Der topologische Begriff des Zusammenhangs und seine Anwendung in der klassischen Analysis

Schriftliche Hausarbeit
im Rahmen der Ersten Staatsprüfung
für das Lehramt für die Sekundarstufe II
dem
Staatlichen Prüfungsamt für Erste Staatsprüfungen
für Lehrämter an Schulen - Köln - Außenstelle Aachen

Der topologische Begrff des Zusammenhangs
und seine Anwendung in der klassischen Analysis

vorgelegt von

Sascha Haarkötter

Aachen, den 21.05.2003

Lehrstuhl A für Mathematik der RWTH Aachen

Inhaltsverzeichnis

1 Elementare Begriff der Topologie 5
1.1 Topologische Räume ... 5
1.2 Umgebungen  ...  6
1.3 Häufungspunkte  ... 10

2 Basen und Umgebungsbasen  ... 11
2.1 Basen  ... 11
2.2 Subbasen  ...  13
2.3 Umgebungsbasen und Umgebungssubbasen  ... 14

3 Metrische Räume  ... 16

4 Stetigkeit und Konvergenz 20
4.1 Stetige Abbildungen  ... 20
4.2 Homöomorphismen  ... 22
4.3 Topologische Invarianz ... 23
4.4 Konvergenz  ... 23

5 Kompaktheit  ... 25
5.1 Überdeckung ... 25
5.2 Kompakte topologische Räume  ...  25
5.3 Lebesguesche Zahl einer Überdeckung ...  26

6 Fundamentalkonstruktionen  ... 28
6.1 Initialtopologie ...  28
6.2 Finaltopologie ...  28
6.3 Die Relativtopologie ... 29
6.4 Die Produkttopologie  ... 31
6.5 Produktinvarianz  ... 33
6.6 Die Quotiententopologie  ... 34

7 Zusammenhangseigenschaften ... 36
7.1 Zusammenhängende topologische Räume  ... 36
7.2 Topologische Invarianz  ... 38
7.3 Zusammenhangskomponenten ... 42
7.4 Zusammenhangskomponenten einzelner Punkte ...  43
7.5 Total unzusammenhängende topologische Räume  ... 44
7.6 Quasikomponenten ...  45
7.7 Produktinvarianz ...  46
7.8 Zusammenhängende Teilmengen von R und R2 ... 48
7.9 Zusammenhängende Teilmengen von R ... 48
7.10 Zusammenhang in allgemeinen Ordnungstopologien  ... 49
7.11 Zwischenwertsatz  ... 51

8 Lokal zusammenhängende Räume ... 57
8.1 Erblichkeit  ... 58
8.2 Qoutienteninvarianz ... 59
8.3 Lokaler Zusammenhang und stetige Abbildungen  ...  60
8.4 Produktinvarianz ... 61

9 Wegzusammenhang  ... 63
9.1 Wegzusammenhängende topologische Räume ... 63
9.2 Die Beziehung zum Zusammenhang ... 64
9.3 Topologische Invarianz und Produktinvarinz ... 67
9.4 Einfach zusammenhängende Räume ... 68

10 Grundlagen der Homotopietheorie  ... 69
10.1 Homotopie ... 70
10.2 Die Fundamentalgruppe ... 74
10.3 Die Fundamentalgruppe wegzusammenhängender Räume  ... 75
10.4 Homotopie und stetige Abbildung ...  77
10.5 Die Fundamentalgruppe einfach zusammenhängender Räume ... 77
10.6 Die Fundamentalgruppe des Einheitskreises ... 79
10.7 Liftung einer Abbildung ... 82

11 Der Brouwersche Fixpunktsatz ... 87
11.1 Luitzen Egbertus Jan Brouwer ... 87
11.2 Brouwerscher Fixpunktsatz ... 87

12 Der Fundamentalsatz der Algebra  ... 90
12.1 Fundamentalsatz der Algebra  ... 90

13 Literaturverzeichnis  ... 93

14 Abbildungsverzeichnis  ... 94

Einleitung

Ein Merkmal moderner Wissenschaft ist die zunehmende Verflechtung früher getrennter Disziplinen, welche sich dadurch bemerkbar macht, dass immer wieder Analogien entdeckt werden, deren weitere Ausnutzung einen enormen Vorteil bedeutet, so dass die darauf gegründete Theorie bald in alle betroffenen Gebiete Einzug hält. Als eine solche Analogietheorie kann man auch die Topologie auffassen. In dieser Arbeit untersuchen wir den topologischen Begriff des Zusammenhangs und zeigen einige Analogien zur klassischen Analysis. Wenn wir den Zusammenhang für Mengen in R oder in R2 betrachten handelt es sich um eine sehr anschauliche Eigenschaft, die umgangsprachlich besagt, dass eine Menge beziehungsweise ein Raum nicht in zwei disjunkte Teile zerfällt. Anschaulich ist einleuchtend, dass das Intervall [0; 1] eine zusammenhängende Menge in R darstellt, wohingegen die Menge [0; 1/2 ) [ ( 1/2; 1] aufgrund der Lücke in 1/2 nicht zusammenhängend ist. Im R2 stelle man sich etwa zwei disjunkte Kreisflächen als unzusammenhängende Menge und im Vergleich dazu ein beliebiges zusammenhängendes Flächenstück vor.

Nachdem wir in den ersten Kapiteln die nötigen Grundbegriffe der Topologie erläutern, werden wir die verschiedenen Zusammenhangsbegriffe wie Zusammenhang, lokaler Zusammenhang, Wegzusammenhang und einfacher Zusammenhang unter anderem bezüglich ihres Verhaltens gegenüber den Standardkonstruktionen der Topologie, wie Teilräume, Produkträume und Quotientenräume untersuchen. Des Weiteren erläutern wir das Verhalten unter stetigen Abbildungen, insbesondere den strukturerhaltenden Abbildungen in der Topologie, den Homöomorphismen. Dabei behandeln wir mit Hilfe der Mengentheoretischen Topologie den bekannten Zwischenwertsatz der reellen Analyisis, welcher besagt, dass eine stetige reelle Funktion jeden Wert annimmt, der zwischen zwei Funktionswerten liegt. Im wesentlichen beruht der Zwischenwertsatz auf einer topologischen Eigenschaft, nämlich genau der des Zusammenhangs der reellen Zahlen. Die Grundzüge der algebraischen Topologie behandeln wir insbesondere zur Untersuchung des einfachen Zusammenhangs nur so weit, wie sie für unsere Anwendung nötig ist. Insbesondere beweisen wir mit der Homotopietheorie das nach dem niederländischen Mathematiker LEJ Brouwer benannte zweidimensionale Analogon des Zwischenwertsatzes, die Version für die abgeschlossene Kreisscheibe, den sogenannten Brouwerschen Fixpunktsatz für n = 2. Eine weitere wichtige Anwendung im Zuge der Homotopietheorie ist der Fundamentalsatz der Algebra, der aussagt, dass jedes nicht konstante Polynom mit komplexen Koeffzenten im Körper C mindestens eine Nullstelle hat. Da dieser wichtige Satz Aussagen über die Existenz von Nullstellen im durch topologische Eigenschaften charakterisierten Körper C macht, leuchted ein, dass man beim Beweis mehr oder weniger auf topologische Hilfsmittel angewiesen ist. Wir erläutern dafür im wesentlichen den Begriff der Umlaufzahl von geschlossenen Wegen.

1 Elementare Begriffe der Topologie

1.1 Topologische Räume

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