Extrait
i
MODELE DE JAUGE DE YANG-MILLS PAR LES
TRANSFORMATIONS LOCALE ET GLOBALE ASSOCIEES A
L'ALGEBRE DE WEIL
YANG-MILLS GAUGE MODEL BY LOCAL AND GLOBAL
CHANGES ASSOCIATED WITH THE WEIL ALGEBRA
i
Epigraphe
"En ce qui concerne la mécanique quantique ... secret, très secret, fermez les
portes! Nous avons toujours eu beaucoup de difficulté à la compréhension de la
vision du monde que la mécanique quantique représente ... Il n'est pas encore
évident pour moi qu'il n'y a pas de réel problème. Je ne peux pas définir le vrai
problème, donc je suppose qu'il n'y a pas vraiment de problème, mais je ne suis
pas sûr qu'il n'y ait pas de véritable problème. Voilà pourquoi je tiens à enquêter
sur les choses. "
Richard Feynman 1964
"Turning to quantum mechanics... secret, secret, close the doors! we always have
had a great deal of di culty in understanding the world view that quantum
mechanics represents ... It has not yet become obvious to me that there's no real
problem. I cannot define the real problem, therefore I suspect there's no real
problem, but I'm not sure there's no real problem. So that's why I like to
investigate things."
Richard Feynman 1964
ii
Résumé
Ce travail est consacré à l'étude des transformations locale et globale de Jauge du
modèle de Yang-Mills. Nous avons montré qu'à partir de la géométrie non
commutative munies des algèbres d'endomorphismes, que les notions de
connexions et courbures pouvaient bien substituer les formulations fibrées pour
des raisons purement physiques : la description directe des champs de Jauge.
Mais, cependant, cette approche souffrait de l'incapacité à fournir une expression
globale (symétrie globale) combinée à une expression locale (symétrie locale) des
transformations de Jauge, ce qui est nécessaire pour la généralisation des
transformations de Jauge.
Ainsi, il a été proposé dans ce travail une approche en topologie algébrique
obtenue à partir de fibrés vectoriels en algèbres de Weil dans un espace
topologique, qui construit également de manière naturelle les courbures et les
connexions. De telles sortes que, les connexions sont considérées comme des
invariants cohomologiques des fibrés vectoriels, et toutes transformations de
Jauge devient une application continue entre plusieurs topologies. Enfin, chaque
courbure est exprimée au moyen d'un polynôme invariant développé à un degré
de liberté propre à la courbure.
Grâce à cette nouvelle structure topologique, certains objets deviennent plus
facilement manipulables et/ou caractérisés de manière plus directe. Enfin notons
que le fait d'avoir une présentation algébrique des théories de jauge permet de se
rapprocher des techniques utilisées en théorie quantique des champs. Ce modèle
peut aussi être considérer comme une généralisation du théorème de Gauss-
Bonnet, qui établit un lien remarquable entre une courbure locale et un invariant
topologique global.
Les apports de cette approche sont :
o La transformation générale de jauge tenant compte de la courbure locale
(symétrie locale) et la courbure globale (symétrie globale) en un seul
mécanisme;
o L'apparition de la courbure de jointure entre deux courbures baptisé
«courbure caractéristique » ;
o Reformulation de l'action de Yang-Mills topologique ;
o Construction des algorithmes de simulation de chaque courbure (locale et
globale) ;
Ce travail ouvre une perspective de la théorie de Yang-Mills topologie dans
l'algèbre de Clifford enfin d'incorporer dans les transformations, les notions de
spineurs dans notre modèle.
iii
Abstract
This work is devoted to the study of local and global gauge transformations of
the Yang-Mills model. We have shown that from the non-commutative geometry
provided endomorphism algebras, the concepts of connections and curvatures
could well substitute formulations bundles for purely physical reasons: direct
description of gauge fields. But, however, this approach suffered from the
inability to provide an overall expression (global symmetry) combined with a
local expression (local symmetry) gauge transformations, which is necessary for
the generalization of gauge transformations.
Thus, it has been proposed in this work an approach in algebraic topology
obtained from vector bundles Weil algebras in a topological space, which also
built naturally bends and connections. Such kinds that connections are considered
cohomologically invariants of vector bundles, and all transformations Gauge
becomes a continuous mapping between multiple topology. Finally, each
curvature is expressed by a polynomial invariant developed to a degree of
freedom peculiar to the curvature.
With this new topological structure, some objects become easier to handle and /
or characterized more directly. Finally note that having an algebraic presentation
of gauge theories can be closer to the techniques used in quantum field theory.
This model could be considered like the generalization of Gauss-Bonnet theorem
which establish the awesome link between the local curvature and global
topological invariant.
