Volatilität als Handelsstrategie

Inhaltsverzeichnis

1. Einführung in die Problemstellung

2. Volatilität
2.1. explizite Volatilität
2.2. implizite Volatilität
2.3. Volatilitätssmile

3. Volatility Index
3.1. Berechnungsweise des VIX
3.2. Eigenschaften des VIX
3.3. VIX im Blickwinkel der Behavioral Finance
3.4. VIX im Blickwinkel der Effizienzmarkthypothese

4. Volatilität als Assetklasse

5. Handelsstrategien
5.1. Varianz und Volatility Swaps..
5.2. Corridor Variance Swaps
5.3. Optionen auf den VIX

6. Fazit

Anhang

A Volatility Index Rechner

B ETN bezogen auf 1x VIXF Daily Long Index

Literaturverzeichnis

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1-1 Volatilitätssmile Quelle: Hull (2006),s.461

Abbildung 2-1 S&P 500 in Bezug zum VIX16 Datensatz: Schlusskurse des S&P 500 und des VIX vom 02.01.1990-17.04.2013

Abbildung 3-1 Regressionsanalyse der monatlichen Renditen des VIX, zu den monatlichen Renditen des S&P 500, sowie den negativen Renditen des S&P 500 vom 02.01 17.04.2013

Abbildung 4-1 Summary des VIX 19 Datensatz: Schlusskurse des VIX vom 02.01.2013 Datensatz: Schlusskurse des S&P 500 und des VIX vom 02.01.2013

Abbildung 5-1 Hypothetical Value Function....20 Quelle: Kahnemann/Tversky (1979), S.279

Abbildung 6-1 Chart des VIX mit Quantilen21 Datensatz: Schlusskurse des VIX vom 02.01.1990-17.04.2013

Tabellenverzeichnis

Tabelle 1-1 Optionsserien zur Berechnung des VIX Angelehnt an Whaley (2000), S.14

Abkürzungsverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Symbolverzeichnis

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Einführung in die Problemstellung

Für Investoren ist es in Zeiten stark schwankender Finanzmärkte von Bedeutung, ein möglichst diversifiziertes Portfolio zu konstruieren, welches auch bei negativen Schwankungen, die Risiken eines Verlustes versucht zu minimieren.

Volatilität, abgeleitet aus dem lateinischen Wort volatilis für fliegend, flüchtig, hat besonders in finanzwirtschaftlichen Kontexten stark an Bedeutung gewonnen. Das Risiko einer Schwankung um den Mittelwert eines Investments kann durch die Volatilität gemessen werden. Sie gilt häufig auch als Risikomaßzahl einer Anlagemöglichkeit und ermöglicht eine Aussage über das vergangene und zukünftige Schwankungsverhalten eines Investments.

Bereits in den 1980er Jahren kam die Idee auf, das Risiko von Kursschwankungen sicht- und handelbar zu machen. Mit der Begründung des Volatility Index (VIX) durch die Chicago Board of Exchanges (CBOE) im Jahre 1993 und der Möglichkeit Optionen auf den VIX zu handeln, wurde ein bedeutender Schritt hin zu modernen Volatilitätsinvestments gelegt.¹

Der VIX berechnet sich durch die zukünftig erwartete explizite Volatilität von Optionen auf den S&P 500 und weist eine negative Korrelation zu diesem auf. Genau diese Gegenläufigkeit der Indizes ermöglicht es Investoren, bei einem fallenden S&P 500, von einem Anstieg des VIX zu profitieren.

Aufgrund der anfänglichen Komplexität von Volatilitätsinvestments hat es in den letzten Jahrzehnten zunehmend einfachere Möglichkeiten, besonders für Privatanleger gegeben, Volatilität zu handeln.

