Schwebungsphänomene im Ultraschallfeld des 1 MHz Stab-Schwingquarzes

Inhaltsverzeichnis

1 EINLEITUNG

2 GRUNDLAGEN
2.1 DER PIEZOEFFEKT
2.2 DER1 MHZSTABSCHWINGER
2.2.1MECHANISCHEEIGENSCHAFTEN
2.2.2ELEKRISCHEEIGENSCHAFTEN
2.3 Das Ultraschallinterfrometer
2.3.1ALLGEMEINEFUNKTIONSWEISE
2.3.2AUFBAU DES VERWENDETENINTERFEROMETERS
2.3.3DIEOSZILLATORSCHALTUNG IN SMT

3 FRAGESTELLUNG
3.1 Schwebungen durch lineare Überlagerung von Wellen
3.2 Überlegungen anhand des Spektrums

4 MEßMETHODE
4.1 Die Durchführung
4.2 Auswertung der Messungen
4.2.1EinfacheBestimmung derSchallgeschwindigkeit
4.2.2Bestimmung desWinkels

5 ANALYSE DER MEßKURVEN
5.1 Schwebung durch Interferenz
5.2 Strahlungsintensität
5.3 Vergleich der theoretischen Betrachtungen

6 Zusammenfassung

Anhang A: Schaltplan, Platinenlayout und Bestückungsplan des verwendeten 1 MHz-Oszillators

Anhang B: Einfluß von Winkel a und Gewichtungsfaktor ca auf anzunehmende destruktive Interferenzen bzw. Intensitäten-verhältnisse

Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Eines der wohl wichtigsten Elemente unserer hochtechnisierten Gesellschaft ist glücklicherweise eines, das es sprichwörtlich wie Sand am Meer gibt. Gemeint ist Silizium, das nicht nur wegen seiner Halbleitereigenschaft, sondern auch wegen der piezoelektrischen Natur von SiO2- Kristallen in der Physik von großer Bedeutung ist. Aus eben solchen Kristallen können durch Massenproduktion sehr kostengünstig Schwingquarze in verschiedenen Formen und Abmessungen hergestellt werden. Diese erfahren in Forschung und Technik vielfältige Anwendungen. Als bekannteste Nutzung wäre die Taktgeberfunktion in Uhren oder Mikrocomputern zu nennen.^[5] Sie können aber auch als empfindliche Sensoren und Ultraschallgeber, z.B. bei der Erforschung von Oberflächenstrukturen, eingesetzt werden.

Ein besonders anschauliches Beispiel für diese Funktion ist in dem von mir benutzten Aufbau eines Ultraschallinterferometers realisiert, einem Präzisionsgerät zur Messung der Schallgeschwindigkeit. Der Aufbau wurde von Jochen Suthe im Rahmen seiner Staatsexamensarbeit in Zusammenarbeit mit Theodor Murdfield 1996 entwickelt und ist seitdem fester Bestandteil des Demonstrationspraktikums für Lehramtsanwärter an der Westfälischen Wilhelms- Universität in Münster.^[6] Um die Schallgeschwindigkeit auch in verschiedenen Gasen bestimmen zu können erweiterte Thorsten Buthe diesen Aufbau durch ein Atmosphärengehäuse.^[7] Außerdem wurde durch den Anschluß an ein Meßprogramm von Andreas Naber die Möglichkeit geschaffen, Meßkurven zu speichern und somit genauer zu untersuchen.^[8] Mit Hilfe solcher Meßkurven können auch Rückschlüsse auf das Schwingverhalten eines Quarzes gezogen werden.

In dem von mir benutzten Ultraschallinterferometer findet ein 1 MHz Längs-dehnungsschwinger Anwendung. In den Meßkurven des Interferometers mit diesem Schwingquarz treten Schwebungsphänomene auf, deren Ursachen nicht bekannt sind. Ob es sich hierbei u.a. um Biege- oder Gerüstschwingungen des Quarzes handeln kann, war eine der Ausgangsüberlegungen dieser Arbeit.

Bei diesen Untersuchungen fiel ein auch aus der Optik bekanntes Interferenzphänomen auf. Dieses Phänomen konnte unter anderem mit Hilfe der Strahlungsintensitäten erklärt werden und unterstützt die Theorie des akustischen Monopols, wie sie bereits von J. Suthe aufgegriffen wurde.

