Stochastische Programmierungsmodelle

Inhaltsverzeichnis

1. Stochastische Programmierungsmodelle: Value-at-Risk und Conditional Value-at-Risk
1.1. RisikomafbC
1.2. Minimierung des CVaR
1.3. Beispiel: Anlcihcn-Portfolio-Optimicrung

2. Stochastische Programmierungsmodelle: Asset-Liability-Management
2.1. Asset-Liability-Management
2.1.1. Sehuldenmanagement
2.2. Synthetische Optionen
2.2.1. Das Modell
2.2.2. Ein Beispiel
2.3. Fallbeispiel: Preisbildung bei Optionen mit Transaktionskosten
2.3.1. Das St andar dproblcm
2.3.2. Transaktionskosten

A. Anhang
Literaturverzeichnis

Zusammenfassung

In diesem Kapitel wird neben dem Valuc-at-Risk und dem Conditional Valuc-at-Risk auch das Asset-Liability-Management in der stochastischen Programmierung vorgcstcllt. Der Valuc-at-Risk und der Conditional Valuc-at-Risk beschreiben Risikomaßc, mit denen der erwartete Verlust bzw. Gewinn bei Akticngcsehäftcn berechnet werden kann. Das Asset- Liability-Management bezeichnet ein Verfahren zur Steuerung von Vcrsiehcrungsuntcrnch- men anhand der zukünftigen Entwicklung von Aktiva und Passiva. Dies ist sehr wichtig, da das finanzielle Wohl jeder Firma in der Bilanzaufstellung der Gesellschaft widergespiegelt wird

1. Stochastische Programmierungsmodelle: Value-at-Risk und Conditional Value-at-Risk

In diesem Kapitel wird nicht nur der Valuc-at-Risk (VaR), welcher ein weit verbreitetes Risikomafb in der Finanzierung ist, sondern auch der Conditional Valuc-at-Risk (CVaR) behandelt. Aufbcrdem wird ein Optimicrungsmodcll, das ein Portfolio durch stochastische Programmierung optimiert, präsentiert.

1.1. Risikomaße

Der VaR ist ein Risikomafb bezogen auf das Quantil des Durchschnittsvcrlusts der Nor­malverteilung und repräsentiert den vorausgesagten maximalen Verlust mit einem gegebe­nen Konfidenzniveau α (z.B. 95%) über einen bestimmten Zeitraum hinweg (z.B. 1 Tag). Betrachte z.B. eine Zufallsvariable X, die den Verlust von einem Investitionswertpapier­bestand über eine gewisse Zeitspanne hinweg darstellt. Ein negativer Wert für X zeigt Gewinne an. Der α-VaR einer Zufallsvariable X ist schließlich durch folgende Relation gegeben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Wenn die Verlust-Verteilung stetig ist, ist VaRa(X) einfach der Verlust, so dass

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1.1 zeigt einen Plot über den 0.95-VaR für eine Normalvcrtcilung des Portfo­lioverlustes. Allerdings hat der Risikowert ein bedeutendes unerwünschtes Merkmal - er ist nicht subadditiv. Risikomafbc sollten folgendem Merkmal entsprechen: „Das Gesamtrisi­ko von zwei verschiedenen Invcstitionswcrtcpapicrbcständcn überschreitet die Summe der

individuellen Risiken nicht“. Für ein Risikomaß f gelte also:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel 1.1. Betrachte zwei unabhängige Investitionsmöglichkeiten, bei denen jede einen Gewinn von 1 US-$ mit Wahrscheinlichkeit 0.96 und einen Verlust von 2 US-$ mit Wahr­scheinlichkeit 0.04 hat. Dann ist das 0.95-VaR für be ide —1. Betrachte nun die Sum­me. dieser beiden Investitionsmöglichkeiten. Wegen Unabhängigkeit hat diese Summe, fol­gende Verlust-Verteilung:[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]mit Wahrscheinlichkeit 2 x 0.96 x 0.04 = 0.0768, und —2 US-$ mit Wahrscheinlichkeit 0. 96 x 0.96 = 0.9216. Deshalb ist das 0.95-VaR der Summe der beiden Investitionen gleich 1, was —2 übertrifft, die Summe vom, 0.95-VaR Wert der individuellen Investitionen.

Da die Berechnung und Optimierung des VaR’s recht schwierig ist und da er nicht das Aus­maß des Verlustes beachtet, wird nun der Conditional Value-at-Risk (CVaR) eingeführt. Desweiteren wird gezeigt, wie der CVaR optimiert werden kann.

Man betrachte ein Portfolio von Anlagen, mit zufälligem Ertrag. Das ausgewählte Portfolio wird mit dem Vektor x G R™ und das zufällige Ereignis mit dem Vektor y G Rm bezeichnet. Sei nun[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Rm ^ R die Funktion des Verlustes mit Entscheidungsvariable x und beliebiger Variable y, welche den Wert der Risikofaktoren beschreibt, y besitze die Dichtewahrscheinlichkeit p(y). Die Wahrscheinlichkeit, dass für ein gegebenes Portfolio x der Verlust f (x, y) den Wert γ G R nicht überschreitet, ist dann

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Falls die Dichte des Verlustes keine Sprünge hat, ist Ý(x, γ) in Abhängigkeit von γ überall stetig. Sei nun a G (0,1) gegeben. Der a-VaR, VaRa(x) ist dann definiert als:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Da Ý(x, γ) überall stetig ist, existiert ein γ, so dass Ψ^, γ) = a gilt.

