n-Personen-Spiele

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundkonzepte und Definitionen
2.1 Die charakteristische Funktion
2.2 Imputation (Zurechnung)

3 Lösungskonzepte
3.1 Mengenansätze
3.1.1 Der Kern
3.1.2 Die von-Neuman-Morgenstern-Theorie
3.1.3 Die Aumann-Maschler-Theorie
3.2 Wertansätze
3.2.1 Der Shapley-Wert

4 Zusammenfassung

5 Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Die Spieltheorie beschäftigt sich mit der Analyse von strategischen Entscheidungs­situationen von Individuen. Diese Situationen führen zur Interessen­konflikten und /oder Koordinationsproblemen, die als Spiel aufgefasst werden können. Ob die Spieler in einem Spiel miteinander kommunizieren und verbindliche Übereinkünfte treffen können, ob und welche Informationen ihnen zur Verfügung stehen und ob sie in der Lage sind, Gewinne zu teilen, sind interessante Faktoren. Wichtiger ist jedoch die Anzahl der beteiligten Spieler und der Grad, zu dem ihre Interessen übereinstimmen bzw. kollidieren.^[1]

In der Regel betrachtet man in den Wirtschaftswissenschaften Spiele mit nur zwei Spielern, die ein bestimmtes Problem der Realität stark vereinfachen. Um sich der Realität zu nähern, befasst sich diese Arbeit mit Spielen mit mehr als zwei Spielern. Bei diesen so genannten n-Personen-Spielen müssen wir die Absprachemöglichkeiten der Spieler betrachten.

Können /dürfen die Spieler miteinander keine Absprachen treffen oder kooperativ handeln, so spricht man von nicht-kooperativen Spielen. Bei der Lösungen der nicht-kooperativen Spiele mit n-Personen besteht generell kein Unterschied zu den Spielen mit zwei Personen, denn dann ist ein n-Personen-Spiel nur eine direkte Verallgemeinerung eines Zwei-Personen-Spiels.^[2] Deswegen wird dieses Thema hier nicht weiter behandelt.

Dürfen dagegen die Spieler miteinander reden und kooperativ handeln, so werden sie mit anderen Spielern Koalitionen eingehen und überlegen, welche Anreize sie bieten und welche sie akzeptieren müssen.^[3] In diesem Fall spricht man von kooperativen Spielen. Solche Spiele werden auch als Koalitionsspiele bezeichnet. Im Folgenden geht es also ausschließlich um die verschiedenen Lösungskonzepte der kooperativen n‑Personen‑Spiele.

2 Grundkonzepte und Definitionen

Für die Beschreibung der verschiedenen Lösungskonzepte von kooperativen Spielen müssen zuerst Grundkonzepte und Definitionen eingeführt werden.

Definition: n-Personen-Spiel

In einem kooperativen Spiel stellt Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die Menge aller n Spieler dar, wobei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten und Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten ist. Ein solches Spiel wird n-Personen-Spiel genannt.^[4]

Können die Spieler miteinander reden und kooperativ handeln, so können sie Koalitionen bilden, um z.B. die Mehrheit bei einer Abstimmung zu bekommen.

Definition: Koalition

Sei Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten die Menge aller n Spieler eines n-Personen-Spiels. Jede nicht-leere Teilmenge von I heißt Koalition.^[5]

Definition: transferierbarer und nicht-transferierbarer Nutzen

Grundsätzlich wird zwischen transferierbarem und nicht-transferierbarem Nutzen unterschieden. Im Folgenden wird von transferierbarem Nutzen ausgegangen. Das bedeutet, dass Nutzen von einem Spieler auf einen anderen übertragen werden kann, d.h. es sind Seitenauszahlungen möglich.^[6]

Beispiel: es gäbe fünf große Unternehmen und mehrere mittlere und kleinere Unternehmen auf dem Markt. Jeder hat seine eigene Preispolitik und erzielt damit einen Gewinn. Die fünf großen Anbieter schließen sich zusammen und bilden ein Kartell. Sie stimmen ihren Preispolitik ab und beherrschen damit den gesamten Markt. Sie erzielen so einen größeren Gewinn, der nur zwischen ihnen verteilt wird. Das bedeutet, dass sie diesen zusätzlichen Gewinn untereinander transferieren.

2.1 Die charakteristische Funktion

Das Hauptmerkmal der n-Personen-Spiele ist die Bildung von Koalitionen. Daher wird nicht die Normalform der Spielen benutzt, sondern die so genannte charakteristische Funktion.

