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Lineare Gleichungen und Funktionen für die 10. Klasse

Eine handlungsorientierte Wiederholung unter besonderer Berücksichtigung kooperativer Lernformen

Unterrichtsentwurf 2013 48 Seiten

Mathematik - Algebra

Leseprobe

Thema der Unterrichtsreihe: Lineare Gleichungen und Funktionen- eine handlungsorientierte Wiederholung unter besonderer Berücksichtigung kooperativer Lernformen

Thema der Unterrichtsstunde: Wie löst man lineare Gleichungssysteme?- Kooperative Erarbeitung und Anwendung von drei unterschiedlichen Lösungsverfahren der linearen Gleichungssysteme - das zeichnerische Verfahren, das Gleichsetzungsverfahren und das Additionsverfahren – innerhalb eines Gruppenpuzzles- anhand ausgewählter Beispielaufgaben und deren Lösungsmöglichkeiten zum Angebot von Handytarifen

1. Längerfristige Unterrichtszusammenhänge

1.1 Leitgedanken und Intentionen

Legitimation

Die Unterrichtsreihe wird legitimiert durch den Kernlehrplan für die Hauptschule in NRW[1]. Unter Punkt 2.1.2 Inhaltsbezogene Kompetenzen am Ende der Doppeljahrgangsstufe 9/10 (mittlerer Bildungsabschluss) wird unter der inhaltlichen Kompetenz Arithmetik/ Algebra gefordert, dass die Schülerinnen und Schüler Terme ausmultiplizieren sowie lineare Gleichungssysteme lösen können. Außerdem wird unter der inhaltlichen Kompetenz Funktionen gefordert, dass die Schülerinnen und Schüler lineare Funktionen verbalisieren, in Wertetabellen, Graphen und Termen darstellen und mit ihnen arbeiten können.

Im schulinternen Lehrplan der Hauptschule Am Gelben Morgen für die Klasse 10B, wird ebenfalls der Umgang mit linearen Gleichungen und Funktionen sowie das Lösen von Gleichungen und Gleichungssystemen gefordert. Ergänzend wird hier noch das Zeichnen von Graphen sowie das Ablesen von Gleichungen genannt. Die Schülerinnen und Schüler sollen ihre Kompetenz des Argumentierens und Kommunizierens mit Hilfe von Sachaufgaben entwickeln. Die inhaltlichen Forderungen werden ergänzt durch die Forderung, dass kooperative Lernformen in die Unterrichtsreihe integriert werden sollen.[2]

Durch viele verschiedene Sachaufgaben, wie zum Beispiel zu Handytarifen, Strompreisen oder Taxipreisen wird ein Bezug zur Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler hergestellt.

Lernausgangslage (die Thematik / Reihe betreffend)

Die Klasse 10B wurde erst nach den Sommerferien aus allen 10er Klassen neu zusammengesetzt, um gemeinsam den mittleren Bildungsabschluss zu erlangen. Sie sind daher sehr motiviert und engagiert.

- sind daher sehr unterschiedliche Voraussetzungen gegeben, da einige Schülerinnen und Schüler zuvor den Erweiterungskurs in Mathematik besucht haben, andere wiederum aber nur den Grundkurs. Deshalb sind die Themen inhaltlich in unterschiedlichem Umfang behandelt worden. Ziel dieser ersten Reihe in Mathematik ist es, die Schülerinnen und Schüler zum Thema lineare Gleichungen und Funktionen inhaltlich auf einen ähnlichen Stand zu bringen. Daher werden auch die Themen, die schon in unteren Jahrgangsstufen thematisiert wurden, z.B. allgemeine Geradengleichung und Steigungsdreieck, noch einmal ausgiebig behandelt.

- haben die Schülerinnen und Schüler in ihrer Schullaufbahn schon viele verschiedene Methoden kennengelernt, einige jedoch nur wenige kooperative Lernformen, so dass auf diese ein besonderes Augenmerk gelegt werden muss.

Eine Schülerin hat selektiven Mutismus und spricht in der Schule fast gar nicht. Hin und wieder gibt sie im Mathematikunterricht Antworten, dies sollte ebenfalls durch kooperative Lernformen gefördert werden.

