Euler-Lagrange-Gleichungen in der angewandten Analysis

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Potentiale und konservative Kraftfelder

3 Generalisierte Koordinaten

4 Freiheitsgrade und Zwangsbedingungen

5 Prinzip der kleinsten Wirkung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Euler- Lagrange- Gleichungen

6 Prinzip der kleinsten Wirkung - Euler- Lagrange- Gleichungen

7 Hamiltonsche Gleichungen

8 Anwendung 1: Lagrangesche Mechanik auf R n, n = 1 , 2 ,
8.1 Hinweis: Translationsinvarianzen und Homogenität in der Zeit

9 Anwendung 2: Lagrangesche Mechanik auf (R³ ) N
9.1 Schwerpunktgeschwindigkeitserhaltung

10 Übungen
10.1 Beispiel: Aufgabe 1 - Das mathematische Pendel
10.2 Lösung
10.3 Aufgabe 2 - Das aufrechte Pendel
10.4 Lösung
10.5 Aufgabe 3 - Kugel am rotierendem Rohr
10.6 Lösung
10.7 Aufgabe 4 - Zwei durch Stangen verbundene Klötze
10.8 Lösung
10.9 Aufgabe 5 - Die Enegieerhaltung im freien Fall
10.10 Lösung
10.11 Aufgabe 6 - Die Energieerhaltung im freien Fall - mathematisch vereinfacht
10.12 Lösung

1 Einleitung

In diesem Seminar geht es um die mathematische Modellierung und Optimierung von Wind- kraftanlagen bzw. Windrädern. Dazu wird es notwendig sein einführend auf die Mechanik einzugehen. Die Mechanik handelt von der Dynamik der Teilchen, starren Körpern oder auch kontinuierlichen Medien (Flüssigkeiten, elastische Materialien). Die Mechanik hat durch die Mechanik Newtons¹ eine enorme Rolle für die Mathematik, Technik und Naturwissenschaf- ten zugesprochen bekommen. Die Entwicklung von Differentialgleichungen wurde durch die Behandlung der Mechanik angeregt. Heutzutage ist der Einfluss sogar auf die Gruppendar- stellung, Geometrie und Topologie nachweisbar, wobei sich diese Entwicklungen wieder auf die anderen Wissenschaften auswirk(t)en. Für dieses Seminar interessante Formulierungen der Mechanik sind einerseits die durch Lagrange² und andererseits die durch Hamilton³. Diese sind umfassender als die Formulierung der Mechanik Newtons, da sie auch Feldtheorien und Zwangsbedingungen berücksichtigen. Dabei unterliegen diese zwei Formulierungen unterschied- licher Betrachtungweisen der Mechanik. Während die Hamiltonsche Mechanik unmittelbar auf dem Energiekonzept beruht und eng in Verbindung mit der Quantenmechanik und allgemeinen Relativitätstheorie steht, ist die Lagrangesche Mechanik auf Variationsprinzipien begründet, die direkt zur allgemeinen Relativitätstheorie führt.

Diese Variationsprinzipien sind Koordinatensystemunabhängig. Die Variationsrechnung beschäf- tigt sich mit reellen Funktionalen, deren Argumente Funktionen sind. Diese können etwa Inte- grale über eine unbekannte Funktion und ihre Ableitungen sein. Dabei interessiert man sich für stationäre Funktionale, also solche, für die das Funktional ein Maximum, ein Minimum oder einen Sattelpunkt annimmt. Es gibt zwei Arten von Variationsprinzipien. Einerseits gibt es die Differentialprinzipien, zu denen das D’ Alambertsche⁴ Prinzip zu zählen ist. Bei diesen werden momentane Zustände des Systems beliebig gewählt und infenitesimale Nachbarzustände wer- den damit verglichen. Andererseits existieren auch Integralprinzipien. Diese sind charakterisiert durch Variation eines endlichen Bahnelementes. Dabei ist zu beachten, dass die Bahn nicht die Bahn eines Systempunktes im dreidimensionalen Ortsraum meint, sondern vielmehr die Bahn in einem vieldimensionalen Raum, in dem die Bewegung des Systems vollständig festgelegt ist. Die Dimension entspricht der Anzahl der Freiheitsgrade. Ein Beispiel für ein Integralprinzip wäre das Hamiltonsche Variationsprinzip. Es soll in den folgenden Kapiteln vor allem darum gehen, dass eine Einführung in die Mechanik und einige Anwednungsbeispiele gegeben werden sollen.

