Kointegration und Fehlerkorrektur im Kontext der Zeitreihenanalyse

INHALTSVERZEICHNIS

Abkürzungsverzeichnis

Symbolverzeichnis

1. Einleitung

2. Grundbegriffe
2.1 Stationarität
2.2 Integration
2.3 Scheinregression

3. Kointegration und Fehlerkorrektur
3.1 Das Konzept der Kointegration
3.2 Granger-Repräsentationstheorem
3.3 Das Fehlerkorrekturmodell
3.4 Test auf Kointegration

4. Weiterentwicklungen und Relevanz für Forschung und Praxis
4.1 Weiterentwicklungen des Kointegrationskonzeptes
4.2 Bedeutung von Kointegration für die Forschung

5. Fazit

Literaturverzeichnis

Anhang

ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einleitung

Zeitreihen kommt in der Forschung eine zentrale Bedeutung zu. Sie zeigen den Verlauf zeitlich geordneter Beobachtungswerte und werden analysiert, um zukünftige Ereignisse besser vorherzusagen.¹Weiterhin kann man zwei oder mehrere Zeitreihen auf Zusammenhänge untersuchen und so Progno- sen erstellen. Betrachtet man die Zeitreihen Konsum und Einkommen, so stellt man intuitiv fest, dass beide zusammenhängen. Die Veränderung der einen Variablen führt zu einer Veränderung der anderen. Mit dem Klassi- schen Modell der linearen Regression kann man eine mögliche Korrelation zwischen den Variablen untersuchen. Das erfordert aber, dass die Zeitreihen stationär sind. Da ökonomische Zeitreihen typischerweise nichtstationär sind, müssen Differenzen gebildet werden, um Stationarität zu erlangen. Anderenfalls kann es zu Scheinzusammenhängen führen. Durch die Diffe- renzenbildung kommt es zum Verlust von Informationen, daher liefert diese Methode keine zuverlässigen Aussagen. R. F. Engle und C. Granger haben ein Modell entwickelt, welches unter bestimmten Umständen ermöglicht, nichtstationäre Zeitreihen im Rahmen des klassischen Modells der linearen Regression zu verwenden, ohne dass Informationen verloren gehen. Außer- dem haben die beiden Forscher erkannt, dass sich jedes Kointegrationsmodell als Fehlerkorrekturmodell darstellen lässt und umge- kehrt. Damit gelang es der Forschung langfristige und kurzfristige Bezie- hungen zwischen Zeitreihen zu analysieren. Das Werk mit dem Titel „Co- Integration and Error Correction: Representation, Estimation, and Testing“ ist Hauptgegenstand der vorliegenden Arbeit. Zunächst werden die Grund- begriffe Stationarität, Integration und Scheinregression geklärt. Im dritten Kapitel erfolgt eine Auseinandersetzung mit den Begriffen Kointegration und Fehlerkorrektur. Dabei wird im ersten Abschnitt das Kointegrationskonzept vorgestellt. Es folgt eine kurze Betrachtung des Granger-Repräsentationstheorems. Im Anschluss wird das Fehlerkorrektur- modell ausführlich vorgestellt, außerdem werden Testverfahren über das Vorliegen von Kointegration erörtert. Kapitel 4 gibt Aufschluss über die Erweiterungen des Kointegrationskonzeptes. Desweiteren wird auch auf die Bedeutung der Kointegration und ihrer Anwendungsgebiete eingegangen.

2. Grundbegriffe

2.1 Stationarität

Der Großteil ökonomischer Daten, denen man im Zeitverlauf begegnet, ist nichtstationär, und zwar trendbehaftet.²Sie folgen einem stochastischen Trend. Das bedeutet, dass die Variabilität der Zeitreihen mit der Zeit wächst. Nichtstationarität heißt demzufolge, dass eine Variable keine klare Tendenz aufweist, zu einem konstanten Wert oder zu einem linearen Trend zurück zu kehren. Sie ist eine wichtige Eigenschaft von Zeitreihen. Um sinnvoll mit linearen Prozessen arbeiten zu können, muss eine zusätzliche Eigenschaft gefordert werden, die so genannte Stationarität.³

