Fourier-Analysis in der Signalverarbeitung

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung
1.1 Inhaltliche Hinführung
1.2 Problemstellung
1.3 Zielsetzung

2 Komplexe Zahlen
2.1 Imaginäre Einheit i
2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen
2.3 Gaußsche Zahlenebene
2.4 Konjugation, Betrag und Argument komplexer Zahlen
2.5 Eulersche Identität

3 Fourier-Analysis
3.1 Idee von Fourier
3.2 Komplexe Fourier-Reihe
3.2.1 Fourier-Reihe von Funktionen mit der Periode 1
3.2.2 Berechnung der komplexen Fourierkoeffizienten
3.2.3 Fourier-Reihe von Funktionen beliebiger Periode T
3.3 Fourier-Reihe mit Sinus und Kosinus
3.4 Reelle Fourierkoeffizienten
3.5 Beispiel: Fourier-Reihe einer Rechteckschwingung
3.6 Kontinuierliche Fouriertransformation
3.7 Praktische Anwendung der Fouriertransformation in der Signalverarbeitung
3.8 Beispiel Tonanalyse

4 Abschlussgedanke

5 Abbildungsverzeichnis

6 Literaturverzeichnis

7 Anhang

1 Einführung

1.1 Inhaltliche Hinführung

Sowohl in der Physik, als auch in der heutigen Technologie ist der Einsatz komplexer Mathematik unverzichtbar. Viele Dinge die heutzutage selbstverständlich erscheinen und über deren Funktionsfähigkeit wir uns keine Gedanken machen, gehen auf die Entdeckungen renommierter Mathematiker zurück. Mit nachfolgender Arbeit wird ein kleiner Teil unseres alltäglichen Lebens mathematisch betrachtet - Wie gelingt es die hervorragende Tonqualität zu erzeugen, die wir kennen? Wie können große Bild- und Audiosignale so schnell übertragen werden? Jene Fragen sollen abschließend beantwortbar sein. Dabei ist die von Joseph Fourier^[1] entwickelte Mathematik heute nicht mehr wegzudenken. Sie findet unter anderem Einsatz in der digitalen Signalverarbeitung, der Nachrichten- und Regelungstechnik sowie der Hochfrequenztechnik. Die mathematischen Verfahren geben den Ingenieuren dabei die Möglichkeit zur Analyse^[2] und Synthese^[3] von Signalen, wodurch ein besseres Verständnis diverser technischer Systeme in den genannten Bereichen erzielt wird.^[4] Ein Teil dieses Verständnisses soll in vorliegender Arbeit geschaffen werden.

1.2 Problemstellung

In der Natur treten sehr häufig periodische Funktionen auf. Angefangen beim Herzschlag über Pendel­schwingungen bis hin zu Ton und Licht. Als Periode wird dabei jeweils eine bestimmte Zeitdauer bezeichnet. Jedoch liefert die reine Aufnahme solcher Signale, zur Veranschaulichung stellt man sich ein Tonsignal vor, wie es in Abbildung 1 gezeigt wird, nur wenige Informationen, wie etwa die gut ersichtliche Periodenlänge, nach der sich ein bestimmtes Muster wiederholt. Um weitere Informationen gewinnen zu können, muss es gelingen, solche zunächst unüberschaubaren Funktionen einfacher auszudrücken. Die mathematische Umsetzung ist dabei das Kernproblem dieser Seminararbeit. Darüber hinaus wird gezeigt, welcher praktische Nutzen sich damit ergibt.^[5]

1.3 Zielsetzung

Ziel ist es derlei unübersichtlich periodische Funktionen möglichst verständlich, das heißt mit den uns vertrauten Sinus- und Kosinusschwingungen, darzustellen. Da der Umgang mit diesen beiden Arten an Schwingungen deutlich einfacher ist, kann mit der zunächst schwer zugänglichen Funktion leichter gearbeitet und mehr Aussagen über sie getroffen werden. Bekannt ist den Meisten dieses Prinzip bei dem bereits eingangs erwähnten Licht. Schickt man dieses durch ein Prisma, erhält man das bekannte Spektrum von Rot nach Violette^[6], denn auch das Licht ist nur eine Überlagerung vieler einzelner Schwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen^[7], die durch das Prisma zerlegt werden (vgl. Abbildung 2).^[8] Die nachfolgende Arbeit beschränkt sich auf das Gebiet der Signalverarbeitung, wobei sich zeigen wird, von welcher außerordentlichen Bedeutung diese Methodik hierbei ist.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2 Komplexe Zahlen

