Statistische Verfahren zur Wahlhochrechnung

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung

2 Abgrenzung Wahlprognose und Wahlhochrechnung

3 Statistische Methoden zur Wahlhochrechnung
3.1 Stichprobenverfahren
3.2 Trendschätzung
3.3 Regressionsschätzung
3.3.1 Lineare Einfachregression
3.3.2 Lineare Mehrfachregression

4 Beispiel: Wahlhochrechnung Bundestagswahl 2009 für München
4.1 Vorbereitung der Hochrechnung
4.2 Hochrechnung
4.3 Diskussion und Beurteilung der Ergebnisse

5 Schlussbemerkung

6 Anhang
6.1 Herleitung der 1. Regressionsgeraden
6.2 Hochrechnung ohne neue Wahlbezirke
6.3 CD Verzeichnis

7 Literaturverzeichnis

1 Einleitung

Was wäre eine Wahl ¹ ohne Wahlprognosen und Wahlhochrechnungen? In Deutschland sind die Wahlprognosen und Hochrechnungen nicht mehr wegzudenken, denn sie dienen nicht nur dem Wähler als Informationsquelle, sondern es profitieren auch die einzelnen Parteien davon. Oft- mals geben die einzelnen Parteien selbst Prognosen und Meinungsforschungen bei renommier- ten Instituten in Auftrag, um ihren Wahlkampf und das daraus resultierende Ergebnis zu opti- mieren. Aber nicht nur Parteien sind die großen Auftraggeber der Meinungsforschungsinstitute, auch TV Sender wie z. B. die ARD, die ihre Daten von „Infratest-dimap“ erhalten, das ZDF, das auf die eigens finanzierte „Forschungsgruppe Wahlen“ zurückgreift, oder auch die Frank- furter Allgemeine, die mit dem „Institut für Demoskopie Allensbach“, dem ältesten Meinungs- forschungsinstitut Deutschlands, zusammenarbeitet, spielen eine wichtige Rolle, wenn es um das Thema Wahlen geht. Für die Wähler und Parteien wird es vor allem am Wahlabend span- nend, genauer gesagt um 18:00 Uhr, wenn die ersten Prognosen der einzelnen Institute im Fernsehen präsentiert werden. Jeder Wähler weiß, dass diese ersten Prognosen bereits relativ genau sind, oftmals lassen sie auch schon die Gewinner und Verlierer einer Wahl erahnen. Ge- gen 18:30 Uhr treffen schließlich die ersten Hochrechnungen ein, die sich meistens nur noch in der Nachkommastelle vom endgültigen Ergebnis unterscheiden. Die wenigsten Wähler aber wissen, wie solch eine Hochrechnung eigentlich funktioniert, welche mathematischen Verfah- ren und Vorgehensweisen hinter einer Hochrechnung stehen.

Ziele der Arbeit sind die Grundlagen zur Hochrechnung von Wahlergebnissen darzustellen und die erzielbare Vorhersagegenauigkeit an einem realen Beispiel zu untersuchen.

Bevor nun das mathematische Vorgehen bei einer Wahlhochrechnung erläutert wird, erfolgt eine Abgrenzung zwischen Wahlprognose und Wahlhochrechnung.

2 Abgrenzung Wahlprognose und Wahlhochrechnung

Die Tradition der Meinungsforschung begann in Deutschland schon im 18. Jahrhundert, als man die erste Umfrage mühsam methodisch entwickelte. Der Pionier der Sozialforschung, Paul Lazarsfeld, beschrieb die ersten Erforschungen von Meinungen in Deutschland jedoch als recht bescheiden. Ende des 19. und anfangs des 20. Jahrhunderts waren Bevölkerungsumfragen in Vergessenheit geraten. Dies änderte sich allerdings nach 1945 sehr schnell. Einen wichtigen Beitrag dazu leistete der amerikanische Meinungsforscher Dr. George Gallup, als er bei der amerikanischen Präsidentschaftswahl 1948 mit seiner Prognose Aufsehen erregte. Er sagte Thomas E. Dewey als Gewinner der Wahl voraus, dieser wurde schon vor der Wahl groß gefeiert, verlor bei der Wahl jedoch gegen Harry S. Truman.