2 Grundlagen

2.1 Der Piezoeffekt

Bereits 1 Jahr nach der Entdeckung des Piezoeffektes durch die Gebrüder Curie im Jahre 1880 sagte G. Lippmann in Zusammenarbeit mit P. Curie auch den umgekehrten Effekt voraus, daß nämlich bei Anlegen einer Wechselspannung an einen Quarzkristall dieser je nach Richtung der elektrischen Feldstärke kontrahiert bzw. expandiert.^[9] Dieser zunächst lange Jahre praktisch vernachlässigte Effekt, ist die Grundvoraussetzung für die Funktion der Schwingquarze.

Der Piezoeffekt kann beim Quarz wie folgt beschrieben werden:

Die chemische Struktur des Quarzes ist SiO2, wobei man sich die Anordnung der Ionen näherungsweise wie in Abbildung 2.1 vorstellen kann.

In der dargestellten Strukturzelle werden die Siliziumionen durch die großen, dunklen, die Sauerstoffionen durch die kleinen, hellen Kreise symbolisiert. Da jedes Si-Ion 4 positive und jedes O-Ion 2 negative Einheitsladungen hat, ist die Gesamtzelle nach außen elektrisch neutral. Zur weiteren Vereinfachung denkt man sich Abb.2.1: Strukturzelle eines SiO2- Kristalls^[10]

nun je zwei O-Ionen zu einer

Einheit mit 4 Negativladungen zusammengefaßt. Daraus ergibt sich die anschauliche Darstellung der Strukturzelle wie in Abbildung 2.2 a).^[11]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.2: Vereinfachte Darstellung des Piezoeffekts

Hieran läßt sich erkennen, daß eine Verschiebung der Ionen ineinander durch mechanischen Druck gleichzeitig eine Ladungsverschiebung zur Folge hat. Man unterscheidet den longitudinalen (Abb.2.2b) und den transversalen (Abb. 2.2c) piezoelektrischen Effekt. Es wird deutlich, daß je nach Wahl der Achse, auf die der Druck ausgeübt wird, die resultierende Deformation eine umgekehrte Polarisierung zur Folge hat.

Der für die Erzeugung von Schwingungen wichtige reziproke Piezoeffekt ist in Abbildung 2.3 veranschaulicht. Durch Anlegen der Spannungen mit den angegebenen Polarisierungen werden die entsprechenden Deformationen erzeugt. Realisiert wird dies über Elektroden, die beiden Seiten des Quarzes aufgedampft werden. Man kann sich nun leicht vorstellen, daß diese Deformationen im elektrischen Wechselfeld eine erzwungene Schwingung zur Folge haben.

Je nach Abmessungen des Quarzes und Art der Schwingung (longitudinal oder transversal) besitzt das System eine Eigenfrequenz. Regt man bei dieser Frequenz an, handelt es sich um Resonanz. Dies ist von Bedeutung, da bei resonanter Anregung die Amplitude der Schwingung maximal ist. Liegt diese Eigenfrequenz über 20 kHz, kann der Kristall als Ultraschallsender eingesetzt werden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.3: Vereinfachte Darstellung des reziproken Piezoeffekts

2.2 Der 1 MHz Stabschwinger

2.2.1 Mechanische Eigenschaften

Der 1 MHz Schwingquarz, der in dem von mir verwendeten Aufbau eines Ultraschallinterferometers benutzt wird, findet seine hauptsächliche Anwendung als Frequenzstabilisator von Oszillatorschaltungen, z.B. in Funkgeräten. Dort ist der Quarz zum Schutz vor äußeren Einflüssen gekapselt.