Sachanalyse, didaktische Reduktion

Lineare Gleichungen und Funktionen werden dem Bereich der linearen Algebra zugeordnet. Es handelt sich um Polynomfunktionen ersten Grades, die stetig und differenzierbar sind. Sie können eine oder mehrere Unbekannte haben. In dieser Reihe werden Gleichungen und Funktionen mit maximal zwei Variablen behandelt (didaktische Reduzierung). Der Graph ist eine Gerade, die mit Hilfe von zwei Punkten gezeichnet werden kann. Zum Zeichnen der Geraden werden das Steigungsdreieck sowie die Wertetabelle zur Hilfe genommen. Die rechnerische Möglichkeit ist nicht Gegenstand der Reihe (didaktische Reduzierung). Besonderes Augenmerk wird auf die verschiedenen Darstellungsformen der linearen Gleichungen und Funktionen gelegt, so sollen die Schülerinnen und Schüler beliebig zwischen Wertetabelle, Term und Graph wechseln können. Mehrere lineare Gleichungen bilden ein lineares Gleichungssystem, welches quadratisch, Stufenform, Dreiecksform oder eine reduzierte Stufenform aufweisen kann. Innerhalb der Reihe werden Gleichungssysteme mit zwei Variablen thematisiert. Auch werden nur drei der vier Lösungsmöglichkeiten angesprochen. Lineare Gleichungen und Funktionen können helfen, komplizierte Problemstellungen zu lösen.

Konzeptionelle Anlage der längerfristigen Unterrichtszusammenhänge

Lineare Gleichungen und Funktionen sind den Schülerinnen und Schülern bereits seit der Jahrgangsstufe acht bekannt und seitdem in jedem Schuljahr wiederholt und durch weitere Aspekte ergänzt worden. In diesem Schuljahr soll die Reihe ebenfalls wiederholen und das Lösen linearer Gleichungssystem neu einführen. Hier wird Spiralprinzip der Unterrichtsreihe deutlich. Die Unterrichtsreihe ist so aufgebaut, dass zunächst das Vorwissen zu linearen Gleichungen und Funktionen reaktiviert wird, indem die Schülerinnen und Schüler das Umformen und Lösen wiederholen. Anschließend werden die verschiedenen Darstellungsformen, das Aufstellen linearer Funktionen sowie das Zeichnen der passenden Graphen wiederholt, bevor dann die linearen Gleichungssysteme eingeführt werden. Bei den verschiedenen Lösungsmöglichkeiten dienen die vorher wiederholten Aspekte als Grundlage. Die Reihe ist nach Alter und Leistungsniveau didaktisch reduziert, da die Schülerinnen und Schüler sich nach Piaget noch im formalen Stadium befinden, indem das logische und bewegliche Denken erst entwickelt wird.

Ein Ziel der Reihe ist es auch, verschiedene Lernkanäle anzusprechen. Dies wird durch die Mischung der Unterrichtsformen erreicht. Besonderes Augenmerk soll auf die kooperativen Lernformen gelegt werden. Sie ermöglichen einen hohen Anteil echter Lernzeit und fördern die Schüleraktivität.

Die Reihe ist induktiv aufgebaut. In vielen Stunden werden zunächst Einzelfälle thematisiert, von denen die Schülerinnen und Schüler dann Regeln und Gesetzmäßigkeiten ableiten sollen. Da ihnen die meisten Themen aus den letzten Schuljahren bekannt sind, bekommen sie so die Möglichkeit sie selbstständig zu reaktivieren und neue Inhalte in das bereits vorhandene Wissen zu integrieren. Dies erfolgt vor allem durch entdeckende Lernmethoden und offene Lernwege. So wird die Neugierde der Schülerinnen und Schüler geweckt und die personale wie auch die soziale Kompetenz gefördert.

-

Der erwartete Kompetenzzuwachs innerhalb der inhaltlichen Kompetenzen umfasst vor allem das Darstellen von Funktionen in den unterschiedlichen Formen Wertetabelle, Term und Graph. Die Schülerinnen und Schüler sollen zwischen diesen Formen wechseln können. Außerdem sollen sie mit den Funktionen arbeiten könne, dass heißt sie umformen und nach Variablen umstellen können. Besonderes Augenmerk liegt aber auf dem Lösen linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen mit Hilfe des zeichnerischen Verfahrens, des Gleichsetzungs- und des Additionsverfahrens.