2.1 Imaginäre Einheit i

Zum Zählen genügen gemeinhin die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, usw. Möchte man die Gleichung x2 = 2 lösen, so muss man sich schon den reellen Zahlen bedienen. Es wird nun die Gleichung x2 = -1 betrachtet. Mit den uns bekannten Zahlen lässt sich hier für x keine Lösung finden. Daher wird die imaginäre Einheit i eingeführt, für die gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[9]

Komplexe Zahlen sind immer aus zwei Bestandteilen aufgebaut, einem Realteil und einem Imaginärteil, welcher mit der imaginären Einheit i multipliziert wird. Sie werden beispielsweise folgendermaßen dargestellt: z = 5 + 7t, wobei 5 den Realteil von z beschreibt und 7 dem Imaginärteil entspricht (kurz: Re(z) = 5 ;/m(z) = 7). Jede reelle Zahl lässt sich auch als komplexe Zahl darstellen, indem man schreibt "reelle Zahl" + Oi. Zahlen mit dem Realteil 0 werden auch als imaginäre Zahlen bezeichnet, z. B. 3i bzw. 0 + 3t. Allgemein gilt für eine komplexe Zahl z:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei kennzeichnen a und b reelle Zahlen.^[10]

2.2 Rechnen mit komplexen Zahlen

Beim Rechnen mit komplexen Zahlen werden der Realteil und der Imaginärteil, multipliziert mit 1, jeweils unabhängig voneinander betrachtet. Die vier Grundrechen­arten können daher problemlos auf sie angewandt werden, wie sich an folgenden Beispielen nachvollziehen lässt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Division muss man sich an dieser Stelle eines kleinen Rechentricks bedienen, sodass im Nenner nur noch eine reelle Zahl vorhanden ist. Hierzu gebraucht man dritte binomischen Formel (a + b) * (a - b) = a2 - b2, d.h. der Bruch muss mit 3 + 5¿ erweitert werden. So ergibt sich im Nenner ein i2, welches durch -1 ersetzt werden kann. Die Division lässt sich damit folgendermaßen berechnen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.3 Gaußsche Zahlenebene

Die Gaußsche Zahlenebene^{[11] [12]} (vgl. Abbildung 3), auch komplexe Zahlenebene genannt, erleichtert die Vorstellung der komplexen Zahlen.

Dabei wird an der x-Achse der Realteil und an der y-Achse der Imaginärteil der komplexen Zahl dargestellt. Jeder komplexen Zahl z = a + bi wird ein Punkt (a, b) in der Ebene zugeordnet.

Alle bisher bekannten reellen Zahlen sind dabei auf der x-Achse^[13] vorzufinden. Betrachtet man die komplexen Zahlen als Vektoren in der Abbildung 3: Gaußsche Zah|enebene komplexen Zahlebene, so lassen sich damit die gewöhnlichen Rechenoperationen, wie mit Vektoren, zum Beispiel das Aneinanderhängen der Vektoren bei der Addition, durchführen. Die Multiplikation ist ebenso möglich. Wie sich unter 2.2 gezeigt hat, ergibt sich dabei wieder eine komplexe Zahl. In der Vektorrechnung ist diese Operation als Skalarprodukt bekannt, wobei sich dabei ein Skalar - eine reelle Zahl - ergibt. Geometrisch funktioniert die Multiplikation zweier komplexer Zahlen, indem man ihre Winkel (auch Argument genannt; Erklärung folgt unter 2.4), die sie mit der reellen Achse einschließen, addiert und ihre Längen (auch Betrag genannt; Erklärung folgt unter 2.4) miteinander multipliziert. Analog dazu werden bei der Division die Winkel zweier komplexen Zahlen subtrahiert und ihre Längen dividiert. Eine genauere Erläuterung dieser beiden Sachverhalte wird an gegebener Stelle nicht durchgeführt.

