfolgen im Plenum, wird das entdeckende Lernen in gewissem Maße eingegrenzt, sodass die Lernmethode von den Wissenschaftlern häufig zu Recht als gelenktes entdeckendes Lernen beschrieben wird. Die Lenkung der Lehrperson kann einen unterschiedlichen Grad annehmen. Offensichtlich ist jedoch, dass das Ausmaß der Lenkungsmaßnahmen gering zu halten ist und die Selbständigkeitsdimension des Schülers sehr deutlich erkennbar sein muss, um nah an einem entdeckenden Lernprozess des Schülers zu bleiben. Durch diese Ausführungen ist evident, dass das Entdecken im Unterricht keinen vollkommen autonomen Lernprozess darstellt (vgl. Wilde, 1984: 8f.). Einen wesentlichen Grund für das entdeckende Lernen erklärt Freudenthal (1973: 114) in der oftmaligen Nachhaltigkeit der Lernergebnisse: „Nacherfundene Kenntnisse und Fähigkeiten werden besser und schärfer eingeprägt als solche, die weniger aktiv erworben wurden.“

2.1.1. Forderung an die Aufgabenstellungen

Die bedeutende didaktische Aufgabe in der Praxis ist, dass der Lehrende durch eine geeignete Wahl und Formulierung der Aufgabenstellungen ein Lernen durch Entdecken schafft, sodass der Schüler zu eigenaktivem Denken und Handeln aufgefordert wird. In einem Kriterienkatalog zu Aufgaben für das Erkunden, Entdecken und Erfinden liefern Büchter und
Leuders (2005: 118f.) Merkmale von Aufgaben, die sich für das entdeckende Lernen eignen[6]:

- Zugänglichkeit: leicht zugängliche Aufgabe, die in einer anschaulichen Situation verpackt ist
- Offenheit des Wegs: verschiedene Ansätze sind möglich
- Barriere: keine Anwendung bereits erlernter Verfahren möglich, eine Vorgehensweise muss selbst entwickelt werden

Neben diesen Kriterien gibt es noch weitere wie die Offenheit des Ergebnisses oder die Variation, die besonders zur Qualität von Aufgaben zum entdeckenden Lernen beitragen. Diese treten in der vorliegenden Arbeit allerdings nicht auf, da eine Verwendung solcher Aufgabentypen bestimmten Bedingungen unterliegt, welche Erfahrungen im Umgang mit diesen oder die Selbständigkeit der Lerngruppe sind. Erfahrungsgemäß wird die Zugänglichkeit zu Aufgaben für Schüler durch eine Einkleidung und Realitätsbezogenheit begünstigt, sodass diese zum Entdecken und Erkunden positiv beitragen.

2.1.2. Kreativitätsmodelle des entdeckenden Lernens

Entdeckendes Lernen beinhaltet in der Mathematik immer auch Kreativität als Prozess, um ein Problem zu lösen. Im Folgenden soll kurz ein Modell des Mathematikers Jacques
Hadamard vorgestellt werden, bei dem es um Findungs- und Entdeckungsprozesse geht, welche in vier Phasen unterteilt sind:

(1) Präparation (Vorbereitung)
(2) Inkubation (Ausbrütung)
(3) Illumination (Erleuchtung, Inspiration)
(4) Verifikation (Überprüfung)

In der ersten Phase, der Präparation, geschehen bewusste Prozesse des Lerners, in denen er sich mit der Aufgabenstellung und dem damit verbundenen Problem auseinandersetzt. Es wird erkannt, dass das Problem nicht mit einem routinierten Verfahren gelöst werden kann. Aus diesem Grund folgen die nächsten beiden Stufen, die wissenschaftlich besonders schwer zu untersuchen sind. In der Inkubationsphase, die unter anderem sehr lang sein kann, werden die Prozesse ins Unterbewusstsein verlagert und dort verschiedene Ideen kombiniert, verglichen und bereits bewertet. Aus diesen Prozessen entspringt in der kurzen Illuminationsphase eine Idee, die intuitiv sein kann und in das Bewusstsein gelangt. In dem letzten kreativen Problemlöseprozess kommt es zur Überprüfung der Lösungsidee (vgl. Winter, 1991: 170ff.; Weth, 1997: 81f.).

