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Der große Satz von Fermat-Beweis. Die Lösung eines 300 Jahre alten Problems

Hausarbeit 2013 11 Seiten

Mathematik - Geometrie

Leseprobe

Inhaltsverzeichnis

1. Einleitung

2. Was geschah zwischen 1673 und 1980?

3. Die drei Welten
3.1 Die Anti- Fermat- Welt
3.2 Die elliptische Welt
3.3 Die modulare Welt

4. Die Brücken zwischen den drei Welten
4.1 Die Brücke zwischen der Anti- Fermat- Welt und der elliptischen Welt
4.2 Die Brücke zwischen der elliptischen und modularen Welt

5. Beweis: Die Anti- Fermat- Welt existiert nicht

6. Quellen

1. Einleitung

Nachdem ich bereits den „großen Satz von Fermat“ vorgestellt habe, stellt sich mir die Frage, was in dem Zeitraum zwischen der Aufstellung und des Beweises geschah. Des Weiteren möchte ich den Beweis dieser über 300 Jahre alten Vermutung vorstellen.

2. Was geschah zwischen 1637 und 1995?

Anfangs konnte man Fermats Beobachtungen lediglich einen Beweis für n=4 entnehmen. Dafür verwendete Fermat mit Erfolg seine „Methode des unendlichen Abstiegs“:

Es wird ausgegangen von einem hypothetischen Tripel (a,b,c) positiver, natürlicher Zahlen mit der Eigenschaft

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dann konstruierte er ein weiteres Tripel (a1,b1,c1) positiver, natürlicher Zahlen mit folgenden Eigenschaften

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Somit konnte Fermat unendliche viele Tripel positiver, natürlicher Zahlen konstruieren, welche zum einen der Gleichung (1) genügen und zum anderen immer kleiner werden. Hierbei ergab sich jedoch ein Widerspruch durch die Ganzzahligkeit und der Positivität der konstruierten Zahlentripel.

Nachdem Fermat verstorben war, erkannte sein Sohn Samuel die Bedeutung seiner Aufzeichnungen und editierte um 1670 erneut Diophants Arithmetica ergänzt durch Fermats Beobachtungen.

Viele der von Fermat skizzierten Beobachtungen wurden in den darauffolgenden Jahren vervollständigt und bewiesen.

Der Mathematiker Leonhard Euler konnte einige der Vermutungen belegen und versuchte sich auch an dem großen Satz von Fermat.

(1) Martin Aigner: „Alles Mathematik“, 2. Auflage 2002, Seite 203

(2) Martin Aigner: „Alles Mathematik“, 2. Auflage 2002, Seite 203

Hierbei gelang ihm jedoch nur der Beweis für den Fall, dass der Exponent n=3 beträgt.

1825 gelang Adrien- Marie Legendere zeitgleich und unabhängig von Peter Gustav Lejeune Dirichlet der Beweis für den Exponenten n=5. Einige Jahre später konnte Gabriel Làme 1839 den Beweis für den Exponent n=7stellen.

Einen großen Schritt bei der Lösung des Problems konnte der Zahlentheoretiker Ernst Eduard Kummer vorweisen. Er knackte die Vermutung für den Exponenten n=l, wobei l eine Primzahl kleiner 100 ist. Hierbei schloss er die Primzahlen 37,59 und 67 aus. Danach konnte erst im Jahr 1976 wieder ein Fortschritt bei der Lösung der Beobachtung gemacht werden. S. Wagstaff veröffentlichte, dass Fermats Vermutung für Primzahlexponenten, die kleiner als 125.000 sind, richtig ist.

Im Folgenden möchte ich, mit Hilfe der Konstruktion der „drei Welten“, den Beweis der Richtigkeit des großen Satzes von Fermat vorstellen.

3. Die drei Welten

Mit Hilfe der drei Welten werden drei Bereiche der Zahlentheorie vorgestellt, die alle voneinander unabhängig zu sein scheinen.

In diesem Abschnitt stelle ich den Zusammenhang zwischen diesen Welten vor und wie die entsprechenden „Brücken“ schlussendlich zu dem Beweis der Fermat-Vermutung führen.

Die Erkenntnis die Entwicklung der Zahlentheorie mit der Fermat Beobachtung in Verbindung zu bringen, wurde in den 80-iger Jahren durch den Mathematiker Gerhard Frey gemacht.

3.1 Die Anti- Fermat- Welt

In der Anti- Fermat- Welt existieren Primzahlen l>5 und zusätzlich ein Tripel positiver, natürlicher Zahlen (a,b,c) welche der Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

genügen.

(4)Martin Aigner: „Alles Mathematik“, 2. Auflage 2002, Seite 205

Es wird hierbei angenommen, dass die Zahlen a,b,c paarweise teilerfremd sind à daraus folgt, dass genau eine dieser Zahlen gerade sein muss.

Die Mathematiker sind bestrebt zu zeigen, dass die Anti- Fermat- Welt unter den o.g. Bedingungen nicht existieren kann. In diesem Fall wird es keine natürlichen, positiven Zahlen a,b und c geben, welche die Gleichung (3) mit einem Primzahlexponenten l>5 erfüllen.

3.2 Die elliptische Welt

In der elliptischen Welt existieren sogenannte „elliptische Kurven“.

„Eine (über den rationalen Zahlen definierte) elliptische Kurve E ist eine in der X, Y-Ebene liegende Kurve, welche durch die kubische Gleichung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

mit den ganzheitlichen Koeffizienten α,β, γ festgelegt ist. Voraussetzung hierbei ist, dass die drei Nullstellen des kubischen Polynoms rechter Hand paarweise voneinander verschieden sind.“ (5)

Es hat sich allerdings als zweckmäßig erwiesen, die Kurven nicht nur in der affinen X,Y-Ebene zu betrachten, sondern diese in der umfassenderen projektiven Ebene zu untersuchen. Das bedeutet, dass man sich die beiden nach strebenden Zweige der elliptischen Kurve (Abbildung 1) durch einen, im Unendlichen liegenden, Punkt zusammengefügt vorstellen muss. Des Weiteren müssen stetige Verformungen der projektiv betrachteten elliptischen Kurve E zugelassen werden. Man erhält dann das aus zwei Kreisen bestehende Bild (Abbildung 2).

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Das reelle Bild der elliptischen Kurve (6)

(5) Martin Aigner: „Alles Mathematik“, 2. Auflage 2002, Seite 205

(6)http://www.stud.uni- hannover.de/~fmodler/9.%20Woche_Mathematische%20Modellbildung%20und%20diskrete%20Mathematik.pdf

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Das reelle Bild einer elliptischen Kurve nach Hinzufügen des unendlich fernen Punktes: Zwei Kreise (7)

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Details

Seiten
11
Jahr
2013
ISBN (eBook)
9783656546580
ISBN (Buch)
9783656546740
Dateigröße
699 KB
Sprache
Deutsch
Katalognummer
v264985
Note
Schlagworte
Fermat der große Satz von Fermat elliptische Welt modulare Welt Anti- Fermat- Welt

Autor

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