Ich möchte in nachfolgender Arbeit einen Leitfaden anbieten, mit dem es ermöglicht wird, aufgrund der Eigenschaften der Volatilität und insbesondere des VIX in bestimmten Marktphasen mögliche Handelsstrategien einnehmen zu können. Dabei soll der Fokus nicht auf dem Vergleich von Volatilitätsinvestments und der empirischen Auswertung.

Der Schwerpunkt soll darauf liegen ein Verständnis dafür aufzubauen, welche Faktoren an den Finanzmärkten dafür sorgen, dass wir bestimmte Verhaltensweisen der Volatilität und des VIX beobachten können.

2. Volatilität

Wenn wir im Nachfolgenden von Volatilität sprechen, müssen wir vorerst eine Differenzierung in explizite (historische) und implizite (zukünftige) Volatilität vornehmen. Dabei soll besonders die implizite Volatilität von größerer Bedeutung für die Arbeit sein.

2.1. explizite Volatilität

Die explizite oder auch historische Volatilität kann aus der Beobachtung vergangener Zeitreihen geschätzt werden. Dazu verwendet man im Allgemeinen die täglich geschätzten logarithmierten Renditen einer Aktie und die allgemeine Formel zur Varianzschätzung.²

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

für die explizite Volatilität.

Die explizite Volatilität gibt in einer ex-post Betrachtung eine Aussagemöglichkeit über die Unsicherheit der mit einer Aktie verbundenen Rendite wieder.

2.2. implizite Volatilität

Die implizite Volatilität hingegen wird aus Optionspreisen iterativ ermittelt und kann als zukünftige vom Markt erwartete realisierte Volatilität interpretiert werden. Bei einer Option sind alle Parameter für die Berechnung des Preises bekannt, bis auf die Volatilität. Diese wird von Marktteilnehmern verhandelt und findet Einfluss in den Preisen.³ Im Allgemeinen weist die Preiskurve einer Option mit festem Ausübungskurs und unterschiedlichen Aktienkursen einen konkav steigenden Verlauf auf.⁴ Aufgrund dessen sind Optionen deutlich volatiler als Aktien und weisen stärkere Preisschwankungen auf. Eine prozentuale Veränderung der zugrunde gelegten Aktie bedeutet zugleich eine größere prozentuale Veränderung der Option.⁵

Ein weiterer wichtiger Punkt ist die Tatsache, dass Optionen abhängig von der Entwicklung des Aktienkurses und dem Fälligkeitszeitpunkt der Option sind.⁶ Somit ist die Berechnung des Optionspreises in der Praxis nicht ganz einfach. Einen der bedeutendsten Ansätze hierfür lieferten Black und Scholes, welcher nachfolgend erläutert werden soll.

Als Grundlage für die Berechnung der Optionspreise gelten die Annahmen der Black- Scholes-Formel.⁷ So konnte gezeigt werden, dass sich die implizite Volatilität als Inverse der BS-Formel ermitteln lassen kann, sofern alle weiteren Parameter als konstant gegeben sind:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist O der Preis einer Option, S der aktuelle Aktienkurs, K der Strikepreis der Option, T die Laufzeit, r der risikolose am Markt beobachtbare Zinssatz und d die erwartete Rendite der Aktie.

In diesem Modell wird angenommen, dass die Varianz der Rendite des der Option unterliegenden Underlyings, konstant ist. Jedoch hat sich gezeigt, dass diese nicht konstant ist. Die BS-Formel stellt folglich eine Approximation des Optionspreises dar und im Umkehrschluss der damit verbundenen impliziten Volatilität.⁸

2.3. Volatilitätssmile

Die Black-Scholes Formel weist zwei besondere Eigenschaften auf, die sie auszeichnet. Sie ist frei von Präferenzen der Investoren, die den Wert ihrer Eventualforderungen unabhängig von eventuellen Risikopräferenzen bewerten. Infolgedessen kann eine Option dahingehend bewertet werden, als dass die Rendite der zugrunde gelegten Aktie risikolos ist. Diese Annahme kann vor dem Hintergrund getroffen werden, dass die Option durch die Aktie so geheged werden kann, dass ein risikoloses Portfolio entsteht.⁹