2 Potentiale und konservative Kraftfelder

Von einem Kraftfeld spricht man, wenn auf einen Massenpunkt an einem Ort eine Kraft wirkt, die nur von den Koordinaten, eventuell auch noch von der Zeit, abhängt, aber nicht von seiner Geschwindigkeit. Oft treten konservative Kräfte auf. Sie werden folgendermaßen durch ein Potential U (r, t) definiert:

Eine Kraft [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] heißt konservativ, wenn es eine Potentialfunktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] R gibt, deren negativer räumlicher Gradient gleich der Kraft ist

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Eine Kraft wird also nur dann als konservativ bezeichnet, wenn ein Feld vorliegt, das sich durch ein Potential U, das von generalisierten Koordinaten und der Zeit abhängt, ausdrücken lässt. Ein Potentialfeld ist eine spezielle Form eines Vektorfeldes. Einem solchen Feld ist also stets eine Potentialfunktion U zugeordnet, die auch als das Potential des Feldes bezeichnet werden kann. Das Potential ist im Gegensatz zu den Kräften kein Vektor, sondern ein Skalar bzw. skalares Feld. In der mehrdimensionalen Analysis, der Vektorrechnung und der Differentialgeo- metrie ist ein Skalarfeld eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes eine reelle Zahl (Skalar) zuordnet. Skalarfelder sind von großer Bedeutung in der Feldbeschreibung der Physik und in der mehrdimensionalen Vektoranalysis. Skalarfelder beschreiben zum Beispiel die Temperatur jedes Punktes in einem Raum.

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Abbildung 1: Beispiel für ein skalares Feld [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

Die zentrale Eigenschaft von Potentialfeldern ist die Möglichkeit, das Vektorfeld V an einer beliebigen Position aus dem Gradienten der Potentialfunktion zu berechnen.

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Abbildung 2: Beispiel eines Vektorfeldes, das durch ein Potential verursacht wird. Das Gesamtfeld führt zur Zielposition (unten rechts) um ein Hindernis herum. Links oberhalb des Hindernisses befindet sich ein lokales Minimum. Aus⁴ S. 5.

In der Physik gibt das Potential die Fähigkeit an, eine Arbeit unabhängig von den beteiligten Körpern zu verrichten. Anders interpretiert beschreibt das Potential die Wirkung des Feldes auf Massen, allerdings unabhängig von den Massen selbst. Das ist solange möglich, wie die Kräfte geschwindigkeits- und beschleunigungsunabhängig sind. Es gibt auch Beispiele wie die Lorentz⁵ - Kraft⁶ bei denen dies nicht zutrifft.

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Abbildung 3: Potential und Kraft im konservativen Kraftfeld. Aus⁴ S. 6.

Auf einen Massepunkt bezogen ist der Begriff der physikalischen Arbeit W definiert als Produkt der Kraft multipliziert mit dem Weg, der entlang der wirkenden Kraft verläuft: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Wenn man nun einen Massepunkt in einem Kraftfeld [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] von einem Punkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] zu einem anderen Punkt [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] bewegt, so leistet das System entlang der Verbindungskurve [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] folgende Arbeit:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Beim Umlauf der gesamten Kurve C erhält man also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].Ineinemkonservativen Kraftfeld gilt, dass die Arbeit entlang einer geschlossenen Kurve C verschwindet, d.h. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]

[Abbildung in dieser Leseprobe nich enthalten].BeiInteresseistbitteweiterführendinderAusarbeitungderSimplexxGmbH [[4]] auf den Seiten⁵ − 10,²¹ oder im Buch von Prof. Dr. Greiner² auf den Seiten 285 ff. nachzulesen.

3 Generalisierte Koordinaten

Mechanische Systeme werden beschrieben durch Koordinaten. Kartesische Koordinaten bieten dabei allerdings meistens keine sinnvolle Lösung. Angebrachter ist die Verwendung von bereits angesprochenen generalisierten Koordinaten q i. Diese müssen nicht unbedingt die Dimension einer Länge haben. Die zeitliche Änderung der Koordinaten ˙ q i bezeichnet man als generalisierte Geschwindigkeiten. Wenn man nun zu jedem Punkt seine Koordinate und seine Geschwindigkeit kennt, ist das System vollständig beschrieben. Man erhält ebenso viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade vorliegen.

Es existiert immer eine Transformation zwischen kartesischen Koordinaten und den generalisierten Koordinaten. [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Zum besseren Verständnis soll ein Beispiel angeführt werden: Die Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten bei festen Radius ρ sieht wie folgt aus:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Zur Veranschaulichung soll folgende Abbildung dienen:

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Abbildung 4: Transformation: kartesische Koordinaten in Kugelkoordinaten. Aus⁵ S. 3.