Das Risikomaß CVaR verknüpft mit dem Portfolio x und für ein Konfidenzniveau a wird wie folgt definiert:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte (wenn Ereignis yj mit Wahrscheinlichkeit pj, für j = 1,..., n, auftritt), wird die obige Definition vom CVaR zu

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beispiel 1.2. Vorausgesetzt man hat die Verlustfunktion f (x,y) für eine gegebene Ent­scheidung x als f (x, y) = —y mit y = 75 — j mit Wahrscheinlichkeit von 1% für j = 0,... ,99 gegeben. Dann bestimmt man den Value-at-Risk VaRa(x) für α = 95%. Es gilt VaR95%(x) = 20, da der Verlust 20 oder mehr ist mit der Wahrscheinlichkeit von 5%.

Um den bedingten Value-at-Risk zu berechnen, wird die Definition von oben benutzt:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

1.2. Minimierung des CVaR

Da die Definition des CVaR’s die Funktion des VaR’s explizit mit cinschlicßt, ist es schwie­rig damit zu arbeiten und diese Funktion zu optimieren. Stattdessen wird die folgende Hilfsfunktion aufgestellt :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Alternativ kann man Fa(x,Y) auch wie folgt schreiben:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei (f (x, γ) — γ)+ := { f (x Y> — Y f (xy) — Y > [0]

0 sonst.

Diese Funktion hat die folgenden, wichtigen Eigenschaften:

1. Fa(x,Y) ist eine konvexe Funktion bzgl. γ.
2. VaRa(x) minimiert F0(x,y) über γ.
3. Für FC((x,y) ist der Minimalwert bzgl. γ der CVaR(x).

Um CVaRa(x) über x zu minimieren muss die Funktion Fa(x, γ) bezüglich x und γ gleich­zeitig minimiert werden:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Oft ist es nicht möglich, die gemeinsame Dichtewahrscheinlichkeit p(y) des zufälligen Ereig­nisses zu bestimmen. Stattdessen kann man eine Vielzahl von Szenarien haben, wie etwa ys für s = 1,..., S. Man nehme an, dass alle Szenarien die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. In diesem Fall wird die empirische Verteilungsfunktion des zufälligen Ereignisses, basierend auf den vorhandenen Szenarien, benutzt und man erhält die folgende Approximation der Funktion F0(x,y):

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um dieses Optimierungsproblem zu lösen wird die konstruierte Variable zs eingeführt. Sie wird (f (x, ys) — γ)+ ersetzen. Dies wird mit Hilfe der Restriktionen zs > f (x, ys) — γ und zs > 0 erreicht.

1.3. Beispiel: Anleihen-Portfolio-Optimierung

Ein Portfolio riskanter Anleihen soll durch eine große Wahrscheinlichkeit von kleinen Ge­winnen charakterisiert sein. Aber es ist auch mit einer kleinen Wahrscheinlichkeit, einen großen Betrag der Investition zu verlieren, verbunden. VaR und CVaR sind geeignete Kri­terien um das Portfolio-Kreditrisiko zu minimieren.

Das folgende Beispiel stammt aus den Schriften von Anderson et al [7]. Es wird ein Portfolio von 197 Anleihen aus 29 verschiedenen Ländern mit einem Marktwert von 8.8 Milliarden Dollar und einer Laufzeit von fünf .Jahren berechnet. Das Ziel ist das Portfolio auszu- glcichcn, um das Kreditrisiko zu minimieren. Das heißt, sie wollen die Verluste, die sieh aus dem Zahlungsverzug oder einem Rückgang des Marktwertes ergeben, minimieren. Der Verlust infolge der Kreditmigration ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

wobei b die zukünftigen Werte jeder Anleihe ohne Kreditmigration sind und y die zukünf­tigen Werte mit Kreditmigration (also ist y

Ein-.Jahrcs-Portfolios wurde durch die Benutzung einer Monte-Carlo-Simulation^[1] erzeugt: 20000 Szenarien gemeinsamer Kreditwürdigkeit von Schuldnern und zugehörigen Verlus­ten. Durch Minimierung des CVaR’s bekommt man das Portfolio ins Gleichgewicht. Die Menge X der möglichen Portfolios wurde durch folgende Restriktionen beschrieben. Sei Xi das Gewicht der Anleihe г des Portfolios, Ober- und Unterschranken werden für jedes xi gesetzt :

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Um die effiziente Grenze zu berechnen wurde der erwartete Portfoliogewinn größer gleich R gesetzt.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

^[1] Die Monte-Carlo-Simulation ist ein Verfahren, dass zukünftige Entwicklungen der betrachteten Risiko­parameter mit Hilfe eines jeweils eigenen stochastischen Prozesses modelliert.