Lineare Funktionen. Übungszirkel Mathematik 8. Klasse Realschule

Unterrichtsentwurf

Lerngruppe: 8a

Fach: Mathematik

Thema der Unterrichtseinheit:

Lineare Funktionen

Ziel der Unterrichtseinheit:

Siehe Zielsetzung der Stunde.

Thema der Stunde:

Übungszirkel zum Thema Lineare Funktionen (Übung für die Klassenarbeit)

Zielsetzung der Stunde:

Die Schülerinnen und Schüler üben, wiederholen, festigen und vertiefen das Thema „Lineare

Funktionen“ innerhalb eines Übungszirkels, indem die Schülerinnen und Schüler

- ...funktionale Zusammenhänge (proportional, linear) erkennen, beschreiben und diese in sprachlicher, tabellarischer und grafischer Form darstellen.
- ...unterschiedliche Darstellungen funktionaler Zusammenhänge analysieren, interpretieren und vergleichen .
- ...kennzeichnende Merkmale von Funktionen bestimmen und Zusammenhänge zwischen verschiedenen Funktionen herausstellen.
- ..lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen Funktionen.

Inhaltsbezogener Kompetenzbereich:

Funktionaler Zusammenhang: Die Schülerinnen und Schüler analysieren und formalisieren inner- und außermathematische Situationen unter funktionalem Aspekt. (vgl. KC, S. 32)

Prozessbezogener Kompetenzbereich:

Darstellen (vgl. KC, S. 22) und Modellieren (vgl. KC, S. 14).

Inhaltsbezogene Teilschritte zur Kompetenzerweiterung:

Die Schülerinnen und Schüler...

Station „Der Funktionsbegriff“

-...erläutern den Funktionsbegriff anhand grafischer Zuordnungen, Zuordnungen aus dem Alltag und in Form einer Gleichung und überlegen sich Beispiele für Zuordnungen aus ihrer Lebenswelt.

Station „Graphen zeichnen“

-...zeichnen Graphen anhand gegebener Werte (Punkte, y-Achsenabschnitt, Parallelität).
-...zeichnen den Graphen aus einer Funktionsgleichung mit Hilfe des y-Achsenabschnitts und des Steigungsdreiecks.
-...benennen Eigenschaften eines Graphen (pos./neg. Steigung, Ursprung, Parallelität) anhand einer Funktionsgleichung.
-...analysieren Fehler beim Zeichnen von Graphen aus einer Funktionsgleichung. Station „Funktionsgleichung erstellen I“
-...bestimmen die Parameter m und b einer Funktionsgleichung.
-…lesen und werten grafische Darstellungen aus und bestimmen die zugehörige Funktionsgleichung anhand des y-Achsenabschnitts und des Steigungsdreiecks. ...erfassen den Zusammenhang zwischen dem Verlauf eines Graphen und der zugehörigen Funktionsgleichung.
-...untersuchen verschiedene Graphen auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede und begründen diese anhand ihrer Eigenschaften und Merkmale (Steigung, linear/proportional). Station „Funktionsgleichung erstellen II“
-...überprüfen rechnerisch (Punktprobe), ob ein gegebener Punkt auf einem Graphen liegt, indem sie diesen in die Funktionsgleichung einsetzen und überprüfen, ob eine wahre oder falsche Aussage vorliegt.
-...errechnen die fehlende Koordinate eines Punktes durch Einsetzen in die Funktionsgleichung und lösen der Gleichung.
-...setzen sich innerhalb des Themas Funktionen mit dem Lösen von Gleichungen auseinander, um die Funktionsgleichung aus zwei gegebenen Werten (Parameter m und b oder Punkte) zu erstellen.

Station „Modellieren“

...lösen realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen und proportionalen Zuordnungen.

Prozessbezogene Teilschritte zur Kompetenzerweiterung:

Die Schülerinnen und Schüler

- ...entnehmen Informationen aus Grafiken sowie längeren Texten.
- ...ordnen Informationen aus verschiedenen Darstellungen einander zu.
- ...erstellen umfangreichere Darstellungen.
- ...unterstützen sich gegenseitig bei der Arbeit am Übungszirkel (Sozialkompetenz).