Darüber hinaus sind in vielen praktischen Problemen Zwangsbedingungen vorhanden, wie zum Beispiel die Tatsache, dass ein Pendel an einer Schnur mit konstanter Länge hängt oder dass ein Auto nicht unter der Fahrbahnoberfläche fahren kann. Diese Liste kann man endlos fortsetzen. Viele von den Zwangsbedingungen lassen sich durch stetige Funktionen ausdrücken. Zudem treten neben den Zwangsbedinungen auch als Folge dessen Zwangskräfte auf, die sicherstellen, dass die Nebenbedingungen erfüllt werden. Diese Kräfte sind allerdings oft schwer zu berechnen und daher möchte man mit verallgemeinerten Koordinaten, die den Freiheitsgraden genügen, rechnen. Dies soll aber im nächsten Kapitel behandelt werden. Zu den generalisierten Koordi- naten ist in²² vieles beschrieben.

4 Freiheitsgrade und Zwangsbedingungen

In einem System gibt es Freiheitsgrade, deren Anzahl festschreibt, wieviele unabhängige Größen das betrachtete System beschreiben können. Ein freies Masseteilchen besitzt drei Freiheitsgrade. Es können allerdings auch Nebenbedingungen vorliegen. Solche Nebenbedingungen bezeichnet man auch als Zwangsbedingungen. Diese verursachen gewisse Zwangskräfte auf die Massen im System. Die Zwangsbedingungen schränken also die Freiheitsgrade ein. Dabei gibt es eine bestimmte Einteilung der Bedingungen. Zwangsbedinungen, die explizit von der Zeit abhängen, bezeichnet man als rheonom, zeitunabhängige Nebenbedingungen als skleronom. Eine holonome Zwangbedingung in einem System mit N Punktteilchen kann man durch eine stetige Funktion der Form

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ausdrücken. Nicht- holonome Nebenbedingungen sind solche, die von der Geschwindigkeit abhängen oder die nur in Form einer Ungleichung geschrieben werden können. Zum Beispiel wird bei einem Teilchen, das sich nur innerhalb einer Kugel mit dem Radius ρ bewegen kann, die Bedingung wie folgt aussehen: [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Jede holonome Zwangsbedingung reduziert die Freiheitsgrade um 1. Dies trifft nicht für nicht- holonome Bedingungen zu. Bei einem System mit N Punktteilchen und k holonomen Nebenbedingungen erhält man [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]Freiheits- grade.

Die Kraft auf die Masse setzt sich also zusammen aus angelegten Kräften F und allen Zwangskräften [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] insgesamt. Wenn also Zwangsbedingungen vorliegen, lauten die Newtonschen Bewegungsgleichungen nicht mehr

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Beispielsweise sieht eine auf ein Punktteilchen einwirkende Kraft mit zwei holonomen Zwangsbedingungen wie folgt aus:

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5 Prinzip der kleinsten Wirkung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Euler- Lagrange- Gleichungen

Der Konfigurationsraum Q ist ein Begriff der Lagrange-Mechanik zur Beschreibung der Orte aller N betrachteten Teilchen eines Vielteilchensystems.

Insgesamt umfasst er die Gesamtheit der räumlichen Freiheitsgrade bzw. der möglichen räum- lichen Konfigurationen des Systems. Er ist somit bei freien Teilchen 3 N -dimensional. Im Un- terschied dazu werden in der Hamiltonschen Mechanik neben den Orten auch die Geschwindig- keiten der betrachteten Teilchen einbezogen. Der entsprechende, sogenannte Phasenraum ist folglich 6 N -dimensional (bezogen auf freie Teilchen). Der Konfigurationsraum ist der Raum, der von den Ortsvariablen eines physikalischen Systems aufgespannt wird. Die Zeitentwicklung eines dynamischen Systems wird durch die Angabe einer Trajektorie im Konfigurationsraums dargestellt, d.h., jedem Zeitpunkt t wird ein Punkt x (t) im Konfigurationsraum zugeordnet. Beispielsweise betrachtet man eine Bahnkurve eines Massenpunktes in der klassischen Me- chanik. Der Konfigurationsraum ist dabei der dreidimensionale Raum, in dem die Bewegung erfolgt.

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In der Physik wird die Bewegung eines Punktes (zum Beispiel eines Massenpunkts oder des Schwerpunkts eines Körpers) durch eine Funktion beschrieben, die jedem Zeitpunkt t den Ortsvektor r (t) des Massenpunkts zum Zeitpunkt t zuordnet. Die so beschriebene Kurve heißt auch Trajektorie oder Bahnkurve.