Der Schwinger selbst ist ein dünnes Stäbchen, dessen Aufhängung in der Mitte so plaziert ist, das möglichst keine Energie an sie abgegeben wird. Realisiert werden kann dies, da es sich um einen Längsdehnungsschwinger handelt, dessen stehende Welle in den Enden Schwingungsbäuche und in der Mitte einen Schwingungsknoten besitzt.^[12]

Wie bereits erwähnt, hängt die Eigenfrequenz eines solchen Systems von den Abmessungen des Quarzes und der Art der Schwingung ab. Die in der Praxis hauptsächlich verwendeten Schwingquarze haben einen Elastizitätsmodul von E = 7,87*1010 N/m2, und eine Dichte von r = 2650 kg/m3.^[13] Unter Berücksichtigung der in Abbildung 2.4 gegebenen Größen und der Formel^[14]

Abb. 2.4: Abmessungen beim 1 MHz Längsschwinger^[15]

2.2.2 Elektrische Eigenschaften

Um den Quarz im elektrischen Wechselfeld zum Schwingen anregen zu können, ist dieser von beiden Seiten mit Elektroden versehen, die eine Kondensatorfunktion erfüllen. Unter Berücksichtigung der Piezoelektrizität und der mechanischen Eigenschaften des Quarzes, läßt sich folgendes elektrisches Ersatzschaltbild für das System erstellen:

Abb. 2.5: elektr. Ersatzschaltbild für Schwingquarze^[16]

Hierbei entspricht C1 der Elastizität und R1 den mechanischen Verlusten des Schwingers. Die Induktivität L1 stellt ein Maß für die schwingende Masse dar. Die Parallelkapazität C0 ist durch die Elektroden und deren Zuleitungen gegeben.^[17]

Insgesamt ergibt sich nach einer Mittelwertbildung von M. Brandt eine Serien­resonanz­frequenz fs = (995,86 ± 1,23) kHz » 1 MHz. ^[18]

2.3 Das Ultraschallinterferometer

2.3.1 Allgemeine Funktionsweise

Wie bereits in der Einleitung erwähnt, stellt das Ultraschallinterferometer ein Präzisionsinstrument zur Messung der Schallgeschwindigkeit dar. Das Prinzip zur Messung ist dabei folgendes:

Einem Ultraschallsender mit klar definierter Frequenz (in diesem Fall 1 MHz-Schwingquarz) wird ein beweglicher Reflektor gegenübergestellt. Die sich ausbildende stehende Welle hat nun immer dann ein Maximum, wenn der Abstand zwischen Sender und Reflektor (2n+1).l/4 beträgt. Dies hat einen meßbaren vermehrten Energiebedarf des Schallgebers zur Folge, der über mehrere Halbwellen zu verfolgen ist. Hieraus kann die Schallgeschwindigkeit ermittelt werden.^[19]

2.3.2 Aufbau des verwendeten Interferometers

In dem von mir benutztem Interferometer dient ein 1 MHz Längsdehnungs-schwingquarz als Ultraschallsender. Die Kontaktbeinchen dieses Quarzes sind in zwei Kanülen in einem Teflonblock so befestigt, daß die Stempelflächen des Quarzes senkrecht zu diesem schwingen können. Die verschiebbare Wand (Fläche 5cm x 5cm), die als Reflektor dient, ist ein senkrecht zum Quarz gegenüber postierter Aluminiumwinkel, welcher mit 4 Schrauben auf einem Verschiebetisch fixiert ist. Der Verschiebetisch wird über eine

Mikrometerschraube durch einen elektrisch geregelten Synchronmotor angesteuert. Durch Wahl der Übersetzung können hier stufenweise klar definierte Geschwindigkeiten gewählt werden. Der Teflonblock ist an einem Metallwinkel befestigt. Beides zusammen befindet sich zur Vermeidung von allzu großen Eigenschwingungen des Systems auf einer gemeinsamen Stahlplatte, die wiederum auf dicken Metallbeinen mit Hartgummifüßen steht.^[20]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb.2.6: Ultraschallinterferometer der WWU in Münster

Über die Kanülen dieses Systems sind die Elektroden des Quarzes an eine amplitudengeregelte Oszillatorschaltung angeschlossen, die u.a. zur Anregung der Schwingung dient. Diese Oszillatorschaltung ist ein Kernstück des gesamten Aufbaus und wurde insbesondere für Nahfeld- Akustik- Taster von Alfons Michels im Jahre 1994 an der Fachhochschule Lippe in Lemgo entwickelt. Sie liefert einerseits das Schwingungssignal des Quarzes, welches man auf einem Oszilloskop sichtbar machen kann; andererseits kann über diese Schaltung die Gatespannung (auch Gainspannung genannt) entnommen werden. Die Gatespannung hält die Schwingungsamplitude konstant und ist somit abhängig vom Energiebedarf des Quarzes durch die Dämpfung der reflektierten Schallwelle. Sie ist also ein Maß für die Dämpfung des Quarzes. Genau dieses Maß ist entscheidend für die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit.^[21] In der in Abbildung 2.7 dargestellten Prinzipschaltung eines Oszillators kann die Gatespannung aus dem Regelkreis über die Kreisverstärkung (KV) abgenommen werden. Die Funktion des Stellgliedes übernimmt in einer solchen Oszillatorschaltung ein Feldeffekttransistor (FET).