Stellung der Stunde in der Einheit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1. Lerngruppe und Rahmenbedingungen

2. Sachanalyse

Durch Funktionen werden Zusammenhänge zwischen Größen beschrieben. Dabei wird einer ersten Größe eine zweite Größe zugeordnet, so dass die zweite Größe abhängig von der ersten ist. Durch Funktionen wird erfasst, wie sich Änderungen der ersten Größe auf die abhängige Größe auswirken. Definition Funktionsbegriff: Seien A und B nicht-leere Mengen. Ordnet man jedem Element x A genau ein Element y B zu, dann heißt diese Zuordnung eine Funktion oder Abbildung von A in B. Eine Funktion f(x) mit f(x) = a1x + a0 und a1 , a0 heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion. Der Grad der Funktion wird durch den höchsten Exponenten von x (hier also 1, denn x = x¹ ) bestimmt. Der Koeffizient a1 steht für m (Steigung) und a0 steht für b (y-Achsenabschnitt). Das Schaubild/der Graph (Menge der Punkte (x | f(x)) in der x, y-Ebene) einer linearen Funktion stellt eine Gerade dar. Das Steigungsdreieck ist ein rechtwinkliges Dreieck für das gilt:

Steigung = m = Gegenkathete

Ankathete

= tab (α) Der Winkel α wird auch Steigungswinkel genannt.

Die Steigung (Parameter m) eines Graphen einer linearen Funktion f(x) = a1x + a0, der durch die Punkte

P1 ( x1 | y1) und P2 ( x2 | y2) verläuft, wird durch den Koeffizienten a1 bestimmt. Kurzform:

Steigung = m = y² y¹ =tan (α)

x2 x1

Somit kann aus zwei gegebenen Punkten einer Geraden, die Steigung m berechnet werden. Ist m > 0,

so steigt die Gerade. Ist m < 0, dann liegt eine fallende Gerade vor. Besitzen zwei Graphen die gleiche Steigung, so verlaufen sie parallel zueinander.

Die x-Werte aller Punkte, die auf der y-Achsen liegen, haben den Wert x = 0. Der Schnittpunkt mit der y- Achse (Parameter b) kann also für alle linearen Funktionen der Form f(x) = a1x + a0 direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden Py (0 | a0). Verläuft der Graph durch den Ursprung Py (0 | 0), so liegt eine proportionale Funktion vor. Die y-Werte aller Punkte, die auf der x-Achse liegen, haben den Wert y = 0. Der Schnittpunkt mit der x-Achse (Nullstelle) kann also errechnet werden, da Px (x | 0) f(x) = 0 wegen P (x | f(x)).¹

3. Didaktische Reduktion

Eine didaktische Reduktion findet dadurch statt, dass der die Funktionsgleichung nicht in der Form f(x) = a1x + a0 eingeführt wurde, sondern in der vereinfachten Darstellung y = mx +b. Außerdem wurde der Schnittpunkt eines Graphen mit der x-Achse nicht als Nullstelle bezeichnet.

4. Didaktischer Begründungszusammenhang

Funktionale Zusammenh ä nge bilden einen Schwerpunkt in den Lehrplänen des Faches Mathematik, da der Begriff wesentlicher Bestandteil nahezu aller mathematischen Bereiche ist. Im Kerncurriculum des Faches Mathematik lässt sich das Thema Lineare Funktionen in den Kompetenzbereich Funktionaler Zusammenhang einordnen: Die Kompetenz, inner- und außermathematische Situationen unter funktionalem Aspekt zu analysieren und formalisieren, ist hier verankert.²