Auf der anderen Seite wird eine log-normalverteilte Aktienkursentwicklung mit konstanter Volatilität σ zugrunde gelegt.¹⁰ Die Entwicklung des Aktienkurses in kleinen Zeitabschnitten kann durch eine stochastische Differentialgleichung beschrieben werden, die unter anderem den Wiener Prozess zugrunde legt. Siehe hierzu auch die Arbeiten von Uhlenbeck und Ornstein, in der es anfänglich um die Bewegung von Teilchen in der Physik ging, die dann für wirtschaftswissenschaftliche Zwecke weiterentwickelt wurden.¹¹ Eine tiefergehende Behandlung würde den Rahmen dieser Arbeit überschreiten.

In der Realität treffen die oben genannten Annahmen zur Berechnung einer Option nicht zu. So weichen iterierte Preise aus der BS-Formel von denen in der Praxis ab.¹² Die Volatilität ist nicht konstant, sondern variiert im Zeitablauf, sodass eine asymmetrische Preisfunktion entsteht. Es ist zu beobachten, wie in Abbildung 1-1 verdeutlicht, dass die Volatilität steigt, je weiter sich eine Option aus oder im Geld befindet. Diese Variation der Volatilität wird auch als Volatilitätssmile beschrieben.¹³ Dies wird häufig damit begründet, dass sich Marktteilnehmer versuchen mit Optionen, die weit aus dem Geld liegen, gegen starke negative Kursschwankungen abzusichern. Aufgrund der höheren Nachfrage durch Präferenzbildung steigt der Wert der Option. Dieses verletzt genau die Grundannahme der BS-Formel bezüglich der Präferenzfreiheit.

Wissenschaftler haben das BS-Modell dahin gehend erweitert, dass sie die Werte aller Optionen berechnen können, die dem Volatilitätssmile wiedergeben.

In einfachen abitragefreien Modellen wurden sequentielle, präferenzfreie, implizite binominal Bäume entwickelt, die anhand von vorhandenen Optionen eine Interpolierung aller möglichen Preise ermöglichten. Es konnte die Problematik der Präferenzgebundenheit ausgemerzt werden, sowie die Berücksichtigung von Ausübungszeitpunkten ermöglicht werden.¹⁴ Letztere sind gerade von Bedeutung, wenn es um eine Unterscheidung zwischen amerikanischen und europäischen Optionen geht, da die Ausübungszeitpunkte bei amerikanischen Optionen an jedem Handelstag vor Fälligkeit möglich sind.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1-1 Volatilitätssmile

3.Volatility Index

Mit der Gründung des Volatility Index (VIX) im Jahr 1993 durch das Chicago Board of Exchanges (CBOE) wurden zwei wichtige Ziele verfolgt. Auf der einen Seite sollte eine Art Indikator für die zukünftig vom Markt erwartete Volatilität geschaffen werden, der ein Vergleich von vergangen und gegenwärtigen Daten ermöglicht.¹⁵

Auf der anderen Seite war die Implementierung eines Index, auf den Optionen und Futures gehandelt werden können, von wichtiger Bedeutung. Zu Beginn des Jahres 2004 konnten erstmals Futureskontrakte und ab 2006 auch Optionen auf den VIX gehandelt werden.¹⁶ Diese trugen besonders dazu bei, einfache Anlagestrategien auf die Volatilität zu verfolgen.

Unter Investoren wird der VIX häufig auch als „ Investor Fear Gauge“¹⁷ beschrieben, da die Volatilität die Angst unter Anlegern über zukünftige Kursschwankungen darstellt. Daher ergibt sich auch die Börsenweisheit „The higher the VIX, the greater the fear“.¹⁸ Es lässt sich hieraus ableiten, wie es der CBOE mit dem VIX gelungen ist, eine Emotion wie die Angst/das Risiko in einen für jeden zugänglichen Index umzuwandeln.