2.4 Konjugation, Betrag und Argument komplexer Zahlen

Von großer Bedeutung bei den komplexen Zahlen ist das Komplex Konjugierte. Die entsprechende Rechenoperation heißt komplex konjugieren und entspricht der Umkehrung des Vorzeichens des Imaginärteils. Wie man bereits bei der Division gesehen hat, wird das Komplex Konjugierte des Nenners zur Lösung der Rechnung eingesetzt. Wird eine komplexe Zahl mit z bezeichnet, so schreibt man für sein Komplex Konjugiertes z (sprich: „z quer“), d.h. für z = 5 + 7i lautet das Komplex Konjugierte ž = 5 — 7i. In der Gaußschen Zahlenebene (vgl. Abbildung 3) gleicht die Operation der komplexen Konjugation, der Spiegelung der komplexen Zahl an der reellen Achse.

Der Betrag einer komplexen Zahl entspricht dem Abstand von ihr zum Ursprung. In Abbildung 3 wird diese Länge mit r bezeichnet und lässt sich leicht mit dem Satz des Pythagoras berechnen. Für den Betrag r = \z\ der komplexen Zahl z = a + bi gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Auch auf alle reellen Zahlen, deren Betrag wir mühelos berechnen können, lässt sich diese Definition anwenden, da hier b = 0 ist.

Als Argument einer komplexen Zahl wird der Winkel bezeichnet, den die Zahl, als Vektor interpretiert, mit der positiven reellen Achse einschließt. In Abbildung 3 ist dieser Winkel φ. Für das Argument φ = arg(z) der komplexen Zahl z = a + bi gilt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2.5 Eulersche Identität

Es wird noch einmal Abbildung 3 betrachtet. Man erkennt schnell, dass sich die Werte a und b der komplexen Zahl z = a + bi auch anders darstellen lassen. Für a gilt a = βοΞφ * r und entsprechend für b = Ξίηφ * r. Mit dieser Erkenntnis lässt sich für die komplexe Zahl z auch schreiben: z = (cos^ + i * sinç>) * r.

Führt man diese Überlegungen, auf die in vorliegender Arbeit nicht näher eingegangen wird, fort, so kommt man zu der Erkenntnis, dass alle Zahlen z mit dem Betrag 1, ^{[14] [15] [16]} ebenso folgendermaßen dargestellt werden können: z = βιφ. Damit ergibt sich für r = 1 nachfolgende Beziehung:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten^[17]

Dabei ist mit φ immer im Bogenmaß zu rechnen. Diese Beziehung wird als Eulersche Identität bezeichnet und erleichtert nachfolgende Rechnungen enorm.

3 Fourier-Analysis

3.1 Idee von Fourier

Der französische Mathematiker Jean

Baptiste Joseph Fourier hatte Anfang des 19. Jahrhunderts die Idee, dass sich jede periodische Funktion als eine Überlagerung von sinusförmigen Funktionen darstellen lässt, wofür er die Fourier-Reihen entwickelte. In Abbildung 4 wird die Approximation an die braune Rechteckfunktion gezeigt. Durch Überlagerung der roten, blauen und grünen Sinuswelle ergibt sich die gestrichelte Welle, welche bereits eine grobe Annäherung an die gezeigte Rechteckfunktion ist. Umso mehr Sinuswellen aufaddiert werden, desto genauer wird die Annäherung. Dabei wird die Sinuswelle mit der kleinsten Frequenz als Grundwelle bezeichnet, alle weiteren Sinuswellen haben ein ganzzahliges Vielfaches der Grundwellenfrequenz und werden als Oberwellen bezeichnet. Weiter stellte er fest, dass sich auch aperiodische Funktionen, in sehr guter Näherung, so darstellen lassen. Diese Operation wird als Fourier-Transformation bezeichnet. Beide Methoden werden nachfolgend beleuchtet.