Auch in der Lebenswelt der SuS lassen sich funktionale Zusammenhänge aufweisen: Seit der ersten Klassen gehört zu jedem Unterrichtsfach ein bestimmter Lehrer. Einer bestimmten Tageszeit wird genau eine Temperaturwert zugeordnet. Der zukünftige Alltag der SuS wird durch funktionale Zusammenhänge gesteuert: Ob das nun die Höhe der Stromrechnung in Abhängigkeit vom Stromverbrauch ist oder die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs. Die Schülerinnen und Schüler sollen lernen das Graphen ein sinnvolles Instrument der Naturwissenschaften sind. Graphen beschreiben Zusammenhänge (Vergleich von Telefonanbietern)³ und können vorhersagenden Charakter haben (Aktien). Abhängigkeiten, Zuordnungen oder Zusammenhänge könne uns nutzen zweckmäßiger und effizienter zu handeln. Zudem sind sie eine übersichtliche Darstellungsform in der Mathematik. In ihrem späteren Leben werden sie des Öfteren mit Schaubildern konfrontiert. Nicht nur in den höheren Klassenstufen, sondern auch in den Medien (Zeitungen) spielen Schaubilder eine wichtige Rolle. Sie zeigen Zusammenhänge verschiedener Faktoren an und wie diese den Verlauf beeinflussen. Der Schüler lernt den Graph zu „lesen“, d. h. er beobachtet den Verlauf und kann somit Zusammenhänge erklären und nachvollziehen.⁴ Der Lernstoff lineare Funktionen ist innermathematisch relevant, da es eine Grundlage für verwandte Themen in höheren Klassenstufen bildet. Neben der Betrachtung von linearen Funktionen werden weitere Funktionstypen (Phase 4) eingeführt (quadratische Funktionen). Funktionen und Relationen (Phase 5) werden durch das Wurzelziehen (Umkehrfunktion des Quadrierens) behandelt. Anschließend wird mit Funktionen operiert (Phase 6), indem verschiedene Funktionen miteinander verknüpft werden. Eine Erweiterung (Phase 7) findet durch die Themen Potenz- und Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion und trigonometrische Funktion statt.⁵ Auch in den Fächern Physik und Erdkunde werden Abhängigkeiten mit Hilfe von Funktionen dargestellt.⁶

5. Aufgabenanalyse

In dem Übungszirkel zum Thema „Lineare Funktionen“ geht es: um das Erkennen und Beschreiben von funktionalen Zusammenhängen (insbesondere proportional und linear), um das Darstellen dieser in sprachlicher, tabellarischer und grafischer Form, um das Analysieren, Interpretieren, Vergleichen von unterschiedlichen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge, um das Bestimmen kennzeichnender Merkmal von Funktionen und das Herausstellen von Zusammenhängen zwischen verschiedenen Funktionen. Da es im Übungszirkel vor allem darum geht Begriffe, Regeln und Verfahren zu üben und zu festigen, gibt es sowohl geschlossene wie offen Aufgabenformate. Der Schwierigkeitsgrad nimmt somit innerhalb einer Station von Aufgabe zu Aufgabe zu, aber auch innerhalb der einzelnen Aufgaben (Veränderung der Zahlbereiche, Vorzeichen).

In der Station „Der Funktionsbegriff“ wird vor allem die verbale Darstellungsform geschult. Die SuS sollen anhand verschiedener grafischer Zuordnungen, Zuordnungen aus dem Alltag oder in Form einer Gleichung den Funktionsbegriff erläutern. Dabei unterscheiden sie zwischen Funktion und keine Funktion und teilweise zwischen proportional und linear (Aufgabe72). Es sind vor allem Begründungsaufgaben und eine Umkehraufgabe (A4). Diese Station ist „wichtig, um einer Untergeneralisierung bei der Begriffsbildung durch die Verwendung nichtlinearer Graphen vorzubeugen.“⁸

Die grafische Darstellung durch einen Funktionsgraph wird in Station „Graphen zeichnen“ behandelt. Zunächst wird das einfache Einzeichnen wiederholt (A1). Der Übergang von der Funktionsgleichung zum Graphen mit Hilfe des Steigungsdreiecks (A2,A4) fördert das Visualisieren. Zudem setzen sie sich intensiver mit der Funktionsgleichung auseinander und stellen Vermutungen über deren grafischen Verlauf an, d.h. sie beschäftigen sich mit den Eigenschaften von Graphen (positive bzw. negative Steigung, proportional oder linear, Parallelität) (A3). Außer geschlossenen Aufgaben zur Übung von Fertigkeiten (A1,A2), bietet diese Station eine Begründungsaufgabe (A3) sowie eine Aufgabe zur Förderung des Analysierens von Fehlern (A4).