The benefits of this approach are:
o The overall gauge transformation taking into account the local curvature
(local symmetry) and the overall curvature (overall symmetry) in a single
mechanism;
o The appearance of the curvature of join between two curves called
"characteristic curve";
o Reformulation of the action of topological Yang-Mills;
o Construction of simulation algorithms each curvature (local and global);
This work opens a perspective of the theory of Yang-Mills topology in the
Clifford algebra finally incorporated in the transformation, the concepts of
spinors in our model.
iv
Remerciements
A Dieu soit rendu la gloire, la louange et la majesté en Christ Jésus !
A mon père Dr. Bosco Ngosse, un grand merci interminable et à ma mère Sidonie
Elifa Ngosse, une profonde gratitude pour mon encadrement et soutien apporté à
ma formation; il n'y a pas des mots clairs pour exprimer ces genres des soutiens
lorsqu'ils dépassent nos attentes.
Je tiens à remercier Pr. Dr. Sylvain LOWOLO OKAKO qui a accepté d'agir
comme mon directeur de mémoire. Je le remercie pour ses commentaires et
suggestions très utiles sur une version préliminaire du manuscrit. Un très grand
merci envers C.T. Venant CIFARA qui m'a merveilleusement encadré pendant
ces années de deuxième cycle. Les discussions ont toujours été très fructueuses
et se tenaient dans un cadre chaleureux et sympathique. Il m'a toujours donné des
idées et suggestions quand j'étais bloqué, que ce soit au niveau technique,
administratif et surtout physique. Il s'intéressait toujours à l'avancement de mon
travail, il m'aidait où il pouvait et sa lecture rigoureuse d'une version très
préliminaire de mon mémoire m'a permis de terminer ce travail dans les meilleurs
délais. Je remercie mes camarades de promotion, en commençant par Jean
Tshimanga, qui m'a fourni au début de mon mémoire des conseils et informations
techniques et physiques utiles et indispensables pour entamer mon travail de
mémoire dans les meilleures conditions. Ensuite, je remercie Shekinah Koka,
Gandy Bidikila et Ornella Kambe pour la bonne ambiance de travail.
De plus, j'envoie des remerciements envers C.T. Kabeya qui m'a suggéré de
regarder le model physique en terme de Jauge et qui était toujours disponible pour
répondre à diverses questions et avec qui j'ai passé de très agréables moments. À
ne pas oublier, Dr. Edouard Konzi, C.T. Pierre Nabadiata et Ass. Djama ainsi que
tous les assistants du département de Physique.
Pour terminer je tiens à remercier particulièrement ma famille : mon frère
Dr.Yannick, Josué, Francine et Séphora. Je profite de cette occasion pour dire
merci de tout coeur à Dina Mombeta qui m'a soutenu et aidé sans le savoir et je
lui dois beaucoup de ce que je suis aujourd'hui.
Dans ce contexte j'aimerai à nouveau remercier tous ceux qui m'ont soutenu et
encouragé dans cette période douloureuse (B. Joel, Y. Jimmy, et Flory),
permettant de terminer mon mémoire et, compte tenu des circonstances, dans de
bonnes conditions. Merci à tous !
v
Typographies
vi
Liste des illustrations
F
IGURE
1 :
F
ACES D
'
UN SIMPLEXE
... 16
F
IGURE
2 :
L'
OBJET DE GAUCHE N
'
EST PAS UN COMPLEXE SIMPLICIALE
.
L'
OBJET
DE DROITE EST UN COMPLEXE SIMPLICIALE
.
... 16
F
IGURE
3 :
L
ES
-
SIMPLEXES STANDARDS DE
POUR
.
... 18
F
IGURE
4 :
E
XEMPLE DE SIMPLEXE SINGULIER
... 19
F
IGURE
5 :
T
OPOLOGIE DE L
'
ACTION DE
Y
ANG
-M
ILLS EN CONSIDERANT LA COURBURE
LOCALE
... 84
F
IGURE
6 :
T
OPOLOGIE DE L
'
ACTION DE
Y
ANG
-M
ILLS EN CONSIDERANT LA COURBURE
LOCALE
(2) ... 84
F
IGURE
7 :
T
OPOLOGIE DE L
'
ACTION DE
Y
ANG
-M
ILLS EN CONSIDERANT LA COURBURE
LOCALE
.
V
UE AVEC METRIQUE D
'
ESPACE
-
TEMPS
(2) ... 84
F
IGURE
8 :
T
OPOLOGIE DE L
'
ACTION DE
Y
ANG
-M
ILLS EN CONSIDERANT LA COURBURE
LOCALE
.
V
UE AVEC METRIQUE D
'
ESPACE
-
TEMPS
... 84
F
IGURE
9 :
T
OPOLOGIE DE L
'
ACTION DE
Y
ANG
-M
ILLS EN CONSIDERANT LA COURBURE
GLOBALE
... 85
F
IGURE
10 :
T
OPOLOGIE DE L
'
ACTION DE
Y
ANG
-M
ILLS EN CONSIDERANT LA COURBURE
GLOBALE
(2) ... 85
F
IGURE
11 :
T
OPOLOGIE DE L
'
ACTION DE
Y
ANG
-M
ILLS EN CONSIDERANT LA COURBURE
GLOBALE
.