Es existieren zwei verschiedene Abstufungen dieses Begriffes. Von strenger Stationarität spricht man, wenn sämtliche Eigenschaften des Prozessaus- schnittes über die Zeit konstant bleiben. In der Praxis findet dieses Konzept aber wenig Anwendung. Deswegen kann im Folgenden immer von schwa- cher Stationarität ausgegangen werden. Schwach stationär ist ein stochasti- scher Prozess, wenn der Erwartungswert endlich und unabhängig von der Zeit ist. Das heißt, dass sich kein Trend abzeichnet. Außerdem sind die Au- tokovarianzen endlich. Sie hängen nur von der Zeitdifferenz und nicht von den diskreten Zeitpunkten ab. Demzufolge ist die Varianz konstant und un- abhängig von der Zeit. Beispielhaft kann man von einem stochastischen Prozess ɛt ausgehen.⁴ɛt wird als reiner Zufallsprozess bezeichnet, wenn fol- gende Eigenschaften vorliegen: Der Erwartungswert von ɛt muss Null sein, V(ɛt) = δ2muss erfüllt sein und die Zufallsvariablen des Prozesses müssen gegenseitig unkorreliert sein. Sind diese Eigenschaften gegeben, kann man von schwacher Stationarität sprechen. Der Zufallsprozess ɛt wird in diesem Zusammenhang auch als „weißes Rauschen“ bzw. „White Noise“ bezeich- net.

2.2 Integration

Wenn es erforderlich ist Differenzen zu bilden, um Stationarität zu erlangen, dann wird eine Zeitreihe als integriert bezeichnet.⁵Für die Mehrheit öko- nomischer Zeitreihen reicht eine einmalige Differenzenbildung aus, um sie stationär zu machen.⁶ Da man durch einfache Summierung der transfor- mierten Reihe die Ausgangsreihe erhält, bezeichnet man solche Prozesse als integriert der Ordnung 1 (I(1)). Das führt zu einer allgemeinen Definition des Begriffes der Integration.⁷Ein stochastischer Prozess xt heißt integriert der Ordnung d, wenn seine d-fachen Differenzen ∆dxt ein stationärer Prozess sind, xt ~ I(d) (x ist integriert der Ordnung d). Im Folgenden werden die Werte d = 0 und d = 1 betrachtet. Es existieren gravierende Unterschiede zwischen Zeitreihen integriert der Ordnung 0 I(0) und Zeitreihen integriert der Ordnung 1 I(0). Wenn eine Zeitreihe xt integriert der Ordnung 0 ist, dann ist deren Varianz endlich. Bei Zeitreihen, die integriert der Ordnung 1 I(1) sind, strebt die Varianz gegen Unendlich, wenn t gegen Unendlich strebt.

2.3 Scheinregression

In einer Arbeit von 1974 prägte Granger zusammen mit Newbold den Be- griff Scheinregression (spurious regression).⁸Dieser Ausdruck steht für den Umstand, dass zwischen integrierten Zeitreihen, die keine Abhängigkeiten aufweisen, infolge der Nichtstationarität künstlich statistisch signifikante Scheinzusammenhänge ausgewiesen werden. Ein bekanntes Beispiel hierfür ist die Zahl der Kindergeburten und die Zahl der Storchenpaare.⁹ Obwohl die beiden Merkmale miteinander korrelieren, gibt es trotzdem keinen kau- salen Zusammenhang. In einer umfangreichen Simulationsstudie haben Granger und Newbold unabhängige stochastische Prozesse aufeinander regressiert.¹⁰Dabei stellten sie fest, dass die Kleinst-Quadrate Schätzer der Steigungsparameter gegen Zufallsvariablen mit nicht degenerierten Vertei- lungen konvergieren und nicht gegen Null. Das gleiche gilt auch für das Bestimmtheitsmaß. Auf der anderen Seite verhalten sich die geschätzten Residuen wie I(1)-Prozesse. Die Durbin-Watson Statistik der Residuen kon- vergiert demzufolge gegen Null. Um solche Scheinabhängigkeiten zu um- gehen, waren schon früher Zeitreihenanalytiker der Meinung, dass es nicht erlaubt ist, mit den Originalreihen zu arbeiten. Die Originalreihen müssen so umgewandelt werden, dass sie schwach stationär sind. Zur Schätzung des dynamischen Zusammenhangs zwischen Zeitreihen werden so lange Diffe- renzen gebildet, bis die umgewandelten Zeitreihen keinen Hinweis mehr auf Nichtstationarität liefern. Im Anschluss wird zur Identifikation der Bezie- hung das Kreuzkorrelogramm dieser Reihen verwendet. Beim Bilden von Differenzen werden langfristige Bewegungen herausgefiltert. Allerdings gehen auch Informationen verloren. Außerdem bringt diese Methode noch zwei weitere Probleme mit sich. Es besteht zum Einen die Möglichkeit, dass die geschätzten Koeffizienten statistisch nicht signifikant sind, obwohl eine entsprechende Beziehung existiert. Auch wenn sie statistisch signifikant sein sollen, können sie zum Anderen durch das auftretende Fehler-in-den- Variablen Problem stark nach unten verzerrt sein. Für die Zeitreihenökono- men kamen deshalb zwei Möglichkeiten in Frage.¹¹Entweder sie gehen das Risiko ein, Scheinregression in den Variablen zu erzeugen oder aber nicht signifikante Ergebnisse aus den Differenzen zu produzieren. Dieses Dilem- ma konnte man mit Kointegration umgehen. Denn genau dann, wenn Kointegration vorliegt, kann es keine Scheinregression geben.