Bei den prozessbezogenen Kompetenzen soll vor allem die Kompetenz des Argumentierens und Kommunizierens gefördert werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen durch bestimmte Sachaufgaben darin gestärkt werden, Zusammenhänge selbstständig zu erfassen und in fachgebundener Sprache wiederzugeben. Dazu werden kooperative Lernformen eingesetzt. Durch den Einsatz vieler Sachaufgaben sollen sie ebenfalls dazu angeleitet werden mathematische Modelle zu entwickeln, zu lösen und auf Sachsituationen zu übertragen. Innerhalb dieses Prozesses fördern sie ebenfalls ihre mathematischen Fähigkeiten und Fertigkeiten.

Um die personale und soziale Kompetenz der Schülerinnen und Schüler zu fördern, ist die Unterrichtseinheit anhand unterschiedlicher Arbeits- und Sozialformen aufgebaut. Die Schülerinnen und Schüler lernen durch Partnerarbeiten, Partnerpuzzle, Gruppenarbeiten und Gruppenpuzzle kooperativ und leise zu arbeiten, aber auch einander zu zuhören und ausreden zu lassen. Sie lernen Konflikte zu lösen und gemeinsam Ergebnisse zu erarbeiten. Dies fördert das soziale Miteinander in der Klasse und bereitet die Schülerinnen und Schüler auf das künftige Berufsleben vor. Durch diese kooperative Gestaltung der Reihe wird vor allem in der 3. Phase des kooperativen Dreischritts die Präsentationskompetenz der Schülerinnen und Schüler weiterentwickelt. Das Arbeiten innerhalb einer Lerntheke fordert den Schülerinne und Schülern ebenfalls ein hohes Maß an Selbstständigkeit und Organisationsfähigkeit ab. Im Hinblick auf das künftige Berufsleben sind dies entscheidende Kompetenzen.

1.2 Tabellarische Darstellung der längerfristigen Unterrichtszusammenhänge

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2. Planung der Unterrichtsstunde

2.1 Legitimation

Die geplante Unterrichtsstunde wird legitimiert durch den Kernlehrplan für die Hauptschule in NRW[3], sowie den schulinternen Lehrplan der Hauptschule Am Gelben Morgen. Unter der inhaltsbezogenen Kompetenz Arithmetik/Algebra, wird explizit gefordert, dass die Schülerinnen und Schüler Gleichungssysteme mit zwei Variablen lösen können sollen. Diese Forderung wird innerhalb der Stunde an eine Werbung für Handytarife gebunden, um den Schülerinnen und Schülern einen Alltagsbezug zu geben und dem Punkt 2.2 Verbindliche Kontexte im Kernlehrplan[4] gerecht zu werden. Dort werden unter der Lebensplanung Tarif- und Preisvergleiche gefordert. Durch den Lebensweltbezug Handy entwickeln die Schülerinnen und Schüler besonderes Interesse und Motivation.

2.2 Lernvoraussetzungen

Für diese Stunde ist eine Schülerin besonders zu beachten. Sie hat einen selektiven Mutismus und bis vor einem Jahr in der Schule gar nicht gesprochen. Sie wird im Unterricht unterstützt von einer Förderschullehrerin. So auch in dieser Unterrichtsstunde. Innerhalb dieser Stunde muss sie als Expertin ihren Mitschülern und Mitschülerinnen etwas erklären. Sie wird die zeichnerische Lösung zugeteilt bekommen, da sie diese ohne viele Worte erklären kann. Sollte sie gar nicht sprechen, so könnte sie die Lösungsmöglichkeit vormachen und die Förderschullehrerin hilft ihr ergänzend mit Erklärungen.