3.1. Berechnungsweise des VIX

Die wichtigste Eigenschaft des VIX besteht darin, die zukünftige vom Markt erwartete Volatilität über einen Zeitraum von 30 Kalendertagen zu replizieren. Die Grundlage zur Berechnung des VIX stellen aktuelle Preise von Optionen auf den S&P 500 Index dar. Vor 2003 wurde der VIX auf At-The-Money Optionen des weniger liquiden S&P 100 berechnet.¹⁹

Es gilt vorab festzuhalten, dass der VIX auf Basis von Handelstagen berechnet wird. Es kann die Problematik auftreten, dass einige der zur Berechnung verwendeten Optionen in Kalendertagen ausgedrückt werden und ebenso die damit verbundenen impliziten Volatilitäten. Allerdings kann die implizite Kalendervolatilität umgerechnet werden in eine Darstellungsweise, die der von Handelstagen entspricht.

Dieser Zusammenhang wird nachfolgend dargestellt, wobei Nc die Anzahl der Kalendertage und Nt die Anzahl an Handelstage darstellt.²⁰

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

So hat zum Beispiel eine Option mit Fälligkeit von neun Kalendertagen eine Fälligkeit von sieben Handelstagen.

Für die impliziten Volatilitäten ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen Kalender- und Handelstagen:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wie bereits oben angesprochen, werden zur Berechnung des VIX Optionen auf den S&P 500 verwendet. Genauer gesagt werden hierfür acht Near-The-Money (Nearby) und SecondNearby Optionsserien auf den S&P 500 hinzugezogen.

Es gilt nun in einem ersten Schritt eine Auswahl der Optionen zu treffen, die den VIX abbilden. Diese sind in Tabelle 1-1 abgebildet.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Tabelle 1-1 Optionsserien zur Berechnung des VIX

Dabei sind die Nearby-Contracts definiert als die Optionen mit der geringsten Laufzeit, aber einer Mindestlaufzeit von acht Kalendertagen. Optionen, deren Fälligkeit im angrenzenden Monat liegen, werden als Second-Nearby-Contracts bezeichnet.²¹

Des Weiteren werden Optionen verwendet, deren Ausübungskurs (S) direkt unterhalb des aktuellen Indexlevel (Xl) und der Ausübungspreis oberhalb des aktuellen Indexlevel (Xu) liegen. Entsprechende Optionen werden als At-The-Money Optionen (ATMO) bezeichnet. Die Preise der Optionen, die zur Berechnung der impliziten Volatilität hinzugezogen werden, sind der Mittelwert aus den bid-ask-Kursen der Optionen. Dieses geschieht vor dem Hintergrund, dass Sprünge im bid-ask-Kurs geglättet werden und folglich die implizite Volatilität exakter ist.²²

Im Anschluss daran beginnt ein Gewichtungsprozess der impliziten Volatilitäten. Es wird der Durchschnitt zwischen den impliziten Volatilitäten der Puts und Calls des jeweiligen Monats errechnet. Eine eigene Vermutung für diesen Schritt könnte in der Put-Call-Parität begründet sein, da wir es hierbei mit Optionen mit identischem Basispreis und Ausübungszeitpunkt zu tun haben.²³ Es folgen nach der Gewichtung vier verbleibende gewichtete Volatilitäten:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als zweiter Schritt erfolgt nun die Interpolierung zwischen den Nearby und Second Nearby Volatilitäten, um eine At-The-Money Volatilität für jeden Fälligkeitszeitpunkt zu generieren.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Als letzten Schritt hin zum VIX erfolgt nun eine Interpolierung zwischen den Volatilitäten des aktuellen und angrenzenden Monats, um eine 30 tägige implizite Volatilität zu erhalten.

