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Die verschiedenen Arten der mathematischen Beweisführung

Einführung mit Beispielen

Referat (Ausarbeitung) 2012 14 Seiten

Mathematik - Mathematik als Schulfach

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis:

1. Euklid von Alexandria
1.1 Leben von Euklid
1.2Werke und Eponyme Euklids

2. Strenge Beweisführung
2.1 Definition
2.2 Geschichte

3. Direkter Beweis
3.1 Definition
3.2 Beispiele
3.2.1 Beweis der Potenzgesetzte
3.2.2 Satz des Pytagoras (geometrischer Beweis)

4. Widerspruchsbeweis
4.1 Definition und Vorgehensweise
4.2 Beispiel
4.2.1 Irrationalität der Quadratwurzel von 2

5. Vollständige Induktion
5.1 Definition io
5.2 Vorgehensweise io
5.3 Beispiele

6. Quellenverzeichnis

7. Glossar

l.Euklid von Alexandria

1.1 Leben von Euklid

Euklid von Alexandria war ein griechischer Mathematiker, der (vermutlich) 365 vor Christus geboren ist. Der Geburtsort Euklids ist nicht genau bekannt, jedoch behaupten Historiker, dass er in Athen geboren sei.[1] „Über Euklids Leben weiß man fast nichts außer, dass er in Alexandria unter der Herrschaft Ptolemais I. gelehrt und geforscht hat.“[2] Doch was macht diesen Mann zum bekanntesten Mathematiker der Antike? Portrait von Euklid5

Um diese Frage zu beantworten sollte man wissen, dass es zu Euklids Lebzeiten kein Buch gab, dass das gesamte mathematische Wissen(bis zu der Zeit) zusammenfasste. Euklid jedoch hat in seinem 13- bändigem Buch „Elemente“ das gesamte mathematische wissen formuliert und erklärt, womit er berühmt wurde. „In dieser aus 13 Bänden bestehenden Abhandlung fasste Euklid die arithmetischen und geometrischen Kenntnisse seiner Zeit zusammen und systematisierte sie. Der musterhafte Aufbau des Werkes und die strenge Herleitung von Aussagen aus einer begrenzten Anzahl von Definitionen, Postulaten und Axiomen waren wegweisend und machten das Buch über 2000 Jahre zum wichtigsten Lehrbuch der Mathematik.

Nach der Bibel war es bis ins 19. Jahrhundert das meistverbreitete Werk der Weltliteratur.“[3] [4] (mehr zum Inhalt des Buches bei 1.2) „Über sein Leben istjedoch sehr wenig bekannt. Es ist sogar ungewiss, ob Euklid

- eine historische Person ist und „Die Elemente “ und die anderen ihm zugeschriebenen Werke selbst verfasst hat, oder
- der Führer einer Gruppe von Mathematikern gewesen ist, die ihre Ergebnisse unter seinem Namen, sogar noch nach seinem Tod, veröffentlicht haben, oder
- nie gelebt hat und die ihm zugeschriebenen Werke von einer Gruppe von Mathematikern verfasst wurden, die sie unter dem Namen von Euklid von Megara veröffentlichten, der 100 Jahre früher gelebt hatte.

Über 2000 Jahre hat niemand an der ersten Möglichkeit gezweifelt, und wahrscheinlich ist sie auch zutreffend. Euklid muss in Athen an Platos Akademie studiert haben und dort die Geometrie von „Eudoxus“ und „Theaetetus“ kennen gelernt haben, die er so meisterhaft beherrschte. Die Werke Euklids sind sämtlich ohne Vorwort, und keines ist im Original erhalten, so dass man auch auf diesem Weg wenig über Euklid erfahren kann.“4 Um 300 vor Christus verstarb er vermutlich in Alexandria, Ägypten.

1.2 Werke und Eponyme

Wie schon inl.l gesagt veröffentliche Euklid sein 13 bündiges Buch „Elemente“ (ca. 320 v.Chr), dass zum berühmtesten Mathematikbuch aller Zeiten wurde. „In seinem Buch leitet er die Eigenschaften von geometrischen Objekten und ganzen Zahlen aus einer Menge von Axiomen ( Elementaraussagen ) her und er trägt das mathematische Wissen seiner Zeit zusammen. Damit nahm er die axiomatische Methode der modernen Mathematik vorweg. Viele der Resultate die Euklid in den Elementen präsentiert stammen von früheren Mathematikern - eine seiner Leistungen besteht aber eben auch darin dass er sie sammelte und in einer einheitlichen Form darstellte.“[5]

Zu den Büchern:

„Die Elemente bestehen aus 13 Büchern. Die ersten sechs behandeln die ebene Geometrie:

- Buch 1 und 2 enthalten die grundlegenden Eigenschaften von Dreiecken, Parallelen, Parallelogrammen, Rechtecken und Quadraten
- Buch 3 behandelt die Eigenschaften des Kreises
- Buch 4 untersucht einige Probleme im Zusammenhang mit Kreisen und hat insbesondere die Nachfolger von Pythagoras zu weiteren Überlegungen angeregt
- Buch 5 stellt das Werk von Eudoxus über Verhältnisse dar und wendet es auf rationale und irrationale Größen an
- Buch 6 enthält Überlegungen über Anwendungen der Ergebnisse von Buch 5 auf die ebene Geometrie

Buch 7 bis 9 handeln von der Zahlentheorie:

- Buch 7 gibt eine Einführung in die Zahlentheorie und enthält den Euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT(größter gemeinsamer Teiler) zweier Zahlen
- Buch 8 untersucht geometrische Folgen
- Buch 10 enthält die Theorie der irrationalen Zahlen, die hauptsächlich von Theaetetus entwickelt worden waren. Euklid änderte allerdings einige Beweise, damit sie der von Eudoxus neu eingeführten Definition der Proportionen entsprachen.