2.3 Lernaufgabe

Didaktische Überlegungen

Das zentrale Thema der Stunde sind Lösungsverfahren für Lineare Gleichungssysteme. Diese Lösungsverfahren sollen kennengelernt und angewendet werden. Bei den Lösungsverfahren handelt es sich um das zeichnerische Verfahren, das Additions- und das Gleichsetzungsverfahren. Das Einsetzungsverfahren wird nicht thematisiert (didaktische Reduzierung). Innerhalb dieser Stunde sollen alle drei Verfahren kennengelernt werden. Dies erfolgt in Form eines Gruppenpuzzles. Die Schülerinnen und Schüler sollen zu Selbstständigkeit angeleitet und im Hinblick auf die Zentralen Abschlussprüfungen darin geübt werden, sich selbstständig Informationen aus Texten zu entnehmen. Sie müssen sich nicht an einem Beispiel das Verfahren erarbeiten, es wird ihnen kleinschrittig erklärt (didaktische Reduzierung). Durch das Gruppenpuzzle besteht die Möglichkeit, dass sich zunächst jeder mit einem Verfahren auseinandersetzt. Später, nach der dritten Phase, aber jeder alle Verfahren kennengelernt hat. Es geht zunächst nur um das Kennenlernen und Festigen der Verfahren, Sonderfälle sowie Gleichungssysteme mit unendlichen Lösungen oder keiner Lösung werden noch nicht thematisiert (didaktische Reduzierung). Die Schülerinnen und Schüler sollen das Handwerkszeug zum Lösen linearer Gleichungssysteme an die Hand bekommen und in den nächsten Stunden beim Üben der Lösungsverfahren selbst entscheiden, welches das für sie Einfachste ist.

In den vorherigen Stunden wurden die Voraussetzungen für das Verstehen und Anwenden der linearen Gleichungssysteme geschaffen. Die Schülerinnen und Schüler haben sich mit dem graphischen Darstellen von Gleichungen, sowie mit dem Umformen und Einsetzten auseinandergesetzt und dies hinreichend geübt. Neues wird somit nur noch der Umgang mit zwei Gleichungen auf einmal, sowie das Addieren und das Gleichsetzten zweier Gleichungen sein.

Die Schülerinnen und Schüler lernen die unterschiedlichen Lösungsmöglichkeiten anhand eines Beispiels mit Anleitung zur Lösung kennen. Sie sollen das Verfahren verstehen und dann auf andere Gleichungssysteme übertragen. Bei der Erklärung wird Schritt für Schritt, sehr kleinschrittig vorgegangen. So sollen die Schüler und Schülerinnen zwar fordert werden, die Verfahren zu verstehen, jedoch auf reduzierte Weise. Als Hilfsmittel stehen ihnen Tippkarten zur Verfügung. Jeder Schritt wird auf einer Tippkarte erläutert. Mit Hilfe dieser Tippkarten und der Anleitung mit dem Beispiel können sie sich dann an Übungsaufgaben versuchen. Wenn sie es in der 1. Phase nicht schaffen alleine Gleichungssysteme zu lösen, so können sie sich in der 2. Phase des Gruppenpuzzles austauschen und es gemeinsam versuchen. Dadurch kommt es innerhalb der gesamten Stunde zu einer hohen Schüleraktivität. Differenziert wird schon bei der Gruppeneinteilung. Die Schüler und Schülerinnen werden bereits in der vorherigen Stunde in eine neue Sitzordnung gesetzt. Sie sitzen immer zu dritt an Gruppentischen. Dabei wird darauf geachtet, dass diese Dreiergruppen heterogen zusammengesetzt sind. Bei der Verteilung der Puzzleteile bekommt dann der oder die Schwächste das leichteste Thema, das zeichnerische Verfahren (A/a). Der oder die Leistungsstärkste der Dreiergruppe erhält das Additionsverfahren (C/c). Das Gleichsetzungsverfahren (B/b) wird von dem oder der übrigen Schüler/in bearbeitet. Es gibt eine Vierergruppe, in der zwei Schüler oder Schülerinnen das Additionsverfahren (C/c) bearbeiten. Sollten Schüler oder Schülerinnen fehlen, so werden sie in der dritten Phase bei der Präsentation des fehlenden Lösungsverfahrens auf andere Stammgruppen aufgeteilt.

Um die unterschiedlichen Lerntempi der Schülerinnen und Schüler auszugleichen stehen ihnen sowohl nach der ersten Phase, wie auch nach der zweiten Phase ausreichend Aufgaben mit einer Kontrollstation zur Verfügung.

Diese Stunde ist sehr anspruchsvoll für die Schülerinnen und Schüler. Aber es ist wichtig, dass sie sich anhand von Anleitungen und Gebrauchsanweisungen selbst etwas beibringen können, daher hat mich diese Herausforderung gereizt.