V
UE AVEC METRIQUE D
'
ESPACE
-
TEMPS
... 85
F
IGURE
12 :
T
OPOLOGIE DE L
'
ACTION DE
Y
ANG
-M
ILLS EN CONSIDERANT LA COURBURE
GLOBALE
.
V
UE AVEC METRIQUE D
'
ESPACE
-
TEMPS
... 85
vii
Table des matières
Résumé ... ii
Abstract ... iii
Remerciements ... iv
Typographies ... v
Liste des illustrations ... vi
Table des matières ... vii
INTRODUCTION GENERALE ... 1
0.1. Problématique
...
1
0.2. Hypothèse
...
2
0.3. Objectifs
et
Intérêts
...
3
0.4. Méthodes
...
3
0.5. Plan du Memoire et Description des Chapitres ... 4
CHAPITRE I : OUTILS MATHEMATIQUES ... 5
1.1. Espace
Topologique ... 5
1.1.1. Notions
Fondamentales
...
5
1.1.1.1. Applications
continues ... 6
1.1.1.2. Homéomorphismes
et plongements ... 7
1.1.1.3. Compacité
...
8
1.2. Groupes
d'Homotopies ... 8
1.2.1. Définitions
...
8
1.2.2. Structures
d'homotopie
...
9
1.3. Homologie
et
Cohomologie ... 15
1.3.1. Homologie simpliciale
... 15
1.3.1.1. Simplexes de
... 15
1.3.1.2. Complexe
simplicial ... 16
1.3.2. Homologie
singulière ... 18
1.3.2.1. Complexe
singulier ... 18
viii
1.3.2.1.1. Simplexes singuliers ... 18
1.3.2.1.2. Nombres de Betti, caractéristique d'Euler-Poincaré, polynôme de
Poincaré 21
1.3.2.1.3. Propriétés de l'homologie singulière ... 22
1.3.2.1.4. Application pull-back induite en homologie ... 22
1.3.3. Cohomologie
singulière... 23
1.3.3.1. Définition et propriétés ... 23
1.3.3.2. Cohomologie de De Rham ... 24
1.4. Conclusion
...
24
CHAPITRE II : THEORIES DE JAUGE ET GEOMETRIE NON COMMUTATIVE 25
2.1. CONNEXION SUR LES FIBRES ... 26
2.1.1. Connexions ... 26
2.1.1.1. Modules à droite ... 27
2.1.1.2. Connexion
duale
...
27
2.1.1.3. Connexion
hermitienne
...
27
2.1.2. Transformations
de
jauge...
27
2.1.3. Connexions sur un bimodule... 28
2.2. L'algèbre
des
endomorphismes
...
29
2.2.1. Motivations
...
29
2.2.2. Les
matrices
...
29
2.2.3. L'algèbre
des
fonctions
à
valeurs matricielles ... 29
2.2.4. L'algèbre
des
endomorphismes d'un fibré vectoriel ... 30
2.2.5. Connexions
ordinaires
...
31
2.2.6. Courbure
...
32
2.2.7. Transformations
de
jauge ordinaires ... 32
2.2.8. Relations
entre
Der(A)
et
les formes sur un fibré principal ... 33
2.2.9. Connexion
symétrique
...
33
2.3. Conclusion
...
33
CHAPITRE III : THEORIE DE JAUGE ET TOPOLOGIE ALGEBRIQUE ... 35
3.1. Algèbres
d'opérateurs
...
36
ix
3.1.1.
-Algèbres ... 36
3.1.2. Algèbres topologiques localement convexes ... 36
3.1.3. Opérations
algébriques
...
37
3.1.3.1. Différentielle
graduée
commutative
...
37
3.2. Opérations
de
Cartan
...
38
3.2.1. DéFInitions
...
38
3.2.2. Cohomologies associées ... 39
3.3. Connections
et
courbures
en topologies algébriques ... 40
3.3.1. Notations
...
40
3.3.2. Connexion
algébrique
...
40
3.3.3. Courbure
algébrique...
41
3.4. L'algèbre des formes sur un fibré principal ... 41
3.4.1. L'opération
de sur
... 42
3.4.2. L'algèbre de Weil ... 43
3.4.2.1. Construction
de
l'algèbre de Weil ... 43
3.4.2.2. Transformation
de
Jauge
...