In Deutschland hielt man Umfragen für eine amerikanische Erfindung und dachte, es wäre eine Modeerscheinung, dass nun in den Zeitungen, im Radio und im Fernsehen Umfragen veröf- fentlicht werden. Die ersten Wahlprognosen fanden 1949 zur ersten deutschen Bundestagswahl statt. Heute sind sie elementarer Bestandteil deutscher Bundestags- und Landtagswahlen. Mit Wahlprognosen versucht man von einer kleinen Gruppe an Befragten auf die Gesamtheit der Wähler zu schließen, und somit das Wahlergebnis vorauszusagen. Wahlprognosen finden in der Regel einige Wochen bis wenige Tage vor der Wahl statt. Am Wahltag selbst ist es per Ge- setz verboten vor Schließung der Wahllokale Prognosen zu veröffentlichen. Die Schwierigkeit besteht allerdings zum einen darin, dass eine repräsentative Gruppe befragt werden muss. Zum anderen handelt es sich bei Daten zu Wahlen um so genannte weiche Daten, aufgrund der Ein- stellungen und Meinungen der Befragten. Deren Meinungen können sich jederzeit ändern, sie können aber auch die Meinung ganz verweigern, oder eine falsche Aussage machen. Diese Faktoren können das vorausgesagte Wahlergebnis beeinflussen. Die berühmte 18:00 Uhr Prog- nose unmittelbar nach Schließung der Wahllokale beruht auf der Befragung der Wähler zu ih- rem Wahlverhalten nach Abgabe ihres Stimmzettels. Dazu werden Daten wie Alter, Einkom- men und Wahlverhalten bei der aktuellen und der vorherigen Wahl erfasst.

Das Thema der Facharbeit befasst sich mit der Wahlhochrechnung. Diese beruht auf bereits ausgezählten Stimmen. Bei diesen so genannten Teilergebnissen werden abhängig vom ma- thematischen Verfahren teilweise zwei Bestandsaufnahmen durchgeführt, nämlich zum einen die aktuelle Wahlentscheidung und zum anderen die Wahlentscheidung bei einer vergleichba- ren Wahl. Somit lässt sich dann durch die Verschiebung der einzelnen Wählerschichten zur Vorwahl ein Ergebnis hochrechnen. Die Grundlagen zu den Verfahren, ihre Vor- und Nachteile werden im Folgenden erläutert.

3 Statistische Methoden zur Wahlhochrechnung

Im Wesentlichen kommen drei statistische Methoden für die Hochrechnung des Endergebnisses einer Wahl auf Basis eines bereits vorliegenden Teilergebnisses in Frage. Dazu zählen das Stichprobenverfahren, die Trendschätzung und die Regressionsschätzung. Jedes einzelne Verfahren hat seine Vor- und Nachteile gegenüber den anderen beiden.

Von den Wahlforschungsinstituten in Deutschland wird hauptsächlich die Regressionsschät- zung verwendet. Dieses ist das präziseste und zugleich auch aufwändigste Verfahren, um die Endergebnisse einer Wahl auch bei nur einer geringen Anzahl an bereits ausgezählten Stimmen vorherzusagen.²

Deshalb stellt die Regressionsschätzung den wesentlichen Schwerpunkt der Arbeit dar. Die beiden anderen Verfahren werden kurz erklärt.

3.1 Stichprobenverfahre

Die Hochrechnung mit dem Stichprobenverfahrenn³ ist eine sehr einfache Methode Wahlergebnisse vorherzusagen. Hierfür benötigt man lediglich die Ergebnisse der bereits ausgezählten Wahlbezirke. Die ausgezählten Wahlbezirke stellen eine Stichprobe dar. Der relative Stimmenanteil der Stichprobe wird als Schätzwert für das Endergebnis einer Partei verwendet. Dieser relative Stimmenanteil wird aus dem Quotienten der Stimmen, die eine Partei erhält, und der Gesamtanzahl der gültigen Stimmen gebildet. Dies führt zu folgender Formel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Bei der Anwendung des Stichprobenverfahrens ist zu beachten, dass die Stichproben zufällig ausgewählt werden müssen. Dies ist in der Realität meist nicht der Fall, da kleine Wahlbezirke deutlich früher ausgezählt sind und es sich dabei oftmals auch um Hochburgen handelt. Denn kleine Wahlbezirke bestehen meist aus einer homogenen Wählerschaft. Kommt das Stichpro- benverfahren bei den Wahlforschungsinstituten zum Einsatz, fließen nur die Wahlbezirke in die Hochrechnung mit ein, die einen Stichprobencharakter haben. Der Vorteil des Stichproben- verfahrens besteht darin, dass keine Daten aus Vorwahlen bekannt sein müssen, um eine Hochrechnung durchzuführen.