Ähnlich dem Konzept Hadamards hat Weth ein Kreativitätsmodell entwickelt, welches sich dem Mathematikunterricht anpasst. Ihm ist es wichtig, dass nicht nur richtige Lösungen eines Problems als kreativ anerkannt werden, sondern „eine Idee […] auch dann als kreativ bezeichnet [wird], wenn sie für den Schüler subjektiv neuartig ist und im Rahmen des Unterrichtsstoffs als sinnvoll gelten kann.“ (Weth, 1997: 82). Sein Modell gliedert sich ebenfalls in vier Phasen:

- Experimentelle Phase
- Entdeckende Phase
- Entwickelnde Phase
- Erarbeitende Phase

In der ersten Phase wird der Schüler motiviert, ein mathematisches Problem zunächst durch Probieren und Vermuten experimentell zu untersuchen. Um effektiv experimentieren zu können, sind einige Werkzeuge wie der Zugmodus, auf den in Kapitel 2.2.1. eingegangen wird, unverzichtbar. Im Anschluss folgt die Stufe des Entdeckens, in der sich für den Lerner subjektiv neue Zusammenhänge herausbilden, die im Prozess des Experimentierens entstanden sind. Dieser Augenblick entspricht der Hadamard‘schen Illumination. In der Entwicklungsphase soll das neuartige Phänomen beschrieben und verbalisiert werden, welches durch eine Konstruktionsvorschrift oder Beschreibung der Beobachtungen geschehen kann. In der abschließenden Phase werden die gemachten Entdeckungen geprüft und begründet. Dieses Modell unterscheidet sich von dem von Hadamard darin, dass hierbei die mathematischen Prozesse und nicht ausschließlich die inhaltlichen Ziele im Vordergrund stehen (vgl. Weth, 1997: 82f.).

2.2. Dynamische Geometrie-Softwares

Die dynamischen Geometrie-Softwares sind Geometrieprogramme, welche hauptsächlich für den schulischen Gebrauch im Geometrieunterricht zugeschnitten sind und mit deren Hilfe Konstruktionen der euklidischen Geometrie erzeugt werden können. Mit einer vielfältigen Auswahl an Werkzeugen in einer Symbolleiste können geometrische Konstruktionen einfach, schnell und exakt auf einer Zeichenoberfläche erstellt werden. Darin sind nicht nur einfache Werkzeuge inbegriffen, die Kreise oder Geraden als Grundkonstruktionen[7] erzeugen, sondern ebenso Funktionen, die in einem Handlungsschritt Mittelsenkrechten oder Winkelhalbierende konstruieren, die somit nicht mehr unter die eigentlichen Standardkonstruktionen[8] fallen.

Heutzutage gibt es nach der Entwicklung des ersten und maßgebenden Programms namens Cabri-Géomètre (1988) viele ähnliche Nachfolger wie EUKLID, Cinderella, Geolog, Geonext, Thales sowie die relativ neuentwickelte Software GeoGebra. Obwohl sie sich alle in bestimmten Funktionen voneinander unterscheiden, haben die meisten dennoch drei sehr wichtige charakteristische Merkmale, durch die die DGS ihren Erfolg erlangten, gemeinsam. Diese sind im Folgenden:

- der Zugmodus, mit dem dynamische Veränderungen geometrischer Konstruktionen per Maus erfolgen können
- die Ortslinienfunktion, die die Bahnbewegung einzelner Objekte in Abhängigkeit von anderen Objekten nach Gebrauch des Zugmodus visualisieren
- der Makrobefehl, mit dem eine Sequenz von Konstruktionsbefehlen zu einem neuen Befehl zusammengefasst wird (vgl. Hölzl, 1997: 34).