44
3.5. Fibrés et classes caractéristiques ... 45
3.5.1. Fibré universel classifiant ... 45
3.5.2. Classes caractéristiques ... 46
3.5.2.1. Définitions
et
propriétés générales ... 46
3.5.2.2. Classes caractéristiques et polynômes invariants ...47
3.5.2.2.1. Classes caractéristiques d'un groupe de Lie compact connexe ...47
3.5.2.3. Connexions
et
classes caractéristiques ... 48
3.5.2.4. Classes caractéristiques et algèbre de Weil ... 49
3.5.2.5. Classes caractéristiques et polynômes symétriques ... 50
3.5.2.5.1. Transformation de jauge associées à Weil ... 51
3.5.2.5.2. Transformation généralisée de Jauge ... 51
3.6. Conclusion
...
52
CHAPITRE IV : MODELE DE YANG-MILLS... 53
4.1. Modèles de Yang-Mills et géométrie non commutative ... 54
x
4.1.1. Algèbres
matricielles ... 54
4.1.2. Connexions
sur ... 56
4.1.3. Fonctions à valeurs matricielles ... 57
4.1.4. Action
de
Yang-Mills
...
58
4.1.5. Théories de jauge pour les algèbres d'endomorphismes ... 59
4.1.5.1. Décomposition
des
degrés de liberté ... 60
4.1.5.1.1. Dérivations ... 60
4.1.5.1.2. Formes ... 60
4.2. Modèles de Yang-Mills et topologie algébrique ... 61
4.2.1. Théorie
Topologique ... 61
4.2.2. Différence entre Yang-Mills ordinaire et Yang-Mills topologique ... 62
4.2.2.1. Action
Yang-Mills Ordinaire ... 62
4.2.2.2. Action
Yang-Mills Topologie ... 63
4.2.3. Action
de
Yang-Mills
dans L'algebre de Weil ... 63
4.2.4. Action
de
Yang-Mills
d'une Classe Caracteristique ... 65
4.3. Conclusion
...
66
CHAPITRE V : APPROCHE NUMERIQUE ... 68
5.1. Rappels
sur
les
champs de jauge ... 68
5.2. Construction de Connexion et Courbure en Topologie Algebrique ...70
5.3. Algorithme
de
Calcul ... 71
5.3.1. Algorithme
premier: ... 71
5.3.2. Algorithme
deuxième
:
...
72
5.3.3. Algorithme
troisième
:
...
72
5.4. Application
Analytique
...74
5.4.1. Transformation
de
Jauge globale ...74
5.4.2. Transformation
de
Jauge locale ... 75
5.4.3. Construction
de
Dirac
...
79
5.4.4. Construction
du
Modèle de Yang-Mills ... 81
5.4.5. Résultat de La Simulation ... 84
5.4.6. Discussion
...
86
xi
CONCLUSION ET PERSPECTIVES ...87
Bibliographie ... 89
Annexes ... 91
Etude des Jauges ... 92
1.
Premier cas avec
: Jauge Abélienne
... 92
2.
Second cas avec
: Jauge Non-Abélienne
... 93
1
INTRODUCTION GENERALE
Nous nous sommes intéressés dans ce mémoire à la construction du modèle de
Yang-Mills topologique obtenue grâce à la correspondance de la courbure locale
à la courbure globale des théories de jauge, dans le cadre de la topologie
algébrique et géométrie non commutative. Les théories de jauge constituent un
langage mathématique dans lequel sont formulées les interactions fondamentales
en physique.
Nous nous proposons de faire un rappel, dans cette introduction, sur la manière
dont les théories de jauge ont été introduites en physique, ce qui mettra en
évidence leurs principales caractéristiques. Cela permettra également au lecteur
de ce mémoire de mieux en comprendre les motivations. Nous expliquerons
ensuite en quoi la topologie algébrique semble être un outil approprié pour
formuler les théories de jauge. Enfin, nous expliquerons notre intérêt pour la
théorie de Yang-Mills et ses applications et donnerai un plan détaillé de ce
mémoire.
0.1.
PROBLEMATIQUE
Le terme "jauge" fut introduit pour la première fois par Hermann Weyl en 1919
dans une tentative d'unifier l'électromagnétisme et la gravitation. Cette
terminologie fut empruntée à celle des tablettes de jauge utilisées comme étalons
de longueur dans les ateliers d'usinage. Ainsi, dans la théorie de Weyl, la jauge
est une référence de mesure permettant d'étalonner l'échelle qui va servir à
mesurer une quantité physique. Les quantités physiques, ou observables, sont
supposées être invariantes sous des transformations locales d'échelle (ou de
jauge). L'invariance de jauge, telle qu'elle fut introduite par Weyl, était
directement inspirée de la théorie des connexions linéaires utilisée par Albert
Einstein dans sa théorie de la relativité générale et avait donc, dès sa première
formulation, un statut géométrique.
Par la suite, on a put mettre en évidence d'autres types d'interactions en observant
la conservation de certains nombres quantiques dans les réactions nucléaires.