3.2 Trendschätzung

Im Gegensatz zu dem ⁴ Stichprobenverfahren werden für die Trendschätzung nicht nur die Daten der aktuellen Wahl, sondern auch die der vorausgegangen Wahl benötigt. Diese Wahl wird Vergleichswahl genannt. Für die Anwendung der Trendschätzung müssen die Anzahl der gültigen Stimmen und die jeweilige Verteilung der Stimmen auf die einzelnen Parteien sowohl für die aktuelle Wahl als auch für die Vergleichswahl je Wahlbezirk bekannt sein.

Somit erfolgt die Bestimmung des hochgerechneten prozentualen Ergebnisses einer Partei gemäß folgender Formel:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Die relative prozentuale Abweichung [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten] im i. Wahlbezirk wird berechnet aus der Differenz des prozentualen Ergebnisses der aktuellen Wahl und der Vergleichswahl. Die Summe aus den

Produkten [Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten]beschreibt den Verlust bzw. Gewinn an Stimmen einer Partei in den bereits ausgezählten Wahlbezirken. Dieser Verlust bzw. Gewinn wird durch die Summe der gültigen Stimmen der bereits ausgezählten Wahlbezirke geteilt. Somit erhält man die geschätzte prozentuale Veränderung einer Partei gegenüber der Vergleichswahl. Für die Hochrechnung des prozentualen Wahlergebnisses einer Partei wird nun zu dem prozentualen Ergebnis der Vergleichswahl die prozentuale Veränderung addiert.

Zur Erklärung des Verfahrens ist in Abbildung 1 ein anschauliches Zahlenbeispiel dargestellt. Es wird die Partei „Beispiel“ betrachtet. Da es lediglich dem Verständnis dienen soll, werden nur 4 Wahlbezirke verwendet, die grau markierten Felder sind zum Zeitpunkt der Hochrechnung noch nicht bekannt. Für die Hochrechnung werden hier die Ergebnisse aus den ersten beiden Wahlbezirken verwendet, d. h. n = 2.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 1: Zahlenbeispiel Trendschätzung

3.3 Regressionsschätzung

Die Regressionsanalyse ⁵ dient zur Beschreibung von Zusammenhängen von metrischen Merk- malen mithilfe mathematischer Funktionen.⁶ Bei der linearen Regressionsrechnung geht man von einem linearen Zusammenhang zwischen den Merkmalen aus. Die lineare Regressionsana- lyse stellt die Grundlage für die Regressionsschätzung zur Hochrechnung von Wahlergebnissen dar.

3.3.1 Lineare Einfachregression

Die lineare Einfachregression ist eine statistische Methode zur Untersuchung von Zusammen- hängen von zwei metrischen Merkmalen statistischer Einheiten. Wird zum Beispiel der Zu- sammenhang zwischen Einkommen und Ausgaben für Konsum untersucht, betrachtet man den Haushalt als statistische Einheit und das Einkommen sowie die Ausgaben für Konsum als Merkmale.⁷ Diese zu einer statistischen Einheit gehörenden Merkmale werden als Zahlenpaa- re interpretiert. Somit sind z. B. das Einkommen der x-Wert und die Ausgaben der y-Wert ei- nes jeweiligen Haushalts. Gemäß Abbildung 2 können die Zahlenpaare aller Haushalte in ei- nem Koordinatensystem dargestellt werden. Es liegt dann ein so genanntes Streudiagramm vor.

Betrachtet man nun für einen Wahlbezirk die Ergebnisse einer Vergleichswahl und der aktuellen Wahl einer bestimmten Partei als Merkmale einer statistischen Einheit, liegen wiederum Zahlenpaare vor, die sich in einem Streudiagramm darstellen lassen.

Die Abbildung 2 zeigt am Beispiel der CSU für 150 Wahlbezirke der Stadt München das Streudiagramm für die Bundestagswahlen 2005 und 2009. Das Ergebnis der Vergleichswahl ist die x-Koordinate und das Ergebnis der aktuellen Wahl die y-Koordinate des jeweiligen Wahlbezirks.

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 2: Streudiagramme

Mithilfe des Streudiagramms kann man in der Regel qualitativ einen möglichen Zusammenhang erkennen. Die im Streudiagramm dargestellten Punkte werden als Punktewolke bezeichnet. Für die ausgewählten Beispiele erkennt man einen Zusammenhang zwischen den Punkten, der sich näherungsweise mit einer Geraden beschreiben lässt.