3. Kointegration und Fehlerkorrektur

3.1 Das Konzept der Kointegration

Kointegration liegt immer dann vor, wenn zwei oder mehr I(1)-Variablen langfristig gemeinsame Entwicklungen aufweisen.¹²Abgesehen von vorü- bergehenden Schwankungen bewegen sie sich nicht voneinander weg. Diese Situation wird auch als statistisches Gleichgewicht bezeichnet. Der Sach- verhalt kann in der Praxis als langfristige ökonomische Beziehung ausgelegt werden. Ein Beispiel dafür sind die Preise eines Gutes auf zwei verschiede- nen räumlich getrennten Märkten. Obwohl die Preise des Gutes kurzfristig voneinander abweichen, ist es jedoch zu beobachten, dass sie sich auf lang- fristige Sicht annähern.

Die Nobelpreisträger Engle und Granger definieren in ihrer Arbeit von 1987 Kointegration wie folgt: Die Komponenten eines Vektors xt sind kointegriert von der Ordnung (d, b), xt ~ CI(d, b), genau dann, wenn alle Komponenten von xt integriert von der Ordnung d sind und es (mindestens) eine Linearkombination zt dieser Variablen gibt, die integriert ist von der Ordnung d - b, wobei d ≥ b > 0 gilt, d.h. wenn (3.1) α´xt = zt ~ I(d - b) gilt. Der Vektor α wird als Kointegrationsvektor bezeichnet.

Im Folgenden wird eine einfache, statische Regressionsbeziehung zwischen zwei I(1)-Variablen dargestellt. Gegeben sind x und y, die beiden I(1)- Prozesse. Im Normalfall ist eine Linearkombination von x und y ein I(1)- Prozess, es sei denn es existiert ein Parameter a. Die Linearkombination (3.2) xt - a yt = zt ist dann I(0), d.h. sie ist stationär. Demzufolge sind x und y kointegriert. Die zugehörige Gleichgewichtsbeziehung wird durch (3.3) x = ay wiedergegeben. Der Vektor α´= (1 -a) ist der Kointegrationsvektor. Der Prozess z ist der Gleichgewichtsfehler. Er beschreibt die Abweichungen vom Gleichgewicht. Da z ein stationärer Prozess ist und dessen Varianz demzufolge endlich ist, kann der Gleichgewichtsfehler nicht beliebig groß werden. Man kann immer wieder eine Rückkehr des Systems zum Pfad be- obachten. Somit stellt die Gleichgewichtsbeziehung (3.3) x = ay einen Attraktor dar.