Abb. 2.7: Prinzip eines amplitudengeregelten Oszillators nach A. Michels

Der Quarz selbst ist gegenüber Berührungen sehr empfindlich und so entwickelte Jochen Suthe in Zusammenarbeit mit Theodor Murdfield eine Abschaltautomatik, die auf Nahfeldeffekten beruht.^[22] Die Gatespannung steigt bei einer Entfernung von d < l/4 stark an. Über eine Komparatorschaltung wird bei Überschreiten einer Schwellenspannung von -1V ein Relais geschaltet und der Vorschub der Wand somit gestoppt.^[23]

Das Signal der Gatespannung wird über einen von Thorsten Buthe gebauten Meßvorverstärker an eine A/D-Wandlerkarte geleitet und von dort mit einem von Andreas Naber entwickelten Meßprogramm ausgewertet.^[24]

Abbildung 2.8 zeigt den kompletten Aufbau, des zur Verfügung stehenden Ultraschallinterferometers.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.8: Übersicht des kompletten experimentellen Aufbaus nach T. Buthe

Mit Hilfe dieses Aufbaus können über die oben erwähnte Dämpfung des Quarzes (Gatesspannung) Meßkurven erstellt werden, wie sie in Abbildung 2.9 zu sehen sind. Diese liefern sehr genau Auskunft über die Schallgeschwindigkeit, wie Abschnitt 4.1 noch zeigen wird.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.9: Meßkurve eines Ultraschallinterferometers zur Bestimmung der Schallge-schwindigkeit

Zusätzlich zu dem vorhandenen Aufbau wurde mit Hilfe des Oszilloskops

„LC 334 A“ von der Firma Le Croy die Möglichkeit geschaffen, das Fourierspektrum der Schwingung aufzunehmen. Die Daten des Spektrums können in ASCII- Format auf Diskette gespeichert werden und mit Programmen wie Origin weiterverarbeitet werden. Das Spektrum des 1 MHz Schwingers wird in Abschnitt 3.2 gezeigt.

2.3.3 Die Oszillatorschaltung in SMT

Zu Beginn meiner Messungen stand ich vor dem Problem, daß die ursprüngliche Oszillatorschaltung kaputt war und mir nur eine provisorische zur Verfügung stand. Diese Schaltung bestand aus einem 1 MHz Pierce- Oszillator in SMT (Surface Mounted Technology), wie er von Herrn Dirk Stapel im Rahmen seiner Diplomarbeit an der Fachhochschule Lippe entwickelt wurde und der bereits erwähnten Abschaltautomatik in herkömmlicher, bedrahteter Technik.

Meine Aufgabe bestand nun darin, eine möglichst funktionelle neue Schaltung aufzubauen, die den in Abschnitt 2.3.2 erwähnten Ansprüchen genügt. Es erschien sinnvoll, wegen der Miniaturisierung und der Übersichtlichkeit die komplette Schaltung auf einer für SMD-Bauteile (SMD = Surface Mounted Devices) geeigneten Platine unterzubringen, die in einem eigenen Gehäuse Platz finden sollte. Als Grundlage stand neben der alten Abschaltautomatik das Platinenlayout nach Dirk Stapel zur Verfügung.^[45] Die prinzipielle Idee der kompletten Schaltung ist in Abbildung 2.10 dargestellt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.10: Blockschaltbild der kompletten Oszillatorschaltung