2.2.1. Der Zugmodus

Aufgrund der Tatsache, dass in dieser Arbeit der Zugmodus eine wichtige Rolle spielen wird, soll auf diesen Aspekt näher eingegangen werden. Mittels des Zugmodus einer DGS können Basisobjekte[9] dynamisch bewegt werden, wodurch sich unter Wahrung der geometrischen Relation die von den Basisobjekten abhängigen Objekte mit bewegen. Demzufolge bleiben „die Inzidenz- und die Orthogonalitätsrelation[en] […] invariant“ (Schumann, 1989: 26). Durch diese Möglichkeit können die üblicherweise statischen Konstruktionen, in Form einer Zeichnung auf dem Papier, dynamisiert werden, sodass dieser Bewegungsprozess nicht mehr in der eigenen Vorstellung vollzogen oder eine neue Zeichnung erstellt werden muss. Diese besondere Eigenschaft erlaubt den Schülern eine erste Phase des Probierens und Beobachtens. Dadurch entsteht ein ausgezeichnetes Tätigkeitsfeld für entdeckendes Lernen. Die Schüler erhalten so die Möglichkeit, selbständig zu arbeiten, geometrische Fragestellungen gezielt zu untersuchen und Vermutungen zu überprüfen. Sträßer (2001: 190) klassifiziert drei Phasen von Verwendungsweisen des Zugmodus, die beim Problemlösen auftreten können. Die erste nennt er „tastendes Ziehen“, bei der die Bewegungen unkontrolliert zu sein scheinen, weil am Anfang noch keine geometrische Vermutung bezüglich des zu lösenden Problems vorliegt. Der Benutzer befindet sich in einer sogenannten Probier- und Experimentierphase. Aus der ersten Phase heraus werden bereits Hypothesen über einen möglichen Sachverhalt gebildet, die in der nächsten Stufe, des „bestätigenden Ziehens“, durch den Gebrauch des Zugmodus belegt oder widerlegt werden müssen. Hierbei sind ebenfalls Entdeckungen von Grenzfällen möglich. In der letzten Phase des „kontrollierenden Ziehens“ hat der Nutzer bereits seine Vermutung als richtig anerkannt und überprüft diese abschließend an einer entsprechend erstellten Konstruktion.

2.2.2. GeoGebra

Das Geometrieprogramm GeoGebra, welches im Rahmen der praktischen Untersuchung dieser Arbeit genutzt wurde, wurde 2001 von M. Hohenwarter entwickelt und ist somit eine der neueren DGS. In dem Namen des Programms steckt gleichzeitig die Neuerung dieser Version, welche sie von seinen ersten Vorfahren unterscheidet. GeoGebra steht für dynamische Geometrie und Algebra. Neben geometrischen Konstruktionen von Punkten, Strecken, Geraden, Kreisen und Vektoren auf der Zeichenoberfläche kann der Benutzer diese auch durch eine direkte Eingabe konstruieren lassen. Weiterhin ist die zweifache Darstellung der gezeichneten Objekte auf dem Bildschirm ein wesentlicher Vorteil gegenüber anderen DGS. Ein Objekt ist sowohl auf dem Zeichenblatt geometrisch dargestellt sichtbar und entspricht gleichzeitig einem Ausdruck in dem nebenstehenden Algebrafenster. Diese parallele Präsentation mathematischer Objekte bleibt auch in der Dynamik bestehen, sodass sich die Messungen von Streckenlängen und Winkelgrößen bei Gebrauch des Zugmodus automatisch mitverändern und sich entsprechend aktualisieren.[10] Damit bietet GeoGebra eine gute Grundlage, Beobachtungen und Vermutungen auf dem Zeichenblatt gleichzeitig algebraisch zu überprüfen, was entdeckendes Lernen begünstigt. Ein weiterer Vorzug bezüglich des Experimentierens ist die Möglichkeit, dass bestimmte geometrische Objekte, wie Hilfslinien, auf dem Bildschirm ausgeschaltet werden können, ohne sie zu löschen. Somit kann sich der Schüler auf das Wesentliche konzentrieren und sich eine größere Übersichtlichkeit verschaffen.

Ein zentraler Grund für die Wahl von GeoGebra für meine Untersuchung war die einfache Handhabung für die Schüler, da das Programm relativ leicht und übersichtlich aufgebaut und schnell für Anfänger erlernbar ist. Überdies erleichtert die zuvor genannte doppelte Betrachtungsweise der Objekte den Schülern das Beobachten und Entdecken bei der Nutzung des Zugmodus, weil sich die entsprechenden Maße im Algebrafenster mitverändern. Zudem folgt die algebraische Eingabe einer Notation, die der der Schule sehr nahe liegt, sodass keine neu zu erlernenden komplexen Strukturen erforderlich sind. Das Geometrieprogramm könnte neben dem Schuleinsatz auch zu Hause Verwendung finden, da es sich um eine Freeware handelt, die unter www.geogebra.org herunter geladen werden kann.

