Simulationsmethoden zur Berechnung des "Value at Risk". Historische Simulation und "Monte-Carlo-Simulation"

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Value at Risk: De nition und Methoden
2.1 De nition
2.2 Methoden

3 Historische Simulation
3.1 Konzept
3.1.1 Portfolioansatz
3.1.2 Faktoransatz
3.2 Ein Beispiel zur historischen Simulation
3.3 Vor- und Nachteile der historischen Simulation

4 Monte-Carlo-Simulation
4.1 Konzept
4.2 Monte-Carlo-Simulation für die geometrische Brownsche Bewegung
4.2.1 Simulation mit einer Zufallsvariablen
4.2.2 Simulation mit mehreren Zufallsvariablen
4.2.3 Schätzung der Parameter
4.3 Erzeugung der Zufallszahlen
4.3.1 Gleichverteilte Zufallszahlen
4.3.2 Transformierte Zufallsvariable
4.4 Ein Beispiel zu Monte-Carlo-Simulation
4.5 Vor- und Nachteile der Monte-Carlo-Simulation

5 Zusammenfassung

Abbildungsverzeichnis

1 Portfoliowerte

2 Absolute Wertänderung des Portfolios

3 Histogramm zur historischen Simulation

4 5 Zufallspfade für die Kursentwicklung der BASF-Aktie mit S0 = 488, 40 DM und △t = 1/300

5 Histogramm zu Monte-Carlo-Simulation

Tabellenverzeichnis

1 Übersicht über Ansätze historischer Simulation

2 Portfoliostruktur

3 Statistiken der Portfolio-Wertänderungen (historisch)

4 Algorithmus von Box-Muller

5 Cholesky-Zerlegung der Korrelationsmatrix

6 Statistiken der Portfolio-Wertänderungen (Monte Carlo)

1 Einleitung

Der Wert eines Portfolios von Finanzanlagen wird durch verschiedene Risikofaktoren be- ein usst. Diese Risikofaktoren sind diverse Marktpreise wie Aktienkurse, Zinssätze, Wech- selkurse etc. An den Wertänderungen des Portfolios, d.h. Gewinnen oder Verlusten, kann die Abhängigkeit von den Risiken gemessen werden. Ein verbreitetes Maÿ zur Messung der Marktrisiken ist der Value at Risk (VaR). Kurz gefasst miÿt VaR den gröÿtmöglichen Ver- lust aus einem Portfolio über eine Zeitperiode mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit. VaR ist ein monetäres Maÿ , das die verschiedenen Marktrisiken in eine Kennzahl komprimiert. Deswegen eignet sich der VaR dafür, den Informationsbedarf der Unternehmensleitung, der Aktionäre und Investoren zu decken.

Der VaR wird aus einem Quantil einer Verteilung von Portfolio-Wertänderungen berechnet. Wenn die genaue Verteilung nicht bekannt ist, wird sie durch eine Häu gkeitsverteilung der simulierten Wertänderungen approximiert. Damit befassen sich Simulationsmodelle : historische Simulation, bei der die Wertänderungen aus den historischen Daten abgele- sen werden, und Monte-Carlo-Simulation, die das Verhalten der Risikofaktoren durch die Erzeugung der zufälligen Preispfaden an Hand eines stochastischen Modells simuliert.

Nach einer kurzen De nition und Beschreibung der Modelle zur Bestimmung des VaR in Kapitel 2 werden in dieser Arbeit die Simulationsmodelle genauer untersucht. In Kapitel

3 werden zwei Varianten der historischen Simulation, der Portfolio- und der Faktoran- satz dargestellt und an einem Beispiel verdeutlicht. In Kapitel 4 werden die Monte-Carlo- Simulation allgemein und an einem theoretischen und empirischen Beispiel der geometri- schen Brownschen Bewegung betrachtet. Dabei werden auch Methoden der Generierung der Zufallszahlen dargestellt. Auÿerdem wird in der Arbeit auf die Vor- und Nachteile der beiden Modelle eingegangen.

2 Value at Risk: De nition und Methoden

2.1 De nition

Man betrachte ein Portfolio, dessen Wert zum Zeitpunkt t¹, wt, über eine Funktion gt von J verschiedenen Risikofaktoren abhängt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

2 VALUE AT RISK: DEFINITION UND METHODEN 2

Dabei bezeichnet Sj,t den Wert des j-ten Risikofaktors zum Zeitpunkt t. t = 0 steht für den gegenwärtigen und t = T für den zukünftigen Zeitpunkt. Die J Risikofaktoren werden zum J -dimensionalen (Spalten-)Vektor

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

zusammengefasst.