Die lineare Regressionsrechnung bestimmt eine Trendgerade zur mathematischen Beschrei- bung des Zusammenhanges zwischen den Merkmalen. Diese Trendgerade kann nun genutzt werden, um mithilfe von Wahlergebnissen bereits ausgezählter Wahlbezirke und Ergebnisse einer Vergleichswahl auf das Ergebnis der noch nicht ausgezählten Wahlbezirke hochzurech- nen.

Zur Bestimmung einer Geraden, die den Trend einer Punktwolke beschreibt, muss die mathematische Eigenschaft dieser Gerade definiert werden. Bei der Festlegung der Eigenschaft ist das Ziel, dass die Streupunkte einen sehr geringen Abstand zur Trendgerade haben. Im Allgemeinen kämen mehre Abstandsdefinitionen in Frage.

Zum Beispiel könnte man den Normalabstand oder auch den Abstandsbetrag in einer Koordi- natenrichtung der Punkte zur Gerade heranziehen, wie es in Abbildung 3 dargestellt wird. Die- se Definitionen gelten allerdings für die Bestimmung einer Trendgerade als rechentechnisch sehr schwierig.

Normalabstände Vertikale Abstände

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 3: Normalabstände und vertikale Abstände zur Trendgerade⁸

Deshalb hat sich die Methode der kleinsten Quadrate durchgesetzt. Hier wird der Abstand eines Streupunktes zur Gerade in einer Koordinatenrichtung bestimmt und quadriert, danach bildet man die Summe der Quadratabstände über alle Streupunkte und definiert als mathematische Eigenschaft für die Trendgerade, dass die Summe dieser Quadratabstände minimal sein muss. Bei der linearen Regressionsrechnung wird dies sowohl für die vertikalen Quadratabstände, als auch für die horizontalen Quadratabstände durchgeführt. Eine detaillierte Erläuterung erfolgt mithilfe der Abbildung 4 nun am Beispiel der vertikalen Quadratabstände und somit für die Bestimmung der 1. Regressionsgeraden.

Die gesuchte Gerade, die Trendgerade oder auch 1. Regressionsgerade genannt wird, lautet:

Abbildung in dieser Leseprobe nicht enthalten

Abbildung 4: Quadratabstände in vertikaler Richtung⁹

Bestimmt man nun den Abstand eines Streupunktes in vertikaler Richtung zur gesuchten Gera- den, ergibt sich dieser aus der Differenz Yi - yi. Die Bestimmung des Punktes Yi erfolgt mithil- fe der Geradengleichung Yi = aXi + b. Aufgrund der vertikalen Projektion des Punktes gilt Xi = xi. Das Ergebnis des vertikalen Abstandes des Punktes Pi ist somit Yi - yi = axi + b - yi.

Nun wird die Summe aller Quadratabstände von i = 1 bis n gebildet. In diesem Summenterm sind die Koeffizienten a und b unbekannt, die Punktkoordinaten xi und yi sind gegeben und somit bekannt. Diese Summe stellt eine Funktion mit zwei Variablen dar.

Gemäß der Definition, dass die Summe der Quadratabstände minimal sein soll, gilt es nun für diese Funktion das Minimum zu suchen. Bei einer Funktion mit einer Variablen wird gemäß der Methoden der Infinitesimalrechnung die 1. und 2. Ableitungsfunktion gebildet. Für die Su- che eines Minimums wird die 1. Ableitungsfunktion gleich null gesetzt. Es entsteht somit eine Gleichung, die, falls ein Extremum vorliegt, auch gelöst werden kann. Anschließend ist noch nachzuweisen, dass an der Stelle des Extremums die 2. Ableitungsfunktion größer null ist, und somit ein Minimum vorliegt.

Hier liegt allerdings eine Funktion mit zwei Variablen vor, das heißt die Funktion hat einen dreidimensionalen Verlauf. Bei der Suche nach einem Extremum wird bei Funktionen mit mehreren Variablen partiell nach einer Variablen abgeleitet.

[...]

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¹ Vgl. [SCHL02] , [WELT10]

² Vgl. [SCHR10]

³ Vgl. [KEPL04]

⁴ Vgl. [KEPL04]

⁵ Vgl. [KRÖP99], [WELL10]

⁶ Vgl. [SAUE00]

⁷ Vgl. [DULL07]

⁸ Vgl. [KRÖP99]

⁹ Vgl. [KRÖP99]