In Zusammenarbeit mit Herrn Werner May entstand die in Abbildung 2.11 abgelichtete Schaltung. Die Anschlüsse für die Versorgungsspannung (±15V, Masse) befinden sich auf der einen Seite und sind Bananensteckeranschlüsse. Auf der anderen Seite können die Signale abgenommen werden, wobei ich mich für BNC- Anschlüsse bei der Schwingungsamplitude und der Gatespannung entschloß. Dies dient nicht nur der besseren Abschirmung, sondern ist allein deshalb schon sinnvoller, weil die Geräte zur Verarbeitung der Signale (Meßvorverstärker bzw. A/D Wandlerkarte; Oszilloskop) ebenfalls mit BNC- Anschlüssen versehen sind. Das Motor-Stop-Signal ist wiederum mit einem Bananenstecker vorne abzunehmen.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 2.11: Die Oszillatorschaltung in SMT

Der komplette Schaltplan, sowie Platinenlayout und Bestückungsplan sind in Anhang A beigefügt.

3 Fragestellung

3.1 Schwebungen durch lineare Überlagerung von Wellen

Bei Messungen mit dem Ultraschallinterferometer, wie in Abbildung 2.9, erkennt man bei genauer Betrachtung, daß die Kurve nicht gleichmäßig abnimmt, sondern Schwebungen aufweist.

Die einfachste Form der Schwebung entsteht durch die lineare Überlagerung zweier Wellen mit annähernd gleicher Frequenz. Diesen Effekt nutzt man insbesondere zum Stimmen von Klavier- oder Gitarrensaiten.

Zur Vereinfachung betrachten wir zwei Wellen mit gleicher Druckamplitude p0 und den Kreisfrequenzen w1 bzw. w2. Zum Zeitpunkt t = 0 seien beide in Phase und es gelte

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die mittlere Kreisfrequenz ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= (w1+w2)/2 und die Differenz Dw = w1-w2. Durch Anwendung einfacher Rechenregeln für Sinusfunktionen^[46] erhält man dann^[47]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für die Frequenz gilt die einfache Beziehung w = 2pf. Es entsteht also eine Schwingung der Frequenz f = (f1 + f2)/2 mit der Amplitude 2p0, die von einer Schwebung der Frequenz

Df = f1 - f2 (3.2)

überlagert wird. In Abbildung 3.1 ist die Entstehung veranschaulicht.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 3.1: Überlagerung zweier Wellen mit annähernd gleicher Frequenz. Auslöschung bei t1, konstruktive Überlagerung bei t2^[48]

In Meßkurven mit dem Ultraschallinterferometer, wie in Abbildung 2.9 exemplarisch aufgeführt, findet man meist Schwebungen die jedes zweite bis jedes dritte Maximum etwas schwächer ausgeprägt sein lassen als bei kontinuierlicher Abnahme erwartet. Bei der gegebenen Grundfrequenz von 1 MHz hätten wir also eine Schwebefrequenz von 333 bis 500 kHz. Nach (3.2) könnten also Schwingungen im Bereich von ca. 500 bis 750 kHz die 1 Mhz Schwingung derart überlagern.

3.2 Vorüberlegungen anhand des Spektrums

Wie schon erwähnt, konnte durch die Nutzung des Oszilloskops „LC 334 A“ das Spektrum der Schwingung untersucht werden (siehe Abbildung 3.2).

Es fällt auf, daß im Bereich von 450 bis 700 kHz mehrere relativ stark ausgeprägte peaks auftreten. Schwingungen dieser Frequenzen können nach Abschnitt 3.1 ursächlich für die beobachteten Schwebungen sein.

Die Ausgangsfrage war nun die, welcher Art diese Schwingungen sind. Eine Überlegung bestand darin, es könne sich um eine durch den reflektierten Schall ausgelöste Biege- oder Gerüstschwingung handeln. Dann wäre es aufgrund der Abmessungen des Schwingers naheliegend eine Biegeschwingung des Stabes zu vermuten. Eine solche Schwingung hätte aber nach Formel (2.1) eine Resonanzfrequenz von fE » 40 kHz und kommt von daher als Ursache der Schwebung nicht in Frage. Dennoch ist zunächst nicht auszuschließen, daß eine Gerüstschwingung auftritt. Dann wäre aufgrund der größeren Angriffsfläche für den reflektierten Schalls anzunehmen, daß die Ausrichtung des Quarzes zur Wand Einfluß auf die Intensität dieser Schwingung hätte.