Die Wertänderung des Portfolios mit konstant gehaltenen Positionen (Mengen) innerhalb eines Zeitintervalls [0, T ] kann dann wie folgt berechnet werden

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei können sich die Risikofaktoren von S0 zu ST sowie die Bewertungsfunktion von g0 zu gT ändern.

Bei einem einfachen Portfolio mit J Positionen inländischer Aktien und den konstant gehaltenen Mengen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und somit ergibt sich die Wertänderung von t = 0 nach t = T als

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

In diesem Spezialfall hängt π0,T linear von den zukünftigen Werten der Risikofaktoren ab und es gilt gT (S) = g0(S) = b′S.

Die Portfolio Wertänderung π0,T ist zum Zeitpunkt t = 0 unbekannt und wird durch eine Zufallsvariable mit einer zugehörigen Verteilungsfunktion Fπ modelliert. Im Rahmen der VaR-Bestimmung wird diese Verteilung für die Wertänderungen, d.h. für den zukünftigen Gewinn, falls π0,T > 0, oder Verlust, falls π0,T < 0, gesucht.

Der Value at Risk V aR = V aR(0, T, α) eines Portfolios zum Zeitpunkt 0 ist der maximale Verlust, der für die Haltedauer T mit Wahrscheinlichkeit 1 − α eintreten kann¹. Er wird de niert durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Formal lässt sich der VaR als das mit - 1 multiplizierte α-Quantil der Portfolio-Wertänderung π0,T bestimmen, d.h.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Dabei ist die verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion F−¹ π (α) gegeben durch:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Im Falle einer stetigen Zufallsvariable mit Dichtefunktion fπ (x) ergibt sich das α-Quantil

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Das Wahrscheinlichkeitsniveau 1 − α ist eine Zahl in der Nähe von Eins, z.B. 0,95 oder 0,99. Die Haltedauer T kann beliebig lang sein. In der Praxis variert sie zwischen einem und zehn Handelstagen und hängt von der Liquidationszeit des Portfolios ab³.

2.2 Methoden

Es sind verschiedene Methoden zur Ermittlung des VaR entwickelt worden. Man kann sie ⁴ in zwei Gruppen unterteilen

Im Rahmen von parametrischen Modellen wird für die Risikofaktoren eine bestimm- te parametrische Wahrscheinlichkeitsverteilung angenommen und daraus die Wahrschein- lichkeitsverteilung der Portfoliowertänderungen gefolgert. Der VaR ergibt sich aus dem Quantilswert durch Inversion der Verteilungsfunktion Fπ der Portfolio-Wertänderung. Weit verbreitet sind Modelle, die auf einer Normalverteilungsannahme basieren, z.B. Portfolio- Normal Value at Risk, Asset-Normal Value at Risk. Allerdings ist die Normalverteilungs- annahme nicht immer realistisch und führt zu verfälschten Ergebnissen.

Im Rahmen von Simulationsmodellen werden Szenarien der Wertänderungen der Risikofaktoren simuliert. Daraus wird eine Häu gkeitsverteilung der simulierten PortfolioWertänderungen erzeugt. Diese kann als Verteilung der potentiellen zukünftigen Wertänderungen interpretiert werden. Weiterhin kann man nach der Erzeugung der Szenarien der Risikofaktoren-Wertänderungen unterscheiden zwischen:

- historischer Simulation : Ableitung der Szenarien aus den Vergangenheitsdaten.
- Monte-Carlo-Simulation : Generierung der Szenarien auf der Grundlage eines stocha- stischen Modells.

Da die exakte Verteilungsfunktion der Portfolio-Wertänderungen Fπ bei Simulationsmodellen nicht bekannt ist, wird sie durch die empirische Verteilungsfunktion Fπ geschätzt. Dabei gilt für die Intervalle der Form (∞, x]: F an der Stelle x

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ist ein Schätzwert für

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um den VaR zu schätzen, bestimmt man eine entsprechende Stelle Qα der empirischen Verteilung als Schätzwert für Qα. Praktisch bedeutet dies, aus den geordneten Werten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Qα so zu bestimmen, daÿ möglichst genau 100α% der Werte links von Qα und 100(1 − α)% der Werte rechts von Qα liegen⁵.

3 Historische Simulation

3.1 Konzept

Die Grundidee der historischen Simulation besteht darin, potentielle Wertänderungen des Portfolios aus den historischen Reihen von Risikofaktoren und der gegebenen Portfoliostruktur zu berechnen. Es wird implizit angenommen, daÿ die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Risikofaktoren mit der gemeinsamen historischen Häu gkeitsverteilung gleichgesetzt werden kann.