Ainsi, en 1954, C.N. Yang et R. Mills introduisirent une jauge non abélienne
généralisant de manière directe la théorie de Maxwell. Ils remplacèrent le groupe
par un groupe non abélien SU(2) et la connexion de Maxwell, prescrivant
aux phases de la fonction d'onde la relation qui existe entre elles en chaque point
2
par une connexion à valeurs dans une algèbre non abélienne. Bien que la notion
de connexion fut présente dès l'introduction des théories de jauge par Hermann
Weyl, ce modèle permit de mettre en évidence une généralisation de la théorie
des connexions, utilisée en relativité générale pour les repères linéaires, à une
théorie des connexions pour un groupe de Lie compact arbitraire assimilé en
physique à un groupe de symétries internes. Il fut reconnu par la suite que cette
théorie des connexions correspond en fait à la théorie des connexions sur les
fibrés principaux développée quelques années auparavant par les mathématiciens
Elie Cartan et Charles Ehresmann.
Dans les années 1980, deux brillants mathématiciens (Ivan G. Petrovski et Raoul
Bott et plus tard avec Michael Atiyah (ATIYAH, 1988)) travaillèrent ensemble
dans la théorie de jauge, utilisant les équations de Yang-Mills sur une surface de
Riemann pour obtenir des informations topologiques sur les espaces de modules
des fibrés sur les surfaces de Riemann.
Pourtant, un problème demeure : une symétrie de jauge est une symétrie locale
qui nous permet seulement de prévoir l'évolution future d'un état donné de son
état actuel par une transformation de jauge. On sait qu'une symétrie globale est
une symétrie qui concerne tous les points de l'espace-temps étudié, ce qui l'oppose
à la symétrie locale qui concerne seulement un sous-ensemble ouvert de points.
L'absence d'une théorie de la grande unification englobant les symétries en une
seule symétrie présente un problème de taille en Physique (A. JAFFE, 2014),
(JAFFE, 2012). C'est pourquoi on a cherché à développer des théories au-delà du
Modèle Standard : modèles supersymétriques (BALABAN, 1987), modèles avec
dimensions supplémentaires, théorie des cordes (EDWARD WITTEN, 1999)...
Toutes ces approches font intervenir ou donnent lieu à de nouveaux concepts ou
outils. Parmi ces idées, nous allons nous intéresser dans la suite à deux notions a
priori complètement différentes (même s'il est possible d'établir des ponts reliant
l'une à l'autre) : les théories de jauge topologiques et la géométrie non-
commutative
Ainsi, on pourrait se poser une question, de savoir comment une symétrie globale
étant n'importe quelle symétrie d'un modèle qui n'est pas une symétrie de jauge
puisse correspondre à une symétrie locale ?
0.2.
HYPOTHESE
Il serait intéressant d'étudier le rapport entre les symétries en géométrie non
commutative et celles de la topologie algébrique. Une telle approche pourrait
permettre d'étudier la correspondance entre la symétrie locale et globale ; et
éventuellement de traiter le modèle de Yang-Mills.
3
0.3.
OBJECTIFS ET INTERETS
Nous nous sommes intéressés dans ce mémoire à la construction d'un modèle de
transformations globale et locale des théories de jauge en un seul mécanisme de
transformation dans un langage topologiquement algébrique. Ainsi, nous verrons
que les fibrés principaux, habituellement utilisés pour décrire les théories de
Yang-Mills, peuvent être remplacés par des endomorphismes et des classes
caractéristiques.
Un des buts de ce mémoire est de montrer comment peut s'effectue ces
transformations de jauge de point de vue entre géométrie non commutative et
topologie algébrique.
0.4.
METHODES
Afin d'aborder notre recherche, nous présentons une brève description de
quelques méthodes pouvant être utilisées dans nos cadres mathématiques :
0.4.1.
Méthode en géométrie différentielle : Un fibré principal est
généralement construit à partir d'un groupe de structure . Le groupe
de jauge apparaît alors comme le groupe des automorphismes verticaux
de ce fibré. L'algèbre de Lie du groupe de jauge correspond aux champs
de vecteurs verticaux. Grâce aux connexions sur ce fibré, on peut alors
construire un morphisme qui associe à tout polynôme invariant sur
l'algèbre de Lie de , une classe caractéristique qui est un élément de
la cohomologie de de Rham de la variété de base. Ce morphisme est
appelé le morphisme de Chern-Weil.
0.4.2.
Méthode en géométrie algébrique : Pour une algèbre
d'endomorphismes , le groupe de jauge correspond au groupe des
automorphismes intérieurs de l'algèbre et est donc décrit directement
par les éléments de l'algèbre. L'algèbre de Lie du groupe de jauge
correspond aux dérivations intérieures de l'algèbre . Le morphisme de
Chern-Weil peut se construire directement en considérant les éléments
invariants d'un certain module sur l'algèbre de Lie des dérivations de
.