Abb. 3.2: Fourierspektrum des 1 MHz Stab-Schwingquarzes

Diese Überlegungen führten zu der Idee, die Meßkurven unter verschiedenen Winkeleinstellungen von Stabschwinger und Reflektor aufzunehmen. Dabei stellte sich heraus, daß das Spektrum unabhängig von Entfernung und Position des Quarzes zur Wand erschien. Der Grund für die auftretenden peaks könnte in Asymmetrien des Schwingquarzes oder elektronisch bedingt in der Oszillatorschaltung begründet sein. Dies wird aber in dieser Arbeit nicht weiter thematisiert.

Durch die Messungen unter verschiedenen Winkeleinstellungen fiel eine weitere Schwebung auf, die über Interferenzphänomene erklärt werden konnte. Diese Schwebung ist langwelliger und zeigte sich abhängig von der Winkeleinstellung des Schwingers zur Wand.

Abb. 3.3: Beispiel einer Schwebung durch Interferenz bei ca. 1200µm

Man erkennt deutlich einen Schwebungsknoten bei einem Abstand der Quarzspitze zur Wand von 1200 µm. Dieses Phämomen war zuvor noch nicht beobachtet worden und deshalb von besonderem Interesse. Es wird in Kapitel 5 genauer untersucht und ist ein zentraler Aspekt dieser Arbeit.

4 Meßmethode

4.1 Die Durchführung

Zur Durchführung meiner Messungen konnte ich mich im Wesentlichen an der bewährten Methode von Thorsten Buthe orientieren.^[49]

Einige Minuten vor Beginn jeglicher Messungen schaltete ich sämtliche Geräte ein, um Schwankungen durch Erwärmung der Schaltung, besonders durch den Meßvorverstärker, zu vermeiden. Da ich mich auch mit Winkelabhängigkeiten der Meßkurven beschäftigen wollte, war darauf zu achten, daß der Quarz möglichst orthogonal zu Wand ausgerichtet ist. Dies erwies sich aufgrund der sehr kleinen Abmessungen als eine der größten Schwierigkeiten, wie die Analyse noch zeigen wird (siehe Abschnitt 5.1).

Vor jeder Meßreihe fuhr ich die reflektierende Wand weit (in der Regel ca. 4mm) von der Quarzspitze weg, um den Offset des verstärkten Signals über den Vorverstärker möglichst genau auf Null zu regeln. Nach Einstellen des Meßprogrammes und des Vorverstärkers fuhr ich die Wand bis zum Zusammenbruch der Schwingung an den Quarz heran, damit bei den Messungen bezüglich der Entfernung gleiche Voraussetzungen gewährleistet waren. Dies war für die oben erwähnte Berechnung des Winkels von Bedeutung, die in der Auswertung näher erläutert wird. Außerdem war nicht mit Schwierigkeiten zu rechnen, was das Einsetzen der Schwingung des Quarzes angeht. Über den Schrittmotor gab ich nun die Geschwindigkeit der Wand vor, mit der sie sich vom Quarz entfernte. Die Ansteuerung des Motors ist über einen Tastschalter geregelt, der für die Dauer einer Messung gedrückt bleiben muß. Die Richtung (vor/zurück) der Bewegung wird mit einem Kippschalter vorgegeben.

Im Rahmen meiner Arbeit war darauf zu achten, daß bezüglich der Entfernung vergleichbare Meßkurven entstanden. Nach einigen Probemessungen entschied ich mich dafür, als Vortriebsgeschwindigkeit den Motor jeweils auf 6 Umdrehungen der Mikrometerschraube pro Minute einzustellen. Da bei jeder Umdrehung die Wand um genau 0,5mm von der Quarzspitze wegbewegt wird, ergibt sich eine Geschwindigkeit von 3 mm/min bzw. 50 m m/s.

In dem zur Messung verwendeten Programm Spek (für Spektrum-Analyse) läßt sich sowohl die Anzahl der Meßwerte pro Sekunde als auch der komplette Meßbereich auf der x-Achse in willkürlichen Einheiten vorgeben. Ich wählte aufgrund der oben errechneten Geschwindigkeit einen Vortrieb der Meßwerte von 50 Einheiten pro Sekunde, damit die Werte auf der x-Achse direkt 1mm Wandvorschub entsprachen. Bei 50 Werten pro Sekunde und einem Meßbereich von 0 bis 3000 ergab sich für jede Meßkurve, daß genau 3mm durchfahren wurden.