3. Praxisbezogene Untersuchung

3.1. Bedingungsanalyse

3.1.1. Rahmenbedingungen

Die äußeren Bedingungen, die die Suche nach einer geeigneten Schule beinhaltete, welche mir für meine Untersuchung eine siebte Klasse für vier Mathematikunterrichtsstunden zur Verfügung stellen konnte, erwiesen sich als äußerst schwierig. Durch eine längere Krankheit der für mich zuständigen Lehrkraft verschoben sich meine praktischen Arbeiten trotz frühzeitiger Planung um einige Wochen. Aus diesem Grund musste die Einführung in das Programm GeoGebra, welches für die Schüler unbekannt war sowie die Doppelstunde der Untersuchung in drei direkt aufeinanderfolgenden Unterrichtsstunden ablaufen. Diese Situation beeinträchtigte die Aufmerksamkeit und das Aufnahmevermögen vieler Schüler in der Endphase.

Das Babelsberger Filmgymnasium in Potsdam, an dem die Studie durchgeführt wurde, verfügt über einen großen Computerraum mit 24 Computern, auf denen GeoGebra vorhanden ist. Dennoch soll die Sozialform der Partnerarbeit gewählt werden, weil sich die Schüler somit gegenseitig bei der Nutzung des neuen Programms unterstützen können und zudem das Prozessziel des Kommunizierens im Mathematikunterricht gefördert wird. Das vorhandene Whiteboard, an dem der Lehrercomputer angeschlossen ist, kann einerseits zum Vortragen von Vermutungen und Ergebnissen einzelner Schüler genutzt werden. Andererseits dient es gleichzeitig als Tafel, an dem Ergebnisse in Form von Merksätzen gesichert werden sollen.

Durch die Benutzung einer dynamischen Geometrie-Software verändert sich eindeutig die Lernumgebung, welche Brüning [u.a.] (2008: 19) als „digitale“ Lernumgebung bezeichnet. Unter der Bedingung, dass sich der gesamte Lernablauf nicht vollständig auf das digitale Medium ausrichtet, können die Lernprozesse der Schüler durch den Computer, der zu den herkömmlichen Methoden des Geometrieunterrichts unterstützend wirkt, gefördert werden.

3.1.2. Lerngruppenbeschreibung

Für das Babelsberger Filmgymnasium sind relativ kleine Lerngruppen charakteristisch, und somit besteht die in diesem Schuljahr neu zusammengesetzte Klasse 7t aus nur 21 Schülern (18 Mädchen und drei Jungen). Grund für die starke Überzahl des weiblichen Geschlechts ist, dass sich die Klasse auf das Profil[11] Tanzen spezialisiert. Unter den Lernern im Alter von 12 – 14 Jahren befinden sich zwei, die die 7. Klasse mit einem Wechsel auf das Babelsberger Filmgymnasium wiederholen. Dementsprechend sollte den beiden das vorbereitete Thema bekannt sein, was jedoch keinen Nachteil für die Untersuchung darstellt, da Vergessenes wiederentdeckt werden kann und mit der Lernmethode, die angewendet wird, eventuell nachhaltiger im Gedächtnis bleibt.

Die Lerngruppe hatte in den bisherigen Monaten des Schuljahres keinen Geometrieunterricht, sodass sie ihre Vorkenntnisse in diesem Bereich auf den verschiedenen Grundschulen erworben haben, welche dementsprechend sehr unterschiedlich sind. Gleichermaßen ist die Klasse bezüglich der Leistung und des Arbeits- und Sozialverhaltens sehr heterogen und fällt zeitweise durch Disziplinprobleme auf. Des Weiteren findet eine Bearbeitung offener Aufgaben im Mathematikunterricht eher selten statt, und es tauchen teilweise Probleme beim Verbalisieren und Formulieren von Begründungen auf. Eine Schülerin kristallisiert sich anhand ihrer Leistung positiv heraus und scheint mathematisch begabt zu sein. Ein Computereinsatz im Mathematikunterricht erfolgte in dieser Klasse noch nicht. Die dynamische Geometrie-Software GeoGebra war den Schülern somit noch nicht bekannt.