Methodische Entscheidungen

Die methodische Großform dieser Unterrichtsstunde ist ein Gruppenpuzzle. Es ermöglicht eine hohe Schüleraktivierung und fördert die Präsentationskompetenz aller Schülerinnen und Schüler, da alle ihre Ergebnisse in der dritten Phase vorstellen und so Verantwortung tragen. Da die Ergebnisse jedoch in Gruppen besprochen werden, tragen die Schülerinnen und Schüler nicht die alleinige Verantwortung. Die Stunde findet im Dreischritt des kooperativen Lernens statt. Zunächst versuchen sie in der ersten Phase innerhalb der Stammgruppe in Einzelarbeit das Lösungsverfahren zu verstehen, bevor sie sich dann in der zweiten Phase mit der Expertengruppe darüber austauschen. In der dritten Phase stellt dann jeder eine Lösungsmöglichkeit innerhalb der Stammgruppe vor.[5] Diese kooperativen Lernformen sind gerade in den höheren Klassen sehr wichtig, da die Schülerinnen und Schüler kurz vor dem Berufsleben stehen und man sich dort auch nicht aussuchen kann mit wem man arbeitet, jedoch in der Lage sein muss zielgerichtet und effektiv zu arbeiten. Diese Lernformen sollen außerdem das Selbstvertrauen stärken, sowie einen hohen Lernerfolg und eine entspannte Lernatmosphäre hervorrufen.[6]

Der Einstieg soll die Schülerinnen und Schüler motivieren, Interesse wecken, Vorwissen reaktivieren und zum Thema hinführen. Daher werden zum Einstieg Werbeplakate für Handytarife genutzt. Dies entspringt der realen Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler und weckt so Interesse. In der Regel haben in der zehnten Klasse alle Jugendlichen ein Handy und können mit solchen Tarifen umgehen. In der vorherigen Stunde haben sie sich mit Stromtarifen auseinandergesetzt. Das Aufstellen der Funktionsgleichungen zu den Handytarifen knüpft somit direkt an ihr Vorwissen an. Außerdem führt es zum Thema hin, da man durch diese beiden Gleichungen, welche man in Verbindung zueinander setzen kann, ein lineares Gleichungssystem erhält. Diese beiden Gleichungen werden in der Lernaufgabe die Beispiele darstellen, anhand derer die Lösungsverfahren erläutert werden. Somit steht der Einstieg in direktem Zusammenhang zur Lernaufgaben und auch zur Reflexionsphase, in der die Lösungen des Gleichungssystems noch einmal thematisiert werden.

Die Lernaufgabe bildet ein Gruppenpuzzle, innerhalb dessen die drei verschiedenen Lösungsmöglichkeiten für lineare Gleichungssysteme kennengelernt und angewendet werden sollen. Die Themen sind gleich relevant und werden durch entsprechende Übungsaufgaben auch auf den gleichen Umfang gebracht. Die Schülerinnen und Schüler bekommen zunächst in der ersten Phase ein Lösungsbeispiel mit Erklärungen, anhand dessen sie das Verfahren in Einzelarbeit kennen und verstehen lernen sollen.[7] Wenn sie das Verfahren verstanden haben, können sie es mit Hilfe der Erklärungen auf andere Übungsaufgaben übertragen. Diese Phase bildet eine Grundlage für die folgenden Phasen. In der zweiten Phase sollen die Schülerinnen und Schüler sich innerhalb einer Expertengruppe über das Lösungsverfahren austauschen und es noch besser verstehen. Auf dieser Grundlage können sie gemeinsam versuchen das Lösungsverfahren bei anderen Übungsaufgaben anzuwenden, ohne steuernde Einflussnahme durch Lehrpersonen. In der dritten Phase sollen die Schülerinnen und Schüler den Mitgliedern ihrer Stammgruppen die Lösungsmöglichkeit mit eigenen Worten und fachgebundener Sprache erläutern. Hier sollen sie die Beispielaufgaben, aber auch die gerechneten Übungsaufgaben aus den vorherigen Phasen nutzen. Die Schülerinnen und Schüler lernen so durch Lehren und fördern ihre kommunikative Kompetenz. Die Präsentation in dieser Phase wird gesteuert, das heißt zunächst wird in allen Gruppen das zeichnerische Verfahren erklärt. Da nach dieser ersten Präsentation das Gruppenpuzzle unterbrochen wird und in der nächsten Stunde fortgeführt wird. Es wird vorgegeben, welches Verfahren zuerst erklärt wird, weil man so Stammgruppen, bei denen ein Experte fehlt, auf andere Stammgruppen aufteilen kann. Sollte eine Gruppe mit der Präsentation eher fertig sein, so können sie noch gemeinsam Übungsaufgaben rechnen oder besprechen.