3.2 Granger-Repräsentationstheorem

Im Granger-Repräsentationstheorem werden wichtige Eigenschaften von Kointegrationsbeziehungen vorgestellt.¹³ Es besagt, dass für jede Kointegrationsbeziehung immer eine Fehlerkorrekturdarstellung existiert. Da es erstmals in Granger 1981 erschienen ist und in Granger 1983 nach- gewiesen wurde, wird es als Granger-Repräsentationstheorem bezeichnet. Das Theorem sagt folgendes aus: Wenn ein N*1 Vektor xt kointegriert von der Ordnung CI(1, 1) mit Kointegrationsrang r ist, besitzt das System neben der autoregressiven Darstellung (3.4) A(B)xt = d(B)ɛt, auch eine Fehlerkor- rekturdarstellung, (3.5) A*(B) (1 - B)xt = - ɣ zt-1 + d(B)ɛ t , mit (3.6) A(1) = ɣ α´. ɣ und α´ sind N*r-Matrizen vom Rang r, 0 < r < N. (3.1) zt = α´xt ist ein N*1 Vektor von I(0)-Variablen.

Entsprechend dem Rang der Matrizen ɣ und α´ enthält damit das System der N I(1)-Variablen r linear voneinander unabhängige Kointegrationsvektoren, sowie N-r voneinander unabhängige stochastische Trends.

3.3 Das Fehlerkorrekturmodell

Fehlerkorrekturmechanismen sind in der Wirtschaft weit verbreitet. Dahin- ter steckt folgende Idee.¹⁴Der Anteil des Ungleichgewichts der einen Perio- de, also der Gleichgewichtsfehler, wird in der nächsten Periode korrigiert. Beispielsweise kann die Preisänderung in der einen Periode vom Grad der Überschussnachfrage der Vorperiode abhängen. Für ein multivariates Sys- tem können wir eine allgemeine Fehlerkorrekturdarstellung in Bezug auf B, den Backshift-Operator definieren. Als Backshift-Operator wird hier der Filter B mit Bxt = xt-1 bezeichnet.¹⁵B verschiebt die Zeitreihe um eine Zeit- einheit. In diesem Fall gilt für den Differenzenfilter ∆ = 1 - B und somit ist (3.7) ∆xt = xt - xt-1 = (1 - B)xt.

Eine Zeitreihe xt hat eine Fehlerkorrekturdarstellung, wenn sie dargestellt werden kann als:

(3.8) A(B)(1 - B)xt = ɣ zt-1 + ɛt, wobei (3.9) zr = α`xr und ɣ ≠ 0 gilt.¹⁶In dieser Darstellung ist nur das Ungleichgewicht in der Vorperiode eine erklärende Variable. Um die Erklärung des Fehlerkorrekturmodells zu vertiefen kann man vom folgenden Kointegrationsmodell ausgehen:

(3.10) xt = m + n yt + zt.¹⁷

Zwischen den Niveaus besteht eine lineare Verbindung. m und n sind in diesem Fall Parameter. Statt einer Spezifikation in den Niveaus, wird eine analoge Differenzenspezifikation gewählt, die wie folgt dargestellt wird: (3.11) ∆xt = n ∆yt + ɛt, mit ɛt = ∆zt.

Wie oben erwähnt, verliert man zwar durch Differenzenbildung Informatio- nen über den Niveauzusammenhang, erhält aber eine stationäre Schätzglei-

[...]

¹Vgl. Kirchgässner/Wolters (2006), S.1.

²Vgl. Hassler (2003), S. 811.

³Vgl. Möller (2003), S. 48.

⁴Vgl. Kirchgässner/Wolters (2006), S. 13.

⁵Vgl. Hassler (2003), S. 812.

⁶Vgl. Kirchgässner/Wolters (2006), S. 179.

⁷Vgl. Engle/Granger (1987), S. 252.

⁸Vgl. Granger/Newbold (1974), S. 111.

⁹ Siehe Abbildung 1 im Anhang

¹⁰Vgl. Kirchgässner/Wolters (2006), S. 179.

¹¹Vgl. Hassler (2003), S. 813.

¹²Vgl. Engle/Granger (1987), S. 253.

¹³Vlg. Engle/Granger (1987), S. 255-256.

¹⁴Vgl. Engle/Granger (1987), S. 254.

¹⁵Vgl. Schlittgen/Streitberg (2001), S. 43.

¹⁶Vgl. Engle/Granger (1987), S. 254.

¹⁷Vgl. Jerger (1993),S. 131-134.