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Abbildung 5: Links: 5 Trajektoren; Rechts: 5 dazugehörige Lösungskurven des Systems[Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Aus¹⁵ S. 4.

Seien nun [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]verallgemeinerte Koordinaten eines Systems mit f Freiheitsgraden und

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len eine Beziehung zwischen verallgemeinerter Beschleinigung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] dar. Sie sind Differentialgleichungen zweiter Ordnung für [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Integration liefert also die Bahn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] des Systems. Ziel ist die Formulierung von Bewegungsgleichungen bzw. von Bewegungsgesetzen mechanischer Systeme. Jedes mechanische System ist durch die Lagrange- Funktion beschreib- bar.

Für k holonome Zwangsbedingungen und Kräfte, die sich aus einem Potential

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herleiten lassen, definiert man die Langrange-Funktion

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Dabei ist T die Summe der kinetischen Energien aller Teilchen des Systems im allgemeinen mit

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beschrieben und U die Summe der potentielle Energien aller Teilchen des Systems.

Die Langrange-Funktion ist eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und deren Geschwindigkeiten, sowie der Zeit, also

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(kurz: L oder [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Die Lagrange- Funktion subtrahiert von der kinetischen Energie T die potentielle Energie U. Die kinetische Energie T ist üblicherweise eine Funktion der Ge- schwindigkeiten ˙ q i (t), während im einfachsten Fall die potentielle Energie U eine Funktion der Positionen q i (t) ist.

Als Beispiel kann das Gravitationsfeld der Erde angeführt werden. Das einfachste Beispiel für das Potential ist der Ausdruck [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Dabei wird das Gravitationsfeld der Erde nicht als radial, also [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] r² (Gravitationskraft), sondern als homogen betrachtet. Man nimmt hier also an, dass die Kraft F immer den gleichen Betrag und die gleiche Richtung hat. Für

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kurze Distanzen ist diese Näherung ziemlich genau und für die meisten Zwecke ausreichend. Die potentielle Energie eines Körpers im Gravitationsfeld lautet

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Nun zurück zum Beweis.

Die Bewegung des Systems ergibt sich wie folgt: Zu den Zeitpunkten t 1 und t 2 nehme das System bestimmte Lagen ein, die durch die Koordinatenkonfiguration [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] charakterisiert sind. Die Bewegung des Systems verläuft dann so, dass das Integral

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stationär wird. Man bezeichnet S auch als Wirkungsintegral. Dies stellt das Hamiltonsche Prinzip dar, denn genau dann wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] mit stetiger Funktion Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten stationär ist, ist [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] für beliebige zweimal differenzierbare Funktionen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Die Wirkung hängt von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] 2 und dem Verlauf von q (t) zwischen den Randpunkten ab. Die Wirkung hat die Dimension Energie miltipliziert mit der Zeit.

Die Wirkung ist ein Funktional, d.h. eine Abbildung einer Menge von Funktionen hier [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] auf eine Menge von Zahlen. Die Konkurrenzschar ist die Menge aller Konfigurationsbahnen mit gegebenen, festen Anfangs- und Endzeitpunkten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]2 und gegebenen, festen Anfangs- und Endkonfigurationen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] Variation

Man nimmt im Folgenden an, dass die Anzahl der Freiheitsgrade [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ist. Angenommen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] sei die Funktion, die S stationär macht. Dann folgt, dass, wenn [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] durch [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] ersetzt wird, das Wirkungsintegral steigt. Dies Bezeichnet man als Variation der Funktion [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten].

Abbildung 6: Beispiel einer Variation von [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]. Aus² S. 314.

Es gilt wegen [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]2:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Daraus folgt, dass die Änderung von S durch folgenden Ausdruck gegeben ist:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

[...]

¹ Sir Isaac Newton, geboren am 25.12.1642 /04.01.1643 und gestorben am 20.03.1726/31.03.1727, englischer Naturforscher und Verwaltungsbeamter

² Joseph- Louis de Lagrange, geboren am 25.01.1736 und gestorben am 10.04.1813, italienischer Mathematiker und Astronom

³ Sir William Rowan Hamilton, geboren am 04.08.1805 und gestorben am 02.09.1865, irischer Mathematiker und Physiker

⁴ Jean- Baptiste le Rond genannt D’ Alambert, geboren am 16.11.1717 und gestorben am 29.10.1783, französischer Mathematiker und Physiker

⁵ Hendrik Antoon Lorentz, geboren am 18. Juli 1853 und gestorben am 4. Februar 1928, niederländischer Mathematiker und Physiker

⁶ geschwindigkeitsabhängige Kraft, die auf ein geladenes Teilchen in einem elektromagnatisches Feld wirkt.