Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen normalverteilter Zufallsvektoren

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Grundlegende Begriffsbildung und Hilfsmittel
2.1 Mehrdimensionale Normalverteilung
2.2 Kugelkoordinaten
2.3 Verallgemeinerte Kugelkoordinaten
2.4 Laplace- Methode angewendet auf mehrdimensionale Integrale

3 Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen normalverteilter Zufallsvekto- ren
3.1 Beispiel 1
3.2 Beispiel 2
3.3 Beispiel 3
3.4 Beispiel 4
3.5 Beispiel 5
3.6 Beispiel 6
3.7 Vergleich der Ergebnisse - Nachtrag

1 Einleitung

In den vorangegangenen Ausarbeitungen bzw. Referaten wurden die asymptotische Darstellung, Entwicklung, Skala und Gleichheit neben den Landauschen Symbolen eingeführt. Daran schloss sich die Behandlung des Lemmas von Watson und seine Anwendungen an. Dabei wurde die Laplace- Methode für Randmaxima und innere Maxima im ein- und mehrdimensionalen Raum herausgearbeitet. Nachdem die Theorien erörtert wurden und Beispiele für große Abweichungen für Wahrscheinlichkeiten eindimensionaler Zufallsvariablen als Konsequenz der Anwendung der Laplace- Methode gegeben wurden, ist nun Ziel dieser Ausarbeitung, Beispiele für große Abweichungen normalverteilter Zufallsvektoren zu geben.

2 Grundlegende Begriffsbildung und Hilfsmittel

Bevor zu den Beispielen für Wahrscheinlichkeiten großer Abweichungen normalverteilter Zufallsvektoren vorangeschritten wird, sollten zuvor einige Begrifflichkeiten geklärt werden. Dieses Kapitel dient lediglich der Wiederholung oder kurzen Einführung wesentlicher Begriffe und soll im Rahmen dieser Seminarausarbeitung nicht ausführlich behandelt werden.

2.1 Mehrdimensionale Normalverteilung

Im vorangegangenen Seminar bzw. in der vorangegangenen Ausarbeitung wurden die Wahr- scheinlichkeiten großer Abweichungen normalverteilter Zufallsvariablen unter anderem thema- tisiert. Nun betrachtet man in dieser Thematik allerdings nicht die eindimensionale sondern die mehrdimensionale Normalverteilung. Die mehrdimensionale Normalverteilung sollte auch kurz beschrieben werden, da einige Teilnehmer des Seminars nicht über die Einführungsver- anstaltung in die Wahscheinlichkeitsrechnung hinaus, weitere vertiefende Veranstaltungen in ihrem Studium absolviert haben und somit die mehrdimensionale Normalverteilung an sich nicht kennen gelernt haben.

Zuerst soll der Begriff des normalverteilten Zufallsvektors definiert werden.

Definition 1. Ein Zufallsvektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]T heißt n-dimensional normalverteilt, wenn für jedes a ∈ R n die Zufallsvariable a T [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]a i x i e indimensional normalverteilt ist [vgl. [7], S.¹⁰ ].

Insbesondere trifft das zu, wenn jede Komponente normalverteilt ist.

Die Normalverteilung spielt in der Statistik eine bedeutende Rolle, nicht zuletzt weil sie die Grenzverteilung des zentralen Grenzwertsatzes im Eindimensionalen, sondern auch im Mehrdimansionalen, darstellt. Für die mehrdimensionale Normalverteilungen empfielt sich die Darstellung in vektorieller Form.

Insgesamt ergibt sich für den Zufallsvektor folgende Wahrscheinlichkeitsdichte:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

und folglich gilt für einen Zufallsvektor, dessen Komponenten sogar statistisch unabhängig sind eben die folgende Wahrscheinlichkeitsdichte:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

(kleine Anmerkung: Man verlangt von der Matrix B also die Invertierbarkeit. Ist diese nur schwer zu errechnen, so sollte man sich numerischen Methoden wie die Berechnung einer Pseudoinversen bedienen. Die Pseudoinverse einer Matrix ist die Verallgemeinerung der Inversen einer Matrix. Für reguläre Matrizen, wie es spd- Matrizen sind, stimmen Inverse und Pseudoinverse überein.) Es gilt sogar folgender Zusammenhang.

Satz 1. Sei X n- dimensional normalverteilt. Die Komponenten x 1 , . . . , x n sind genau dann unabhängig, wenn die Cov (X) Diagonalgestalt hat.

Beweis:

Sei B die Kovarianzmatrix Rg[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], so ist

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Die Korrelation beschreibt eine Beziehung zwischen zwei oder mehreren Merkmalen oder Ereignissen, sodass diese sich gegenseitig beeinflussen. Durch Einsetzen ergibt sich dann

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Auf den folgenden Seiten seien zur Veranschaulichung zweidimensionale Normalverteilungen abgebildet, dei denen die Auswirkung einer stochhastischen Abhängigkeit (Korrelation) darge- stellt werden.

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Abbildung 1: Zweidimensionale Normalverteilungsdichte für unkorrelierte Merkmale,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

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Abbildung 2: Höhenlinien für zweidimensionale Normalverteilungsdichte für unkorrelierte Merkmale,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

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Abbildung 3: Zweidimensionale Normalverteilungsdichte,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

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Abbildung 4: Höhenlinien für zweidimensionale Normalverteilungsdichte,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

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Abbildung 5: Zweidimensionale Normalverteilungsdichte,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

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Abbildung 6: Höhenlinien für zweidimensionale Normalverteilungsdichte,[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Eine wesentliche und bedeutsame Eigenschaft der Normalverteilung ist, dass der Verteilungstyp bei linearen Transformationen erhalten bleibt. Wird ein normalverteilter p- dimensionaler Zufallsvektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] tranformiert zu [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten], wobei A eine feste (q × p)- Matrix ist und a ein fester q- dimensionaler Vektor, so gilt für den q- dimensionalen Vektor [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] [vgl. 11, S. 9f.]. Dies soll zum Einstieg in die mehrdimensionale Normalverteilung genügen. Bei weiteren Interesse sollte in der Fachlieratur nachgeschlagen werden.

2.2 Kugelkoordinaten

Bleibt noch auf die Kugelkoordinaten und die verallgemeinerten Kugelkoordinaten zu sprechen zu kommen, da diese in den kommenden Beispielen in Kapitel 3 benötigt werden. Die Kugelko-

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Mit der Definition der n- dimensionalen Normalverteilung folgt, dass die Verteilung von X der Gestalt

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ist. Da die Dichte in ein Produkt von Wahrscheinlichkeitsdichten zerfällt, sind damit x 1 , . . . , x n stochastisch unabhängig. q.e.d. [vgl. 7, S. 12].

In den Vorangegangenen Absätzen trat oftmals im Exponenten der Term [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf. Dieser Term stellt eine wesentliche Bestimmungsgröße dar. Eine Matrix A heißt positiv definit wenn y T Ay[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]für alle x = 0. Da für B vorrausgesgesetzt wird, dass sie positiv definit ist, ist auch B −¹ positiv definit [vgl. 11, S. 9]. Also gilt für den relevanten Ausdruck

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Insbesondere lässt sich nun betrachten, für welche x der betrachtete Term einen festen Wert annimmt. Diese Isodensiten oder Höhenlinien sind diejenigen Kurven, die dieselbe Dichte be- sitzen. Für die Normalverteilung sind die Isodensiten Ellipsoide, die bestimmt werden durch

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wobei c eine beliebige Konstante ist. Dafür sollen kurz ein paar Beispiele angeführt werden.

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