Eine vollständige Sicherung kann in dieser Stunde noch nicht erfolgen, da das Gruppenpuzzle noch nicht abgeschlossen ist. Dies erfolgt in der nächsten Stunde mit Hilfe einer unbenoteten Überprüfung. Innerhalb eines Gruppenpuzzles dient unbewusst aber schon die dritte Phase der Sicherung, da hier alle das Gelernte vorstellen. In dieser Stunde soll zunächst nur auf die Ausgangsfrage „Wie lange muss man telefonieren, damit beide Tarife gleich viel kosten?“ eingegangen werden. Die Schülerinnen und Schüler sollen die verschiedenen Möglichkeiten zum Lösen eines Gleichungssystems nennen und die Antwort auf die Frage geben.

In der abschließenden Feedbackphase sollen die Schülerinnen und Schüler mithilfe der Daumenabfrage beurteilen, ob das Sozialziel der Stunde erreicht wurde und ob das zeichnerische Verfahren verstanden wurde, sowie angewendet werden kann. Sie schulen dadurch ihre Selbst- und Urteilskompetenz. Die Daumenabfrage hat den Vorteil, dass kein Material benötigt wird und dass sie sehr schnell durchzuführen ist. Anschließend sollen die Schülerinnen und Schüler sich noch zu inhaltlichen Schwierigkeiten äußern, damit darauf in der folgenden Stunde eingegangen werden kann. In der nächsten Stunde wird das gesamte Gruppenpuzzle dann mit Hilfe eines Selbstevaluationsbogens differenzierter reflektiert. Diese Metaebene ist wichtig für die Planung der nächsten Stunden, sowie für die Planung weiterer Gruppenarbeiten.

Die Arbeitsblätter sind gemeinsam mit den Tippkarten so aufgebaut und eingeteilt, dass jeder Lernende eine reelle Chance hat, die Lernaufgabe entsprechend seines individuellen Lernniveaus erfolgreich zu bewältigen. Probleme könnten jedoch beim Übertragen der einzelnen Schritte auf die Übungsaufgaben entstehen. Das Beispiel nachvollziehen und verstehen sollten alle Schüler und Schülerinnen schaffen, selber dazu Übungsaufgaben zu rechnen und das Verstandene zu übertragen und anzuwenden ist schwer. Da es aber Ziel der Stunde ist, nur die Lösungsverfahren kennenzulernen und vorstellen zu können, ist es zunächst nicht schlimm, wenn das Übertragen auf andere Aufgaben nicht funktioniert. Innerhalb der Expertenphase können sie es dann gemeinsam versuchen und geringfügig Hilfe und Erklärungen durch die Lehramtsanwärterin erhalten. In den folgenden Stunden wird dann das Augenmerk auf das Anwenden und das Lösen linearer Gleichungssysteme gelegt

[...]


[1] vgl. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes NRW: Kernlehrplan Mathematik für die Hauptschule, Ritterbach Verlag, Frechen 2011, S. 23 und 26.

[2] vgl. Schulinterner Lehrplan Mathematik Klasse 10B Stand 2011.

[3] vgl. Ministerium für Schule und Weiterbildung des Landes NRW: Kernlehrplan Mathematik für die Hauptschule, Ritterbach Verlag, Frechen 2011, S. 23

[4] Ebd. S. 29.

[5] vgl.: Mattes, Wolfgang: Methoden für den Unterricht- Kompakte Übersichten für Lehrende und Lernende, Schöningh Verlag Paderborn 2011 S. 80f.

[6] Brüning, Ludger und Saum, Tobias: Erfolgreich unterrichten durch Kooperatives Lernen 1- Strategien zur Schüleraktivierung, Neue deutsche Schule Verlagsgesellschaft mbH, Essen 2009, S. 116.

[7] Barzel, Bärbel / Holzäpfel, Lars / Leuders, Timo / Streit, Christiane: Mathematik unterrichten: Planen, durchführen, reflektieren. Berlin: Cornelsen 2012, S.36f.

Details

Seiten
48
Jahr
2013
ISBN (eBook)
9783656664215
ISBN (Buch)
9783656664680
Dateigröße
1.3 MB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v272829
Institution / Hochschule
Zentrum für schulpraktische Lehrerausbildung Lüdenscheid
Note
1
Schlagworte
lineare gleichungen funktionen klasse wine wiederholung berücksichtigung lernformen

Autor

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