3.2. Sachanalyse

3.2.1. Ziele des Geometrieunterrichts

Holland (1988: 7f.) beschreibt vier Bereiche des Geometrieunterrichts in der Sekundarstufe I, von denen in dieser Arbeit die zwei folgenden herausgegriffen und an denen fundamentale und wichtige Ziele des Geometrieunterrichts dargestellt werden:

- Geometrie als Lehre vom Anschauungsraum
- Geometrie als Übungsfeld für Problemlösen

Dem ersten Bereich liegen vorrangig Inhaltsziele zugrunde, bei denen es um die Aneignung von Grundbegriffen aus der Geometrie und deren Anwendung geht. Darüber hinaus sollen zeichnerische Fertigkeiten gefördert und geometrische Zusammenhänge erfasst werden, die für den weiteren Erwerb geometrischer Inhalte bedeutsam sind. Den Stellenwert der Prozessziele, zu denen das selbständige Entdecken mathematischer Beziehungen gehört, unterstreicht Holland folgendermaßen: „Nur ein Unterricht, welcher den Schülern Gelegenheit gibt, geometrische Sätze und deren Allgemeingültigkeit weitgehend selber zu entdecken, trägt der Forderung nach integrierter Kenntnis geometrischer Zusammenhänge Rechnung.“ (Holland, 1988: 8). „Integrierte Kenntnis“ bedingt laut Holland, dass neu zu lernende Begriffe und Sätze an bereits erworbene Kenntnisse angeknüpft und diese miteinander in Beziehung gebracht werden sollen. Die Relevanz im Mathematikunterricht beläuft sich damit nicht nur auf ein Endergebnis, sondern der Prozess des Wissenserwerbes sollte prädominieren, um somit eine Nachhaltigkeit der Lernergebnisse zu ermöglichen. Gleichermaßen konkretisiert Bruner diesen Sachverhalt präzise: „Wissen ist kein Produkt, sondern ein Prozess“ (zit. nach Weigand, 1997: 6). Unter dem Aspekt „Übungsfeld für Problemlösen“ besteht das Hauptziel des Geometrieunterrichts sowohl darin, die Schüler zu ermuntern, Strategien zum Problemlösen zu finden, als auch darin, diese Fähigkeit des Lösens von Konstruktionsproblemen zu fördern. Um Ansätze zum Problemlösen zu entwickeln, können heuristische Verfahren oder Methoden hilfreich sein. Hierzu zählen unter anderem das Weglassen einer Bedingung, das Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten und das Analogisieren (vgl. Leuders, 2003: 133f.).

Diese beiden aufeinander aufbauenden, von Holland aufgezeigten, Bereiche beschreibt Henn (1994: 5f.) unter Einbeziehung des Aspektes des Computereinsatzes als zwei Handlungsebenen. Auf der nichtcomputerunterstützten Ebene erlernen die Schüler grundlegende Begriffe und Konstruktionsschritte mit den herkömmlichen Methoden der Zirkel- und Linealkonstruktion. Sobald diese Grundkonstruktionen von den Schülern erfasst wurden und ihre reinen Durchführungen keinen Erfolg im Lernprozess mehr ergeben, können diese Grundkenntnisse dann auf der zweiten Ebene vom Computer als Bausteine genutzt werden. Somit können sich die Schüler auf das Problemlösen und das Entdecken und Finden geometrischer Zusammenhänge konzentrieren, welches mit der Nutzung des Zugmodus und der Ortslinienfunktion begünstigt wird. Dadurch kann der Schwerpunkt auf die Prozessziele gelegt werden.

3.2.2. Curriculare Einordnung des Themas

Das Thema „Umkreis von Dreiecken“ wird in die Thematik „Besondere Linien und Punkte im Dreieck“ eingeordnet und gehört somit in das Gebiet der geometrischen Konstruktionen. Laut des brandenburgischen Rahmenlehrplans von 2008 umfasst die grundlegende allgemeine Bildung der Doppeljahrgangsstufe 7/8 das Konstruieren besonderer Linien im spitzwinkligen Dreieck (Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende, Höhe und Seitenhalbierende) und den Umkreis eines Dreiecks. Neben den grundlegenden Kenntnissen zur Konstruktion ist ein wesentlicher Bestandteil in der Geometrie das Erforschen geometrischer Zusammenhänge, welches insbesondere durch die Verwendung dynamischer Geometrie-Software unterstützt werden kann (vgl. RLP, 2008: 25). Diese entdeckten Eigenschaften und Beziehungen müssen dann verbalisiert und begründet werden.