Um die Messung unter einem veränderten Winkel von Stabschwinger und Wand durchzuführen, müssen drei der vier Befestigungsschrauben des Verschiebetisches ganz entfernt werden, die letzte wird nur leicht gelöst. Der Aluminiumwinkel kann dann gedreht werden, wobei man diese Veränderung in großer Entfernung zum Quarz durchführen sollte, da sonst die Gefahr besteht, diesen zu beschädigen. Die leicht gelöste Schraube sollte nach der vorgenommenen Einstellung wieder festgedreht werden, um unerwünschtes Verstellen der Wand zu vermeiden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4.1: Die Konstellation Wand-Quarz bei verändertem Winkel

4.2 Auswertung der Messungen

4.2.1 Einfache Bestimmung der Schallgeschwindigkeit

Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit stützt man sich im Wesentlichen auf die Erkenntnis, daß zwischen zwei festen Punkten sich ausbreitende ebene Wellenzüge gleicher Wellenlänge eine stehende Welle der Periodizität l/2 ausbilden.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies bewirkt nach A. Michels, daß sich im Abstand von l/4 Schalldruck-maxima und -minima abwechseln. Die Gatespannung ist über einen Feldeffekt-transistor so geregelt, daß die Schwingungsamplitude konstant bleibt. Sie stellt ein Maß für die Be- bzw. Entdämpfung des Quarzes und damit für den Schalldruck dar.^[50]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4.2: Kurve zur Messung der Schallgeschwindigkeit

Für die Messung der Schallgeschwindigkeit ist offensichtlich nur der Abstand zweier benachbarter gleichartiger Extrema entscheidend.

Um eine möglichst große Genauigkeit zu erzielen wird der durchschnittliche Abstand aller erfaßten Minima von Kurven wie in Abbildung 4.2 ermittelt.

In der gegebenen Kurve befindet sich das erste Minimum bei X1 = 91 mm, das 17. Minimum bei X17 = 2868 mm. Der durchschnittliche Abstand berechnet sich nun zu

Also folgt wegen Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten= l/2

Þ l = 347,2 m m.

Aufgrund dieses Ergebnisses habe ich für die später folgende Analyse eine Wellenlänge von l = 347µm vorausgesetzt.

Mit der in Abschnitt 2.2.2 ermittelten Serienresonanzfrequenz fs = 995,86 kHz ergibt sich wegen c = l f

Da die Schallgeschwindigkeit in Luft auch von der Temperatur abhängig ist, muß zum Vergleich mit Literaturwerten diese berücksichtigt werden. Es gilt^[51]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Hierbei ist g = 1,4 der Adiabatenexponent für zweiatomige Moleküle wie bei Luft vorherrschend, R = 8,314 J/(mol . K) die universelle Gaskonstante und M = 29 . 10-3 kg/mol die molare Masse von Luft. Die Temperatur T ist in Kelvin anzugeben und betrug bei der hier durchgeführten Messung 23,4 °C, also gilt T = 296,4 K.

Mit diesen Daten ergibt sich eine zu erwartende Schallgeschwindigkeit von

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dies bedeutet, daß der gemessene Wert von dem theoretischen um weniger als 0,3 % abweicht. Die Messung zeichnet sich also durch große Genauigkeit aus.

4.2.2 Bestimmung des Winkels

Für die Bestimmung des Winkels entwickelte ich ein Verfahren, welches die Geometrie der Anordnung ausnutzt.

Betrachten wir die Situation mit der veränderten Wandstellung wie in Abbildung 4.3.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4.3: Geometrische Situation zwischen Schallgeber und Reflektor bei verändertem Winkel

Für die Quarzspitze als Schallgeber wird hier ein akustischer Monopol angenommen, also eine pulsierende Kugel, die als Ausgangspunkt einer Kugelwelle zu sehen ist. Im Gegensatz zu der normalen Situation, daß die Wand senkrecht zu dieser Schallquelle bewegt wird, wandert durch die Schrägstellung der Reflexionspunkt auf der Wand, wenn diese eine Abstandsänderung zur Quarzspitze erfährt.