Dieses wird dadurch begründet, dass der VIX lediglich an einem Zeitpunkt eine Laufzeit von genau 30 Tagen hat, genau dann, wenn 30 Tage zwischen den angrenzenden Optionsserien liegen.²⁴ Dabei ist ܰ௧ଵder Zeitraum bis zum Fälligkeitszeitpunkt des in diesem Monat auslaufenden Optionsscheins und ܰ௧ଶ der Zeitraum bis zur Fälligkeit der Option im drauffolgenden Monat. Es ergibt sich folgender Wert für den VIX:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Seit dem Jahr 2003 hat sich die Berechnungsweise des VIX dahin gehend verändert, das ein viel weiteres Spektrum an Out-Of-The Money Puts und Calls zur Berechnung hinzugezogen wird.²⁵ Dieses hat den Vorteil, dass auch solche Optionen berücksichtigt werden, die weit aus dem Geld sind und für Investoren oftmals in Hinblick einer Crashversicherung gehandelt werden.

3.2. Eigenschaften des VIX

Da es sich beim VIX um einen Index handelt, kann dieser im Allgemeinen drei Chartmuster in der ex-post Betrachtung aufweisen, wie es u.a. auch bei Aktien der Fall ist. Wir können einen fallenden, steigenden oder stagnierenden Verlauf feststellen. Diese sehr vereinfachte Darstellungsweise soll lediglich eine überspitzte Visualisierung darstellen, um spätere Handelsstrategien einfacher deutlich machen zu können.

[...]

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¹ Futures auf den VIX konnten bereits im Jahr 2004 gehandelt werden, Optionen hingegen erst ab 2006. Vgl. Chicago Board of Exchanges (CBOE) (2012), S.2. Derzeit bietet die CBOE weitere 18 Indizes an, die die erwartete Volatilität messen, darunter u.a. Apple. Vgl. CBOE (2012), S.4 .

² Vlg. Hull (2006), S.352.

³ Vgl. Ronn/Wadhwa (1998), S.93.

⁴ Vgl. Black/Scholes (1973), S.639.

⁵ Vgl. Black/Scholes (1973), S.639.

⁶ Vgl. Black/Scholes (1973), S.639.

⁷ Vgl. Black/Scholes (1973), S.640 Annahmen: a) kurzfristige Zinsen sind konstant b) Aktienkurs folgt einem Random-Walk mit konstanter Varianz c) Die Aktie zahlt keine Dividende d) Es handelt sich um europäischen Optionen e) Es werden keine Transaktionskosten zugrunde gelegt f) Es kann eine beliebige Anzahl an Stücken gehandelt werden g) Leeverkäufe sind möglich.

⁸ Vgl. Balck/Scholes (1973), S.652.

⁹ Vgl. Kani/Derman (1994), S.33.

¹⁰ Vgl. Kani/Derman (1994), S.33.

¹¹ Vgl. Uhlenbeck/Ornstein (1930).

¹² Vgl. Black/Scholes (1979), S.653.

¹³ Vgl. Duprie (1993), S.103.

¹⁴ Vgl. Kani/Derman (1994), S.33.

¹⁵ Vgl. Whaley (2009), S.98.

¹⁶ Vgl. CBOE (2012), S.2.

¹⁷ Whaley (2000), S.12.

¹⁸ Whaley (2000), S.12.

¹⁹ Whaley (2009), S.99.

²⁰ Whaley (2000), S.14.

²¹ Vgl. Whaley (2000), S.14.

²² CBOE (2009), S.5.

²³ Vgl. Hull (2006), S.457.

²⁴ CBOE (2009), S.9.

²⁵ Anhang A: Die neue Berechnungsweise wurde in Excel nachmodelliert und steht im Anhang zur Verfügung. Die Problematik war hierbei, eine lückenlose Datenbasis zu erhalten, was leider nicht möglich war.