In der Station „Funktionsgleichung erstellen I“ geht es um die symbolische Darstellungsform der Funktionsgleichung. Die SuS lesen und werten grafische Darstellungen aus (A2-4). Zur Einführung sollen die Parameter m und b aus einer Funktionsgleichung abgelesen werden (A1). Diese Aufgabe dient vor allen den SuS, die die Station „Graphen zeichnen“ noch nicht bearbeitet haben. Neben den beiden geschlossenen Aufgaben (A1,A2) gibt es eine Begründungsaufgabe (A4), in der die SuS sich wie in Station „Graphen zeichnen“ (A3) mit den Eigenschaften und Zusammenhängen von Graphen beschäftigen. Diesmal lesen sie dies jedoch aus dem Graphen und nicht der Funktionsgleichung ab.

Die symbolische Darstellungsform findet sich auch in der Station „Funktionsgleichung erstellen II“, wobei hier nicht das Ablesen einer Funktionsgleichung aus einem Graphen, sondern das Erstellen über rechnerische Verfahren, behandelt wird. Somit setzen sich die SuS innerhalb des Themas Funktionen mit dem Lösen von Gleichungen auseinander.

In der Station „Modellieren“ lösen die SuS realitätsnahe Probleme im Zusammenhang mit linearen und proportionalen Zuordnungen. Ausgangspunkt ist eine Alltagssituation, in der ein sehr einfaches mathematisches Modell zur Lösung genügt.

In der Zusatzaufgabe sollen die SuS das „Fuktions-Domino“ spielen. Dies kann sowohl in Einzel-, Partner- wie auch Gruppenarbeit gespielt werden und bietet damit die Möglichkeit zur Förderung der Sozial- und Kommunikationskompetenz.

Differenzierung

Als Differenzierung dienen die Wahlaufgaben sowie die Sternchenaufgabe beim Modellieren. Die SuS können selbst entscheiden, welche und wie viele zusätzeliche Wahlaufgaben sie bearbeiten. Außerdem findet ein Differenzierung durch die Tippkarten statt.

6. Lernausgangslage

Die SuS haben bereits vielfältige Erfahrungen mit funktionalen Zusammenhängen gemacht. Schon in der Grundschule beginnt das Denken in Funktionen, wenn die SuS Muster in Zahlenreihen erkennen und diese fortsetzen. Auch in den Klassen 5-7 wurde die Vermittlung von Grunderfahrungen (Phase 1) im Umgang mit Zuordnungen und Abhängigkeiten zwischen Größen vermittelt. Also die intuitive Verwendung von Zuordnungen und funktionalen Zusammenhängen, die in Schaubildern/Graphen, Wertetabellen und Zuordnungsvorschriften dargestellt werden bzw. aus ihnen herausgelesen wird. Rechenschemata in Form von Termen werden entwickelt. Im 7. Schuljahr werden die erlangten Grundkenntnisse bei den proportionalen und umgekehrt proportionalen Zuordnungen zusammengefasst und vertieft. Ausgegangen wird dabei von verschiedenen Darstellungsformen dieser Abhängigkeiten, die aus dem alltäglichen Leben bekannt sind. Auch die Entdeckung von Funktionseigenschaften (Phase 2) findet in Klasse 7 statt, wie Proportionalität und Antiproportionalität. Beide Eigenschaften werden im Rahmen von Zuordnungen betrachtet, also bevor Funktionen explizit eingeführt werden.