0.4.3.
Méthode en topologie algébrique : Pour des classes caractéristiques,
le groupe compact connexe de jauge correspond aux polynômes
invariants et est donc décrit directement par des invariants
cohomologiques des fibrés vectoriels. Ainsi, le polynôme en tant que
variété, peut aussi être calculé à l'aide de l'espace classifiant universel
et aux dérivations intérieures de l'algèbre , qui n'utilise plus sa
4
structure de groupe. Le morphisme de Chern-Weil peut se construire
par un complexe di érentiel utilisable en cohomologie.
On voit ainsi que la dernière méthode unifie les deux méthodes géométriques et
donne une description plus directe des objets qui nous intéressent en physique.
Raison pour laquelle nous allons plus nous appuyer sur elle.
0.5.
PLAN DU MEMOIRE ET DESCRIPTION DES CHAPITRES
Dans le premier chapitre de ce mémoire, nous faisons la description de certains
outils généraux de la mathématique. Nous avons rédigé ce chapitre dans l'idée de
faire un exposé pédagogique sur des techniques de base que sont la topologie,
l'homotopie et (Co) homologie appliquée à la topologie. Nous avons également
voulu faire une synthèse des différents points de vue adoptés dans la littérature
sur la notion des fibrés.
Dans le deuxième chapitre, nous montrons comment le concept de connexion
utilisé en géométrie ordinaire ne peut généraliser les symétries en physiques.
Nous faisons également une présentation des endomorphismes qui tente
d'éclaircir leurs liens avec les fibrés principaux. Cette construction repose sur
l'adaptation d'une méthode développée par Emmanuel Sérié dans le cadre des
algèbres des endomorphismes. Cette construction permet de jeter un nouveau
regard sur ces algèbres.
Dans le troisième chapitre, nous montrons comment le concept de connexion
utilisé en topologie algébrique ordinaire peut être généralisé à des structures des
polynômes invariants. Nous faisons également une présentation des classes
caractéristiques qui tente d'éclaircir leurs liens avec les fibrés principaux. Cette
construction repose sur l'adaptation d'une méthode développée par Thierry
Masson dans le cadre des algèbres de Lie. Cette construction permet de jeter un
nouveau regard sur les classes caractéristiques et d'apprécier sa généralisation
des symétries.
Dans le quatrième chapitre, nous présentons de modèle de Yang-Mills pouvant
être construits dans le cadre des classes caractéristiques. Dans un premier temps,
nous faisons un rappel sur les modèles construits avec des endomorphismes
correspondant à la situation des fibrés triviaux. Cela correspond essentiellement
à la description du modèle d'Emanuel Sérié. En deuxième lieu, nous faisons un
appel aux modèles construits avec des classes caractéristiques correspondant à la
situation des fibrés triviaux. Cela correspond essentiellement à aucune
description de la littérature.
Le cinquième chapitre, est fait d'une recherche d'algorithme pouvant calculer les
invariants topologiques attribués à la théorie de Jauge de Yang-Mills.
5
CHAPITRE I : OUTILS
MATHEMATIQUES
Ce chapitre, l'un des plus gros de ce travail, est destiné à rappeler, si ce n'est à
introduire, les notions essentielles à la base des constructions présentées dans les
chapitres ultérieurs. Il ne s'agit pas d'un cours en tant que tel (NTANTU, 2014)
et (LOWOLO O.P.E, 2014), car la richesse et la multiplicité des objets présentés
ici, nécessitée par la diversité mathématique sous-jacente à l'idée même de ce
travail, requerrait des ouvrages entiers. Ne sont donc abordées que les structures
utilisées par la suite, avec ce que cela comporte d'omissions volontaires et
inéluctables. La bibliographie à la fin du mémoire permettra au lecteur
d'approfondir ces concepts.
1.1.
ESPACE TOPOLOGIQUE
La topologie algébrique, anciennement appelée topologie combinatoire, est une
branche des mathématiques appliquant les outils de l'algèbre dans l'étude des
espaces topologiques. Plus exactement, elle cherche à associer de manière
naturelle des invariants algébriques aux structures topologiques associées. La
naturalité signifie que ces invariants vérifient des propriétés de fonctorialité au
sens de la théorie des catégories.
1.1.1.
NOTIONS FONDAMENTALES
On dit qu'un ensemble est muni d'une structure topologique, ou simplement
d'une topologie, lorsqu'on a choisi dans une famille de sous-ensembles qui
contient la réunion de chacune de ses sous-familles et l'intersection de chacune
de ses sous-familles finies. Un ensemble muni d'une topologie est appelé espace
topologique, ses éléments sont des points, tandis que les ensembles de la famille
choisie sont des ensembles ouverts ou des ouverts.