Definition:

Ein n-Personen-Spiel in Form der charakteristischen Funktion ist eine reellwertige auf der Potenzmenge von Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten definierte Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Damit ist Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten gleich dem Nutzen, den die Mitglieder der Koalition S zusammen im Spiel erhalten können, unabhängig davon, was die anderer Spieler tun.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Sind S und T disjunkte Koalitionen, so erhalten sie bei der Vereinigung zu einer großen Koalition mindestens soviel, wie sie bekommen würden, wenn sie allein bleiben. Diese Bedingung, die von der charakteristischen Funktion erfüllt werden muss, heißt Superaddivität.^[7]

Beispiel: Es gäbe drei Firmen A, B und C. Nehmen wir an, dass jede von drei Firmen einen Euro wert ist. Die Firmen können zu zweit (AB, AC und BC) oder auch alle drei (ABC) eine Koalition bilden. Wenn eine Koalition zustande kommt, bekommt sie zusätzlich 9 Euro. Damit wird eine Zweier-Koalition 11 Euro wert (1+1+9) und eine Dreier-Koalition 12 Euro wert (1+1+1+9). Man sagt, dieses Spiel sei in charakteristischen Funktion beschrieben. Jeder Koalition ist eine Zahl zugeordnet: der Wert der Koalition. Es ist das Mindeste, was sich die Koalition sichern kann, wenn sich die Spieler zusammentun.^[8]

2.2 Imputation (Zurechnung)

Die beste Strategie, die die Spieler spielen sollten, ist in einem n-Personen-Spiel schwer ermittelbar. Es sind mehrere verschiedenwertige Auszahlungen möglich. Um aber die Anzahl dieser Auszahlungen zu verringen, nehmen wir an, dass die endgültige Auszahlung paretooptimal ist. Eine Auszahlung ist paretooptimal, wenn keine andere Auszahlung existiert, durch die alle Spieler gleichzeitig besser und keine schlechter gestellt werden. Gleichzeitig müssen wir aber betrachten, dass die endgültige Auszahlung individuell rational ist, d.h. jeder Spieler erhält zumindest so viel wie er bekommen könnte, wenn er allein spielen würde, sonst wäre die Koalition für ihn nicht sinnvoll. Eine Auszahlung, die paretooptimal und individuell rational ist, wird Imputation oder Zurechnung genannt.^[9]

Formal kann die Imputation wie folgt definiert werden:

Definition: Ein Vektor Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten heißt Imputation des n-Personen-Spiels Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten, wenn

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

gelten.^[10]

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

3 Lösungskonzepte

Mit Hilfe der eingeführten Instrumente lassen sich eine Reihe von Lösungskonzepten für Koalitionsspiele konstruieren. Bei diesen Lösungskonzepten wird zwischen Mengen- und Wertansätzen unterschieden.

Die Mengenansätze reduzieren die Auszahlungsmenge bzw. die Menge der alternativen Lösungen auf eine Teilmenge, so dass die Lösung einer Korrespondenz entspricht. Es gibt also mehrere Lösungen.

Die Wertansätze liefern dagegen „die Auszahlungsmenge bzw. die Menge der Alternativen auf einen eindeutigen Auszahlungsvektor bzw. ein eindeutiges Ergebnis, so dass die Lösung als Funktion formulierbar ist“.^[11]

Im Folgenden werden zuerst einige Mengenansätze und danach ein Wertansatz skizziert.

3.1 Mengenansätze

Der Ausgangspunkt der Mengenansätze ist, dass die Spieler Koalitionen bilden und untereinander verbindliche Abmachungen treffen und ihre Strategien entsprechend koordinieren können.^[12]

3.1.1 Der Kern

Der Kern ist das populärste Lösungskonzept für Koalitionsspiele, obwohl die Eindeutigkeit der Lösung fehlt und die Existenz des Kerns nicht für alle Spiele gesichert ist.

In dem Kern befinden sich nur solche Auszahlungsvektoren, bei denen alle Spieler eine Auszahlung erhalten, die mindestens so hoch ist wie der Betrag, den sie in jeder möglichen Koalition bekommen könnten. Damit wird die Möglichkeit, durch Androhung von Koalitionen die Auszahlungen der Spieler zu erhöhen, entkräftet. Dies ist ein wesentliches Argument für die Wahl des Kern-Konzepts.

[...]

^[1] [Davis 1993], S.11

^[2] [Owen 1971], S.159-160

^[3] [Davis 1993], S.151

^[4] [Löschel 2002/2003], S.3

^[5] [Owen 1971], S.161

^[6] [Holler_Illing 1993], S.263

^[7] [Owen 1971], S.161

^[8] [Davis 1993], S.165

^[9] [Davis 1993], S.168

^[10] [Owen 1971], S.162

^[11] [Holler_Illing 1993], S.272

^[12] [Holler_Illing 1993], S.272