In Klasse 8 geht es vor allem um das Aufdecken von Zusammenh ä ngen (Phase 3). Durch die Einführung des Funktionsbegriffs wird das Gemeinsame und Wesentliche der vielen unterschiedlichen Beispiele funktionaler Zusammenhänge der vorherigen Klassenstufen hervorgehoben und vernetzt. Die auch schon in Klasse 7 behandelte und zu diesem Zeitpunkt noch als Zuordnung bezeichnete proportionale Funktion wird unter diesem Gesichtspunkt erneut behandelt und systematisiert. Wichtige Eigenschaften der linearen Funktionen werden erarbeitet und gegen die proportionalen Zuordnungen abgegrenzt.⁹ Neben der grafischen Veranschaulichung und der Wertetabelle bekommt die Funktionsgleichung ein größeres Gewicht als Darstellung von Funktionen. Insbesondere das Erkennen von Funktionseigenschaften anhand von Graph und Funktionsterm ist von Bedeutung. Aus diesem Grund werden die Wertetabellen im Übungszirkel nicht behandelt. Weiterhin erforderlich für das Arbeiten im Übungszirkel sind Kenntnisse über Gleichungen lösen sowie der Umgang mit rationalen Zahlen.

Einige wenige Aufgaben verlangen das Rechnen mit irrationalen Zahlen. Da die Lerngruppe eher leistungsschwach ist, soll die Umwandlung innerhalb der Zahlenbereiche nicht im Vordergrund stehen.¹⁰ Das Arbeiten in einem Übungszirkel ist den SuS bekannt, da dieser vor jeder Klassenarbeit als Übung und Festigung der Lerninhalte dient. Neu innerhalb dieser Methode sind die Reflexion und Bewertung der einzelnen Stationen sowie die Tippkarten. Da diese jedoch nur zur Verbesserung und Erleichterung der Methode führt, sollte dies kein Problem für die SuS darstellen. Das Anfangsritual „Aufgabenkartei“ wurde erst in dieser Woche eingeführt und könnte daher Fragen aufwerfen.

7. Methodischer Begründungszusammenhang

Durch das Anfangsritual „Aufgabenkartei“¹¹ wiederholen die SuS verschiedene mathematische Themenbereiche aus den vorangegangenen Schuljahren. Ein motivierender Einstieg, der die SuS geistig auf den Mathematikunterricht vorbereitet.

Im Einstieg erläutert die Lehrkraft noch einmal die wichtigsten Regeln und Punkte für die Arbeit am Übungszirkel anhand eines Plakates. Da der Übungszirkel in der letzten Stunde eingeführt wurde, sind hier keine weiteren Erklärungen nötig. Alternativ hätten die SuS die wichtigsten Punkte wiederholen können. Da jedoch die Schüleraktivierung in den folgenden Phasen gegeben ist und es mehr Zeit beanspruchen würde, wird hier darauf verzichtet.

Um die Lerninhalte der letzten Stunden zu festigen, muss das Gelernte eingeübt werden, dabei sollte es in verschiedenen Kontexten wiederholt und mit anderen Aspekten vernetzt werden.¹² Dies passiert in der Erarbeitung s phase. Hier arbeiten die SuS an dem Übungszirkel, geeignet zur Übung, Festigung, Wiederholung und Vertiefung von Lerninhalten, weiter. Eine Methode der Stationenzirkels, welche den „Anspruch hat, die Auseinandersetzung mit einem Thema durch verschiedene Materialien und Aufgabenstellungen vielfältig anzuregen und möglichst viele Sinne oder Aspekte anzusprechen.“¹³ Das Thema Funktionen eignet sich besonders für die Methode des Übungszirkels, da hier verschiedene Darstellungsformen, Grundvorstellungen und Anwendungen zur Sprache kommen.¹⁴ „Lernende können bei der Auseinandersetzung mit diesen vielen Facetten eines Themas individuelle Lernwege beschreiten und eigene Schwerpunkte setzen. Stationenzirkel fördern und fordern daher die Fähigkeit, den eigenen Lernprozess zu organisieren.“¹⁵