Es gilt hier offensichtlich

Die Entfernung vom Ausgangspunkt des Schalls bis zum Reflektionspunkt habe ich mit al bezeichnet, um hervorzuheben, daß dies die für die entstandene Kurve maßgebliche Entfernung ist. Hier werden die Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche der stehenden Welle durchfahren. Die Entfernung a ist einfach der Vorschub der Wand.

Aufgrund der gegebenen Möglichkeiten ist eine genaue Einstellung von 90° zwischen Quarz und Wand schwer möglich. Der berechnete Winkel bezieht sich also nicht auf die absolute Auslenkung aus dem Lot, sondern nur auf die Änderung dieser Auslenkung.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abb. 4.4: Meßkurve mit dem Ultraschallinterferometer mit verändertem Winkel der Wand zum Schwingquarz

Nach einigen Probemessungen zeigte sich, daß eine exakte Winkeleinstellung für die zu untersuchenden Phänomene nicht von Bedeutung ist. Der zu beobachtende Effekt wird qualitativ sehr deutlich und unter Berücksichtigung der möglichen Fehleinstellung des Quarzes später diskutiert (siehe Abschnitt 5.1).

In Abbildung 4.4 ist eine Meßkurve mit einer zunächst unbekannten Winkeländerung dargestellt. Das 15. Minimum der Meßkurve wird bei einem Vorschub von X15 = 2827 mm erreicht. In der unter identischen Bedingungen aufgenommene Kurve aus Abbildung 4.2 liegt das 15. Minimum bei XE,15 = 2498 mm. Da die Lage der ersten Minima nicht vergleichbar ist, empfiehlt es sich wieder mit den Differenzen vom ersten bis zum 15. Minimum zu rechnen. In der Eichkurve befindet sich dieses bei XE,1 = 82µm, in der Kurve aus Abbildung 4.4 bei X1 = 76 µm. Für die Berechnung des Winkels setzt man nun a = (2498-82)µm = 2416 µm und a l = (2827-76)µm = 2751 µm. Also gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für die Änderung der Auslenkung aus dem Lot von Stabschwinger zur Wand.

[...]

---

^[5] Vgl. Herzog, W.: Oszillatoren mit Schwingkreisen, S. 1ff, S.301ff

^[6] Vgl. Suthe, J..: Examensarbeit

^[7] Vgl. Buthe, T.: Examensarbeit

^[8] Vgl. Naber, A.: Dissertation

^[9] Vgl. dtv-Atlas zur Physik, Band 2, S.221

^[10] Skizzen zum Piezoeffekt nach Bergmann, L.: Der Ultraschall, S.40f

^[11] Vgl. Bergmann,L.: Der Ultraschall, S.40f

^[12] Vgl. Murdfield, T.: Diplomarbeit, S.7f

^[13] Vgl. Murdfield, T.: Diplomarbeit, S.8

^[14] Vgl. Landau/Lifschitz : Lehrbuch der theoretischen Physik, Elastizitätstheorie, S.128

^[15] Skizze nach Buthe, T.: Examensarbeit, S.6

^[16] Skizze nach Herzog, W.: Oszillatoren mit Schwingkreisen, S.2

^[17] Vgl. Michels, A.: Diplomarbeit, S.8

^[18] Vgl. Brandt, M.: Diplomarbeit, S.18

^[19] Vgl. Gerthsen / Kneser / Vogel: Physik, S.149f

^[20] Vgl. Suthe,J.: Examensarbeit, S.56ff

^[21] Vgl. Michels, A.: Diplomarbeit, S.33f, S.41ff

^[22] Vgl. Murdfield, T.: Diplomarbeit, S.9f

^[23] Vgl. Suthe, J.: Examensarbeit, S.59f

^[24] Vgl. Buthe,T.: Examensarbeit, S.19ff und Naber, A.: Dissertation, S. 66f

^[45] Vgl Stapel, D.: Diplomarbeit, S. 61

^[46] Vgl. u.a. Stöcker, H.: Taschenbuch mathematischer Formeln, S.249

^[47] Vgl. Tipler, P.A.: Physik, S.473f

^[48] Skizze nach Tipler, P.A.: Physik, S.474

^[49] Vgl. Buthe,T.: Examensarbeit, S.30ff

^[50] Vgl. Michels,A.: Diplomarbeit, S.76ff

^[51] Vgl. Tipler, P.A.: Physik, S.460