Une sous-famille d'ensembles dont on prend la réunion ou l'intersection peut, en
particulier, être vide. La réunion d'une sous-famille vide est , l'intersection
6
d'une sous-famille vide d'ensembles de est tout entier. Ainsi et sont des
ensembles ouverts.
En guise d'exemple de structure topologique signalons la topologie triviale où
seuls les ensembles et sont ouverts, et la topologie discrète, pour laquelle
toutes les parties de sont ouverts. Lorsque contient plus d'un élément, il y a
aussi d'autres topologies. Par exemple, l'ensemble constitué par deux éléments
possède, en plus des deux topologies indiquées, les deux suivantes : pour
l'une les ensembles ouverts seront
,
,
, pour l'autre ,
,
. Des
exemples plus sérieux seront envisagés par la suite.
Un sous-ensemble d'un espace topologique est dit fermé lorsque son
complémentaire est ouvert. La classe des ensembles fermés contient l'intersection
de chacune de ses sous-familles et la réunion de chacune de ses sous-familles
finies ; pour chaque famille de sous-ensembles de qui possède cette propriété,
il existe une seule topologie dans relativement à laquelle la famille donnée est
celle de tous les ensembles fermés.
On appelle voisinage d'un point d'un espace topologique tous ensemble ouvert
qui contient ce point. On appelle voisinage d'une partie d'un espace topologique
tous ensemble ouvert qui contient cette partie.
La partie de l'espace topologique est appelée dense dans ou partout dense
si
, i.e. si rencontre trous les ouverts non vides. L'ensemble
s'appelle rare lorsque l'ensemble
est partout dense.
1.1.1.1.
APPLICATIONS CONTINUES
Une application d'un espace topologique dans un espace topologique est dite
continue si l'image inverse de tout ouvert (resp. fermé) de est un ouvert (resp.
fermé) de .
Une application
, où les
sont des
parties de et les
sont des parties de est dite continue si l'application
abs
l'est.
Remarque utile : pour que l'application
soit continue il suffit que soient
ouvertes les images inverses d'ensembles d'une certaine prébase de
(NTANTU, 2014). C'est cet aspect qui relie la topologie à la théorie de Jauge
basée sur les espaces fibrés développé dans le chapitre 3.
Il est évident que si les applications
et
sont continues, alors leur
composée
l'est aussi. Il est également clair que l'application
identique id
est continue pour tout espace topologique .
7
Il découle de la définition de la topologie induite que si l'application
est
continue et les ensembles
vérifient
, l'application
ab
est continue. En particulier, la restriction
d'une
application continue
à un sous-ensemble quelconque
est
continue. Par exemple, l'inclusion dans un espace de ses parties est une
application continue.
Les espaces fibrés se nourrissent de cet raisonnement, dans le sens que le fibré
vectoriel est une restriction
, où représente une connexion induite
(MASSON, 2008).
1.1.1.2.
HOMEOMORPHISMES ET PLONGEMENTS
La continuité d'une application bijective
n'implique pas celle de
l'application inverse
par exemple, l'application inverse de l'identité
d'un ensemble, muni de la topologie discrète, sur ce même ensemble muni d'une
autre topologie, n'est pas continue.
Une application bijective telle que les deux applications et
sont
continues s'appelle homéomorphisme. Lorsqu'il existe un homéomorphisme
, on dit que l'espace est homéomorphe à l'espace .
Il est évident que l'application identique d'un espace est un homéomorphisme,
que l'application inverse d'un homéomorphisme et la composée de deux
homéomorphisme sont des homéomorphismes. Par conséquent,
l'homéomorphisme est une relation d'équivalence.
(Exemples). La boule ouverte
est homéomorphe à
.
L'homéomorphisme standard
se note :
Le cube
est homéomorphe à la boule
, sa partie intérieure
est
homéomorphe à
, tandis que sa frontière
est homéomorphe à
, i.e. à
. Les homéomorphismes
représentent une translation d'un vecteur
, où
désignent les vecteurs
, suivie
d'une projection centrale.
8
La sphère
dont on a éliminé un point unique est homéomorphe à
.
L'homéomorphisme
peut être composé de l'homéomorphisme
de l'espace
sur le sous-espace correspondant de
l'espace
, suivi de la projection stéréographique, i.e. de la projection de ce
sous-espace sur
à partir du point
.
On appelle plongement, ou plus précisément plongement topologique, une
application
lorsque ab
est un homéomorphisme. Par
exemple, l'inclusion d'un sous-espace dans l'espace sous-jacent est un
plongement.
1.1.1.3.
COMPACITE
Un espace topologique est dit compact si chacun de ses recouvrements ouverts
contient un sous-recouvrement fini. Par exemple, un ensemble fini muni d'une
topologie quelconque est compact, par contre un ensemble infini muni de la
topologie discrète ne l'est pas.