Um dieses zu fördern sowie individuelle Leistungsdefizite und -stände für SuS und Lehrer überprüfbar zu machen, findet der Übungszirkel vorwiegend in Einzelarbeit statt. Ausschließlich die Zusatzaufgabe verlangt Partnerarbeit. Die Förderung der sozialen Kompetenz findet innerhalb des Übungszirkels statt, sobald die SuS sich gegenseitig helfen und unterstützen. Alternative zu den vorbereiteten Arbeitsblättern, hätte man Aufgaben aus dem Schulbuch wählen können. Um die verschiedenen Facetten und Aufgabenstellungen eines Übungszirkels zu sichern, wurden aus verschiedenen Mathematikschulbüchern Aufgaben zusammengestellt und auf die Lerngruppe angepasst. Durch auf dem Tisch befindliche Lösungsblätter, wird die Selbstkontrolle der SuS gefördert. Jeder SuS erhält einen Laufzettel zur Übersicht und Organisation des Übungszirkels sowie zur Einschätzung des eigenen Leistungsstands. Auf dem Tisch befindliche Bewertungen für die einzelnen Aufgaben, machen es der Lehrkraft möglich, nicht verstandene Lerninhalte in der nächsten Stunde noch einmal aufzugreifen. Die Sicherungsphase findet in Form eines Unterrichtsgespr ä ches statt. Dadurch hat der Lehrer die Möglichkeit ins Unterrichtsgeschehen einzugreifen, um wichtige Zusammenhänge zu verdeutlichen, die Bedeutung von Einzelergebnissen hervorzuheben, auf relevante mathematische Begriffe aufmerksam zu machen sowie weiterführende Anregungen zu geben.¹⁶

Barzel, B.; Büchter, A.; Leuders, T.: Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe I und II. Cornelson. Berlin 2007. S. 198 f.

Blum, Werner et al.: Bildungsstandards Mathematik: konkret. Sekundarstufe I: Aufgabenbeispiele, Unterrichtsanregungen, Fortbildungsideen. Cornelson. Berlin 2006.

Dedlmar, Rainer et al. Schnittpunkt Mathematik 8. Mathematik für Realschulen Niedersachsen. Serviceband. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2007

Niedersächsisches Kultusministerium (NK): Kerncurriculum für die Realschule. Schuljahrgänge 5-10 Mathematik.

Vollrath, H.-J., Algebra in der Sekundarstufe. Wissenschaftsverlag. Mannheim 1994. http://www.math.uni-augsburg.de/prof/dida/Lehre/Algebra/Funktionen/

Schulbücher

Borneleit, P; Winter, M.: Interaktiv Mathematik 8. Orientierungswissen für Schülerinnen und Schüler. Realschule. Cornelson. Berlin 2009.

Maroska, Rainer et al. Schnittpunkt 8. Mathematik für Realschulen Niedersachsen. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2007.

Kahle, Dr. D.; Lörcher, Dr. G.: Querschnitt. Mathematik 8 Niedersachsen. Westermann, Braunschweig 2004.

Schröder, M.; Wurl, B.; Wynands, A.: Faktor 8. Mathematik Realschule Niedersachsen. Schroedel, Hannover 2001.

[...]

¹ vgl. http://www.math.uni-augsburg.de/prof/dida/Lehre/Algebra/Funktionen/

² vgl. KC, S. 32

³ siehe Station Modellieren.

⁴ siehe Station Graphen zeichnen und Funktionsgleichung erstellen I.

⁵ vgl. Vollrath 1994. Fortführung siehe Lernausgangslage.

⁶ siehe Sachanalyse.

⁷ im Folgenden mit A abgekürzt.

⁸ Dedlmar. Serviceband. K 27.

⁹ vgl. Dedlmar. Serviceband. K 27.

¹⁰ siehe Lerngruppenbeschreibung.

¹¹ vgl. Barzel, Büchter, Leuders. 2007. S. 198f.

¹² vgl. Blum. 2006. S. 92.

¹³ vgl. Barzel, Büchter, Leuders. 2007. S. 207.

¹⁴ vgl. vgl. Barzel, Büchter, Leuders. 2007. S. 202-203.

¹⁵ ebd. S. 198.

¹⁶ vgl. Blum S. 91.