Statische Berechnung der Spannungen und Verformungen eines Tragwerkes mittels Stab- und Balkenelementen der Finiten Elementen Methode

Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen

1 Präzisierung der Aufgabenstellung

2 Rechenmodell
2.1 FEM- Programm:
2.2 Elementtypen:
2.3 Anzahl der Elemente/Knoten:
2.4 Lastmodellierung/ Stützen:

2 Ergebnisse

3 Auswertung
3.1 Vergleich Stab- und Balkenmodell
3.1.1 Trägerkräfte und -spannungen
3.1.2 Stützkräfte
3.1.3 Knotenverschiebung von II und III
3.2 Kontrollrechnung für Modell
3.3 weitere Ergebnisse im Modell

4 Zusammenfassung

5. Fehlerkritik

Abbildungsverzeichnis

Anlagenverzeichnis

Literaturverzeichnis

Formelzeichen

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1 Präzisierung der Aufgabenstellung

Das in der Abbildung dargestellte Tragwerk soll als FEM- Modell erstellt werden. Dabei sind jeweils Stab- bzw. Balkenelemente mit dem Querschnitt des Formstahls T20 nach DIN 1024 zu verwenden. Zu errechnen sind alle Trägerkräfte und -spannungen, Stützkräfte der Lager und Knotenverschiebungen. Mit einer Handrechnung sind bei einem ausgewählten Stab und Lager die Ergebnisse des Modell 1 zu verifizieren.

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Abbildung 1: Geometrie Tragwerk

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2 Rechenmodell

2.1 FEM- Programm:

Zur Berechnung der Lochscheibe wurde das Programm COSMOS (Version GeoStar 2.5 128K Version) verwendet. Dabei wurden jeweils die Geometrien erstellt, vernetzt, Randbedingungen vereinbart und statisch linear berechnet.

2.2 Elementtypen:

Im Modell 1 (Stabelemente) wurden die Stäbe 1 bis 6 jeweils als ein Stabelement (Truss3D) modelliert. Über die Realkonstanten wurde die Fläche des Trägerquerschnittes von 111 mm² eingegeben. Das Modell 1 berücksichtigt keinen Gewichtskrafteinfluss durch die Träger. Im Modell 2 (Balkenelemente) wurden Beam3D- Elemente verwendet, um zusätzlich den Einfluss der Gewichtkräfte der Balken berücksichtigen zu können. Über die Beam- Sections (spezielle Realkonstanten für Balkenelemente) wurde der Trägerquerschnitt definiert.

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Abbildung 2: Querschnitts- Variablen aus COSMOS

In Abbildung 2 sind die in COSMOS vereinbarten Variablen des Trägerquerschnittes und die Lage des lokalen Koordinatensystems (y-z) dargestellt. Die Lage der Balken wurde so modelliert, dass die y- Achse des lokalen in etwa der Lage des globalen Koordinatensystems

(KS) entspricht. Somit sind bei allen Balken die Trägergurte oben (Richtung y). Es kommt jedoch in den Balken 1, 3 und 5 zu kleinen Abweichungen, wobei die Querschnitte um die jeweilige lokale x- Achse geneigt sind.

Abbildung 3 zeigt die Balken in vereinfachter Geometrie und die Lage der lokalen Koordinatensysteme der einzelnen Elemente.

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Abbildung 3: Balkenmodell mit lokalen KS

Zur Berücksichtigung der Gewichtskraft der Träger wurden im Modell 2 Richtung (-y global) und Wert (9810 mm/s² ) der Gravitationsbeschleunigung und die Dichte (Stahl) in COSMOS vereinbart.

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2.3 Anzahl der Elemente/Knoten:

Bei dem Modell 1 besteht das Elementnetz aus den jeweiligen Stabelementen mit 2 Knoten pro Element.

Das Modell 2 wurde parametrisch vernetzt, mit 3 Knoten pro Element. Zu jeder Balkenkurve wurde zusätzlich ein Punkt zur Orientierung des lokalen Koordinatensystems der Balkenelemente modelliert. Diese Punkte und Knoten befinden sich außerhalb des Tragwerkmodells. Die Balken wurden mit mehreren Elementen modelliert: Balken 1 und 5 mit 6 Elementen, die restlichen Balken mit 4 Elementen.

Somit ergeben sich für beide Modelle folgende Übersicht der Knoten und Elemente:

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2.4 Lastmodellierung/ Stützen:

Bei beiden Modellen wurden, wie in der folgenden Abbildung gekennzeichnet, die Knoten mit Festlagerung versehen (translatorische Freiheitsgrade wurden gesperrt) und die Kraft von 8 kN in Richtung der y- Achse eingetragen. Durch die Lagerung werden somit keine zusätzlichen Momente in die Balken oder Stäbe eingeleitet.

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Abbildung 4: Netzgeometrie der Modelle 1 und 2

2 Ergebnisse

Bei der Modellierung des Tragwerkes wird die Art der Ergebnisse durch die Auswahl der Elemente bestimmt. In beiden Modellen können keine Biegespannungen in den Stäben bzw. Balken ermittelt werden.

Bei der Verwendung von Stabelementen werden Effekte wie Gewichtskraft der Stäbe und Form und Lage des Stabquerschnittes nicht beachtet. Dieses Modell vereinfacht somit die Realität stark und führt zu Ergebnissen der Starrkörpermechanik:

- Druck- /Zugspannungen in Stäben
- Reaktionskräfte in Lager I, IV, V
- Knotenverschiebungen der Knoten II, III

Im Modell 2 wird durch die Verwendung der Balkenelemente und durch Beschreibung von Gewichtkrafteinflüssen ein genaueres Modell bezüglich der Realität erstellt. Dabei werden insbesondere durch die Lage des Querschnittes die Durchbiegungen der Träger, hervorgerufen durch Gewichtskräfte der Träger, berücksichtigt. Im Hinblick auf die Art der Spannung im einzelnem Träger (Druck oder Zug) können jedoch keine Verformungen durch Knickung beachtet werden, was insbesondere bei langen Trägern mit großer Druckspannung unbedingt bei den Ergebnissen zu beachten ist. Des Weiteren werden verstärkende bzw. abschwächende Effekte der Trägerbiegung durch die Stab-/Balkenkräfte nicht beachtet Æ Verformungen, Biegemomente der Träger sind nur bedingt aussagekräftig (siehe Abbildung 5).

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Abbildung 5: Biegelinien und Krafteinfluss

Folgende wesentlichen Ergebnisse können mit Balkenelementen gewonnen werden:

- Druck- /Zugspannungen in Träger
- Reaktionskräfte in Lager I, IV, V
- Knotenverschiebungen der Knoten II, III
- Torsions- /Biegemomente in Träger (an Elementknoten)
- Knotenverschiebung der einzelnen Elementknoten der Träger
- Kräfte in den einzelnen Elementknoten der Träger

Durch die in FEM möglich exakte Beschreibung der Steifigkeitsmatrix, können die in den Stäben und Balken auftretenden Zug- /Druckspannungen und die Lagerkräfte hinsichtlich der Starrkörpermechanik genau ermittelt werden.

Die Bezeichnungen der Balken/Stäbe und Knoten beziehen sich, wenn nicht anders vermerkt, im folgendem auf Abbildung 1.

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