Das Thema „Besondere Linien und Punkte im Dreieck“ wird üblicherweise mit der Schnittpunkteigenschaft der Mittelsenkrechten im Dreieck und dem daraus resultierenden Umkreis eines Dreiecks eingeleitet (vgl. Pohlmann; Stoye, 2002: 167, 171; Ulm, 2004: 11), welches das Thema der vorliegenden Arbeit sein wird. Vorkenntnisse zu diesem Thema sind die allgemeinen Kenntnisse über Dreiecke wie die Winkelsumme und die Eigenschaften verschiedener Dreiecksgrundformen, die bei der Lage des Umkreismittelpunktes eine Rolle spielen. Teilweise ist die Mittelsenkrechte in der Grundschule bereits Gegenstand des Geometrieunterrichts.

3.3. Planung zur Durchführung der Studie

Vor der empirischen Studie zur Förderung des entdeckenden Lernens im Geometrieunterricht dient ein von den Schülern zu bearbeitender Fragebogen (vgl. Anhang 1) hauptsächlich der Einschätzung ihrer Vorkenntnisse. Als positiver Nebeneffekt fungiert er als Erinnerung für die Schüler an den Bereich der Geometrie. In der Auswertung konnte festgestellt werden, dass das Leistungsprofil der Klasse sehr heterogen ist. Es traten Probleme bei der Zuordnung unterschiedlicher Dreiecksgrundformen und grundlegender Begriffe auf, sodass diese am Anfang der Untersuchung kurz als Wiederholung besprochen wurden. Die Aufgabe 5, die der ersten Aufgabe in der Studie gleicht, konnte nicht richtig gelöst werden. Es gab verschiedene Lösungsansätze, von denen ich mir erhoffe, dass die Lerner diese mit Hilfe des Computers überdenken und zu einer Lösung führen können. Die Lösungsansätze beruhten darauf, dass eine Mittelsenkrechte zur Strecke konstruiert und dann durch Probieren versucht wurde einen gleichen Abstand zu Punkt C zu finden. Ein anderer verbreiteter Gedanke war, mit dem Radius der Strecke jeweils einen Kreis um die drei Eckpunkte zu konstruieren, sodass der Schnittpunkt der Kreise den gesuchten Punkt darstelle. Da die Strecken und fast gleich lang waren, wurde die Hypothese, dass ein Schnittpunkt der Kreise existiere, von den Schülern aufgrund von zeichnerischer Ungenauigkeit für richtig gehalten.

Zur Einführung von GeoGebra ist eine Unterrichtsstunde geplant. Nach einer kurzen Erläuterung des Programmaufbaus lernen die Schüler anhand einfacher Konstruktionsaufgaben (vgl. Anhang 2) die Software kennen und üben den Umgang mit dieser. Eine relativ starke Steuerung des Geschehens ist bei der Einführung nicht zu vermeiden, damit das Programm für die Studie weitgehend sicher beherrscht wird. Zudem kann eigenständiges Handeln erst auf der Basis gesicherter Grundfertigkeiten sinnvoll erreicht werden.