3.2 Komplexe Fourier-Reihe

Mit Fourier-Reihen gelingt es periodische Funktionen, welche der Eigenschaft f(x) = f(x + T) genügen, wobei T die Periode der Funktion/(x) ist, als eine Überlagerung von sinusförmigen Funktionen darzustellen. Das bedeutet, dass sich jede periodische Funktion durch sin- und cos-Funktionen darstellen lässt. Dies ist möglich, da die Sinuswellen die natürlichen Wellen sind, d.h. jegliche natürliche Schwingung kann mit dem Sinus beschrieben werden. Insbesondere bei gering schwingenden Systemen lässt sich die Sinusform oftmals gut erkennen.

Eine solch ähnliche Umformung ist bereits vielen bekannt, so lässt sich jede Potenzfunktion mit der eulerschen Zahl e als Basis beschreiben, ebenso wie der natürliche Logarithmus für jede Logarithmusfunktion angewandt werden kann. Die Fourier-Reihe kann man sich als eine Auflistung vieler einzelner Sinusschwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen und Amplituden vorstellen, bei deren Überlagerung sich die ursprüngliche Schwingung bzw. Funktion ergibt. Mathematisch wird bei der Überlagerung jeder Funktionswert der einzelnen Sinusschwingungen bei gleicher Abszisse miteinander addiert. Das Zusammensetzen ist das Gegenteil der Fourieranalyse und wird als Fouriersynthese bezeichnet.181920

3.2.1 Fourier-Reihe von Funktionen mit der Periode 1

Im Folgenden werden nur stetig differenzierbare Zeitfunktionen mit der Periode 1 betrachtet, d.h. f(t) = f(t +1). Es muss beachtet werden, dass alle Funktionen mit der Periode eines Bruchteils von 1 (Periode T e {0,1; 0,25; ^;0,5;...}) auch die Periode 1 besitzen. Es kann immer nur eine minimale Periodenlänge bestimmt werden, alle ganzzahligen Vielfachen davon sind auch Perioden der Funktion. Jene periodischen Funktionen sollen nun mit Sinuswellen dargestellt werden. Hierzu bedient man sich dem Term e2nint für пеЖ, welcher nach der Eulerformel auch wie folgt geschrieben werden kann: cos(2πηί) + i * sin(2nnt). Es wird ersichtlich, dass die zu analysierende Funktion in Kosinus- und Sinusschwingungen zerlegt wird, deren Frequenz von n abhängig ist. Für n sind dabei auch negative Zahlen möglich und notwendig. Dieser Term wird die Basis nachfolgender Fourier-Analysis. Die Funktion f{t) wird dabei als Summe dieser Terme in Abhängigkeit von n dargestellt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Mit cn werden die „komplexen Fourierkoeffizienten“ bezeichnet. Sie geben sowohl die Amplitude, als auch die Phase der einzelnen Sinuswellen mit der Frequenz n an.

[...]

^[1] Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830; franz. Mathematiker) veröffentlichte 1822 sein Werk „Théorie analytique de la chaleur"

^[2] Zerlegung

^[3] Zusammensetzen

^[4] Vgl. Bossert/Frey (2004), Vorwort

^[5] Vgl. Lang/Pucker (2005), S. 401

^[6] Hierbei handelt es sich nur um das sichtbare Spektrum (außerdem: UV- und IR-Bereich)

^[7] Anm. d. Verf.: Wellenlängen des sichtbaren Teil des Lichts von ca. 380 bis 780 nm

^[8] Vgl. Lang/Pucker (2005), S. 401

^[9] = steht für Identität, d.h. t2 und —1 sind beliebig austauschbar

^[10] Vgl. Meyberg/Vachenauer (2003), S. 53

^[11] Vgl. Meyberg/Vachenauer (2003), S. 53f.

^[12] benannt nach Carl Friedrich Gauß (1777-1855), deutscher Mathematiker

^[13] Anm. d. Verf.: x-Achse entspricht dem Zahlenstrahl, denn man häufig zur Darstellung von R nutzt

^[14] Vgl. Meyberg/Vachenauer (2003), S. 55

^[15] Vgl. Lang/Pucker (2005), S. 45

^[16] gilt nur für a > 0, ansonsten ergibt sich durch den arctan der falsche Winkel

^[17] Vgl. Lang/Pucker (2005), S. 52ff.