In Anlehnung an Huschens⁶ werden im folgenden zwei unterschiedliche Ansätze der hi- storischen Simulation dargestellt: ein Portfolioansatz und ein Faktoransatz . Beim Portfolioansatz erfolgt eine Neubewertung des Portfolios mit historischen Preisen, und aus diesen ktiven Werten werden dann Wertänderungen des gesamten Portfolios berechnet. Beim Faktoransatz simuliert man zuerst potentielle Änderungen der Risikofaktoren aus den jeweiligen historischen Änderungen. Daraus wird eine Verteilung der Risikofaktoren für den interessierenden Zeitpunkt erzeugt, und aus dieser ergeben sich die Wertänderungen des Portfolios.

Weiterhin kann zwischen Di erenzensimulation und Ratensimulation unterschieden werden. Beim ersten Verfahren werden die historischen absoluten Änderungen (Di eren- zen) von Risikofaktoren oder Portfoliowerten verwendet, um von diesen auf eine zukünftige absolute Änderung zu schlieÿen. Beim zweiten Verfahren werden die historischen relativen Änderungen verwendet, um aus diesen zunächst zukünftige relative Änderungen zu simulieren. Durch Multiplikation der relativen Änderungen mit dem aktuellen Niveau ergeben sich simulierte zukünftige absolute Änderungen.

In Tabelle 1 folgt eine Übersicht über die Ansätze der historischen Simulation. Dabei kann beim Faktoransatz für einen Teil der Risikofaktoren Di erenzensimulation und für den anderen Teil Ratensimulation durchgeführt werden.

Tabelle 1: Übersicht über Ansätze historischer Simulation

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Quelle :[4]Huschens, S. (2000), S. ⁷.

3.1.1 Portfolioansatz

Für die historische Simulation macht man zunächst zwei grundsätzliche Annahmen7:

1. Die Portfoliostruktur in der Vergangenheit ist konstant.
2. Trends der vergangenen Änderungen werden in der Zukunft anhalten.

Der Portfolioansatz setzt eine im Zeitablauf konstante Abhängigkeit des Portfoliowertes von den Risikofaktoren voraus, d.h.

gT = g0 = g.

Der Ansatz basiert auf einer Neubewertung des Portfolios mit historischen Werten der Risikofaktoren und vollzieht sich in vier Schritten⁸.

Schritt 1. Wähle den zukünftigen Zeitpunkt T und das Kon denzniveau 1 − α, für die der VaR berechnet werden soll, und die Länge des Zeithorizonts K⁹.

Schritt 2. Berechne die ktiven Portfoliowerte¹⁰ für t < 0

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Schritt 3. Aus der im Schritt 2 erzeugten historischen Reihe von Portfoliowerten berechne die Wertänderungen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Dazu berechne bei der Di erenzensimulation die Di erenzen aus Portfoliowerten, die jeweils T Perioden auseinanderliegen,

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sie werden als potentielle zukünftige Wertänderungen des Portfolios interpretiert, d.h.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Ratensimulation besteht die Möglichkeit, mit diskreten oder stetigen Änderungs- raten (Renditen ) zu rechnen. Aus K diskreten Änderungsraten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

berechne durch Umformung K potentielle Wertänderungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Ratensimulation mit stetigen Raten

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

ergibt sich der Portfoliowert durch

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da letztlich nur die Quotienten w t für die Prognoseverteilung maÿgebend sind, sind die wt−T

Berechnungswege über die stetigen und die diskreten Änderungsraten äquivalent.

Schritt 4. Die im Schritt 3 berechneten K potentiellen Wertänderungen

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

bilden die Prognoseverteilung für die zukünftige Wertänderung π0,T . Bestimme das α- Quantil dieser Verteilung und den Value at Risk.

3.1.2 Faktoransatz

Die zukünftige Wertänderung

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

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¹ Der diskrete Zeitindex t steht dabei z.B. für Handelstage oder für Jahre.

² Vgl. [5] Jorion, P. (2001), S. 22; [7] Rachev, S. (2000). S, 468; [1] Best, P. (1998), S. 10.

³ Vgl. [8] Read, O. (1998), S. 16; [7] Rachev, S. (2000), S. 479.

⁴ Vgl. [8] Read, O. (1998), S. 30, 33.

⁵ Vgl.[4]Huschens, S. (2000), S. 14.

⁶ Vgl. [4] Huschens, S. (2000), S. 6-7.

⁷ Vgl.[4]Huschens, S. (2000), S. 7;[2]Dowd, K. (1998), S. 99;[7]Rachev, S. (2000), S. 473.

⁸ Vgl.[4]Huschens, S. (2000), S. 7-9.

⁹ In der Praxis variiert K zwischen 100 Tagen und 3 oder mehr Jahren.

¹⁰ Diese Portfoliowerte sind insofern ktiv, als unveränderte Portfoliopositionen für die Vergangenheit unterstellt werden.