Die Doppelunterrichtsstunde der Studie unterteilt sich in verschiedene Phasen, die im Verlaufsplan erkenntlich sind (vgl. Anhang 3). Ziel der Unterrichtsstunden ist die Entdeckung, dass durch die Konstruktion des Schnittpunktes der Mittelsenkrechten in einem Dreieck ein Punkt gefunden werden kann, der den gleichen Abstand zu allen drei Eckpunkten hat und dass eine Invarianz der Schnittpunkteigenschaft existiert. Außerdem wird der daraus resultierende Umkreis eines Dreiecks thematisiert und begründet. Eine weitere Zielsetzung ist die Erkundung der Lage des Umkreismittelpunktes anhand einer zweiten Aufgabe (vgl. Anhang 5). Die Einstiegsaufgabe (vgl. Anhang 4) ist derartig gewählt, dass sie sich zum entdeckenden Lernen eignet (vgl. Kapitel 2.1.1.). Der konkrete Kontext dieser Einkleidung des geometrischen Pro- blems soll ein besseres Verständnis der Aufgabenstellung ermöglichen und zu Lösungsideen verhelfen. Dadurch ist die Aufgabe für die Schüler leicht zugänglich und fördert die Offenheit gegenüber einer neuen problemorientierten Situation. Gleichzeitig muss die Vorgehensweise zur Lösung des Problems selbst entwickelt werden, da kein bekanntes Lösungsverfahren angewandt werden kann (Barriere). Neben den Entdeckungsphasen, denen genügend Zeit eingeräumt werden soll, um die Schüler kreativ werden zu lassen, sind auch Phasen der Ergebnispräsentation durch die Schüler, gemeinsamer Unterrichtsgespräche zur Begründung ihrer Hypothesen und der Ergebnissicherung in Form von Merksätzen notwendig. Dadurch wird die geforderte Abwechslung an computergestützten und nichtcomputergestützten Phasen teilweise gesichert[12] (vgl. Kapitel 3.1.1.). Zudem zeigt sich hierbei, dass die Lehrkraft in Entdeckungsprozesse in mancher Hinsicht eingreifen muss, um die Sicherung von Teilerfolgen zu garantieren.

Mit einem von den Schülern ausgefüllten Feedbackbogen (vgl. Anhang 6) sollen die Analyse und die Reflexion untermauert werden. Abschließend war geplant, dass die Schüler zwei Wochen nach der Untersuchung eine Aufgabe zum Umkreis von Dreiecken manuell lösen sollten, um die Nachhaltigkeit der Lernerfolge unter vorherigem Computereinsatz feststellen zu können. Aufgrund der zuvor beschriebenen Probleme zur Durchführung dieser Studie konnte diese Phase leider nicht stattfinden.

[...]


[1] Im Folgenden wird die Bezeichnung in der Regel mit DGS abgekürzt.

[2] Im Folgenden wird dieser als RLP abgekürzt.

[3] vgl. http://www.hyperlernen.de/gui/KonstLT/seite133.html (letzter Zugriff: 01.02.2010)

[4] Zur besseren Lesbarkeit werden im Folgenden beide Geschlechter in der männlichen Form zusammengefasst.

[5] Problemlösen bezeichnet die Phase, in der Schüler beim Bearbeiten einer Aufgabe zum aktiven Handeln angeregt werden, weil sie zum Lösen des Problems kein bekanntes Lösungsverfahren anwenden können, sondern selbst einen Lösungsweg entwickeln müssen (vgl. Bruder, 1992: 6; RLP, 2008: 13).

[6] Hierbei handelt es sich nur um eine Auswahl, die bezüglich der gestellten Aufgaben im praktischen Teil getroffen wurde. Laut der Autoren reicht bereits ein Merkmal, um entdeckendes Lernen vollziehen zu können.

[7]Grundkonstruktionen sind Konstruktionen, die in einem Schritt erzeugt werden können.“ (Ludwig; Weigand, 2009: 68).

[8] Standardkonstruktionen bezeichnen Konstruktionen, die aus verschiedenen Grundkonstruktionen entstehen (vgl. Ludwig; Weigand, 2009: 69).

[9] Basisobjekte sind in einer DGS freie Punkte, deren Definition direkt und ohne Verwendung anderer Objekte bestimmt wurde. Sie sind von anderen Objekten nicht abhängig.

[10] vgl. http://www.geogebra.org/help/geogebra_flyer_de.pdf (letzter Zugriff: 05.02.2010)

[11] Profile stellen obligatorische Ergänzungsfächer dar. Es kann zwischen Tanzen, Filmen und bilingualem Unterricht gewählt werden.

[12] Nichtcomputergestützte Phasen, in denen die herkömmlichen Methoden zur Konstruktion geschult werden, konnten im Rahmen dieser zeitlich begrenzten Studie nicht berücksichtigt werden.

Details

Seiten
44
Jahr
2010
ISBN (eBook)
9783656822578
ISBN (Buch)
9783656822615
Dateigröße
1.7 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v279386
Institution / Hochschule
Universität Potsdam
Note
1,7
Schlagworte
DGS GeoGebra Umkreis von Dreiecken entdeckendes Lernen dynamische Geometrie-Software Zugmodus

Autor

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