Buch 11 bis 13 behandeln die dreidimensionale Geometrie, wobei die grundlegenden und in allen drei Büchern benutzten Definitionen erst im letzten Buch aufgeführt werden:

- Buch 12 enthält als wichtigste Ergebnisse, dass sich die Flächen zweier Kreise zueinander verhalten wie die Quadrate ihrer Radien, und dass sich die Volumina zweier Kugeln zueinander verhalten wie die Kuben ihrer Radien
- Buch 13 untersucht aufbauend auf früheren Ergebnissen von Theaetetus die regelmäßigen Körper und beweist, dass es davon genau 5 gibt (Tetraeder, Hexaeder = Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder).“6

Doch wichtig für die moderne Beweisführung war die „Erfindung“ Axiomatisierung. „Darunter versteht man die Erzeugung und Konstruktion von wahren Sätzen (Ableitungen, Theoremen) aus allgemeinen Prinzipien (Definitionen, Postulaten, Axiomen), die als Ganzes ein vollständiges und widerspruchsfreies System ergeben.“672

Eponyme:

„Nach Euklid sind folgende mathematische Strukturen benannt:

- Euklidischer Abstand, die Länge der direkten Verbindung zweier Punkte in der Ebene oder im Raum
- Euklidischer Algorithmus, ein Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen
- Euklidische Geometrie, die anschauliche Geometrie der Ebene oder des Raums
- Euklidischer Körper, ein geordneter Körper, in dem jedes nichtnegative Element eine Quadratwurzel besitzt
- Euklidische Norm, die Länge eines Vektors in der Ebene oder im Raum
- Euklidischer Raum, der Anschauungsraum, ein reeller affiner Raum mit dem Standardskalarprodukt
- Euklidische Relation, eine Relation, für die gilt: stehen zwei Elemente jeweils zu einem dritten in Relation, dann stehen sie auch zueinander in Relation
- Euklidischer Ring, ein Ring, in dem eine Division mit Rest möglich ist
- Euklidische Werkzeuge, die erlaubten Handlungen bei der Konstruktion mit Zirkel und Lineal

Zudem sind nach Euklid folgende mathematische Sätze und Beweise benannt:

- Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2, der erste Widerspruchsbeweis in der Geschichte der Mathematik
- Höhensatz des Euklid: in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus den Hypotenusenabschnitten
- Lemma von Euklid: teilt eine Primzahl ein Produkt zweier Zahlen, dann auch mindestens einen der beiden Faktoren
- Satz von Euklid: es gibt unendlich viele Primzahlen“7

2.Strenge Beweisführung

2.1 Was ist Strenge und Beweisen?

Die Strenge in der Mathematik steckt darin, dass eine logische Vorgehensweise verlangt wird. Darunter versteht man zu einem eine axiomatische Vorgehensweise, wobei durch logische Schlussfolgerungen ein Satz einer Theorie abgeleitet wird und somit daraus weitere Sätze gebildet werden.[6] Andererseits werden Beweise gefordert. Diese Beweise werden in der Mathematik als fehlerfreie Herleitung der Richtigkeit bzw. der Unrichtigkeit einer Aussage aus einer Menge von Axiomen( Grundsetzte einer Theorie), die als wahr angenommen werden, anerkannt. Man sagt auch axiomatischer Beweis dazu.[7] Um diese zu beweisen gibt es verschiedene Methoden, dazu später...

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In der Grafik sieht man, den schematischen Aufbau eines Beweises. Die Prämissen, also die Annahmen, werden durch logische Schlussfolgerungen bewiesen. Wie man sieht kann man durch verschiedene Wege eine Annahme beweisen. Zum Schluss hat man entweder die Aussage bewiesen oder widerlegt.

Kurz zur Geschichte: Erste Versuche mathematischer Strenge durch Axiomatisierung und systematische mathematische Deduktion wurden von Euklid erstellt, diese wurde über die Jahrhunderte perfektioniert.[8]

[...]


[1] vgl. http://de.bettermarks.com/mathe-glossar/euklid-von-alexandria.html

[2] http://de.bettermarks.com/mathe-glossar/euklid-von-alexandria.html Absatz Leben

[3] http://de.bettermarks.com/mathe-glossar/euklid-von-alexandria.html Absatz Leben

[4] http://www.f07.fh-koeln.de/imperia/md/content/personen/bold_christoph/euklid.pdf

[5] http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Euklid.html

[6] vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Axiomatisierung

[7] vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Beweis_%28Mathematik%29

[8] vgl. http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematische_Strenge

Details

Seiten
14
Jahr
2012
ISBN (eBook)
9783656570042
ISBN (Buch)
9783656570011
Dateigröße
678 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v266567
Note
1,25
Schlagworte
Mathe Beweisführung Mathematische Beweisführung GFS Referat Mathe GFS Einführung Beweisführung

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Titel: Die verschiedenen Arten der mathematischen Beweisführung