Il est clair qu'un sous-espace d'un espace topologique est compact si et
seulement si chacun de ses recouvrements ouverts dans
contient un
recouvrement fini.
La condition de dénombrabilité dans le théorème précédente est essentielle. Par
exemple, le recouvrement d'un intervalle fermé par tous les sous-ensembles
dénombrables est fondamental mais ne possède pas de sous-recouvrement
dénombrable.
1.2.
GROUPES D'HOMOTOPIES
1.2.1.
DEFINITIONS
Les groupes d'homotopie sont des invariants des espaces topologiques pointés.
Ils sont reliés à des notions d'homologie et de cohomologie de différente façon.
Dans ce qui suit,
est un espace topologique pointé. Le groupe
d'homotopie d'ordre 1 de
, noté
, appelé aussi le groupe
fondamental de , est le groupe dont les éléments sont les classes d'homotopie
des lacets dans
ayant
pour point base. C'est un groupe pour la loi de
composition qui consiste à parcourir deux lacets l'un après l'autre. Ce groupe
n'est pas nécessairement abélien.
9
Lorsque
est trivial, on dit que l'espace est simplement
connexe. On peut montrer que si
n'est pas trivial, il existe un espace
topologique simplement connexe et une surjection
qui est
localement un homéomorphisme tel que pour tout point
, il existe un
voisinage ouvert de tel
. On dit que
est le revêtement universel de . C'est aussi un fibré principal (de
groupe de structure discret
).
Dans le cas où est un groupe topologique, on peut montrer qu'il existe un
groupe topologique simplement connexe et un morphisme surjectif de
groupes
tel qu'en tant qu'espaces topologiques ce soit le
revêtement universel. Dans ce cas, on a la suite exacte courte de groupes
Un exemple classique est
.
En degré ,
est par définition l'ensemble des composantes
connexes par arcs de , où la composante connexe contenant
est l'élément «
trivial ». Il n'est pas toujours possible de donner à cet ensemble une structure de
groupe. C'est cependant le cas lorsque est un groupe où lorsque
est
l'espace des lacets ayant pour point base
d'un espace topologique ,
car dans ce cas
, avec
le lacet constant
.
Soit un entier
. L'ensemble
est constitué des classes
d'homotopie des applications continues
telles que
, où
est un point base fixé.
La structure de produit de groupe sur
est définie de la façon suivante.
Soit
l'application qui contracte un équateur
tel
que
sur le point base de
(le point d'attache du bouquet des
deux sphères). Soient
deux représentants de deux classes d'homotopie
et
dans
. Le produit
est par définition la classe d'homotopie
de l'application
. L'inverse d'une classe
pour ce produit est la classe de l'application
où
sont des coordonnées de
dans
laquelle
est supposée plongée
.
1.2.2.
STRUCTURES D'HOMOTOPIE
L'ensemble
, muni de cette structure de groupe, est le groupe
d'homotopie d'ordre de l'espace topologique pointé
. Si
, ce
groupe est toujours abélien. Concernant le groupe
, il peut être non abélien.
10
Cependant, dans le cas où est un groupe de Lie,
est toujours
abélien.
Il est possible d'étudier la dépendance du groupe
en fonction du point
base
. On peut montrer que tous ces groupes sont isomorphes entre eux. Ceci
permet de noter
un tel groupe d'homotopie, défini à un isomorphisme
près.
On peut par exemple montrer que
et que les autres groupes
d'homotopie de la sphère sont nuls.
Si
et
sont deux espaces topologiques pointés, alors on a
Soit
le disque de dimension dans
. Une application continue
peut aussi être vue comme une application continue
telle que l'image de
soit
, grâce à
l'identification
.
Soit
une inclusion d'espaces topologiques pointés, qu'on
note
. En particulier, on considère l'inclusion d'espaces pointés
. Pour
, on définit l'ensemble
comme
l'ensemble des classes d'homotopie des applications continues
. On a donc par construction
et
.
On peut munir
d'une structure de groupe pour
en
considérant la contraction
le long du disque
qui
sépare
en deux parties égales. Muni de cette structure de groupe,
est le groupe d'homotopie relative de
d'ordre . C'est
toujours un groupe abélien pour
, mais pas nécessairement pour
.
Lorsque
, on a
. Si
est une application continue d'inclusions d'espaces topologiques
pointés, alors définit un morphisme de groupes
par composition avec (ATIYAH, 1988).
Toute application continue
telle que l'image de
soit
définit un élément de
. On a donc un morphisme
de groupes
Fin de l'extrait de 110 pages
- Citation du texte
- Patrick Ngosse (Auteur), 2014, Modèle de jauge de Yang-Mills par les transformations locale et globale associées à l’algèbre de Weil, Munich, GRIN Verlag, https://www.grin.com/document/278517
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